Роль невзаимности в теории колебаний

Предмет и цель работы: Исследуется динамика связанных линейных осцилляторов при наличии невзаимной связи между ними с целью определения возможности перекачки энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных колебаний....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Буц, В.А., Ваврив, Д.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Радіоастрономічний інститут НАН України 2018
Schriftenreihe:	Радиофизика и радиоастрономия
Schlagworte:	Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133420
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Роль невзаимности в теории колебаний / В.А. Буц, Д.М. Ваврив // Радиофизика и радиоастрономия. — 2018. — Т. 23, № 1. — С. 60-71. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-133420
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1334202018-05-26T03:03:57Z Роль невзаимности в теории колебаний Буц, В.А. Ваврив, Д.М. Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения Предмет и цель работы: Исследуется динамика связанных линейных осцилляторов при наличии невзаимной связи между ними с целью определения возможности перекачки энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных колебаний. Предмет та мета роботи: Досліджується динаміка пов’язаних лінійних осциляторів за наявності невзаємого зв’язку між ними з метою визначення можливості перекачування енергії низькочастотних коливань в енергію високочастотних коливань. Purpose: The dynamics of coupled linear oscillators is investigated under the nonreciprocal coupling between them in order to determine the possibility of transferring the energy of low-frequency oscillations to the energy of high-frequency oscillations. 2018 Article Роль невзаимности в теории колебаний / В.А. Буц, Д.М. Ваврив // Радиофизика и радиоастрономия. — 2018. — Т. 23, № 1. — С. 60-71. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-9636 PACS numbers: 42.65.Ky, 05.45.Xt, 47.20.Lz DOI: https://doi.org/10.15407/rpra23.01.060 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133420 537.862 ru Радиофизика и радиоастрономия Радіоастрономічний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения
spellingShingle	Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения Буц, В.А. Ваврив, Д.М. Роль невзаимности в теории колебаний Радиофизика и радиоастрономия
description	Предмет и цель работы: Исследуется динамика связанных линейных осцилляторов при наличии невзаимной связи между ними с целью определения возможности перекачки энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных колебаний.
format	Article
author	Буц, В.А. Ваврив, Д.М.
author_facet	Буц, В.А. Ваврив, Д.М.
author_sort	Буц, В.А.
title	Роль невзаимности в теории колебаний
title_short	Роль невзаимности в теории колебаний
title_full	Роль невзаимности в теории колебаний
title_fullStr	Роль невзаимности в теории колебаний
title_full_unstemmed	Роль невзаимности в теории колебаний
title_sort	роль невзаимности в теории колебаний
publisher	Радіоастрономічний інститут НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133420
citation_txt	Роль невзаимности в теории колебаний / В.А. Буц, Д.М. Ваврив // Радиофизика и радиоастрономия. — 2018. — Т. 23, № 1. — С. 60-71. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Радиофизика и радиоастрономия
work_keys_str_mv	AT bucva rolʹnevzaimnostivteoriikolebanij AT vavrivdm rolʹnevzaimnostivteoriikolebanij
first_indexed	2025-07-09T18:56:17Z
last_indexed	2025-07-09T18:56:17Z
_version_	1837196780908838912
fulltext	ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 23, № 1, 201860 Радіофізика і радіоастрономія. 2018, Т. 23, № 1, c. 60–71 © В. А. Буц, Д. М. Ваврив, 2018 ÅËÅÊÒÐÎÌÀÃÍ²ÒÍ² ßÂÈÙÀ Â ÏÐÈËÀÄÀÕ, ÅËÅÌÅÍÒÀÕ ² ÑÈÑÒÅÌÀÕ ÍÀÓÊÎÂÎÃÎ ÏÐÈËÀÄÎÁÓÄÓÂÀÍÍß В. А. БУЦ 1,2,3, Д. М. ВАВРИВ 2 1 Национальный научный центр “Харьковский физико-технический институт”, ул. Академическая, 1, г. Харьков, 61108, Украина 2 Радиоастрономический институт НАН Украины, ул. Мистецтв, 4, г. Харьков, 61002, Украина 3 Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61022, Украина E-mail: vbuts@kipt.kharkov.ua, vavriv@rian.kharkov.ua ÐÎËÜ ÍÅÂÇÀÈÌÍÎÑÒÈ Â ÒÅÎÐÈÈ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ Предмет и цель работы: Исследуется динамика связанных линейных осцилляторов при наличии невзаимной связи между ними с целью определения возможности перекачки энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных колебаний. Методы и методология: Были использованы методы теории динамических систем, в частности, сингулярная теория возмущений, теория вторичных резонансов и метод усреднения. Были использованы также методы численного анализа. Вначале проведен анализ динамики системы двух одинаковых линейных высокочастотных осцилляторов. Эти осцилляторы связаны слабой невзаимной связью. Параметры коэффициентов связей модулировались внешним низкочастотным возмущением. Было показано, что при наличии невзаимной связи комплексные амплитуды высоко- частотных осцилляторов могут быть параметрически усилены. Если связи были взаимными – такое усиление от- сутствовало. Далее была изучена динамика большого числа высокочастотных линейных осцилляторов. Было показано, что при взаимной связи между осцилляторами их первоначальная энергия практически не менялась. При наличии невзаимности возникала возможность параметрического усиления амплитуд высокочастотных колебаний. Была рассмотрена так- же динамика двух связанных нелинейных осцилляторов. Была использована сингулярная теория возмущений и показано, что если коэффициенты связи взаимны, то существует интеграл, который не позволяет трансформировать энергию низкочастотных внешних возмущений в энергию высокочастотных осцилляторов. Наличие невзаимных связей разру- шает этот интеграл, и канал преобразования энергии открывается. Анализ численных результатов полностью под- твердил полученные аналитические результаты. В заключение анализировались возможности использования обнару- женного канала. Потенциально он может быть использован в любом интервале частот. Реально, в настоящее время, он полезен в миллиметровом, субмиллиметровом и терагерцевом диапазонах. Результаты: Показано, что наличие невзаимной связи между высокочастотными колебательными степенями свободы открывает канал перекачки энергии от низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных колебаний. Ключевые слова: осцилляторы, невзаимная связь, генерация колебаний, динамические системы DOI: https://doi.org/10.15407/rpra23.01.060 УДК 537.862 PACS numbers: 42.65.Ky, 05.45.Xt, 47.20.Lz 1. Ââåäåíèå Теория колебаний систем линейных связанных осцилляторов хорошо изучена. Она излагается как в многочисленных учебниках, так и во многих монографиях и пособиях (см., например, [1–3]). Анализ динамики системы связанных нелиней- ных осцилляторов может быть осуществлен в подавляющем большинстве случаев только чис- ленными методами. Для нас наиболее суще- ственным результатом теории динамики систем связанных линейных осцилляторов является вы- деление в ней таких понятий, как парциальные частоты и нормальные частоты. При этом нор- мальные частоты играют ключевую роль при вза- имодействии системы связанных осцилляторов с внешним окружением. Действительно, извест- ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 23, № 1, 2018 61 Роль невзаимности в теории колебаний но (см., например, [2], главу 2 или [3], главу 8), что внешнее возмущение, частота которого со- впадает с одной из нормальных частот системы связанных осцилляторов, может резонансно воз- будить колебания этой системы. Воздействие внешнего возмущения на других частотах мало влияет на динамику системы осцилляторов. Отметим, что такую систему осцилляторов мож- но также возбудить параметрически, если час- тота изменения параметров будет в кратное чис- ло раза больше частоты одного из нормальных колебаний системы [2, 3]. В отличие от этих известных результатов в настоящей работе показано, что если связи меж- ду осцилляторами обладают свойствами не- взаимности, то некоторые внешние возмущения на других частотах могут резонансно возбу- дить систему осцилляторов. При этом суще- ственно, что можно резонансно возбуждать си- стему высокочастотных осцилляторов внешним низкочастотным (параметрическим) возму- щением. Чтобы понять основной результат работы, по- лезно рассмотреть следующий простой пример. Пусть у нас имеется два одинаковых невзаимо- действующих линейных осциллятора. Чтобы эф- фективно возбудить каждый из них, мы должны использовать внешнее возмущение на частоте этих осцилляторов. Осцилляторы можно также возбудить, меняя их параметры (у электричес- ких осцилляторов, например, можно менять либо их емкости, либо их индуктивности). Для наибо- лее эффективного возбуждения частота изме- нения параметров при этом должна равняться удвоенной частоте осцилляторов (первая зона параметрического возбуждения). Пусть теперь осцилляторы связаны слабой связью. Колеба- тельная система, состоящая из этих двух свя- занных осцилляторов, обладает двумя нор- мальными частотами. Известно, что при сла- бой связи одна нормальная частота слегка боль- ше парциальной частоты отдельных осциллято- ров, вторая – слегка меньше, т. е. при наличии связи происходит расщепление частоты [2, 3]. Для эффективного (резонансного) возбуждения этой колебательной системы необходимо исполь- зовать внешнее возмущение, частота которого должна равняться одной из нормальных частот. Обратим внимание, что при слабой связи эти частоты мало отличаются от парциальных час- тот отдельных осцилляторов. Это хорошо изве- стные результаты. Известен также результат, который заключается в том, что если в началь- ный момент времени в системе одинаковых связанных осцилляторов один осциллятор по- коится, а второй колеблется с некоторой амп- литудой, то по истечении некоторого времени энергия колебаний второго осциллятора перехо- дит в энергию колебаний первого осциллятора. В итоге второй осциллятор оказывается в покое, а первый колеблется. Процесс перекачки энер- гии является периодическим. Это также широко известный результат. Отметим, что время пе- рекачки энергии между осцилляторами оказы- вается обратно пропорциональным величине связи между осцилляторами. При малой связи это время достаточно большое. Таким образом, колебательная система, состоящая из двух сла- босвязанных осцилляторов, приобрела новую динамику – низкочастотную динамику. Можно ожидать, что этой низкочастотной динамикой можно воспользоваться для возбуждения коле- баний этой системы осцилляторов, используя низкочастотное возмущение. В этом случае открывается заманчивая возможность исполь- зовать внешнее низкочастотное возмущение для возбуждения высокочастотных осцилляторов. При этом открывается новый канал взаимодей- ствия высокочастотных и низкочастотных коле- баний. Во всяком случае, авторы не знают ра- бот, в которых указывалось бы на существова- ние такого канала. Цель настоящей работы – показать, что та- кая возможность резонансного возбуждения вы- сокочастотных колебаний энергией низкочастот- ных колебаний действительно имеет место. Однако для ее реализации, как будет видно ниже, необходимо, чтобы связь между осциллятора- ми была невзаимной. Именно доказательству этого факта и посвящена эта работа. Отметим, что в приведенном выше простом примере эф- фективная низкочастотная динамика возникает только в том случае, когда между осциллятора- ми реализуется эффективное резонансное взаи- модействие. Это означает, что их характерис- тики (прежде всего частоты) должны быть как можно ближе друг к другу. Такое резонансное взаимодействие, порождающее низкочастотную динамику осцилляторов, мы будем называть пер- 62 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 23, № 1, 2018 В. А. Буц, Д. М. Ваврив вичным резонансным взаимодействием (пер- вичным резонансом). Когда низкочастотная ди- намика связанных высокочастотных осцилля- торов используется для резонансного возбуж- дения системы связанных высокочастотных ос- цилляторов путем воздействия на эту систему внешнего низкочастотного возмущения, такое резонансное воздействие будем называть вто- ричными резонансами. Отметим, что теория вторичных резонансов достаточно детально изу- чена в теории гамильтоновых систем (см., на- пример, [4]). Ниже мы будем пользоваться идеями сингулярной теории возмущений [4], в которой резонансы, возникающие на фоне первичных резонансов, называются вторичны- ми резонансами. Однако в этой теории показа- но, что эффективность вторичных резонансов мала. Действительно, если величина возмуще- ния мала ( 1), то эффекты, связанные с вто- ричными резонансами, малы (например, ширина вторичных нелинейных резонансов) и пропор- циональны  1 (1 )! . Как будет видно ниже, механизм вторичного резонанса при наличии невзаимности достаточно эффективен для прак- тического использования. В нем малые возму- щения (связи осцилляторов) только порождают низкочастотную динамику и мало влияют на эф- фективность резонансного возбуждения систе- мы осцилляторов. 2. Ñèñòåìà äâóõ ñâÿçàííûõ ëèíåéíûõ îñöèëëÿòîðîâ Рассмотрим для простоты систему из двух ли- нейных связанных осцилляторов. Запишем гамиль- тониан такой системы: 2 22 2 1 2 1 ( ) . 2 2 i i i i x H x t x x            (1) Будем считать, что частоты этих осциллято- ров совпадают 1 2( 1).    Тогда система урав- нений, которая описывает динамику такой свя- занной системы, приобретет вид: 1 1 2( ) ,x x t x   2 2 1( ) .x x t x   Традиционный путь анализа динамики этой системы заключается в нахождении нормальных колебаний этой системы. В данном случае урав- нения для нормальных мод можно записать в виде: 1 1(1 ) 0,u u   2 2(1 ) 0.u u   Здесь 1 1 2 ,u x x  2 1 2.u x x  Видно, что колебания нормальных мод стали независимыми. Таким образом, в рассматривае- мом случае колебания системы двух связанных линейных осцилляторов характеризуются двумя частотами, т. е. произошло расщепление пар- циальной частоты исходных осцилляторов: 2 1 2 1 , const, 1 1 .             Хорошо известно, что если мы хотим эффек- тивно (резонансно) возбудить рассматриваемую систему внешней силой, то частота этой внеш- ней силы должна быть близкой к одной из нор- мальных частот. При параметрическом возбуж- дении необходимо менять параметры системы с частотой, которая близка к удвоенной частоте одной из нормальных мод (первая параметри- ческая зона возбуждения). Если связи слабые ( 1),k  то во всех этих случаях резонансное возбуждение возможно только при использова- нии сил, частоты которых близки к парциальным частотам. Пусть теперь у нас имеется такая же система, состоящая из двух связанных линейных осцил- ляторов. Однако будем теперь считать, что свя- зи между осцилляторами в рассматриваемой системе могут быть невзаимными и малыми 1 2( ,   1).i  Систему уравнений, которая описывает динамику таких осцилляторов, можно представить в виде: 1 1 1 2( ) ,x x t x   2 2 2 1( ) .x x t x   Так как связи малые, то анализ системы (3) удобно проводить с помощью метода усредне- ния (смотри, например, [5]): exp( ) exp( ),k k kx a it b it    exp( ) exp( ) .k k kx i a it b it   (2) (3) ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 23, № 1, 2018 63 Роль невзаимности в теории колебаний Здесь ,ka kb – новые зависимые переменные. В этом случае получим следующую систему уравнений, которая описывает динамику ампли- туд осцилляторов: 1 1 2 2 2 1, ;a i a a i a       1 1 2 2 2 1i , .b b b i b       Пусть, например, 1 const,  а 2 2 ( ),t   тог- да из системы (4) можно найти уравнения, опи- сывающие динамику амплитуд взаимодействую- щих осцилляторов: 1 1 2 1( ) 0,a t a   1 1 2 1( ) 0.b t b   Системы уравнений (4) и (5) содержат в яв- ном виде некоторые особенности динамики двух связанных линейных осцилляторов, которые не видны при использовании нормальных мод. Первая особенность заключается в том, что в явном виде (при 2 const)  видна динамика об- мена энергией между осцилляторами. Так, если один из осцилляторов в начальный момент вре- мени был возбужден, а второй находился в по- кое, то по истечении времени 1 22T     пер- вый осциллятор окажется покоящимся, а вто- рой – колеблющимся. Отметим, что если знать об этой особенности, то ее можно обнаружить при анализе решений для нормальных мод (анализируя решения системы уравнений (2)). Вторая особенность связана с невзаимностью 1 2( ).   Прежде всего, отметим, что для ос- цилляторов, которые связаны невзаимной свя- зью, нельзя написать гамильтониан в виде (1). Действительно, в гамильтониане (1) член, кото- рый описывает взаимодействие, содержит только один коэффициент связи 1 2 ,     т. е. связи могут быть только взаимны. Кроме того, нали- чие невзаимности приводит к тому, что, как следует из уравнений (5), в такой системе воз- можно параметрическое возбуждение осцилля- торов,  2 11 cos .m t        Причем, что яв- ляется наиболее важным, при слабой связи ( 1)k  частота внешнего параметрическогоо возбуждения может быть значительно ниже парциальной частоты связанных осцилляторов. Таким образом, видно, что наличие невзаимной связи между линейными осцилляторами откры- вает новые возможности для возбуждения вы- сокочастотных колебаний (парциальных частот) осцилляторов внешними низкочастотными коле- баниями. Следует, однако, заметить, что одной невзаимности недостаточно для параметричес- кого возбуждения осцилляторов. Действитель- но, как видно из (4), если отношение коэффи- циентов связи между осцилляторами будет по- стоянной величиной 1 2( ),C   то система (4) обладает следующими интегралами: 2 2 1 2 const,a Ca  2 2 1 2 const.b Cb  При таком соотношении между коэффициен- тами связи система (4) не имеет нарастаю- щих решений. Таким образом, для возбуждения высокочастотных колебаний полями низкочас- тотных колебаний необходимо не только чтобы связь была невзаимной, но и чтобы отношение коэффициентов связи не равнялось константе 1 2( ).C   Возникает вопрос: при каких условиях внешние низкочастотные возмущения могут передавать свою энергию ансамблю взаимодействующих осцилляторов? Выше мы видели, что для системы из двух линейных осцилляторов такая передача возмож- на, если внешнее низкочастотное возмущение модулирует параметры коэффициентов связи, а связи – невзаимные. Возникает новый вопрос: является ли невзаимность коэффициентов связи обязательным условием для параметрического усиления высокочастотных сигналов? Возмож- но, что рассмотренная особенность является осо- бенностью только двух связанных осцилляторов. Не изменится ли результат, если мы будем рас- сматривать большое количество связанных ос- цилляторов? Кроме того, не изменит ли резуль- тат наличие нелинейностей у осцилляторов? Ниже мы покажем, что ни большое число свя- занных линейных осцилляторов, ни нелинейнос- ти не меняют полученного результата. Во всех случаях для эффективной передачи энергии от низкочастотных колебаний в энергию высокоча- стотных колебаний требуется наличие невзаим- ной связи между осцилляторами. (4) (5) 64 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 23, № 1, 2018 В. А. Буц, Д. М. Ваврив 3. Ñèñòåìà áîëüøîãî ÷èñëà ñâÿçàííûõ ëèíåéíûõ îñöèëëÿòîðîâ Рассмотрим теперь систему, состоящую из N свя- занных линейных осцилляторов. Параметры каж- дого из этих осцилляторов (частота, коэффициент затухания), а также коэффициенты связи между осцилляторами в общем случае зависят от вре- мени. Такая динамическая система описывается следующей системой уравнений: 2 0 ( ) ( ) ( ) . N k k k k k kj j j x t x t x t x        (6) Нас будет интересовать простейшая система, состоящая из одинаковых осцилляторов. В этом случае все невозмущенные частоты мы выби- раем равными друг другу ( ).k   Кроме того, будем считать, что потери всех осцилляторов одинаковы и не зависят от времени ( ( ) ).k t   При этом систему (6) можно переписать в виде: 2 0 ( ) , N k k kj j j z z t z      где 2 2 2exp( 2), ( ) 4.k k kz x t t      Далее нам будут интересны системы осцилля- торов, у которых коэффициенты связей малы. Если бы они отсутствовали полностью, то мы имели бы систему независимых осцилляторов, каждый из которых колебался бы с частотой . Наличие малых связей приводит к изменению динамики каждого из осцилляторов. Чтобы описать это изменение, решение системы (6) будем искать, используя метод усреднения: ( )exp( ) ( )exp( ),k k kz A t i t B t i t      ( )exp( ) ( )exp( ) .k k kz i A t i t B t i t      Здесь ,kA kB – новые переменные, которые мед-д- ленно меняются ( ).k kA A  Систему уравнений для отыскания новых переменных можно пред- ставить в виде: 0 , N k kj j j i A A       0 . N k kj j j i B B      Удобно также ввести комплексно-сопряженные уравнения: 0 , N k kj j j i A A       0 . N k kj j j i B B        Используя (7) и (8), получаем следующие соот- ношения:   0 , N k k k k kj j k k j j i B B B B B B B B            (9)  2 0 0 0 d 2 Im , . d N N N k kj j k k k j i B B B k j t               Легко видеть, что выполняется такое равен- ство:    Im Im .j k k jB B B B   Используя это равенство, правую часть системы (9) можно переписать в виде       0 0 0 0 Im Im . N N N N kj j k kj jk j k k j k j B B B B           (10) Если связи взаимные ( ),jk kj   то правая часть (10) обращается в ноль. В этом случае мы имеем интеграл 2 0 const. N k k B   (11) Аналогично из (7) и (8) мы получим интеграл, связывающий переменные :kA 2 0 const. N k k A   (12) Наличие интегралов (11) и (12) указывает на тот факт, что первоначальная энергия, которая была запасена в системе линейных осциллято- ров, меняться не может. Это, в свою очередь, означает, что никакие изменения параметров рассматриваемой системы во времени не могут (7) (8) ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 23, № 1, 2018 65 Роль невзаимности в теории колебаний приводить к увеличению энергии этих осцилля- торов. Таким образом, только при наличии невза- имных связей можно рассчитывать на парамет- рическое усиление внешними низкочастотными возмущениями высокочастотных колебаний свя- занных линейных осцилляторов. 4. Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ íåëèíåéíûõ ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ Можно предположить, что наличие нелинейностей у взаимодействующих осцилляторов может сыг- рать роль, аналогичную роли невзаимной связи между осцилляторами. Ниже мы покажем, что в задаче возбуждения высокочастотных осцилля- торов внешним низкочастотным возмущением наличие нелинейностей у этих связанных осцил- ляторов не отменяет необходимости в наличии не- взаимной связи между ними. Для доказательства этого утверждения рас- смотрим наиболее простую систему, которая представляет собой систему двух связанных нелинейных маятников. Вначале предположим, что связи между этими маятниками взаимны. Динамика такой системы может быть описана следующим гамильтонианом: 2 2 1 2 1 1 1 cos ( ) . 2 2 i i i i i H G p q t q q           (13) Здесь ip и iq – обобщенные координаты; первый член в квадратных скобках (~ )iG описывает ки- нетическую энергию, а второй (~ )i – потен- циальную энергию; последнее слагаемое опреде- ляет связь между осцилляторами. Если мы будем в этом гамильтониане перехо- дить к новым каноническим переменным, то старые и новые зависимые переменные будут связаны эллиптическими интегралами. Выразить в явном виде эти зависимости (старые пере- менные через новые переменные) не удается. По этой причине мы разложим функцию cos q в ряд Тейлора и оставим первые неисчезающие нелинейные члены: 2 2 2 4 6 1 1 1 1 1 ... 2 2 24 6! i i i i i i i i i H G p F q F q F q             1 2( ) .t q q (14) Здесь 1 . 2 i iF    В формуле (14) учтено, что гамильтониан яв- ляется суммой кинетической и потенциальной энергии. Последняя может быть определена с точ- ностью до произвольной постоянной величины. Обозначения новых констант было выбрано таким образом, чтобы была прозрачной преемственность с обозначениями, принятыми в монографии [4]. Гамильтониан (14) описывает связь двух нели- нейных маятников со слабой нелинейностью. Ниже мы ограничимся только первым нелиней- ным членом в формуле (14). Перейдем в (14) к новым каноническим переменным. Для этого вос- пользуемся следующей производящей функцией: 2 2 1 0 1 1 ctg , 2 i i i i q      (15) где 0 .i i iF G  Производящая функция (15) позволяет преоб- разовать гамильтониан линейного осциллятора в гамильтониан, который зависит только от одной переменной – от действия. Старые ( , )i iq p и но- вые ( , )i iJ  канонические переменные при ис- пользовании такой производящей функции будут иметь следующий вид: 2 01 1 0 2 ctg , , 2sin i i i i i i i i i i q p q J q             0 0 2 sin , 2 cos .i i i i i i i i J q p J        Гамильтониан (14) в новых переменных приоб- ретает вид:    2 2 1 1 cos 4 4! i N i i i i i i G H FG J J             1 2 1 2 01 02 ( ) sin sin . J J t      (16) Здесь учтен только первый (главный) нелиней- ный член. Видно, что если пренебречь нелиней- ным членом, то первое слагаемое будет пред- ставлять собой гамильтониан двух линейных не- связанных осцилляторов. Последнее слагаемое в (16) описывает связь между осцилляторами. 66 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 23, № 1, 2018 В. А. Буц, Д. М. Ваврив Таким образом, в такой простой форме удается учесть влияние нелинейных членов в гамиль- тониане. Гамильтониан (16) можно представить в виде двух слагаемых: 0 1( ) ( , ).N NH H J H J     (17) Первое слагаемое зависит только от пере- менных действия. Второе – от переменных угла и действия. Второе слагаемое будем счи- тать малым возмущением. Если этим слагае- мым пренебречь, то уравнения, соответствую- щие гамильтониану (17) полностью решаются (интегрируются). При этом можно ввести сле- дующие частоты, которые зависят от перемен- ных действия: 0 21 1 , 4! N i i i i i i i i H G J FG G J G           0 12.i i iJ    Для упрощения записи ниже мы будем считать, что 1.iG  Обратим внимание, что динамика системы, которая описывается гамильтонианом (16) или (17), содержит в явном виде только быструю динамику. Если частоты осцилляторов близки друг к другу 2 1( ),   то, кроме быстрой дина- мики, появляется медленная динамика, описы- вающая обмен энергией между осцилляторами. Для выделения этой медленной динамики можно использовать повторное каноническое преобра- зование зависимых переменных. Целью такой замены является выделение быстрых и медлен- ных движений. При таком выделении появляет- ся возможность отдельно изучить динамику мед- ленных движений. Для преобразования к но- вым каноническим переменным ( , ) ( , )J I       можно использовать следующую производящую функцию: 2 1 2 1 2 2( ) .I I      Старые и новые канонические переменные при этом будут определяться следующим образом: 2 2 1 1 2 2 1 1 2 , ,J I J I I          2 2 1 1 2 2 2 1 2 , . I I              Как видно из этих выражений, новая угловая пе- ременная 1 является медленной переменной, а угловая переменная 2 остается быстрой пе- ременной. Новые переменные действия, так же как и старые переменные действия, являются мед- ленными переменными (адиабатические инва- рианты). Подставляя выражения для старых пе- ременных в гамильтониан (16), получим следую- щее выражение для нового гамильтониана: 2 02 2(I) (I, ).NH H H      Здесь 02(I)H   2 2 01 1 1 02 2 1 2 14! ( ) ( ) 4! ,I I I I I I                 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 cos 4( ) ( ) cos 4 4! H I I I           1 2 1 1 1 2 01 02 1 ( ) cos cos( 2 ) , 2 I I I          1 2 1 2 02 1 01 02 1 ( ) ( ) cos . 2 N I I I H H I          (18) Обратим внимание, что гамильтониан (18) не зависит от 2. В этом случае действие 2I оказы- вается постоянной величиной 2 1 2( const).I J J   Разложим невозмущенную часть гамильтониа- на в ряд в окрестности резонансного значения нового действия: 1 1 ,RI I 02 02 2 1 2 1 , H H I I          01 1 02 212 12,J J     02 02 02 02 1 2 1 2 ( ) ( )R H H H I H I J J J J                2 2 2 202 02 1 22 2 1 2 1 ( ) ( ) . 2 H H J J J J            (19) При получении (19) мы учли, что 1 1,J I   2 1 2 ,J I I     2 0,I  т. к. 2 const.I  ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 23, № 1, 2018 67 Роль невзаимности в теории колебаний Первое слагаемое в (19) представляет собой постоянную величину. Второе слагаемое, в пер- вых квадратных скобках, обращается в ноль. Для определения третьего слагаемого заметим, что вторые производные в нашем случае равны постоянной величине: 2 2 02 02 2 2 1 1 1 . 6 H H I J        Используя все эти определения, окончательно можно получить следующее выражение для га- мильтониана, который описывает медленную ди- намику связанных нелинейных осцилляторов:   2 1 2 2 1 1 01 02 1 3 ( ) cos . 2 N J J H J t        (20) Гамильтониан (20) представляет собой универ- сальный гамильтониан математического маятника. При малых значениях медленной фазы 1 он описывает динамику линейного осциллятора, частота которого зависит от времени и от “амп- литуд” колебаний 1,J 2.J Эти амплитуды пред-д- ставляют собой адиабатические инварианты и меняются медленно. Поэтому для определе- ния возможности параметрического возбуждения осцилляторов в этом линейном приближении час- тоту можно считать меняющейся со временем только благодаря временной зависимости пара- метра связи между осцилляторами ( ).t Если эта зависимость имеет вид  0( ) 1 sin( ) ,t h t     то гамильтониан (20) представляет собой га- мильтониан линейного осциллятора, частота ко- торого периодически меняется. Если часто- та этого изменения равна удвоенной частоте 0 1 2 01 023 ( ) ,J J   то линейная часть гамиль- тониана (20) соответствует уравнению Матье. В этом случае можно рассчитывать на экспо- ненциальное нарастание действия 1.J Однакоо это нарастание будет незначительным и быстро выйдет на насыщение. Действительно, в на- шем случае имеется следующий интеграл: 2I  1 2( ) const.J J  Легко видеть, что этот интег- рал пропорционален сумме квадратов смещений и импульсов исходных нелинейных осцилляторов:   2 2 1 2 1 1 01 01 1 1 2 J J q p          2 2 2 2 02 021 const.q p        (21) Это означает, что такая сумма не будет ме- няться со временем. Отметим, что сумма (21) представляет собой положительно определенную форму. Поэтому рост отдельного члена этой фор- мы означает уменьшение других членов. Для рассматриваемой системы связанных осцилля- торов это означает, что возможна только пере- качка энергии из одного нелинейного осциллято- ра в другой нелинейный осциллятор. Таким образом, мы видим, что наличие интег- рала (21) не позволяет изменить общую энергию связанных нелинейных осцилляторов. Этот ре- зультат мы получили для случая, когда связи между осцилляторами взаимны. Покажем, что при наличии невзаимной связи интеграл исчезает. При этом появляется возможность параметри- ческого усиления колебаний связанных осцил- ляторов. 5. Íåîáõîäèìîñòü íåâçàèìíîñòè Следует сказать, что записать общий гамильто- ниан двух связанных нелинейных осцилляторов с невзаимной связью не представляется возмож- ным. Поэтому поступим таким образом: для каж- дого отдельного нелинейного осциллятора за- пишем свой гамильтониан. В каждом из этих га- мильтонианов учтем связь между осцилляторами. При этом удастся показать, что если связи взаим- ные, мы получим интеграл 2 1 2 const,I J J   ко- торый не позволяет осуществить параметричес- кое возбуждение осцилляторов. Если же связи будут невзаимными, то такой интеграл исчезает. В результате открывается возможность парамет- рического усиления колебаний связанных осцил- ляторов. Итак, запишем гамильтонианы двух нелиней- ных осцилляторов: 2 2 4 1 2 1 1 1 ( ) , 2 2 24 i i i i i i iH p F q F q t q q    (22) {1, 2}.i  Здесь мы учли тот факт, что связи между осцилляторами могут быть невзаимными, т. е. 1 2.   Если связи взаимные, то гамильтонианы (22) можно объединить в один гамильтониан (14). Преобразуем гамильтонианы (22) к новым кано- 68 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 23, № 1, 2018 В. А. Буц, Д. М. Ваврив ническим переменным. Для этого воспользуем- ся производящей функцией (15). В новых пере- менных эти гамильтонианы приобретут вид: 2 1 1 01 1 4! J H J          2 1 1 2 1 1 2 1 01 02 sin sin cos(4 ) , 2 4! J J J            2 2 2 02 2 4! J H J          2 2 1 2 2 1 2 2 01 02 sin sin cos(4 ) . 2 4! J J J            Эти гамильтонианы порождают следующую систему обыкновенных дифференциальных урав- нений для нахождения динамики новых канони- ческих переменных: 1 1 1 01 1 12 H J J              1 2 1 1 2 1 01 02 1 sin sin cos(4 ) , 2 12 J J J             2 2 2 02 2 12 H J J              2 1 2 1 2 2 01 02 2 sin sin cos(4 ) , 2 12 J J J             (23) 1 1 1 H J       2 1 2 1 1 1 2 1 01 02 cos sin cos(4 ) , 24 J J J              2 2 2 H J       2 1 2 2 2 2 1 2 01 02 cos sin cos(4 ) . 24 J J J              Обратим внимание, что переменные 1, 2 яв- ляются быстрыми переменными. Собственные парциальные частоты осцилляторов слегка изме- нились. Эти изменения обусловлены наличием нелинейности и связи между осцилляторами. Из системы (23) легко найти уравнение для функ- ции, которая представляет собой сумму новых канонических импульсов: 1 2 1 2 1 2 2 1 01 02 ( )sin( ). J J J J           (24) В этом выражении в правой части мы остави- ли только медленно меняющиеся слагаемые. Из (24) сразу следует, что как только связи взаимны 1 2( ),   то сумма 1 2( )J J оказы- вается интегралом. Этот результат соответствует полученному выше результату. В этом случае, как было указано выше, создать условия для реа- лизации параметрического возбуждения нельзя. Однако как только связь становится невзаимной, такое возбуждение оказывается возможным. 6. ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû Сформулированные выше результаты были про- верены численными исследованиями. Ниже рас- смотрим наиболее характерные примеры. 6.1. Äèíàìèêà ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ñâÿçàííûõ ëèíåéíûõ îñöèëëÿòîðîâ Систему уравнений, которая описывает динами- ку двух связанных линейных осцилляторов, мож- но представить в виде: 1 1 1 2( ) ,x x t x   2 2 2 1( ) ,x x t x   где ( ) cos( ).i i it t     Меняя в этой системе уравнений параметры ,i ,i можно изучать динамику колебательной системы со взаимной и с невзаимной связью. Будем считать, что параметр  равен 1 2 .    Это значение параметра соответствует удвоен- ной частоте перекачки энергии в системе связан- ных осцилляторов, когда зависимая от времени компонента связи равна нулю ( 0).i  Дина- мика колебательной системы с параметрами 1 2 0.1,    1 2 0.2,    1 2 ,    1(0) 0,x  2 (0) 0.1,x  1 2(0) (0) 0x x   при взаимной связи (25) ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 23, № 1, 2018 69 Роль невзаимности в теории колебаний между осцилляторами представлена на рис. 1. Видно, что происходит взаимодействие между осцилляторами. Однако полная энергия осцилля- торов не меняется. Рассмотрим теперь случай невзаимной связи. Для этого достаточно положить 1 0.  Динамика качественно меняется. Она представлена на рис. 2. Из этого рисунка видно, что происходит не только взаимодействие между осцилляторами и обмен энергией между ними, но и амплитуда каждого из осцилляторов экспоненциально нарастает. 6.2. Äèíàìèêà ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ Выше, при аналитическом рассмотрении, было показано, что наличие нелинейности качественно не меняет картину взаимодействия между осцил- ляторами. В численных исследованиях этот факт был подтвержден. Ниже приведены получен- ные авторами характерные результаты, показы- вающие роль невзаимности при взаимодействии двух нелинейных осцилляторов. В качестве осцил- ляторов были выбраны наиболее распространен- ные и хорошо изученные модели – модели мате- матических маятников: 1 1 1 1sin ( ) ,x x t x   2 2 2 1sin ( ) .x x t x   Здесь выражения для коэффициентов связи те же, что и в формуле (25). Ясно, что если ампли- туды колебаний малы, то система уравнений (26) не отличается от системы уравнений (25). Есте- ственно, что и динамика будет идентичной опи- санной выше для системы линейных осцилля- торов. При наличии невзаимности, как и для слу- чая линейных осцилляторов, амплитуды растут. Однако наличие нелинейности приводит к стаби- лизации уровня колебаний. Это связано с тем, что у нелинейных осцилляторов (в данном слу- чае у математических маятников) собственная частота колебаний зависит от амплитуды коле- баний. Поэтому во всех случаях наличие нели- нейности приводит к уходу собственных частот осцилляторов от резонансных значений. Резуль- таты динамики двух связанных математических маятников представлены на рис. 3. Эти результа- ты получены при следующих значениях парамет- ров: 1 2 0.1,    1 0,  2 0.1,  1 2 ,    1(0) 0,x  2 (0) 0.1,x  1 2(0) (0) 0.x x   7. Çàêëþ÷åíèå Таким образом, полученные в работе результаты показывают, что при наличии невзаимной связи между высокочастотными колебательными сис- темами возникает новый канал эффективного об- мена между высокочастотными и низкочастотны- ми колебаниями. Отметим, что в нашей предыдущей работе [6] было указано на существование такого канала. Однако ни свойства механизма связи колеба- Рис. 1. Характерная динамика амплитуд высокочастотных колебаний при взаимной связи между колебательными систе- мами 1 2( 0.2)    Рис. 2. Характерная динамика амплитуд высокочастотных колебаний при невзаимной связи между колебательными системами 1 2( 0, 0.2)    (26) 70 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 23, № 1, 2018 В. А. Буц, Д. М. Ваврив ний, ни необходимые условия его существова- ния не были выяснены. Более того, можно было предположить (и предполагалось), что учет не- линейностей уберет необходимость учета не- взаимной связи. Действительно, известно, что в рамках сингулярной теории возмущений уравне- ние для медленной динамики изучаемых сис- тем описывается универсальным гамильтониа- ном, который представляет собой гамильтониан математического маятника с медленно меняю- щимися параметрами. В этом случае при подхо- дящих значениях параметров такого маятника это уравнение может соответствовать уравне- нию Матье. Поэтому интуитивно можно было предположить, что в общем случае для суще- ствования указанного канала связи высокочас- тотных и низкочастотных колебаний невзаим- ность связи необязательна. Однако, как мы ви- дели выше, в отсутствие невзаимности суще- ствует интеграл (см. формулу (21)), который не позволяет существовать такому каналу взаимо- действия. И только при наличии невзаимной связи этот интеграл перестает существовать и канал связи открывается. Возникает вопрос о возможности использова- ния такого канала. Причем наибольший интерес представляет возможность передачи энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочас- тотных колебаний. Демонстрационный экспери- мент, в котором показано реальное существова- ние такого канала был осуществлен в работе [6]. В этом эксперименте два высокочастотных кон- тура были связаны с помощью невзаимных эле- ментов. Частоты этих контуров практически со- впадали и равнялись приблизительно 20 МГц. Один из элементов связи между контурами мо- дулировался внешним сигналом на частоте 0.58 МГц, т. е. коэффициент преобразования частоты был более 30. Энергия этого низкочас- тотного сигнала эффективно возбуждала высоко- частотные контуры. Теоретически и эксперимен- тально было показано, что за возбуждение высо- кочастотных контуров ответственна параметри- ческая неустойчивость. Ясно, что указанный диапазон возбуждения колебаний (~ 20 МГц) не представляет особой ценности, так как имеет- ся большое количество разнообразных источни- ков возбуждения таких колебаний. Интересным является тот факт, что рассмотренный механизм преобразования энергии низкочастотных коле- баний в энергию высокочастотных колебаний яв- ляется универсальным. В принципе, он может быть использован в любом диапазоне длин волн. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 01. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. Москва: Наука, 1988. 215 с. 02. Магнус К. Колебания. Москва: Мир, 1982. 304 с. 03. Рабинович М. Н., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. Москва: Наука, 1984. 432 с. 04. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохасти- ческая динамика. Москва: Мир, 1984. 528 с. 05. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971. 441с. 06. Buts V. A., Vavriv D. M., Nechayev O. G., and Tarasov D. V. A Simple Method for Generating Electromagnetic Oscil- lations. IEEE Trans. Circuits Syst. II, Exp. Briefs. 2015. Vol. 62, No. 1. P. 36–40. DOI: 10.1109/TCSII.2014.2362720 REFERENCES 01. LANDAU, L. D. and LIFSHITS, E. M., 1969. Mechanics. Oxford: Pergamon Press. 02. MAGNUS, K., 1965. Vibrations. London: Blackie and Son. 03. RABINOVICH, M. N. and TRUBETSKOV, D. I., 1984. Introduction to the Theory of Oscillations and Waves. Moscow, Russia: Nauka Publ. (in Russian). 04. LICHTENBERG, A. J. and LIEBERMAN, M. A., 1983. Regular and Stochastic Motion. New York: Springer- Verlag. 05. MITROPOL’SKY, Yu. A., 1971. An averaging method in nonlinear mechanics. Kiev: Naukova Dumka Publ. (in Russian). Рис. 3. Характерная динамика амплитуд высокочастотных нелинейных колебаний при невзаимной связи между ко- лебательными системами (26) (между математическими маятниками) ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 23, № 1, 2018 71 Роль невзаимности в теории колебаний 06. BUTS, V. A., VAVRIV, D. M., NECHAYEV, O. G. and TARASOV, D. V., 2015. A Simple Method for Generating Electromagnetic Oscillations. IEEE Trans. Circuits Syst. II, Exp. Briefs. vol. 62, no. 1, pp. 36–40. DOI: 10.1109/ TCSII.2014.2362720 V. A. Buts 1,2,3 and D. M. Vavriv 2 1 National Science Center “Kharkiv Institute of Physics and Technology”, 1, Akademichna St., Kharkiv, 61108, Ukraine 2 Institute of Radio Astronomy, National Academy of Sciences of Ukraine, 4, Mystetstv St., Kharkiv, 61002, Ukraine 3 V. N. Karazin Kharkiv National University, 4, Svoboda Sq., Kharkiv, 61022, Ukraine ROLE OF NON-RECIPROCITY IN THE THEORY OF OSCILLATIONS Purpose: The dynamics of coupled linear oscillators is investi- gated under the nonreciprocal coupling between them in order to determine the possibility of transferring the energy of low-frequency oscillations to the energy of high-frequency oscillations. Design/methodology/approach: The methods of the theory of dynamical systems were used. In particular, the singular pertur- bation theory, the theory of secondary resonances, and the ave- raging method. Methods of numerical analysis were also used. First, the analysis of dynamics of a system of two identical linear high-frequency oscillators was made . These oscillators are connected by a weak non-reciprocal coupling. It was shown that in the presence of a non-reciprocal coupling, the complex amplitudes of high-frequency oscillators can be parametrically enhanced. If the connections were mutual, there was no such increase. Further, the dynamics of a large number of high-frequency linear oscillators was studied. It was shown that when the oscil- lators were linked by mutual coupling , their initial energy was practically unchanged. Under the nonreciprocity, the possibility of parametric amplification of the amplitudes of high-frequency oscillations occurred. The dynamics of two coupled nonlinear oscillators was also considered. The singular perturbation theo- ry was used and it was shown that if the coupling coefficients are mutual, then there is an integral, which does not allow to transform the energy of low-frequency external perturbations into the energy of high-frequency oscillators. The presence of non-reciprocal bonds destroys this integral, and the energy con- version channel opens. The analysis of the numerical results fully confirmed the analytical results obtained. In conclusion, the possibilities of using the detected channel are analyzed. Potentially, it can be used in any frequency interval. Actually, at present, it is useful in millimeter, submillimeter and terahertz ranges. Findings: It is shown that the presence of a nonreciprocal cou- pling between high-frequency oscillatory degrees of freedom opens up a channel for transferring energy from low-frequency oscillations to energy of high-frequency oscillations. Key words: oscillators, non-reciprocal coupling, oscillation gen- eration, dynamical systems В. А. Буц 1,2,3, Д. М. Ваврів 2 1 Національный науковий центр “Харківський фізико-технічний інститут”, вул. Академічна, 1, м. Харків, 61108, Україна 2 Радіоастрономічний інститут НАН України, вул. Мистецтв, 4, м. Харків, 61002, Україна 3 Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, м. Свободи, 4, м. Харків, 61022, Україна РОЛЬ НЕВЗАЄМНОСТІ В ТЕОРІЇ КОЛИВАНЬ Предмет та мета роботи: Досліджується динаміка пов’я- заних лінійних осциляторів за наявності невзаємого зв’язку між ними з метою визначення можливості перекачування енергії низькочастотних коливань в енергію високочастот- них коливань. Методи і методологія: Використано методи теорії динаміч- них систем, зокрема, сингулярна теорія збурень, теорія вто- ринних резонансів і метод усереднення. Було використано також методи числового аналізу. Спочатку виконано аналіз динаміки системи двох однакових лінійних високочастотних осциляторів. Ці осцилятори пов’язані слабким невзаємним зв’язком. Параметри коефіцієнтів зв’язків модулювались зовнішнім низькочастотним збуренням. Показано, що за на- явності невзаємного зв’язку комплексні амплітуди високо- частотних осциляторів можуть бути параметрично підсилені. Якщо зв’язки були взаємними – таке підсилення відсутнє. Потім було вивчено динаміку великої кількості високочас- тотних лінійних осциляторів. Показано, що зі взаємним зв’яз- ком між осциляторами їх первісна енергія практично не зміню- валася. За наявності невзаємності виникала можливість пара- метричного підсилення високочастотних амплітуд. Розгляну- то також динаміку двох пов’язаних нелінійних осциляторів. Використано сингулярну теорію збурень і показано, що якщо коефіцієнти зв’язку взаємні, то існує інтеграл, який не дозво- ляє трансформувати енергію низькочастотних зовнішніх збу- рень в енергію високочастотних осциляторів. Наявність невзаємних зв’язків руйнує цей інтеграл, і канал перетворен- ня енергії відкривається. Аналіз числових результатів цілком підтвердив отримані аналітичні результати. Наприкінці аналі- зувались можливості використання виявленого каналу. Потенційно він може бути використаний у будь-якому інтер- валі частот. Реально, наразі, він є корисним у міліметровому, субміліметровому і терагерцевому діапазонах. Результати: Показано, що наявність невзаємного зв’язку між високочастотними коливальними ступенями свободи відкриває канал перекачування енергії від низькочастотних коливань в енергію високочастотних коливань. Ключові слова: осцилятори, навзаємний зв’язок, генерація коливань, динамічні системи Статья поступила в редакцию 25.09.2017

Роль невзаимности в теории колебаний

Institution

Ähnliche Einträge