Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії

Дану роботу присвячено всебічному детальному дослідженню чистого цирконію з нерівноважними точковими дефектами, які продукуються опроміненням, в рамках схеми мультимасштабного моделювання з використанням квантово-механічних метод, молекулярної динаміки та метод Монте-Карло, заснованих на Ланжевенові...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
Hauptverfasser:	Харченко, В.О., Лисенко, І.О., Щокотова, О.М., Баштова, А.І., Харченко, Д.О., Овчаренко, Ю.М., Кохан, С.В., Wu, X., Wen, B., Wu, L., Zhang, W.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2017
Schriftenreihe:	Успехи физики металлов
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133245
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії / В.О. Харченко, І.О. Лисенко, О.М. Щокотова, А.І. Баштова, Д.О. Харченко, Ю.М. Овчаренко, С.В. Кохан, X. Wu, B. Wen, L. Wu, W. Zhang // Успехи физики металлов. — 2017. — Т. 18, № 4. — С. 295-400. — Бібліогр.: 102 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-133245
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1332452018-05-22T03:03:37Z Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії Харченко, В.О. Лисенко, І.О. Щокотова, О.М. Баштова, А.І. Харченко, Д.О. Овчаренко, Ю.М. Кохан, С.В. Wu, X. Wen, B. Wu, L. Zhang, W. Дану роботу присвячено всебічному детальному дослідженню чистого цирконію з нерівноважними точковими дефектами, які продукуються опроміненням, в рамках схеми мультимасштабного моделювання з використанням квантово-механічних метод, молекулярної динаміки та метод Монте-Карло, заснованих на Ланжевеновій динаміці. В данной работе проводится всестороннее детальное исследование чистого циркония с неравновесными точечными дефектами, генерируемыми облучением, в рамках схемы мультимасштабного моделирования с использованием квантово-механических методов, молекулярной динамики и методов Монте-Карло, основанных на ланжевеновской динамике. This work is devoted to a comprehensive detailed study of a pure zirconium with non-equilibrium point defects induced by irradiation within the framework of the multiscale modelling scheme by using quantum-mechanics methods, molecular dynamics, and the Monte-Carlo methods based on the Langevin dynamics. Публікація містить результати досліджень, проведених за грантом Президента України в рамках конкурсного проекту (Ф70/118-2017), Державного фонду фундаментальних досліджень за підтримки Міжнародної програми науково-технічної співпраці провінції Сичуань і програми обміну дослідженнями (2016HH0014), а також Китайського докторського наукового фонду (2015M 582575). 2017 Article Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії / В.О. Харченко, І.О. Лисенко, О.М. Щокотова, А.І. Баштова, Д.О. Харченко, Ю.М. Овчаренко, С.В. Кохан, X. Wu, B. Wen, L. Wu, W. Zhang // Успехи физики металлов. — 2017. — Т. 18, № 4. — С. 295-400. — Бібліогр.: 102 назв. — рос. 1608-1021 PACS: 05.65.+b, 07.05.Tp, 61.72.Bb, 61.72.J-, 61.80.Az, 71.15.Nc, 89.75.Fb DOI: https://doi.org/10.15407/ufm.18.04.295 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133245 uk Успехи физики металлов Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Дану роботу присвячено всебічному детальному дослідженню чистого цирконію з нерівноважними точковими дефектами, які продукуються опроміненням, в рамках схеми мультимасштабного моделювання з використанням квантово-механічних метод, молекулярної динаміки та метод Монте-Карло, заснованих на Ланжевеновій динаміці.
format	Article
author	Харченко, В.О. Лисенко, І.О. Щокотова, О.М. Баштова, А.І. Харченко, Д.О. Овчаренко, Ю.М. Кохан, С.В. Wu, X. Wen, B. Wu, L. Zhang, W.
spellingShingle	Харченко, В.О. Лисенко, І.О. Щокотова, О.М. Баштова, А.І. Харченко, Д.О. Овчаренко, Ю.М. Кохан, С.В. Wu, X. Wen, B. Wu, L. Zhang, W. Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії Успехи физики металлов
author_facet	Харченко, В.О. Лисенко, І.О. Щокотова, О.М. Баштова, А.І. Харченко, Д.О. Овчаренко, Ю.М. Кохан, С.В. Wu, X. Wen, B. Wu, L. Zhang, W.
author_sort	Харченко, В.О.
title	Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії
title_short	Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії
title_full	Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії
title_fullStr	Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії
title_full_unstemmed	Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії
title_sort	мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate	2017
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133245
citation_txt	Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії / В.О. Харченко, І.О. Лисенко, О.М. Щокотова, А.І. Баштова, Д.О. Харченко, Ю.М. Овчаренко, С.В. Кохан, X. Wu, B. Wen, L. Wu, W. Zhang // Успехи физики металлов. — 2017. — Т. 18, № 4. — С. 295-400. — Бібліогр.: 102 назв. — рос.
series	Успехи физики металлов
work_keys_str_mv	AT harčenkovo mulʹtimasštabnemodelûvannâsamoorganízacíínerívnovažnihtočkovihdefektívvopromínûvanomualʹfacirkoníí AT lisenkoío mulʹtimasštabnemodelûvannâsamoorganízacíínerívnovažnihtočkovihdefektívvopromínûvanomualʹfacirkoníí AT ŝokotovaom mulʹtimasštabnemodelûvannâsamoorganízacíínerívnovažnihtočkovihdefektívvopromínûvanomualʹfacirkoníí AT baštovaaí mulʹtimasštabnemodelûvannâsamoorganízacíínerívnovažnihtočkovihdefektívvopromínûvanomualʹfacirkoníí AT harčenkodo mulʹtimasštabnemodelûvannâsamoorganízacíínerívnovažnihtočkovihdefektívvopromínûvanomualʹfacirkoníí AT ovčarenkoûm mulʹtimasštabnemodelûvannâsamoorganízacíínerívnovažnihtočkovihdefektívvopromínûvanomualʹfacirkoníí AT kohansv mulʹtimasštabnemodelûvannâsamoorganízacíínerívnovažnihtočkovihdefektívvopromínûvanomualʹfacirkoníí AT wux mulʹtimasštabnemodelûvannâsamoorganízacíínerívnovažnihtočkovihdefektívvopromínûvanomualʹfacirkoníí AT wenb mulʹtimasštabnemodelûvannâsamoorganízacíínerívnovažnihtočkovihdefektívvopromínûvanomualʹfacirkoníí AT wul mulʹtimasštabnemodelûvannâsamoorganízacíínerívnovažnihtočkovihdefektívvopromínûvanomualʹfacirkoníí AT zhangw mulʹtimasštabnemodelûvannâsamoorganízacíínerívnovažnihtočkovihdefektívvopromínûvanomualʹfacirkoníí
first_indexed	2025-07-09T18:45:46Z
last_indexed	2025-07-09T18:45:46Z
_version_	1837196115520258048
fulltext	295 PACS numbers: 05.65.+b, 07.05.Tp, 61.72.Bb, 61.72.J-, 61.80.Az, 71.15.Nc, 89.75.Fb Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному -цирконії В. О. Харченко, І. О. Лисенко, О. М. Щокотова, А. І. Баштова, Д. О. Харченко, Ю. М. Овчаренко, С. В. Кохан, X. Wu ‡ , B. Wen ‡ , L. Wu ‡ , W. Zhang ‡ Інститут прикладної фізики НАН України, вул. Петропавлівська, 58, 40000 Суми, Україна ‡The First Institute, Nuclear Power Institute of China, 328 the 1st Section, Changshundadao Road, Shuangliu, Chengdu, China Дану роботу присвячено всебічному детальному дослідженню чистого цирконію з нерівноважними точковими дефектами, які продукуються опроміненням, в рамках схеми мультимасштабного моделювання з ви- користанням квантово-механічних метод, молекулярної динаміки та метод Монте-Карло, заснованих на Ланжевеновій динаміці. В рамках розрахунків з перших принципів досліджено структурні, електронні та енергетичні властивості чистого цирконію з ізольованими вакансіями та їх кластерами. Обговорюється зміна параметрів ґратниці у чистому цирконії з різною концентрацією ізольованих вакансій і різними кон- фіґураціями бі- та тривакансій. Встановлено енергію формування ізо- льованої вакансії у чистому цирконії. Проаналізовано стабільність не- великих кластерів вакансій, що містять бівакансії, які характеризу- ються різними віддалями між двома вакансіями, та тривакансії різної конфіґурації. Одержано розподіл електронної густини, енергетичний спектр і поверхню Фермі для чистого цирконію з ізольованою вакансі- єю. Встановлено залежність енергії Фермі кристалу цирконію, елемен- тарна комірка якого містить кластер вакансій, від кількости вакансій у кластері. В рамках використання метод моделювання молекулярної динаміки вивчаються процеси утворення, розвитку та відпалу каскадів пошкоджень при різних значеннях енергії первинно вибитого атома, напрямках його руху та температури в кристалах чистого цирконію. Детально досліджено статистичні та геометричні властивості каскадів. Показано можливість каналювання при розвитку каскадів, що приво- дить до утворення краудіонів. Встановлено зміну статистичних власти- Успехи физ. мет. / Usp. Fiz. Met. 2017, т. 4, сс. 295–400 DOI: https://doi.org/10.15407/ufm.18.04.295 Îòòèñêè äîñòóïíû íåïîñðåäñòâåííî îò èçäàòåëÿ Ôîòîêîïèðîâàíèå ðàçðåøåíî òîëüêî â ñîîòâåòñòâèè ñ ëèöåíçèåé 2017 ÈÌÔ (Èíñòèòóò ìåòàëëîôèçèêè èì. Ã. Â. Êóðäþìîâà ÍÀÍ Óêðàèíû) Íàïå÷àòàíî â Óêðàèíå. https://doi.org/10.15407/ufm.18.04.295 296 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. востей кристалу цирконію під час створення каскаду. Проаналізовано зміну енергії формування точкових дефектів і вакансійних комплексів при зміні температури зразка. Вивчено просторову самоорганізацію ан- самблю точкових дефектів у -цирконії, опроміненому швидкими ней- тронами за допомогою теорії реакційних швидкостей. Тут враховано еластичні властивості середовища за наявности дефектів та динаміку густини стоків. Розглянуто динаміку системи з однорідним розподілом точкових дефектів і просторово розподілену систему за різних режимів опромінення (шляхом зміни температури опромінення та швидкости дефектоутворення). Встановлено умови реорганізації нерівноважних вакансій, що продукуються внаслідок опромінення, у кластери. Дослі- джено розподіл пружніх полів при самоорганізації вакансійного ансам- блю у чистому цирконії за умови зсувної і циклічної деформації та ви- вчено вплив опромінення на напружено-деформований стан цирконію. This work is devoted to a comprehensive detailed study of a pure zirco- nium with non-equilibrium point defects induced by irradiation within the framework of the multiscale modelling scheme by using quantum- mechanics methods, molecular dynamics, and the Monte-Carlo methods based on the Langevin dynamics. By using ab-initio calculations, the structural, electronic, and energy properties of a pure zirconium with iso- lated vacancies and their clusters are studied. The lattice-parameter change in pure zirconium with different concentrations of isolated va- cancy and different configurations of di- and trivacancies is discussed. The vacancy-formation energy in a pure zirconium is obtained. Stability of small vacancy clusters containing divacancy characterized by different distances between two vacancies as well as trivacancies of different con- figuration is analysed. Distributions of electron density, band structure, and Fermi surface for pure zirconium with isolated vacancy are studied in detail. We calculate the dependence of the Fermi energy of a zirconium crystal, whose unit cell contains a vacancy cluster, on the number of va- cancies in the cluster. Cascade formation, development, and annealing in pure zirconium crystals irradiated in different irradiation conditions are studied within the framework of the molecular-dynamics simulations. Sta- tistical and geometric properties of cascades are examined in detail by varying sample temperature, energy of primary knocked atom, and direc- tion of its motion. A possibility of channelling at cascades’ development resulting in formation of crowdions is shown. A change in statistical properties of the crystal during cascade development and relaxation time of cascades is calculated. Dependence of formation energy of point defects and vacancy clusters on temperature is discussed. Spatial self- organization of an ensemble of point defects in -zirconium irradiated by fast neutrons by using reaction rate theory is studied. In our considera- tion, we take into account elastic properties of the medium due to defects’ presence and sink density dynamics. We consider dynamics of the system with uniform distribution of point defects and spatially extended system at different irradiation regimes (by varying irradiation temperature and dose rate). As found, the point defects’ patterning is accompanied by a formation of vacancy clusters. The distribution of elastic fields with the МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 297 self-organization of a vacancy ensemble in a pure zirconium subjected to shear and cyclic deformation and the impact of irradiation on the mode of deformation of zirconium are studied. В данной работе проводится всестороннее детальное исследование чис- того циркония с неравновесными точечными дефектами, генерируемы- ми облучением, в рамках схемы мультимасштабного моделирования с использованием квантово-механических методов, молекулярной дина- мики и методов Монте-Карло, основанных на ланжевеновской динами- ке. В рамках расчётов из первых принципов исследованы структурные, электронные и энергетические свойства чистого циркония с изолиро- ванными вакансиями и их кластерами. Обсуждается изменение пара- метров решётки в чистом цирконии с различной концентрацией изоли- рованных вакансий и различными конфигурациями ди- и тривакансий. Рассчитана энергия формирования изолированной вакансии в чистом цирконии. Проанализирована стабильность небольших кластеров ва- кансий, содержащих бивакансии, характеризующиеся различными расстояниями между двумя вакансиями, и тривакансии различной конфигурации. Получены распределение электронной плотности, энер- гетический спектр и поверхность Ферми для чистого циркония с изо- лированной вакансией. Установлена зависимость энергии Ферми кри- сталла циркония, элементарная ячейка которого содержит кластер ва- кансий, от количества вакансий в кластере. В рамках использования методов моделирования молекулярной динамики изучаются процессы образования, развития и отжига каскадов повреждений при различных значениях энергии первично выбитого атома, направлениях его движе- ния и температуры в кристаллах чистого циркония. Подробно исследо- ваны статистические и геометрические свойства каскадов. Показана возможность каналирования при развитии каскадов, что приводит к образованию краудионов. Проанализировано изменение статистических свойств кристалла при формировании каскада. Установлено изменение энергии формирования точечных дефектов и вакансионных кластеров при изменении температуры образца. Изучена пространственная само- организация ансамбля точечных дефектов в -цирконии, облучаемом быстрыми нейтронами с помощью теории реакционных скоростей. Здесь учтены эластичные свойства среды при наличии дефектов и ди- намика плотности стоков. Рассмотрена динамика системы с однород- ным распределением точечных дефектов и пространственно распреде- лённая система при различных режимах облучения (путём изменения температуры облучения и скорости дефектообразования). Установлены условия реорганизации неравновесных вакансий, продуцируемых в ре- зультате облучения, в кластеры. Исследовано распределение упругих полей при самоорганизации вакансионного ансамбля в чистом цирко- нии при сдвиговой и циклической деформации и изучено влияние об- лучения на напряжённо-деформированное состояние циркония. Ключові слова: дефекти, енергія формування, електронні властивості, опромінення, каскади, кластери, розрахунки з перших принципів, мо- лекулярна динаміка, теорія реакційних швидкостей. 298 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. Keywords: defects, binding energy, electronic properties, irradiation, cascades, clusters, ab-initio calculations, molecular dynamics, reaction rate theory. Ключевые слова: дефекты, энергия формирования, электронные свой- ства, облучение, каскады, кластеры, расчёты из первых принципов, молекулярная динамика, теория реакционных скоростей. (Отримано 10 серпня 2017 р.) 1. ВСТУП Надійність роботи сучасних атомних електростанцій визначаєть- ся поведінкою конструкційних матеріялів в умовах одночасного впливу потоку випромінювальних частинок, високих температур, статичних та динамічних навантажень [1]. Зростаючі вимоги до безпеки ядерних реакторів разом із створенням нових концепцій передбачають цілеспрямований пошук матеріялів, що є стійкими до радіяційного впливу, та розробку фізично обґрунтованих мо- делів їх поведінки в таких нерівноважних умовах. Відомо, що у металах при опроміненні внаслідок проходження каскадів зітк- нень за рахунок взаємодії частинок високої енергії з атомами ґратниці виникає мікроскопічна (від 1 до 10 нм) область пошко- дження з високою локальною концентрацією точкових дефектів (вакансій та міжвузлових атомів). У результаті виникнення та релаксації каскадних областей пошкодження спостерігаються та- кі явища, як: аморфізація, відпал дефектів, зародження нової фази та вакансійних кластерів, вакансійних петель, дефектів па- кування тощо. Як результат, в матеріялі відбуваються мікро- структурні перетворення, які впливають на його фізико- механічні властивості. З експериментальних і теоретичних дослі- джень чистих металів і стопів, які використовуються в атомній енергетиці, добре відомо, що нерівноважні точкові дефекти, які формуються при опроміненні, можуть взаємодіяти і в процесі са- моорганізації можуть формувати кластери дефектів. Такі класте- ри виникають в результаті перегрупування пересиченого ансамб- лю нерівноважних точкових дефектів [1–6]. Ці дефекти можуть утворювати комплекси дефектів (бі- та тривакансії), комплекси міжвузлових атомів та ін. Під час дифузії вони можуть бути за- хоплені стоками, а саме дислокаціями, межами зерен, порами [7]. Взаємодія точкових дефектів призводить до компенсації вну- трішніх напружень, що виникають при ґенерації точкових дефе- ктів під час постійного впливу опромінення, що створює струк- турний безлад. Комплекси точкових дефектів, що мають шкали довжин порядку кількох параметрів ґратниці, можуть бути роз- поділені в об’ємі як однорідно, коли ймовірність знаходження МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 299 даного комплексу у певній області кристалу не залежить суттєво від його місцезнаходження, так і неоднорідно. В останньому ви- падку можна виділити певні області кристалу, які характеризу- ються підвищеною концентрацією точкових дефектів та їх ком- плексів. Такий неоднорідний розподіл даних комплексів означає, що існують області кристалу, збіднені на точкові дефекти (крис- талічна матриця) та області, збагачені на вакансії/міжвузлові атоми, які утворюють кластери відповідних дефектів. Лінійний розмір цих кластерів менший за дифузійну довжину, тобто кіль- ка нанометрів. Взаємодія цих кластерів може призвести до утво- рення пор та стінок дефектів. Еволюція кластерів дефектів приводить до суттєвих змін мік- роструктури, а також зумовлює перетворення механічних влас- тивостей та корозійних властивостей, що викликані дією опромі- нення. Спостереження щодо дефектного упорядкування в ніклі та міді, що зазнавали пливу йонного опромінення ілюструють ево- люцію періодичних стінок дефектів [8]. Детальне обговорення таких стінок дефектів було надано в роботі [9]. Формування сті- нок кластерів дефектів у полікристалічній та монокристалічній міді та ніклі спостерігалося при середніх температурах та висо- ких дозах опромінення. Було показано, що між цими стінками можуть виникати зони кристалічної фази без дефектів. Кластери точкових дефектів можуть утворювати надґратниці, що повто- рюють структуру ґратниці зразка (матриці) [3–5, 10, 11]. Форму- вання таких об’єктів можливе у двох випадках: невеликі класте- ри можуть виникати якщо два або більше дефектів одного сорту (вакансії або міжвузлові атоми) розташовані на відстанях кіль- кох параметрів ґратниці, де їх аґломерація зменшує пружну ене- ргію кристалу; об’єкти нанометрового розміру (пори та стінки дефектів) можуть утворюватися, якщо концентрація дефектів пе- ревищує певне критичне значення через пересичення точкових дефектів. Спостереження самоорганізації точкових дефектів у кластери, пори та утворення їх надґратниць було опубліковано у значній кількості робіт, присвячених експериментальним та тео- ретичним дослідженням опромінених твердих тіл (див., напри- клад, [1, 2, 12–15] та посилання в них). Описані вище ефекти спостерігаються у більшості чистих металів і стопів, що підда- ються впливу опромінення. Тверде тіло може розглядатись як складна система збуджень, напружень та дефектів, а його фізико-механічні властивості за- лежать від структури кристалічної ґратниці, системи дефектів (вакансій, міжвузлових атомів, дислокацій, пор, мікротріщин тощо) та напружень у ґратниці. Дефекти при взаємодії з криста- лічною ґратницею призводять до виникнення пружніх сил. Зок- рема, вакансія намагається стягнути ґратниці навколо себе (сусі- 300 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. дні атоми зміщуються у напрямку до неї), тобто є відносно силь- ним центром розтягування, а міжвузловий атом, навпаки, ви- кликає розширення ґратниці та є центром стиснення. Лінійні та об’ємні дефекти також породжують навколо себе пружні дефор- мації та напруження. Крім того, всі дефекти зазнають дію на- пружень у твердому тілі та через пружнє поле взаємодіють між собою. В такому разі для встановлення загальних закономірностей зміни структури й фізико-механічних властивостей, прогнозування стійкости матеріялів необхідним є сумісне дослідження еволюції дефектів і полів пружніх напружень і деформацій у матеріялі. Технологічні вимоги до радіяційно-стійких матеріялів, які ви- користовуються в реакторній техніці та сучасних ядерних енер- гетичних установках, потребують розуміння фізичної природи та механізмів самоорганізації точкових дефектів у матеріялах, що піддаються впливу постійного опромінення. Важливо, що дослі- дження механізмів перегрупування точкових дефектів, які при- водять до утворення нано- та мікроструктур, дають можливість визначити ліпші підходи до проєктування радіяційно-стійких матеріялів для ядерних установок. Комбінації експерименталь- них, теоретичних та емпіричних методів надають можливість пов’язати мікроструктуру матеріялу та його механічні й фізичні властивості. Тому фізичне розуміння процесів самоорганізації нано- та мікроструктур у матеріялах, що експлуатуються в уста- новках атомної енергетики, є досить важливим. Відповідні дослі- дження дозволяють зв’язати динамічні нестабільності та еволю- цію самоорганізованої структури дефектів (див. обговорення в роботі [6]). Основні ідеї, що використовуються при вивченні ди- намічних систем, широко використовуються для вивчення ево- люції мікроструктури в матеріялах, що зазнають впливу опромі- нення. Було показано, що процеси формування структур дефек- тів пов’язані з колективною динамічною поведінкою точкових дефектів, які ґенеруються при опроміненні [2]. Матеріяли, що використовуються в реакторній техніці, мають характеризуватися певним комплексом властивостей. Серед них одним із основних є малий переріз захвату теплових нейтронів. Ця характеристика визначає здатність матеріялу затримувати та поглинати нейтрони і, тим самим, запобігати розповсюдженню ланцюгової реакції каскаду зміщень. Найбільш вживаним мате- ріялом для реакторного приладобудування є цирконій. У чистого металевого цирконію переріз захвату теплових нейтронів складає 0,18 барна [16]. У зв’язку з цим цирконій використовується як основний матеріял для виготовлення оболонки паливних елемен- тів (твелів) для реакторів на легкій та важкій воді. Цирконій має гарну корозійну стійкість до високих температур, води та пари високого тиску, характеризується механічною пластичністю, мі- МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 301 цністю при бомбардування нейтронами, нейтронною економією, що дозволяє виключити проблеми хемії води. Цирконій характе- ризується низькою розчинністю таких домішок, як фосфор, кре- мній, вуглець. Тому вивчення стопів на основі цирконію є актуа- льною проблемою в сучасному матеріялознавстві та реакторній техніці. Для вивчення еволюції мікроструктури дефектів в цир- конієвих стопах з різною концентрацією різних типів леґуваль- них елементів при сталій дії опромінення першочерговою зада- чею є детальне всебічне дослідження дефектної мікроструктури в чистому цирконію в рамках використання декількох методів схеми багатомасштабного моделювання. Цей перший крок у ви- вченні еволюції дефектів у чистих матеріялах дозволяє зрозуміти роль головного механізму перебудови точкових дефектів, що су- проводжується утворенням комплексів дефектів та їх аґломераці- єю за рахунок взаємодії між ними. На сьогоднішній день для чистого -цирконій, який характе- ризується гексагональною структурою з щільним пакуванням (ГЩП) певних чітких висновків щодо відносної стійкости різних вакансійних комплексів і кластерів не було зроблено ні з експе- риментів, ні з атомістичного моделювання. Крім того відкритими залишаються питання щодо морфології та властивостей кластерів точкових дефектів у ГЩП-металах. У цій роботі ми представимо основні результати, щодо вивчення дефектної мікроструктури чистого -цирконію, з використанням схеми багатомасштабного моделювання. Спочатку ми розглядаємо структурні та електронні властивості кристалу цирконію з різною концентрацією ізольованих вакансій та вивчаємо енергетичні влас- тивості кристалу з вакансійними комплексами, як то бі- та трива- кансії. Одержані результати обчислюються за допомогою квантово- механічного формалізму (ab-initio-розрахунки). В рамках моделю- вання методами молекулярної динаміки ми досліджуємо динаміку розвитку каскадів у чистому цирконії, змінюючи енергію первинно вибитого атому (ПВА) і температуру. Тут ми проводимо статистич- ну аналізу структурного безладу, породженого процесами зіткнень. В рамках використання теорії швидкісних реакцій та моделювання методами Монте-Карло з використанням Ланжевенової динаміки ми досліджуємо еволюцію концентрації точкових дефектів при ста- лій дії опромінення у чистому -цирконії з утворенням кластерів вакансій. Тут ми окремо розглядаємо два випадки, пов’язані з рів- номірним розподілом точкових дефектів та неоднорідним розподі- лом дефектів, беручи до уваги ґрадієнти їх концентрацій та проана- лізуємо розподіл пружніх полів у опромінюваному цирконії на ста- діях формування кластерів дефектів. Роботу побудовано наступним чином. У розділі 2 представлено огляд існуючих експериментальних та теоретичних досліджень 302 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. щодо процесів формування кластерів точкових дефектів в опро- мінюваному цирконії та цирконієвих стопах та наведемо основні теоретичні методи та підходи, що використовуються для теорети- чного дослідження та числового моделювання процесів утворення структур дефектів в опромінюваних матеріялах. Результати розрахунків з перших принципів представлено у розділі 3. Тут спочатку представлено теоретичні методи, викори- стані при вивченні структурних та електронних властивостей чи- стого кристалу цирконію (підрозділ 3.1). У підрозділі 3.2 пред- ставлено результати розрахунків для чистого -цирконію з різ- ною концентрацією ізольованих вакансій. Результати щодо ви- вчення основних властивостей чистого -цирконію з бі- та трива- кансіями різної конфіґурації представлено у підрозділі 3.3. Розділ 4 присвячено вивченню утворення дефектів у -цирконії в каскадах за допомогою моделювання методами молекулярної ди- наміки. Тут ми спочатку обговорюємо методи, використані в наших процедурах моделювання (підрозділ 4.1). У підрозділі 4.2 ми обго- ворюємо результати моделювання каскадів, де дано статистичний опис їх розвитку. Тут ми розглядаємо вплив енергії первинно виби- того атому, температури опромінення та напрямку ПВА на основні статистичні характеристики каскадів. У підрозділі 4.3 наведено ре- зультати щодо розрахунків енергії формування вакансії та малих кластерів вакансій за різних температур зразка. У розділі 5 представлено результати, щодо динаміки перегру- пування точкових дефектів в чистому -цирконії під час сталої дії опромінення за допомогою теорії швидкісних реакцій. Тут враховується стохастична динаміка ґенерації дефектів та динамі- ка стоків, що дозволяє описати реальну фізичну ситуацію пере- групування точкових дефектів при різних умовах опромінення. В підрозділі 5.1 наведено теоретичні основи таких досліджень. Ди- намічний модель для вивчення еволюції точкових дефектів та їх стоків обговорюється в підрозділі 5.2. Тут подано результати що- до дослідження однорідної системи точкових дефектів. У підроз- ділі 5.3 розглядається динаміка формування кластерів точкових дефектів в просторово-розподіленій системі в рамках числового моделювання. Динаміку пружньої деформації та напруги на ета- пах формування кластерів точкових дефектів, вплив зсувної та циклічної деформацій досліджено в підрозділі 5.4. Основні висновки представлено в останньому розділі 6. 2. РАДІЯЦІЙНО-СТИМУЛЬОВАНЕ УТВОРЕННЯ СТРУКТУР ДЕФЕКТІВ В МАТЕРІЯЛАХ ПІД ВПЛИВОМ СТАЛОЇ ДІЇ ОПРОМІНЕННЯ Стопи на основі цирконію широко використовуються в ядерних МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 303 реакторах як конструкційні матеріяли. Під час експлуатації вони піддаються впливу опромінення швидкими нейтронами. При цьому, в експериментальних дослідженнях для імітації пошко- джень, викликаних нейтронним опроміненням, використовується іонне опромінення. У підрозділі 2.1 ми коротко розглянемо ре- зультати експериментальних та теоретичних досліджень щодо пошкодження при нейтронному опроміненні цирконієвих стопів та вплив опромінення на мікроструктурну еволюцію цирконієвих стопів. У підрозділі 2.2 ми наведемо основні методи теоретичних розрахунків властивостей металічних систем та числового моде- лювання процесів еволюції ансамблю дефектів, що продукуються в наслідок дії опромінення. 2.1. Кластери точкових дефектів в опромінюваних матеріялах Пошкодження при опроміненні це процес, в якому атоми, які вибиваються зі свого положення (вузла кристалічної ґратниці) високоенергетичною частинкою, що налітає, утворюють Френке- леву пару (вакансія  міжвузловий атом) в кристалічній ґратни- ці. Результатом еволюції цих дефектів, їх аґреґації або розчи- нення є створення кластерів дефектів, що спричиняє зміни фізи- чних і механічних властивостей. У якості стоків для точкових дефектів, що ґенеруються при опроміненні, виступають межі зе- рен, міжфазні межі тощо. Одним з типових прикладів кластерів точкових дефектів є дислокаційні петлі. У цирконійових стопах дислокаційні a-петлі, як вакансійні, так і міжвузлові формують- ся при нейтронному опроміненні за низьких доз у призматичній площині гексагональної структури з щільним пакуванням з Бюр- ґерсовим вектором 1/3 1120  b . Дислокаційні c-петлі (вакан- сійні петлі) формуються при перевищенні критичної дози опро- мінення у базальній площині з Бюрґерсовим вектором b  1/2 0001   або 1/6 2023  b . Під впливом нейтронного опромі- нення змінюються фізичні та механічні властивості матеріялів. Дослідження впливу опромінення на властивості цирконію та стопів на його основі набувають все більшої уваги протягом останніх 50 років. На рисунку 1 наведено діяграму в координа- тах температура опромінення–доза опромінення, де зображено умови опромінення в реальних експериментах деяких цирконіє- вих стопів. Експериментальні дослідження радіяційних пошко- джень в цирконії та цирконієвих стопах ілюструють формування c-петель при малих дозах (див. рис. 2, а) та пор a-типу що рос- туть у напрямку, перпендикулярному до базальної площини та b- типу у базальній площині (див. рис. 2, б). Вплив леґувальних домішок на радіяційні пошкодження в ци- рконієвих стопах вивчався в роботі [18] за допомогою високопро- 304 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. відного електронного мікроскопа. Було проведено порівняння ефектів пошкодження при електронному та нейтронному опромі- ненні. Авторами роботи [19] було експериментально досліджено мобільності точкових дефектів в опромінюваному цирконії шля- хом безпосереднього спостереження процесів росту дислокацій та пор. Експериментальне дослідження процесів формування та рос- ту пор в -цирконії, підданому електронному опроміненню, було описано в роботах [20, 21]. З розвитком комп’ютерної техніки дослідження ефектів радія- ційних пошкоджень в опромінюваних матеріялах проводяться в Рис. 1. Умови опромінення деяких цирконієвих стопів. Рисунок задіяно з роботи [17].1 а б Рис. 2. Ілюстрація формування c-петель (а) та пор a-типу й b-типу в опроміненому цирконії (б). Рисунок взято з роботи [18].2 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 305 рамках числового моделювання. В роботі [22] було проведено огляд моделів, методик і технік, придатних для моделювання процесів радіяційних пошкоджень. Авторами робіт [23–25] було досліджено структурні та енергетичні характеристики цирконію та цирконієвих стопів в рамках розрахунків з перших принци- пів. Тут було встановлено енергії формування дефектів, кластерів дефектів, визначено влив домішок в цирконії на структурний пе- рехід. Дослідження процесів формування, дифузії та росту вака- нсійних кластерів, що ґенеруються в каскадах атомових зміщень при опроміненні, було проведено в роботах [26–29] в рамках ви- користання метод молекулярної динаміки. Було показано, що в каскадах з енергією 20 кеВ вакансійні кластери складаються в середньому з 30 вакансій, тоді як міжвузлові кластери містять до 25 атомів. Було встановлено, що частка загальних дефектів, що зберігаються в кластерах, та їх розподіл за розмірами, відрізня- ються для кластерів вакансій та міжвузлів і що ці відмінності залежать від температури. Структура та властивості кластерів міжвузлів та вакансій в цирконії, що містять до 300 дефектів, вивчалися шляхом комп’ютерного атомістичного моделювання в роботах [22, 30]. Дослідження ефекту радіяційного росту цирко- нію вивчалися в роботі [31] за допомогою реакційно-дифузійного моделю, який враховує інтеркаскадну кластеризацію міжвузло- вих атомів та одномірну дифузію їх кластерів. Цей модель засто- совується для вивчення деформації монокристалів цирконію при опроміненні. Встановлено залежність швидкости деформації від дози опромінення, яка пояснюється накопиченням сидячих дис- локаційних петель в процесі опромінення. Формування неоднорідного розподілу вакансійних петель в опромінюваних матеріялах досліджувалося в роботі [32] в рамках динамічного моделю з використанням теорії реакційних швидко- стей при радіяційних пошкодженнях. Тут структури дислокацій асоціюються з динамічними нестійкостями внаслідок конкуренції дифузії дефектів та їх взаємодії. Процеси формування та еволю- ції мікроструктури точкових та лінійних дефектів в опромінених матеріялах аналізувалися в роботі [33], де вплив опромінення на матеріяли описується динамічними рівняннями для двох рухо- мих елементів (вакансії та міжвузлові атоми) та двох основних нерухомих елементів мікроструктури (вакансійні та міжвузлові кластери). Було показано, що при певних умовах опромінення рівномірний розподіл вакансій та міжвузлів стає нестійким і то- чкові дефекти утворюють просторово організовані структури (кластери). Результати числових симуляцій щодо перегрупування точкових дефектів з формуванням їх кластерів в рамках викори- стання теорії швидкісних реакцій наведено в роботах [34–37]. Авторами було запропоновано узагальнений статистичний підхід 306 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. до опису процесів самоорганізації точкових дефектів вакансійно- го типу у кластери та пори в рамках швидкісної теорії, що вра- ховує ґенерацію дефектів пружніми полями та взаємодію дефек- тів. Було досліджено самоорганізацію вакансійних кластерів в опромінених матеріялах в реакторних умовах та при опроміненні на прискорювачах. Використовуючи стохастичний модель, було враховано динаміку точкових дефектів та їх стоків з пружніми взаємодіями вакансій. Динаміка формування вакансійних клас- терів вивчається аналітично та чисельно. Було детально проана- лізовано ріжницю в динаміці при опроміненні в реакторних умо- вах та на прискорювачах, де було показано, що основну роль в процесах самоорганізації вакансій при опроміненні в реакторних умовах, відіграють дифузійні процеси, тоді як при великій шви- дкости набору дози, яка реалізується при опроміненні на приско- рювачах, дифузійні процеси істотно пригнічені. Узагальнення цього підходу було використано в роботі [38] для вивчення сеґре- ґації дефектів на межах зерен та динаміки росту зерен. Було по- казано, збільшення дози опромінення приводить до уповільнення динаміки росту зерна. Процеси росту пор в опромінюваних мате- ріялах досліджувалися в роботах [39–44] теоретично та шляхом числового моделювання. Було показано, що флюктуації швидко- сти дефектоутворення збільшують критичний радіюс пор, які еволюціонують за класичною теорією нуклеації. Було встановле- но, що вакансії, які залишаються в матричній фазі, здатні зорга- нізуватися у збагачені вакансіями кластери через нестабільність, спричинену пружньою деформацією ґратниці, а динаміка росту пор визначається силою їх стоків. Такий підхід, заснований на теорії швидкісних реакцій, було використано й задля досліджен- ня викликаного опроміненням розпаду бінарних систем [45–47]. 2.2. Методи моделювання радіяційних ефектів та еволюції дефектів в опромінюваних матеріялах Одним з перспективних підходів до дослідження радіяційних пошкоджень в опромінюваних матеріялах є багатомасштабне мо- делювання [48]. Такий підхід дозволяє вивчати процеси форму- вання дефектів, їх динаміку, кластеризацію та зміну фізичних та механічних властивостей, обумовлених реорганізацією дефектної структури на різних масштабах часу та довжини. Серед методів, що використовуються в багатомасштабному моделюванні, можна виділити: розрахунки з перших принципів (ab-initio), моделю- вання методами молекулярної динаміки, моделювання методами фазового поля кристалу, моделювання просторової динаміки концентрацій точкових дефектів в рамках теорії швидкісних ре- акцій, моделювання Монте-Карло та розрахунки, засновані на МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 307 методах статистичної механіки. Підхід багатомасштабного моде- лювання дозволяє передбачати та досліджувати поведінку вже експлуатуючих структурних матеріялів. Його може бути викори- стано задля розроблення нових матеріялів, експлуатованих у ек- стремальних нерівноважних умовах. Схему багатомасштабного моделювання подано на рис. 3. Реалізація такої багатомасштабної процедури моделювання є досить амбітною проблемою, яка потребує величезної бази даних параметрів структурних елементів, розробки відповідних обчис- лювальних кодів, що використовують результати обчислень на попередніх ієрархічних рівнях опису, та величезних обчислюва- льних ресурсів. Розглядаючи деякі вузькі проблеми, пов’язані з вивченням особливих аспектів вищезгаданих явищ, в більшості випадків можна використати комбінацію декількох підходів цієї схеми. Наприклад, утворення дефектів та їх динаміку можна ви- вчити шляхом комбінування як мінімум кількох методів, а саме: ab-initio [23-25] та молекулярної динаміки [50, 51] або молекуля- рної динаміки та кінетичного моделювання Монте-Карло [52–54]. Для опису процесів формування структурного безладу при опро- міненні, руху точкових та лінійних дефектів (дислокацій) та пе- Рис. 3. Загальна схема багатомасштабного моделювання матеріялів. Ри- сунок взято з роботи [49].3 308 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. ретворень в мікро- та мезоскопічних масштабах [55–57] можна використовувати деякі гібридні методи, такі як метод фазового поля кристалу [58–61]. Поєднання теорії фазового поля та теорії пружности дозволяє дослідити реорганізацію пружніх напружень при утворенні дефектів у стопах [62–67]. Для дослідження впли- ву рухливих дислокацій на процеси фазового розшарування [68] були застосовані підходи, що поєднують теорію фазового поля та дислокаційну динаміку [69–71]. 2.2.1. Розрахунки з перших принципів Розрахунки структурних, електронних та енергетичних характе- ристик матеріялів з перших принципів, проводяться в рамках теорії функціоналу густини [72, 73] з використанням апроксима- ції узагальненого ґрадієнту [74, 75] та методу лінеаризованих приєднаних пласких хвиль [76]. 2.2.1.1. Теорія функціоналу густини Згідно з наближенням Борна–Оппенгаймера, що використовуєть- ся у більшости розрахунків електронної структури, ядра, які входять до складу розглядуваної системи, вважаються нерухо- мими. Електростатичний потенціял V, що задається цими «неру- хомими» ядрами, є зовнішнім для електронів. Стаціонарний стан електронів визначається за допомогою хвильової функції 1 ( , , ), N r r яка є розв’язком Шрединґерового рівняння:     2 2ˆ ˆ ˆ ˆ , , 2 N N i i i j i i i j H T V U V r U r r E m                            (1) де H — Гамільтоніян електронної підсистеми, N — кількість електронів, U визначає електрон-електронну взаємодію. Як вид- но, основною відмінністю одночастинкової задачі від задачі бага- тьох тіл є наявність доданку, що описує електрон-електронну взаємодію U. Існує велика кількість методів розв’язку багаточас- тинкового Шрединґерового рівняння, які основані на розвиненні хвильової функції з використанням визначника Слеттера [77, 78]. Найпростішим з них є метод Гартрі–Фока, на базі якого роз- винуто ряд сучасних методів [79, 80]. Загальною проблемою для них є значна обчислювальна трудомісткість, через яку область застосування методу Гартрі–Фока та похідних від нього обмеже- на несильно великими системами. Метод теорії функціоналу гус- тини в значній мірі розв’язує проблему розрахунку систем з ве- ликою кількістю частинок, шляхом зведення задачі про систему МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 309 багатьох тіл з потенціялом електрон-електронної взаємодії U до одночастинкової задачі з відсутнім доданком U. Густина частинок n(r), за допомогою якої будується формалізм теорії функціоналу густини, задається виразом:    3 3 3 * 2 3 1 2 1 2 ( ) = , , , , , , . N N N n r N d r d r d r r r r r r r    (2) Хохенберг та Кон показали, що цей вираз може бути обернено: за заданою густиною частинок в основному стані n0(r) можна знайти відповідну хвильову функцію основного стану 0(r1,…,rN). Отже, 0 — єдиний функціонал від n0(r), тобто 0  0(n0), а, відповідно, всі спостережні фізичні величини O також є функціоналами n0:      0 0 0 0 0 .O n n O n   (3) Зокрема, для енергії основного стану можна записати 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ[ ] [ ] [ ] ,E E n n T V U n      (4) де внесок зовнішнього потенціялу 0[n0]\|V\|0[n0] може бути пе- реписано через густину частинок: 3 [ ] ( ) ( ) .V n V r n r d r  (5) Функціонали T[n] та U[n] однакові для всіх систем, а V[n] зале- жить від вигляду розглядуваної системи. Для заданої системи вигляд V відомий, та можна мінімізувати функціонал 3 [ ] [ ] [ ] ( ) ( )E n T n U n V r n r d r    (6) відносно розподілу густини частинок ( )n r , якщо відомі вирази для T[n] та U[n]. В результаті мінімізації одержуємо густину ча- стинок в основному стані n0, а разом з нею всі спостережувані в основному стані величини. Варіяційна задача пошуку мінімуму функціонала енергії E[n] може бути розв’язана за допомогою методу Лагранжових множни- ків [81]. Отже, функціонал енергії може бути записаний як ефекти- вний функціонал густини частинок в одночастинковій системі: [ ] [ ] [ ] , s s s s s E n n T V n    (7) де Ts визначає кінетичну енергію вільної частинки, а Vs — ефек- тивний зовнішній потенціял для електронної підсистеми. Розв’язки рівнянь Кона–Шема [81, 82] для системи, з якої ви- ключено електрон-електронну взаємодію, 310 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. 21 ( ) ( ) ( ). 2 s i i i V r r r             (8) дають орбіталі i, за якими відновлюється електронна густина n(r) вихідної багаточастинкової системи: def 2 ( ) ( ) ( ) . N s i i n r n r r   (9) Ефективний одночастинковий потенціял Vs записується як 2 3( ) [ ( )], \| \| s s XC s e n r V V d r V n r r r      (10) де другий доданок, — (так званий) доданок Гартрі, — задає елек- трон-електронне Кулонове відштовхування, а останній доданок VXC визначається обмінно-кореляційним потенціялом. Тут VXC включає всі багаточастинкові взаємодії. Оскільки доданок Гартрі та доданок VXC залежать від густини n(r), яка залежить від i, що залежить від Vs, розв’язок самоузгоджених рівнянь Кона–Шема може бути одержано за допомогою ітеративної процедури послі- довних наближень. Спочатку, фіксуючи початкове значення для n(r). розраховується відповідний доданок Vs. Потім, для даного Vs розв’язуються рівняння Кона–Шема та визначається значення i. В результаті, використовуючи одержане i визначаємо наступне значення електронної густини n(r). Для визначення форми обмінно-кореляційного потенціялу VXC в роботах [83, 84] було одержано інтерполяційну формулу,   1,222 11,4 ( ) 0,066ln 1 , ( ) XC s s V n r n r n          1/3 3 ( ) , 4 s r n n        (11) яку було перевірено методами Монте-Карло та яка є справедли- вою для будь-якої густини. Відповідна обмінно-кореляційна енер- гія може бути одержана в рамках апроксимації локальної густи- ни (LDA) у наступному вигляді:  ( ) ( ) . LDA XC XC E n r V n r dr  (12) Одним із узагальнень та уточнень апроксимації локальної густи- ни є апроксимація узагальненого ґрадієнту, що враховує неодно- рідність розподілу електронної густини, тобто розклад за ґрадієн- тами. У цьому підході вираз для обмінно-кореляційної енергії розкладається за ступенями ґрадієнту густини. Відповідний роз- клад має наступний вигляд [74, 75]: МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 311  [ ] [ ] ( ) ( ), ( ) , GGA LDA XC XC XC E n E n n r n r n r dr    (13) де для ( ( ),\| ( )\|) XC n r n r  в роботах [74, 75] було одержано відповід- ний апроксимаційний вираз. 2.2.1.2. Метод приєднаних пласких хвиль У даному підрозділі наведемо теоретичні аспекти методу приєд- наних пласких хвиль (ППХ) , який забезпечує мінімальний базо- вий набір для вирішення рівнянь Кона–Шема. В рамках цього методу простір розбивається на дві області: в околі ядер та міжя- дрову область. В області далеко від ядер електрони майже вільні, і вони можуть бути досить добре описані за допомогою пласких хвиль. У безпосередній близькості від ядра, електрони поводять- ся майже так, якби вони перебували у вільному атомі і, отже, вони можуть бути описані за допомогою атомоподібних хвиль. Для цих двох областей простору електронний потенціял V(r) ви- значається наступним чином: ˆ( ) ( ), , ( ) , . LM LM LM i V r Y r r R V V e r R          G r G G r (14) Метод ППХ є так званим методом повного потенціялу, а отже в ньому відсутня апроксимація форми для V(r) в рівнянні (14). Згі- дно з виразу (14), відповідно до ‘muffin-tin’ апроксимації зали- шається лише компонента з L  0 у першому виразі та компонен- та G 0 у другому виразі. У тому ж дусі, хвильова функція кристалу n k у методі приєд- наних пласких хвиль подається у вигляді приєднаних хвиль  k G наступним чином: ( , ), n nc E   k k k G G G r (15) де , ( ) ˆ( , ) ( ), < , ( , ) = 1 , > ; l lm l m lm i A u r E Y r r R E e r R V            k G k G k G r r (16) а ( , ) l u r E є розв’язком радіяльного рівняння для вільного атома: ( , ) ( , ) 0, l l l hu r E Eu r E   (17а) 312 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. 2 2 2 1 ( 1) ( ). l l l h r V r r r r        (17б) В рівнянні (16) коефіцієнти розкладу , lm A k G разом з енергією E є невизначеними параметрами. Для дійсно вільного атома крайові умови для u є такими, що u має згасати з умови r  . Ця умова обмежує значення енергії E, для яких існує розв’язок u(E). Однак, у нашому випадку ця крайова умова не може бути застосована. Замість цього має задо- вольнятися умова того, щоб для кожної сфери радіюса R, пласка хвиля поза сферою відповідає функції всередині сфери над пов- ною поверхнею сфери. Для реалізації цієї вимоги ми використо- вуємо розвинення пласких хвиль за сферичними гармоніками m l Y та Бесселевими функціями l j (тобто частковими хвилями) у наступний спосіб: ( )( )1 4 ˆ(\| \|\| \|) ( ) ( ). ii l l l l m m lm e e i j Y Y r V V       k G rk G r k G r k G (18) Порівнюючи вирази (18) для lm-частини функції всередині сфери при   r R , маємо ( ) , 4 (\| \| ) ( ), ( , ) il l lm l m l i e A j R Y Vu R E          k G r k G k G k G (19) що однозначно визначає коефіцієнти розкладання , lm A k G . Таким чином, єдиним невизначеним параметром лишається енергія E. Оскільки в рівнянні (18) існує нескінченна кількість доданків, то для самоузгодженого опису ми маємо використовувати нескін- ченну кількість коефіцієнтів , lm A k G . З практичної точки зору су- ма в рівнянні (18) обрізується при певному значенні lmax. Для ви- значення точки обрізання будемо діяти наступним чином. Для даного lmax, сферичні гармоніки max ( , ) l m Y   можуть мати не більше 2lmax вузлів вздовж кола сфери . Наприклад, гармоніка 2 22 2 1 15 sin 4 2 l i mY e      має два вузли: 0  та    , тоді як гармоніка 2 1 15 sin cos 8 l i mY e        має чотири вузли. Отже, 2lmax вузлів гармоніки в сфері дає max max 2 /(2 ) /( )l R l R      вузлів на одиницю довжини. Для розви- нення пласкої хвилі поза сферою, яка б відповідала цій функції МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 313 всередині сфери, необхідним є використання пласких хвиль, що характеризуються щонайменше, аналогічним числом вузлів на одиницю довжини. Це означає, що пласка хвиля з найменшим періодом , max 2 G    , повинна мати max max 2 2 / G G    вузлів на одиницю довжини. Обрізання для пласкої хвилі Gmax, та для кутової функції lmax, є якісно однаковими, якщо кількість вузлів в одиницю довжини однакова в обох випадках. Це приво- дить до умови max max max max . G l R G l R        (20) Дана умова уможливлює встановити lmax для фіксованого Gmax та визначає значення параметрів. що мають бути зафіксовані на по- чатку розрахунків, а саме, радіюси muffin-tin сфер R для кож- ного атому, границю обрізання хвильових функцій Gmax та грани- цю обрізання кутових функцій lmax. Слід зазначити, що для того щоб задовольнити умову RGmax  lmax необхідним є встановлення різних значень радіюса ‘muffin-tin’ сфери r для різних іонів α в елементарній комірці, тоді як Gmax та lmax мають бути однакові для всіх йонів. Таким чином, ми одержали ППХ базисні функції та визначили крайові умови їх застосування. Далі, для того щоб адекватно описати власний стан ( ) n k r за допомогою приєднаних пласких хвиль, необхідно встановити значення енергії E в ( ) l u E для ко- жної ППХ, що відповідатиме власному значенню (зонній енергії) n k власного стану ( ) n k r . Однак, n k є величиною, яку необхідно визначити. Ця проблема розв’язується наступним чином. Обира- ється деяке значення для n k , для якого починається процедура розрахунків. Ця величина n k обирається як енергія E для того щоб визначити приєднані пласкі хвилі та потім побудувати Гамільтоні- янову матрицю та матрицю перекриття, оскільки приєднані пласкі хвилі є неортогональними. Це дає секулярне рівняння ˆ ˆ( ) 0,H ES a розв’язок якого порівнюється з обраним значенням . n k Як пра- 314 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. вило, вони є не еквівалентними. У такому разі обирається інше значення для E. Далі знову визначаються ППХ з новим E. Ця процедура повторюється до тих пір поки не буде одержано відпо- відність вхідного та вихідного значень енергії. 2.2.1.3. Метод лінеаризованих приєднаних пласких хвиль Метод приєднаних пласких хвиль є досить повільним оскільки радіяльні функції ( , ) l u r E  будуються при невідомих значеннях енергії nE   k для власного стану. Для того щоб спростити цю процедуру та уникнути невизначености використовується схема лінеаризації. Ця схема пов’язана з розвиненням ( , ) l u r E  у Тей- лорів ряд в околі певного значення енергії E0: 2 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) .l l l E E u r E l u r E u r E u r E E E O E E E               (21) У такому випадку маємо лінеаризовані приєднані пласкі хвилі (ЛППХ) у наступному вигляді:  , , 0 0 ( ) ˆ( , ) ( , ) ( ), < ; ( ) 1 , > . m lm l lm l l lm i A u r E B u r E Y r r R e r R V                   k G k G k G k G r r (22) Згідно з ЛППХ ми маємо два параметри A та B, які мають бу- ти визначені за допомогою крайових умов. Отже, мають місце дві крайові умови, які вимагають щоб функція всередині сфери від- повідала пласкій хвилі як за значенням, так і за кутом нахилу на межі сфери. Використовуючи Релейове розвинення пласких хвиль, як це було зроблено в методі приєднаних пласких хвиль, одержуємо коефіцієнти ,k G lm A  та ,k G lm B  у наступному вигляді:     * * 2 1/2 2 1/2 ˆ4 ( ) ( ) ( ) , ˆ4 ( ) ( ) ( ) . l mn lm l n l l l l l mn lm l n l l l l A R i Y k j n u j n u B R i Y k j n u j n u             k k (23) Далі розглянемо ситуацію, коли ми хочемо описати за допомо- гою лінеаризованих приєднаних пласких хвиль власний стан n k  з переважно p-станом (l  1). У такому разі у розвиненні функції n k у ЛППХ коефіцієнти , 1,l m A   k G є досить великими. Тому, доці- льно вибрати E0 поблизу центру p-зони, тоді величина 2 0 ( )O E E має бути малою, та обрізання в лінійному розвиненні після лі- нійного члену є не поганою апроксимацією. Така процедура може МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 315 бути застосована для будь-якого фізично важливого l-, s-, p-, d-, f-стану та до будь-якого атому. Отже, можна вибрати набір з l E до l  3. З урахуванням цих міркувань лінеаризовані приєднані пласкі хвилі набувають наступної форми:  , , ( ) ˆ( , ) ( , ) ( ), ; ( ) 1 , . m lm l l lm l l l lm i A u r E B u r E Y r R e R V                         k G k G k G k G r r r r (24) Використання цих лінеаризованих приєднаних пласких хвиль уможливлює побудувати та розв’язати секулярне рівняння. Складові l u та l u одержуються при числовому інтеґруванні раді- яльного Шрединґерового рівняння. В альтернативному представленні , , n n     k G k k G k де n визначає індекс зони. Тоді, p n n n c    k k та ,Hc ESc (25) де ( \| \| ) , ( \| ) . nm n m nm n m H H S     k k k k Діягоналізація матриці згідно з рівнянням (25) дає p різних зна- чень зонної енергії для даного k. Отже необхідним є розв’язання секулярного рівняння в першій Бріллюеновій зоні. 2.2.2. Моделювання методами молекулярної динаміки В рамках моделювання процесів, які відбуваються у матеріялах, методами молекулярної динаміки, опис руху частинок здійсню- ється за допомогою основного рівняння руху класичної механіки 2 (ext) 2 ,i i i i i d U m dt     r F r (26) де (ext) i F — вектор рівнодійної усіх зовнішніх сил, які діють на i- й атом; i r — радіюс-вектор i-го атома; mi — маса i-го атома; Ui — потенціяльна енергія i-го атома. При моделюванні методами молекулярної динаміки основною проблемою є вибір або побудова потенціялу міжатомової взаємо- дії. Останнім часом в задачах моделювання кристалічних металів 316 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. для побудови потенціялу взаємодії доволі часто використовується модель зануреного атому (Embedded Atom Model—ЕАМ) [85]. По- тенціял, що одержується в рамках такого методу заснований на експериментальних даних та/або даних розрахунків з перших принципів. Згідно з цим методом повна потенціяльна енергія i-го атому визначається наступним чином: 1 ( ) ( ), 2 i ij ij i j i j U F r                r (27) де ij r — вектор, що з’єднує i-й та j-й атоми; ( ) ij  r — функція парного потенціялу; ( ) ij  r — внесок до густини заряду електро- нів від j-го атома у місці розташування i-го атома; F — функція «занурення», яка представляє енергію, необхідну для поміщення i-го атома в електронну хмару. Оскільки енергія у кристалі передається від атома до атома, то середній час , через який один атом буде обмінюватись енергі- єю з іншим атомом кристалу або термостата, визначатиметься середнім періодом коливань атомів. Зазвичай, при моделюванні методами молекулярної динаміки, величина середнього періоду  коливань атомів у кристалі використовується у якості так званого параметра термостата, який вказує через який інтервал часу досліджувана система буде обмінюватися енергією з термос- татом. Значення  може бути одержане в рамках гармонічного наближення. Як відомо, атоми у вузлах кристалічної ґратниці здійснюють коливання з частотами  від 0 до Дебайової частоти max. Функ- ція розподілу коливань за частотами має вигляд [86]: 2 3 max 9 ( ) , dz N g d       (28) де dz — кількість коливань у кристалі, частота яких лежить в межах від  до   d. Переходячи у формулі (28) від розподілу за частотами  до функції розподілу за періодами  коливань 3 2 3 4 max 2 2 72 ( ) ( ) , , , ( ) N dz g d g d d d dz g d d                         та враховуючи, що загальна кількість пружніх хвиль, створюва- них атомами у кристалі, дорівнює 3N, можемо записати формулу для обчислення середнього періоду коливань атомів: max 3 3 3 maxmax2 / 24 3 3 . D d kT              (29) МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 317 Використовуючи для кристалу чистого α-цирконію експеримен- тальне значення Дебайової температури TD  291 К та її зв’язок з max / D kT  , де , k — Больцманнова та Діракова сталі відпові- дно, за допомогою формули (29) знаходимо середній період коли- вань атомів кристалу, що складає   0,2 пс. Метод молекулярної динаміки широко використовується для моделювання процесів радіяційних пошкоджень в матеріялах. Він кількісно описує дефекти та їх конфіґурації у стані первин- ного пошкодження. 2.2.3. Теорія реакційних швидкостей Протягом останніх десятиліть використання теоретичних підхо- дів, що описують самоорганізацію дефектів, викликаних опромі- ненням, дало розуміння еволюції мікроструктури в опромінених системах, включаючи формування дефектних структур (див. ро- боти [1, 2] та посилання в них). В рамках підходів, заснованих на теорії реакційних швидкостей вдається описати еволюцію концентрації точкових дефектів (вакансій і міжвузлових атомів) та відповідних петель. Ці рівняння об’єднуються в клас моделів реакційно-дифузійних систем для дослідження еволюції різних типів дефектів, які беруть участь у формуванні мікроструктури. В рамках цього підходу враховуються основні елементи динаміки дефектів, а саме, ґенерація точкових дефектів, їх рекомбінація та міґрація на стоки (див., наприклад, [2, 13, 14, 33, 87–91]). 2.2.3.1. Основні механізми утворення/анігіляції точкових дефектів Впродовж дії опромінюючих потоків ґенерація точкових дефектів приводить до формування структурного безладу. Такі дефекти утворюються у процесах зіткнення високоенергетичних частинок з атомами мішені. Швидкість ґенерування дефектів визначається як 0 , FP s a K N    (30) де 1  — ефективність зміщення атомів, FP  — кількість пар Френкеля, s  — переріз розсіювання,  — потік нейтронів, Nα — атомна густина. Існують декілька, так званих, «квазихемічних» реакцій, що задають народження та анігіляцію точкових дефек- тів при їх взаємодії між собою та стоками (дислокаціями, дисло- каційними петлями, порами, границями зерен та преципітата- ми). При цьому безпосереднім чином можуть бути враховані про- цеси формування комплексів дефектів. 318 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. У даному досліджені було розглянуто наступні реакції:  народження вакансій внаслідок вибиття атомів зі своїх положень при зіткненні високоенергетичної частинки з атомами ( )v  ;  народження міжвузлових атомів внаслідок вибиття атомів зі своїх положень при зіткненні високоенергетичної частинки з атомами ( )i  ;  поглинання вакансій стоками ( )v s s  ;  поглинання міжвузлів стоками ( )i s s  ;  рекомбінація вакансій та міжвузлів ( )v i   ;  виробництво стоків при опроміненні ( )s  ;  виникнення потоків дефектів за наявности ґрадієнту концент- рації дефектів (Ji,v). Розглядаючи різні типи стоків, серед них можна виділити на- ступні. Нейтральні — стоки з безпреференційним поглинанням одного типу дефектів у порівнянні з іншим. Швидкість поглинання є добутком коефіцієнта дифузії та ріжниці в концентрації точко- вих дефектів в об’ємі та на поверхні стоків. Типові приклади: пори, межі зерен, некогерентні преципітати. Ненейтральні — стоки з преференційним поглинанням дефек- тів різного сорту. Цей преференс пов’язаний з рухом дефектів для зменшення напружень в околі стоку. Типові приклади: дис- локації, дислокаційні петлі. У подальшому досліджені ефекти безпосереднього формування комплексів точкових дефектів не враховуються. 2.2.3.2. Модель динаміки системи точкових дефектів і їх стоків Із використанням положень швидкісної теорії динаміка концент- рації точкових дефектів задається наступною системою диферен- ційних рівнянь: 0 0 0 0 0 (1 ) , (1 ) ( ) , t i i i i i i v t v v v v v v i v n K DSn nn n K D S n n nn                (31) тут 0 exp( / ) f v a v n N E T  є рівноважною концентрацією вакансій, 2 0 / iv i z D a   — коефіцієнт рекомбінації вакансій та міжвузлів,  — атомовий об’єм, 500 iv z  . Величини i  та v  відповідають ефективностям колапсу каскадів ( ) v i    ; ,v i D — коефіцієнти ди- фузії дефектів. Інтенсивності стоків i iN N iV v iI i iC C S Z Z Z Z        та v vN N vV v vI i vC C S Z Z Z Z        визначаються густиною дисло- каційної сітки N  та інтенсивностями дислокаційних петель , , v i  густиною пор 4 C C C N R   (RC — середній радіюс пори, NC — густи- на числа пор) з преференсом {...} Z , де 1 vN vI vV vC iC Z Z Z Z Z     , 1 iN Z B  , 1 iI iV Z Z B   ; B та B B  задають ексцеси в дисло- МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 319 каційній сітці та дислокаційних петлях ( 0,1B  ). Відповідно до визначення популяції (ймовірности реалізації) точкових дефектів , , / v i v i a c n N записану систему рівнянь можна переписати у вигляді еволюційних рівнянь для cv та ci у припу- щенні про рівнорозподіл цих дефектів у системі: 0 (1 ) , (1 ) ( ) . t i i i i i i v t v v v v v v i v c K DSc c c c K D S c c c c                (32) Тут K  K0/N — швидкість ґенерування дефектів;   0N — коефіцієнт рекомбінації. Рівняння еволюції дислокаційних петель мають вигляд:     0 00 2 ( ) ; 1 [ ( )] . s t i i i iI i v vI v v t v v v i iV i v vV v v v N K D Z c D Z c c b K D Z c D Z c c br                 (33) Тут b — Бюрґерсів вектор \| \|b  b , 0 v r — початковий радіюс петлі, Ns — інтенсивність стоків. Вважається, що всі реакції між дефектами та стоками є однорідними (швидкості реакцій залежать лише від концентрації дефектів, а не від їх локальних збурень ci,v(r)). Густина петель ,i v  задається середнім радіюсом ri,v і густиною числа петель Ni,v: , , , 2 i v i v i v r N   . Середній радіюс rv дорівнює приблизно половині початкового радіюса: 0 /2 1,5 нм v v r r  . Такі лінійні дефекти вва- жаються нерухомими, вони ґенеруються у каскадах та зростають внаслідок поглинання точкових дефектів. У більшості випадків об’ємними об’єктами/стоками є лише пори. Вважається, що пори характеризуються сферичною поверхнею ра- діюса RC. Відповідне динамічне рівняння може бути одержане за- вдяки уведенню у розгляд швидкости розпухання ( / )d V V dt S  , де при фіксованій густині пор NC маємо 2 4 C C C S N R R  . Швидкість розпухання відповідає зміні об’єму внаслідок поглинання вакансій, що задається виразом 4 v C v D R Nc , зміні об’єму внаслідок погли- нання міжвузлів 4 i C i D R Nc  та зміні об’єму при термічній емісії вакансій 4 ( ( ) ( )) e e v C v v D R N c R c    ; де / 0 ( ) R Re s C v C v c R c e рівноважна концентрація вакансій в околі пори радіюса RC; 2 / s R T  ;  — по- верхнева енергія пори, 0 ( ) e v v c c  визначає рівноважну концентра- цію вакансій біля пласкої поверхні. Отже, для радіюса пори, нех- туючи їх дифузією, маємо наступне рівняння   1 ( ( ) ( ) . e t C v v v C v i i C R D c c R c Dc R          (34) Рівняння для відповідних стоків набирає вигляду 320 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін.   2 (4 ) ( ( ) ( ) . eC t C v v v C v i i C N D c c c Dc             (35) Далі припускається, що після нуклеації кількість пор є сталою, тобто const. C N  Таким чином повна система, що описує еволю- цію дефектів задається системою рівнянь (32)–(35). Використовуючи теорію швидкісних реакцій, можна вивчати процеси утворення структур точкових і лінійних дефектів, дослі- джувати стійкість мікроструктури дефектів за різних умов опромі- нення (шляхом зміни швидкости дефектоутворення і температури). 2.2.4. Еволюція полів пружніх напружень Дефекти у кристалі викликають деформацію середовища, яку можна знайти із розв’язку рівняння рівноваги [92, 93]: 2 2 ,i ik k u t x       (36) де ui — компоненти вектора пружніх переміщень u. Компоненти тензору деформацій uik виражаються через пружні переміщення співвідношеннями Коші [12, 92] 1 2 i k ik k i u u u x x          . Вільна енергія пружнього континууму має вигляд [12] 2 2 , 2 2 ik ll ik ll v ll K F u G u u K c u           (37) де /2(1 )G E   — модуль зсуву. Тензор пружніх напружень ik  визначається згідно формули / ik ik F u    і має вигляд 2 . 2 ik ik ll ik ik ll v Ku G u u K c             (38) Підставляючи вирази для компонент тензору пружніх напружень у рівняння рівноваги (36), одержуємо рівняння для вектору пру- жніх переміщень u 2 2 2 2 2 ( ) (div ) ,l v K ñ ñ ñ c t            u u u (39) де МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 321 2 (1 ) (1 2 ) l G c       і G c    — повздовжня та поперечна складові швидкости звуку [92]. Тре- тій доданок правої частини рівняння (39) характеризує концент- раційні напруження, що обумовлюються вакансіями. Рівняння рівноваги (39) використовується для подальшого числового моде- лювання еволюції пружніх полів ґратниці в опромінюваних ма- теріялах у разі відсутности зовнішнього механічного наванта- ження. Для випадку прикладання зовнішньої деформації рівнян- ня рівноваги (36) набуває наступного вигляду [63, 92]: 2 2 02 2 ,i i ik k k u v t x x           (40) де i — компоненти вектора швидкости пружнього поля / t  v u , 0 — зсувна в’язкість. Далі з використанням співвідношень Коші вводяться наступні позначення для деформацій [63]: 1 2 3 div , , , yx yx y x uu e e x y uu e x y u u e x y                   u (41) де e1 — деформація розтягу, e2 — тетрагональна деформація та e3 — деформація зсуву. Тоді вираз для вільної енергії переписуєть- ся у вигляді  2 2 2 1 2 3 1 , 2 2 v K G F e e e K c e     (42) де перший доданок з об’ємним модулем пружности K визначає пружну енергію розтягу, а другий доданок з модулем зсуву G ві- дповідає пружній енергії зсуву. Така стандартна форма вільної енергії пружнього континууму (42) використовується за малих деформацій 2 \| \| 1e  та 3 \| \| 1e  у рамках лінійної теорії пружнос- ти [92]. Узагальнення формули (42) на випадок нелінійної форми пружньої енергії [63], дається виразом:  2 1 2 3 12 2 cos(2 ) cos(2 ) . 2 4 v K G F e e e K c e         (43) Тоді компоненти тензору пружніх напружень ik  мають вигляд 322 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. 1 2 1 2 3 sin(2 )/2 sin(2 )/2 sin(2 )/2 . xx v yy v xy yx Ke G e K c Ke G e K c G e                     (44) У лінійному випадку вирази 2 sin(2 )/2e  та 3 sin(2 )/2e  заміню- ються на e2 та e3, відповідно. Для зручности при числовому моде- люванні еволюції полів пружніх напружень використовуються безрозмірні величини: 1 d u L u   , 1 ik ik G    та 1 0 0v G     . 3. РОЗРАХУНКИ З ПЕРШИХ ПРИНЦИПІВ ОСНОВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦИРКОНІЮ З ВАКАНСІЯМИ У даному розділі проводяться дослідження структурних, елект- ронних та енергетичних властивостей чистого -цирконію з ізо- льованими (поодинокими) вакансіями та їх кластерами в рамках розрахунків з перших принципів. За допомогою оптимізаційної процедури для об’єму елементарної комірки буде встановлено значення параметрів ґратниці у чистому -цирконії з різною концентрацією ізольованих (поодиноких) вакансій; та в чистому -цирконії, що містить дві вакансії, розділені різною відстанню. Буде показано, що збільшення концентрації ізольованих (пооди- ноких) вакансій в чистому -цирконії приводить до зменшення значення параметра ґратниці. Буде встановлено, що при збіль- шенні віддалі між двома вакансіями в чистому -цирконії зале- жність параметра ґратниці від віддалі є немонотонною. Буде ви- значено енергію формування однієї вакансії та енергії формуван- ня двох вакансій, розділених відстанню (бінарний потенціял вза- ємодії вакансій). Буде показано, що зі збільшенням концентрації ізольованих вакансій енергія формування однієї вакансії зростає вказуючи на те, що ізольовані вакансії будуть, як правило, утво- рювати кластери. З аналізи бінарного потенціялу взаємодії двох вакансій і залежности параметра ґратниці чистого -цирконію від відстані між ними буде показано, що дві вакансії відчувають одна одну (взаємодіють) на відстані, що не перевищує значення двох параметрів ґратниці. Буде проаналізовано стабільність ма- лих вакансійних кластерів, а саме, бівакансій і тривакансій, що характеризуються різною конфіґурацією. При вивченні стійкости малих вакансійних кластерів, які містять бі- та тривакансії буде показано, що відповідний вакансійний кластер буде стійким, якщо відстані між вакансіями у кластері на буде перевищувати радіюса першої координаційної сфери (вакансії є найближчими сусідами). Буде розраховано основні характеристики чистого - цирконію з різною концентрацією ізольованих (поодиноких) ва- кансій і буде встановлено залежність енергії Фермі кристалу ци- МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 323 рконію з вакансійним кластером, від кількости вакансій у ньому. 3.1. Теоретичні основи та методи розрахунків з перших принципів Відомо, що чистий -цирконій характеризується гексагональною ґратницею з щільним пакуванням (ГЩП) із двома параметрами ґратниці: параметром a в x та y напрямках, та параметром c в z напрямку, зі структурним співвідношенням / 1c a  . Крім того, кристал цирконію характеризується зміщеними одна відносно іншої двома площинами A та B, й в z напрямку кристал цирко- нію має структуру ABABABAB . Кристал -цирконію характе- ризується двома групами атомів, що є найближчими сусідами до фіксованого атома та належать до першої координаційної сфери: шість атомів знаходяться у тій самій площині (нехай, наприклад, у площині A) на відстані d2  a від фіксованого атома, та шість атомів знаходяться в площинах B (три зверху та три знизу відно- сно площини A) на віддалі 2 2 1 3 4 a c d   від фіксованого атому. Параметри ґратниці для чистого -цирконію мають значення 3,232a  Å та 5,147c  Å, що для структурного співвідношення дає ( / ) 1,5925 Zr c a  , а отже маємо 1 2 < .d d Для одержання оптимальних значень параметрів ґратниці у роз- рахунках з перших принципів використовується оптимізаційна процедура. Основна ідея цієї процедури для ГЩП-матеріялів ле- жить в мінімізації повної енергії кристалу при варіяції об’єму еле- ментарної комірки та структурного співвідношення c/a. Згідно з оптимізаційною процедурою для кожної з досліджуваних структур спочатку фіксувалося значення c/a та проводився повний цикл ро- зрахунків при зміні об’єму елементарної комірки Vuc. У результаті одержується залежність повної енергії кристалу Etot(Vuc) з даним значенням c/a та визначається мінімальне значення енергії min tot / \| c a E . Далі змінюється значення структурного співвідношення та повто- рюється цикл розрахунків. В результаті одержується залежність min tot ( / )E c a з якого визначається оптимальне значення (c/a)opt, що ві- дповідає мінімуму залежности min tot ( / )E c a . Фіксуючи c/a  (c/a)opt одержується залежність tot uc / ( )\| c a E V , з якої одержується глобальний мінімум повної енергії кристалу, що й визначає оптимальний об’єм елементарної комірки при оптимальному значенні структурного співвідношення. Стандартна формули для елементарної комірки ГЩП-матеріялів 3 ( / ) sin(2 /3) Zr V c a a  дозволяє одержати опти- мальні значення параметра ґратниці для елементарної комірки чи- стого -цирконію, що містить різну кількість ізольованих вакансій 324 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. та малі вакансійні кластери різної конфіґурації. Всі розрахунки щодо структурних, електронних та енергетич- них властивостей модельних кристалів проводились з викорис- танням пакету програм Wien2k [94, 95] в рамках теорії функціо- налу густини [72, 73] з використанням апроксимації узагальне- ного ґрадієнту [74, 75] та методу лінеаризованих приєднаних пласких хвиль [76]. Цей метод самоузгодженим чином включає базові та валентні електрони та широко використовується при розрахунках зонної структури твердих тіл. При проведенні роз- рахунків радіюси ‘muffin-tin’ сфер (RMT) для атомів цирконію були зафіксовані величиною 2,5 атомових одиниць. Базові функ- ції розкладалися до max 7. MT R k  Розвинення хвильових функцій всередині сфери проводилося до lmax  10. Інтеґрування по першій Бріллюеновій зоні проводилося з використанням 1000 k-точок, чого достатньо для розрахунків металевих структур. Ітеративна процедури зупинялася, якщо похибка у значенні повної енергії кристалу складала менше ніж 0,0001 Ryd. Всі розрахунки прово- дилися з використанням апроксимації узагальненого ґрадієнту з параметризацією (PBE) [96]. 3.2. Чистий цирконій з різною концентрацією ізольованих вакансій У даному підрозділі ми будемо проводити розрахунки з перших принципів чистого -цирконію з різною концентрацією ізольова- них (поодиноких) вакансій з використанням періодичної надко- мірки, що включає одну вакансію та різну кількість атомів цир- конію. При дослідженні основних структурних, електронних та енергетичних властивостей чистого -цирконію з ізольованими вакансіями, їх концентрація буде змінюватись в інтервалі 2– 6,25%. Отже, мінімальне значення 2% означає, що елементарна комірка містить 49 атомів цирконію та одну вакансію. Максима- льне значення концентрації ізольованих вакансій 6,25% відпові- дає елементарній комірці, що містить 15 атомів цирконію та од- ну вакансію. Ми будемо розглядати п’ять різних елементарних комірок, що містять одну вакансію та 15, 17, 31, 35 та 49 атомів всередині. На рисунку 4, а–в наведено структури гексагональної елемен- тарної комірки з щільним пакуванням чистого -цирконію з од- нією вакансією та 15, 35 та 49 атомами цирконію всередині, від- повідно. Ці п’ять різних елементарних комірок будуть далі досліджува- тись з метою встановлення оптимальних значень параметрів ґра- тниці. Далі ми представимо результати зміни значень параметрів ґратниці у чистому -цирконії при зміні концентрації ізольова- них вакансій та проаналізуємо основні електронні та енергетичні МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 325 властивості цих структур. При проведенні розрахунків структурних, електронних та ене- ргетичних властивостей чистого -цирконію з різною концентра- цією ізольованих (поодиноких) вакансій та чистого -цирконію, що містить малі вакансійні кластери будемо вважати, що струк- турне співвідношення c/a для кристалу цирконію з гексагональ- ною структурою з щільним пакуванням суттєво не змінюється при включенні невеликої кількости вакансій. У такому разі бу- демо розглядати випадок, коли структурне співвідношення c/a є константою. Далі при проведенні всіх квантово-механічних роз- рахунків чистого -цирконію з вакансіями для структурного співвідношення будемо використовувати значення (c/a)Zr. 3.2.1. Зміна параметрів ґратниці Спочатку визначимо оптимальні значення параметрів ґратниці чистого -цирконію з різною концентрацією ізольованих (пооди- а б в Рис. 4. Структури гексагональної елементарної комірки з щільним па- куванням чистого -цирконію з однією вакансією та (а) 15, (б) 35 і (в) 49 атомами цирконію всередині.4 326 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. ноких) вакансій в рамках використання оптимізаційної процеду- ри. Залежність параметра ґратниці цирконію від концентрації вакансій наведено на рис. 5. Тут для випадку нульової концент- рації вакансій використано значення параметра ґратниці для чи- стого  -цирконію. При проведенні оптимізаційної процедури для одержання оп- тимальних значень параметрів ґратниці чистого цирконію з різ- ним вмістом поодиноких вакансій та з малими вакансійними кластерами структурне співвідношення буде зафіксовано значен- ням для чистого цирконію, (c/a)Zr  1,5925, для всіх типів дослі- джуваних структур. При цьому варто відзначити, що в реальних експериментах може спостерігатися невелике відхилення від цьо- го значення. Таким чином, одержані в даній роботі теоретичні результати щодо оптимальних значень параметрів ґратниці мо- жуть дещо відрізнятися від одержаних в експерименті. На рису- нку 5 та надалі результати представлено з урахуванням вказаної похибки обчислень шляхом використання інтервалів можливої похибки. З рисунка 5 видно, що збільшення концентрації ізольо- ваних вакансій в кристалі цирконію приводить до зменшення оп- тимального значення параметра ґратниці a. Така залежність є Рис. 5. Залежність оптимального значення параметра ґратниці a від кон- центрації ізольованих вакансій в чистому -цирконії.5 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 327 очікуваною, оскільки при збільшенні кількости вакансій в крис- талі атоми цирконію починають перегруповуватись внаслідок електронної взаємодії, що приводить до зменшення відстані між атомами. 3.2.2. Основні характеристики цирконію з ізольованою вакансією У даному підрозділі розглянемо основні властивості кристалу - цирконію, елементарна комірка якого містить 35 атомів та одну вакансію в базальній площині. Для проведення розрахунків щодо розподілу електронної густини, густини станів, енергетичного спектру та поверхні Фермі ми використали попередньо розрахо- вані оптимальні значення параметрів ґратниці. На рисунку 6 на- ведено результати розрахунків розподілу електронної густини для ідеального кристалу цирконію та кристалу з однією вакансі- єю на 36 атомів. З рисунку 6, а для ідеального -цирконію видно, що електрон- на густина розподілена навколо атомів цирконію й цей розподіл повторює трикутну симетрію ГЩП-ґратниці. З результатів роз- рахунків розподілу електронної густини для структури з однією вакансією (рис. 6, б) випливає, що електронна густина поблизу вакансії дещо витягується в напрямку сусідніх атомів по ґратни- ці, тоді як розподіл електронної густини атомів, що у якості най- ближчих сусідів мають лише атоми цирконію, залишається си- метричною. Було розраховано густини станів для структури цирконію з однією вакансією на 36 атомів. Одержані результати щодо розпо- ділу густини станів було використано для розрахунків енергети- чного спектру (зонної структури). Відомо, що залежність густини станів, — інтеґралу по першій Бріллюеновій зоні, — знаходиться у відповідности із залежністю власних значень всіх k-векторів вздовж шляху по першій Бріллюеновій зоні — енергетичного спектру. Отже, наявність піків на залежности густини станів означає, що декілька k-векторів мають однакові власні значення — криві на залежности зонної структури (енергетичного спектру) перетинаються, або мають ідентичні значення за енергією. При дослідженні енергетичних спектрів було враховано, що дослі- джувана структура цирконію з однією вакансією має гексагона- льну симетрію. Схематичне зображення оберненої ґратниці для ГЩП-структури, на якому стрілками наведено напрямок обходу відповідних k-точок, представлено на рис. 7, а. На рисунку 7, б наведено енергетичний спектр чистого -цирконію, елементарна комірка якого містить 35 атомів та одну вакансію. Тут енергію відраховано від енергії Фермі, що становить приблизно 8,368 еВ; результати представлено в інтервалі від –1 до 1 від рівня енергії 328 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. Фермі. Кількість енергетичних кривих визначається кількістю нееквівалентних атомів в структурі елементарної комірки. При цьому, поверхня Фермі визначається кількістю енергетичних кривих, що перетинають рівень Фермі. Слід зазначити, що лише ці криві визначають структуру пове- рхні Фермі, яка є абстрактною межею у оберненому просторі, та використовується для прогнозування термічних, електричних, магнітних та оптичних властивості металів, напівметалів і леґо- ваних напівпровідників. Форма поверхні Фермі визначається пе- ріодичністю та симетрією кристалічної ґратниці та заселеністю енергетичних зон. Існування поверхні Фермі є прямим наслідком принципу Паулі, який дозволяє максимум один електрон на ква- нтовий стан. На рисунку 7, в представлено вигляд поверхні Фер- мі для чистого -цирконію, елементарна комірка якого містить 35 атомів та одну вакансію. а б Рис. 6. Розподіл електронної густини для: (а) чистого -цирконію без вакансій та (б) чистого -цирконію з елементарною коміркою, що міс- тить 35 атомів та одну вакансію.6 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 329 3.3. Чистий цирконій з малими вакансійними кластерами У даному підрозділі в рамках розрахунків з перших принципів будуть проведені квантово-механічні розрахунки для встановлен- а б в Рис. 7. Схематичне зображення оберненої ґратниці для ГЩП-структури та напрямок обходу відповідних k-точок (а); енергетичний спектр (б) та вигляд поверхні Фермі (в) для чистого -цирконію з елементарною ко- міркою, яка містить 35 атомів та одну вакансію.7 330 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. ня структурних та енергетичних характеристик чистого - цирконію з двома вакансіями, розділеними певною відстанню, бівакансіями та тривакансіями різної конфіґурації. 3.3.1. Параметри ґратниці та енергія формування вакансій При дослідженні основних структурних та енергетичних власти- востей чистого цирконію з малими вакансій ними кластерами (бівакансія та тривакансія) нами було обрано елементарну комір- ку, що складається з 66 атомових позицій та вміщує 36 атомів цирконію. Для встановлення оптимальних значень параметрів ґратниці чистого цирконію, елементарна комірка якого містить дві вакансії, на різних відстанях було використано оптимізаційну процедуру шляхом мінімізації повної енергії кристалу при варі- юванні об’єму елементарної комірки. Нами було досліджено шість конфіґурацій розташування однієї вакансій відносно зафік- сованої, що схематично наведено на рис. 8, а. Тут, вакансія v0 є фіксованою, а v1, ..., v6 визначають положення найближчих вака- нсій до фіксованої. Відстань між вакансіями v0 та v1 дорівнює 2 2 1 3 4 a c d   ; між вакансіями v0 і v2 дорівнює d2  a; між вакансіями v0 і v3 — 2 2 3 4 3 4 a c d   ; між вакансіями v0 та v4 — d4  c; між вакансіями v0 і v5 й нареш- ті v0 і v6 дорівнює відповідно 5 3,d a 2 2 6 .d a c  Таким чином, з використанням значення структурного співвід- ношення для чистого цирконію маємо: 1 2 3 4 5 6 < < < < <d d d d d d . Результати розрахунків оптимального значення параметра ґрат- ниці чистого цирконію, що містить дві вакансії, від відстані між ними, наведено на рис. 8, б. З рисунка видно, що варіювання відстані між двома вакансія- ми не сильно впливає на значення параметра ґратниці. При цьо- му залежність параметра ґратниці від відстані між двома вакан- сіями має немонотонний характер. Так, збільшення відстані від d1 до d3 приводить до зменшення параметра ґратниці; далі з рос- том відстані до d4 параметер ґратниці дещо збільшується. Цей ефект пояснюється структурними властивостями гексагональної МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 331 ґратниці з щільним пакуванням. Подальше збільшення відстані між двома вакансіями не впли- ває на параметер ґратниці, і він набуває сталого значення. Це означає, що дві вакансії (взаємодіють одна з одною на відстанях, що не перевищує подвійного значення параметра ґратниці. Далі визначимо енергії формування малих кластерів вакансій, що містить бівакансії з різною відстанню між двома вакансіями а б Рис. 8. Схематичне представлення фраґменту структури цирконію, яка містить дві вакансії, розділені різними відстанями (а). Залежність оп- тимального значення параметра ґратниці чистого цирконію, що містить дві вакансії, від відстані між ними (б).8 332 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. та тривакансії різної конфіґурації в чистому цирконії. Шляхом порівнянні одержаних енергій формування з подвійним (для бі- вакансії) та потрійним (для тривакансії) значенням енергії фор- мування однієї вакансії в чистому цирконії буде встановлено стійкість відповідних малих вакансійних кластерів. Для цього спочатку обчислимо енергію формування ізольованої вакансії в чистому цирконії та проведемо порівняння одержаних результатів з відповідними відомими, одержаними іншими авто- рами результатами, з використанням різних методик розрахун- ків. Для розрахунку енергії формування однієї вакансії в чисто- му цирконії f v E визначалося значення повної енергії кристалу, що містить N  1 атом цирконію та одну вакансію всередині еле- ментарної комірки та повну енергію кристалу з N атомами цир- конію всередині елементарної комірки. Ріжниця цих енергій дає значення енергії формування однієї вакансії в елементарній ко- мірці, що містить N атомів цирконію. Спочатку нами було роз- раховано енергію формування однієї вакансії f v E в чистому цир- конії, який містить різну кількість атомів всередині елементар- ної комірки. Це відповідає енергії формування ізольованих вака- нсій з різною концентрацією. Одержані результати показують, що збільшення концентрації ізольованих вакансій в чистому ци- рконії призводить до збільшення величини енергії формування однієї вакансії f v E . Це означає, що структура цирконію з вели- кою концентрацією розділених ізольованих вакансій буде нестій- кою, і ці відокремлені вакансії будуть, як правило, утворювати кластери. Цей ефект було перевірено й підтверджено моделюван- ням методами молекулярної динаміки для чистого цирконію з великою концентрацією ізольованих вакансій [97], де було пока- зано, що нагрівання досліджуваного зразка приводить до руху ізольованих вакансій, формування кластерів вакансій і їх рест- руктуризації в дислокації. З проведених розрахунків енергія формування однієї вакансії в чистому цирконії має значення 2,11 f v E  еВ. У таблиці 1 наведе- но порівняння одержаного значення енергії формування однієї вакансії в цирконії з відомими даними, одержаними з розрахун- ків з перших принципів за допомогою пакету програм Quantum ТАБЛИЦЯ 1. Енергія формування однієї вакансії в чистому цирконії.9 Розрахунковий метод , f v E еВ З перших принципів у даній роботі 2,11 З перших принципів [23] 2,07 З перших принципів [24] 2,14 Молекулярна динаміка [50] 2,26 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 333 Espresso [23], пакету програм Siesta [24] та результатами моде- лювання методами молекулярної динаміки з використанням ме- тоду зануреного атому [50]. Видно, що одержане нами значення для енергії формування однієї вакансії в чистому цирконії добре узгоджується з відомими результатами теоретичних досліджень. Для встановлення бінарного потенціялу взаємодії двох вакан- сій, розділених відстанню, було використано елементарну комір- ку, що містить дві вакансії та 34 атоми Zr всередині. Розрахунки проводились наступним чином. Спочатку визначалась повна ене- ргія, що приходиться на один атом цирконію в ідеально чистому цирконії без вакансій. Потім визначалася повна енергія елемен- тарної комірки кристалу цирконію що містить 34 атоми цирко- нію та дві вакансії, розділені відстанню r. Далі знаходилась ене- ргія формування двох вакансій, як ріжниця повної енергії, що приходиться на елементарну комірку з вакансіями та енергії, що приходиться на відповідну кількість атомів цирконію в ідеальній елементарній комірці. Результати розрахунків подано на рис. 9. Тут горизонтальна штрихова лінія відповідає енергетичному рів- ню подвійної енергії Формування однієї вакансії в чистому - цирконії. Цей енергетичний рівень відповідає енергії формуван- ням двох вакансій, розділених великою відстанню (дві ізольовані вакансії). З одержаних результатів випливає, що при збільшенні Рис. 9. Залежність необхідної для утворення двох вакансій енергії від відстані між ними.10 334 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. відстані між двома вакансіями енергія їх формування збільшу- ється, доки відстань між вакансіями стає рівною більшому пара- метра ґратниці c. Тут енергія формування приймає максимальне значення. Далі, збільшення відстані між двома вакансіями приз- водить до зменшення значення енергії формування двох вакансій до рівня подвійної енергії формування ізольованої вакансії (штрихова лінія). Така спадаюча залежність енергії формування двох вакансій зі зростанням відстані означає, що зв’язок між ва- кансіями стає низьким, і якщо відстань між ними стає більше, ніж вісім ангстремів, то ці вакансії перестають відчувати одна одну, і енергія формування двох вакансій стає рівною подвійному значенню енергії формування одної вакансії. Отже, такі вакансії можна класифікувати як ізольовані. 3.3.2. Стійкість малих вакансійних кластерів Проведемо аналізу стійкости малих вакансійних кластерів (біва- кансій та тривакансій) в чистому цирконії. Слід зазначити, що в структурі цирконію з щільним пакуванням існує чотири типи бівакансій, які характеризуються різними відстанями між двома вакансіями, але не більше, ніж більше ніж значення параметра ґратниці c. Таким чином, ми будемо досліджувати чотири типи бівакансій в елементарній комірці чистого цирконію з 66-ма ато- мовими позиціями, що характеризуються відстанями d1, d2, d3 та d4. Розраховані значення енергій формування чотирьох типів бі- вакансій, що характеризуються різною відстанню між двома ва- кансіями, наведено на рис. 10. Проведені квантово-механічні ро- зрахунки показують, що зі збільшенням відстані між двома ва- кансіями, що утворюють бівакансію в чистому цирконії, енергія формування відповідного вакансійного кластеру збільшується. Суцільною горизонтальною кривою на рисунку позначено по- двійне значення одержаної вище енергії формування ізольованої вакансії в чистому цирконії, що відповідає енергії формування двох не взаємодіючих вакансій. Таким чином, порівнюючи роз- раховані значення енергії формування відповідної бівакансії та подвійного значення енергії формування однієї вакансії можна встановити стійкість відповідної бівакансії. З одержаних резуль- татів випливає, що енергія формування бівакансій, що характе- ризуються відстанню між двома вакансіями, яка не перевищує радіюса першої координаційної сфери, є меншою за подвійне значення енергії формування однієї вакансії. Отже, ці дві бівака- нсії будуть стійкими. При чому, з більшою імовірністю в чистому цирконії будуть формуватися бівакансії з найменшою відстанню між двома вакансіями, що дорівнює d1. Бівакансії, що характе- ризуються відстанями між двома вакансіями, які перевищують МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 335 значення радіюса першої координаційної сфери в чистому цир- конії є нестійкими порівняно з двома ізольованими вакансіями, оскільки енергія формування відповідної бівакансії перевищує подвійне значення енергії формування однієї вакансії. При проведенні розрахунків щодо енергії формування трива- кансії в чистому цирконії та задля встановлення стійкости відпо- відних вакансійних кластерів нами було розглянуто чотири типи тривакансій різної конфіґурації, а саме, C1, C2, C3 і C4, що ха- рактеризуються різними відстанями між кожними двома вакан- сіями d12, d23, d13 в тривакансії. Так, конфіґурація C1 складаєть- ся з трьох вакансій, що лежать в базальній площині та характе- ризуються відстанями між вакансіями d12  d23  a, 13 3d a . Наступна конфіґурація C2 складається з трьох вакансій, що ле- жать у призматичній площині та характеризуються відстанями між вакансіями d12  a, 2 2 23 , 3 4 a c d   2 2 13 4 . 3 4 a c d   Конфіґурація тривакансії C3 складається з трьох вакансій у база- льній площині й характеризуються відстанями d12  d23  d13  a. Остання з досліджуваних конфіґурацій тривакансії C4 складаєть- ся з трьох вакансій у призматичній площині, які характеризу- Рис. 10. Енергії формування чотирьох типів бівакансій, що характери- зуються різною відстанню між двома вакансіями.11 336 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. ються відстанями між вакансіями d12  a, 2 2 23 13 3 4 a c d d   . Ці чотири типи тривакансій схематично подано на рис. 11, а. Для розрахунку енергії формування відповідної конфіґурації тривакансії ми діяли наступним чином. Визначалося значення повної енергії структури чистого цирконію з відповідною трива- кансією в рамках використання оптимізаційної процедури. Енер- а б Рис. 11. Схематичне представлення 4-х типів тривакансій в чистому - цирконії (а). Енергія формування 4-х конфіґурацій тривакансій (б). 12 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 337 гія формування відповідної тривакансії визначалося як ріжниця повної енергії кристалу цирконію, елементарна комірка якого містить 36 атомів цирконію та розрахованої повної енергії крис- талу цирконію, елементарна комірка якого містить 33 атоми ци- рконію та відповідну тривакансію. Розраховані значення енергій формування чотирьох конфіґурацій тривакансій наведено на рис. 11, б. Тут суцільною горизонтальною прямою вказане потрійне значення енергії формування однієї вакансії, що відповідає енер- гії формування трьох ізольованих (невзаємодійних) вакансій в чистому цирконії. З одержаних результатів випливає, що енергетично більш ви- гідним буде формування тривакансії конфіґурації C4, тоді як конфіґурація C1 буде формуватися з меншою ймовірністю. Порі- внюючи одержані значення енергії формування відповідної три- вакансії з потрійним значенням розрахованої вище енергії фор- мування одиничної вакансії маємо, що конфіґурації тривакансій C3 та C4 будуть стійкими, оскільки відповідна енергія форму- вання є меншою за потрійне значення енергії формування одини- чної вакансії. Натомість тривакансії конфіґурацій C1 та C2 є не- стійкими порівняно із трьома ізольованими вакансіями. Цей ре- зультат може бути пояснено у той самий спосіб, як і для бівакан- сій: у випадку, коли всі тривакансії, що формують відповідний вакансійний кластер є першими найближчими сусідами по ґрат- ці, дана тривакансія буде стійкою. Всі інші тривакансії, в яких вакансії розділені відстанню, що перевищує значення радіюса першої координаційної сфери, будуть нестійкими. У досліджува- них конфіґураціях тривакансій C3 та C4 кожна вакансія харак- теризується двома вакансіями, що є найближчими сусідами. Тоді як у конфіґураціях C1 та C2 лише одна з трьох вакансій має дві вакансії, як найближчі сусіди. Отже, ці тривакансії будуть роз- падатися на бівакансію та ізольовану вакансію, або три ізольова- ні вакансії. Проведемо детальну аналізу стійкости цих двох конфіґурацій. Спочатку розглянемо стійкість конфіґурації C1. Ця конфіґура- ція характеризується двома різними відстанями між вакансіями, d2 та d5, де d2  d5. Як було показано вище, бівакансія з відстан- ню між вакансіями d5 є нестійкою, порівняно з двома ізольова- ними вакансіями. Таким чином, тривакансія конфіґурації C1 бу- де розпадатися на енергетично більш вигідну конфіґурацію, що характеризується стійкою бівакансією з відстанню між двома ва- кансіями d2 й одну ізольовану вакансію. Далі розглянемо стійкість конфіґурації тривакансії C2. Вона характеризується трьома різними відстанями між вакансіями, d1, d2, d3, де d1 < d2 < d3, а d3 є більшим аніж радіюс першої коорди- наційної сфери. Оскільки бівакансія з відстанню між двома ва- 338 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. кансіями d1 є енергетично більш вигідною ніж бівакансія з відс- танню між вакансіями d2, то можна очікувати, що тривакансія конфіґурації C2 буде розпадатися на конфіґурацію, що характе- ризується бівакансією з відстанню між вакансіями d1 та одну ізольовану вакансію. Наприкінці розділу проаналізуємо залежність енергії Фермі кристалу цирконію, що містить вакансійний кластер, від кілько- сти вакансій у ньому. Відповідну залежність представлено на рис. 12, з якого видно, що збільшення кількости вакансій у кла- стері приводить до зменшення значення енергії Фермі кристалу. Цей результат добре узгоджується з відомим теоретичним виразом, що пов’язує кількість електронів в системі з енергією Фермі: 3/2 3/2 3 16 2 F N m E  , де m — маса електрона,  — стала Планка. Відповідно до цього виразу зменшення кількости електронів, що еквівалентно збіль- шенню кількости вакансій в системі приводить до зменшення значення енергії Фермі. Рис. 12. Залежність енергії Фермі кристалу цирконію, що містить вака- нсійний кластер, від кількости вакансій у кластері.13 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 339 4. КАСКАДИ АТОМОВИХ ЗМІЩЕНЬ У ЦИРКОНІЇ ПРИ ОПРОМІНЕННІ: МОДЕЛЮВАННЯ МЕТОДАМИ МОЛЕКУЛЯРНОЇ ДИНАМКИ У даному розділі ми зосереджуємо нашу увагу на вивченні пове- дінки мікроструктури дефектів в чистому цирконії. Мета полягає у вивченні динаміки розвитку каскаду в кристалах, що опромі- нюються при різних температурах та енергіях первинно вибитого атому (ПВА) з різними напрямками його руху. У нашому дослі- дженні ми використовуємо метод моделювання молекулярної ди- наміки, де методика вбудованого атома використовується для опису поведінки дефектної мікроструктури в реальній металевій системі, а саме чистому кристалі цирконію. Нами буде дослідже- но кількість дефектів у каскадах та зміну геометричних власти- востей каскаду при різних умовах опромінення. Також приділя- ється увага вивченню зміни статистичних властивостей опромі- нюваних кристалів. Буде проаналізовано енергетичні характерис- тики дефектів, що залишилися після закінчення каскаду. Буде детально проаналізовано початкові стадії формування ка- скадів. Буде показано, що коли кінетична енергія атомів є досить великою, спостерігаються процеси каналювання, які приводять до виникнення каскадних зміщень атомів у віддалених одна від одної областях кристалу. Буде встановлено характерну довжину каналювання. Буде досліджено умови формування краудіонів, які рухаються від центра каскаду у незбурену частину кристалу. Буде досліджено процес взаємодії точкових дефектів при різних температурах кристалу. та проаналізовано основні геометричні та статистичні властивості каскаду. Буде вивчено залежність об’єму каскаду і кількість атомів, які його формують, від початкового напрямку руху ПВА. Буде проаналізовано стабільність дефектів, та їх кластерів, які утворюються у процесі проходження каскаду. Буде розраховано енергії формування точкових дефектів та ком- плексів вакансій при різних температурах кристалу. 4.1. Методи дослідження структурного безладу в -цирконії за допомогою молекулярної динаміки Всі розрахунки щодо моделювання процесів, які відбуваються у чистому цирконії під дією радіяційного опромінення, проводи- лися за допомогою міжатомового потенціялу #3, який було опу- бліковано в роботі [50] і одержано на основі методу зануреного атома [85] з використанням програмного пакету LAMMPS [98]. Вибір міжатомового потенціялу взаємодії під номером #3 для наших досліджень зумовлено тим, що саме він дає найкращі ре- зультати у порівнянні з експериментом для параметрів кристалі- 340 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. чної ґратниці та енергії утворення дефектів, що є важливим при вивченні каскадних зміщень атомів у кристалах під дією радія- ційного опромінення. Успішність моделювання будь-якого фізичного процесу зале- жить від багатьох факторів: потенціялів взаємодії частинок систе- ми між собою, проміжку часу, який вибирається в якості кроку, кі- лькости кроків, початкових умов тощо. Тому першочерговою зада- чею є приготування зразків для досліджень. У таблиці 2 подано па- раметри, які використовувались нами для моделювання каскадних зміщень атомів та дослідження еволюції дефектної структури у кристалах цирконію під дією радіяційного опромінення. Вибір геометричних розмірів досліджуваних кристалів здійс- нювався так, щоб максимальні розміри каскадів поміщались все- редині зразка. Що стосується кроку моделювання t за часом, то очевидно для детального контролю положення будь-якого атома за час рівний  ми маємо цей час розбити на велику кількість інтервалів t. Це означає, що t набагато менше від . Мініма- льне значення t нами було вибране як /2000 0,1 фсt    і використовувалося у той проміжок часу, коли у кристалі спосте- рігався каскад і відповідно багато атомів кристалу мали великі значення кінетичної енергії у порівнянні з атомами, які знахо- дились поза межами каскаду. Максимальне значення t нами бу- ло вибране як /200 1 фсt    і застосовувалося при моделюван- ні кристалу до виникнення каскаду та після його релаксації. 4.1.1. Приготування зразків для дослідження каскадів Важливим етапом для моделювання каскадних зміщень атомів є ТАБЛИЦЯ 2. Застосовні параметри для моделювання каскадів у кристалах -цирконію.14 Параметер Значення Розмір системи, Å 163,1  169,498  159,805 Кількість атомів N 1,8105 Крайові умови вздовж напрямків X, Y, Z періодичні Температура кристалу T, К 300, 400, 500 Енергія ПВА Epka, кеВ 2, 6, 10 Напрямок руху ПВА 0001 ,  0110  Параметер термостату , пс 0,2 Крок за часом t, фс 0,1–1 Загальний час симуляцій t, пс 610 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 341 приготування зразків. Кристал можна вважати правильно приго- тованим для дослідження, якщо різні його характеристики, такі як густина, параметри кристалічної ґратниці, енергія формуван- ня точкових дефектів та інші, відповідають експериментальним значенням в усьому досліджуваному інтервалі температур. Для моделювання процесів ґенерації, еволюції та відпалу каскадів нами були приготовані кристали чистого -цирконію за темпера- тур 300, 400, 500 К та було здійснено перевірку відповідности їх фізичних параметрів експериментальним даним. У таблиці 3 по- дані розраховані та експериментальні значення параметрів крис- талічної ґратки a та c, густини  та енергії утворення  і i вака- нсій та міжвузлових атомів відповідно. З цих результатів бачимо досить добре узгодження характери- стик зґенерованих нами кристалів з відповідними експеримента- льними параметрами. 4.1.2. Виділення области каскадних зміщень та підрахунок кількости атомів, що формують каскад Під час формування й еволюції каскадів у кристалі виникають області, де кристалічна ґратниця практично руйнується, і майже кожен атом у цій області має кінетичну або потенціяльну енер- гію, які відрізняються від відповідних енергій атомів, що знахо- дяться поза межами каскаду. Це уможливлює виділити область каскаду у кристалі, використовуючи значення потенціяльної та кінетичної енергії частинок. Однак не виключена ситуація, що все-таки деякі атоми в області каскаду, в силу їх практично хао- тичного розташування, матимуть кінетичну та потенціяльну ене- ргії, які не вирізняють ці атоми від інших, що перебувають да- леко від каскаду. Тому за значеннями енергій атомів не можна ТАБЛИЦЯ 3. Порівняння розрахованих та експериментальних парамет- рів кристалів чистого -цирконію. T, К 300 400 500 Величина Експе- римент Розраху- нок Експери- мент Розраху- нок Експери- мент Розраху- нок a, Å 3,2331 3,2300 3,2348 3,2306 3,2364 3,2318 c, Å 5,1490 5,1757 5,1531 5,1785 5,1575 5,1811 , г/см3 6,4700 6,4780 6,4600 6,4740 6,4500 6,4650 , еВ 1,78 1,83 i, еВ 2,95 2,91 342 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. достатньо точно охопити область локалізації каскаду і не можна ґарантувати високу точність підрахунку кількости атомів, які формують каскад. Тому це питання було вивчено більш детально. Після приготування зразка при заданій температурі перед са- мим початком виникнення каскаду ми маємо бездефектний крис- тал. У цьому стані кристал має лише -фазу. Для аналізи фазо- вого складу досліджуваних зразків ми використовували метод CNA (Common Neighbour Analysis) [99–101]. Його суть полягає в тому, що будь-які два найближчі сусідні атоми кристалу вважа- ються зв’язаними, якщо вони знаходяться в межах деякої відс- тані rcut, яка називається радіюсом обрізання. Величина радіюса обрізання обов’язково повинна бути між першими двома піками у радіяльній функції розподілу g(r) для атомів [102]. Вочевидь, що доцільним є вибір радіюса обрізання від розглядуваного атома як відстань, яка є середнім між відстанню від даного атома до перших найближчих сусідніх атомів та відстанню від даного ато- ма до других сусідніх атомів. Виходячи з цього, можна знайти радіюс обрізання для різних типів кристалічних ґратниць:   fcc cut fcc fcc bcc cut bcc bcc 2 hcp cut hcp hcp 1 1 1 0,8536 , 2 2 1 2 1 1,2071 , 2 1 4 2 1 1,3819 . 2 3 r a a r a a x r a a                      (45) На рисунку 13 показано приклад ідентифікації каскаду за до- помогою значень кінетичної та потенціяльної енергії атомів та методу CNA. Видно (рис. 13, a), що ідентифікація области каска- дних зміщень атомів лише за значеннями кінетичної та потенці- яльної енергії атомів дійсно є недосконалою в силу причин, про які було сказано вище. За допомогою CNA-методу ми змогли у даній роботі візуально виділити каскад атомів для кристалу у будь-який момент під час проведення дослідження (рис. 13, б). Це дійсно можливо, оскільки до початку виникнення каскаду абсолютно всі атоми кристалу ідентифікувалися виключно як та- кі, що відносяться до ГЩП-структури. Використання лише цього підходу для візуалізації каскадів не дає достатньої точности для розрахунку кількости атомів, які утворюють каскад, об’єму, площі поверхні та інших характеристик каскаду, оскільки всере- дині каскаду немає впорядкованої структури атомів. Можлива ситуація, що деякі атоми випадковим чином мають таке миттєве положення, яке метод CNA ідентифікує як ГЩП-тип, і тоді такі атоми не вважаються такими, що мають відношення до каскаду. МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 343 В інший момент часу внаслідок досить інтенсивного руху час- тинок усередині каскаду мікростан кристалу змінюється і інші атоми в іншій кількості знову можуть ідентифікуватись CNA- методом як ГЩП, і знову такі атоми не вважаються частиною каскаду. Щоб уникнути такої ситуації, ми запропонували, крім CNA-аналізи, здійснювати відбір атомів для виділення каскаду ще й за значеннями кінетичної та потенціяльної енергії кожного а б в Рис. 13. Ідентифікація каскадів у кристалах -цирконію (N  1,8105 ато- мів) при T  300 К, Epka  10 кеВ, початковому напрямку руху ПВА 0001 після t  5,4 пс: (а) ідентифікація тільки за енергією: Nc  8314, Sc  43119 Å2, Vc = 232821 Å 3; (б) ідентифікація тільки за фазовим складом: Nc   15292, Sc  48084 Å 2, Vc = 353782 Å 3; (в) ідентифікація за енергією та фа- зовим складом: Nc  15763, Sc  47925 Å 2, Vc  364078 Å 3.15 344 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. атома (рис. 13, в), оскільки абсолютно зрозуміло, що енергія атомів всередині каскаду істотно відрізняється від енергії атомів, які знаходяться у незбуреній частині кристалу. Аналіза об’ємів всередині поверхонь, які обмежують каскади для різних етапів їх еволюції, показує, що практично всі атоми всередині каскадів ідентифікуються тепер як такі, що є частиною каскадів, а отже можна говорити, що запропонований нами під- хід дозволяє більш точно проводити розрахунки параметрів, які характеризують області каскадних зміщень атомів у кристалах. 4.2. Каскади атомових зміщень в цирконії при опроміненні: динаміка та статистична аналіза 4.2.1. Початкові стадії формування дефектів На рисунку 14 показані стадії виникнення, поширення та релак- сації области каскадних зміщень атомів у кристалі -цирконію. З цих результатів бачимо, що достатньо швидко ( 0,5 пс)t  каскад досягає максимальних розмірів (рис. 14, в), після чого значно повільніше починають відбуватися релаксаційні процеси. Виді- Рис. 14. Еволюція каскаду у кристалі чистого -цирконію (N  180000 атомів) при T  300 К, енергії первинно вибитого атома Epka  10 кеВ, початковому напрямку руху ПВА 0001: (а) t  0,1 пс; (б) t  0,3 пс; (в) t  0,5 пс; (г) t  3,3 пс; (д) t  5,3 пс; (е) t  605 пс.16 а б в г д е МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 345 лимо особливості даного процесу. На початковій стадії виникнення каскаду, коли енергії атомів є досить великі, може спостерігатися процес каналювання. Це добре видно на рис. 14, a (тонка витягнута вгору частина каска- ду). Щоб переконатися в цьому, ми дослідили траєкторії части- нок, які формують каскад. Результат такого дослідження відо- бражений на рис. 15, a, б, де дійсно можна бачити вздовж указа- ного напрямку довгу прямолінійну траєкторію атома, який руха- ється в каналі на відстань 11 нм. c   У ті моменти часу, коли каскад має найбільші розміри, спо- стерігаються одновимірні згущення атомів — краудіони (рис. 15, в, г). Для даних областей каскаду не спостерігаються процеси каналювання, але, як показує розрахунок, маємо прямолінійні згущення атомів, що виділені темнішим кольором на рис. 14, в. а б в г Рис. 15. Процеси каналювання (а, б) та виникнення краудіонів (в, г) у кристалах чистого -цирконію під час проходження каскадів.17 346 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. На рисунках 14, б–г, на нижній та правій гранях области мо- делювання бачимо фраґменти каскаду, які там з’явилися внаслі- док періодичних крайових умов. Тому фраґменти знизу та справа є продовженням каскаду вгору та вліво відповідно. 4.2.2. Макроскопічні характеристики кристалу та ділянки каскаду За допомогою описаного вище методу ідентифікації области кри- сталу, де виникає каскад, ми дослідили зміну об’єму, площі по- верхні та кількости атомів у каскаді від часу при різних темпе- ратурах кристалу та енергіях первинно вибитих атомів (ПВА). Також у процесі еволюції каскадів було досліджено зміну внут- рішньої енергії, об’єму та густини досліджуваних зразків. Рисунки 16, а, в, д і 17, а, в, д містять часові залежності вну- трішньої енергії E, об’єму V, густини  для всього досліджувано- а б в г Рис. 16. Залежності від часу макроскопічних параметрів у кристалі - цирконію (N  180000 атомів) та области каскаду для різних енергій первинно вибитого атома, який рухається в напрямку 0001 при темпе- ратурах кристалу T  300 К та T  300 К: (а) внутрішня енергія крис- талу; (б) об’єм каскаду; (в) об’єм кристалу; (г) площа поверхні каскаду; (д) густина кристалу; (є) кількість атомів у каскаді.18 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 347 го зразка. Такі розрахунки здійснено задля того, щоб більш кі- лькісно вивчити еволюцію каскадних зміщень атомів у кристалі -цирконію під дією високоенергетичних частинок. Для тих ділянок кристалу, де спостерігалося руйнування крис- талічної структури внаслідок опромінення, знайдені часові залеж- ності об’єму, площі поверхні, кількости атомів (рис. 16, б, г, є та 17, б, г, є). Моделювання здійснювалось за температур кристалу T  д е Рис. 16 (продовження). а б в г Рис. 17. Те ж саме, що й на рис. 16, але у випадку руху первинно виби- того атома в напрямку 0110 .  19 348 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін.  300, 400 і 500 К та енергіях Epka  2, 6 і 10 кеВ первинно вибитого атома. Початковий напрям руху первинно вибитого атома для кож- ного значення його енергії та кожного значення температури крис- талу вибирався у двох варіянтах: 0001 та 0110 .  У залежності від напряму руху первинно вибитого атома за однакових всіх інших параметрах вищезгадані макроскопічні характеристики всього кристалу та області каскаду якісно мають аналогічний характер. Кількісні відмінності розглянемо більш детально. У таблиці 4 подано розрахункові величини максимальних зна- чень об’єму (max) c V , площі поверхні (max) c S та кількости частинок (max) c N каскаду у кристалах -цирконію для різних значень енер- гії та напрямку руху первинно вибитого атома при температурах кристалу 300, 400, 500 К. Аналіза цих даних показує, що при температурах кристалу 400 та 500 К каскади, які збуджуються первинно вибитим атомом в напрямку 0001, є більшими за роз- мірами, ніж коли напрямок ПВА 0110 при однакових інших параметрах. Також зі збільшенням температури кристалу розмі- ри каскадів незалежно від напрямку руху ПВА при відповідних значеннях його енергії теж збільшуються. Останнє свідчить про те, що чим вища температура кристалу, тим його пошкодження внаслідок радіяційного опромінення будуть більшими. 4.2.3. Динаміка релаксації каскадів Внаслідок радіяційного опромінення у кристалах виникають об- ласті, де кристалічна ґратниця руйнується. Це призводить до ви- никнення великої кількости дефектів та зміни макроскопічних параметрів і властивостей всього матеріялу. Більшість дефектів, які утворюються під час каскадних зміщень атомів, рекомбіну- ють між собою, а деякі з них взаємодіють з дислокаціями, які формують межі зерен, зі стійкими у часі кластерами дефектів. д е Рис. 17 (продовження). МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 349 Тому за достатньо великий проміжок часу може відбутися дуже суттєва модифікація як структури, так і фізичних властивостей матеріялів, що перебувають під дією радіяційного опромінення. Далі проаналізуємо часові залежності температури T та потен- ціяльної енергії Ep атомів кристалу під час проходження каскаду для різних напрямків початкового руху ПВА, подані на рис. 18 та 19. Оскільки навіть при великих значеннях енергії первинно вибитих атомів об’єм каскаду є мікроскопічним, то у масивному зразку можна очікувати, що температура каскаду швидко зрів- няється з температурою всього зразка у той час як кристал буде містити ще дуже велику кількість дефектів, які виникли внаслі- док каскадних зміщень атомів. Дійсно, порівнюючи як змінюєть- ся температура T (вона визначає кінетичну енергію) та потенція- льна енергія Ep кристалу (рис. 18), бачимо, що уже приблизно на позначці t  10 пс температура (кінетична енергія) кристалу стає практично такою як і до початку виникнення каскаду (див. рис. 18, а та 19, а), а потенціяльна енергія все ще відрізняється від початкового значення (див. рис. 18, б та 19, б). Це свідчить про те, що кристал має дефекти, які дифундують у ньому протягом тривалого часу (див. рис. 14). Таким чином, потенціяльна енер- гія кристалу Ep може бути використана для кількісної характе- ристики величини пошкоджень кристалів внаслідок радіяційного опромінення. Дійсно, з рис. 18, б та 19, б бачимо, що чим більша ТАБЛИЦЯ 4. Максимальні геометричні розміри каскадів у кристалах - цирконію залежно від енергії Epka та напрямку ПВА за різних температур.20 Epka, кеВ 2 6 10 Напрямок 0001 0110  0001 0110  0001 0110  Т е м п е р а т у р а 3 0 0 К (max) , c V нм3 8212 9105 20879 21364 32162 33419 (max) , c S нм2 1324 1731 2710 3236 4318 4375 (max) c N 3629 4126 9090 9436 13897 14422 4 0 0 К (max) , c V нм3 9260 9196 24741 24449 37118 32881 (max) , c S нм2 1557 1471 3626 3821 5231 4181 (max) , c N 4163 4022 10700 10759 16216 14367 5 0 0 К (max) , c V нм3 9402 8659 25781 25652 41374 37974 (max) , c S нм2 1744 1277 3810 3504 5175 4686 (max) c N 4255 3838 11122 10984 17551 16179 350 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. енергія первинно вибитого атома, тим більше змінюється (вищий максимум на графіку) потенціяльна енергія кристалу і тим пові- льніше вона повертається до початкового значення. Це означає, що при більших енергіях ПВА кількість дефектів буде більшою, геометричні розміри каскаду будуть більшими (див. табл. 4), а отже буде потрібно більше часу для релаксації каскадних змі- щень атомів у кристалі, які виникають внаслідок радіяційного опромінення. Залежності потенціяльної енергії Ep кристалів від часу t під час проходження каскадів може бути використана для розрахун- ків часу релаксації останніх. Час релаксації c каскадних змі- щень атомів у кристалі розраховується як час, за який потенція- льна енергія Ep атомів зменшується в 2,71e  разів. Для апрок- а б Рис. 18. Залежності температури T (а) та потенціяльної енергії Ep (б) у кристалі -цирконію (N  180000 атомів) від часу t під час проходжен- ня каскаду; початковий напрям первинно вибитого атома 0001.21 а б Рис. 19. Залежності температури T та потенціяльної енергії Ep у крис- талі -цирконію (N  180000 атомів) від часу t під час проходження ка- скаду; початковий напрямок первинно вибитого атома 0110 .  22 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 351 симації величини Ep нами була використана функція виду Ep  Ep0  Epd  exp c t  , (46) де Ep0 — потенціяльна енергія кристалу до початку виникнення каскаду, а Epd — додаткова потенціяльна енергія, що виникає внаслідок утворення дефектів. У таблиці 5 подано розрахункові значення часу релаксації c каскадів у залежності від енергії ПВА Epka та напряму руху первинно вибитого атома за різних те- мператур. Логічним є збільшення часу релаксації c зі збільшенням енер- гії Epka при заданій температурі, оскільки чим більша енергія ПВА, тим більший за розміром каскад, а отже тим далі один від одного будуть виникати краудіони, які рухаються від центра ка- скаду. Як правило, краудіони пов’язані з міжвузловими атома- ми. Тому після досить швидкого охолодження кристалу ми ма- тимемо розподілені у просторі міжвузлові атоми. Так як до поча- тку виникнення каскаду кристал був бездефектний, то у кристалі також будуть і вакансії, кількість яких дорівнює кількости між- вузлових атомів. Для більших значень енергії кількість таких точкових дефектів буде більша і область простору, де вони будуть розподілені також буде більшою. Для релаксації (заліковування) дефектної структури внаслідок рекомбінації вакансій та міжвуз- лових атомів у каскаді більших розмірів знадобиться більше ча- су, ніж для маленьких каскадів. Зауважимо, що ми проводили моделювання для ідеального бездефектного кристалу -цирконію. Насправді у реальному кри- сталі є зерна, по межах яких розташовані дислокації. Якщо ме- жа зерна або дислокація опиниться поблизу каскаду, то очевидно останній буде впливати на їх динаміку за рахунок їхньої взаємо- дії з дефектами створюваним каскадними зміщеннями атомів. У результаті буде змінюватись внутрішня структура зразків, які піддаються радіяційному опроміненню, що призводитиме до змі- ни їх фізичних властивостей. Тому наш експеримент є лише по- чатковим етапом дослідження структурних змін у конструкцій- ТАБЛИЦЯ 5. Час релаксації каскадів у кристалі цирконію. Epka, кеВ 2 6 10 Напрямок ПВА 0001 0110  0001 0110  0001 0110  τc, пс (300 К) 1,63 1,19 2,13 2,09 2,33 2,22 τc, пс (400 К) 1,43 1,39 1,96 1,85 2,35 2,34 τc, ps (500 К) 1,35 2,32 2,19 2,44 2,65 2,85 352 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. них матеріялах, що перебувають в умовах радіяційного опромі- нення, і може претендувати на правильне моделювання каскад- них зміщень атомів для випадку, коли первинно вибитий атом знаходиться всередині зерна далеко від його меж. 4.3. Енергетичні характеристики кластерів точкових дефектів У даному підрозділі досліджено енергії формування точкових де- фектів та їх кластерів у чистому цирконії при зміні температури. Варто зазначити, що енергія, необхідна для формування вакансії, набагато нижча за енергію, необхідну для утворення міжвузлово- го атома. Це пов’язано з тим, що міжвузловий атом викликає бі- льші деформації кристалічної ґратниці, ніж вакансія. Тому, кон- центрація міжвузлових атомів нижча за концентрацію вакансій. Для щільно упакованої гексагональної кристалічної ґратниці ци- рконію, формування міжвузлових атомів є складним процесом, тому переважну більшість точкових дефектів складають вакансії. За умов, коли кінетичною енергією кристалу можна знехтувати (малі температури) нами, чисельно розраховано, енергію форму- вання вакансії ev  2,2736 еВ, міжвузлового атому ei  3,381 еВ та енергію формування Френкелевої пари efp  5,2229 еВ. Нами та- кож було розраховано енергії формування бівакансій, тривакан- сій та вакансійних кластерів з чотирьох і п’ятьох атомів. Аналіза одержаних значень уможливила встановити енергетично най- більш вигідні конфіґурації вакансійних кластерів за низьких те- мператур. Метою даного підрозділу було встановлення температурних за- Рис. 20. Залежність енергії формування вакансії, міжвузлового атома та Френ- келевої пари зі зміною температури у кристалі -цирконію.23 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 353 лежностей енергії формування точкових дефектів та їх комплек- сів. На рисунку 20 зображено залежності енергії формування ва- кансії, міжвузлового атома та Френкелевої пари зі зміною темпе- ратури. Видно, що зі зростанням температури значення енергії формування кожного з дефектів зменшується. Це є наслідком збільшення кінетичної енергії атомів кристалу та параметрів кристалічної ґратниці, які визначені раніше (див. табл. 2). Та- ким чином, при підвищених температурах кристалу цирконію, під впливом опромінення, буде формуватися більша кількість дефектів. Далі проаналізуємо зміну енергії формування двох вакансій, розділених різною відстанню r, від температури. Результати комп’ютерного моделювання подано на рис. 21. З рисунку видно, що енергія формування двох вакансій у цирконії приймає най- менше значення, коли дві вакансії є найближчими сусідами в елементарній комірці. Зростання відстані між вакансіями приво- дить до збільшення енергії необхідної для утворення двох вакан- сій у кристалі. При цьому, значення необхідної енергії знахо- диться в околі суми двох значень енергії, одержаної нами для формування однієї вакансії. При цьому, збільшення температури зразка приводить до зменшення значення енергії формування двох вакансій. Таким чином, можна зробити висновок, що вака- нсії «не відчувають» одна одну і, як наслідок, не взаємодіють на відстанях, що перевищує подвійне значення параметра ґратниці. Одержана залежність добре узгоджується з представленими ре- зультатами розрахунків з перших принципів. Наприкінці розділу розглянемо вплив температури на енергію Рис. 21. Необхідна для формування двох вакансій енергія у зразку цир- конію в залежності від відстані між ними за різних температур.24 354 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. формування найбільш енергетично вигідних типів вакансійних кластерів, визначених раніше. Результати моделювання подано на рис. 22, з якого видно, що для кожного з розглянутих тут де- фектів, зростання температури приводить до зменшення енергії, необхідної для утворення вакансійного кластеру. Однак, для ва- кансійних кластерів меншого розміру, спадання енергії відбува- ється більш повільно, ніж для більших. Таким чином, підвищен- ня температури полегшує формування вакансійних кластерів бі- льшого розміру. 5. КІНЕТИЧНИЙ МОДЕЛЬ ЕВОЛЮЦІЇ АНСАМБЛЮ ДЕФЕКТІВ У ЧИСТОМУ ЦИРКОНІЇ, ОПРОМІНЮВАНОМУ ПОТОКАМИ НЕЙТРОНІВ Метою даного розділу є встановлення мікроскопічних характери- стик опромінення та розроблення моделю динаміки точкових і лінійних дефектів для вивчення динаміки дефектів, що утворю- ються в чистому цирконії при опроміненні потоками нейтронів при сталих температурах опромінення при різному вмісті дисло- кацій у дислокаційній сітці та за різних енергій нейтронів. Буде проведено аналізу поведінки стаціонарних значень концентрації вакансій та вивчення впливу опромінення на властивості коефі- цієнта самодифузії атомів цирконію. При дослідженні просторо- во-розподіленої системи буде вивчено еволюцію концентрації то- чкових дефектів при врахуванні динаміки стоків. Буде встанов- лено умови самоорганізації ансамблю вакансій в кластери при врахуванні взаємодії точкових дефектів із полями пружніх на- Рис. 22. Енергії формування вакансійних кластерів зі зміною темпера- тури у кристалі -цирконію.25 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 355 пружень кристалу. Буде вивчено зміну пружніх полів при дефо- рмації кристалу цирконію, що містить вакансійні кластери. 5.1. Встановлення мікроскопічних характеристик при опроміненні потоками нейтронів Для визначення основних механізмів еволюції дефектів, що утворюються внаслідок опромінення необхідним є встановлення мікроскопічних параметрів, як-то: кількости Френкелевих пар, що ґенеруються при опроміненні нейтронами заданої енергії та потоком та визначення термодинамічних характеристик, що за- дають рівноважні концентрації точкових дефектів (вакансій, мі- жвузлів та Френкелевих пар). Для цього спочатку застосовується теорія розсіяння та термодинамічна теорія формування дефектів. 5.1.1. Властивості розсіяння нейтронів у чистому цирконії З теорії розсіяння відомо, що у випадку нейтронів, що мають по- чаткову енергію Ei у потоці  ймовірність розсіяння на атомі мі- шені визначається перетином ( ). d i E Ця величина задає енергію передану атому (ПВА) з атомною масою A, що одержує енергію T. Відповідна енергія визначається як 2 4 (1 cos ), , 2 (1 ) i E A T A        (47) де  — кут розсіяння. Мінімальне значення min , d T E (48) визначається енергією ПВА Ed. Відповідне максимальне значення max /2 i T E  , Tmax >> Tmin. Для -цирконію, що характеризується Ed  40 еВ (A  91,   0,043) при опроміненні нейтронами з енер- гіями Ei  1 МеВ,   0 одержуємо Tmax  21,5 кеВ. У моделю Ре- зерфордового розсіяння усереднена енергія ядер віддачі є ln .i d d E T E E        (49) Оцінювання T при Ei  1 МеВ дає 279,2 еВT  . Зв’язок між ймовірностями розсіяння є таким: ( ) ( , ) .d i d i i E E T E     (50) 356 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. Останнє показує, що ( , ) d i E T є величиною, незалежною від енергії ПВА T. Для оцінювання швидкости атомових зміщень Rd скористаємо- ся формулою max min ( ) ( ) , T d D i i i T R N E E dE   (51) де для перетину зміщень маємо max min ( , ) ( ) , T D d i T E T T dT    (52) тут ( ) ( ) FP T T   є числом Френкелевих пар (атомів, зміщених зі своїх позицій у кристалі) при пружньому зіткненні. За моделем Хінчина–Піза для числа Френкелевих пар користаємося виразом 0 при < , 1 при < < 2 , при 2 < < ,( ) 2 при > . 2 d d d d c d c c d T E E T E T E T ET E E T E E            (53) Тут Ec відповідає енергії зупинки внаслідок взаємодії з електро- нами. Величина Ec відповідає енергії йонізації I електрона, що належить атому мішені , 4 c e M E I m  (54) де me позначає масу електрона. Для -цирконію енергія йонізації Zr Zr  є такою I  660 кДж/моль  4,111024 еВ/моль. Це дає оцінку 287 кеВ. c E  Поправка до моделю Хінчина–Піза при врахуванні втрати де- фекту при анігіляції має вигляд ( ) 1,22 . 2 d T T E   (55) Тому оцінювання для атомових зміщень при опроміненні нейтро- нами з енергією E  1 МеВ дає (279 еВ) 4,258.  Літературні дані з чисельного моделювання кількостей Френ- келевих пар, користаючись методами молекулярної динаміки, у МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 357 чистому -цирконії дають змогу апроксимувати їх наступною за- лежністю: n Zr FP Zr A T  , (56) де фітінґова стала AZr  4,55, а показник nZr  0,74 (тут енергія ядер віддачі T визнається у кеВ). Для визначення швидкости пошкоджень скористаємося на- ближенням . i c E E У такому разі маємо: ( ), 4 i D s i d E E E         (57) де s  — ймовірність, що частинка (нейтрон/йон), яка налітає, розсіюється у центрі мас атому. Тоді для швидкости пошкоджень маємо наступний вираз: / ( ) ( ) , 2 4 i d s i i i i s d dE d EN R E E E dE N E E                (58) де N — кількість атомів, i E — усереднена енергія нейтрона, а  — повний потік нейтронів. Задля підрахунку швидкости пошкоджень використовуємо значення s  310–24 см2; середнє значення Френкелевих пар при енергії 1 i E  МеВ є / 1075, FP i d E E    а для потоку приймаємо значення   1015 см2с 1. В результаті швидкість Rd/N  3,2 з.н.а/с. 5.1.2. Термодинамічні властивості точкових дефектів При дії потоків опромінення на кристалічну систему існує нену- льова ймовірність виникнення точкових дефектів внаслідок про- цесів взаємодії опромінювальних частинок з атомами мішені. У подальшому вважається, що температура опромінення є ста- лою. При цьому існує ймовірність флюктуаційного виникнення дефектів у неопроміненому кристалі, коли в кристалі є певна концентрація енергії, що забезпечує даний ефект. Приймається припущення про сталість тиску p. У такому разі замість вільної Гельмгольцової енергії F використовується Ґіббсів потенціял G: ,F G U pV TS H TS      (59) де U є внутрішньою енергією, T — температура, S — ентропія, H 358 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. — ентальпія системи з N атомів. За визначенням, ентропія задається виразом ! ln , , !( )! B N S k W W n N n    де W — статистична вага, n — кількість дефектів. Із викорис- танням формули Стірлінґа для ентропії змішення маємо mix [ ln ln ( ) ln( )]. B S k N N n n N n N n      Важливим виступає внесок від вібраційного безладу, що ґене- рує дефекти. Відповідно до Айнштайнового ґратницевого моделю атоми розглядаються як 3N-лінійних гармонічних осциляторів з ентропією 3 ln f B B E k T S k        , де  — стала Планка, E  — частота Айнштайна. Вважаючи, що кожен дефект змінює вібраційну частоту Z найближчих сусідів на r  , маємо 3 ln ln ln . f B B E r B B r E r k T k T S k Zk                       Для n дефектів зміна ентропії ( ) f f f r S nS ZS   є такою 3 ln . Z f E B r S nk         (60) Отже для системи з n дефектів Ґіббсова енергія набирає вигляду     3 ( ) ln ln ln ln . f f f f B mix Z E B r G n H k T S S n H k T N N n n N n N n n                           (61) Якщо ввести концентрацію c  n/N, то при n  N в умовах рівно- ваги ( / 0) fG n   маємо 3 . f f f f B B B B Z H S H G k T k T k T k TE r c e e e e                Для рівноважної концентрації вакансій знаходимо МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 359 0 exp f f v v v B B S E c k k T        (62) Рівноважна концентрація міжвузлів є такою 0 exp , f f i i i B B S E c k k T        (63) де індекси {v,i} позначають вакансії й міжвузлові атоми; , f f v v E H  f f i i E H  — енергії формування відповідних дефектів; , f f v v S S  f f i i S S  — ентропії формування. При цьому використовується співвідношення: c0v  c0i. Задля оцінювання частоти E  користаємося спектральною гус- тиною нормальних осциляторів для 1-го моля, поданою у стандарт- ній формі 2 3 ( ) 9 / D g N    , де D  — Дебайова частота, / , D s v a   s v — швидкість звуку, a — параметер ґратниці. Величину E  буде- мо задавати, як атомну частоту E    , де 2 30 0 1 1 9 3 ( ) . 3 3 4 D D D D N d g d N N              Це приводить до виразу 3 /4 E D    . Для оцінки v r  в системі з nv вакансіями скористаємося виразом 1 0 ( ) (1 / ) . 3( ) Dv r v v g d n N N n           Застосовуючи визначення числа вакансій при заданій температу- рі exp( ), f v v B n N E k T одержуємо 1 exp . f v v r B E k T               Розглядаючи -цирконій, при 2,077 f v E  еВ і T  773 К прихо- димо до оцінки 1 exp 1 0. f v v r B E k T            Для міжвузлових атомів exp( ) f i i B n N E k T  для відповідної час- тоти маємо 1 0 ( )( ) 3 Di r i d g N n        , та одержуємо (1 / ) i r i n N     . Це приводить до виразу 360 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. 1 exp , f i i r B E k T               який дає 1 exp 1 0 f i i Br E k T            при 3,0 f i E  еВ, T  773 К. Приймаючи Z  12 для -цирконію, одержуємо наступне на- ближення: 3 , 1. Z E v i r       Очевидно, приходимо до результату для ентропій формування точкових дефектів у чистому цирконії: 0 , f v B S k 0 . f i B S k При підвищених температурах виникають малі поправки до одержа- них виразів. У випадку формування пар вакансія–міжвузловий атом відпо- відний термодинамічний потенціял має вигляд , f f p p p p G n H T S     (64) де індекс p відповідає Френкелевим парам. Зміна ентропії є на- ступною: 2 ! ln . ( 2 )!( !) f p B p p N S k N n n          (65) Із використанням Стирлінґової формули одержуємо 2 ( 2 ) ln 2 ln . p pf f p p p B p p N n n G n H k T N n n N N                (66) У термодинамічній рівновазі ( / 0) f p p G n   знаходимо концент- рацію Френкелевих пар 0 exp exp exp , f f f p p p p p B B B n G S E c N k T k T k T                                (67) де f f f p v i G G G     . Це приводить до співвідношення між рівно- важними концентраціями 0 0 0 . p v i c c c (68) МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 361 Також має місце енергетична умова формування Френкелевих пар f f f p v i E E E  . Такий самий результат адитивности маємо для ентропії Френ- келевих пар. 5.1.3. Визначення коефіцієнтів дифузії у -цирконії У -цирконії, що має ГЩП-структуру, дифузійні процеси відбу- ваються за вакансійним механізмом. При такому механізмі рух атомів є протилежним до руху вакансій. Скориставшись мікрос- копічною теорією дифузії, можна показати, що коефіцієнти ди- фузії набирають вигляду , , ,2 2 2 2 , , , , 1 1 exp exp exp , 6 6 exp , m m m v i v i v i v i D v i B B B m v i v i D B S E E D A za A za k k T k T S k                                      (69) де , m v i S та , m v i E — ентропії та енергії міґрації дефектів. Загалом для коефіцієнта дифузії вакансій і міжвузлових атомів маємо , ,2 21 exp , exp , 6 m m v i v i v v v D B B E S D A za k T k                    (70) 2 21 exp , exp . 6 m m i i i i i D B B E S D A za k T k                 (71) Відповідно до одержаних виразів можна визначити коефіцієнт самодифузії при випадковому русі вакансій на найближчі пози- ції. Скориставшись лише вакансійним механізмом дифузії, оде- ржуємо вираз для коефіцієнта самодифузії 2 21 exp , exp , 6 m f a a av v v v v v D B B Q S S D A za k T k                  (72) де уведено позначення для енергії активації . f m v v v Q E E  Для металів з ГЩП-структурою існує ріжниця між енергіями міґрації у площинах паралельних () та перпендикулярних () до вісі c. Так, для -цирконію маємо 0,51 m v E   еВ, \|\| 0,53 m v E  еВ. Це приводить до ріжниці коефіцієнтів дифузії у таких напрям- ках. Загальне співвідношення між коефіцієнтами дифузії є та- ким, що повний коефіцієнт дифузії Dv набиратиме вигляду: 362 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін.   1 2 , 3 v v v D D D  (73) де v D та v D коефіцієнти дифузії у основній та неосновній пло- щинах. Аналогічне співвідношення одержується для міжвузлових ато- мів. Відповідні коефіцієнти дифузії набирають вигляду:                                                      2 2 2 13 1 13 1 3 3 1 exp , exp exp , 4 2 2 exp 1,61 10 c , exp 1,92 10 с . m m m v v v v v v v v B B B m m v v v D v D B B E E E D c D a a k T k T k T S S k k (74) Залежності коефіцієнтів дифузії вакансій v D і v D від температу- ри та відповідні компоненти, що складають повний коефіцієнт дифузії наведено на рис. 23. 5.2. Аналіза стаціонарних концентрацій точкових дефектів Беручи до уваги той факт, що часові масштаби еволюції точко- вих дефектів є істотно меншими аніж відповідні масштаби гус- тини стоків, останні можна покласти сталими. У такому разі можуть бути розглянуті лише швидкі моди, що зводяться до концентрації вакансій та міжвузлів. За низьких температур і низьких інтенсивностей стоків мож- ливою є лише ґенерація дефектів. Тоді концентрація точкових дефектів зростає як , , (1 ), t v i v i c K    де , , ( ) (1 ) . v i v i c t K t   Тут лише мала кількість дефектів приводить до анігіляції, яка є істотно малою. Режим зростання може бути компенсований лише рекомбінацією дефектів. У режимі рекомбінації приходимо до рівняння , , (1 ) , t v i v i i v c K c c      (75) де квазістаціонарна концентрація дефектів задається виразом: , , (1 ) . v i v i K c     Порівнюючи його з відповідним для режимом росту, приходимо до часового масштабу 1 t   коли виробництво дефектів компен- сується їхньою рекомбінацією. Величина МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 363 1 , 1 (1 ) v i K      (76) характеризує час початку рекомбінації. При подальшому зростанні дози опромінення Kt стоки по- чинають впливати на ефекти рекомбінації. Тут концентрація то- а б Рис. 23. Коефіцієнти дифузії вакансій у базальній та перпендикулярній до базальної площинах (а) та складові повного коефіцієнта дифузії ва- кансій з урахуванням анізотропії (б).26 364 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. чкових дефектів залишається приблизно сталою до t  2. Оскіль- ки виконується співвідношення між коефіцієнтами дифузії Di   Dv, то міжвузлові атоми починають анігілювати раніше за ва- кансії, а концентрація вакансій продовжує зростати. У такому режимі стоками вакансій залишаються лише міжвузлові атоми. Величина 2 задається виразом 2  (DiSi) –1. (77) Після t  3, де 1 3 ( ) v v D S   , (78) одержуємо стаціонарний режим, де , 0 t v i c  . Оскільки у випадку середніх інтенсивностей стоків маємо 2 1 ,   то часовий режим для рекомбінації стає безмежно малим. У випадку великої інтенсивности стоків ефекти рекомбінації не впливають істотно на динаміку дефектів внаслідок того, що міжвузлові атоми знаходять стоки істотно раніше за вакансії. У такому випадку часовий інтервал 2 стає коротшим аніж час для виходу в стаціонарний режим. Тут міжвузлові атоми виходять на стаціонарний режим істотно швидше за вакансії, тобто, 0, t i c  де (1 )/ . i i i i c K D S   Порівнюючи його з режимом зростання, зна- ходимо 2  (DiSi) –1. Міжвузлові атоми знаходять свої стоки раніше за вакансії, де (1 ) . v v c K t   Конкуренція між анігіляцією та ре- комбінацією уможливлює скористатися виразом DiSici  cvci   K(1  v)t. Це приводить до визначення інтервалу 2 3 2 2 3 , < , (1 ) i i v DS K          (79) коли міжвузлові атоми знаходяться у квазістаціонарному режи- мі. Вихід на стаціонарний режим досягається при перевищенні часу t  3, де 1 3 ( ) . v v D S   (80) При високотемпературному режимі рекомбінація дефектів стає безмежно малою, тому більшість дефектів поглинається стоками, при цьому концентрація міжвузлів стає безмежно малою. У та- кому разі стаціонарні стани визначаються такими концентрація- ми , , , , (1 )/ . s v i v i v i v i c K D S   Вихід на стаціонарний режим для між- вузлових атомів та вакансій відбувається при 2  (DiSi) –1 та 3   (DvSv) –1 відповідно. У загальному випадку, поклавши , 0, t v i c  знаходимо стаціо- нарні значення: МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 365                   2 ( ) (1 )1 1 4 (1 ) , , 2 2 s sv i i i i i i v v i s v v v v i i v K D S D S K c K c D S D S D S c (81) де                                1 , (1 ) 1 .C Ci v i v v N i N N N N N N N S S B (82) Типові залежності стаціонарних значень концентрації вакансій для -цирконію наведено на рис. 24. Із одержаних залежностей випливає, що при зростанні температури стаціонарна концентра- ція вакансій при незмінній густині стоків зменшується. Нато- мість зростання енергії нейтронів від 0,5 МеВ до 2 МеВ приводить до зростання концентрації точкових дефектів внаслідок збіль- шення кількости зґенерованих опроміненням Френкелевих пар. Рис. 24. Концентрація вакансій при інтенсивности стоків Sv  N  108 см–2 та потоці нейтронів   1016 (см2с)–1.27 366 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. 5.3. Розподілений модель еволюції дефектів та їх стоків Для побудови розподіленої системи еволюції дефектної структури скористаємося припущенням, що точкові дефекти є рухомими субстанціями та можуть дифундувати по системі внаслідок вини- кнення локального ґрадієнту їх концентрації. У такому разі в модель системи мають бути включені потоки точкових дефектів Ji,v додаванням складових ,i v J до рівнянь (32) відповідно. Слід зазначити, що дифузійні потоки Ji,v включають в себе як вільну дифузію, так і рух дефектів внаслідок їх взаємодії з пружнім по- лем середовища, що викликано наявністю таких дефектів. Тому повна система рівнянь динаміки дефектів в опромінюваному ма- теріялі набирає вигляду       0 0 00 2 (1 ) , (1 ) ( ) , 2 ( ) , 1 ( ) , (4 ) ( ) ( ) . t i i i i i i v v t v v v v v v i v i s t i i i iI i v vI v v t v v v i iV i v vV v v v eC t C v v v C v i i C c K D Sc c c c K D S c c c c N K D Z c D Z c c b K D Z c D Z c c br N D c c c D c                                                  J J (83) У подальшому дослідженні перейдемо до безрозмірних змінних та полів: , , / , v i v i N     , v t t   , v v vN N D Z   , , , i v i v x c  / , v     0 / , v P K   , , ( ) (1 ), i v C v i C            / 1 . iN vN Z Z B  Уводячи малий параметер / 1, v i D D   можна вилучити адія- батичним шляхом найбільш швидку моду, поклавши 0. t i x  Це дає змогу виразити концентрацію міжвузлів через концентра- цію вакансій у вигляді 0 , , (1 ) . (1 ) ( )/ i i i v C v P x B x         Тут нами зроблено припущення, що міжвузлові атоми рівномірно розподілені по всій системі, і відповідним дифузійним потоком міжвузлів можна знехтувати. Підставляючи одержаний вираз до решти рівнянь, приходимо до ефективної системи, що описує динаміку вакансій та їх стоків у вигляді МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 367 0 0 , , 0 , , 0 0 0 , , 0 0 0 , , 0 0 (1 ) (1 ) ( )( ) , ( ) (1 ) ( ), ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 )1 [ ( ) ] i v t v v i v C v v v i v C v i i t i i v v i v C v i C t C v v v v i v C v i t v v v C v C P x x P x x A x AAP P x x A x AAP P x x A x P x x x x A                                                             J , , ( ) i v C v x         (84) Тут нами уведено у розгляд такі часові масштаби: 0 v N i v br D     , 2 N v s v b N D     , 2 (4 ) N C v C D N      та уведено позначення ,B B B   1 ,A B  1 .A B   Далі штрихи біля часових похідних опускаємо. 5.3.1. Дифузійний потік вакансій при врахуванні полів деформації кристалу Розглядаючи потік вакансій приймаємо до уваги анізотропію ко- ефіцієнтів дифузії, , v v D D  де = 2 /3 /3. v v v D D D  Далі введемо у розгляд дифузійну довжину, квадрат якої обернений до густи- ни дислокаційної сітки 2 1/ d N N L Z  та використовуємо параметер анізотропії, визначений як /2 . v v D D  Повний потік вакансій Jv складається із суми потоку вільної дифузії 0 v J та компоненти, що пов’язана із взаємодією дефектів з пружнім полем континууму, int , v J тобто, 0 int . v v v  J J J (85) Вільна компонента може бути подана у стандартному вигляді 0 2 , v d a L x  J (86) де уведено просторову похідну з анізотропією 2 2 2 2 , . a a a               (87) Компонента, що описує взаємодію дефектів з пружнім конти- нуумом, має вигляд , int v xJ v де швидкість дрейфу 2 / d L Tv F 368 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. визначається через силу ( ) ,U      F U — потенціял дефор- мації пружнього континууму. Отже, для взаємодіючої компонен- ти потоку маємо 2 . int d a L x U T   J (88) Взаємодія дефектів з неоднорідним полем деформації задається за допомогою внеску енергії деформації, що подається самоузго- дженим чином, ( ) ( ) . U W r x r dr T   (89) Поклавши, що x(r) змінюється повільно у порівнянні з W(r), мо- жна вважати 2 2 0 ( ) ( ) ( ), a W r x r dr x r x    (90) де  — безрозмірна інтенсивність взаємодії. Тут другий доданок відповідає за мікроскопічні процеси взаємодії дефектів в околі радіюса взаємодії r0. У звичайних умовах ця складова є нехтовно малою у порівнянні з вільною дифузією. Однак, за її відсутности для потоку одержуємо (1 ) v a x x    J , де концентраційно за- лежний коефіцієнт дифузії (1 )x  може приймати від’ємні зна- чення на інтервалі > 1/ .x  Це означає що рівномірний розподіл вакансій стає нестійким, починаючи з певної швидкости утво- рення просторового збурення. Це приводить до виникнення на- правленого потоку дефектів при пересиченні вакансіями та фор- мування кластерів вакансій та пор. З математичної точки зору така розбіжність не може бути скомпенсованою нелінійними складовими у рівнянні еволюції. Така компенсація досягається складовою 2 2 0 a r x . Отже, ця складова мусить лишатися у даному розвиненні. Потенціял U добре пов’язується з деформацію континууму у вигляді 1 v U K     u , де u є вектором зміщень, e  u — пружна деформація середовища, /3(1 2 ) e K E   — пружній мо- дуль, E — модуль Юнґа,  — Пуассонів коефіцієнт, \| \| v    — дилатаційний параметер ( 0). v   Дефекти у кристалі приводять до деформації середовища, що може бути знайдено з розв’язку рівняння рівноваги: 2 , ,ec tt i k ik ik ik F u u         (91) де тензор напружень ik  виражається з вільної енергії пружнього континууму МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 369 2 0 . 2 2 e ik ec ll ik ll e v v ll K F u u u K c u            (92) Тут 0 /2(1 )E    — модуль зсуву, ( ) ik i k k i u u u    — тензор деформації, ui позначає компоненту вектору зміщень u. Виражаючи тензор деформації ik  з вільної енергії (92) та підс- тавляючи його у рівняння (91) знаходимо 2 2 2 2 ( ) ( ) ,e tt v v K u c u c c u c              (93) де c  та c — швидкості звуку. У адіябатичному наближенні вектор зміщень u задовольняє співвідношенню . v v c  u Тому, для деформаційного потенціялу одержуємо 1 2 , e v e U K x K x       де для інтенсивности взаємо- дії маємо 2 / / . e v e K T K T      У такому випадку потік дефектів набирає вигляду  2 2 0 1 . v d a a a L x x xr x          J (94) При цьому складова J у рівнянні (84) має бути замінена на . a v  J Відомо, що процес формування дефектів носить термофлюкту- аційний характер і ймовірність ґенерування дефектів у такий спосіб зростає при підвищенні температури та густини дефектів. Як було показано раніше, з фізичної точки зору це приводить до зміни активаційного бар’єру внаслідок пружніх деформацій, спричинених дефектами. Для врахування цього ефекту достатньо ввести у розгляд відповідний механізм такого дефектоутворення. У рівнянні еволюції вакансій це приводить до включення скла- дової: 0 exp( ( )/ )G U r T , де множник 0 / exp( ( )/ ) f m D v v v G E E T      описує ймовірність цього процесу; U(r) — енергія пружнього по- ля. Відповідно оберемо 2 0 exp( /(1 )) v v G x x  . Загалом цей доданок має істотне значення при малих швидкостях набору дози, однак, далі ми залишимо його, не втрачаючи загальности розгляду. 5.3.2. Стохастичний модель еволюції дефектної структури Часові масштаби еволюції популяції вакансій ( 10–5 с) на кілька порядків перевищують масштаби релаксації каскадів ( 10–13 с). Це означає, що нове зіткнення з частинкою відбуватиметься у новій просторовій конфіґурації атомної системи. Інакше кажучи, перетин розсіяння/дефектоутворення або швидкість набору дози можуть розглядатися як параметри, що флюктуюють. У такому разі можна вважати стохастичним параметер P0, поклавши 370 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. P0  P  + (r,t), де ( , )t r подає відповідні флюктуації з власти- востями 0  та 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ).t t P t t          r r r r Тут 2 — ін- тенсивність флюктуацій (шуму) швидкости набору дози; - корельований шум описує швидку релаксацію каскадів у порів- нянні з часом еволюції вакансій. Тоді такий доданок має бути включено в динаміку системи (84). Для стохастичної динаміки вибираємо інтерпретацію Страто- новича. Для проведення подальшого розгляду будемо вимірювати прос- торові координати у Ld так, що / , d L r r введемо довжину взає- модії 0 / d r L та перепишемо повну систему (84) у вигляді 0 , , 0 , , 0 , , , , (1 ) ( ), ( ) (1 ) ( ) , ( ) (1 )1 [ ( ) ] , ( ) ( , i i t i i i v C i v t v v v i v C i C t C C C i v C t i v C AA P P x x A x AA P P x x A x P x x x A x x R x                                                                                    2 2 4 ) 1 ( ) ( ), a a x x x g x t           (95) де , , , , 0 2 , , 2 2 2 , , ( , ) (1 ) (1 ) ( )( ) exp , ( ) 1 (1 ) ( ) (1 ) . ( ) i v C i v i v C i v C i v i v C R x P x x P x x G A x x x g x A x                                            (96) Тут вважаємо, що флюктуації швидкости набору дози не дають внеску в динаміку стоків безпосереднім чином. Це дозволяє розг- лядати густини стоків, як величини, усереднені по всій системі та шуму. 5.3.3. Аналіза стійкости розподіленої стохастичної системи Розглянемо стійкість стаціонарного однорідного стану sx як розв’язку рівняння ( ) 0R x  при const  (стоки вважаються повільними модами). Для цього дослідимо стійкість просторових збурень поля концентрації вакансій від стаціонарного значення . sx x x      У Фур’є-просторі з МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 371 ( ) ( ; , , ) ( ; , , ) ,x x y y z zi k r k r k r x y z x y z x y z V x t k k k dr dr dr x t r r r e        (97) де k  {kx,ky,kz} — хвильовий вектор, k  \|k\|, r  {rx,ry,rz}, одержу- ємо лінеаризоване рівняння для збурень у вигляді  ( ) , d x k x dt         (98) тут показник Ляпунова за умови впливу шуму має вигляд 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) exp (1 ) 1 (1 ) 3 1 4 . s s i s s s s s i s s s P A x x G x xA x x x A x A xA x                                                  (99) Тут останній член дає внесок дрейфу Стратоновича, що приво- дить до дестабілізації однорідного стану. Зазначимо, що показ- ник стійкости до однорідних збурень є завжди від’ємним, що означає стійкість системи до однорідних збурень. Дія шуму при- водить до зростання показника стійкости , і за великих інтен- сивностей шуму він може стати додатнім. Та відповідні інтенсив- ності шуму не реалізуються в системі, і надалі покладаємо   0. При дослідженні стійкости системи до неоднорідних збурень проводиться аналіза дисперсійного співвідношення. За умови ані- зотропії системи воно має вигляд    2 2 2 2 4 4 2 4 ( ) 1 . s x y z s x y z k x k k k x k k k               (100) Далі, доцільно увести у розгляд співвідношення між хвильо- вими числами у вигляді , ( / ) x y z k a c k (тут приймається, що в ос- новній площині для хвильових чисел маємо співвідношення kx   ky  k, c/a — структурне співвідношення). У такому разі диспе- рсійне співвідношення задається виразом 2 4 2 2 2 4 ( ) [1 ] 2 2 . s s a a k x k x k c c                                  (101) З нього випливає, що нестійкі моди з ( ) > 0k характеризувати- муться хвильовими числами 0 < < , c k k де 2 2 2 2 [ 1](2 ( / ) ) . (2 ( / ) ) s c s x a c k x a c         (102) 372 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. Видно, що у найпростішому випадку 0 всі стани з > 1/ sx  нестійкі до однорідних збурень з , c k   тоді стани з < 1/ sx  є стійкими. При 0 стани системи, що характеризуються стаціо- нарною однорідною концентрацією вакансій > 1/ , sx  є нестійкими з хвильовими числами в інтервалі 0 < < . c k k Хвильове число най- більш нестійкої моди kmax, знаходиться з рівняння ( )/ 0,d k dk  що дає max / 2 c k k . Залежності ( )k при різних температурах опромі- нення та швидкостях набору дози показано на рис. 25. З одержаних результатів випливає, що при зростанні швидкос- ти набору дози в системі підсилюється просторова нестійкість внаслідок збільшення концентрації точкових дефектів. При цьо- а б в г Рис. 25. Закон дисперсії за фіксованих швидкостей набору дози, де K   10–6 з.н.а./с (а) і K  10–5 з.н.а./с (б), та за фіксованих температур, де T  500 К (в) і T  600 К (г);   1,3.28 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 373 му у дифузійному потоці нестійкість пов’язується із від’ємним ефективним коефіцієнтом дифузії вакансій, що сам залежить від концентрації вакансій у вигляді (1 ).x  Очевидно, що така не- стійкість істотно підвищується при зростанні швидкости пошко- джень, і відповідно, зростає величина параметра нестійкости до просторових збурень ( ).k Зростання швидкости набору дози на один порядок (як видно з порівняння рис. 25, а, б) приводить до зростання цього параметра теж на порядок. Порівнюючи залеж- ності цього показника від хвильового числа та швидкости пош- коджень при різних температурах, було встановлено, що збіль- шення температури при незмінних швидкостях пошкоджень приводить до пригнічення процесів розвитку просторових нестій- костей — значення параметра нестійкости до просторових збу- рень зменшується на порядок навіть при зростанні температури опромінення всього на 100 К. Це пов’язується з тим, що дефекти ефективніше виходять на стоки при збільшенні температури опромінення. Залежність хвильового числа kmax, що відповідає максимально- му значенню частоти , від температури опромінення та швидко- сти пошкоджень наведено на рис. 26. З нього видно, що існує пе- вний температурний режим та інтервал швидкостей пошко- джень, коли в системі не реалізуються просторові нестійкості (kmax  0). При цьому, як при зростанні температури, так і швид- кости пошкоджень величина kmax, що визначає хвильове число для найбільш нестійкої моди спадає, що свідчить про зростання а б Рис. 26. Залежність хвильового числа, що задає найбільш нестійку мо- ду, та відповідно період розташування вакансійних кластерів в анізот- ропній системі дефектів при K  10–6 з.н.а./с та різних інтенсивностях стоків: (а)   1,3; (б)   2,0.29 374 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. періоду розташування кластерів або скупчень вакансій у розгля- дуваній системі чистого Zr. Оцінювання періоду розташування вакансійних кластерів при дифузійній довжині 1/ d N L    10–5 см дозволяє встановити, що період розташування вакансійних скупчень по системі складає  0,5–1,5Ld  5–15 мкм. Аналізуючи вплив стоків на стійкість стаціонарних станів ви- явлено, що зростання інтенсивности стоків приводить до меншо- го значення xs. Це приводить до стабілізації однорідного розподі- лу вакансій по системі: максимальне значення ( )k зменшується, що приводить до зміщення kmax до малих значень (див. рис. 27). Отже, при підвищених інтенсивностях стоків число нестійких мод зменшується і період структур, що мають нанометровий роз- мір (у порівнянні з дифузійною довжиною Ld), який задається Рис. 27. Закон дисперсії за різних інтенсивностей стоків при (а) T  500 К, K  10–6 з.н.а./с; (б) T = 600 К, K  10–6 з.н.а./с; (в) T  600 К, K   10–5 з.н.а./с.30 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 375 найбільш нестійкою модою kmax зростає. 5.3.4. Моделювання динаміки формування кластерів вакансій Моделювання розподіленої системи дефектів проводилося із за- стосуванням методу кінетичного Монте-Карло у дифузійному на- ближенні (Ланжевенова динаміка). При цьому було застосовано модифікацію методу Ойлера для розподілених стохастичних сис- тем для врахування дрейфу Стратоновича. Моделювання випад- кового процесу проводилося за допомогою метода Бокса–Мюл- лера, що дозволяє у незалежний спосіб подати білий шум із Ґа- уссовими властивостями. Моделювання проводилося на квадрат- ній двовимірній ґратниці із кроком інтеґрування у просторі 0,5l  та кроком інтеґрування у часі 5 10t   у обезрозмірених одиницях. Лінійний розмір ґратниці складав LL  , xNL = , де N  128 – кількість комірок з поточною концентрацією вакансій. Крайові умови вибиралися періодичними, щоб запобігти виник- ненню розмірних ефектів. Типова картина еволюції вакансійної підсистеми в основній площині -цирконію зображена на рис. 28. Починаючи з Ґауссового розподілу вакансій за температури T   500 К, при швидкости набору дози K  10–6 з.н.а./с з урахуван- ням інтенсивности шуму 2 0,1  за короткий час (кількість Рис. 28. Типова картина еволюції поля концентрації вакансій при T   500 К, K  10–6 з.н.а./с, 2  0,1.31 376 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. кроків Монте-Карло) в системі встановлюється пересичений роз- чин вакансій. Внаслідок взаємодії вакансій з пружнім полем кристалу відбувається втрата стійкости однорідного розподілу і в системі формуються вакансійні скупчення — області простору з підвищеним вмістом вакансій (світлі кластери в темній матриці). 5.4. Моделювання розподілу пружніх полів при самоорганізації вакансійного ансамблю у чистому цирконії Даний підрозділ присвячено дослідженню еволюції пружніх по- лів ґратниці у опромінюваному цирконії при утворенні вакансій- них комплексів. Окремо розглянуто випадки за відсутности зов- нішньої деформації та з урахуванням умов зовнішнього механіч- ного навантаження у вигляді зсувної деформації та циклічного зсуву. Як відомо, багато елементів конструкцій та деталей машин при їх експлуатації, окрім однократного зсуву, піддаються цик- лічному зсувному навантаженню. Але експериментальні випро- бування матеріялів при циклічному деформуванні, тобто випро- бування на втомленість, є дуже дорогими та трудомісткими. То- му числове моделювання процесу циклічного навантаження конструкційних матеріялів має велике теоретичне та прикладне значення. Для дослідження розподілу пружніх полів при утворенні вака- нсійних комплексів у чистому цирконії у випадку відсутности зовнішнього механічного навантаження чисельно розв’язуємо динамічне рівняння (39) разом з рівнянням динаміки вакансій. У разі наявности зовнішньої деформації розв’язуємо рівняння рів- новаги (40) з урахуванням співвідношень (44) разом з рівнянням динаміки вакансій. Для цього проводиться дискретизація систе- ми рівнянь. Процедура моделювання проводиться на квадратній двовимірній ґратниці 64 64N N   (N — кількість комірок) з розміром комірки 1,0l  та часовим кроком 4 10t   . Крайові умови для поля концентрації вакансій задаються періодичними. Початкова конфіґурація ( ,0) 0,01, v c  r 2 ( ) 0,01. v c    Для поля пружніх переміщень u за відсутности механічного навантаження крайові умови задаються періодичними; за наявности прикладе- ної зсувної деформації  обираються такі крайові умови: ux  uy  0 для y  0, , x u N  uy  0 для y  N та u(x + N,y,t)  u(x,y,t). Поча- ткова конфіґурація задається як u  0. Для відповідної чисельної процедури ми проводимо просторову дискретизацію, використо- вуючи метод зміщеної ґратниці [64] та визначаємо вектори u, v у вузлах ґратниці (n,m), а деформації, тензори та концентрації — у точках (n  1/2, m  1/2). Далі наведено результати моделювання розподілу пружніх по- лів при утворенні вакансійних кластерів у опромінюваному цир- МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 377 конії у випадку відсутности зовнішнього механічного наванта- ження. Знімки еволюції концентрації вакансій x, компонент пружніх переміщень ux, uy і деформації середовища e, що одер- жано в результаті чисельного моделювання за температури T   500 К та швидкости набору дози K  10–6 з.н.а./с, показано на рис. 29. Як бачимо, у момент часу t  3,5 (в безрозмірних одини- цях) в околі сформованих вакансійних кластерів відбуваються істотні зміни у пружніх полях переміщень та деформацій, що пояснюється виникненням пружніх сил в системі в результаті взаємодії дефектів з кристалічною ґратницею. Еволюцію поля пружньої деформації e у зразку при швидкости набору дози K  10–6 з.н.а./с та за різних температурних режимів Рис. 29. Знімки еволюції концентрації вакансій x, компонент пружніх пе- реміщень ux, uy і деформації середовища e при T  500 К і K  10–6 з.н.а./с.32 378 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. подано на рис. 30. При меншому значенні температури T  500 К у момент часу t  1 спостерігаються більші абсолютні значення деформацій, оскільки у системі вже сформована більша кількість вакансійних кластерів, що спричинюють навколо себе пружні деформації, у порівнянні із зразком при T  550 К. У момент ча- су t  10 абсолютні значення деформацій для обох випадків від- різняються неістотно. На рисунку 31 представлено еволюцію дотичних напружень xy при різних температурних режимах та швидкостях набору дози. Суцільна крива відповідає еволюції напружень у зразку Рис. 30. Еволюція поля пружньої деформації e за різних температур.33 Рис. 31. Еволюція середнього значення дотичних напружень xy за різ- них режимів опромінення.34 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 379 при T  500 К та K  10–6 з.н.а./с, пунктирна крива — при T   550 K та K  10–6 з.н.а./с, штрихова крива — при T  500 К та K  5.10–6 з.н.а./с. При більшому значенні температури спостері- гаються менші значення пружніх напружень у системі й вихід на стаціонарне значення при більших значеннях часу. Збільшення швидкости набору дози призводить до збільшення значень доти- чних напружень у зразку. Як бачимо, всі залежності з часом ви- ходять на стаціонарне значення. Знімки еволюції дотичних напружень xy за температури T   500 К та різних швидкостях набору дози K показано на рис. 32. Як бачимо, при більшому значенні K  510–6 з.н.а./с зміню- ється форма утворених вакансійних кластерів та швидкість їх формування. Слід відмітити, що найвищі значення пружніх на- пружень спостерігаються у місцях утворених вакансійних клас- терів. Було розглянуто еволюцію вільної енергії F, що представлена на рис. 33. Тут суцільна крива відповідає вільній енергії опромі- нюваного цирконію при температурі T  500 К та швидкости на- бору дози K  10–6 з.н.а./с, пунктирна крива – при T  550 К та K  10–6 з.н.а./с, штрихова крива — при T  500 К і K  5.10–6 з.н.а./с. Порівняння суцільної та штрихової кривих показує, що у зразку за більшої температури у часовому інтервалі 0,5  t  8 мають місце менші абсолютні значення вільної енергії. Осцилю- ючий характер вільної енергії пояснюється наявністю дефектів у системі. Порівняння суцільної та штрихової кривих показує, що при початкових малих значеннях часу значення вільної енергії менші у зразку при більшій швидкости набору дози, в той час як за більших часів 0,8  t  10 — навпаки, більші значення вільної енергії. Рис. 32. Знімки еволюції дотичних напружень (xy) за різних режимів опромінення.35 380 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. 5.4.1. Зсувна деформація зі сталою швидкістю У цьому підрозділі ми розглянемо зсув зразку цирконію зі ста- лою швидкістю. У нашій обчислювальній процедурі ми прикла- даємо зсувну деформацію t   , безрозмірна швидкість якої 3 10 .   На рисунку 34 наведено знімки еволюції концентрації вакансій x, деформації середовища e та відхилення зсувної дефо- рмації 3 3 ,e e    що одержані для температури T  500 К та швидкости набору дози K  10–6 з.н.а./с. Стрілочками вказано напрямки прикладеного зсуву. Відповідні розрахунки наведено при трьох значеннях прикладеної ззовні зсувної деформації    10 3,   510 3 і   0,17. Як бачимо, вже при значенні часу t   1 у системі має місце утворення вакансійних кластерів, в околі яких відбуваються істотні зміни у пружніх полях. Знімки дефо- рмації середовища e показують, що найнижчі значення e локалі- зовані у місцях формування вакансійних кластерів, а найвищі — навколо них. Це свідчить про те, що вакансійний кластер нама- гається стягнути ґратницю навколо себе, тобто сусідні атоми зміщуються у напрямку до вакансійного кластеру. Зі знімків ві- дхилення зсувної деформації e3 бачимо, що при збільшенні зов- нішнього навантаження у зразку утворюються дислокації, а са- ме, на знімку e3 при   0,17 мають місце лінії підвищених зна- чень деформації (лінії проковзування), які вказують на місця ро- зташування дислокацій: лінії проковзування складаються з пари крайових дислокацій з протилежними Бюрґерсовими векторами [63–65], тобто краї ліній проковзування вказують на дислокацій- ні ядра. Слід відмітити, що при збільшенні зовнішньої деформа- Рис. 33. Еволюція вільної енергії F за різних режимів опромінення.36 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 381 ції  зростають абсолютні значення деформації середовища e та відхилення зсувної деформації e3. Еволюцію відхилення зсувної деформації e3 у зразку цирко- нію при різних швидкостях набору дози K та різних температур- них режимах подано на рис. 35. Аналіза впливу температури на еволюцію пружніх полів показує, що при більшій температурі лінії проковзування у системі починають формуватись пізніше, що свідчить про зростання межі плинности, тобто збільшення опору матеріялу пластичній деформації. Як бачимо, при збіль- шенні швидкости набору дози K  10–5 з.н.а./с при розглядува- них значеннях прикладеної деформації лінії проковзування фор- муються здебільшого поблизу країв зразку, до яких прикладено зусилля. Діяграми зсуву, тобто залежності дотичних напружень xy від прикладеної зсувної деформації , для різних температурних ре- жимів та швидкостей набору дози, представлено на рис. 36. Су- цільна крива відповідає еволюції напружень у зразку при T   500 К та K  10–6 з.н.а./с, штрихова крива — при T  500 К та K  10–5 з.н.а./с, пунктирна крива — при T  450 К та K  10 6 з.н.а./с. Аналіза деформаційних кривих показує, що підвищення температури спричинює зростання межі міцности, пов’язаної з максимальним значенням напружень на діяграмах зсуву, тобто Рис. 34. Знімки еволюції концентрації вакансій x, деформації середо- вища e та відхилення зсувної деформації e3. 37 382 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. призводить до зміцнення матеріялу. Збільшення швидкости на- бору дози спричинює зниження межі міцности. Рис. 35. Еволюція відхилення зсувної деформації e3. 38 Рис. 36. Діяграма зсуву при різних значеннях параметрів опромінен- ня.39 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 383 Проаналізуємо поведінку вільної енергії F зразка при зсувній деформації. Часову залежність вільної енергії при різних температурних режимах та швидкостях набору дози представлено на рис. 37. Суцільна крива відповідає вільній енергії опромінюваного цир- конію при температурі T  500 К та швидкости набору дози K   10–6 з.н.а./с, штрихова крива — при T  500 К та K  10–5 з.н.а./с, пунктирна крива — при T  450 К та K  10–6 з.н.а./с. Як бачимо, з часом вільна енергія зразків зростає. Порівняння кривих для вільної енергії показує, що при зниженні температу- ри (пунктирна крива) мають місце більші значення вільної енер- гії у часовому інтервалі 0  t  185. Також спостерігаємо, що збі- льшення швидкости набору дози (штрихова крива) приводить до збільшення значень вільної енергії у часовому інтервалі 115 < t <  182. Слід відмітити, що перегини на кривих вільної енергії ві- дповідають ділянкам найвищих напружень (рис. 36). 5.4.2. Циклічний зсув У цьому підрозділі досліджується циклічна зсувна деформація зразку цирконію. Розглядається випадок опроміненого цирконію при температурі T  500 К та швидкости набору дози K  10–6 з.н.а./с. До розглядуваного зразку прикладається зовнішня цик- лічна зсувна деформація  зі швидкістю 3 10   в періоди часу ntp  t  (n  1/2)tp та швидкістю 3 10    в періоди часу (n +  1/2)tp < t < (n + 1)tp, де tp  400 — тривалість одного циклу де- формації. Отже, досліджуваний матеріял піддається циклічній деформації зсуву, значення якої змінюється від 0 до 0,2 та від 0,2 до 0 у першій та другій половинах циклу відповідно. За та- ких зовнішніх умов числовим інтеґруванням динамічних рівнян- ня (40) з урахуванням співвідношень (44) разом з рівнянням ди- наміки вакансій проведено моделювання перших трьох циклів зсуву (n  0, n  1, n  2). На рисунку 38 подано залежність дотичних напружень xy від прикладеної циклічної зсувної деформації . Цифрами на кривих позначено номера циклів деформації. Як бачимо, наприкінці ко- жного циклу зсуву напруження набувають від’ємних значень. Слід відмітити, що значення напружень xy у другому та тре- тьому циклах відрізняються неістотно та спостерігається наяв- ність петлі механічної гістерези, ширина якої визначає Баушін- ґерову деформацію та складається з пружньої та пластичної де- формацій. Можна спостерігати, що у місцях нульових напружень починаючи з другої половини першого циклу зсуву деформації мають ненульові значення, що свідчить про наявність залишко- вої деформації, яка не зникає при спробі повернути зразок у по- 384 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. чатковий стан, тобто має незворотний характер. Знімки відхилення зсувної деформації e3 у середніх ( 0,2)  і кінцевих ( 0)  точках перших двох циклів наведено на рис. 39. Спостерігаємо, що у середині першого циклу ( 0,2)  , тобто піс- ля прикладання зсуву зі швидкістю 3 10 ,   у системі з’явилась Рис. 37. Вільна енергія F при зсувній деформації.40 Рис. 38. Діяграма циклічного зсуву при температурі T  500 К та шви- дкости набору дози K  10–6 з.н.а./с.41 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 385 значна кількість ліній проковзування, у яких відхилення зсувної деформації e3 приймає максимальні значення. Наприкінці пер- шого циклу ( 0)  , тобто після прикладання деформації проти- лежного напрямку зі швидкістю 3 10 ,    розміри деяких ліній проковзування зменшуються, у порівнянні з серединою першого циклу ( 0,2),  тобто відбувається зворотний рух дислокацій при зміні напрямку зсуву. Деякі лінії проковзування зникли. Крім того, з’явилося декілька ліній проковзування з протилеж- ним напрямком зміщення, в яких значення відхилення зсувної деформації e3 від’ємні. Знімки e3 для другого циклу зсуву по- казують, що у середині циклу ( 0,2)  кількість ліній проковзу- вання у системі, так само, як і в першому циклі, збільшилася, а у кінці другого циклу ( 0)  — зменшилася. Слід відмітити, що абсолютні значення відхилення зсувної деформації e3 зростають від початку циклічного зсуву. а б Рис. 39. Знімки відхилення зсувної деформації e3 при циклічному зсу- ві: (а) перший цикл; (б) другий цикл.42 386 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. 6. ВИСНОВКИ У цій роботі нами представлено результати формування мікро- структури дефектів у чистому -цирконію, використовуючи схе- му багатомасштабного моделювання. Досліджено структурні та електронні властивості кристалу цирконію з різною концентраці- єю ізольованих вакансій та енергетичні властивості кристалу з вакансійними комплексами за допомогою квантово-механічного формалізму (ab initio розрахунки). Досліджено динаміку розвит- ку каскадів у чистому цирконії, змінюючи енергію первинно ви- битого атому, напрямок його руху і температуру з використан- ням методів молекулярної динаміки. Проведено статистичну ана- лізу структурного безладу, спричиненого процесами зіткнень. Досліджено динаміку реорганізації точкових дефектів у чистому -цирконію, що піддається впливові сталого опромінення. Вста- новлено умови самоорганізації вакансій у кластери в рамках ви- користання теорії реакційних швидкостей і моделювання Монте- Карло. В рамках розрахунків з перших принципів досліджено струк- турні та електронні властивості чистого -цирконію з різною концентрацією ізольованих вакансій та невеликих кластерів ва- кансій. Виявлено, що при збільшенні концентрації ізольованих вакансій оптимальне значення параметра ґратниці зменшується. Вивчаючи залежності параметрів ґратниці кристалу -цирконію з двома вакансіями, розділеними різними відстанями та залежнос- ті енергії формування двох вакансій, розділених різними відста- нями, від відстані між вакансіями показано, що дві вакансії пе- рестають відчувати одна одну, якщо відстань між ними стає бі- льшою за подвійне значення параметра ґратниці. Досліджуючи енергії формування ізольованої вакансій та невеликих кластерів вакансій в чистому цирконії встановлено, що бівакансія є стій- кою лише в тому випадку, якщо відстань між двома вакансіями не перевищує радіюса першої координаційної сфери; тривакансія є стійкою, коли всі три вакансії є найближчими сусідами. Вста- новлено, що енергія Фермі кристалу -цирконію з кластерами вакансій зменшується зі збільшенням кількости вакансій у клас- тері, що добре відповідає відомій теоретичній оцінці. В рамках використання методів молекулярної динаміки ви- вчаються процеси ґенерації та анігіляції дефектів в каскадах зміщень опромінюваного -цирконію. Встановлено, що на почат- кових стадіях формування каскадів спостерігаються процеси ка- налювання, які приводять до виникнення каскадних зміщень атомів у віддалених одна від одної областях кристалу. Показано, що після початку виникнення каскаду він досягає найбільших розмірів через час t  0,4 пс незалежно від температури криста- МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 387 лу, енергії та напряму початкового руху первинно вибитого ато- ма. Встановлено, що зі збільшенням енергії ПВА об’єм области кристалу, де виникає каскад, зростає. Показано, що об’єм каска- ду та кількість атомів, які його формують, залежать від початко- вого напрямку руху ПВА за однакових усіх інших параметрів. Цей ефект пояснюється різною поверхневою густиною атомів у різних кристалографічних площинах, в яких відбувається рух ПВА. Досліджено стабільність дефектів, утворених в процесі проходження каскаду. Встановлено, що параметри ґратниці цир- конію з вакансіями збільшуються зі зростанням температури зразка, а енергія формування кластерів вакансій спадає з темпе- ратурою. Із застосуванням швидкісної теорії розроблено кінетичний мо- дель еволюції дефектної структури чистого цирконію, що врахо- вує динаміку стоків. Виявлено основні механізми, що керують динамікою системи точкових дефектів в умовах опромінення нейтронами та встановлено стадії еволюції системи точкових де- фектів. Виявлено вплив стоків на характер росту/спадання кон- центрації точкових дефектів та з’ясовано основні механізми пе- ребудови вакансійної підсистеми при формуванні кластерів вака- нсій (аґломерації). Показано, що зростання енергії нейтронів в інтервалі 0,5–2 МеВ при 500–800 К приводить до збільшення концентрації вакансій на декілька порядків при незначному збі- льшенні швидкости пошкоджень (510–7–3,210–6 з.н.а./с). Шля- хом числового моделювання встановлено, що внаслідок ґенерації великої кількости нерівноважних дефектів та процесів взаємодії та нелінійних ефектів вакансії збираються у кластери при пере- вищенні критичного значення концентрацією вакансій внаслідок взаємодії з пружніми полями кристалу. Вивчено вплив утворе- них вакансійних комплексів на пружні поля деформацій у крис- талі. Показано, що найнижчі значення пружніх деформацій ло- калізовано у місцях формування вакансійних кластерів, а най- вищі — навколо них. Цей факт свідчить про те, що вакансійні кластери намагаються стягнути ґратницю навколо себе, тобто су- сідні атоми зміщуються у напрямку до вакансійного кластеру. Дослідження циклічної деформації показало наявність залишко- вої деформації, що підтверджує факт пластичної течії за розгля- дуваних параметрів опромінення та зовнішніх механічних наван- тажень. Одержані результати загалом узгоджуються з більшістю експе- риментальних спостережень, що стосуються утворення вакансій- них кластерів у опроміненому цирконії та ГЩП-металах та тео- ретичних прогнозах формування вакансійних кластерів. Їх може бути використано для описування та прогнозування реорганізації розподілених випадково вакансій, їх самоорганізації в нано- й 388 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. мікроструктуру залежно від швидкости дефектоутворення та те- мператури опромінення у чистому Zr. ПОДЯКИ Публікація містить результати досліджень, проведених за гран- том Президента України в рамках конкурсного проекту (Ф70/118- 2017), Державного фонду фундаментальних досліджень за підт- римки Міжнародної програми науково-технічної співпраці прові- нції Сичуань і програми обміну дослідженнями (2016HH0014), а також Китайського докторського наукового фонду (2015M 582575). ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. G. S. Was, Fundamentals of Radiation Materials Science (Berlin–Heidelberg: Springer-Verlag: 2007). 2. D. Walgraef, Spatio-Temporal Pattern Formation (New York–Berlin– Heidelberg: Springer-Verlag: 1996). 3. A. Jostobns and K. Farrell, Structural Damage and its Annealing Response in Neutron Irradiated Magnesium, Rad. Effects, 15: 217 (1972). 4. J. O. Steigler and K. Farrell, Alignment of Dislocation Loops in Irradiated Metals, Scr. Metall., 8: 651 (1974). 5. J. H. Evans, Observation of a Regular Void Array in High Purity Molybdenum Irradiated with 2 MeV Nitrogen Ions, Nature, 229: 403 (1971). 6. N. M. Ghoniem, D. Walgraef, and S. Zinkle, Theory and Experiment of Nanostructure Self-Organization in Irradiated Materials, J. Comput. Aided Mater. Des., 8: 1 (2001). 7. D. J. Mazey and J. E. Evans, Bubble Lattice Formation in Titanium Injected with Krypton Ions, J. Nucl. Mater., 138: 16 (1986). 8. W. Jäger, P. Ehrhart, and W. Shilling, Dislocation Patterning under Irra- diation, Solid State Phenomena, 3–4: 297 (1988). 9. W. Jäger and H. Trinkaus, Defect Ordering in Metals under Irradiation, J. Nucl. Mater., 205: 394 (1993). 10. J. E. Evans and D. J. Mazey, Solid Bubble Formation in Titanium Injected with Krypton Ions, J. Nucl. Mater., 138: 176 (1986). 11. B. A. Loomis, S. B. Gerber, and A. Taylor, Void Ordering in Ion-Irradiated Nb and Nb–1% Zr, J. Nucl. Mater., 68: 19 (1977). 12. Ф. Х. Мирзоев, В. Я. Панченко, Л. А. Шелепин, Лазерное управление процессами в твёрдом теле, Успехи физ. наук, 166: 3 (1996). 13. D. Walgraef, J. Lauzeral, and N. M. Ghoniem, Theory and Numerical Simulations of Defect Ordering in Irradiated Materials, Phys. Rev. B, 53: 14782 (1996). 14. M. H. Yoo, Growth Kinetics of Dislocation Loops and Voids—the Role of Divacancies, Philosophical Magazine, 40: 193 (1979). 15. D. Walgraef and N. M. Ghoniem, Effects of Glissile Interstitial Clusters on Microstructure Self-Organization in Irradiated Materials, Phys. Rev. B, 67: 064103 (2003). https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-49472-0_9 https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-49472-0_9 http://dx.doi.org/10.1080/00337577208234696 https://doi.org/10.1016/0036-9748(74)90015-5 https://doi.org/10.1038/229403a0 https://doi.org/10.1023/A:1015062218246 https://doi.org/10.1023/A:1015062218246 https://doi.org/10.1016/0022-3115(86)90248-5 https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/SSP.3-4.279 https://doi.org/10.1016/0022-3115(93)90104-7 https://doi.org/10.1016/0022-3115(86)90004-8 https://doi.org/10.1016/0022-3115(77)90212-4 https://doi.org/10.3367/UFNr.0166.199601a.0003 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.53.14782 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.53.14782 http://dx.doi.org/10.1080/01418617908243098 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.67.064103 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.67.064103 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 389 16. D. Douglas, Metallurgy of Zirconium (Moscow: Atomizdat: 1976) (Russian translation). 17. C. Yan, R. Wang, Y. Wang, X. Wang, and G. Bai, Effects of Ion Irradiation on Microstructure and Properties of Zirconium Alloys—A Review, Nucl. Eng. Technol., 47: 323 (2015). 18. M. Griffiths, D. Gilbon, C. Regnard, and C. Lemaignan, HVEM Study of the Effects of Alloying Elements and Impurities on Radiation Damage in Zr- Alloys, J. Nucl. Mater., 205: 273 (1993). 19. M. Griffiths, R. C. Styles, C. H. Woo, F. Phillipp, and W. Frank, Study of Point Defect Mobilities in Zirconium during Electron Irradiation in a High- Voltage Electron Microscope, J. Nucl. Mater., 208: 324 (1994). 20. G. J. C. Carpenter, Void Formation in Zirconium under Irradiation in the High-Voltage Electron Microscope, Rad. Eff., 19: 189 (1973). 21. D. Faulkner and C. H. Woo, Void Swelling in Zirconium, J. Nucl. Mater., 90: 3073 (1980). 22. D. J. Bacon, A Review of Computer Models of Point Ddefects in HCP Metals, J. Nucl. Mater., 159: 176 (1988). 23. C. Varvenne, O. Mackain, and E. Clouet, Vacancy Clustering in Zirconium: An Atomic-Scale Study, Acta Mater., 78: 65 (2014). 24. G. Verite, F. Willaime, and C. C. Fu, Anisotropy of the Vacancy Migration in Ti, Zr and Hf Hexagonal Close-Packed Metals from First Principles, Solid State Phenom., 129, 75 (2007). 25. V. O. Kharchenko and D. O. Kharchenko, Ab-initio Calculations for the Structural Properties of Zr–Nb Alloys, Cond. Mat. Phys., 16: 13801 (2013). 26. V. G. Kapinos, Yu. N. Osetsky, and P. A. Platonov, Simulation of Defect Cascade Collapse in HCP Zirconium, J. Nucl. Mater., 184: 125 (1991). 27. S. J. Wooding, L. M. Howe, F. Gao, A. F. Calder, and D. J. Bacon, A Molecular Dynamics Study of High-Energy Displacement Cascades in -Zirconium, J. Nucl. Mater., 254: 191 (1998). 28. F. Gao, D. J. Bacon, L. M. Howe, and C. B. So, Temperature-Dependence of Defect Creation and Clustering by Displacement Cascades in -Zirconium, J. Nucl. Mater., 294: 288 (2001). 29. R. E. Voskoboinikov, Yu. N. Osetsky, and D. J. Bacon, Identification and Morphology of Point Defect Clusters Created in Displacement Cascades in - Zirconium, Nucl. Instrum. and Meth. B, 242: 530 (2006). 30. N. de Diego, Yu. N. Osetsky, and D. J. Bacon, Structure and Properties of Vacancy and Interstitial Clusters in -Zirconium, J. Nucl. Mater., 374: 87 (2008). 31. A. V. Barashev, S. I. Golubov, and R. E. Stoller, Corrigendum to ‘Theoreti- cal Investigation of Microstructure Evolution and Deformation of Zirconium under Neutron Irradiation’ [J. Nucl. Mater. 461 (2015) 85–94], J. Nucl. Mater., 461: 85 (2015). 32. D. Walgraef and N. M. Ghoniem, Spatial Instabilities and Dislocation-Loop Ordering in Irradiated Materials, Phys. Rev. B, 39: 8867 (1989). 33. D. Walgraef and N. M. Ghoniem, Nonlinear Dynamics of Self-Organized Microstructure under Irradiation, Phys. Rev. B, 52: 3951 (1995). 34. D. O. Kharchenko and V. O. Kharchenko, Noise-Induced Pattern Formation in System of Point Defects Subjected to Irradiation, Eur. Phys. J. B, 85: 383 (2012). https://doi.org/10.1016/j.net.2014.12.015 https://doi.org/10.1016/0022-3115(93)90090-L https://doi.org/10.1016/0022-3115(94)90342-5 http://dx.doi.org/10.1080/00337577308232242 https://doi.org/10.1016/0022-3115(80)90269-X https://doi.org/10.1016/0022-3115(80)90269-X https://doi.org/10.1016/0022-3115(88)90092-X https://doi.org/10.1016/j.actamat.2014.06.012 https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/SSP.129.75 http://dx.doi.org/10.5488/CMP.16.13801 https://doi.org/10.1016/0022-3115(91)90503-Y https://doi.org/10.1016/S0022-3115(97)00365-6 https://doi.org/10.1016/S0022-3115(01)00483-4 https://doi.org/10.1016/j.nimb.2005.08.167 http://dx.doi.org/10.1016/j.jnucmat.2007.07.011 http://dx.doi.org/10.1016/j.jnucmat.2007.07.011 http://dx.doi.org/10.1016/j.jnucmat.2015.10.039 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.39.8867 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.52.3951 http://dx.doi.org/10.1140/epjb/e2012-30522-3 http://dx.doi.org/10.1140/epjb/e2012-30522-3 390 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. 35. Д. O. Харченко, В. O. Харченко, A. I. Баштова, Моделювання просторової організації точкових дефектів в опромінюваних системах, Укр. фіз. журнал, 58, № 10: 994 (2013). 36. D. O. Kharchenko and V. O. Kharchenko, Properties of Spatial Arrangement of V-Type Defects in Irradiated Materials: 3D-Modelling, Cond. Mat. Phys., 16: 33001 (2013). 37. D. O. Kharchenko, V. O. Kharchenko, and A. I. Bashtova, Modeling Self- Organization of Nano-Size Vacancy Clusters in Stochastic Systems Subjected to Irradiation, Rad. Eff. Def. Sol., 169: 418 (2014). 38. D. O. Kharchenko and V. O. Kharchenko, Abnormal Grain Growth in Non- equilibrium Systems: Effects of Point Defect Patterning, Phys. Rev. E, 89: 042133 (2014). 39. N. M. Ghoniem and G. L. Kulcinski, The Effect of Damage Rate on Void Growth in Metals, J. Nucl. Mater., 82: 392 (1979). 40. V. I. Dubinko, A. V. Tur, A. A. Turkin, and V. V. Yanovskij, A Mechanism of Formation and Properties of the Void Lattice in Metals under Irradiation, J. Nucl. Mater., 161: 57 (1989). 41. S. Rokkam, A. El-Azab, P. Millett, and D. Wolf, Phase Field Modeling of Void Nucleation and Growth in Irradiated Metals, Modelling Simul. Matter. Sci. Eng., 17: 064002 (2009). 42. S. Y. Hu and C. H. Henager, Phase-Field Simulation of Void Migration in a Temperature Gradient, Acta Mater., 58: 3230 (2010). 43. A. A. Semenov and C. H. Woo, Phase-Field Modeling of Void Formation and Growth under Irradiation, Acta Mater., 60: 6112 (2012). 44. D. O. Kharchenko and V. O. Kharchenko, A study of Void Size Growth in Nonequilibrium Stochastic Systems of Point Defects, Eur. Phys. J. B, 89: 123 (2016). 45. F. Leonard and M. Haataja, Alloy Destabilization by Dislocations, Appl. Phys. Lett., 86: 181909 (2005). 46. D. O. Kharchenko and V. O. Kharchenko, Modeling Phase Decomposition and Patterning in Binary Alloy Systems Subjected to Neutron Irradiation, Rad. Eff. Def. Sol., 171: 819 (2016). 47. Д. O. Харченко, В. O. Харченко, A. I. Баштова, Самоорганізація вакансійного ансамблю при спінодальному розпаді бінарних систем, підданих сталій дії радіаційного опромінення, Укр. фіз. журнал, 61, № 3: 276 (2016). 48. E. Weinan, Principles of Multiscale Modeling (Cambridge: Cambridge University Press: 2011). 49. Д. O. Харченко, І. O. Лисенко, В. О. Харченко, Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу, Успехи физ. мет., 13, № 2: 101 (2012). 50. M. I. Mendelev and G. J. Ackland, Development of an Interatomic Potential for the Simulation of Phase Transformations in Zirconium, Phil. Mag. Lett., 87: 349 (2007). 51. D. H. Ruiza, L. M. Gribaudo, and A. M. Montic, Materials Research, 8: 431 (2005). 52. R. A. Enrique and P. Bellon, Compositional Patterning in Systems Driven by Competing Dynamics of Different Length Scale, Phys. Rev. Lett., 84: 2885 (2000). http://dx.doi.org/10.15407/ujpe58.10.0993 http://dx.doi.org/10.5488/CMP.16.33001 http://dx.doi.org/10.5488/CMP.16.33001 http://dx.doi.org/10.1080/10420150.2014.905577 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.89.042133 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.89.042133 https://doi.org/10.1016/0022-3115(79)90021-7 https://doi.org/10.1016/0022-3115(89)90462-5 https://doi.org/10.1088/0965-0393/17/6/064002 https://doi.org/10.1088/0965-0393/17/6/064002 https://doi.org/10.1016/j.actamat.2010.01.043 https://doi.org/10.1016/j.actamat.2012.07.049 https://doi.org/10.1140/epjb/e2016-70090-x https://doi.org/10.1140/epjb/e2016-70090-x https://doi.org/10.1063/1.1922578 http://dx.doi.org/10.1080/10420150.2016.1274753 http://dx.doi.org/10.15407/ujpe61.03.0265 http://dx.doi.org/10.15407/ujpe61.03.0265 https://doi.org/10.15407/ufm.13.02.101 http://dx.doi.org/10.1080/09500830701191393 http://dx.doi.org/10.1080/09500830701191393 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.84.2885 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.84.2885 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 391 53. R. A. Enrique and P. Bellon, Compositional Patterning in Immiscible Alloys Driven by Irradiation, Phys. Rev. B, 63: 134111 (2001). 54. J.-M. Roussel and P. Bellon, Vacancy-Assisted Phase Separation with Asymmetric Atomic Mobility: Coarsening Rates, Precipitate Composition, and Morphology, Phys. Rev. B, 63: 184114 (2001). 55. D. Kharchenko, I. Lysenko, and V. Kharchenko, Noise Induced Patterning in Periodic Systems with Conserved Dynamics, Physica A, 389: 3356 (2010). 56. D. Kharchenko, V. Kharchenko, and I. Lysenko, Pattern Selection Processes and Noise Induced Pattern-Forming Transitions in Periodic Systems with Transient Dynamics, Cent. Eur. J. Phys., 9: 698 (2011). 57. Д. О. Харченко, В. О. Харченко, С. В. Кохан, I. О. Лисенко, Моделювання зміни мікроструктури опромінюваних систем методом фазового поля кристалa, Укр. фіз. журнал, 57, № 10: 1069 (2012). 58. K. R. Elder, M. Katakowski, M. Haataja, and M. Grant, Modeling Elasticity in Crystal Growth, Phys. Rev. Lett., 88: 245701 (2002). 59. A. Jaatinen, C. V. Achim, K. R. Elder, and T. Ala-Nissila, Phys. Rev. E, 80: 031602 (2009). 60. J. Berry, M. Garnt, and K. R. Elder, Diffusive Atomistic Dynamics of Edge Dislocations in Two Dimensions, Phys. Rev. E, 73: 031609 (2006). 61. K. R. Elder, N. Provatas, J. Berry, P. Stefanovich, and M. Grant, Phys. Rev. B, 75: 064107 (2007). 62. A. Onuki, Phase Transition Dynamics (Cambridge: Cambridge University Press: 2002). 63. A. Minami and A. Onuki, Dislocation Formation in Two-Phase Alloys, Phys. Rev. B, 70: 184114 (2004). 64. A. Onuki, Plastic Flow in Two-Dimensional Solids, Phys. Rev. E, 68: 061502 (2003). 65. A. Minami and A. Onuki, Dislocation Formation and Plastic Flow in Binary Alloys in Three Dimensions, Phys. Rev. B, 72: 100101 (2005). 66. A. Onuki, A. Furukawa, and A. Minami, Pramana J. Phys., 64: 661 (2005). 67. D. O. Kharchenko, O. M. Shchokotova, I. O. Lysenko, and V. O. Kharchenko, Modeling Microstructure Evolution of Binary Systems Subjected to Irradia- tion and Mechanical Loading, Rad. Eff. Def. Sol., 170: 584 (2015). 68. D. O. Kharchenko, O. M. Schokotova, A. I. Bashtova, and I. O. Lysenko, A Study of Phase Separation Processes in Presence of Dislocations in Binary Systems Subjected to Irradiation, Cond. Mat. Phys., 18: 23003 (2015). 69. M. Haataja, J. Muller, A. D. Rutenberg, and M. Grant, Dislocations and Morphological Instabilities: Continuum Modeling of Misfitting Heteroepi- taxial Films, Phys. Rev. B, 65: 165414 (2002). 70. M. Haataja and F. Leonard, Influence of Mobile Dislocations on Phase Sepa- ration in Binary Alloys, Phys. Rev. B, 69: 081201 (2004). 71. M. Haataja, J. Mahon, N. Provatas, and F. Leonard, Scaling of Domain Size during Spinodal Decomposition: Dislocation Discreteness and Mobility Effects, Appl. Phys. Lett., 87: 251901 (2005). 72. A. D. Becke, Density-Functional Thermochemistry. III. The Role of Exact Exchange, J. Chem. Phys., 98: 5648 (1993). 73. K. Burke, J. Werschnik, and E. K. U. Gross, Thime-Dependent Density Functional Theory: Past, Present, and Future, J. Chem. Phys., 123: 062206 (2005). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.63.134111 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.63.184114 https://doi.org/10.1016/j.physa.2010.04.027 https://doi.org/10.2478/s11534-010-0076-y https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.88.245701 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.80.031602 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.80.031602 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.73.031609 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.75.064107 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.70.184114 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.68.061502 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.68.061502 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.72.100101 http://dx.doi.org/10.1080/10420150.2015.1063058 http://dx.doi.org/10.5488/CMP.18.23003 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.65.165414 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.69.081201 http://dx.doi.org/10.1063/1.2147732 http://dx.doi.org/10.1063/1.464913 https://doi.org/10.1063/1.1904586 https://doi.org/10.1063/1.1904586 392 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. 74. D. C. Langreth and M. J. Mehl, Beyond the Local-Density Approximation in Calculations of Ground-State Electronic Properties, Phys. Rev. B, 28: 1809 (1983). 75. A. D. Becke, Density-Functional Exchange-Energy Approximation with Correct Asymptotic Behavior, Phys. Rev. A, 38: 3098 (1988). 76. O. K. Andersen, Linear Methods in Band Theory, Phys. Rev. B, 12: 3060 (1975). 77. J. Slater and H. C. Verma, The Theory of Complex Spectra, Phys. Rev., 34: 1293 (1929). 78. P. W. Atkins, Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to Quantum Chemistry (Oxford: Oxford University Press: 1977). 79. J. C. Slater, A Simplification of the Hartree–Fock Method, Phys. Rev., 81: 385 (1951). 80. J. C. Slater, A Generalized Self-Consistent Field Method, Phys. Rev., 91: 528 (1953). 81. W. Kohn and L. J. Sham, Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects, Phys. Rev., 140: A1133 (1965). 82. P. Hohenberg and W. Kohn, Inhomogeneous Electron Gas, Phys. Rev., 136: B864 (1964). 83. O. Gunnarsson and B. I. Lundquist, Exchange and Correlation in Atoms, Molecules, and Solids by the Spin-Density-Functional Formalism, Phys. Rev. B, 13: 4274 (1976). 84. R. O. Jones and O. Gunnarsson, The Density Functional Formalism, Its Ap- plications and Prospects, Rev. Mod. Phys., 61: 689 (1989). 85. S. D. Murray and M. I. Baskes, Embedded-Atom Method: Derivation and Application to Impurities, Surfaces, and Other Defects in Metals, Phys. Rev. B, 29: 4436453 (1984). 86. C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (New York–London–Sydney– Toronto: Wiley: 2004). 87. K. Krishan, Kinetics of Void-Lattice Formation in Metals, Nature, 287: 420 (1980). 88. K. Krishan, Self-Organization and Stability of Rate Processes during Irradiation, Solid State Phenom., 3–4: 267 (1988). 89. S. M. Murphy, Spatial Instability in Dislocation Structure under Irradiation, Europhys. Lett., 3: 1267 (1987). 90. E. A. Koptelov and A. A. Semenov, The Fluctuation Instability of the Homogeneous Void Distribution, J. Nucl. Mater., 160: 253 (1988). 91. N. M. Ghoniem and D. Walgraef, Evolution Dynamics of 3D Periodic Microstructures in Irradiated Materials, Modell. Simul. Mater. Sci. Eng., 1: 569 (1993). 92. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Theory of Elasticity (New York: Pergamon: 1973). 93. N. de Diego, N. Mirn, and M. Ruhl, Transmission Electron Microscopy Studies of the Ordering of Nitrogen in Tantalum, Acta Metall., 27: 1445 (1979). 94. P. Blaha, K. Schwarz, G. K. H. Madsen, D. Kvasnicka, and J. Luitz, Wien2k, An Augmented Plane Wave Plus Local Orbitals Program for Calculating Crystal Properties (Vienna: Vienna University of Technology: 2001). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.28.1809 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.28.1809 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.38.3098 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.12.3060 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.12.3060 https://doi.org/10.1103/PhysRev.34.1293 https://doi.org/10.1103/PhysRev.34.1293 https://doi.org/10.1103/PhysRev.81.385 https://doi.org/10.1103/PhysRev.81.385 https://doi.org/10.1103/PhysRev.91.528 https://doi.org/10.1103/PhysRev.91.528 https://doi.org/10.1103/PhysRev.140.A1133 https://doi.org/10.1103/PhysRev.136.B864 https://doi.org/10.1103/PhysRev.136.B864 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.13.4274 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.61.689 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.29.6443 https://doi.org/10.1038/287420a0 https://doi.org/10.1038/287420a0 https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/SSP.3-4.267 https://doi.org/10.1209/0295-5075/3/12/004 https://doi.org/10.1016/0022-3115(88)90055-4 https://doi.org/10.1088/0965-0393/1/5/001 https://doi.org/10.1088/0965-0393/1/5/001 http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0965-0393/1/5/001 https://doi.org/10.1016/0001-6160(79)90166-4 https://doi.org/10.1016/0001-6160(79)90166-4 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 393 95. Інформація на вебсайті http://www.wien2k.at. 96. J. P. Perdew, K. Burke, and M. Ernzerhof, Generalized Gradient Approximation Made Simple, Phys. Rev. Lett., 77: 3865 (1996). 97. В. О. Харченко, С. В. Кохан, Електронні властивості кристалу цирконію з вакансіями та динаміка вакансій: ab-initio розрахунки та молекулярна динаміка, Журнал нано- та електронної фізики, 7, № 2: 02014 (2015). 98. Інформація на вебсайті http://lammps.sandia.gov. 99. J. D. Honeycutt and H. C. Andersen, Molecular Dynamics Study of Melting and Freezing of Small Lennard-Jones Clusters, J. Phys. Chem., 91: 4950 (1987). 100. D. Faken and H. Jonsson, Systematic Analysis of Local Atomic Structure Combined with 3D Computer Graphics, Comput. Mater. Sci., 2: 279 (1994). 101. A. Stukowski, Structure Identification Methods for Atomistic Simulations of Crystalline Materials, Modell. Simul. Mater. Sci. Eng., 20: 045021 (2012). 102. J. H. Li, X. D. Dai, S. H. Liang, K. P. Tai, Y. Kong, and B. X. Liu, Interatomic Potentials of the Binary Transition Metal Systems and Some Applications in Materials Physics, Physics Reports, 455: 1134 (2008). REFERENCES 1. G. S. Was, Fundamentals of Radiation Materials Science (Berlin–Heidelberg: Springer-Verlag: 2007). 2. D. Walgraef, Spatio-Temporal Pattern Formation (New York–Berlin– Heidelberg: Springer-Verlag: 1996). 3. A. Jostobns and K. Farrell, Structural Damage and its Annealing Response in Neutron Irradiated Magnesium, Rad. Effects, 15: 217 (1972). 4. J. O. Steigler and K. Farrell, Alignment of Dislocation Loops in Irradiated Metals, Scr. Metall., 8: 651 (1974). 5. J. H. Evans, Observation of a Regular Void Array in High Purity Molybdenum Irradiated with 2 MeV Nitrogen Ions, Nature, 229: 403 (1971). 6. N. M. Ghoniem, D. Walgraef, and S. Zinkle, Theory and Experiment of Nanostructure Self-Organization in Irradiated Materials, J. Comput. Aided Mater. Des., 8: 1 (2001). 7. D. J. Mazey and J. E. Evans, Bubble Lattice Formation in Titanium Injected with Krypton Ions, J. Nucl. Mater., 138: 16 (1986). 8. W. Jäger, P. Ehrhart, and W. Shilling, Dislocation Patterning under Irra- diation, Solid State Phenomena, 3–4: 297 (1988). 9. W. Jäger and H. Trinkaus, Defect Ordering in Metals under Irradiation, J. Nucl. Mater., 205: 394 (1993). 10. J. E. Evans and D. J. Mazey, Solid Bubble Formation in Titanium Injected with Krypton Ions, J. Nucl. Mater., 138: 176 (1986). 11. B. A. Loomis, S. B. Gerber, and A. Taylor, Void Ordering in Ion-Irradiated Nb and Nb–1% Zr, J. Nucl. Mater., 68: 19 (1977). 12. F. Kh. Mirzoev, V. Ya. Panchenko, and L. A. Shelepin, Laser Control Processes in Solids, Physics-Uspekhi, 39: 1 (1996). 13. D. Walgraef, J. Lauzeral, and N. M. Ghoniem, Theory and Numerical Simulations of Defect Ordering in Irradiated Materials, Phys. Rev. B, 53: 14782 (1996). http://www.wien2k.at/ https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.3865 http://lammps.sandia.gov/ https://doi.org/10.1021/j100303a014 https://doi.org/10.1021/j100303a014 https://doi.org/10.1016/0927-0256(94)90109-0 https://doi.org/10.1088/0965-0393/20/4/045021 https://doi.org/10.1016/j.physrep.2007.09.004 https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-49472-0_9 https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-49472-0_9 http://dx.doi.org/10.1080/00337577208234696 https://doi.org/10.1016/0036-9748(74)90015-5 https://doi.org/10.1038/229403a0 https://doi.org/10.1023/A:1015062218246 https://doi.org/10.1023/A:1015062218246 https://doi.org/10.1016/0022-3115(86)90248-5 https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/SSP.3-4.279 https://doi.org/10.1016/0022-3115(93)90104-7 https://doi.org/10.1016/0022-3115(86)90004-8 https://doi.org/10.1016/0022-3115(77)90212-4 http://dx.doi.org/10.1070/PU1996v039n01ABEH000125 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.53.14782 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.53.14782 394 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. 14. M. H. Yoo, Growth Kinetics of Dislocation Loops and Voids—the Role of Divacancies, Philosophical Magazine, 40: 193 (1979). 15. D. Walgraef and N. M. Ghoniem, Effects of Glissile Interstitial Clusters on Microstructure Self-Organization in Irradiated Materials, Phys. Rev. B, 67: 064103 (2003). 16. D. Douglas, Metallurgy of Zirconium (Moscow: Atomizdat: 1976) (Russian translation). 17. C. Yan, R. Wang, Y. Wang, X. Wang, and G. Bai, Effects of Ion Irradiation on Microstructure and Properties of Zirconium Alloys—A Review, Nucl. Eng. Technol., 47: 323 (2015). 18. M. Griffiths, D. Gilbon, C. Regnard, and C. Lemaignan, HVEM Study of the Effects of Alloying Elements and Impurities on Radiation Damage in Zr- Alloys, J. Nucl. Mater., 205: 273 (1993). 19. M. Griffiths, R. C. Styles, C. H. Woo, F. Phillipp, and W. Frank, Study of Point Defect Mobilities in Zirconium during Electron Irradiation in a High- Voltage Electron Microscope, J. Nucl. Mater., 208: 324 (1994). 20. G. J. C. Carpenter, Void Formation in Zirconium under Irradiation in the High-Voltage Electron Microscope, Rad. Eff., 19: 189 (1973). 21. D. Faulkner and C. H. Woo, Void Swelling in Zirconium, J. Nucl. Mater., 90: 3073 (1980). 22. D. J. Bacon, A Review of Computer Models of Point Ddefects in HCP Metals, J. Nucl. Mater., 159: 176 (1988). 23. C. Varvenne, O. Mackain, and E. Clouet, Vacancy Clustering in Zirconium: An Atomic-Scale Study, Acta Mater., 78: 65 (2014). 24. G. Verite, F. Willaime, and C. C. Fu, Anisotropy of the Vacancy Migration in Ti, Zr and Hf Hexagonal Close-Packed Metals from First Principles, Solid State Phenom., 129, 75 (2007). 25. V. O. Kharchenko and D. O. Kharchenko, Ab-initio Calculations for the Structural Properties of Zr–Nb Alloys, Cond. Mat. Phys., 16: 13801 (2013). 26. V. G. Kapinos, Yu. N. Osetsky, and P. A. Platonov, Simulation of Defect Cascade Collapse in HCP Zirconium, J. Nucl. Mater., 184: 125 (1991). 27. S. J. Wooding, L. M. Howe, F. Gao, A. F. Calder, and D. J. Bacon, A Molecular Dynamics Study of High-Energy Displacement Cascades in -Zirconium, J. Nucl. Mater., 254: 191 (1998). 28. F. Gao, D. J. Bacon, L. M. Howe, and C. B. So, Temperature-Dependence of Defect Creation and Clustering by Displacement Cascades in -Zirconium, J. Nucl. Mater., 294: 288 (2001). 29. R. E. Voskoboinikov, Yu. N. Osetsky, and D. J. Bacon, Identification and Morphology of Point Defect Clusters Created in Displacement Cascades in - Zirconium, Nucl. Instrum. and Meth. B, 242: 530 (2006). 30. N. de Diego, Yu. N. Osetsky, and D. J. Bacon, Structure and Properties of Vacancy and Interstitial Clusters in -Zirconium, J. Nucl. Mater., 374: 87 (2008). 31. A. V. Barashev, S. I. Golubov, and R. E. Stoller, Corrigendum to ‘Theoreti- cal Investigation of Microstructure Evolution and Deformation of Zirconium under Neutron Irradiation’ [J. Nucl. Mater. 461 (2015) 85–94], J. Nucl. Mater., 461: 85 (2015). 32. D. Walgraef and N. M. Ghoniem, Spatial Instabilities and Dislocation-Loop Ordering in Irradiated Materials, Phys. Rev. B, 39: 8867 (1989). http://dx.doi.org/10.1080/01418617908243098 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.67.064103 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.67.064103 https://doi.org/10.1016/j.net.2014.12.015 https://doi.org/10.1016/0022-3115(93)90090-L https://doi.org/10.1016/0022-3115(94)90342-5 http://dx.doi.org/10.1080/00337577308232242 https://doi.org/10.1016/0022-3115(80)90269-X https://doi.org/10.1016/0022-3115(80)90269-X https://doi.org/10.1016/0022-3115(88)90092-X https://doi.org/10.1016/j.actamat.2014.06.012 https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/SSP.129.75 http://dx.doi.org/10.5488/CMP.16.13801 https://doi.org/10.1016/0022-3115(91)90503-Y https://doi.org/10.1016/S0022-3115(97)00365-6 https://doi.org/10.1016/S0022-3115(01)00483-4 https://doi.org/10.1016/j.nimb.2005.08.167 http://dx.doi.org/10.1016/j.jnucmat.2007.07.011 http://dx.doi.org/10.1016/j.jnucmat.2007.07.011 http://dx.doi.org/10.1016/j.jnucmat.2015.10.039 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.39.8867 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 395 33. D. Walgraef and N. M. Ghoniem, Nonlinear Dynamics of Self-Organized Microstructure under Irradiation, Phys. Rev. B, 52: 3951 (1995). 34. D. O. Kharchenko and V. O. Kharchenko, Noise-Induced Pattern Formation in System of Point Defects Subjected to Irradiation, Eur. Phys. J. B, 85: 383 (2012). 35. D. O. Kharchenko, V. O. Kharchenko, and A. I. Bashtova, Simulation of a Spatial Organization of Point Defects in Irradiated Systems, Ukr. J. Phys., 58: 993 (2013). 36. D. O. Kharchenko and V. O. Kharchenko, Properties of Spatial Arrangement of V-Type Defects in Irradiated Materials: 3D-Modelling, Cond. Mat. Phys., 16: 33001 (2013). 37. D. O. Kharchenko, V. O. Kharchenko, and A. I. Bashtova, Modeling Self- Organization of Nano-Size Vacancy Clusters in Stochastic Systems Subjected to Irradiation, Rad. Eff. Def. Sol., 169: 418 (2014). 38. D. O. Kharchenko and V. O. Kharchenko, Abnormal Grain Growth in Non- equilibrium Systems: Effects of Point Defect Patterning, Phys. Rev. E, 89: 042133 (2014). 39. N. M. Ghoniem and G. L. Kulcinski, The Effect of Damage Rate on Void Growth in Metals, J. Nucl. Mater., 82: 392 (1979). 40. V. I. Dubinko, A. V. Tur, A. A. Turkin, and V. V. Yanovskij, A Mechanism of Formation and Properties of the Void Lattice in Metals under Irradiation, J. Nucl. Mater., 161: 57 (1989). 41. S. Rokkam, A. El-Azab, P. Millett, and D. Wolf, Phase Field Modeling of Void Nucleation and Growth in Irradiated Metals, Modelling Simul. Matter. Sci. Eng., 17: 064002 (2009). 42. S. Y. Hu and C. H. Henager, Phase-Field Simulation of Void Migration in a Temperature Gradient, Acta Mater., 58: 3230 (2010). 43. A. A. Semenov and C. H. Woo, Phase-Field Modeling of Void Formation and Growth under Irradiation, Acta Mater., 60: 6112 (2012). 44. D. O. Kharchenko and V. O. Kharchenko, A study of Void Size Growth in Nonequilibrium Stochastic Systems of Point Defects, Eur. Phys. J. B, 89: 123 (2016). 45. F. Leonard and M. Haataja, Alloy Destabilization by Dislocations, Appl. Phys. Lett., 86: 181909 (2005). 46. D. O. Kharchenko and V. O. Kharchenko, Modeling Phase Decomposition and Patterning in Binary Alloy Systems Subjected to Neutron Irradiation, Rad. Eff. Def. Sol., 171: 819 (2016). 47. D. O. Kharchenko, V. O. Kharchenko, and A. I. Bashtova, Self-Organization of an Ensemble of Vacancies under the Spinodal Decomposition of Binary Systems at Continuous Irradiation, Ukr. J. Phys., 61, No. 3: 265 (2016). 48. E. Weinan, Principles of Multiscale Modeling (Cambridge: Cambridge University Press: 2011). 49. D. O. Kharchenko, I. O. Lysenko, and V. O. Kharchenko, Modelling of Microstructural Transformations in the Systems Subject to Radiation, Usp. Fiz. Met., 13, No. 2: 101 (2012). 50. M. I. Mendelev and G. J. Ackland, Development of an Interatomic Potential for the Simulation of Phase Transformations in Zirconium, Phil. Mag. Lett., 87: 349 (2007). 51. D. H. Ruiza, L. M. Gribaudo, and A. M. Montic, Materials Research, 8: 431 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.52.3951 http://dx.doi.org/10.1140/epjb/e2012-30522-3 http://dx.doi.org/10.1140/epjb/e2012-30522-3 http://dx.doi.org/10.15407/ujpe58.10.0993 http://dx.doi.org/10.15407/ujpe58.10.0993 http://dx.doi.org/10.5488/CMP.16.33001 http://dx.doi.org/10.5488/CMP.16.33001 http://dx.doi.org/10.1080/10420150.2014.905577 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.89.042133 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.89.042133 https://doi.org/10.1016/0022-3115(79)90021-7 https://doi.org/10.1016/0022-3115(89)90462-5 https://doi.org/10.1088/0965-0393/17/6/064002 https://doi.org/10.1088/0965-0393/17/6/064002 https://doi.org/10.1016/j.actamat.2010.01.043 https://doi.org/10.1016/j.actamat.2012.07.049 https://doi.org/10.1140/epjb/e2016-70090-x https://doi.org/10.1140/epjb/e2016-70090-x https://doi.org/10.1063/1.1922578 https://doi.org/10.1063/1.1922578 http://dx.doi.org/10.1080/10420150.2016.1274753 http://dx.doi.org/10.15407/ujpe61.03.0265 https://doi.org/10.15407/ufm.13.02.101 https://doi.org/10.15407/ufm.13.02.101 http://dx.doi.org/10.1080/09500830701191393 http://dx.doi.org/10.1080/09500830701191393 396 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. (2005). 52. R. A. Enrique and P. Bellon, Compositional Patterning in Systems Driven by Competing Dynamics Of Different Length Scale, Phys. Rev. Lett., 84: 2885 (2000). 53. R. A. Enrique and P. Bellon, Compositional Patterning in Immiscible Alloys Driven by Irradiation, Phys. Rev. B, 63: 134111 (2001). 54. J.-M. Roussel and P. Bellon, Vacancy-Assisted Phase Separation with Asymmetric Atomic Mobility: Coarsening Rates, Precipitate Composition, and Morphology, Phys. Rev. B, 63: 184114 (2001). 55. D. Kharchenko, I. Lysenko, and V. Kharchenko, Noise Induced Patterning in Periodic Systems with Conserved Dynamics, Physica A, 389: 3356 (2010). 56. D. Kharchenko, V. Kharchenko, and I. Lysenko, Pattern Selection Processes and Noise Induced Pattern-Forming Transitions in Periodic Systems with Transient Dynamics, Cent. Eur. J. Phys., 9: 698 (2011). 57. D. O. Kharchenko, V. O. Kharchenko, S. V. Kokhan, and I. O. Lysenko, Modeling of Microstructural Changes in Irradiated Systems Using the Phase Field Crystal Method, Ukr. J. Phys., 57, No. 10: 1069 (2012). 58. K. R. Elder, M. Katakowski, M. Haataja, and M. Grant, Modeling Elasticity in Crystal Growth, Phys. Rev. Lett., 88: 245701 (2002). 59. A. Jaatinen, C. V. Achim, K. R. Elder, and T. Ala-Nissila, Phys. Rev. E, 80: 031602 (2009). 60. J. Berry, M. Garnt, and K. R. Elder, Diffusive Atomistic Dynamics of Edge Dislocations in Two Dimensions, Phys. Rev. E, 73: 031609 (2006). 61. K. R. Elder, N. Provatas, J. Berry, P. Stefanovich, and M. Grant, Phys. Rev. B, 75: 064107 (2007). 62. A. Onuki, Phase Transition Dynamics (Cambridge: Cambridge University Press: 2002). 63. A. Minami and A. Onuki, Dislocation Formation in Two-Phase Alloys, Phys. Rev. B, 70: 184114 (2004). 64. A. Onuki, Plastic Flow in Two-dimensional Solids, Phys. Rev. E, 68: 061502 (2003). 65. A. Minami and A. Onuki, Dislocation Formation and Plastic Flow in Binary Alloys in Three Dimensions, Phys. Rev. B, 72: 100101 (2005). 66. A. Onuki, A. Furukawa, and A. Minami, Pramana J. Phys., 64: 661 (2005). 67. D. O. Kharchenko, O. M. Shchokotova, I. O. Lysenko, and V. O. Kharchenko, Modeling Microstructure Evolution of Binary Systems Subjected to Irradia- tion and Mechanical Loading, Rad. Eff. Def. Sol., 170: 584 (2015). 68. D. O. Kharchenko, O. M. Schokotova, A. I. Bashtova, and I. O. Lysenko, A Study of Phase Separation Processes in Presence of Dislocations in Binary Systems Subjected to Irradiation, Cond. Mat. Phys., 18: 23003 (2015). 69. M. Haataja, J. Muller, A. D. Rutenberg, and M. Grant, Dislocations and Morphological Instabilities: Continuum Modeling of Misfitting Heteroepi- taxial Films, Phys. Rev. B, 65: 165414 (2002). 70. M. Haataja and F. Leonard, Influence of Mobile Dislocations on Phase Sepa- ration in Binary Alloys, Phys. Rev. B, 69: 081201 (2004). 71. M. Haataja, J. Mahon, N. Provatas, and F. Leonard, Scaling of Domain Size during Spinodal Decomposition: Dislocation Discreteness and Mobility Effects, Appl. Phys. Lett., 87: 251901 (2005). 72. A. D. Becke, Density-Functional Thermochemistry. III. The Role of Exact https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.84.2885 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.84.2885 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.63.134111 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.63.184114 https://doi.org/10.1016/j.physa.2010.04.027 https://doi.org/10.2478/s11534-010-0076-y https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.88.245701 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.80.031602 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.80.031602 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.73.031609 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.75.064107 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.70.184114 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.70.184114 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.68.061502 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.68.061502 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.72.100101 http://dx.doi.org/10.1080/10420150.2015.1063058 http://dx.doi.org/10.5488/CMP.18.23003 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.65.165414 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.69.081201 http://dx.doi.org/10.1063/1.2147732 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 397 Exchange, J. Chem. Phys., 98: 5648 (1993). 73. K. Burke, J. Werschnik, and E. K. U. Gross, Thime-Dependent Density Functional Theory: Past, Present, and Future, J. Chem. Phys., 123: 062206 (2005). 74. D. C. Langreth and M. J. Mehl, Beyond the Local-Density Approximation in Calculations of Ground-State Electronic Properties, Phys. Rev. B, 28: 1809 (1983). 75. A. D. Becke, Density-Functional Exchange-Energy Approximation with Correct Asymptotic Behavior, Phys. Rev. A, 38: 3098 (1988). 76. O. K. Andersen, Linear Methods in Band Theory, Phys. Rev. B, 12: 3060 (1975). 77. J. Slater and H. C. Verma, The Theory of Complex Spectra, Phys. Rev., 34: 1293 (1929). 78. P. W. Atkins, Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to Quantum Chemistry (Oxford: Oxford University Press: 1977). 79. J. C. Slater, A Simplification of the Hartree–Fock Method, Phys. Rev., 81: 385 (1951). 80. J. C. Slater, A Generalized Self-Consistent Field Method, Phys. Rev., 91: 528 (1953). 81. W. Kohn and L. J. Sham, Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects, Phys. Rev., 140: A1133 (1965). 82. P. Hohenberg and W. Kohn, Inhomogeneous Electron Gas, Phys. Rev., 136: B864 (1964). 83. O. Gunnarsson and B. I. Lundquist, Exchange and Correlation in Atoms, Molecules, and Solids by the Spin-Density-Functional Formalism, Phys. Rev. B, 13: 4274 (1976). 84. R. O. Jones and O. Gunnarsson, The Density Functional Formalism, Its Ap- plications and Prospects, Rev. Mod. Phys., 61: 689 (1989). 85. S. D. Murray and M. I. Baskes, Embedded-Atom Method: Derivation and Application to Impurities, Surfaces, and Other Defects in Metals, Phys. Rev. B, 29: 4436453 (1984). 86. C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (New York–London–Sydney– Toronto: Wiley: 2004). 87. K. Krishan, Kinetics of Void-Lattice Formation in Metals, Nature, 287: 420 (1980). 88. K. Krishan, Self-Organization and Stability of Rate Processes during Irradiation, Solid State Phenom., 3–4: 267 (1988). 89. S. M. Murphy, Spatial Instability in Dislocation Structure under Irradiation, Europhys. Lett., 3: 1267 (1987). 90. E. A. Koptelov and A. A. Semenov, The Fluctuation Instability of the Homogeneous Void Distribution, J. Nucl. Mater., 160: 253 (1988). 91. N. M. Ghoniem and D. Walgraef, Evolution Dynamics of 3D Periodic Microstructures in Irradiated Materials, Modell. Simul. Mater. Sci. Eng., 1: 569 (1993). 92. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Theory of Elasticity (New York: Pergamon: 1973). 93. N. de Diego, N. Mirn, and M. Ruhl, Transmission Electron Microscopy Studies of the Ordering of Nitrogen in Tantalum, Acta Metall., 27: 1445 (1979). http://dx.doi.org/10.1063/1.464913 https://doi.org/10.1063/1.1904586 https://doi.org/10.1063/1.1904586 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.28.1809 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.28.1809 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.38.3098 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.12.3060 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.12.3060 https://doi.org/10.1103/PhysRev.34.1293 https://doi.org/10.1103/PhysRev.34.1293 https://doi.org/10.1103/PhysRev.81.385 https://doi.org/10.1103/PhysRev.81.385 https://doi.org/10.1103/PhysRev.91.528 https://doi.org/10.1103/PhysRev.91.528 https://doi.org/10.1103/PhysRev.140.A1133 https://doi.org/10.1103/PhysRev.136.B864 https://doi.org/10.1103/PhysRev.136.B864 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.13.4274 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.61.689 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.29.6443 https://doi.org/10.1038/287420a0 https://doi.org/10.1038/287420a0 https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/SSP.3-4.267 https://doi.org/10.1209/0295-5075/3/12/004 https://doi.org/10.1016/0022-3115(88)90055-4 https://doi.org/10.1088/0965-0393/1/5/001 https://doi.org/10.1088/0965-0393/1/5/001 http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0965-0393/1/5/001 https://doi.org/10.1016/0001-6160(79)90166-4 https://doi.org/10.1016/0001-6160(79)90166-4 398 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. 94. P. Blaha, K. Schwarz, G. K. H. Madsen, D. Kvasnicka, and J. Luitz, Wien2k, An Augmented Plane Wave Plus Local Orbitals Program for Calculating Crystal Properties (Vienna: Vienna University of Technology: 2001). 95. See website http://www.wien2k.at. 96. J. P. Perdew, K. Burke, and M. Ernzerhof, Generalized Gradient Approximation Made Simple, Phys. Rev. Lett., 77: 3865 (1996). 97. V. O. Kharchenko and S. V. Kokhan, Electronic Properties of the Zirconium Crystal with Vacancies and Dynamics of Vacancies: ab-initio Calculations and Molecular Dynamics, J. Nano- Electron. Phys., 7, No. 2: 02014 (2015). 98. See website http://lammps.sandia.gov. 99. J. D. Honeycutt and H. C. Andersen, Molecular Dynamics Study of Melting and Freezing of Small Lennard-Jones Clusters, J. Phys. Chem., 91: 4950 (1987). 100. D. Faken and H. Jonsson, Systematic Analysis of Local Atomic Structure Combined with 3D Computer Graphics, Comput. Mater. Sci., 2: 279 (1994). 101. A. Stukowski, Structure Identification Methods for Atomistic Simulations of Crystalline Materials, Modell. Simul. Mater. Sci. Eng., 20: 045021 (2012). 102. J. H. Li, X. D. Dai, S. H. Liang, K. P. Tai, Y. Kong, and B. X. Liu, Interatomic Potentials of the Binary Transition Metal Systems and Some Applications in Materials Physics, Physics Reports, 455: 1134 (2008). *Institute of Applied Physics, N.A.S. of Ukraine, 58 Petropavlivska Str., 40000 Sumy, Ukraine 1 Fig. 1. Irradiation conditions for zirconium alloys. The figure is adopted from Ref. [17]. 2 Fig. 2. Formation of c-loops (a) and voids of a-type and b-type in irradiated zirco- nium. The figure is taken from Ref. [18]. 3 Fig. 3. General multiscale scheme for material modelling. The figure is taken from Ref. [49]. 4 Fig. 4. Structures of h.c.p. unit cell of pure -zirconium with 1 vacancy and 15, 35, and 49 zirconium atoms inside. 5 Fig. 5. Dependence of the optimal value of lattice constant a on the concentration of isolated vacancies in the pure -zirconium. 6 Fig. 6. Distributions of electron density for (a) pure -zirconium without vacan- cies and (б) pure -zirconium with 1 vacancy and 35 atoms inside the unit cell. 7 Fig. 7. Schematic representation of the reciprocal lattice for the h.c.p. structure with the direction of pathway order for corresponding k-points (a). Band structure (б) and Fermi surface (в) for -zirconium structure characterized by unit cell with 1 vacancy and 35 Zr atoms in the cell. 8 Fig. 8. The schematic presentation of the configuration of two separated vacan- cies in the h.c.p. lattice (a). Dependence of the optimal lattice constant value on the distance between two vacancies in pure -zirconium (б). 9 TABLE 1. Vacancy formation energy in the pure zirconium 10 Fig. 9. The dependence of the formation energy for two separated vacancies on a distance between them. 11 Fig. 10. The dependence of the binding energy for divacancies characterized by different distances between two vacancies. 12 Fig. 11. Four types of trivacancies in the pure -zirconium (a). Binding energies http://www.wien2k.at/ https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.3865 http://lammps.sandia.gov/ https://doi.org/10.1021/j100303a014 https://doi.org/10.1021/j100303a014 https://doi.org/10.1016/0927-0256(94)90109-0 https://doi.org/10.1088/0965-0393/20/4/045021 https://doi.org/10.1016/j.physrep.2007.09.004 МОДЕЛЮВАННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ В -Zr 399 for differently configured trivacancies (б). 13 Fig. 12. The dependence of the Fermi energy for zirconium crystal containing vacancy cluster on the number of vacancies within the cluster. 14 TABLE 2. Parameters for cascade modelling in -zirconium crystals. 15 Fig. 13. A cascade area in -zirconium crystal at T  300 K, Epka  10 keV, di- rection of the primary knocked-on atom (PKA) is 0001 at the time t  5.4 ps (cross-section of the crystal with a cascade): (a) an identification by energy only: Nc  8314, Sc  43119 Å2, Vc  232821 Å3; (б) an identification by phase compound only: Nc  15292, Sc  48084 Å2, Vc  353782 Å3; (в) a combined identification by energy and phase compound: Nc  15763, Sc  47925 Å2, Vc  364078 Å3. 16 Fig. 14. Snapshots of cascade development in -zirconium crystal containing N   180000 atoms at T  300 K and PKA energy Epka  10 keV: (a) t  0.1 ps; (б) t   0.3 ps; (в) t  0.5 ps; (г) t  3.3 ps; (д) t  5.3 ps; (е) t  605 ps. 17 Fig. 15. Channelling (a, б) and crowdion formation (в, г) in the -zirconium crystal during the cascade development. 18 Fig. 16. Time dependencies of statistical parameters of cascades in the - zirconium crystal containing N  180000 atoms at the temperatures T  300 K and T  500 K, PKA direction is 0001: (a) internal energy; (б) cascade volume; (в) volume of the sample; (г) cascade surface; (д) density of the sample; (е) number of atoms in cascades. 19 Fig. 17. The same as in the previous figure, but for 0110  PKA direction. 20 TABLE 4. Maximal geometric sizes of cascades in -zirconium crystals depend- ing on energy Epka and PKA direction for different temperatures. 21 Fig. 18. Protocols for temperature T and potential energy Ep in -zirconium crystal (N  180000 atoms) during cascade passage; PKA direction is 0001. 22 Fig. 19. Protocols for temperature T and potential energy Ep in -zirconium crystal (N  180000 atoms) during cascade passage; PKA direction is 0110 .  23 Fig. 20. Formation energy for a vacancy, an interstitial and a Frenkel pair ver- sus temperature. 24 Fig. 21. Energy needed to create two vacancies versus distance between them at different temperatures. 25 Fig. 22. Formation energy for vacancy clusters versus temperature. 26 Fig. 23. Diffusion coefficients of vacancies in basal and perpendicular to basal planes (a) and partition anisotropy vacancy diffusivities (б). 27 Fig. 24. Vacancy concentration dependencies at dislocation density Sv  N  108 cm–2 and neutron flux   1016 (cm2s)–1. 28 Fig. 25. Typical dependencies of  for the fixed dose rates, where K  10–6 dpa/s (а) and K  10–5 dpa/s (б), and fixed temperatures, where T  500 K (в) and T   600 K (г));   1.3. 29 Fig. 26. Dependence of the wave-number relevant for the most unstable mode related to location period of vacancy clusters in the anisotropic system at K  10–6 dpa/s and different sink densities: (а)   1.3; (б)   2.0. 30 Fig. 27. Dependence of  at different sinks intensity: (a) T  500 K, K  10–6 dpa/s; (б) T  600 K, K  10–6 dpa/s; (в) T  600 K, K  10–5 dpa/s. 31 Fig. 28. Snapshots for evolution of the vacancy concentration at T  500 K, K   10–6 dpa/s, 2  0.1. 32 Fig. 29. Snapshots of the vacancy concentration x, components of elastic dis- placements ux, uy and continuum deformation e evolution at T  500 K and K   10–6 dpa/s. 400 В. О. ХАРЧЕНКО, І. О. ЛИСЕНКО, О. М. ЩОКОТОВА та ін. 33 Fig. 30. Evolution of the elastic deformation field e at different temperatures. 34 Fig. 31. Dynamics of the mean shear stress xy at different irradiation condi- tions. 35 Fig. 32. Snapshots of evolution for the shear stress (xy) at different irradiation conditions. 36 Fig. 33. Free energy F evolution at different irradiation conditions. 37 Fig. 34. Snapshots vacancy concentration x, continuum deformation e, and de- viation of shear deformation e3. 38 Fig. 35. Evolution of the deviation of shear deformation e3. 39 Fig. 36. Shift diagram at different irradiation conditions. 40 Fig. 37. Free energy F evolution at shear deformation. 41 Fig. 38. Diagram of the cyclic shift at T  500 K and K  10–6 dpa/s. 42 Fig. 39. Snapshots of shear deformation deviation e3 at the cyclic shift: (a) first cycle; (б) second cycle.

Мультимасштабне моделювання самоорганізації нерівноважних точкових дефектів в опромінюваному альфа-цирконії

Institution

Ähnliche Einträge