Спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала

Рассмотрены упорядоченные выборки случайного некоррелированного шума с нулевым средним ("белый шум"), получены формулы авто-, взаимных и кросс-спектральных плотностей мощности для элементов скользящих упорядоченных выборок данных....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
1. Verfasser:	Мазманян, Р.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут електродинаміки НАН України 2009
Schlagworte:	Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/13085
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала / Р.О. Мазманян // Техн. електродинаміка. — 2009. — № 5. — С. 63-68. — Бібліогр.: 7 назв. — pос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-13085
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-130852010-10-29T12:02:05Z Спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала Мазманян, Р.О. Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці Рассмотрены упорядоченные выборки случайного некоррелированного шума с нулевым средним ("белый шум"), получены формулы авто-, взаимных и кросс-спектральных плотностей мощности для элементов скользящих упорядоченных выборок данных. Розглянуто упорядковані вибірки випадкового некорельованого шуму з нульовим середнім ("білий шум"), отримано формули авто-, взаємних, крос-спектральних щільностей потужності для елементів ковзних упорядкованих вибірок даних. The ordered samples of a random uncorrelated noise with a zero mean («white noise») are considered, the formulas of auto-, mutual and cross-spectral concentrations of power for the elements of sliding ordered data samples are obtained. 2009 Article Спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала / Р.О. Мазманян // Техн. електродинаміка. — 2009. — № 5. — С. 63-68. — Бібліогр.: 7 назв. — pос. 0204-3599 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/13085 621.3 ru Інститут електродинаміки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці
spellingShingle	Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці Мазманян, Р.О. Спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала
description	Рассмотрены упорядоченные выборки случайного некоррелированного шума с нулевым средним ("белый шум"), получены формулы авто-, взаимных и кросс-спектральных плотностей мощности для элементов скользящих упорядоченных выборок данных.
format	Article
author	Мазманян, Р.О.
author_facet	Мазманян, Р.О.
author_sort	Мазманян, Р.О.
title	Спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала
title_short	Спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала
title_full	Спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала
title_fullStr	Спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала
title_full_unstemmed	Спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала
title_sort	спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала
publisher	Інститут електродинаміки НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/13085
citation_txt	Спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала / Р.О. Мазманян // Техн. електродинаміка. — 2009. — № 5. — С. 63-68. — Бібліогр.: 7 назв. — pос.
work_keys_str_mv	AT mazmanânro spektralʹnyeharakteristikiuporâdočennyhvyborokslučajnogonekorrelirovannogosignala
first_indexed	2025-07-02T15:05:09Z
last_indexed	2025-07-02T15:05:09Z
_version_	1836548053602926592
fulltext	ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2009. № 5 63 ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНІ СИСТЕМИ В ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИЦІ УДК 621.3 Р.О.Мазманян, канд.техн.наук (Ин-т электродинамики НАН Украины, Киев) СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УПОРЯДОЧЕННЫХ ВЫБОРОК СЛУЧАЙНОГО НЕКОРРЕЛИРОВАННОГО СИГНАЛА Рассмотрены упорядоченные выборки случайного некоррелированного шума с нулевым средним ("белый шум"), получены формулы авто-, взаимных и кросс-спектральных плотностей мощности для элементов скользящих упорядоченных выборок данных. Розглянуто упорядковані вибірки випадкового некорельованого шуму з нульовим середнім ("білий шум"), отримано формули авто-, взаємних, крос-спектральних щільностей потужності для елементів ковзних упорядкованих вибірок даних. Функции спектральной плотности случайных сигналов, полученных из ограниченного значе- нием mX случайного некоррелированного и несмещенного шума посредством скользящих упорядо- ченных выборок [2,4], являются важной составляющей в описании вероятностной структуры таких преобразований. Для этого метода обработки измерительной информации ранее были получены функции распределения, плотности вероятности, математического ожидания, дисперсии, совместных плотностей вероятности, ковариационных и корреляционных моментов для отдельных элементов или пары элементов упорядоченных выборок заданного порядка d [3,5]. На основании результатов, изложенных в [3,5], завершим описание вероятностной структуры метода скользящих упорядоченных выборок получением оценок спектральных характеристик преоб- разованных данных для элементов выборок. Эти оценки представляют собой функции распределе- ния дисперсии (среднеквадратического значения) по частотам, которые по аналогии с процессами в электрических цепях называют спектральной плотностью мощности (СПМ). Существуют несколько способов определения СПМ [1,6,7]. Метод Блекмена–Тьюки [7] основан на использовании теоремы Винера–Хинчина, которая парой прямого и обратного преобразований Фурье устанавливает связь между спектральной плотностью S(f) и корреляционной функцией R(τ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,dffjfSdffjfSR ;dfjRdfjRfS τπ=τπ=τ ττπ−τ=ττπ−τ= ∫∫ ∫∫ ∞∞ ∞− ∞∞ ∞− 2exp22exp 2exp22exp 0 0 (1) где f − частота, τ − время. Для заданного zk и произвольного yk элементов выборки авто- ( zy kk = ) и взаимным ( zy kk ≠ ) корреляционным функциям ( )iC zy k,k Δ соответствуют выражения © Мазманян Р.О., 2009 64 ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2009. № 5 ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >> ≤≤⋅ −+ −+ ⋅⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ − ≤≤⋅ + + ⋅⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ − =Δ ;dk, ;dkk,D kd kd d i ;kk,D k k d i iC y yz S k z y zy S k z y k,k S z S z zy 200 2 12 12 12 1 0 1 1 12 1 , (2) где d = (N − 1)/2 − порядок упорядоченной выборки, содержащей нечетное число элементов N . Здесь дисперсия S z S kD заданного элемента упорядоченных выборок [5] определяется из урав- нений ( ) ( ) ( )zSzSzS S k kd,kDd,kDD HS S z 2μ−== , (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ = − = + ++⋅−−⋅⋅−⋅ −+− ⋅ + ⋅= z zk j kd m zz jm dmzHS jm!mkd!m!jk!j !dXd,kD 0 2 0 12 2 32 11 2 12 , (4) а средние значения только для заданного элемента выборок ( )zS kμ определяются из уравнения, полученного в [5] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ = − = + ++⋅−−⋅−⋅⋅ −−− ⋅⋅ + =μ z zk j kd m zz jm mdzS jm!mkd!jk!m!j X!dk 0 2 0 12 22 11 2 12 . (5) Примем следующие обозначения при определении взаимной спектральной плотности мощ- ности: Nnn π=ω 2 − относительная частота, NtΔ=τ − непрерывный аргумент, определяющий диск- ретную задержку τ⋅=Δ ni для целочисленных N,n K10= и временного интервала 1=Δt между значениями in и 1+in . Принятые обозначения и формулы (1), (2) определят одностороннюю взаим- ную спектральную плотность мощности преобразованных данных для произвольной пары элементов следующими выражениями ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >> ≤≤τ⋅⋅ −+ −+ ⋅⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + τ − ≤≤τ⋅⋅ + + ⋅⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + τ − = ∫ ∫ τω− τω− dk, dkk,deD kd kd d kk,deD k k d ωS y yz d jS k z y zy d jS k z y nkz,ky ns z ns z 200 2 12 12 12 1 0 1 1 12 1 2 0 2 0 , (6) которые после преобразований принимают вид: − для 0≠nω ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ −+ −+ ≤≤ + + ⋅+−+−−⋅ +⋅ = ω− dkk, kd kd kk, k k djωejω dω D ωS yz z y zy z y n dj n n S k nkz,ky n s z 2 12 12 0 1 1 1211 12 2 2 2 ; (7) − для 0=nω ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2009. № 5 65 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ −+ −+ ≤≤ + + ⋅ + + ⋅⋅= dkk, kd kd kk, k k d dDdωS yz z y zy z y S knkz,ky s z 2 12 12 0 1 1 12 14 ; (8) ( ) 0, =nkzkyS ω , dk y 20 >> . (9) Записанное в тригонометрической форме выражение (7) примет вид ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ −+ −+ ≤≤ + + × ×+⋅−⋅+⋅++−⋅⋅ +⋅ = .dkk, kd kd ;kk, k k dωdωωdωjdωdωω dω D ωS yz z y zy z y nnnnnnnky,kz n sS zk ν 2 12 12 0 1 1 122cos2sin12cos2sin 12 2 2 (10) Взаимные коспектральная ( )kz,kySRe (рис. 1, а) и квадратурная ( )kz,kySIm (рис. 1, б) спектраль- ные плотности определены для 3=d и 5=zk . а б Рис. 1 Как видно из рис. 1, значения взаимных спектральных плотностей возрастают по мере при- ближения к элементу с заданным номером. Модуль и фазовый угол взаимных спектральных плотностей мощности для показательной и тригонометрической форм записи после преобразований определятся выражениями ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ −+ −+ ≤≤ + + × ×ω−ω⋅ω+ω−⋅++⋅⋅ +⋅ = ,dkk, kd kd ;kk, k k dddddω dω D ωS yz z y zy z y nnnnn n S k nkz,ky s z 2 12 12 0 1 1 2sin22cos11122 12 2 2 2 66 ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2009. № 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . dωdωω dωdωωdω θ nnn nnnn k 12cos2sin 122cos2sin arctg +−⋅ +⋅−⋅+ = Для скользящих выборок порядка 3=d и 120 +≤≤ dk модуль и фазовый угол имеют вид, показанный на рис. 2, а, б. а б Рис. 2 Если и здесь значение модуля достигает максимума для элемента с заданным номером, то фазовый угол не зависит от номера элемента k . Авто-коспектральная ( )kSRe и квадратурная ( )kSIm спектральные плотности, представлен- ные на (рис. 3, а) и (рис. 3, б), соответственно, определены для порядка 3=d и 120 +≤≤ dk . Значения автоспектральных плотностей расположены симметрично относительно наибольшего из них, которое соответствует медиане выборки. а б Рис. 3 Кросс-спектральные плотности мощности, характеризующие перераспределение СПМ вход- ного сигнала по последовательностям обработанных данных, соответствующих элементам скользя- щих выборок, получим подстановкой кросскорреляционных функций [3] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ >Δ−<Δ ≤Δ≤− =Δ ⋅Δ⋅=μ−⋅Δ⋅=Δ ,di;di ;did ip ;DipDipiC SD S kk S kk 220 221 2 1 2 1 2 (11) ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2009. № 5 67 где 120 +≤≤ dk − номер элемента выборки порядка d ; SD S k S k D,D − смещенные и несмещенные зна- чения дисперсии, в формулу (1) ( ) ∫ τ⋅⋅= τω− d jS knk deD.ωG ns 2 0 50 . (12) После преобразований получим ( ) ( ) ( )( )[ ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =⋅ ≠−⋅+⋅ = = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =⋅ ≠−⋅ = ⋅ω⋅− .n,Dd n,dωjdωD ω .n,Dd n,eD ω j ωG S S S nS S k nn S k n S k djS k nnk 0 012cos2sin 2 1 0 01 2 1 2 (13) На рис. 4, а, б показаны кросс-коспектральная и кросс-квадратурная плотности мощности для последовательностей обработанных данных. а б Рис. 4 Кросс-спектральные плотности мощности симметричны относительно медианы выборки. Модуль и фазовый угол кросс-спектральной плотности мощности определены из формул ( ) ( ) ( ) ( )[ ] .dωGGθ ,dω D GGG nkkk n n S k kkk S −== −⋅ ω ⋅=+= Re)Im( arctg 2cos1 2 2ImRe 22 (14) Заметим, что фазовый угол пропорциональный частоте и порядку выборки, также не зависит от номера элемента k . Для выборок порядка 3=d и 120 +≤≤ dk модуль и фаза спектральной плотности мощности имеют вид, представленный на рис. 5, а, б. Здесь фазовая частотная характеристика приведена к значениям π≤≤ θ0 . 68 ISSN 0204-3599. Техн. електродинаміка. 2009. № 5 а б Рис. 5 Итак, получены выражения для определения авто-, взаимных и кросс-спектральных плот- ностей мощности скользящих упорядоченных выборок из случайного некоррелированного сигнала с непрерывными состояниями и дискретным временем, которые завершают описание вероятностной структуры процесса и из которых могут быть получены значения функции когерентности в зави- симости от частоты [7]. Это позволит определить возможность представления рассматриваемого метода преобразования измерительной информации в виде линейной (линеаризованной) системы с одним входом и несколькими выходами. В этом случае из спектральных характеристик могут быть найдены аналитические выражения передаточных функций и синтезирована структура алгоритма преобразования данных скользящими упорядоченными выборками, которые предоставят новые воз- можности для синтеза цифровых фильтров с робастными свойствами при редактировании неправ- доподобных данных. 1. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайних данних. – М.: Мир, 1989. – 540 с. 2. Кендалл М.,Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. – М.: Наука, 1976. – 736 с. 3. Мазманян Р.О. Корреляционные функции упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала. // Техн. електродинаміка. – 2005. – № 1. – С. 71–78. 4. Мазманян Р.О. О некоторых свойствах медианных преобразователей измерительной информации // Техн. електродинаміка. – 2003. – №6. – С. 70–75. 5. Мазманян Р.О. Характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала // Техн. електродинаміка. – 2004. – № 6. – С. 60–64. 6. Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. – М.: Мир. – 1990. – 584 с. 7. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. – М.: Мир. – 1982. – 428 с. Надійшла 01.04.09

Спектральные характеристики упорядоченных выборок случайного некоррелированного сигнала

Institution

Ähnliche Einträge