Математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах

Усовершенствована математическая модель синхронной машины в фазных координатах за счет учета вытеснения тока в демпферных контурах ротора путем их представления многоконтурной схемой замещения в каждой оси, а для сокращения расчетных затрат получены аналитические выражения для обратной матрицы индук...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автор:	Сивокобыленко, В.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут електродинаміки НАН України 2015
Назва видання:	Технічна електродинаміка
Теми:	Електромеханічне перетворення енергії
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136408
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах / В.Ф. Сивокобыленко // Технічна електродинаміка. — 2015. — № 1. — С. 51-58. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-136408
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1364082018-06-17T03:14:09Z Математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах Сивокобыленко, В.Ф. Електромеханічне перетворення енергії Усовершенствована математическая модель синхронной машины в фазных координатах за счет учета вытеснения тока в демпферных контурах ротора путем их представления многоконтурной схемой замещения в каждой оси, а для сокращения расчетных затрат получены аналитические выражения для обратной матрицы индуктивностей. Преимущества предложенной модели показаны на примере моделирования асинхронного пуска синхронного двигателя. Удосконалено математичну модель синхронної машини в фазних координатах за рахунок врахування витіснення струму в демпферних контурах ротора шляхом їхнього представлення багатоконтурною схемою заміщення в кожній осі, а для скорочення розрахункових витрат отримано аналітичні вирази для оберненої матриці індуктивностей. Переваги запропонованої моделі показано на прикладі моделювання асинхронного пуску синхронного двигуна. The mathematical model of synchronous machine is improved in phase coordinates due to the account of expulsing of current in the damper contours of rotor by their presentation by the multicontour chart of substitution in every axis, and for reduction of calculation expenses analytical expressions are got for the inverse matrix of inductances. Advantages of the offered model are shown on the example of design of the asynchronous starting of synchronous motor. 2015 Article Математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах / В.Ф. Сивокобыленко // Технічна електродинаміка. — 2015. — № 1. — С. 51-58. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1607-7970 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136408 621.313.323 ru Технічна електродинаміка Інститут електродинаміки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Електромеханічне перетворення енергії Електромеханічне перетворення енергії
spellingShingle	Електромеханічне перетворення енергії Електромеханічне перетворення енергії Сивокобыленко, В.Ф. Математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах Технічна електродинаміка
description	Усовершенствована математическая модель синхронной машины в фазных координатах за счет учета вытеснения тока в демпферных контурах ротора путем их представления многоконтурной схемой замещения в каждой оси, а для сокращения расчетных затрат получены аналитические выражения для обратной матрицы индуктивностей. Преимущества предложенной модели показаны на примере моделирования асинхронного пуска синхронного двигателя.
format	Article
author	Сивокобыленко, В.Ф.
author_facet	Сивокобыленко, В.Ф.
author_sort	Сивокобыленко, В.Ф.
title	Математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах
title_short	Математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах
title_full	Математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах
title_fullStr	Математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах
title_full_unstemmed	Математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах
title_sort	математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах
publisher	Інститут електродинаміки НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Електромеханічне перетворення енергії
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136408
citation_txt	Математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах / В.Ф. Сивокобыленко // Технічна електродинаміка. — 2015. — № 1. — С. 51-58. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Технічна електродинаміка
work_keys_str_mv	AT sivokobylenkovf matematičeskoemodelirovaniesinhronnojmašinysmnogokonturnymrotoromvfaznyhkoordinatah
first_indexed	2025-07-10T01:19:09Z
last_indexed	2025-07-10T01:19:09Z
_version_	1837220866876768256
fulltext	ISSN 1607-7970. Техн.електродинаміка. 2015. № 1 51 УДК 621.313.323 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ C МНОГОКОНТУРНЫМ РОТОРОМ В ФАЗНЫХ КООРДИНАТАХ В.Ф.Сивокобыленко, докт.техн.наук Донецкий национальный технический университет, ул. Артема, 58, Донецк, 83001, Украина. e-mail: svf@elf.dgtu.donetsk.ua Усовершенствована математическая модель синхронной машины в фазных координатах за счет учета вы- теснения тока в демпферных контурах ротора путем их представления многоконтурной схемой замещения в каждой оси, а для сокращения расчетных затрат получены аналитические выражения для обратной матрицы индуктивностей. Преимущества предложенной модели показаны на примере моделирования асинхронного пу- ска синхронного двигателя. Библ. 8, рис. 5. Ключевые слова: математическая модель, синхронная машина, фазные координаты, матрица индуктивностей, дифференциальные уравнения Парка-Горева. Актуальность проблемы и её связь с прикладными задачами. Для исследования переход- ных процессов в синхронных машинах (СМ) используют, в основном, дифференциальные уравнения Парка-Горева, записанные во вращающейся системе координат d, q, жестко связанной с ротором [4, 8]. При этом реальные обмотки трехфазного статора представляют в виде двух фиктивных обмоток, рас- положенных соответственно по осям симметрии ротора d и q. В результате линейного преобразования переменных в этих уравнениях исчезают периодические коэффициенты, так как взаимные индуктивно- сти между обмотками, расположенными по осям декартовой системы координат, равны нулю. При исследовании переходных процессов в одиночных СМ применение уравнений Парка- Горева существенно сокращает объем вычислений, что и определило их преимущественное примене- ние на протяжении последних десятилетий. Однако при расчетах переходных процессов в электриче- ских системах, содержащих синхронные и асинхронные машины, трансформаторы, линии электропе- редачи, нагрузки, применение уравнений Парка-Горева не всегда целесообразно. В таких системах для СМ требуются как прямое (от a, b, с к d, q), так и обратное (от d, q к a, b, c) преобразования пе- ременных и вычисления на каждом шаге расчета входных проводимостей СМ и задающих токов (в осях a, b, c) для их использования в уравнениях методов узловых напряжений или контурных токов для всей схемы [3]. В этих случаях для унификации алгоритмо-программных комплексов более пред- почтительным является использование уравнений в естественных координатах для всех элементов сети так же, как и при исследовании несимметричных режимов при разных сопротивлениях фаз ста- тора, ротора или напряжений источника питания. Определение мгновенных значений фазных токов и напряжений необходимо также при разработке и внедрении новых микропроцессорных устройств релейной защиты и противоаварийной автоматики. Известные исследования и публикации. Известны математические модели СМ в фазных координатах [5,6], в которых авторы учитывают только по одному демпферному контуру в каждой оси ротора, пренебрегая влиянием эффекта вытеснения токов. Это не позволяет применить эти моде- ли для исследования процессов в СМ с массивным ротором. В [1,7] были предложены аналитические выражения для вычисления элементов обратной матрицы индуктивностей математической модели применительно к явнополюсной синхронной машине без демпферных контуров на роторе. Однако получение указанных аналитических выражений достаточно сложно, так как требует учета конструк- тивных особенностей СМ, а для случая многоконтурного несимметричного ротора СМ вообще про- блематично. Таким образом, математические модели СМ в фазных координатах требуют дальнейше- го совершенствования в направлении представления ротора многоконтурными схемами замещения, синтезированными по частотным характеристикам проводимостей [7], а также путем использования новых подходов к сокращению расчетных затрат на обращение матрицы индуктивностей. Цель работы. Совершенствование математической модели СМ в фазных координатах за счет представления ротора многоконтурной схемой замещения и получение аналитических выражений для обратной матрицы индуктивностей. Основной материал и результаты исследований. Примем за основу общепринятые допу- щения для СМ [4,8]: обмотки статора симметричны и сдвинуты на 120 электрических градусов отно- © Сивокобыленко В.Ф., 2015 52 ISSN 1607-7970. Техн.електродинаміка. 2015. № 1 сительно друг друга; насыщение и потери в магнитопроводе отсутствуют; индукция распределена в пространстве синусоидально; зависимости собственных и взаимных индуктивностей обмоток от угла положения ротора содержат только основную гармонику. Все величины будем представлять в отно- сительных единицах с общей для всех контуров по каждой оси взаимной индуктивностью. Рассмотрим СМ, которая имеет на статоре три фазные обмотки a, b, c. По продольной оси d ротора учтем обмотку возбуждения f и две демпферные обмотки d1 и d2, по поперечной оси ротора q − две демпферные обмотки q1 и q2. Такое представление демпферных контуров ротора позволяет учесть зависимость параметров схем замещения от эффекта вытеснения токов в СМ (турбодвигате- лях, СМ с массивными полюсными башмаками и др.) [7]. Заводы-изготовители СМ обычно приводят в паспортах значения параметров СМ в осях d, q. При этом, согласно [6,8] векторы напряжений, токов, потокосцеплений, а также матрица активных сопротивлений в этих осях будут представлены в следующем виде: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , ,0 ,0 ,0 ,0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . tr tr dqdq sd sq f sd sq f d d q q tr dq sd sq f d d q q dq sd sq f d d q q U u u u I i i i i i i i R diag R R R R R R R ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= Ψ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ur uur r Уравнения связи между потокосцеплениями и токами, в которых используются матрицы соб- ственных и взаимных индуктивностей СМ (прямая dqL и обратная 1 dqL − ), имеют вид 1, ;dq dqdq dq dq dqL I I L −Ψ = ⋅ = ⋅ Ψ uur uurr r (1) , , 1 , 2 , 1 , 2 , , 1 , 2 1, 1, 1 1, 2 2, 2, 2, 1 2 1, 1 1, 2 2, 2, 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sd sd f sd d sd d sq sq q sq q f sd f f d f d d sd d f d d ddq d sd d f d d d q sq q q q q sq q q q L L L L L L L L L L L L L L LL L L L L L L L L L L ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (2) Элементы матрицы dqL зависят от индуктивностей рассеяния обмоток статора и ротора 1 2 1 2, , , , ,s f d d q qL L L L L Lσ σ σ σ σ σ и от взаимных индуктивностей mdL по оси d и mqL − по оси q 1 1 2 2 1 1 2 2 , 1 1, , 2 2, , , , 1 1, , 2 2, , , , , , , , , . sd s md d d md d d md f f md sq s mq q q mq q q mq sq q q sq sq q q sq mq sd f f sd sd d d sd sd d d sd md L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L σ σ σ σ σ σ σ = + = + = + = + = + = + = + = = = = = = = = = = (3) Отметим, что, как следует из (2), элементы матрицы индуктивностей являются постоянными величинами и не зависят от угла положения ротораγ . Дифференциальные уравнения для модели СМ в осях d, q, записанные относительно пере- менных состояния потокосцеплений, скорости вращения и угла поворота ротора, будут иметь вид 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 , , , , , , , , sd sd sd sd sq d d d sq sq sq sq sd d d d q q q f f f f q q q p u R i p R i p u R i p R i p R i p u R i p R i p ψ ωψ ψ ψ ωψ ψ ψ ψ ψ γ ω = − + = − = − − = − = − = − = − = 1 max max 2 ( , ) , / ,( ) cos( ), sin( ), ( , ) , ( ) ( ) . dq dqj e c sd c sq c dq dqe sd sq sq sd c нач кон нач p m I m p d dt u U t t u U t t m I i i m m т m −= Ψ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ = − = − Ψ = − = + − ur r uur r ω τ ω ω ω ω ω ψ ψ ω ω (4) ISSN 1607-7970. Техн.електродинаміка. 2015. № 1 53 Здесь ω − угловая частота вращения ротора, cω − синхронная частота, jτ − механическая постоянная времени привода, , , , ,sd sq e cu u m m p − соответственно напряжения статора, электромаг- нитный вращающий момент, момент сопротивления механизма (например, вентилятора с начальным начm и конечным конт моментами сопротивлений), оператор дифференцирования по времени. При численном решении дифференциальных уравнений (4) токи определяют по (1), используя обратную матрицу индуктивностей 1 dqL − с постоянными коэффициентами, которую достаточно обратить толь- ко один раз. Рассмотрим теперь математическую модель этой СМ в естественных (фазных) координатах a, b, c для статора и d, q − для ротора. Переменные состояния и параметры СМ представим как 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , ,0 ,0 ,0 ,0 ; , , , , , , , ; , , , , , , , ; , , , , , , , . tr tr abcabc a b c f a b c f d d q q tr abc a b c f d d q q abc a b c f d d q q U u u u u I i i i i i i i i R diag R R R R R R R R ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= Ψ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ur uur r (4,а) Значения активных сопротивлений фаз статора найдем по известным параметрам в осях d, q из соотношения .a b c sd sqR R R R R= = = = В уравнениях связи между потокосцеплениями и токами в этой модели используется матрица собственных и взаимных индуктивностей СМ в фазных координатах ( )abcL γ , элементы которой за- висят от угла положения ротора 1( ) ; ( ) .abc abcabc abc abc abcL I I Lγ γ −Ψ = ⋅ = ⋅ Ψ uur uurr r (5) Представим матрицу ( )abcL γ как состоящую из четырех подматриц, включающих собствен- ные и взаимные индуктивности обмоток: статор-статор ( )SSL γ , статор- ротор ( )SRL γ , ротор – статор ( )RSL γ и ротор-ротор R RL ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) a ab ac SS SR abc SS ba b bc RS RR ca cb c L L L L L L L L L L L L L L L γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (5,а) 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 21 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 11 2 1 2 1 1 1 1 21 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) f fd fd fq fq d f d d d d q d qaf ad ad aq aq d f d d d d q d qSR bf bd bd bq bq RR q f q d q dcf cd cd cq cq L L L L L L L L L LL L L L L L L L L LL L L L L L L L L LL L L L L γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 . q q q q f q d q d q q q L L L L L L L ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (5,б) Как следует из [4,6,8], в матрице ( )SSL γ собственные и взаимные индуктивности фаз статора содержат постоянные составляющие 0l и 0m и переменные, пропорциональные произведению разно- стей полных индуктивностей LΔ по осям d, q на косинус двойного угла положения ротора. Значения указанных составляющих определяют через известные параметры в осях d, q: полные индуктивности обмоток статора ,sd sqL L и индуктивность нулевой последовательности обмоток статора 0L , которая обычно в 4-7 раз меньше фазной индуктивности рассеяния ( )0 0 0 03 , ( ) 2 3 , 3 .sd sq sd sq sd sql L L L m L L L L L L= + + = − + Δ = − (6) Тогда с учетом (6) подматрица статор-статор ( )SSL γ примет вид 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos(2 ) cos(2 2 3) cos(2 2 3) ( ) cos(2 2 3) cos(2 2 3) cos(2 ) . cos(2 2 3) cos(2 ) cos(2 2 3) SS l L m L m L L m L l L m L m L m L l L γ γ π γ π γ γ π γ π γ γ π γ γ π + Δ + Δ − + Δ +⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + Δ − + Δ + + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ Δ + + Δ + Δ −⎣ ⎦ (7) 54 ISSN 1607-7970. Техн.електродинаміка. 2015. № 1 Подматрица статор-ротор ( )SRL γ содержит элементы, пропорциональные произведению вза- имных индуктивностей между соответствующими обмотками на косинус или синус угла поворота ротора ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) ( ) cos 2 /3 cos 2 /3 cos 2 /3 sin 2 /3 sin 2 /3 2cos 2 /3 cos 2 /3 cos 2 /3 sin sin 2 /3 3 sf sd sd sq sq SR sf sd sd sq sq sf sd sd sq sq L L L L L L L L L L L L L L L L γ γ γ γ γ γ γ π γ π γ π γ π γ π πγ π γ π γ π γ γ π ⎡ ⎢ − −⎢ ⎢= − − − − − − − ⎛ ⎞+ + + − + − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ , ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ (8) где 1 2 1 2 .;sf sd sd md sq sq mqL L L L L L L= = = = = В принятой за основу взаимной системе относительных единиц базисная мощность статорных и роторных контуров равна номинальной мощности СМ, а базисный ток обмотки статора − амплиту- де номинального фазного тока статора. Базисный ток обмотки возбуждения создает в воздушном зазоре такое же поле, как и продольная реакция статора при базисном токе. При этих условиях, со- гласно [8], подматрицу индуктивностей ротор-статор можно найти с помощью транспонированной матрицы статор-ротор ( )tr SRL γ из соотношения ( ) 2 ( ) 3.tr RS SRL Lγ γ= (9) Элементы подматрицы R RL постоянны, не зависят от угла положения ротора и для них спра- ведливы соотношения 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ; ; 0, fd fd d f d f d d d d md q q q q mq fq fq d q d q q d q d L L L L L L L L L L L L L L L L = = = = = = = = = = = = = = с учетом которых подматрица R RL принимает вид 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 f fd fd d f d d d d f d d dRR q q q q q q L L L L L L L L LL L L L L ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (10) Рассмотрим теперь дифференциальные уравнения математической модели СМ в естествен- ных координатах. Если в качестве переменных состояния так же, как и в осях d, q, принять потоко- сцепления, скорость вращения и угол поворота ротора, то тогда, используя уравнения равновесия ЭДС контуров и движения ротора, получим [ ] 1 1 1 1/ 2 2 / ( ) ( ) , / ( , ) ( ) , / , ( ) , ( , ) 3 ( ) ( ) , ( ) ( ) . abc abc abc abcabc abc abc j e c abc abcabc abc abce b c a b c a c нач кон нач d dt U t R L d dt m I m d dt I L m I i i i m m т m γ ω τ ω γ ω γ ψ ψ ψ ω ω − − − − ⎡ ⎤Ψ = − Ψ = Ψ −⎣ ⎦ = = Ψ Ψ = − − − = + − uur ur uur r uur r uur r uur (11) В этих уравнениях векторы и матрицы соответствуют (4,а; 5,а; 5,б; 7-10). Как видно из урав- нений (11) на каждом шаге расчета переходного процесса требуется обращение матрицы индуктив- ностей ( )abcL γ . Применение численного обращения этой матрицы увеличивает расчетные затраты и является одним из основных недостатков этой модели. Получение аналитических выражений для вы- числения обратной матрицы позволило бы сократить расчётные затраты и снизить накопление оши- бок при многократных численных обращениях матрицы. Ранее были предложены аналитические выражения для вычисления элементов обратной мат- рицы 1( )abcL γ − , но только применительно к явнополюсной синхронной машине без демпферных кон- туров на роторе [1]. Однако для СМ с представлением ротора многоконтурной схемой замещения эти вопросы не рассматривались и требуют дальнейших дополнительных исследований. Примем за основу приведенное в [2] доказательство того, что матрицы с гармонически изме- няющимися коэффициентами имеют структурно подобные себе обратные, т.е. в них синусные и ко- синусные составляющие остаются такими же, как в исходной матрице и изменяются только значения ISSN 1607-7970. Техн.електродинаміка. 2015. № 1 55 постоянных коэффициентов и амплитуд гармонических составляющих. Тогда искомую обратную ма- трицу и её подматрицы представим в таком же виде, как исходные, но с неизвестными значениями параметров 0 0, ,l m LΔ% в подматрице ( )SSL γ% ; неизвестными % % % % %1 2 1 2, , , ,sf sd sd sq sqL L L L L − в подматрицах ( )SRL γ% и ( )RSL γ% , а также аналогично обозначенным параметрам в подматрице ротор-ротор RRL% .Тогда обратная матрица индуктивностей и её подматрицы будут представлены как 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) SS SR abc abc RS RR L L L L L L γ γ γ γ γ γ − ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ % % % % % 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 f fd fd d f d d d d f d d dRR q q q q q q L L L L L L L L LL L L L L ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ % % % % % % % % %% % % % % (12, 13) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos(2 ) cos(2 2 /3) cos(2 2 /3) ( ) cos(2 2 /3) cos(2 2 /3) cos(2 ) , cos(2 2 /3) cos(2 ) cos(2 2 /3) ss l L m L m L L m L l L m L m L m L l L γ γ π γ π γ γ π γ π γ γ π γ γ π ⎡ ⎤+ Δ + Δ − + Δ + ⎢ ⎥ = + Δ − + Δ + + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + Δ + + Δ + Δ −⎢ ⎥⎣ ⎦ % % % (14) % % % % % % % % % % % % % % 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) 2 2 2 2 2( ) cos cos cos sin sin 3 3 3 3 3 2 2 2cos cos cos 3 3 3 sf sd sd sq sq SR sf sd sd sq sq sf sd sd L L L L L L L L L L L L L L γ γ γ γ γ π π π π πγ γ γ γ γ γ π π πγ γ γ − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ % %1 2 , 2 2sin sin 3 3 sq sqL Lπ πγ γ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (15) 2( ) ( ) . 3 tr RS SRL Lγ γ= ⋅% % (16) Предлагается сравнительно простой способ определения указанных выше постоянных коэф- фициентов и амплитуд гармонических составляющих в элементах обратной матрицы индуктивно- стей, основанный на использовании результатов однократного численного обращения исходной мат- рицы ( )abcL γ для одного из произвольных значений угла поворота ротора γ . Полученную матрицу, размерностью для нашего случая 8 8× , обозначим через M и используем в дальнейшем числен- ные значения её элементов совместно с известным соотношением cos( ) cos( 2 / 3) cos( 2 / 3) 0γ γ π γ π+ − + + = . Приравняв сумму элементов 1,1 2,2 3,3, ,M M M матрицы M сумме соответствующих элемен- тов в матрице (14), получим 0 1,1 2,2 3,3( ) 3l M M M= + +% . (17) Аналогично, приравняв сумму элементов любой строки или столбца матрицы (14) сумме со- ответствующих элементов в матрице M , получим [ ]0 1 01,1 1,2 1,3 1,1 2,2 1 1( ) ; ( ) cos(2 ) cos(2 2 / 3) 2 2 m M M M l L M M −= + + − Δ = − ⋅ − −% γ γ π . (18) Приравнивание соответствующих элементов в матрицах (15) и M позволяет найти все эле- менты матрицы ( )SRL γ% 1 1 1 1 1 11,4 1 1,5 2 1,6 1,7 2 1,8cos ; cos ; cos ; sin ; sin .sqsf sd sd sqL M L M L M L M L Mγ γ γ γ γ− − − − −= = = = − = −% % % % (19) Матрицу ( )RSL γ% находим по (16), а элементы матрицы RRL% постоянны и равны соответст- вующим элементам матрицыM 4,4 1 5,5 2 6,6 1 7,7 2 8,8 1 1 4,5 1 2 2 1 5,6 2 2 4,6 1 2 2 1 7,8 ; ; ; ; ; ; ; ; . f d d q q fd d f d d d d fd d f q q q q L M L M L M L M L M L L M L L M L L M L L M = = = = = = = = = = = = = % % % % % % % % % % % % % (20) 56 ISSN 1607-7970. Техн.електродинаміка. 2015. № 1 Таким образом, получаем аналитические выражения для определения коэффициентов обрат- ной матрицы индуктивностей. Они вычисляются только один раз по параметрам схемы замещения СМ в осях d, q, используя результаты обращения исходной матрицы индуктивностей для одного зна- чения угла поворота ротора. Адекватность матриц 1( )abcL γ − и % ( )abcL γ проверена для параметров большого количества СМ в широком диапазоне изменения углов положения ротора, что подтвержда- ет достоверность предложенного метода. Проверка адекватности различных моделей также произво- дилась для нескольких СМ разного типа, в том числе и для СМ с многоконтурным ротором. Для примера приведем результаты исследования переходных процессов неявнополюсного синхронного двигателя СТДП-2500-2 номинальной мощностью 2500 кВт, напряжением 6 кВ, имею- щего согласно каталожным данным кратности пускового тока статора − 6,16 о.е., пускового, макси- мального и входного (при скольжении равном 0,05) моментов соответственно − 1,75; 2,11 и 1,34 о.е. По экспериментальным частотным характеристикам проводимостей (рис. 1) по методике [7] были найдены параметры схемы замещения СМ с многоконтурным ротором, расчеты по которым статиче- ских характеристик показали их близкое совпадение с данными каталога. Рис. 1 Значения параметров схемы замещения, в которой ротор представлен обмоткой возбуждения и двумя короткозамкнутыми контурами по каждой оси, в относительных единицах составили 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0,082; 0,115; 0,289; 0,253; 0,11; 0,11; 0,019; 0,004; 0,2; 0,26; 0,28; 0,021. 2,382; 1,682; 0,016; 2 . s f d d q q sd sq f d d q q md mq j L L L L L L R R R R R R R L L L c σ σ σ σ σ σ τ = = = = = = = = = = = = = = = = = С помощью расчетов по (3), (6) и (17)-(20) получены значения элементов для формирования прямой и обратной матриц индуктивностей СМ в координатах d, q и a, b, c 0 00 01,415; 0,699; 0,233; 25,129; 17,923; 0,125;l m L l m L= = − Δ = = = Δ = −% % % % % %1 2 1 23,692; 1,469; 1,678; 3,58; 3,58;sf sd sd sq sqL L L L L= − = − = − = − = − 1 2 1 26,063; 3,043; 3,409; 6.422; 6,422;f d d q qL L L L L= = = = =% % % % % 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 11,048; 1,197; 0,476; 2,668.fd d f fd d f d d d d q q q qL L L L L L L L= = − = = − = = − = = −% % % % % % % % Полученные параметры использовались для решения дифференциальных уравнений рассмот- ренных в работе трех моделей: классической (M1) в осях d, q по уравнениям (4) и в фазных коорди- натах по уравнениям (11) при пошаговом численном обращении матрицы индуктивностей (модель М2) и при вычислении матрицы по аналитическим зависимостям (модель М3). Результаты расчетов для асинхронного пуска синхронного двигателя показаны на рисунках: характер изменения мгновен- ных значений тока статора фазы А (рис. 2), элек- тромагнитного вращающего момента (рис. 3), потребляемой активной мощности (рис. 4) и скорости вращения (рис. 5). Как видно из приведенных данных, ре- зультаты расчетов для моделей практически сов- падают, что подтверждает их адекватность с точ- ки зрения получения идентичности результатов. Расхождение (не более 2−3%) вызвано накопле- Рис. 2 ISSN 1607-7970. Техн.електродинаміка. 2015. № 1 57 нием погрешностей из-за многократных численных обращений матрицы индуктив- ностей в модели М2 и зависит от величины шага и длительности расчета. Расчетные затраты при реализации программ расчета в пакете MathCAD для моделей в осях d, q (М1) и с аналитическим определением об- ратной матрицы индуктивностей (М3) прак- тически одинаковы, а для модели с обраще- нием матрицы (М2) затраты в 1,4-1,6 раз больше. При моделировании процессов в многомашинных системах электроснабже- ния целесообразно использовать усовершен- ствованную модель СМ (М3), предложен- ную в данной работе. Выводы и направления дальней- ших исследований. При моделировании пе- реходных процессов в электрических сис- темах целесообразно использовать матема- тическую модель СМ в естественных коор- динатах, в которых переменные состояния статорных величин представлены в непод- вижных относительно статора фазных коор- динатах, а роторных − в координатах, вра- щающихся вместе с ротором. Для учета вли- яния вытеснения тока в таких моделях сле- дует применять многоконтурную схему за- мещения ротора, синтезированную по час- тотным характеристикам проводимостей. Использование аналитических выражений для элементов обратной матрицы индуктив- ностей СМ позволяет сократить расчетные затраты. Результаты моделирования асин- хронного пуска синхронного двигателя под- тверждают адекватность и преимущества разработанной модели в естественных координатах. При дальнейших исследованиях целесообразно рассмотреть способ моделирования переход- ных процессов в многомашинных электрических системах при использовании предложенной в рабо- те модели. 1. Бутырин П.А., Борю С.Ю. Аналитические преобразования уравнений состояния электрических ма- шин // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. − 1986. − №2. − С. 24−34. 2. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. − М.: Наука, 1984. − 320 с. 3. Кириленко О.В., Сегеда М.С., Буткевич О.Ф., Мазур Т.А. Математичне моделювання в електроенер- гетиці. − Львів: Видавництво Львівської політехніки, 2013. − 608 с. 4. Ковач К.П., Рац И. Переходные процессы в машинах переменного тока. − М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. − 744 с. 5. Полилов Е.В., Щёлоков А.Г., Руднев Е.С. Разработка математической модели и моделирование явно- полюсных синхронных машин в фазных координатах // Вісник Національного технічного університету «Хар- ківський політехнічний інститут». − 2008. − №30. − С. 207−210. 6. Сивокобыленко В.Ф. Математическая модель синхронной машины в фазных координатах с аналити- ческим определением обратной матрицы индуктивностей // Наукові праці Донецького національного технічно- го університету. Електротехніка і енергетика. − 2012. − №1(12). − №2(13). − С. 207−213. 7. Сивокобыленко В.Ф., Павлюков В.А. Метод аппроксимации переходных функций и расчет многоконтур- ных схем замещения машин переменного тока // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. − 1979. − №1. − С. 63−70. Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 58 ISSN 1607-7970. Техн.електродинаміка. 2015. № 1 8. Ульянов С.А. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах. − М.-Л.: Энергия, 1964. − 704 с. УДК 621.313.323 МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СИНХРОННОЇ МАШИНИ З БАГАТОКОНТУРНИМ РОТОРОМ У ФАЗНИХ КООРДИНАТАХ В.Ф.Сивокобиленко Донецький національний технічний університет, вул. Артема, 58, Донецьк, 83001, Україна. e-mail: svf@elf.dgtu.donetsk.ua Удосконалено математичну модель синхронної машини в фазних координатах за рахунок врахування витіс- нення струму в демпферних контурах ротора шляхом їхнього представлення багатоконтурною схемою замі- щення в кожній осі, а для скорочення розрахункових витрат отримано аналітичні вирази для оберненої мат- риці індуктивностей. Переваги запропонованої моделі показано на прикладі моделювання асинхронного пуску синхронного двигуна. Бібл. 8, рис. 5. Ключові слова: математична модель, синхронна машина, фазні координати, матриця індуктивностей, диферен- ціальні рівняння Парка-Горєва. MATHEMATICAL MODELING OF SYNCHRONOUS MACHIN WITH MULTICONTOUR ROTOR IN PHASE COORDINATES V.F.Syvokobylenko Donetsk National Technical University, Аrtema str., 58, Donetsk, 83001, Ukraine. e-mail: svf@elf.dgtu.donetsk.ua The mathematical model of synchronous machine is improved in phase coordinates due to the account of expulsing of current in the damper contours of rotor by their presentation by the multicontour chart of substitution in every axis, and for reduction of calculation expenses analytical expressions are got for the inverse matrix of inductances. Advantages of the offered model are shown on the example of design of the asynchronous starting of synchronous motor. References 8, figures 5. Keywords: mathematical model, synchronous machine, phase coordinates, matrix of inductances, differential equalizations of Park-Gorev. 1. Butyrin P.A., Boriu S.Yu. Analytical transformations of equalizations of the state of electric machines // Iz- vestiia Akademii Nauk SSSR. Enerhetika i transport. − 1986. − № 2. − Pp. 24−34. (Rus) 2. Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A. Matrices and calculations. − Мoskva: Nauka, 1984. − 320 p. (Rus) 3. Kyrylenko O.V., Seheda M.S., Butkevych O.F., Mazur T.A. Mathematical modeling in electric power indus- try. − Lviv: Vydavnytstvo Lvivskoi Politekhniky, 2013. − 608 p. (Ukr) 4. Kovach K.P., Rats I. Transient processes in alternating current machines. − Мoskva-Leningrad: Gosenergo- izdat, 1963. − 744 p. (Rus) 5. Polilov E.V., Shchelokov A.G., Rudnev E.S. Development of mathematical model and modelling of brushless DC synchronous machines in phase coordinates // Visnyk Natsionalnoho Tekhnichnoho Universytetu “Kharkivskyi politekhnichnyi Universytet". − 2008. − № 30. − Pp. 207− 10. (Rus) 6. Sivokobylenko V.F. Mathematical model of synchronous machines in phase coordinates with analytic defini- tion of the inverse matrix inductances // Naukovi pratsi Donetskoho Natsionalnoho Tekhnichnoho Universytetu. Seriia: Elektrotekhnika i Enerhetyka. − 2012. − № 1(12)-№ 2(13). − Pp. 207−213. (Rus) 7. Sivokobylenko V.F., Pavliukov V.A. The method of approximation of transition functions and the calculation the equivalent circuit of multicontour rotor of AC machines // Izvestiia Akademii Nauk SSSR. Energetika i transport. − 1979. − № 1. − Pp. 63−70. (Rus) 8. Ulianov S.A. Electromagnetic transients in electric systems. − Мoskva-Leningrad: Energiia, 1964. − 704 p. (Rus) Надійшла 17.12.2013 Остаточний варіант 14.11.2014

Математическое моделирование синхронной машины с многоконтурным ротором в фазных координатах

Репозитарії

Схожі ресурси