Аналіз вібраційного стану стрижня з тріщиною під дією стохастичних циклічних навантажень
На основі числових розв’язків нелінійного диференціального рівняння ІІ-го порядку проаналізовано коливання стрижня під дією стохастичної вимушувальної сили. Встановлено, що за появи тріщини коливання набувають властивостей періодичної нестаціонарності. Показано, що в режимі суперрезонансу характерис...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134774 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аналіз вібраційного стану стрижня з тріщиною під дією стохастичних циклічних навантажень / І.Й. Мацько, І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, Я. Маєвскі // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 128-136. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-134774 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1347742018-06-15T03:07:06Z Аналіз вібраційного стану стрижня з тріщиною під дією стохастичних циклічних навантажень Мацько, І.Й. Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Маєвскі, Я. На основі числових розв’язків нелінійного диференціального рівняння ІІ-го порядку проаналізовано коливання стрижня під дією стохастичної вимушувальної сили. Встановлено, що за появи тріщини коливання набувають властивостей періодичної нестаціонарності. Показано, що в режимі суперрезонансу характеристики нестаціонарності другого порядку є чутливішими до розвитку тріщини, ніж характеристики детермінованої складової. Використання діагностичних ознак, побудованих на їх основі, дає змогу виявляти тріщини вже за малих довжин. На основе численных решений нелинейного дифференциального уравнения второго порядка проанализировано колебание стержня под действием стохастической вынуждающей силы. Установлено, что при появлении трещины колебания приобретают свойства периодической нестационарности. Показано, что в режиме суперрезонанса характеристики нестационарности второго порядка более чувствительны к развитию трещин, чем характеристики детерминированной составляющей. Использование диагностических признаков, построенных на их основе, дает возможность выявлять трещины уже при малых длинах. On the base of numerical solutions of non-linear differential equation of the second order the oscillations of a beam loaded by stochastic excitation force are analyzed. It is found that because of crack appearance the oscillations acquire properties of periodic non-stationarity. It is shown that in the case of super-resonance the characteristics of non-stationarity of the second order are more sensitive to the crack growth than the characteristics of deterministic part. The use of the diagnostic characters built on their base enable the detection of small cracks. 2014 Article Аналіз вібраційного стану стрижня з тріщиною під дією стохастичних циклічних навантажень / І.Й. Мацько, І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, Я. Маєвскі // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 128-136. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134774 621.112.32:620.191.31 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
На основі числових розв’язків нелінійного диференціального рівняння ІІ-го порядку проаналізовано коливання стрижня під дією стохастичної вимушувальної сили. Встановлено, що за появи тріщини коливання набувають властивостей періодичної нестаціонарності. Показано, що в режимі суперрезонансу характеристики нестаціонарності другого порядку є чутливішими до розвитку тріщини, ніж характеристики детермінованої складової. Використання діагностичних ознак, побудованих на їх основі, дає змогу виявляти тріщини вже за малих довжин. |
| format |
Article |
| author |
Мацько, І.Й. Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Маєвскі, Я. |
| spellingShingle |
Мацько, І.Й. Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Маєвскі, Я. Аналіз вібраційного стану стрижня з тріщиною під дією стохастичних циклічних навантажень Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Мацько, І.Й. Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Маєвскі, Я. |
| author_sort |
Мацько, І.Й. |
| title |
Аналіз вібраційного стану стрижня з тріщиною під дією стохастичних циклічних навантажень |
| title_short |
Аналіз вібраційного стану стрижня з тріщиною під дією стохастичних циклічних навантажень |
| title_full |
Аналіз вібраційного стану стрижня з тріщиною під дією стохастичних циклічних навантажень |
| title_fullStr |
Аналіз вібраційного стану стрижня з тріщиною під дією стохастичних циклічних навантажень |
| title_full_unstemmed |
Аналіз вібраційного стану стрижня з тріщиною під дією стохастичних циклічних навантажень |
| title_sort |
аналіз вібраційного стану стрижня з тріщиною під дією стохастичних циклічних навантажень |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134774 |
| citation_txt |
Аналіз вібраційного стану стрижня з тріщиною під дією стохастичних циклічних навантажень / І.Й. Мацько, І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, Я. Маєвскі // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 128-136. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT macʹkoíj analízvíbracíjnogostanustrižnâztríŝinoûpíddíêûstohastičnihciklíčnihnavantaženʹ AT âvorsʹkijím analízvíbracíjnogostanustrižnâztríŝinoûpíddíêûstohastičnihciklíčnihnavantaženʹ AT ûzefovičrm analízvíbracíjnogostanustrižnâztríŝinoûpíddíêûstohastičnihciklíčnihnavantaženʹ AT maêvskíâ analízvíbracíjnogostanustrižnâztríŝinoûpíddíêûstohastičnihciklíčnihnavantaženʹ |
| first_indexed |
2025-07-09T22:04:47Z |
| last_indexed |
2025-07-09T22:04:47Z |
| _version_ |
1837208636055617536 |
| fulltext |
128
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2014. – ¹ 2. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 621.112.32:620.191.31
АНАЛІЗ ВІБРАЦІЙНОГО СТАНУ СТРИЖНЯ З ТРІЩИНОЮ
ПІД ДІЄЮ СТОХАСТИЧНИХ ЦИКЛІЧНИХ НАВАНТАЖЕНЬ
І. Й. МАЦЬКО 1, І. М. ЯВОРСЬКИЙ 1, 2, Р. М. ЮЗЕФОВИЧ 1, Я. МАЄВСКІ 2
1 Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів;
2 Інститут телекомунікації Технологічно-природничого університету, Бидгощ, Польща
На основі числових розв’язків нелінійного диференціального рівняння ІІ-го порядку
проаналізовано коливання стрижня під дією стохастичної вимушувальної сили.
Встановлено, що за появи тріщини коливання набувають властивостей періодичної
нестаціонарності. Показано, що в режимі суперрезонансу характеристики нестаціо-
нарності другого порядку є чутливішими до розвитку тріщини, ніж характеристики
детермінованої складової. Використання діагностичних ознак, побудованих на їх
основі, дає змогу виявляти тріщини вже за малих довжин.
Ключові слова: вібраційний сигнал, періодично нестаціонарні випадкові процеси,
діагностичні ознаки, стрижень з тріщиною, поздовжні та згинні коливання.
Під час вібродіагностики складних машинних комплексів вібраційний сиг-
нал сформований, як правило, відгуками від багатьох вузлів, які знаходяться під
впливом динамічного навантаження. Під час розв’язання задачі розділення сиг-
налу на первинні складники постає питання аналізу впливу на структуру сигналу
можливих дефектів, які виникають у кожному з комплектуючих елементів: під-
шипниках кочення та ковзання, зубчатих передачах, валах, стрижневих елемен-
тах конструкцій та ін. Найпоширенішим пошкодженням елементів конструкцій,
що знаходяться під циклічним навантаженням, є втомна тріщина. В основі роз-
робки методів виявлення такої тріщини лежить її математична модель. У найпро-
стішому випадку втомну тріщину подають як локальне зниження жорсткості
[1–3]. Моделювання тріщини у вигляді розрізу, яке прийняте у механіці руйну-
вання, дає змогу визначити напружено-деформований стан навколо неї, в тому
числі концентрацію напружень біля її вершини, обчислити швидкість її росту і на
цій основі оцінити втомну довговічність пошкодженої конструкції за циклічних
навантажень. Методи, які при цьому використовують, не враховують, що за дії
зовнішньої сили тріщина буде циклічно змикатися–розмикатися. В напівциклах
розтягу змінюється жорсткість матеріалу, а в напівциклах стиску тріщина повніс-
тю закрита і жорсткість матеріалу залишається незмінною. Таке явище описують
так званою “функцією дихання матеріалу”, тобто функцією, яка визначає зміну
жорсткості в напівциклах розтягу та стиску [4, 5]:
0( ) 1 1
2 | |
xk t k x
x
⎡ ⎤⎛ ⎞α
= − +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
.
Тут x – деформація, α – відносна різниця між узагальненою жорсткістю деформо-
ваного елемента за стиску чи до порушення суцільності k0 і за розтягу k:
0( ) /k k kα = − .
Контактна особа: Р. М. ЮЗЕФОВИЧ, e-mail: abzac@ipm.lviv.ua
129
Параметр α залежить від типу, відносних розмірів та розташування тріщини,
відносних розмірів і видів коливань конструктивного елемента і може бути ви-
значений через енергетичну характеристику пошкодження 0/T∆Π Π [5]:
/(1 )K Kα = + ,
де Π0 – потенціальна енергія деформації непошкодженого пружного тіла; ∆ΠТ –
приріст потенціальної енергії, обумовлений збільшенням піддатливості стрижня
в результаті появи тріщини, і який визначається через коефіцієнт інтенсивності
напружень. Приклади розрахунків величини K і α за розтягу і згину стрижнів пря-
мокутного перерізу за наявності тріщин різного типу подані в праці [5].
Різниця між пружними опорами матеріалу за розтягу і стиску внаслідок по-
рушення його суцільності призводить до нелінійності диференціального рівнян-
ня, яке описує вібродеформації елементів конструкцій [5–10]:
2
2
02 2 1 (1 sgn ) ( )
2
d x dx x x f t
dtdt
α⎡ ⎤+ β + ω − − =⎢ ⎥⎣ ⎦
, (1)
де 0 0 /k mω = – частота коливань непошкодженого тіла чи тіла з закритою трі-
щиною, а m – узагальнена маса. Сили опору враховуються коефіцієнтом демпфу-
вання β. Відмітимо, що моделювання коливань тіла з тріщиною як одномасової
коливної системи з несиметричною відновлювальною силою в багатьох випадках
дає можливість адекватно охарактеризувати поведінку досить складних конст-
рукцій [5–10].
Дослідження механічних коливних систем на основі рівняння (1) присвячені
аналізу вібраційного відгуку під час гармонічного входу на частотах, що відпові-
дають основному, супер- та субгармонічному резонансам. Нижче вивчено струк-
туру відгуку, коли вимушувальну силу описують сумою гармонічного коливання
і стаціонарного випадкового процесу, при цьому як частота гармоніки, так і несу-
ча частота є близькими до частоти суперрезонансу. Такий вибір частот зумовле-
ний тим, що супергармонічний резонанс на відміну від основного спостерігають
за малих тріщин. У попередніх дослідженнях [11–15] частоту гармоніки вибира-
ли близькою до частоти основного резонансу, а стохастичну складову описували
білим шумом.
Виникнення нелінійних резонансів є якісною ознакою пошкодження типу
втомної тріщини [16]. Коливання за таких резонансів суттєво негармонічні через
появу в спектрі гармоніки, частота якої збігається з частотою основного резонан-
су, а амплітуда значно перевищує амплітуди гармонік з основною частотою супер-
чи субрезонансу. Тому як діагностичні ознаки пошкодження використовують
[16, 17] співвідношення між амплітудою домінуючої гармоніки в спектрі коливань
(наприклад, A1/2 для ω0/ν = 1/2, A2/1 для ω0/ν = 2/1) і амплітудою першої гармоніки
A1, а також відношення амплітуди точного нелінійного резонансу (s1/2, s2/1) до
амплітуди вимушених коливань непошкодженої системи на тій же частоті (s).
Нові можливості в діагностиці тріщин з’являються, як показали праці [11–15],
тоді, коли вимушувальну силу описують адитивною моделлю f(t) = a cos νt + ε(t),
де ε(t) – стаціонарний випадковий процес. Нелінійність системи призводить до
взаємодії детермінованої та випадкової складових, яка характеризується появою
нових складових обох типів. Вони в першому наближенні можуть бути описані в
межах характеристик першого та другого порядків періодично нестаціонарних
випадкових процесів – математичного сподівання m(t) = Eξ(t) і кореляційної
функції ( , ) ( ) ( )b t u E t t u= ξ ξ + , ( ) ( ) ( )t t m tξ = ξ − . Ці величини є періодичними за
часом m(t + T) = m(t), b(t + T, u) = b(t, u) і можуть бути подані скінченними ря-
дами Фур’є:
130
1 1
0
1 1
0 0 0( ) ( cos sin )
N N
ik t c s
k k k
k N k N
m t m e m m k t m k tω
=− =−
= = + ω + ω∑ ∑ , 0
2
T
π
ω = , (2)
2 2
0
2 2
0 0 0( , ) ( ) ( ) ( cos sin )
N N
ik t c s
k k k
k N k N
b t u B u e B u B k t B k tω
=− =−
= = + ω + ω∑ ∑ , (3)
при цьому 1 ( )
2
c s
k k km m im= − , 1( ) ( ( ) ( ))
2
c s
k k kB u B u iB u= − . Така структура характе-
ристик зумовлена тим, що вимушені коливання тут мають вигляд суми амплі-
тудно- і фазомодульованих коливань [11–15]:
1
0
1
( ) ( )
N
ik t
k
k N
t t e ω
=−
ξ = ξ∑ .
Тут εk(t) – стаціонарно зв’язані випадкові процеси. Тоді
( )k km E t= ξ , 0
,( ) il t
k l l k
l Z
B u R e ω
+
∈
= ∑ , ( ) ( )lk k lR E t u t= ξ + ξ , ( ) ( )k kk t t mξ = ξ − .
Виділяючи в характеристиках (2)–(3) ті складові, які зумовлені появою трі-
щини, можемо їх діагностувати вже на ранніх стадіях розвитку. Зауважимо, що
для цього теж можуть бути використані, як у детермінованому випадку, незалеж-
ні від часу складові.
Розвиваючи результати, подані в працях [11–15], розглянемо згинні та поз-
довжні коливання стрижнів прямокутного перерізу з однією крайовою попереч-
ною тріщиною. Тут параметр α визначають за формулою [7]
( / , ) ( )
1 ( / , ) ( )
T
T
D h L x H
D h L x H
γ
α =
+ γ
,
де L – довжина стрижня; h – його висота; xT – відстань від початку стрижня до
тріщини. Функцію H(γ) для поздовжніх коливань визначають формулою [7]:
2 3 4 5 6( ) 0,6272 0,17248 5,92134 10,70538 31,56845H γ = γ − γ + γ − γ + γ −
7 8 9 1067,47602 139,12342 146,6824 92,35521− γ + γ − γ + γ ,
а для згинних –
2 3 4 5 6( ) 0,6295 1,0472 4,602 9,9752 20,2948H γ = γ − γ + γ − γ + γ −
7 8 9 1032,9933 47,0408 40,6933 19,6− γ + γ − γ + γ .
Значення функції D(h/L, xT) залежить від відносної висоти поперечного пере-
різу стрижня h/L, розташування тріщини xT, видів коливань і стрижня. Так, для
консольного стрижня за поздовжніх коливань маємо:
2 (2 1)( / , ) 4 cos
2T T
h iD h L x x
L L
π π −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
,
а за згинних –
2
( )
( / , ) 24 ( ) ( )
( )
i
T i T i T
i
S k LhD h L x S k x T k x
l T k L
⎡ ⎤π
= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
,
де S(kx), T(kx) – функції Крилова:
1( ) (ch cos )
2
S kx kx kx= + , 1( ) (sh sin )
2
T kx kx kx= + ,
1 1,875k L = , 2 4,694k L = , 3 7,855k L = ,
а для i > 3 маємо:
131
(2 1)
2i
ik L
L
π −
= .
Залежність коефіцієнта α від відносної довжини тріщини γ за поздовжніх і
згинних коливань при L = 0,2 m, h = 0,04 m, xT = 0,1 m показана на рис. 1. Для ма-
лих тріщин прирости α є менші від приростів γ. Ситуація вирівнюється за серед-
ніх тріщин, а для великих – відносна жорсткість змінюється більше, ніж відносна
довжина. Слід також відмітити істотніші зміни коефіцієнта жорсткості за по-
здовжніх коливань, ніж за згинних.
Рис. 1. Зміна відносної жорсткості стрижня за поздовжніх (a, b) та згинних (c, d)
коливань: a, c – малі тріщини; b, d – середні і великі тріщини.
Fig. 1. Change of the beam relative rigidity for longitudinal (a, b) and flexural
oscillations (c, d): a, c – small crack sizes; b, d – middle and big crack sizes.
Нелінійність коливної системи, яка виникає за появи тріщини, призводить
до того, що у вібраційному відгуку за гармонічної вимушувальної сили з’явля-
ються вищі гармоніки та субгармоніки. А це означає, що змінюється амплітудно-
частотна характеристика системи. При цьому зменшується резонансна частота
коливань, з’являються додаткові піки в області частот подвоєних, потроєних
тощо, а також субгармонічних.
Для всіх ступенів пошкоджень механічної системи амплітуди коливань за
нелінійних резонансів набагато менші, ніж амплітуди коливань за основного ре-
зонансу (рис. 2). Тому для виявлення пошкоджень доцільно використовувати ве-
личини, що характеризують спотворення коливань, а вони за нелінійних режимів
досить суттєві. Це зумовлено появою в спектрі коливань потужної гармоніки з
частотою основного резонансу, так званої домінуючої гармоніки [7].
Найчутливішими для виявлення тріщин середніх (0,1 < γ ≤ 0,3) і великих
(γ > 0,3) розмірів є параметри, що визначають нелінійність коливань за субгармо-
нічного резонансу, який за малих пошкоджень (γ ≤ 0,1) не виникає. Водночас су-
пергармонічний резонанс, як зазначалось, спостерігають на початку зародження
тріщини, а його характеристики нелінійності уможливлюють виявлення й малих
тріщин. Саме нелінійність вібраційного відгуку взята до уваги під час вибору
основної частоти вимушувальної сили у рівнянні (1). Для знаходження розв’язку
використали числовий метод Ейлера. Щоб описати вимушувальну силу, застосу-
вали квадратурну модель:
( ) ( )cos ( )sinc st t t t tη = η ω + η ω , (4)
132
де частота ω дорівнює частоті основного резонансу поділену на два. Тоді для ма-
тематичного випадкового процесу η(t) отримаємо:
( ) cos sinc sm t m t m tη η
η = ω + ω , ( )c cm E tη = η , ( )s sm E tη = η .
Рис. 2. Відношення амплітуди
вібраційного відгуку на частоті
вимушувальної сили А(ω) до амплітуди
відгуку на частоті основного резонансу
A(ω0): а – суперрезонанс; b – резонанс;
c – субрезонанс (l/h = 0,5).
Fig. 2. Ratio of vibration response amplitude at the frequency of excitation force А(ω)
to response amplitude at the frequency of main resonance A(ω0):
a – super-resonance; b – resonance; c – sub-resonance (l/h = 0.5).
Введемо позначення: ( ) ( ) ( ) ( )c c cR u E t t uη = η η + , ( ) ( ) ( ) ( )s s sR u E t t uη = η η + ,
( ) ( ) ( ) ( )cs c sR u E t t uη = η η + , ( ) ( ) cc ct t mη = η − , ( ) ( ) ss st t mη = η − . Кореляційна
функція bη(t, u) не змінюватиметься за часом, якщо ( ) ( )( ) ( )c sR u R uη η= і ( ) ( ) 0csR uη =
(тоді випадковий процес (4) буде періодично нестаціонарним лише за математич-
ного сподівання). Використовуючи таке подання вимушувальної сили, виконали
комп’ютерну симуляцію відгуків ξ(t). При цьому поклали | |( ) c u
c cR u D e−α= ,
| |( ) s u
s sR u D e−α= і вибрали такі параметри: mc =1, ms =0, Dc = Ds = 1, αc = αs = 0,01,
β = 0,1, ω0 = 2π. Відносна довжина тріщини l/h змінювалася в діапазоні від 0,05
до 0,75 з кроком 0,05.
Симульовані сигнали ξ(t) проаналізували з використанням як методів стати-
стичного аналізу стаціонарних випадкових процесів, так і періодично корельова-
них. Для виявлення часових періодичних змін моментних функцій використали
когерентний метод з передискретизацією. Тоді оцінки періоду знаходимо як точ-
ки екстремальних значень функціоналів:
1ˆ ( , ) ( )
2
N
n N
m t t n
N =−
τ = ξ + τ∑ ,
[ ][ ]1ˆ ˆ ˆ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
N
n N
b t u t n m t n t u n m t u n
N =−
τ = ξ + τ − + τ ξ + + τ − + + τ∑ .
Графіки залежностей цих величин від пробного періоду τ для певних момен-
тів часу при γ = 0,05 подані на рис. 3.
Як видно, обидва функціонали мають чітко виражені піки за пробного періо-
ду τ = 20 a.u., який і приймемо за оцінку періоду нестаціонарності T̂ . Обчислені
на її основі компонентні [18] оцінки математичного сподівання, дисперсії та їхніх
коефіцієнтів Фур’є показані на рис. 4.
133
Рис. 3. Функціонали математичного сподівання (а, b) та кореляційної функції (c, d)
залежно від пробного періоду при γ = 0,05 (t1 = 7 a.u., t2 = 17 a.u., t3 = 6 a.u., t4 = 12 a.u.).
Fig. 3. Mean function (a, b) and correlation function (c, d) functionals in dependence
of the test period at γ = 0.05 (t1 = 7 a.u., t2 = 17 a.u., t3 = 6 a.u., t4 = 12 a.u.).
Рис. 4. Оцінки математичного сподівання (а, e), дисперсії (с, g)
та їхніх коефіцієнтів Фур’є (b, d, f, h) при γ = 0,05 (a–d) та γ = 0,5 (e–h).
Fig. 4. Estimators of mean function (a, e), variance (с, g) and their Fourier
coefficients (b, d, f, h) at γ = 0.05 (a–d) and γ = 0.5 (e–h).
134
Як бачимо (рис. 4а), амплітуда першої гармоніки математичного сподівання
значно перевищує інші гармоніки. Це означає, що коливна система близька до
лінійної. На графіку часових змін оцінки дисперсії помітні коливання основного
періоду. Відношення мінімальної потужності флуктуаційних коливань на періоді
до максимальної становить min
max
ˆ ( ,0) 0,76ˆ ( ,0)
b t
b t
= , що можна розглядати як ознаку
того, що сигнал вже відрізняється від стаціонарного. З ростом тріщини все поміт-
нішою стає асиметричність детермінованої складової коливань відносно часу,
що пояснюється збільшенням середнього значення математичного сподівання та
амплітуди другої гармоніки. За відносної довжини тріщини γ = 0,5 (рис. 4e–h)
2
1
| | 0,5
| |
m
m
> . Значно зросла також стала складова: 0
1
| |
0,5
| |
m
m
≈ . Суттєво поглиблю-
ються часові зміни оцінки дисперсії. Відмітимо, що за малих і середніх тріщин
вони мають гармонічний характер. Амплітуда домінуючої першої гармоніки при
γ = 0,5 трохи менша від половини нульової гармоніки (рис. 4h).
Характер залежності оцінок кореляційних компонентів від зсуву практично
не змінюється, проте з ростом довжини тріщини все більше в заникаючих осци-
ляціях помітніша друга гармоніка (рис. 5).
Наведені вище результати обробки симульованих реалізацій свідчать про те,
що з ростом тріщини суттєво змінюється імовірнісна структура вібраційного від-
гуку. В детермінованій складовій – це поява другої гармоніки і ріст її амплітуди,
а також сталої складової. Амплітуда першої гармоніки при цьому змінюється по-
рівняно мало. Важливим є те, що внаслідок нелінійних ефектів вібраційний сиг-
нал набуває властивостей періодичної нестаціонарності другого порядку, яка
проявляється вже за малих тріщин.
У часових змінах дисперсії, яка характеризує потужність флуктуаційних ко-
ливань, появляється перша гармоніка, амплітуда якої швидко росте зі збільшен-
ням довжини тріщини. Слід відмітити, що з ростом довжини тріщини суттєво
зростає й середня потужність флуктуаційних коливань, а також виникає друга
гармоніка.
Рис. 5. Оцінки нульового (а) та перших
кореляційних компонентів (b, с)
при γ = 0,5.
Fig. 5. Estimators of the zeroth (а)
and first correlation components (b, с)
at γ = 0.5.
Виходячи з характеристик детермінованої та стохастичної складових вібра-
ційного відгуку можуть бути сформовані діагностичні ознаки 0 2
1
1
(| | | |)
| |
m m
I
m
+
=
135
та 0 1
2
0
ˆ ˆ( (0) | (0) |)
ˆ (0)
B B
I
B
∆ +
= , де 0
ˆ (0)B – оцінка нульового кореляційного компонен-
та за відсутності тріщин. Порівнюючи І1 та І2 (рис. 6a, b), робимо висновок, що
характеристики нестаціонарності другого порядку є чутливішими до змін віднос-
ної довжини тріщини і з цієї причини ознаки дефектності, сформовані на їх осно-
ві, мають переваги порівняно з тими, що формуються на основі характеристик
детермінованої складової сигналу.
Рис. 6. Залежність діагностичних ознак
І1 (а), І2 (b) та їх суми І (c)
від відносної довжини тріщини.
Fig. 6. Dependence of diagnostic characters
І1 (а), І2 (b) and their sum І (c)
on relative crack size.
Чутливість вібродіагностичних ознак можна поліпшити, сформувавши спіль-
ний показник I = I1 + I2. Залежність його від l/h графічно проілюстрована на
рис. 6c.
ВИСНОВКИ
Таким чином, вібраційний відгук від стрижня з втомною тріщиною, на який
діє вимушувальна сила у вигляді адитивної суми періодичної детермінованої
складової і стаціонарного випадкового процесу, описують періодично корельова-
ним випадковим процесом. Нелінійність, яка виникає з появою тріщини, призво-
дить не тільки до виникнення нових гармонік детермінованої складової, а й до її
взаємодії зі стохастичною складовою. Таку взаємодію можна кількісно охаракте-
ризувати за допомогою кореляційних компонентів. Використання діагностичних
ознак, побудованих на їх основі, дає можливість виявляти тріщини вже за малих
відносних довжин.
РЕЗЮМЕ. На основе численных решений нелинейного дифференциального уравне-
ния второго порядка проанализировано колебание стержня под действием стохастической
вынуждающей силы. Установлено, что при появлении трещины колебания приобретают
свойства периодической нестационарности. Показано, что в режиме суперрезонанса ха-
рактеристики нестационарности второго порядка более чувствительны к развитию тре-
щин, чем характеристики детерминированной составляющей. Использование диагности-
ческих признаков, построенных на их основе, дает возможность выявлять трещины уже
при малых длинах.
SUMMARY. On the base of numerical solutions of non-linear differential equation of the
second order the oscillations of a beam loaded by stochastic excitation force are analyzed. It is
found that because of crack appearance the oscillations acquire properties of periodic non-statio-
narity. It is shown that in the case of super-resonance the characteristics of non-stationarity of
136
the second order are more sensitive to the crack growth than the characteristics of deterministic
part. The use of the diagnostic characters built on their base enable the detection of small cracks.
1. Парис П., Си Дж. Анализ напряженного состояния около трещины // Прикладные во-
просы вязкости разрушения. – М.: Мир, 1968. – C. 64–142.
2. Партон В. З., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения. – М.: Наука,
1985. – 504 с.
3. Бересневич В. И. Сопоставительный анализ математических моделей усталостной тре-
щины // Вестник научно-технического развития. – 2009. – № 12 (28). – С. 12–19.
4. Цыфанский С. Л., Магоне М. А., Ожиганов В. М. Об использовании нелинейных эф-
фектов для обнаружения трещин в стержневых элементах конструкций // Дефектоско-
пия. – 1985. – № 3. – C. 77–82.
5. Матвеев В. В. К анализу эффективности метода спектральной вибродиагностики уста-
лостного повреждения элементов конструкций. Сообщ. 1. Продольные колебания,
аналитическое решение // Пробл. прочности. – 1997. – № 6. – C. 5–20.
6. Ройтман А. Б., Александрова Н. Б., Христенко Т. А. Вибрационная диагностика “ды-
шащих” трещин в изделиях // Техн. диагностика и неразрушающий контроль. – 2000.
– № 1. – С. 58–66.
7. Матвеев В. В., Бовсуновский А. П. Некоторые аспекты колебаний упругого тела с “ды-
шащей” насплошностью материала // Пробл. прочности. – 2000. – № 5. – С. 44–60.
8. Krawczuk M. and Ostachowicz W. Damage indicators for diagnostic of fatigue cracks in
structures by vibration measurements – a survey // J. Theor. Appl. Mech. – 1996. – 34, № 2.
– P. 307–326.
9. Dimarogonas A. D. Vibration of cracked structures: a state of the art review // Eng. Fract.
Mech. – 1996. – 55. – P. 831–857.
10. Salawu O. S. Detection of structural damage through changes in frequency: a review // Eng.
Struct. – 1997. – 19. – P. 718–723.
11. Модель вібраційного відгуку від тіла з тріщиною / І. Й. Мацько, І. М. Яворський,
І. Б. Кравець, В. М. Заяць // Відбір і обробка інформації. – 2009. – № 30 (106). – С. 20–30.
12. Вплив розміру тріщини на кореляційну структуру вібраційного сигналу / І. Й. Мацько,
І. М. Яворський, І. Б. Кравець, Р. М. Юзефович // Там же. – 2009. – № 31 (107).
– С. 18–26.
13. Мацько І. Й., Яворський І. М., Кравець І. Б. Спектральні властивості вібраційного сиг-
налу деталі з тріщиною // Там же. – 2010. – № 32 (108). – С. 26–34.
14. Мацько І. Й., Яворський І. М., Кравець І. Б. Дослідження структури вібраційних сигна-
лів механічних систем під час розвитку дефекту // Фіз.-хім. механіка матеріалів.
– 2011. – 47, № 1. – С. 29–36.
(Mats’ko I. I., Kravets’ I. B., and Yavors’kyi I. M. Analysis of the structure of vibration
signals from mechanical systems in the process of growth of a defect // Materials Science.
– 2011. – 47, № 1. – P. 26–35.)
15. Імовірнісна структура сигналів вібрації тіла з тріщиною / І. М. Яворський, І. Б. Кра-
вець, І. Й. Мацько, Р. М. Юзефович // Автоматизація виробничих процесів у машино-
будуванні та приладобудуванні. – 2011. – № 45. – С. 452–459.
16. Бовсуновский А. П. Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической сис-
темы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы
// Пробл. прочности. – 2007. – № 2. – C. 72–87.
17. Бовсуновский А. П., Бовсуновский О. А. Использование нелинейных резонансов для
диагностики закрывающихся трещин в стержневых элементах // Там же. – 2010. – № 3.
– C. 125–141.
18. Component covariance analysis for periodically correlated random processes / I. Javorskyj,
I. Isayev, J. Majewski, R. Yuzefovych // Signal Processing. – 2010. – 90. – P. 1083–1102.
Одержано 11.07.2013
|