Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели
Для неоднородных марковских процессов рождения и гибели в случае постоянного отношения c интенсивностей гибели и рождения решены три задачи управления выбором параметра c . Для задачи минимизации вероятности выхода процесса при t → ∞ из полосы при помощи метода золотого сечения найдены точки минимум...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2016
|
| Назва видання: | Системні дослідження та інформаційні технології |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140247 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели / Н.В. Андреев, В.М. Статкевич // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 3. — С. 101-117. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140247 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1402472018-06-27T03:03:13Z Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели Андреев, Н.В. Статкевич, В.М. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Для неоднородных марковских процессов рождения и гибели в случае постоянного отношения c интенсивностей гибели и рождения решены три задачи управления выбором параметра c . Для задачи минимизации вероятности выхода процесса при t → ∞ из полосы при помощи метода золотого сечения найдены точки минимума в случае их наличия, зависящие от конкретных значений порога и интегральной интенсивности рождения. Для задачи управления выбором параметра c с учётом стабилизирующей функции найдено точку минимума и доказано условие её существования; рассмотрены важные частные случаи. К этой задаче примыкает задача идентификации параметров для стабилизирующей функции экспоненциального роста. Для задачи минимизации математического ожидания момента вырождения при малой вероятности превышения порога найдены условия сходимости математического ожидания, упрощены условия вероятности превышения порога, а сама задача решена в случае постоянной интенсивности рождения. Для неоднорідних марковських процесів народження та загибелі у випадку постійного відношення c інтенсивностей загибелі та народження розв’язано три задачі керування вибором параметра c . Для задачі мінімізації ймовірності виходу процесу при t → ∞ зі смуги за допомогою методу золотого перерізу знайдено точки мінімуму у випадку їх наявності, які залежать від конкретних значень порога та інтегральної інтенсивності народження. Для задачі керування вибором параметра c з урахуванням стабілізуючої функції знайдено точку мінімуму та доведено умову її існування; розглянуто важливі окремі випадки. Разом з цією задачею природно розглянуто задачу ідентифікації параметрів для стабілізуючої функції експоненційного зростання. Для задачі мінімізації математичного сподівання моменту виродження за малої ймовірності перевищення порога знайдено умови збіжності математичного сподівання, спрощено умови ймовірності перевищення порога, а сама задача розв’язана у випадку постійної інтенсивності народження. We consider non-homogeneous Markov birth-death processes in a case of the constant ratio c of death and birth intensities. We solve three control problems by choosing the parameter c for such processes. We solve the problem of minimizing the probability of moving out of range as t → ∞ . We use the golden section search to find the existing minima, which depend on a threshold value and an integral birth intensity value. We solve the control problem by choosing the parameter c using the stabilization function. The existence of a minimum is proved and the minimum is found; also, important selected cases are considered. The parameter identification problem for an exponential stabilization function is also solved. We solve the problem of minimizing the mean of an extinction time with a small probability of exceeding the threshold. The convergence conditions for the mean are found, the conditions of the threshold exceeding probability are simplified, the problem is solved under an assumption of a constant birth intensity. 2016 Article Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели / Н.В. Андреев, В.М. Статкевич // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 3. — С. 101-117. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1681–6048 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.3.09 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140247 519.218.23+517.977.5 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| spellingShingle |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Андреев, Н.В. Статкевич, В.М. Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели Системні дослідження та інформаційні технології |
| description |
Для неоднородных марковских процессов рождения и гибели в случае постоянного отношения c интенсивностей гибели и рождения решены три задачи управления выбором параметра c . Для задачи минимизации вероятности выхода процесса при t → ∞ из полосы при помощи метода золотого сечения найдены точки минимума в случае их наличия, зависящие от конкретных значений порога и интегральной интенсивности рождения. Для задачи управления выбором параметра c с учётом стабилизирующей функции найдено точку минимума и доказано условие её существования; рассмотрены важные частные случаи. К этой задаче примыкает задача идентификации параметров для стабилизирующей функции экспоненциального роста. Для задачи минимизации математического ожидания момента вырождения при малой вероятности превышения порога найдены условия сходимости математического ожидания, упрощены условия вероятности превышения порога, а сама задача решена в случае постоянной интенсивности рождения. |
| format |
Article |
| author |
Андреев, Н.В. Статкевич, В.М. |
| author_facet |
Андреев, Н.В. Статкевич, В.М. |
| author_sort |
Андреев, Н.В. |
| title |
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели |
| title_short |
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели |
| title_full |
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели |
| title_fullStr |
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели |
| title_full_unstemmed |
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели |
| title_sort |
некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140247 |
| citation_txt |
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели / Н.В. Андреев, В.М. Статкевич // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 3. — С. 101-117. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT andreevnv nekotoryezadačiupravleniâneodnorodnymiprocessamiroždeniâigibeli AT statkevičvm nekotoryezadačiupravleniâneodnorodnymiprocessamiroždeniâigibeli |
| first_indexed |
2025-07-10T10:07:57Z |
| last_indexed |
2025-07-10T10:07:57Z |
| _version_ |
1837254156278038528 |
| fulltext |
Н.В. Андреев, В.М. Статкевич, 2016
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 101
УДК 519.218.23+517.977.5
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.3.09
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫМИ
ПРОЦЕССАМИ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ
Н.В. АНДРЕЕВ, В.М. СТАТКЕВИЧ
Аннотация. Для неоднородных марковских процессов рождения и гибели
в случае постоянного отношения c интенсивностей гибели и рождения реше-
ны три задачи управления выбором параметра c . Для задачи минимизации ве-
роятности выхода процесса при t из полосы при помощи метода золо-
того сечения найдены точки минимума в случае их наличия, зависящие от
конкретных значений порога и интегральной интенсивности рождения. Для
задачи управления выбором параметра c с учётом стабилизирующей функции
найдено точку минимума и доказано условие её существования; рассмотрены
важные частные случаи. К этой задаче примыкает задача идентификации па-
раметров для стабилизирующей функции экспоненциального роста. Для зада-
чи минимизации математического ожидания момента вырождения при малой
вероятности превышения порога найдены условия сходимости математическо-
го ожидания, упрощены условия вероятности превышения порога, а сама зада-
ча решена в случае постоянной интенсивности рождения.
Ключевые слова: задача управления, задача стабилизации, неоднородный
марковский процесс рождения и гибели, интенсивность рождения, интенсив-
ность гибели, момент вырождения.
ВВЕДЕНИЕ
Ветвящиеся процессы являются математической моделью многих физиче-
ских, биологических и социальных явлений, например, ливней космических
лучей, электронно-фотонных каскадов, ядерных реакций, эволюции биоло-
гических популяций, распространения эпидемий и т.д. [1–10]. В работе рас-
сматривается один из классов ветвящихся процессов, а именно неоднород-
ные марковские процессы рождения и гибели (являющиеся частным
случаем процессов рождения, иммиграции и гибели). Они встречаются, на-
пример, в теории массового обслуживания, в теории надёжности и т.д. Раз-
личным аспектам проблем управления такими процессами посвящены рабо-
ты [11–16].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для неоднородного процесса рождения и гибели в случае постоянного от-
ношения c интенсивностей гибели и рождения рассмотрим следующие за-
дачи управления выбором параметра c :
1) задачу минимизации вероятности выхода процесса при t из по-
лосы;
2) задачу управления с учётом стабилизирующей функции;
3) задачу минимизации математического ожидания момента вырожде-
ния процесса при малой вероятности превышения порога.
Н.В. Андреев, В.М. Статкевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 102
Эти задачи сформулированы в работе [6]. Указанное постоянное отно-
шение c интенсивностей гибели и рождения возникает, например, при ана-
лизе процесса нуклеации ковкого чугуна [4, 5]. Подробнее про механизм
и кинетику нуклеации из жидкой фазы изложено, например, в работе [17].
Пусть )(t , 0t — неоднородный во времени процесс рождения и ги-
бели. Это марковский процесс с состояниями },2,1,0{ , для которого из со-
стояния 0)( nt возможны лишь переходы в состояния 1n и 1n ,
причём
)()(})(/1)({ tottnntnttP ,
)()(})(/1)({ tottnntnttP ,
)())()((1})(/)({ totttnntnttP .
Здесь )(t и )(t – положительные непрерывные на );0( функции, назы-
ваемые интенсивностями рождения и гибели соответственно. В начальный
момент времени 1)0( , а возможность самозарождения исключается (пе-
реход из состояния 0 в состояние 1 невозможен). Обозначим:
t
dt
0
)()(
— интегральная интенсивность рождения,
0
)( d , })({)( ntPtPn
( ,2,1,0n ). Из второй системы дифференциальных уравнений Колмого-
рова следует [1, 7]
)()()1()())()(()()()1()( 11 tPtntPttntPtntP
dt
d
nnnn , 1n ,
)()()( 10 tPttP
dt
d
.
После доопределения 0)( tPn для 0n и введения производящей
функции
n
n
n ztPtz )(),( эти уравнения эквивалентны задаче Коши для
линейного дифференциального уравнения в частных производных
z
tztz
t
))()()(1( , zz )0,( [1]. Действительно
1
11 )()()1()()()(
n
n
n
n
n
n ztPtntPtztP
tt
1
1
1
)()()1()())()((
n
n
n
n
n
n ztPtnztPttn
))()(()()(),()()()( 101 ttztPtPtz
z
ttPt
.))()()(1()(),()()(),( 0
2
0 z
tztztPtz
z
zttPtz
z
z
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 103
В работах [1] и [6] получены явные формулы для )(tPn ( ,2,1,0n ),
а также доказано, что
t
u
t
dueu
z
e
tz
0
)(
)(
)(
1
1
1),( , где )(t
t
duuu
0
))()(( .
Рассматривается следующий случай: отношение 0
)(
)(
c
t
t
постоян-
ное для всех 0t . В работах [4, 6] получены формулы:
11
0 )(1)(
ttP , ( 1c ),
)(
)(
0
1
)1(
)(
t
t
ce
ec
tP
, ( 1c ), (1)
2
0
1
01
)(
))(1)(()( tPtP
c
e
tP n
n
t
n
, ( ,2,1n ), )()1()( tct . (2)
Из соотношений (1) и (2) следует, что ctP )(0 , а функция )(tPn при
фиксированном t непрерывна по c . Первый момент распределения случай-
ной величины )(t [4, 6]
)(
1 )()( tetMt . (3)
Для момента вырождения процесса )(t , т.е. момента исчезновения
всех частиц, справедливо равенство [6]
0
0
0
0 )()( dttP
dt
d
tttdPM . (4)
Цель работы — решение задач 1–3.
1. ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЕРОЯТНОСТИ ВЫХОДА ПРОЦЕССА )(t
ПРИ t ИЗ ПОЛОСЫ
Пусть задано натуральное число N . Рассмотрим задачу управления: мини-
мизировать вероятность выхода процесса при t из полосы ]1;1[ N ,
управляя параметром c , т.е.
ctt
NtPtPcP min})({lim}0)({lim)(
. (5)
Вероятность превысить порог 1N согласно соотношениям (2) равна
Nk
N
t
Nk c
tP
tPektPNtP
1
02
0
)( )(
))(1(})({})({ .
Вычислив с учётом формулы (2) сумму геометрической прогрессии со
знаменателем 1q , получим
Н.В. Андреев, В.М. Статкевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 104
N
N
t
t
NtP
))(1(
)(
})({
1
, ( 1c );
Nt
Nt
ce
ec
NtP
)1(
)1)(1(
})({
)(
1)(
, ( 1c ). (6)
Подставив в первое слагаемое критерия (5) формулы (1), а во второе —
формулы (6) и перейдя к пределу t , находим эргодическое состояние
процесса: при
N
N
cP
)1(1
)(
1
, ( 1c ),
)()(
)1(
)1)(1(
1
)1(
)( 21)1(
1)1(
)1(
)1(
cPcP
ce
ec
ce
ec
cP
Nc
Nc
c
c
, ( 1c ),
а при 1)( cP . Заметим, что функция )(cP непрерывна на );0( .
Утверждение 1. )(1 cP — возрастающая функция на );0( .
Доказательство. Производная данной функции имеет вид )(1 cP
2)1(
)1(
)1(
)1)1((1
c
c
ce
cce
. Рассмотрим вспомогательную функцию )(g
)1)1((1 )1( cce c . Её производная 0)1()1()( )1(2 cecg c ,
поэтому 0)0()( gg , что доказывает утверждение.
Утверждение 2. )(2 cP — убывающая функция на );0( .
Доказательство. Вводим вспомогательную функцию ),(cg
N
N
c
c
)1(
)1)(1( 1
. Тогда, используя равенство ),()( )1(
2
cecg
dc
d
cP и пола-
гая )1(ce , после упрощений получаем
))1(1(
)1(
)1(
)(
2
2 c
c
cP
N
N
))1(1(
)1(
)1)(1(
1
2
c
c
cN
N
N
. (7)
Выполняются неравенства 01))1(1()1( ce c и )1(1 ce
0)1( c . Действительно, для доказательства первого из них вводим
вспомогательную функцию )1()(1 yeyg y , имеющую глобальный макси-
мум в точке 0y , откуда 1)0()( 11 gyg при 0y . Второе неравенство
следует из неравенства 1 ye y ( 0y ). Поэтому )(2 cP , задаваемая фор-
мулой (7), отрицательна, что доказывает утверждение.
Функция )(cP при может либо иметь единственную точку ми-
нимума 0* c , либо иметь 1
0);0(
)1()(lim)(inf
N
c
ecPcP в зависимости
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 105
от соотношения N и . Для функций на рис. 1 численный подсчёт (напри-
мер, методом золотого сечения) даёт 1993
);0(
)1()(inf
ecP при 3
и точки минимума 117263,0* c , 420581,0* c и 632043,0* c при 5 ,
7 и 10 соответственно.
2. ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ВЫБОРОМ ПАРАМЕТРА c С УЧЁТОМ
СТАБИЛИЗИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
Пусть задано число 0T и некоторая функция ]);0([)( 2 TLtf . Напомним,
что в пространстве ]);0([2 TL скалярное произведение и норма задаются
формулами
T
dttftfff
0
2121 )()(),( и
T
dttffff
0
2 )(),( соответст-
венно. Рассмотрим задачу управления: минимизировать отклонение в норме
пространства ]);0([2 TL первого момента )(1 t (см. формулу (3)) от задан-
ной функции )(tf , управляя параметром c . Соответствующий критерий
c
T
t dtetfcJ min))(()(
0
2)( (ср. [6]) зависит от c экспоненциально. Из-
меним постановку задачи управления: минимизировать отклонение )(ln tf
от )(ln 1 t , соответствующий критерий 2
0
2))()((ln)( cdtttfcJ
T
c
min , где 0 — заданное число, квадратичен относительно c .
Теорема 1. Если выполнено условие
TT
dttdttft
0
2
0
)()(ln)( (8)
(эквивалентные записи 0),ln( f и
2
)ln,( f ), то )(cJ имеет
единственную точку минимума
Рис. 1. Графики функций )(cP при 200N
c
)(cP
Н.В. Андреев, В.М. Статкевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 106
2
0
2
0
*
),ln(
)(
)())(ln)((
f
dtt
dtttft
c
T
T
,
2
2
2
*
),ln(
ln)(
f
fcJ .
В противном случае
2
0);0(
ln)(lim)(inf
fcJcJ
c
.
Доказательство. Рассмотрим
TT
dtttftdttccJ
00
2 )())(ln)((2)(2)( .
При выполнении условия (8) критическая точка 0* c , 0J на
);0( *c , 0J на );( * c . Поэтому *c является точкой глобального мини-
мума на );0( , а
TT
dtttfcdttcttfcJ
0
22
*
0
2
** ))()((ln))())()(((ln)(
TT
dtt
f
dttttf
f
0
2
22
2
0
2
)(
)(
),ln(
)())()((ln
),ln(
2
.
),ln(
ln
)(
),ln(
2
2
2
22
2
f
f
f
При равенстве в условии (8) критической точкой является точка 0,
0J на );0( . При знаке « » в условии (8) критическая точка отрица-
тельна. Поэтому при невыполнении условия (8)
)(inf
);0(
cJ
2
0
ln)(lim
fcJ
c
.
Теорема доказана.
Замечание. При выполнении условия (8)
2
* ln)( fcJ , а вследст-
вие неравенства Коши–Буняковского
2
2
2
2222
*
ln),ln(lnln
)(
ffff
cJ .
Частный случай 1. Рассмотрим 0)( 0 t . Этот случай предложен
В. Феллером, рассмотрен в качестве частного случая в [1] и других работах.
Тогда tt 0)( , условие (8) принимает вид
3
)(ln
3
0
0
T
dttft
T
. При вы-
полнении этого условия
3
)(ln3
32
0
0
0
32
0
*
T
dttftT
c
T
(интенсивность гибели
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 107
0)( 0 ct ), в противном случае
2
);0(
ln)(inf
fcJ (интенсивность
гибели почти нулевая).
Рассмотрим частный случай 0)( atf . Условие (8) принимает вид
3/2 0Tea , при выполнении этого условия
62
ln32
32
0
2
0
32
0
*
T
aTT
c ,
)3(4
)ln3ln3(4ln
)(
32
0
22
0
32
0
242
0
*
T
aTaTTaT
cJ .
Рассмотрим частный случай atetf )( . Такая функция выбрана потому,
что это элементарная функция, а при 0a выполняются 0)(lim
tf
t
,
0
)( dttf . Также можно провести параллель с плотностью экспоненци-
ального распределения случайной величины с параметром 0 :
tetf
)( при 0t , 0)( tf при 0t . Условие (8) принимает вид
0a , и если оно выполнено, то
3
)(
32
0
0
3
0
*
T
aT
c ,
3
)(
)(
32
0
32
0
*
T
Ta
cJ .
Заметим, что при выборе a , близких к 0 , расхождение между )(ln tf
и )(ln 1 t малó.
Частный случай 2. Рассмотрим btet )( . Тогда )1(
1
)( bte
b
t . Если
0b , то 0)(lim
t
t
, а
b
1
. Условие (8) после упрощения принимает
вид
233
2
3
0 2
32
2
1
)(ln)1(
1
b
T
b
e
b
e
b
dttfe
b
bTbT
T
bt ,
и если оно выполнено, выполняется равенство
32
0
22
*
2234
)(ln)1(2234
bbTee
dttfebbTee
c
bTbT
T
btbTbT
.
Частный случай 3. Рассмотрим 00)( tt — процесс линейного
роста с иммиграцией [2]. Тогда ttt 0
20
2
)(
, условие (8) после упро-
щения принимает вид
3420
)(ln
2
32
0
4
00
52
0
0
0
20 TTT
dttftt
T
,
и если оно выполнено, выполняется равенство
Н.В. Андреев, В.М. Статкевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 108
6020153
)(ln)2(3020153
32
0
4
00
52
0
0
0
2
0
32
0
4
00
52
0
*
TTT
dttfttTTT
c
T
.
Частный случай 4. В некоторых случаях полезно полагать, что интен-
сивность рождения допускает всплеск, ограниченный во времени. Простей-
шая функция такого типа с носителем ];0[ a — сплайн степени 1 и дефекта
1, «шапочка» (рис. 2):
t
a
b
t
2
)( ,
2
0
a
t ;
bt
a
b
t 2
2
)( , at
a
2
;
0)( t , at .
(здесь полагаем 0a , 0b ). Тогда функция
2)( t
a
b
t ,
2
0
a
t ;
2
2)( 2 ab
btt
a
b
t , at
a
2
;
2
)(
ab
t , at
реализует переход гладкости 1C с уровня 0 на уровень
2
ab
. Для выполнения
условия 0)( t полагаем aT
a
2
. Условие (8) после упрощения прини-
мает вид
T
a
a
dttf
ab
btt
a
b
dttft
a
b
2/
2
2/
0
2 )(ln
2
2)(ln
4843
5
5
32
2
34
2
5
2 aTa
aT
T
a
T
a
T
b ,
а при 0 aT правая часть стремится к
240
23 23ba
. При выполнении этого
условия имеем
2542332452
542332452
*
240)56024040024048(
)56024040024048(
aaTaTaTaaTTb
aTaTaTaaTTb
c
Рис. 2. Функция (t)
0 a /2 a
(t)
b
t
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 109
,
)(ln)42(120)(ln240
2/
22
2/
0
2
T
a
a
dttfaattabdttftab
а при 0 aT
aba
dttfbaattbdttftbba
c
a
a
a
24023
)(ln)42(120)(ln24023
24
2/
22
2/
0
224
* .
ДОПОЛНЕНИЕ: ЗАДАЧА ИДЕНТИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ
СТАБИЛИЗИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА
Теперь рассмотрим задачу идентификации параметров. Считая, что )(tf
является функцией экспоненциального роста, т.е. batetf )( , где Ra
и Rb , находим параметры a и b для указанной функции )(tf при за-
данном c , минимизируя отклонение )(ln tf от )(ln 1 t (см. формулу (3)).
Соответствующий критерий
),(
0
2 min))()1((),(
ba
T
dttcbatbaJ .
Приравнивая частные производные к нулю
0))()1((2),(
0
T
a tdttcbatbaJ , 0))()1((2),(
0
T
b dttcbatbaJ ,
составляем систему линейных уравнений для поиска критической точки:
T
dtttcbTa
T
0
2
3
)()1(2
3
2
,
T
dttcTbaT
0
2 )()1(22 .
Определитель данной системы 0
3
4
T
, поэтому согласно формулам
Крамера
TT
dttTdttt
T
c
a
00
3
)(2)(4
)1(3
,
TT
dtttdtt
T
T
c
b
00
2
)(2)(
3
4)1(3
. (9)
Заметим, что матрица вторых производных J согласно критерию
Сильвестра положительно определена, поэтому критическая точка (9) явля-
ется точкой локального минимума, а в силу единственности – и глобально-
го. Вычислим невязку между )(ln tf и )(ln 1 t . Подстановка искомых пара-
метров (9) в критерий ),( baJ после упрощений даёт
Н.В. Андреев, В.М. Статкевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 110
2
0
22 )(
4
)1(),(
T
dtt
T
cbaJ
2
0
3
00
2
)(
12
)()(
12
TTT
dttt
T
dtttdtt
T
. (10)
В случае малой невязки можно использовать функции экспоненциаль-
ного роста.
Частный случай 1. Рассмотрим 0)( t . Тогда после соответствую-
щих вычислений получаем )1(0 ca , 0b и 0),( baJ . Это полностью
согласуется с теми «эмпирическими соображениями», что при выборе
tcetf )1(0)( расхождения между )(ln tf и )(ln 1 t нет. Этим, в частности,
можно объяснить выбор функций экспоненциального роста, поскольку они
подходят для данного частного случая.
Частный случай 2. Рассмотрим 00)( tt — процесс линейного
роста с иммиграцией. Тогда после соответствующих вычислений получаем
0
0 )1(
2
)1(
c
Tc
a ,
12
)1( 2
0Tc
b
, 52
0
2)1(
720
1
),( TcbaJ . Это
показывает, что лишь при малых ),( baJ , т.е. при малых 0 или близких
к единице c следует пользоваться функциями экспоненциального роста.
Частный случай 3. Рассмотрим )(
~
)( 0 tt , где )(
~
t — достаточ-
но малая величина в следующем смысле:
t
dt
0
)(
~
)(
~
. Вследствие
неравенства Коши–Буняковского
Ttdtt
T
~
)(1)
~
),(1()(
~
0
, 3
~
)
~
,()(
~
0
T
Tttdttt
T
(здесь )(1 t – единичная функция на ];0[ T ), поэтому из формулы (10) полу-
чаем
2
0
3
00
2
2
0
22 )(
~12
)(
~
)(
~12
)(
~4~
)1(),(
TTTT
dttt
T
dtttdtt
T
dtt
T
cbaJ ,
22 )349()1(),( cbaJ .
3. ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
МОМЕНТА ВЫРОЖДЕНИЯ ПРИ МАЛОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
ПРЕВЫШЕНИЯ ПОРОГА
Пусть задано натуральное число N и малое число 0 . Рассмотрим зада-
чу управления: минимизировать математическое ожидание момента вы-
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 111
рождения процесса )(t при условии, что для каждого 0t вероятность
превышения порога 1N не превышает , т.е.
c
M min , })({0 NtPt . (11)
Здесь M задаётся равенством (4). Из формул (1), (2) следует
0
2)1)((
)(
dt
t
tt
M , ( 1c );
0
2)()1(
)()1(
2
)1(
)(
)1( dt
ce
tte
ccM
tc
tc
, ( 1c ); (12)
N
N
t
t
t
)1)((
)(
0
1
, ( 1c );
Ntc
Ntc
ce
ec
t
)1(
)1)(1(
0
)()1(
1)()1(
, ( 1c ). (13)
В данной работе найдены условия сходимости интеграла M (12), уп-
рощены условия (13), а задача (11) решена в частном случае 0)( 0 t .
Теорема 2. Пусть )()( tOt при t . Тогда интеграл M
а) сходится на множестве )01(()1(()2(|),{( c
)))}1( c ;
б) расходится на множестве ))}1()01(()12(|),{( cc .
Доказательство. Обозначим L
t
t
t
)(
lim . Рассмотрим следующие
случаи.
1. Пусть 2 , 1c . Интеграл
1
dtt сходится, поэтому по теореме
сравнения интеграл )(t также сходится, т.е. . Предел
2
1
2 )1()1)((
)(
lim
L
t
t
tt
t
существует и ненулевой, интеграл
1
1dtt
сходится, поэтому интеграл M также сходится.
2. Пусть 12 , 1c . В отличие от случая 1 интеграл
1
1dtt
расходится, поэтому интеграл M также расходится.
3. Пусть 0 , 1c . В отличие от случая 1 интеграл )(t расходится.
Предел
21
2
2
12 )(
lim
)1)((
)(
lim
)(
lim
1
)1)((
)(
lim
t
t
t
t
t
t
tt
tt
tttt
Н.В. Андреев, В.М. Статкевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 112
Lt
t
L
t
22
)1(
)(
)1(
lim
согласно правилу Лопиталя существует и ненулевой, интеграл
1
1t
dt
схо-
дится, поэтому интеграл M также сходится.
4. Пусть 01 , 1c . В отличие от случая 3 интеграл
1
1t
dt
рас-
ходится, поэтому интеграл M также расходится.
5. Пусть 1 , 1c . Аналогично случаю 3 интеграл )(t расходится.
Предел
2
2
2
22 )(
ln
lim
)1)((
)(
lim
/1
)(
lim
ln
1
)1)((
)(
lim
t
t
t
t
t
t
tt
tt
tttt
Lt
t
L
t
1
)(
/1
lim
2
согласно правилу Лопиталя существует и ненулевой; интеграл
a t
dt
2ln
( 1a ) сводится заменой uet к расходящемуся интегралу
a
u
du
u
e
ln
2
, сле-
довательно, расходится; поэтому интеграл M расходится.
6. Пусть 2 , 1c . Аналогично случаю 1 интеграл )(t сходится.
Предел
2)1(
)1(
1
2)()1(
)()1(
)1()1(
)(
lim
c
c
tc
tc
t ce
Le
t
ce
tte
существует и ненулевой,
интеграл
1
1dtt сходится, поэтому интеграл M также сходится.
7. Пусть 12 , 1c . В отличие от случая 6 интеграл
1
1dtt
расходится, поэтому интеграл M также сходится.
8. Пусть 1 , 1c . Интеграл )(t расходится. Предел
)()1(2)()1(
)()1( )(
)1(
)(
lim
tctc
tc
t e
t
ce
tte
22
12
)()1(
)()1( 1
)(
)1(
lim
)(
lim
1
lim
)(
lim
ct
t
c
L
t
t
ce
e
t
t
tttc
tc
tt
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 113
согласно правилу Лопиталя существует и ненулевой; интеграл
0
)()1(
)(
dt
e
t
tc
сходится, поскольку )()( 1 tOt при t , поэтому ин-
теграл M также сходится.
9. Пусть 1 , 1c . Аналогично случаю 8 интеграл )(t расходится.
Предел
)()1(
2)()1(
)()1(
)(
)1(
)(
lim tc
tc
tc
t
et
ce
tte
1
)(
)1(
lim
)(
lim
1
1
lim
)(
lim
12
)()1(
t
t
L
t
t
cet
t
tttctt
согласно правилу Лопиталя существует и ненулевой; интеграл
0
)()1(
0
)()1( )(
)( dt
e
t
dtet
tc
tc сходится (см. случай 8), поэтому интеграл
M также сходится. Теорема доказана.
Замечание. Теорема не охватывает случай 1 , 1c .
Теперь рассмотрим условия (13). Их проверка для всех 0t вызывает
сложности, поэтому упростим условия (13). 0)( t , поэтому функция )(t
монотонно возрастает, следовательно имеет обобщённый предел
(конечный или бесконечный).
Теорема 3. Пусть 2N . Тогда условия (13) эквивалентны:
1)
N
N
)1(
1
, если 1c , 1 N ;
2)
N
N
N
N 1)1(
, если 1c , 1 N (в том числе и );
3)
Nc
Nc
ce
ec
)1(
)1)(1(
)1(
1)1(
, если выполнены условия а) 1c ,
c
cN
c
)1(1
ln
1
1
, или б) 1c ,
c
N
1
1
, , или в) 1c ,
c
N
1
1
,
c
cN
c
)1(1
ln
1
1
;
4)
NN
N
Nc
N
1
1)1(
, если
)1(
1
1
)1( c
c
Nc
c
cN
c
)1(1
ln
1
1
;
5) c1 , если 1с ,
c
N
1
1
, .
Доказательство. Случай 1. Пусть .1с Вводим вспомогательную
функцию
N
N
t
t
tg
)1(
)(
1
. Тогда
1
2
)1)((
)(
)())((})({
N
N
t
t
ttgNtP
dt
d
Н.В. Андреев, В.М. Статкевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 114
)())(1( ttN . Если 1 N , то })({ NtP возрастает на );0[ и
условия (13) эквивалентны условию 1 теоремы. Если 1 N (в том числе
и ), то существует единственная точка 0* t такая, что 1)( * Nt ,
и условия (13) эквивалентны условию 2 теоремы.
Случай 2. Пусть .1c Вводим вспомогательную функцию )(tg
N
N
ct
t
c
)1(
)1(
)1(
1
. Тогда, используя равенство )(})({ )()1( tceg
dt
d
NtP
dt
d ,
после упрощений получаем
})({ NtP
dt
d
)()1)1((
)1(
)1(
)1( )()1()()1(
1)()1(
2)()1(
2 tececN
ce
e
c tctc
Ntc
Ntc
.
Для определения знака полученной производной рассмотрим урав-
нение
c
cN
e tc 1)1()()1(
. (14)
Пусть 1c . В предположении 2N правая часть уравнения (14) больше
единицы и уравнение (14) принимает вид
c
cN
c
t
1)1(
ln
1
1
)(
. Если
c
cN
c
)1(1
ln
1
1
, то })({ NtP возрастает на );0[ и условия (13)
эквивалентны условию 3 теоремы. В противном случае существует един-
ственная точка 0* t – решение уравнения (14) и условия (13) эквивалентны
условию 4 теоремы.
Пусть .1c Если
c
N
1
1
, то уравнение (14) не имеет решений
и })({ NtP возрастает на );0[ . Если , то условия (13) эквива-
лентны условию 3 теоремы; в противном случае – условию 5 теоремы. Если
c
N
1
1
, то 1
1)1(
0
c
cN
и уравнение (14) принимает вид
c
cN
c
t
1)1(
ln
1
1
)(
. Если
c
cN
c
)1(1
ln
1
1
, то })({ NtP воз-
растает на );0[ и условия (13) эквивалентны условию 3 теоремы. В про-
тивном случае существует единственная точка 0* t — решение уравнения
(14) и условия (13) эквивалентны условию 4 теоремы.
Теорема доказана.
Замечание. В условиях 2 и 4 теоремы 3
NeN
N
N
N 1)1( 1
при достаточ-
но больших N .
Частный случай. Рассмотрим 0)( 0 t . В этом случае интеграл
M , сходящийся при 1c согласно теореме 2, выражается в явном виде.
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 115
Действительно, в равенстве (4) применим интегрирование по частям и под-
ставим формулы (1):
R
R
R
dttPttPM
0
000 )(|)(lim
R
tcRcR
dt
ce
c
ce
c
R
0
)1()1(
1
1
1
1
1
1
lim
00
.
11
lim)1(
0
)1()1( 00
R
tcRcR ce
dt
ce
R
c (15)
В случае 1c первое слагаемое в правой части формулы (15) стремит-
ся к нулю при t , а в интеграле делаем замену ue tc 0)1( и разлагаем
на простые дроби:
})1exp{(
10
0
1
1
lim
1
Rc
R
du
cu
c
u
M
1
1
1ln
1
)1(
1
lnlim
1
0
)1(
)1(
0
0
0
cec
ce
Rc
Rc
R
.
В случае 1c аналогичной заменой в интеграле и разложением на про-
стые дроби получаем
M
)1ln(1ln)1(
)1(
1
1
lim)1( 0
0
)1(
0
0
)1(
cceRc
cce
R
c Rc
RcR
R
ce
R
c
c
RcR 0)1(
0 1
lim)1(
)1ln(
.
)1ln(
1lnlim
1
0
)1(
0
0
c
ce Rc
R
Поэтому задачу (11) с учётом явного выражения для интеграла M
и теоремы 3 удобно рассматривать в виде двух задач.
Первая из задач, отвечающая случаю 1c и условию 4 теоремы 3,
,min
1
1
1ln
1
0 cc
NN
N
Nc
N
1
1)1(
решения не имеет: инфимум целевой функции равен нулю, при этом
c (т.е. почти мгновенное вымирание всей популяции).
Вторая из задач отвечает случаю 1c и условиям 4 и 5 теоремы 3:
,min
)1(ln
0 c
c
Н.В. Андреев, В.М. Статкевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 116
1
1
N NN
N
c , если
N
c
1
1 ,
1c , если
N
c
1
1 .
Решение этой задачи зависит от соотношения N и . Если 1N , то
1*c . В противном случае
1*
α
1
N NN
N
c .
ВЫВОДЫ
В работе для неоднородного процесса рождения и гибели в случае постоян-
ного отношения c интенсивностей гибели и рождения решено три задачи
управления при помощи выбора параметра c .
Для первой задачи минимизации вероятности выхода процесса )(t при
t из полосы ]1;1[ N доказано, что критерий является суммой возрас-
тающей и убывающей функций, а для конкретных значений порога N и ин-
тегральной интенсивности рождения при помощи метода золотого сече-
ния найдены точки минимума *c в случае их наличия.
Для второй задачи управления выбором параметра c с учётом стабили-
зирующей функции )(tf найдена точка минимума *c и доказано условие её
существования. В качестве примеров рассмотрены наиболее интересные
(с точки зрения авторов) частные случаи. К этой задаче примыкает задача
идентификации параметров a и b для стабилизирующей функции экспо-
ненциального роста bate .
Для третьей задачи минимизации математического ожидания момента
вырождения при малой вероятности превышения порога 1N найде-
ны условия сходимости математического ожидания M , упрощены условия
вероятности превышения порога 1N , а сама задача решена в частном слу-
чае 0)( t .
ЛИТЕРАТУРА
1. Kendall D.G. On the Generalized «Birth-and-Death» Process / D.G. Kendall // Ann.
Math. Statistics. — 1948. — 19, N 1. — P. 1–15.
2. Бартлетт М.С. Введение в теорию случайных процессов / М.С. Бартлетт. —
М.: ИЛ, 1958. — 384 с.
3. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов / Т. Харрис. — М.: Мир,
1966. — 356 с.
4. Horalek V. Nonhomogeneous birth-death processes with constant ratio of rates /
V. Horalek // Aplikace matematiky. — 1966. — 11, N 4. — P. 296–302.
5. Horalek V. On some types of nonhomogeneous birth-immigration-death processes /
V. Horalek // Aplikace matematiky. —1964. — 9, N 6. — P. 421–434.
6. Андреев Н.В. О некоторых задачах управления неоднородными процессами
рождения и гибели / Н.В. Андреев, Э.С. Штатланд // Труды семинара
«Теория оптимальных решений». — Вып. 4. — К., 1968. — С. 42–46.
Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 117
7. Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гихман,
А.В. Скороход. —2-е изд. — М.: Наука, 1977. — 568 с.
8. Kondratiev Yu. Self-organizing birth-and-death stochastic systems in continuum /
Yu. Kondratiev, R. Minlos, E. Zhizhina // Rev. Math. Phys. — 2008. — 20,
N 4. — P. 451–492.
9. Сегхайер А. Об интервальной модели для процесса рождения и гибели с гисте-
резисом / А. Сегхайер, И.И. Цитович // Информационные процессы. —
2012. — Т. 12, № 1. — С. 117–126.
10. Калинкин А.В. Уравнения марковского процесса гибели в математической тео-
рии надежности / А.В. Калинкин // Инженерный журнал: наука и иннова-
ции. — Вып. 12 (24), 2013. — 7 c. URL: http://engjournal.ru/catalog/appmath/
hidden/1150.html
11. Lefevre C. Optimal Control of a Birth and Death Epidemic Process / C. Lefevre //
Operations Research. —1981. — 29, N 5. — P. 971–982.
12. Serfozo R. Optimal Control of Random Walks, Birth and Death Processes, and
Queues / R. Serfozo // Advances in Applied Probability. —1981. — 13, N 1. —
P. 61–83.
13. Kyriakidis E.G. Optimal control of a simple immigration-birth-death process
through total catastrophes / E.G. Kyriakidis // European Journal of Operational
Research. — 1995. — 81, Issue 2. — P. 346–356.
14. Getz W.M. Optimal control of a birth-and-death process population model /
W.M. Getz // Mathematical Biosciences. — 1975. — 23, Issues 1–2. —
P. 87–111.
15. Chatwin R.E. Optimal control of continuous-time terminal-value birth-and-death
processes and airline overbooking / R.E. Chatwin // Naval Research Logistics. —
1996. — 43, Issue 2. — P. 159–168.
16. Андреев Н.В. О задаче управления неоднородным процессом рождения и гибе-
ли / Н.В. Андреев, В.М. Статкевич // Системный анализ и информационные
технологии: материалы 18-й Междунар. научно-техн. конф. SAIT 2016
(Киев, 30 мая – 2 июня 2016 г.) — К.: УНК «ИПСА» НТУУ «КПИ»,
2016. — С. 50.
17. Кидяров Б.И. Механизм и кинетика наноразмерных стадий образования кри-
сталлов из жидкой фазы / Б.И. Кидяров // Конденсированные среды и меж-
фазные границы. — 2009. — 11, № 4. — С. 314–317.
Поступила 25.05.2016
|