Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності

Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності

Розглянуто задачу Діріхле для рівняння теплопровідності з нелінійною функцією потужності теплових джерел та коефіцієнтом теплопровідності, степенево залежним від температури. Для знаходження її чисельного розв’язку запропоновано використати метод двобічних наближень. Наведено результати обчислювальн...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2017
Автор: Сидоров, М.В.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133984
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності / М.В. Сидоров // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 157-167. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-133984
record_format dspace
spelling irk-123456789-1339842018-06-11T03:03:13Z Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності Сидоров, М.В. Розглянуто задачу Діріхле для рівняння теплопровідності з нелінійною функцією потужності теплових джерел та коефіцієнтом теплопровідності, степенево залежним від температури. Для знаходження її чисельного розв’язку запропоновано використати метод двобічних наближень. Наведено результати обчислювального експерименту в одиничному крузі для випадку експоненціальної залежності потужності теплових джерел від температури. The Dirichlet problem for the heat conduction equation with the nonlinear function of the power of heat sources and the coefficient of thermal conductivity, which is power dependent on temperature, is considered. To find its numerical solution, it is proposed to use the method of two-sided approximations. The results of the computational experiment in the unit circle for the case of the exponential dependence of the heat sources power on temperature are given. 2017 Article Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності / М.В. Сидоров // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 157-167. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133984 517.988:519.632 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Розглянуто задачу Діріхле для рівняння теплопровідності з нелінійною функцією потужності теплових джерел та коефіцієнтом теплопровідності, степенево залежним від температури. Для знаходження її чисельного розв’язку запропоновано використати метод двобічних наближень. Наведено результати обчислювального експерименту в одиничному крузі для випадку експоненціальної залежності потужності теплових джерел від температури.
format Article
author Сидоров, М.В.
spellingShingle Сидоров, М.В.
Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Сидоров, М.В.
author_sort Сидоров, М.В.
title Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності
title_short Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності
title_full Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності
title_fullStr Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності
title_full_unstemmed Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності
title_sort метод двобічних наближень розв’язання задачі діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2017
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133984
citation_txt Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності / М.В. Сидоров // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 157-167. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT sidorovmv metoddvobíčnihnabliženʹrozvâzannâzadačídíríhledlânelíníjnogorívnânnâteploprovídností
first_indexed 2025-07-09T20:01:07Z
last_indexed 2025-07-09T20:01:07Z
_version_ 1837200855850287104
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 157 7. Семчишин Л. М. Узагальнені динамічні міжгалузеві моделі / Л. М. Семчишин, М. О. Недашковський // Вісник Тернопільського національного економічного університету. — Тернопіль : Економічна думка, 2009. — Вип. 1. — С. 169–187 8. Солодовников А. С. Математика в экономике / А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов. — М., 2000. 9. Цегелик Г. Г. Чисельні методи / Г. Г. Цегелик. — Л. : Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2004. — 408 с. 10. Cabay S. Systems f Linear Equations with Dense Univariate Polynomial Coef- ficients. Journal of the Associaation for Computing Machinery. / S. Cabay, B. Domzy. — 2007. — Vol. 34, №3. — P. 646–660. The generalized dynamic models of productive close system are of- fered in the article. Inter-branch models and their place are considered among the models of economic dynamics. The numeral calculations of model are conducted. A method over of erection of the systems is brought with matrices to the systems of linear equalizations of algebra. The stages of decision of model are analysed in accordance with the theory of differ- ential equalizations. Complication of algorithm is described and his effi- ciency is shown from the point of view of computer algebra. Key words: dynamic mathematical models, system of linear equalizations of algebra, matrix polynomials, relation of two polynomials, the dynamic model of matrix equalization, complication of algorithm, is generalized. Отримано:25.10.2017 УДК 517.988:519.632 М. В. Сидоров, канд. фіз.-мат. наук Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків МЕТОД ДВОБІЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ ДІРІХЛЕ ДЛЯ НЕЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ Розглянуто задачу Діріхле для рівняння теплопровідності з нелінійною функцією потужності теплових джерел та коефіцієн- том теплопровідності, степенево залежним від температури. Для знаходження її чисельного розв’язку запропоновано використати метод двобічних наближень. Наведено результати обчислюваль- ного експерименту в одиничному крузі для випадку експоненціа- льної залежності потужності теплових джерел від температури. Ключові слова: нелінійна теплопровідність, додатний розв’язок, метод двобічних наближень, рівняння з гетеротон- ним оператором. Вступ. Лінійні математичні моделі є завжди лише певними на- ближеннями при описі процесів різної природи, тому у сучасній нау- ці все більше уваги приділяється саме нелінійним математичним мо- © М. В. Сидоров, 2017 Математичне та комп’ютерне моделювання 158 делям та актуальною стає проблема розробки нових та вдосконалення існуючих методів їх чисельного аналізу. Математичними моделями процесів, що протікають у неліній- них середовищах, зазвичай є нелінійні крайові задачі математичної фізики [12]. Для чисельного аналізу нелінійних крайових задач вико- ристовуються методи скінченних різниць, скінченних елементів [9, 11] або двобічні ітераційні методи [1–6]. При застосування методу двобічних наближень будується дві ітераційні послідовності, які з обох боків збігаються до точного розв’язку задачі, що дозволяє не тільки довести існування розв’язку, а ще й на кожному кроці ітера- ційного процесу мати апостеріорну оцінку похибки, а отже, і зручний критерій закінчення ітерацій. Тому, на нашу думку, саме розвиток останнього методу та поширення його застосувань на якомога біль- ший клас нелінійних задач є найбільш важливим з точки зору ство- рення нових засобів обчислювальної математики. Метод двобічних наближень заснований на використанні теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих просторах [5, 6, 10]. Метою роботи є розробка двобічних ітераційних методів розв’я- зання задачі Діріхле для рівняння теплопровідності з нелінійною фу- нкцією потужності теплових джерел та коефіцієнтом теплопровідно- сті, степенево залежним від температури. Дана робота продовжує дослідження, розпочаті у [1–4]. 1. Постановка задачі. Розглядатимемо проблему знаходження додатного розв’язку нелінійної крайової задачі вигляду ( ( ) ) ( , )div k T gradT f x T  у  , (1) 0T   , (2) де m   — обмежена область з кусково-гладкою межею  , ( , )f x T — невід’ємна та неперервна за сукупністю змінних x , T функція, якщо x , 0T  , 0( )k T k T , 0  — параметри нелі- нійності середовища, 0  — стала. Задача (1), (2) є математичною моделлю процесу теплопровідно- сті, коли коефіцієнт теплопровідності залежить степенево від темпе- ратури, а також коли в  наявні джерела тепловиділення за неліній- ним законом ( , )f x T (параметр  характеризує їх потужність). Аналітичному дослідженню задач нелінійної теплопровідності присвячена, наприклад, книга [8]. У задачі (1), (2) зробимо заміну 1 1 0 1T u k         , де ( )u x — но- ва невідома функція. Тоді для функції u отримаємо задачу Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 159 ( , )u F x u  у  , (3) 0u   , (4) де 1 1 0 1 ( , ) ,F x u f x u k                 . 2. Побудова двобічних наближень. У банаховому просторі ( )C  неперервних у     функцій з нормою max ( ) x u u x   виділимо конус K невід’ємних функцій. Відомо [5, 6], що конус K у ( )C  є нормальним. За допомогою конуса K у просторі ( )C  введемо напівупоряд- кованість за правилом: для , ( )u v C  u v , якщо v u K  , тобто u v , якщо ( ) ( )u x v x для всіх x . Нехай ( , )G x  — функція Гріна першої крайової задачі для опе- ратора  у області  , 1( , ..., )mx x x , 1( , ..., )m   . Тоді задача (3), (4) еквівалентна інтегральному рівнянню Гаммерштейна ( ) ( , ) ( , ( ))u x G x F u d        . (5) Узагальненим розв’язком задачі (3), (4) називатимемо функцію ( )u C   , яка є розв’язком рівняння (5). Отже, розв’язком (узагаль- неним) вихідної задачі (1), (2) буде функція 1 1 0 1T u k          . (6) Введемо у розгляд нелінійний інтегральний оператор T , який діє у ( )C  за правилом, яке визначається правою частиною інтегра- льного рівняння (5): ( ) ( , ) ( , ( ))T u G x F u d        . (7) Функція ( , )F x u невід’ємна і неперервна за сукупністю змінних x , u , якщо x , 0u  , оскільки таку властивість має функція ( , )f x T . Функція Гріна ( , ) 0G x   , ,x   , x  . Тоді оператор T залишає інваріантним конус K : ( )T K K  , тобто є додатним. Припустимо, що функція ( , )F x u дозволяє діагональне подання ( , ) ( , , )F x u x u u  , де неперервна за сукупністю змінних x , v , w Математичне та комп’ютерне моделювання 160 функція ( , , )x v w монотонно зростає за v і монотонно спадає за w для всіх x . Тоді оператор T вигляду (5) буде гетеротонним з супровідним оператором ( , ) ( , ) ( , ( ), ( ))T v w G x v w d          . (8) Якщо функція ( , )F x u монотонно зростає за u для всіх x , можна обрати ( , , ) ( , )x v w F x v  , а якщо монотонно спадає за u , то можна покласти ( , , ) ( , )x v w F x w  . Оператори T і T  є цілком неперервними [5, 6]. У конусі K виділимо сильно інваріантний для гетеротонного оператора T конусний відрізок 0 0,v w  умовами 0 0 0( , )T v w v  , 0 0 0( , )T w v w  , тобто 0 0 0( , ) ( , ( ), ( )) ( )G x v w d v x         для всіх x , 0 0 0( , ) ( , ( ), ( )) ( )G x w v d w x         для всіх x . Сформуємо далі ітераційний процес за схемою ( 1) ( ) ( )( , )k k kv T v w   , ( 1) ( ) ( )( , )k k kw T w v   , 0,1, 2,...k  , (0) 0v v , (0) 0w w , тобто ( 1) ( ) ( )( ) ( , ) ( , ( ), ( ))k k kv x G x v w d         , (9) ( 1) ( ) ( )( ) ( , ) ( , ( ), ( ))k k kw x G x w v d         , 0, 1, 2, ...k  , (10) (0) 0( ) ( )v x v x , (0) 0( ) ( )w x w x . (11) Оскільки конусний відрізок 0 0,v w  є сильно інваріантним, а оператор T є гетеротонним, то послідовність ( ){ ( )}kv x не спадає за конусом K , а послідовність ( ){ ( )}kw x не зростає за конусом K . Крім того, з нормальності конуса K і цілком неперервності опера- тора T  випливає існування границь ( )v x і ( )w x цих послідовнос- тей. При цьому для послідовних наближень ( ){ ( )}kv x , ( ){ ( )}kw x справджується такий ланцюг нерівностей: (0) (1) ( ) 0 ... ...kv v v v v       ( ) (1) (0) 0... ...kw w w w w       . Функції v і w є розв’язком системи рівнянь Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 161 ( , )v T v w    , ( , )w T w v    , тобто системи ( ) ( , ) ( , ( ), ( ))v x G x v w d           , ( ) ( , ) ( , ( ), ( ))w x G x w v d           . Якщо ж отримали, що v* = w* = u*, то u* — єдина на конусному відрізку <v0, w0> нерухома точка оператора T, а отже, u* — єдиний на <v0, w0> розв’язок крайової задачі (3), (4). Достатньою умовою виконання рівності v w  є умова [6] для всіх додатних чисел v , w і будь-якому (0,1)  виконується нерівність 1 , , ( , , )x v w x v w          , x , (12) яка гарантує u0 — псевдоугнутість оператора (7) з 0 ( ) ( , )u x G x d     . Тоді інтегральне рівняння (5) (а отже, і крайова задача (1), (2)) має єдиний додатний розв’язок [6], до якого двобічно збігається іте- раційний процес (9)–(11). Таким чином, справджується теорема. Теорема 1. Нехай гетеротонний оператор (7) має сильно інварі- антний конусний відрізок 0 0,v w  і виконується умова (12). Тоді ітераційний процес (9)–(11) двобічно збігається до єдиної у конусі K нерухомої точки u оператора T : 0 1 1 0... ... ... ...n nv v v u w w w          . Зазначимо, що перевагою побудованого двобічного ітераційного процесу є те, що на кожній k -й ітерації для наближеного розв’язку ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ( ) ( )) 2 k k ku x w x v x  ми маємо зручну апостеріорну оцінку похибки: ( ) ( ) ( )1 2 k k ku u w v    . Отже, якщо задана точність 0  , то ітерації слід проводити до виконання нерівності ( ) ( )max( ( ) ( )) 2k k x w x v x     . Тоді з точністю  можна вважати, що ( )( ) ( )ku x u x  , а отже, відповідно до (6), Математичне та комп’ютерне моделювання 162 1 1 ( ) 0 1 ( ) ( )kT x u x k          . Сильно інваріантний конусний відрізок можна шукати у вигляді 0 0, 0,v w    , 0  [1–4]. Тоді нерівності, які визнають 0v , w0 приймають вигляд ( , ) ( , 0, ) 0G x d       для всіх x , ( , ) ( , , 0)G x d         для всіх x . Якщо ( , 0, ) 0f x    для всіх x , 0  , то перша з цих нерів- ностей завжди виконана, а значення β можна знайти з другої нерівності. 3. Результати обчислювального експерименту. Для обчислю- вального експерименту оберемо у (1), (2) у вигляді 0 1k  , 1 2   , ( , ) uf x u e , тобто розглянемо задачу ( ) Tdiv T gradT e  у  , (13) 0T   , (14) в одиничному крузі ( 2m  ) 2 2 1 2 1 2{ ( , ) : 1}x x x x x     . У задачі (13), (14) зробимо заміну 3 23 9 4 T u , де u — нова не- відома функція. Це призводить до задачі 3 23 9 exp 4 u u          у  , (15) 0u   . (16) Оскільки функція 3 23 9 ( , ) exp 4 F x u u         монотонно зростає за u , то обираємо 3 23 9 ( , , ) exp 4 x v w v          . У просторі ( )C  задача (15), (16) еквівалентна інтегральному рівнянню Гаммерштейна 233 9 ( ) ( , ) exp [ ( )] 4 u x G x u d               , (17) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 163 де 11 ( , ) ln 2 x x r G x r       , 2 2 1 2    , точки  і 1 симетричні від- носно кола одиничного радіуса, xr  , 1xr  — відстані між точками x ,  і x , 1 відповідно. Супровідний для гетеротонного оператора 233 9 ( ) ( , ) exp [ ( )] 4 T u G x u d               має вигляд 233 9 ( , ) ( , ) exp [ ( )] 4 T v w G x v d                . Сильно інваріантний для цього гетеротонного оператора конусний відрізок шукатимемо у вигляді 0 0, 0,v w    . Нерівності 0 0 0( , )T v w v  , 0 0 0( , )T w v w  , які його визначають, приймають вигляд ( , ) 0G x d     , 233 9 exp ( , ) 4 G x d               . Перша з цих нерівностей завжди виконується, бо ( , ) 0G x   , ,x   , x  , а з другої нерівності, оскільки 1 max ( , ) 4x G x d     , отримуємо, що 233 9 exp 4 4           . (18) Нами встановлено, що нерівність (18) має розв’язок відносно β, якщо 1,0931  . Двобічний ітераційний процес послідовних наближень до розв’язку рівняння (17) (а отже, і задачі (15), (16)) сформуємо за схемою ( 1) ( ) 233 9 ( ) ( , ) exp [ ( )] 4 k kv x G x v d               , (19) ( 1) ( ) 233 9 ( ) ( , ) exp [ ( )] 4 k kw x G x w d               , 0, 1, 2, ...k  , (20) (0) ( ) 0v x  , (0) ( )w x  . Виконання умови (12) для всіх τ(0; 1) перевіряється безпосередньо: 3 32 2 23 3 9 9 exp exp 4 4 v v                   . Математичне та комп’ютерне моделювання 164 Отже, справджується така теорема. Теорема 2. Нехай   (0; 1,0931), а β визначається нерівністю (18). Тоді ітераційний процес (19), (20) з v(0)(x) = 0, w(0)(x) = β двобічно збігається до єдиного додатного розв’язку задачі (15), (16), а отже, послідовність ( ) ( ) 233 9 [ ] 4 k kT u , де ( ) ( ) ( ) 2 k k k v wu   збігається до єдиного додатного розв’язку задачі (13), (14). Обчислювальний експеримент було проведено для значення  = 0,4. Для цього значення  розв’язок нерівності (18) має вигляд 0,14313  β  5,25829. Оскільки значення β слід обирати якомога меншим (щоб мати мінімальну довжину конусного відрізка), то оби- раємо β = 0,1432. Оберемо  = 10–4. В таблиці 1 наведено значення ( ) ( ) ( )1 max ( ) ( ) 2 k k k x w x v x    оцінки похибки наближеного розв’язку u(k)(x), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, а в таблиці 3 — значення наближень w(k)(x), u(k)(x) та v(k)(x), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, в точці (0; 0). На рис. 1 наведено графіки пере- різів верхніх w(k)(x) (суцільна лінія) та нижніх v(k)(x) (штрихована лінія) наближень при x2 = 0 для k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Таблиця 1 Значення оцінки похибки наближеного розв’язку k 0 1 2 3 4 5 (k) 0,72·10–1 0,22·10–1 0,41·10–2 0,73·10–3 0,13·10–3 0,23·10–4 Таблиця 2 Значення послідовних наближень в точці (0; 0) k 0 1 2 3 4 5 w(k)(0, 0) 0,14313 0,14313 0,13421 0,13240 0,13207 0,13202 u(k)(0, 0) 0,07157 0,12156 0,13012 0,13167 0,13194 0,13199 v(k)(0, 0) 0,00000 0,10000 0,12603 0,13094 0,13182 0,13197 Як бачимо, точність  = 10–4 досягнута на п’ятій ітерації. Тоді (5) (5) 233 9 [ ] 4 T T u   , де (5) (5) (5) 2 v wu   . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 165   1.0 0.5 0.5 x1 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 w k x1,0 , v k x1,0 Рис. 1. Графіки перерізів верхніх ( ) ( )kw x (суцільна лінія) та нижніх ( ) ( )kv x (штрихована лінія) наближень при 2 0x  для 0,1,2,3,4,5k  На рис. 2 і 3 наведені поверхня та лінії рівня наближеного розв’язку (5) ( )T x відповідно, а у таблиці 3 значення (5) ( )T x в точках (0,2 ; 0)i , 0,1,2,3,4,5i  .   1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 x1 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 x2 0.0 0.1 0.2 0.3 Рис. 2. Поверхня наближеного розв’язку (5) ( )T x 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 x1 x 2 Рис. 3. Лінії рівня наближеного розв’язку (5) ( )T x Математичне та комп’ютерне моделювання 166 Таблиця 3 Значення наближеного розв’язку в точках (0,2 ; 0)i , 0,1, 2,3,4,5i  i 0 1 2 3 4 5 (5) (0,2 , 0)T i 0,3397 0,3300 0,2997 0,2477 0,1669 0,0000 Висновки. В роботі вперше для отримання наближеного розв’язку задачі нелінійної теплопровідності з нелінійною функцією потужності теплових джерел та коефіцієнтом теплопровідності, сте- пенево залежним від температури, запропоновано використати метод двобічних наближень. Обчислювальний експеримент, проведений для тестової задачі, продемонстрував можливості та ефективність цього метода. Результати роботи можуть бути використані у матема- тичному моделюванні процесів у нелінійних середовищах. Обмеженість використання запропонованого метода може бути пов’язана з тим, що функція Гріна першої крайової задачі для опера- тора  відома лише для певної кількості класичних областей. При розгляді задач у областях некласичної геометрії або у областях, для яких функція Гріна відома, але має складний аналітичний вираз, для побудови відповідного диференціальній задачі нелінійного інтегра- льного рівняння можна буде використати підхід, заснований на вико- ристанні замість функції Гріна відповідної квазіфункції [7]. Список використаних джерел: 1. Колосов А. И. Конструктивное исследование краевых задач для нелиней- ных дифференциальных уравнений / А. И. Колосов, С. В. Колосова, М. В. Сидоров // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. — 2012. — № 2. — С. 50–57. 2. Колосова С. В. О построении двусторонних приближений к положитель- ному решению уравнения Лане–Эмдена / С. В. Колосова, В. С. Луханин, М. В. Сидоров // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. — 2015. — № 3. — С. 107–120. 3. Колосова С. В. О построении итерационных методов решения краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений / С. В. Колосова, В. С. Луханин, М. В. Сидоров // Вісник Запорізького національного уні- верситету. Серія: фізико-математичні науки. — 2013. — № 1. — С. 35–42. 4. Колосова С. В. Применение итерационных методов к решению эллипти- ческих краевых задач с экспоненциальной нелинейностью / С. В. Колосо- ва, М. В. Сидоров // Радиоэлектроника и информатика. — 2013. — № 3 (62). — С. 28–31. 5. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений / М. А. Красносельский. — М. : Физматгиз, 1962. — 394 с. 6. Опойцев В. И. Нелинейные операторы в пространствах с конусом / В. И. Опой- цев, Т. А. Хуродзе. — Тбилиси : Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. — 246 с. 7. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения / В. Л. Рва- чев. — К. : Наук. думка, 1982. — 552 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 167 8. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. — М. : Наука, 1987. — 480 с. 9. Afrouzi G. A. A Numerical Method for Finding Positive Solution of Dirichlet Prob- lem with a Weight Function / G. A. Afrouzi, S. Mahdavi, Z. Naghizadeh // Journal of Information and Computing Science. — 2006. — Vol. 1. — № 3. — P. 168–172. 10. Amann H. On the number of solutions of nonlinear equations in ordered Ba- nach spaces / H. Amann // J. Funct. Anal. — 1972. — № 11. — P. 346–384. 11. Chen G. Algorithms and visualization for solutions of nonlinear elliptic equa- tions / G. Chen, J. Zhou, W.-M. Ni // Int. J. Bifurcation Chaos. — 2000. — Vol. 10. — № 7. — P. 1565–1612. 12. Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations / C. V. Pao. — New York : Plenum Press, 1992. The Dirichlet problem for the heat conduction equation with the nonlinear function of the power of heat sources and the coefficient of thermal conductivi- ty, which is power dependent on temperature, is considered. To find its numeri- cal solution, it is proposed to use the method of two-sided approximations. The results of the computational experiment in the unit circle for the case of the ex- ponential dependence of the heat sources power on temperature are given. Key words: nonlinear heat conductivity, positive solution, two-sided iterative method, equation with heterotone operator. Отримано: 19.10.2017 УДК 517.5 В. А. Сорич, канд. фіз.-мат. наук, Н. М. Сорич, канд. фіз.-мат. наук Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський СУМІСНЕ НАБЛИЖЕННЯ КЛАСІВ ЗГОРТОК З ЯДРАМИ ПУАССОНА СУМАМИ ФУР’Є В МЕТРИЦІ ПРОСТОРУ pL Встановлено асимптотичні рівності для верхніх меж величи- ни, що характеризує сумісне наближення частинними сумами Фу- р’є в метриці просторів pL , 1 p   , класів інтегралів Пуассона періодичних функцій, що належать одиничній кулі простору 1L . Ключові слова: інтеграли Пуассона, сумісне наближення в просторі pL , суми Фур’є. Вступ. Стаття присвячена відшуканню асимптотичних рівнос- тей для верхніх меж відхилень лінійних комбінацій згорток з ядрами Пуасона періодичних сумовних функцій від своїх сум Фур’є в метри- ці простору pL . © В. А. Сорич, Н. М. Сорич, 2017 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси