Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электроупругого полупространства
Предложена математическая модель контактного взаимодействия при сжатии электроупругого полупространства с жесткой основой, содержащей осесимметричную пологую выемку (под внутренним давлением). Модель учитывает связанность системы уравнений электроупругости. Разработан алгоритм решения проблемы. С по...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2016
|
| Назва видання: | Системні дослідження та інформаційні технології |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140248 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электроупругого полупространства / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 3. — С. 118-125. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140248 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1402482018-06-27T03:03:12Z Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электроупругого полупространства Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Предложена математическая модель контактного взаимодействия при сжатии электроупругого полупространства с жесткой основой, содержащей осесимметричную пологую выемку (под внутренним давлением). Модель учитывает связанность системы уравнений электроупругости. Разработан алгоритм решения проблемы. С помощью представления решения связанной системы уравнений электроупругости и гармонических функций специального вида найдено точное решение, определены геометрические размеры зазора между телами при известных сжимающих нагрузках и внутреннем давлении. Выявлен эффект связанности силовых и электрических полей. Как частный случай из полученных выражений найдены параметры контакта для упругого трансверсально-изотропного полупространства. Запропоновано математичну модель контактної взаємодії при стисканні електропружного півпростору з жорсткою основою, що містить осесиметричну пологу виїмку (під внутрішнім тиском). Модель враховує зв’язність системи рівнянь електропружності. Розроблено алгоритм розв’язання проблеми. За допомогою подання розв’язання зв’язаної системи рівнянь електропружності та гармонічних функцій спеціального виду знайдено точний розв’язок, визначено геометричні розміри зазору між тілами за відомих стискальних навантажень і внутрішнього тиску. Виявлено ефект зв’язності силових і електричних полів. Як окремий випадок з отриманих виразів знайдено параметри контакту для пружного трансверсально-ізотропного півпростору. The mathematical model of the contact interaction under compression of electroelastic halfspace with the rigid base which contains an axially symmetric sloping groove (under inner pressure) was considered. The model takes into account the connectedness of the electroelastic equation system. The algorithm for solving this problem was developed. By means of solving the coupled equations system of electroelasticity and harmonic functions of a special kind, the explicit solution was found, geometrical parameters of clearance between bodies under known compressure and inner pressure were found. The connectedness effect of force and electric fields was revealed. As a particular case from obtained expressions, the contact parameters for elastic transversally isotropic half-space were found. 2016 Article Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электроупругого полупространства / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 3. — С. 118-125. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1681–6048 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.3.10 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140248 539.3 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| spellingShingle |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электроупругого полупространства Системні дослідження та інформаційні технології |
| description |
Предложена математическая модель контактного взаимодействия при сжатии электроупругого полупространства с жесткой основой, содержащей осесимметричную пологую выемку (под внутренним давлением). Модель учитывает связанность системы уравнений электроупругости. Разработан алгоритм решения проблемы. С помощью представления решения связанной системы уравнений электроупругости и гармонических функций специального вида найдено точное решение, определены геометрические размеры зазора между телами при известных сжимающих нагрузках и внутреннем давлении. Выявлен эффект связанности силовых и электрических полей. Как частный случай из полученных выражений найдены параметры контакта для упругого трансверсально-изотропного полупространства. |
| format |
Article |
| author |
Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. |
| author_facet |
Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. |
| author_sort |
Кирилюк, В.С. |
| title |
Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электроупругого полупространства |
| title_short |
Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электроупругого полупространства |
| title_full |
Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электроупругого полупространства |
| title_fullStr |
Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электроупругого полупространства |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электроупругого полупространства |
| title_sort |
математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электроупругого полупространства |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140248 |
| citation_txt |
Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электроупругого полупространства / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 3. — С. 118-125. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT kirilûkvs matematičeskoemodelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâžestkojosnovyspripoverhnostnojosesimmetričnojvyemkojiélektrouprugogopoluprostranstva AT levčukoi matematičeskoemodelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâžestkojosnovyspripoverhnostnojosesimmetričnojvyemkojiélektrouprugogopoluprostranstva |
| first_indexed |
2025-07-10T10:08:09Z |
| last_indexed |
2025-07-10T10:08:09Z |
| _version_ |
1837254156200443904 |
| fulltext |
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, 2016
118 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3
УДК 539.3
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.3.10
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЖЕСТКОЙ ОСНОВЫ
С ПРИПОВЕРХНОСТНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ВЫЕМКОЙ
И ЭЛЕКТРОУПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
В.С. КИРИЛЮК, О.И. ЛЕВЧУК
Аннотация. Предложена математическая модель контактного взаимодействия
при сжатии электроупругого полупространства с жесткой основой, содержа-
щей осесимметричную пологую выемку (под внутренним давлением). Модель
учитывает связанность системы уравнений электроупругости. Разработан ал-
горитм решения проблемы. С помощью представления решения связанной
системы уравнений электроупругости и гармонических функций специального
вида найдено точное решение, определены геометрические размеры зазора
между телами при известных сжимающих нагрузках и внутреннем давлении.
Выявлен эффект связанности силовых и электрических полей. Как частный
случай из полученных выражений найдены параметры контакта для упругого
трансверсально-изотропного полупространства.
Ключевые слова: математическая модель, связанная система уравнений,
электроупругое полупространство, жесткая основа, пологая осесимметричная
выемка, сжатие и внутреннее давление, алгоритм решения задачи, эффект свя-
занности полей.
ВВЕДЕНИЕ
Возрастающее применение пьезоэлектрических материалов вызывает значи-
тельный интерес к исследованию распределений силовых и электрических
полей в электроупругих телах вблизи концентраторов напряжений [1 – 6].
Однако изучение пространственных задач для пьезоэлектрических тел со-
пряжено со значительными математическими трудностями, вызванными
необходимостью решения граничных задач для системы уравнений в част-
ных производных, учитывающей связанность силовых и электрических по-
лей в материале [4]. Отметим, что решению контактных задач для электро-
упругих тел в строгой постановке (с учетом связанности силовых
и электрических полей) посвящены работы [4 – 6] и др.
В работе на основе математической модели, учитывающей связанность
силовых и электрических полей в пьезоэлектрическом материале, изучено
контактное взаимодействие при сжатии системы «жесткая основа
с выемкой — электроупругое полупространство». При постановке задачи
предполагается, что поверхность раздела двух тел, входящих в систему,
расположена в плоскости изотропии пьезоэлектрического материала и на
ней выполняются условия гладкого (без трения) контакта. Также полагается,
что в области выемки находится газообразный наполнитель под давлением
0P . С помощью общего представления решения уравнений статики
Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 119
электроупругости и гармонических потенциалов, зависящих от величины
зазора между телами при контактном взаимодействии, получено точное ре-
шение поставленной математической задачи, найдены геометрические раз-
меры выемки при сжатии тел. Как частные случаи из найденного решения
задачи электроупругости следуют соответствующие параметры контакта
системы «жесткая основа с выемкой — упругое трансверсально-изотропное
полупространство», а также контакта упругого изотропного полупростран-
ства с жесткой основой (с выемкой) [7].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим контактное взаимодействие пьезоэлектрического полупро-
странства (тело 1) с жесткой основой (тело 2) при сжатии, содержащей по-
логую осесимметричную выемку с газообразным наполнителем под давле-
нием 0P (рис.1). Полагаем, что форма выемки описывается следующим
выражением:
)(,,)/1()( 0
2/322
0 bhbrbrhrf . (1)
Считаем, что плоскость контакта расположена в плоскости изотропии
пьезоэлектрического материала, и поверхность полупространства является
неэлектродированной (не содержит электродного покрытия). Полагаем так-
же, что к телам приложены сжимающие усилия p и между телами возника-
ет гладкий (без трения) контакт. Поскольку в жестком теле содержится
выемка (под давлением 0P ), то контакт осуществляется не по всей поверх-
ности 0z , а по некоторой ее части ar , где a — неизвестный радиус
области контакта (рис. 1), который зависит от значения сжимающих усилий
p , давления 0P , геометрии первоначальной выемки и электроупругих
свойств пьезоэлектрического полупространства. Дополнив функцию )(rf ,
выраженной в виде (1), нулевым значением в области br , получим
.,0
;,)/1(
)(
2/322
0
br
brbrh
rf (2)
Рис. 1. Контактное взаимодействие жесткой основы с полупространством
1
2
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 120
Воспользовавшись суперпозицией состояний, первое из которых —
сжатие вдоль оси z0 , т.е. pzz , 0zD , для второго электроупругого
состояния выражения (2) получим следующие граничные условия в плоско-
сти 0z :
pPzz 0 , ar 0 ; rarfuz ),()1( ;
0σ zr , r0 ; 0zD , r0 . (3)
Заметим, что граничное условие (3) по электрическому состоянию со-
ответствует случаю неэлектродированной (без электродного покрытия) по-
верхности полупространства. При удалении от области контакта выполня-
ются условия на бесконечности
0σ,0,σ zrzzz Dp при z . (4)
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Уравнения статики для электроупругого трансверсально-изотропного тела
относительно компонентов вектора перемещений и электрического потен-
циала имеют вид [4]:
xzz
EE
xyy
EE
zzx
E
yyx
EE
xxx
E uccuccucuccuc ,4413,1211,44,1211,11 )()(
2
1
)(
2
1
0)( ,1531 xzee ;
yzz
EE
xyx
EE
zzy
E
xxy
EE
yyy
E uccuccucuccuc ,4413,1211,44,1211,11 )()(
2
1
)(
2
1
0)( ,1531 yzee ;
zzz
E
yyzxxz
E
yzyxzx
EE ucuucuucc ,33,,44,,4413 )())((
.0)( ,33,,15 zzyyxx ee (5)
где EEEEE ccccc 4433131211 ,,,, — независимые модули упругости; 331531 ,, eee —
пьезомодули; SS
3311, — диэлектрические проницаемости. Следовательно,
свойства пьезоэлектрического трансверсально-изотропного материала опи-
сываются указанными десятью независимыми постоянными.
Решение системы уравнений (5) согласно работе [4] можно выразить
через четыре потенциальные функции j ( 4,1j ):
y
j
xjxu ,4
3
1
,
; x
j
yjyu ,4
3
1
,
;
3
1
,
j
zjjz ku ;
3
1
,
j
zjjl , (6)
Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 121
где jj lk , — некоторые постоянные, а функции j удовлетворяют уравне-
ниям
0,,, zzjjyyjxxj ( 3,2,1j ), (7)
где )/(2 1211444
EEE ccc , значения i ( 3,2,1i ) являются корнями следую-
щего алгебраического уравнения третьего порядка [4]:
)()( 22312231
2
2121
3 DCDCBABADCBA
0)( 333323322332 DCBADCDCBABA . (8)
Значения jj lk , )3,2,1( j в формулах (6) связаны с величинами j
следующими соотношениями:
j
j
j
S
j
E
j
E
jj
E
E
jj
E
j
de
lkc
ac
lekc
c
lekca
31
3333
13
3333
11
3113
( 3,2,1j ); (9)
j
S
jjjj
E
j lkedlekca 11151544 )1(;)1( ( 4,3,2,1j ). (10)
При введении обозначений )4,1(2/1 jznz jj функции ),,,( 11 zyx
),,,( 22 zyx ),,( 33 zyx , ),,( 44 zyx согласно уравнению (7) становятся
гармоническими функциями в соответствующих системах координат. Вы-
ражения (8)–(10) в дальнейшем используются при проведении вычислений.
МЕТОД РЕШЕНИЯ
При построении решения граничной задачи электроупругости воспользуем-
ся представлением (6). Потенциальные функции выберем на основе таких
гармонических потенциалов:
),,( ii zyx
1 0
22
2
2
1
22
2
2
1
*
)()(
)(
)()(
)(
2
S S ii
i
zyx
Sdr
zyx
Sdh
, (11)
где
2/322
2
22
1121 )//1(),( aahh ,
2/322
2
22
1021 )//1(),( bbhr ,
1S и 0S — круговые площадки радиусов a и b соответственно (рис. 1). По-
ложим также 0)2(
4 . Постоянные *
i , что входят в формулы (11), опреде-
лим из системы трех линейных уравнений:
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 122
;1)1)((
3
1
1544
*
j
jj
E
j lekc ;0/))1(( 1544
3
1
*
jjj
E
j
j lekc
.0))1(( 1115
3
1
*
j
S
j
j
j lke (12)
При таком выборе *
j удовлетворяются граничные условия по каса-
тельным напряжениям и электрическому состоянию вдоль всей поверхности
раздела, а также удовлетворяются условия (4). Неизвестными остаются сле-
дующие параметры: a — значения радиуса площадки контакта (рис. 1);
1h — максимальная высота зазора в результате контакта тел. Значения этих
параметров определим из решения контактной задачи.
Идея использования гармонических потенциалов (11), связанных с ве-
личиной контактного зазора между электроупругим полупространством
и жесткой основой, близка приему применения скачков перемещений для
трещины нормального отрыва для изучения напряженного состояния. Одна-
ко существенное отличие между ними состоит в том, что поверхность тре-
щины известна заранее, а площадка контакта 1S и ее радиус a неизвестны
и определяются в процессе решения контактной задачи.
С помощью потенциальных функций (11) и соотношений (12), удовле-
творяя оставшиеся граничные условия, приходим к решению интегро-
дифференциального уравнения
1
22
2
2
1
2
2
2
2
)()(
)(
S izyx
Sdh
yx
0
22
2
2
1
2
2
2
2
)()(
)(
S izyx
Sdr
yx
),(2 0
* PpM 1),( Syx . (13)
Значение jj
j
jkM
/
3
1
** .
После дифференцирования согласно (13) воспользуемся такими инте-
гралами [9]:
a
Sd
yx
aa
S
2
2/32
2
2
1
22
2
22
1
])()[(
//1
;
)3334(
16])()[(
//1 222
2
2/32
2
2
1
22
2
22
1
2
1 yxa
a
Sd
yx
aa
S
;
)3334(
16])()[(
//1 222
2
2/32
2
2
1
22
2
22
1
2
2 yxa
a
Sd
yx
aa
S
.
Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 123
Алгоритм решения задачи. Приравняем коэффициенты при вторых
степенях декартовых координат, находим 3
01 )/(/ bahh . Из равенства ко-
эффициентов при однородных слагаемых приходим к квадратному уравне-
нию относительно значения неизвестного радиуса a , из которого получаем
значения неизвестных параметров контакта
0
*
0
3
)(4
1
h
bMPp
ba
;
2/3
0
*
0
01 3
)(4
1
h
bMPp
hh . (14)
Таким образом, из выражений (14) по известным размерам первона-
чальной выемки (параметры b и 0h ), значению сжимающих усилий p
и давлению 0P , десяти независимым значениям электроупругих постоянных
пьезоэлектрического материала (входят посредством величины *M ) нахо-
дим значение радиуса контакта a и максимальную высоту зазора (после
контактного взаимодействия) 1h . Приравняв значение a к нулю, находим
значение силы сжатия
*
0
0
*
4
3
bM
h
Pp
, при которой выемка в жестком теле
полностью заполняется пьезоэлектрическим материалом. Следовательно,
при сжатии *pp исходная приповерхностная выемка в жесткой основе
полностью наполнена материалом.
При переходе к чисто упругому трансверсально-изотропному материа-
лу имеем
))((
))((
1321113111
4413
2/1
2
2/1
1
44
11Trans*
cnccnc
ccnn
c
c
MM
,
где 21, nn — корни квадратного уравнения 1133
2
44
2
4411 [ cccncc
0])( 4433
2
4413 ccncc , которые зависят от упругих свойств трансвер-
сально-изотропного материала. Заменив в выражениях (14) значение *M
величиной TransM , получим параметры контакта системы «упругое транс-
версально-изотропное полупространство — жесткая основа с выемкой». По-
следующий предельный переход от трансверсально-изотропного материала
к упругому изотропному материалу приводит к переходу от значения
TransM к /)1( . При взаимодействии упругого изотропного полупро-
странства с жесткой основой, содержащей осесимметричную выемку (част-
ный случай рассмотренной контактной задачи электроупругости), заменив
в формулах (14) величину *M значением /)1( , приходим к полному
совпадению результатов с данными работы [7], найденными с помощью
применения другого математического аппарата (на основе решения парных
интегральных уравнений).
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
На рис. 2 приведена зависимость радиуса зазора между жесткой основой
(с приповерхностной выемкой) и пьезоэлектрическим полупространством от
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 3 124
действующих нагрузок согласно формулам (14). На рисунке использовано
обозначение )3/(4 0
** hbMN . Показано изменение радиуса зазора от зна-
чения сжимающей нагрузки при известных значениях внутреннего давления
0P , геометрических параметров выемки ( 0`, hb ), десяти электроупругих по-
стоянных пьезоэлектрического материала (через величину *M ). Припо-
верхностная выемка полностью заполняется электроупругим материалом
при p *
*0
1
p
N
P . Для значений нагрузок *
0 ppP радиус зазора
между телами показан на рис. 2. Важно отметить влияние эффекта связан-
ности силовых и электрических полей на параметры контакта в рассматри-
ваемой проблеме взаимодействия тел. После проведенных вычислений
для пьезокерамических материалов BaTiO3, PZT-5H, PZT-7A имеем
737,0,784,0,854,0/ Trans* MM соответственно. Согласно выражению *p
это означает, что для полного заполнения выемки чисто упругим трансвер-
сально-изотропным материалом (с теми же упругими постоянными, что
и соответствующий пьезокерамический материал) величина усилий 0Pp
меньше, чем для пьезоэлектрическиого материала BaTiO3, PZT-5H, PZT-7A
в 1,171, 1,276, 1,357 раза соответственно. Следовательно, в рассматриваемой
проблеме связанность силовых и электрических полей препятствует закры-
тию выемки при сжатии электроупругого полупространства с жесткой осно-
вой.
ВЫВОДЫ
В работе на основе математической модели, учитывающей связанность си-
ловых и электрических полей в пьезоэлектрическом материале рассмотрена
проблема контактного взаимодействия в системе «жесткая основа с выем-
кой — электроупругое полупространство». Исследуемое контактное взаи-
модействие зависит от 14 независимых параметров (значения сжимающей
нагрузки p и давления 0P , двух геометрических параметров исходной вы-
емки и десяти значений электроупругих постоянных), что входят в систему
связанных уравнений статики электроупугости и граничные условия. Пред-
(p – P0)N
*
Рис. 2. Зависимость радиуса зазора от действующих нагрузок, геометрии парамет-
ров и свойств материала
Математическое моделирование контактного взаимодействия жесткой основы …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 3 125
ложен алгоритм решения задачи, позволивший получить точное ее решение.
В явном виде определены основные параметры контактного взаимодейст-
вия, найдены геометрические размеры зазора между телами системы (ради-
ус контакта, высота зазора), значение нагрузки полного закрытия зазора.
Выявлен эффект связанности силовых и электрических полей. Решение за-
дачи контактного взаимодействия упругого трансверсально-изотропного
полупространства с жесткой основой получено как частный случай иссле-
дуемой проблемы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Chang Ch.-R. Eshelby’s tensor for cubic piezoelectric crystals and its application
to cavity problems / Ch.-R. Chang // Eng. Frac. Mech. — 2016. — 155. —
P. 119–129.
2. Kaloerov S.A. Determination of intensity factors for stresses, induction and field
strength in multi-connected electro-elastic anisotropic media / S.A. Kaloerov //
Int. Appl. Mech. — 2007. — 43, № 6. — P. 77–84.
3. Xu C.H. Electroelastic singularities and intensity factors for an interface crack
in piezoelectric–elastic bimaterials / C.H. Xu, Z.H. Zhou, X.S. Xu, A.Y.T. Leung
// Appl. Math. Model. — 2015. — 39. — № 9. — P. 2721–2739.
4. Podil'chuk Yu.N. Exact analytical solutions of static electroelastic and thermoelec-
troelastic problems for a transversely isotropic body in curvilinear coordinate
systems / Yu.N. Podil'chuk // Int. Appl. Mech. — 2003. — 39, № 2. —
P. 132–170.
5. Кирилюк В.С. О влиянии температурного поля на контактное взаимодействие
нагретого плоского эллиптического штампа с пьезокерамическим
полупространством / В.С. Кирилюк // Теоретическая и прикладная
механика. — 2009. — Вып.46. — С. 29–35.
6. Кирилюк В.С. О расклинивании пьезокерамических материалов / В.С. Кири-
люк, О.И. Левчук // Прикладная механика. — 2010. — 46, № 5. —
С. 46–57.
7. Монастирський Б.Є. Осесиметрична контактна задача для півпросторів
з геометричним збуренням поверхні / Б.Є. Монастирський // Фізико-хімічна
механіка матеріалів. — 1999. — № 6. — С. 22–26.
8. Кіт Г.С. Просторові контактні задачі для пружного півпростору і жорсткої ос-
нови з поверхневими виїмками / Г.С. Кіт, Р.М. Мартиняк // Математичні
методи та фізико-механічні поля. — 1999. — 42, № 6. — С. 7–11.
9. Хай М.В. Двумерные интегральные уравнения ньютоновского потенциала и их
приложения / М.В. Хай. — К.: Наук. думка, 1993. — 256 с.
Надійшла 29.02.2016
|