Решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции Грина

Разработан метод решения задачи продолжения магнитного потока с цилиндрической поверхности, на которой задано распределение касательной составляющей магнитной индукции, при помощи системы кольцевых бесконечно тонких проводников с токами и соответствующей функции Грина. Приведен пример определения...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автори:	Коновалов, О.Я., Михайлов, В.М., Петренко, Н.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут електродинаміки НАН України 2016
Назва видання:	Технічна електродинаміка
Теми:	Теоретична електротехніка та електрофізика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135780
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции Грина / О.Я. Коновалов, В.М. Михайлов, Н.П. Петренко // Технічна електродинаміка. — 2016. — № 5. — С. 11-13. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-135780
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1357802018-06-16T03:05:43Z Решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции Грина Коновалов, О.Я. Михайлов, В.М. Петренко, Н.П. Теоретична електротехніка та електрофізика Разработан метод решения задачи продолжения магнитного потока с цилиндрической поверхности, на которой задано распределение касательной составляющей магнитной индукции, при помощи системы кольцевых бесконечно тонких проводников с токами и соответствующей функции Грина. Приведен пример определения профиля массивного одновиткового соленоида, создающего заданное распределение индукции импульсного магнитного поля на поверхности соосной длинной цилиндрической проводящей оболочки при резком поверхностном эффекте. Розроблено метод розв’язання задачі продовження магнітного потоку з циліндричної поверхні, на якій задано розподіл дотичної складової магнітної індукції, за допомогою системи кільцевих нескінченно тонких провідників зі струмами й відповідної функції Гріна. Наведено приклад визначення профілю масивного одновиткового соленоїда, що утворює заданий розподіл індукції імпульсного магнітного поля на поверхні співвісної довгої циліндричної провідної оболонки при різкому поверхневому ефекті. The method for solving of the problem of continuing magnetic flux from cylindrical surface with a given distribution of the tangential component of the magnetic induction is developed. The using of circular infinitely thin conductors with the currents and the responding of Green’s function is proposed. An example of determining the profile of massive single-turn solenoid, for generating given induction distribution of pulsed magnetic field on surface of the long cylindrical shell with sharp skin effect in conductors. 2016 Article Решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции Грина / О.Я. Коновалов, В.М. Михайлов, Н.П. Петренко // Технічна електродинаміка. — 2016. — № 5. — С. 11-13. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1607-7970 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135780 621.3 ru Технічна електродинаміка Інститут електродинаміки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Теоретична електротехніка та електрофізика Теоретична електротехніка та електрофізика
spellingShingle	Теоретична електротехніка та електрофізика Теоретична електротехніка та електрофізика Коновалов, О.Я. Михайлов, В.М. Петренко, Н.П. Решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции Грина Технічна електродинаміка
description	Разработан метод решения задачи продолжения магнитного потока с цилиндрической поверхности, на которой задано распределение касательной составляющей магнитной индукции, при помощи системы кольцевых бесконечно тонких проводников с токами и соответствующей функции Грина. Приведен пример определения профиля массивного одновиткового соленоида, создающего заданное распределение индукции импульсного магнитного поля на поверхности соосной длинной цилиндрической проводящей оболочки при резком поверхностном эффекте.
format	Article
author	Коновалов, О.Я. Михайлов, В.М. Петренко, Н.П.
author_facet	Коновалов, О.Я. Михайлов, В.М. Петренко, Н.П.
author_sort	Коновалов, О.Я.
title	Решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции Грина
title_short	Решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции Грина
title_full	Решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции Грина
title_fullStr	Решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции Грина
title_full_unstemmed	Решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции Грина
title_sort	решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции грина
publisher	Інститут електродинаміки НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Теоретична електротехніка та електрофізика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135780
citation_txt	Решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции Грина / О.Я. Коновалов, В.М. Михайлов, Н.П. Петренко // Технічна електродинаміка. — 2016. — № 5. — С. 11-13. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Технічна електродинаміка
work_keys_str_mv	AT konovalovoâ rešeniezadačiprodolženiâmagnitnogopolâscilindričeskojpoverhnostipripomoŝifunkciigrina AT mihajlovvm rešeniezadačiprodolženiâmagnitnogopolâscilindričeskojpoverhnostipripomoŝifunkciigrina AT petrenkonp rešeniezadačiprodolženiâmagnitnogopolâscilindričeskojpoverhnostipripomoŝifunkciigrina
first_indexed	2025-07-10T00:06:26Z
last_indexed	2025-07-10T00:06:26Z
_version_	1837216289220722688
fulltext	ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 5 11 УДК 621.3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРОДОЛЖЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИИ ГРИНА О.Я. Коновалов, канд.техн.наук, В.М. Михайлов, докт.техн.наук, Н.П. Петренко Национальный технический университет "Харьковский политехнический институт", ул. Багалия, 21, Харьков, 61002, Украина, e-mail: o.y.konovalov@gmail.com Разработан метод решения задачи продолжения магнитного потока с цилиндрической поверхности, на которой задано распределение касательной составляющей магнитной индукции, при помощи системы кольцевых бесконечно тонких проводников с токами и соответствующей функции Грина. Приведен пример определения профиля массивно- го одновиткового соленоида, создающего заданное распределение индукции импульсного магнитного поля на поверх- ности соосной длинной цилиндрической проводящей оболочки при резком поверхностном эффекте. Библ. 7, рис. 3. Ключевые слова: задача продолжения магнитного потока, функция Грина, импульсное магнитное поле, профиль массивного соленоида, резкий поверхностный эффект. Введение. Сильные импульсные магнитные поля сложного пространственного распределения, исполь- зуемые в магнитно-импульсных технологиях обработки металлов и прессования порошковых материалов, ус- тановках для ускорения проводящих тел, электрических аппаратах и экспериментальной физике, получают при помощи массивных соленоидов, выдерживающих значительные электродинамические усилия [1, 4]. Для опре- деления профилей таких соленоидов, работающих в условиях резкого поверхностного эффекта, формулируют и решают задачу продолжения поля (силовой функции или магнитного потока) с оси или граничной поверхности во внешнее пространство – задачу Коши для уравнения эллиптического типа [2, 3], затем находят линии поля, одну из которых выбирают в качестве границы искомого профиля. В подынтегральные функции несобственных интегралов известных аналитических решений этой задачи [5] входит интегральное преобразование Фурье, за- данное на граничной поверхности распределения поля F(λ), однако оно известно для небольшого числа распре- делений. Цель работы – решение задачи продолжения поля с цилиндрической граничной поверхности при по- мощи системы элементарных сосредоточенных источников. Идея метода, формулировка и решение задачи продолжения поля. Допустим, что создающий маг- нитное поле массивный соленоид можно заменить системой элементарных сосредоточенных источников – коль- цевых проводников бесконечно тонкого поперечного сечения с известными токами. Изменяя число, расположе- ние и величину токов элементарных источников, добиваемся соответствия получаемого с их помощью и задан- ного распределений поля на граничной поверхности. Затем строим линии поля, охватывающие все элементарные источники, и одну из них используем для построения искомого профиля. Для реализации описанных действий найдем такое решение задачи продолжения поля, которое, в отли- чие от известных, не содержит F(λ) и в явном виде отражает действие элементарных источников поля. Рассмот- рим вначале плоскомеридианное магнитное поле в непроводящей и немагнитной среде над цилиндрической гра- ничной поверхностью r = R, на которой задано распределение осевой составляющей магнитной индукции в виде четной аналитической функции В(R, z) (r, z – радиальная и осевая цилиндрические координаты). Среда в облас- ти Rr ≤ является идеально сверхпроводящей, поэтому радиальная составляющая магнитной индукции на гра- ничной поверхности равна нулю. Формулировка задачи продолжения магнитного поля с поверхности r = R от- носительно магнитного потока Ф(r, z) и её решение имеют такой вид [5]: уравнение – 011 2 2 = ∂ Φ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Φ∂ ∂ ∂ zrrrr ; (1) граничные условия – 0),( =Φ zR , ),(2 zRRB r Rr π= ∂ Φ∂ = ; (2, 3) решение – [ ] ,)cos()()()()()(22),( 0 1111 λλλλλ−λλπ=Φ ∫ ∞ dzFrKRIRKrIRrzr (4) где I1, K1 – модифицированные функции Бесселя первого и второго рода первого порядка, F(λ) – косинус-пре- образование Фурье В(R,z), λ – параметр преобразования. Рассмотрим теперь плоскомеридианное магнитное поле кольцевого элементарного источника радиуса R1 с единичным током I = 1, внутри которого расположен соосный бесконечно длинный идеально сверхпрово- дящий цилиндр радиуса R. Среда вне цилиндра такая же, как и в задаче (1)–(3). Магнитный поток системы кольцевой проводник – цилиндр при Rr > всюду, кроме соответствующей расположению источника точки М с © Коновалов О.Я., Михайлов В.М., Петренко Н.П., 2016 ORCID ID: http://orcid.org/0000-0002-0679-4214 12 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 5 координатами на меридианном сечении 1Rr = , Mzz = , удовлетворяет уравнению (1) и граничному условию (2). Следовательно, он может быть представлен при помощи известной функции Грина для векторного потен- циала ),( zrGA [6] в таком виде: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >λ−λ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ λ λ λ −λλμ <λ−λ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ λ λ λ −λλμ ==Φ ∫ ∫ ∞ ∞ Φ ,,)cos()( )( )()()(2 ;,)cos()( )( )()()(2 ),(),( 1 0 11 1 1 11110 0 11 1 1 11110 RrdzzRK RK RIRIrKrR RrdzzrK RK RIrIRKrR zrGzr M M (5) где ),( zrGΦ – функция Грина для магнитного потока, ),(2),( zrrGzrG Aπ=Φ , 0μ – магнитная постоянная. Докажем, что зависимость (5) в области 1Rr < , содержащей граничную поверхность, при условии, что удовлетворяется граничное условие (3), тождественна решению (4), т.е. является решением задачи (1) – (3). Для этого при помощи (5) получаем формулу для магнитной индукции на поверхности цилиндра .)cos( )( )(),( 0 1 1110 λ−λ λ λ π μ = ∫ ∞ dzz RK RK R RzRB M (6) Заметим, что формула (6) согласуется с известной формулой для поверхностной плотности тока в подобной задаче [7, с. 412]. Предположим теперь, что В(R,z), определяемое формулой (6) при zM=0, является заданным распределением магнитной индукции. Выде- лим из подынтегральной функции формулы (6) косинус-преобразова- ние Фурье В(R,z). Принимая zM = 0, получим . )( )( 2 )( 1 1110 RK RK R RF λ λ π μ =λ (7) Подстановка (7) в (4) приводит к формуле (5) при zM = 0, 1Rr < , что и доказывает сделанное утверждение (справедливость его при 0≠Mz очевидна). Таким образом, формула (5) является искомым решением за- дачи (1)–(3) для реализации разработанного метода. Естественно, что и сумма решений вида (5), слагаемые которой соответствуют различ- ным кольцевым проводникам с токами, является решением этой зада- чи. В случае, когда 1≠I , в формулы (5), (6) нужно ввести постоянный множитель I, имеющий размерность тока (то же относится и к системе проводников с токами 1≠kI ). В некоторых случаях соответствие формы получаемого и заданного распределений поля на граничной поверхности может быть достигнуто при небольшом числе элементар- ных источников и не требует значительного числа итераций. Для определения профиля прямолинейного длинного массив- ного проводника или системы таких проводников, создающих задан- ное магнитное поле на плоской граничной поверхности, проводники заменяем параллельными осями с известными токами. Некоторые ре- шения подобных задач, выраженные в элементарных функциях, изло- жены в одной из работ авторов [2]. Пример расчета. Пусть требуется найти профиль массивного одновиткового соленоида, обеспечивающего на поверхности соосного длинного проводящего цилиндра заданное распределение магнитной индукции. В соленоиде и цилиндре резко проявляется поверхностный эффект. Заменяем соленоид, например, двумя кольцевыми источника-ми с одинаковыми токами I, расположенными на расстояниях a1 и a2 от плоско- сти z = 0 (рис. 1). На рис. 2 показаны распределения индукции магнитного поля на поверхности цилиндра, по- лученные при а1/R =1,5 и R2/R =2. Изменяли размеры R1, a2: для кривой 1 – R1/R =2, a2/R =3; 2 – 3, 1,5; 3 – 3, 3. Принято ( )IzRRBzRB 0 * /),(),( μπ= , Rzz /* = . Пусть кривая 2 имеет наименьшие расхождения с заданным распределением ),(* zRB . Для исходных данных этой кривой при помощи формулы (5) были рассчитаны коор- динаты линий уровня магнитного потока Ф(r, z) (силовых линий), показанных на рис. 3: для кривых 1–10 зна- Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 5 13 чения Ф(r, z) равны 0,0083; 0,013; 0,019; 0,026; 0,030; 0,034; 0,039; 0,044; 0,049; 0,055, ( )RIzrzr 0 2/),(),( μΦ=Φ (все линии являются замкнутыми). Одну из этих линий, охватывающих оба кольце- вых источника, и выбираем в качестве контура искомого профиля соленоида. Выводы. Функция Грина для магнитного потока системы кольцевой единичный ток – соосный идеаль- но сверхпроводящий бесконечно длинный цилиндр, а также сумма таких функций, каждое слагаемое которой соответствует току Ik из совокупности кольцевых токов nk ,1= , являются решениями задачи продолжения маг- нитного поля с цилиндрической поверхности, если заданное на ней распределение осевой составляющей маг- нитной индукции определяется нормальной производной функции Грина или суммой таких производных. По- лученное решение рассматриваемой задачи пригодно для различных заданных распределений магнитной ин- дукции на граничной поверхности и не содержит, в отличие от (4), их интегральных преобразований Фурье, ко- торые могут быть не известны. 1. Белый И.В., Фуртик С.М., Хименко Л.Т. Справочник по магнитно-импульсной обработке металлов. – Харьков: Вища шко- ла, 1977. – 168 с. 2. Васецкий Ю.М., Власов Д.И., Коновалов О.Я., Михайлов В.М. Некоторые решения задач продолжения плоского поля в эле- ментарных функциях // Збірник праць конференції SIMULATION-2012. – К.: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України. – 2012. – С. 232-236. 3. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. – Новосибирск, 1962. – 352 с. 4. Лагутин А.С., Ожогин В.И. Сильные импульсные магнитные поля в физическом эксперименте. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 192 с. 5. Михайлов В.М. Определение профилей электродов и соленоидов для создания заданных распределений поля // Технічна електродинаміка. Тематичний випуск “Проблеми сучасної електротехніки”. – 2000. – Ч. 6. – С. 13-16. 6. Михайлов В.М. Функция Грина и интегральные уравнения плоскомеридианных полей устройств с длинными цилиндрами // Электричество. – 1991. – № 10. – С. 38-42. 7. Смайт В. Электростатика и электродинамика. – М.: ИЛ, 1954. – 604 с. УДК 621.3 РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧІ ПРОДОВЖЕННЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ З ЦИЛІНДРИЧНОЇ ПОВЕРХНІ ЗА ДОПОМОГОЮ ФУНКЦІЇ ГРІНА О.Я. Коновалов, канд.техн.наук, В.М. Михайлов, докт.техн.наук, М.П. Петренко Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут», вул. Багалія, 21, Харків, 61002, Україна. e-mail: o.y.konovalov@gmail.com Розроблено метод розв’язання задачі продовження магнітного потоку з циліндричної поверхні, на якій задано розподіл до- тичної складової магнітної індукції, за допомогою системи кільцевих нескінченно тонких провідників зі струмами й відпо- відної функції Гріна. Наведено приклад визначення профілю масивного одновиткового соленоїда, що утворює заданий роз- поділ індукції імпульсного магнітного поля на поверхні співвісної довгої циліндричної провідної оболонки при різкому поверх- невому ефекті. Бібл. 7, рис. 3. Ключові слова: задача продовження магнітного потоку, функція Гріна, імпульсне магнітне поле, профіль масивного солено- їда, різкий поверхневий ефект. SOLUTION OF THE PROBLEM OF THE MAGNETIC FIELD CONTINUATION FROM CYLINDRICAL SURFACE BY USING GREEN’S FUNCTION O.Ya. Konovalov, V.M. Mikhailov, M.P. Petrenko National technical university “Kharkiv polytechnic institute”, Bagaliіa str., 21, Kharkiv, 61002, Ukraine. e-mail: o.y.konovalov@gmail.com The method for solving of the problem of continuing magnetic flux from cylindrical surface with a given distribution of the tangential component of the magnetic induction is developed. The using of circular infinitely thin conductors with the currents and the responding of Green’s function is proposed. An example of determining the profile of massive single-turn solenoid, for generating given induction distribution of pulsed magnetic field on surface of the long cylindrical shell with sharp skin effect in conductors. References 7, figures 3. Key words: problem of the magnetic flux continuation, Green's function, pulse magnetic field, profile of massive solenoid, a sharp skin effect. 1. Belyj I.V., Fertik C.M., Khimenko L.T. Magnetic pulse-forming hand-book. – Kharkiv: Vyshcha shkola, 1977. – 168 p. (Rus) 2. Vasetskiy Yu.М., Vlasov D.I., Konovalov O.Ya., Мikhailov V.М. Some solves in elementary functions of continue flat field problem // Conference proceedings SIMULATION-2012. – 2012. – Pp. 232-236. (Rus) 3. Lavrentev М.М. About some ill-posed problems of mathematical physics. – Novosibirsk, 1962. – 352 p. (Rus) 4. Lagutin A.S., Ozhogin V.I. Strong pulse magnetic fields in physical experiment. – Мoskva: Energoatomizdat, 1988. – 192 p. (Rus) 5. Мikhailov V.М. Shapes determination of the electrodes and coils to generate predetermined field distributions // Tekhnichna Elek- trodynamika. Tematychnyi vypusk "Problemy suchasnoi elektrotekhniky". – 2000. – Part 6. – Pp. 13-16. (Rus) 6. Мikhailov V.М. The Green's function and integral equations axisymmetric field devices with long cylinders // Elektrichestvo. – 1991. – No 10. – Pp. 38-42. (Rus) 7. Smite V. Electrostatics and Electrodynamics. – Мoskva: Inostrannaia Literatura, 1954. – 604 p. (Rus) Надійшла 15.01.2016 Остаточний варіант 12.07.2016

Решение задачи продолжения магнитного поля с цилиндрической поверхности при помощи функции Грина

Репозитарії

Схожі ресурси