Погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва

Погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва

У статті запропоновано новий підхід до розв’язання погано обумовлених систем лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва. Підраховано арифметичні операції СЛАР при чисельній реалізації алгоритму на ЕОМ. Наведено спосіб обчислення числа обумовленості матриці. Проаналізовано обчислювальну стійкіс...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2016
Автор: Семчишин, Л.М.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133917
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва / Л.М. Семчишин // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 14. — С. 123-132. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-133917
record_format dspace
spelling irk-123456789-1339172018-06-10T03:03:19Z Погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва Семчишин, Л.М. У статті запропоновано новий підхід до розв’язання погано обумовлених систем лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва. Підраховано арифметичні операції СЛАР при чисельній реалізації алгоритму на ЕОМ. Наведено спосіб обчислення числа обумовленості матриці. Проаналізовано обчислювальну стійкість запропонованого алгоритму розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва. Охарактеризовано складність алгоритму та показано його ефективність з точки зору комп'ютерної алгебри. In the work new approach to the badly conditional systems of linear algebraic equation in the Leontyev's model solution is suggested. Arithmetical operation of the linear algebraic system equation calculation under the algorithm numerical realisation on the ECM is conducted. The calculation method of matrix conditioning is suggested. The calculating steadiness of the linear algebraic system equation solution algorithm in the Leontyev's model is analysed. The algorithm complexity and its effectiveness from the computer algebra point of view. 2016 Article Погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва / Л.М. Семчишин // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 14. — С. 123-132. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133917 518.25 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description У статті запропоновано новий підхід до розв’язання погано обумовлених систем лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва. Підраховано арифметичні операції СЛАР при чисельній реалізації алгоритму на ЕОМ. Наведено спосіб обчислення числа обумовленості матриці. Проаналізовано обчислювальну стійкість запропонованого алгоритму розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва. Охарактеризовано складність алгоритму та показано його ефективність з точки зору комп'ютерної алгебри.
format Article
author Семчишин, Л.М.
spellingShingle Семчишин, Л.М.
Погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Семчишин, Л.М.
author_sort Семчишин, Л.М.
title Погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва
title_short Погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва
title_full Погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва
title_fullStr Погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва
title_full_unstemmed Погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва
title_sort погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі леонтьєва
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2016
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133917
citation_txt Погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва / Л.М. Семчишин // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 14. — С. 123-132. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT semčišinlm poganoobumovlenísistemilíníjnihalgebraíčnihrívnânʹumodelíleontʹêva
first_indexed 2025-07-09T19:52:34Z
last_indexed 2025-07-09T19:52:34Z
_version_ 1837200319048581120
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 14 123 УДК 518.25 Л. М. Семчишин, канд. фіз.-мат. наук Тернопільський національний економічний університет, м. Тернопіль ПОГАНО ОБУМОВЛЕНІ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ У МОДЕЛІ ЛЕОНТЬЄВА У статті запропоновано новий підхід до розв’язання погано обумовлених систем лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва. Підраховано арифметичні операції СЛАР при чи- сельній реалізації алгоритму на ЕОМ. Наведено спосіб обчис- лення числа обумовленості матриці. Проаналізовано обчислю- вальну стійкість запропонованого алгоритму розв'язання сис- тем лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва. Охара- ктеризовано складність алгоритму та показано його ефектив- ність з точки зору комп'ютерної алгебри. Ключові слова: погано обумовлені системи, число обумо- вленості матриці, обчислювальна стійкість алгоритму, мо- дель Леонтьєва, складність алгоритму. Вступ. Успішне розв'язання численних задач економіки стало мож- ливим лише завдяки широкому використанню математичних моделей, обчислювальних методів і комп'ютерних технологій. Застосування ма- тематики в економіці дозволяє виділити й формально описати найголов- ніші зв'язки між економічними змінними та параметрами об'єктів дослі- дження, індуктивним шляхом одержати нові відомості про об'єкт, зроби- ти важливі теоретичні висновки і прийняти правильні економічні рішен- ня. Головні переваги математики як засобу наукового пізнання найпов- ніше розкриваються саме у процесі побудови математичних моделей. Постановка проблеми. Розв'язування систем лінійних алгебраї- чних рівнянь (СЛАР) завжди є одним із актуальних задач обчислюва- льної математики. Особливо часто їх доводиться розв'язувати під час дослідження економічних процесів. Важливими є дослідження мето- дів, пов'язаних із виникненням, аналізом та розв'язуванням погано обумовлених СЛАР [1–3]. Як відомо з теореми Кронекера-Капеллі [4], система лінійних рівнянь може мати єдиний розв'язок, нескінчен- ну множину розв'язків або не мати розв'язку взагалі (система несумі- сна). В останньому випадку задача не позбавлена змісту, бо тоді шу- кають не розв'язок у звичайному сенсі, а такий набір значень невідо- мих, після підстановки яких у систему ліві частини «найменше» від- хиляються від правих. Слово «найменше» можна інтерпретувати по- різному, різним його інтерпретаціям відповідають метод найменших квадратів, метод найменших модулів та ін. [1]. © Л. М. Семчишин, 2016 Математичне та комп’ютерне моделювання 124 При розв'язуванні СЛАР дуже часто трапляється, що малі похиб- ки правих частин чи заданих коефіцієнтів призводять до великих по- хибок у розв'язках [5]. Похибки можуть виникати під час вимірюван- ня, обчислення чи заокруглення елементів матриць систем або пра- вих частин. Такі СЛАР називатимемо некоректно поставленими, або погано обумовленими. Така термінологія застосовується ще з часів Ж. Адамара [6], який вважав вивчення некоректно поставлених задач недоцільним, тому що їх завжди можна після уточнення математич- ної моделі поставити коректно (розумно). Нехай обчислювальна задача з початковими даними  A  розв’язується з допомогою деякого точного алгоритму g . Результат K розв’язання задачі запишемо у вигляді   K g A  . При реалізації алгоритму g на ЕОМ всі його операції будуть за- мінені машинними псевдоопераціями, а сам алгоритм – деяким ма- шинним алгоритмом   tK g A  , результат виконання якого за- пишемо     t tX g A  . Різницю    tX X    називають похибкою обчислення на ПЕОМ. Такий метод врахування сумарної похибки заокруглення на- зивають прямим аналізом похибок. Для багатьох числових методів похибки проміжних обчислень у сукупності рівносильні випадку, коли б ті ж методи (в нашому випадку алгоритм g ) точно розв’язували б кожен свою задачу, попередньо змінивши вхідні дані (наприклад, на  tА  ):     t tX g A  . Різницю    tK X X   називають еквівалентним збурен- ням, яке також характеризує похибку розв’язання задачі. Останню рівність запишемо у вигляді     tX g A K   ,  tX  можна розглядати як розв’язок тієї ж задачі зі збуреними на K вхідними даними. Для отримання кількісної оцінки впливу похибок заокруг- лення використовують так званий зворотний аналіз похибок [5-6]. На практиці часто наштовхуються на такі ситуації: погана обу- мовленість матриць нормативних коефіцієнтів, велика розмірність задачі, накопичення похибки під час обчислень при знаходженні роз- в'язків СЛАР у моделі Леонтьєва. Аналіз останніх публікацій. У роботі [8, с. 128–135] запропо- новано новий підхід до розв’язування розріджених систем лінійних алгебраїчних рівнянь із блочними елементами. Проведено підрахунок кількостей записів та операцій при чисельній реалізації алгоритму множення матриць. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 14 125 Актуальність теми. Застосування погано обумовлених систем лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва вимагає застосу- вання ефективних чисельних методів. Слід зауважити, що питання розв'язання погано обумовлених систем розглядалися у працях [5]. Однак, лише в окремих з них розг- лядаються питання щодо розв'язання лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва [1]. Мета роботи. Метою цієї роботи є дослідження моделі Леонтьє- ва, побудова оптимального способу обчислення числа обумовленості матриці, аналіз обчислювальної стійкості алгоритмів розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва. Теоретичну та методологічну основу дослідження складають методи оптимізації, економіко-математичне моделювання. Основна частина. При розв'язуванні системи лінійних алгебра- їчних рівнянь виникають похибки, пов'язані з неточністю початкових даних чи похибки заокруглення. Крім того, майже завжди виникають помилки при обчисленні вже у межах самої задачі (внаслідок неточ- ного виконання арифметичних операцій). Помилки цього типу (так звані обчислювальні) в багатьох випадках у сукупності рівносильні точному розв’язку такої ж задачі, але зі зміненими вхідними даними. Навіть за умови, що попередні вимірювання та обчислення про- водили з високою точністю і для розв’язання задачі вибрано стійкий метод обчислень, помилки вхідних даних, хоча й малі, але все ж бу- дуть. Ці похибки певною мірою впливають на розв'язок систем. Тому фактично замість узагальненого розв'язку системи Леонтьєва [7]        X A X y     , де  A  — матриця розміру n m ,  X  — невідомий вектор,  y  — заданий вектор, ми отримуємо розв'язок якоїсь іншої систе- ми зі збуреними елементами [1]        .X A X y     З огляду на це виникає запитання, як похибки вхідної інформації впливають на якість розв'язку системи. Точної відповіді на це запи- тання немає, тому спробуємо хоча б оцінити вплив похибок вхідної інформації на розв'язок [6]. Запишемо систему         ,X A X y     (1) або       y E A X    (2) у вигляді       y X E A      , де E — одинична матриця і   0E A   . Математичне та комп’ютерне моделювання 126 Вважаючи  A і  y змінними і продиференціювавши цю рі- вність, отримаємо         1 dX E A dy y        . Систему (1) можна звести згідно з [6] до вигляду 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 2 2 0 0 2 1 1 2 0 0 0 1 1 1 1 0; ( ) 0; ( ) 0; 0; ( ) 0; 0. l l j p s j p j j j l s l s l s l s l s l s A X Y z A X A X Y z Y z A X A X Y z Y z Y z A X Y z A X A X Y z Y z A X Y z                                           (3) Тут 0 1, ,..., sX X X — вектори розмірності n m , а 0 1, ,..., sX X X — ска- лярні величини. Тоді систему (1) можна записати як числову систему    1 1n m n m      рівнянь із    1 1n m l n m      невідомими. Отриману систему (3) запишемо у матричному вигляді так: 0 0 1 0 1 2 1 0 2 1 1 2 0 1 1 0 2 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... l l l l l l l l l l l l l l l l l A B A A B A A A B A A A A B A A A A A A A A A A A A A A A A A B A A A B B A A B B A B                             0 1 2 1 2 0 1 2 1 ... ... 0, ... ... ... N N N Nl N Nl N Nl N X X X X X X X y y y y y                                                                           де ijA — блоки розмірності n n . Розглянемо схеми розв'язання отриманих систем. Схематично матриця числової системи має структуру заповнення [6]: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 14 127 , I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I                                    (4) Перестановкою стовпців систему (3) можна перетворити таким чином, щоб її матриця набула заповнення , I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I                                    (5) де через « » позначені квадратні клітки lA , а через «І» — вектори правих частин .B Для визначеності будемо вважати, що система (3) складається з  1m l s  рівнянь і має  1m l s k   невідомих  1k  . Нехай rank   0 min ,A m l . Загальна стратегія розв'язання цієї системи залежить від її рангу. Спочатку розглянемо найбільш трудо- місткий з обчислювальної точки зору варіант числової системи. Для цього припустимо, що всі основні мінори схематично нарисованої матриці не дорівнюють нулю. Тоді перші  1m l s  невідомих мо- жуть бути виражені через k останніх розв'язків системи (5). При зроблених припущеннях про характер матриці (4) підматриця, утво- рена блоками « », буде невиродженою. Таким чином, схематично процес перетворення матриці системи може бути представлений у вигляді Математичне та комп’ютерне моделювання 128 . I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I                                                                  Для реалізації алгоритму на ЕОМ потрібно виконати з точністю до основного члена 4 3Cm l арифметичних операцій, де іm l — кіль- кість рядків та стовпців матриці. Величина константи C залежить від вибраного алгоритму зве- дення матриці до діагонального вигляду. Введемо число обумовленості  А для матриці вигляду (1)   0, 0 max , x Ax А A x             (6) яку можна записати у вигляді   max 00 min max min , x Ax A А x               (7) де max min,  — максимальне та мінімальне власні значення, матриці * ,A A *A — транспонована матриця до матриці A . Дослідимо величину  А в оцінці похибки при збуренні вихі- дних даних вектора Y і матриці A . Розглянемо з Y вектор Y Y  . Нехай ,x x x  — відповідно розв'язок моделі Леонтьєва   1 ( ) ( ),X E A t Y t   а також     1 ( ) ( )X X E A t Y t Y t     . Тоді    1 ( )X E A t Y t     . Згідно з визначенням  А із (6) матимемо               1 1 11, max E A t E A t X X А XE A t XE A t                                    , звідки   X Y А X Y      , (8) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 14 129 тобто  А — найменша константа, для якої при всіх , , ,X X Y Y  виконується нерівність (8). Отже,  А виконує роль множника при зростанні відносної похибки розв'язку. Це означає, що внаслідок змі- ни вектора в правій частині системи зміни в розв'язку збільшуються в  А разів. Інакше кажучи, нерівність (8) означає, що  А обме- жує зверху відношення відносної невизначеності вектора X до від- носної невизначеності вектора Y . Важливо наголосити, що оцінка (8) точна. Це свідчить про те, що за відповідного підбору векторів Y , Y можна досягти рівності. Оцінка (8) досяжна, значить, не можна дати точнішу оцінку, ніж (8), для довільних векторів Y , Y незале- жно від їхньої величини. Аналогічний зміст числа обумовленості в загальній ситуації, ко- ли збурюються вектор Y і матриця A :             1 X X E A t A t Y t Y t          . Виходячи з цього, наведемо завершальну оцінку [1]               1 A t Y t A t Y tX A X A t A A           , (9) отриману в припущенні невиродженості матриці A та умови       1. A t A A t    Якщо A — вироджена матриця, то отримаємо випадок  А   , оскільки   min 0 A t     і оцінки (8) і (9) втрачають сенс. Якщо A — невироджена матриця, то      1А A t A t   , де  1A t — обернена до  A t матриця, тобто матриця, яка задово- льняє відношення        1 1 .A t A t A t A t E   Отже, з оцінок (8), (9) випливає, що число обумовленості матри- ці  A t є характерним, від того, наскільки розв'язок системи   1 ( ) ( )X E A t Y t   стійкий до збурень компонент вектора правих частин  Y t та матриці коефіцієнтів  .A t Математичне та комп’ютерне моделювання 130 Аналіз обчислювальної стійкості алгоритмів розв'язання сис- тем лінійних алгебраїчних рівнянь. Погано обумовленою може бути не сама задача, а лише алгоритм, вибраний для її розв’язування. Якщо обчислений розв’язок суттєво відрізняється від точного внаслідок вико- нання числового алгоритму, то такий алгоритм називають нестійким. При реалізації алгоритму на комп'ютері виникають похибки зао- круглення даних, сумарний ефект яких необхідно враховувати при розв’язуванні задач (8), (9). Розглянемо процес зведення щільно заповнених систем рівнянь з  — матрицями до звичайних лінійних алгебраїчних систем із число- вими елементами. В результаті запропонованих перетворень виникає система стрічкового вигляду несиметричної структури. Порядок N сис- теми дорівнює  2 1n l  , а максимальна ширина L стрічки становить nl . Застосувавши обчислювальну схему другого методу відсічених сис- тем [6] для розв'язку отриманої стрічкової системи N -го порядку     1 1N n m l n m       , отримаємо рекурентні співвідношення       ( 1) , , 1 , ( 1) , , 1 1, 1, , 1 1,..., , 1, 2,..., 1 , 1, 2,...,1 . L k i k i j j j i k L k k k k j j j k k k L s k k i s i i s a a x b i k N a a x z b k N z b b z s k k                                   (10) Та       ( 1) , , 1 , ( 1) , , 1 , 1 , 1 , 1 1,..., 1 , 1, 2,..., , 1, 2,...,1 . L k k i j i j j k i L k k k j k j j k k k L s s k s i s i s a a z b i k N a a x x b k N x b b x s k k                                   (11) З точки зору обчислювальної стійкості дана схема практично не відрізняється від звичайного методу відсічених систем. Тому для ек- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 14 131 вівалентних збурень елементів чисельної матриці A , що відповіда- ють реалізації алгоритму на комп'ютері, запишемо  1 , 3,05 , 1, ; 1, 1l i j A i n j n        , (12) Таким чином, обчислювальний процес для даного випадку воло- діє виключно високою чисельною стійкістю. Висновки. У статті розглянуто новий підхід до розв'язування погано обумовлених систем лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва. Підраховано кількість арифметичних операцій при чисе- льній реалізації алгоритму СЛАР на електронно-обчислювальні ма- шині. Наведено спосіб обчислення числа обумовленості матриці. Проаналізовано обчислювальну стійкість алгоритмів розв'язання сис- тем лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва. Запропонований алгоритм можна ефективно використовувати в системах комп’ютерної алгебри та для аналітично-числового розв’язування інженерних задач і прикладних задач механіки. На основі запропонованого підходу в пакеті MatLab були прове- дені числові експерименти для погано обумовлених систем лінійних алгебраїчних рівнянь у моделі Леонтьєва. Вони підтверджують ефек- тивність алгоритму. Список використаних джерел: 1. Заборовець М. О. Сучасні методи розв'язування систем лінійних алгеб- раїчних рівнянь / М. О. Заборовець, Ф. А. Левченко, М. Г. Охріменко. — К. : КНЕУ, 2006. — 76 с. 2. Цегелик Г. Г. Чисельні методи / Г. Г. Цегелик. — Л. : Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2004. — 408 с. 3. Воеводин В. В. Линейная алгебра / В. В. Воеводин. — СПб. : Лань, 2008. — 416 с. 4. Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра / Е. Е. Тыр- тышников. — М. : Физматлит, 2007. — 480 с. 5. Уоткинс Д. Основы матричных вычислений / Д. Уоткинс. — М. : Бином. Лаборатория знаний, 2006. — 664 с. 6. Недашковський М. О. Обчислення з λ-матрицями / М. О. Недашковський, О. Я. Ковальчук. — К. : Наукова думка, 2007. — 294 с. 7. Григорків В. С. Моделювання економіки. Ч. 2 : навч. посібник / В. С. Григорків. — Чернівці : Рута, 2006. — 100 с. 8. Семчишин Л. М. Розв’язання розріджених систем лінійних алгебраїчних рів- нянь із блочними елементами / Л. М. Семчишин // Фізико-математичне моде- лювання та інформаційні технології. — Львів, 2007. — Вип. 6. — С. 128–135. In the work new approach to the badly conditional systems of linear algebraic equation in the Leontyev's model solution is suggested. Arith- metical operation of the linear algebraic system equation calculation under the algorithm numerical realisation on the ECM is conducted. The calcula- Математичне та комп’ютерне моделювання 132 tion method of matrix conditioning is suggested. The calculating steadiness of the linear algebraic system equation solution algorithm in the Leontyev's model is analysed. The algorithm complexity and its effectiveness from the computer algebra point of view. Key words: badly conditional systems, number of matrix conditioning, the algorithm calculating steadiness, the Leontyev's model, the algorithm complexity. Отримано: 25.07.2016 УДК 517.912 М. І. Сєров, д-р фіз.-мат. наук, професор, Ю. В. Приставка, аспірант Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка, м. Полтава НЕЛОКАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЕКВІВАЛЕНТНОСТІ СИСТЕМИ РІВНЯНЬ КОНВЕКЦІЇ-ДИФУЗІЇ Побудовано нелокальні перетворення еквівалентності сис- теми рівнянь конвекції-дифузії. Встановлено максимальну ал- гебру інваріантності, побудовано ліївські і нелокальні анзаци, проведено редукцію та знайдено точні розв’язки образу систе- ми рівнянь Ван-дер-Ваальса. Ключові слова: система рівнянь конвекції-дифузії, нело- кальні перетворення еквівалентності, симетрія, метод Лі, ін- варіантність, максимальна алгебра інваріантності, нелокаль- на заміна, система рівнянь Ван-дер-Ваальса, інваріантний ан- зац, редукована система. Вступ. Більшість математичних моделей фізики, біології, хімії та інших природничих наук, а також економіки, фінансової матема- тики тощо, формулюється з використанням диференціальних рівнянь. Тому невід'ємною складовою частиною розв’язування багатьох прак- тичних задач є дослідження спеціальних класів диференціальних рів- нянь і побудова їх точних розв'язків. Точні розв'язки диференціальних рівнянь відіграють важливу роль в теоретичних і прикладних дослідженнях. Вони є ефективним інструментом перевірки адекватності математичних моделей, ефек- тивності наближених методів. Відомо багато методів для побудови точних розв’язків диференціальних рівнянь: метод Пуассона, метод Фур'є, метод оберненої задачі розсіювання. Регулярний метод побу- дови точних розв'язків є складовою частиною групового аналізу ди- ференціальних рівнянь, створеного Софусом Лі. Відзначимо, що гру- © М. І. Сєров, Ю. В. Приставка, 2016 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description << /ARA <FEFF06270633062A062E062F0645002006470630064700200627064406250639062F0627062F0627062A002006440625064606340627062100200648062B062706260642002000410064006F00620065002000500044004600200645062A064806270641064206290020064506390020064506420627064A064A0633002006390631063600200648063706280627063906290020062706440648062B0627062606420020062706440645062A062F062706480644062900200641064A00200645062C062706440627062A002006270644062306390645062706440020062706440645062E062A064406410629061B0020064A06450643064600200641062A062D00200648062B0627062606420020005000440046002006270644064506460634062306290020062806270633062A062E062F062706450020004100630072006F0062006100740020064800410064006F006200650020005200650061006400650072002006250635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002E> /BGR <FEFF04180437043f043e043b043704320430043904420435002004420435043704380020043d0430044104420440043e0439043a0438002c00200437043000200434043000200441044a0437043404300432043004420435002000410064006f00620065002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d04420438002c0020043f043e04340445043e0434044f044904380020043704300020043d043004340435043604340435043d0020043f044004350433043b04350434002004380020043f04350447043004420020043d04300020043104380437043d0435044100200434043e043a0443043c0435043d04420438002e002000200421044a04370434043004340435043d043804420435002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d044204380020043c043e0433043004420020043404300020044104350020043e0442043204300440044f0442002004410020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200441043b0435043404320430044904380020043204350440044104380438002e> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043d0430043404560439043d043e0433043e0020043f0435044004350433043b044f043404430020044204300020043404400443043a0443002004340456043b043e04320438044500200434043e043a0443043c0435043d044204560432002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси