Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка
В работе излагается метод исследования несамосопряженных интегральных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка. С помощью этого метода, в частности, получены оценки для собственных функций и собственных значений краевой задачи для дробного осцилляционного уравнения....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140869 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка / Т.С. Алероев, Х.Т. Алероева // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 3. — С. 293-310. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140869 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1408692018-07-18T01:23:37Z Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка Алероев, Т.С. Алероева, Х.Т. В работе излагается метод исследования несамосопряженных интегральных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка. С помощью этого метода, в частности, получены оценки для собственных функций и собственных значений краевой задачи для дробного осцилляционного уравнения. 2015 Article Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка / Т.С. Алероев, Х.Т. Алероева // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 3. — С. 293-310. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC: 34L10. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140869 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе излагается метод исследования несамосопряженных интегральных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка. С помощью этого метода, в частности, получены оценки для собственных функций и собственных значений краевой задачи для дробного осцилляционного уравнения. |
| format |
Article |
| author |
Алероев, Т.С. Алероева, Х.Т. |
| spellingShingle |
Алероев, Т.С. Алероева, Х.Т. Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка Український математичний вісник |
| author_facet |
Алероев, Т.С. Алероева, Х.Т. |
| author_sort |
Алероев, Т.С. |
| title |
Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка |
| title_short |
Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка |
| title_full |
Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка |
| title_fullStr |
Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка |
| title_full_unstemmed |
Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка |
| title_sort |
об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140869 |
| citation_txt |
Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка / Т.С. Алероев, Х.Т. Алероева // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 3. — С. 293-310. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT aleroevts obodnomklassenesamosoprâžennyhoperatorovsoputstvuûŝihdifferencialʹnymuravneniâmdrobnogoporâdka AT aleroevaht obodnomklassenesamosoprâžennyhoperatorovsoputstvuûŝihdifferencialʹnymuravneniâmdrobnogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-10T11:26:22Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:26:22Z |
| _version_ |
1837259067583627264 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 12 (2015), № 3, 293 – 310
Об одном классе несамосопряженных
операторов, сопутствующих
дифференциальным уравнениям
дробного порядка
Темирхан С. Алероев, Хеди Т. Алероева
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. В работе излагается метод исследования несамосопря-
женных интегральных операторов, сопутствующих дифференциаль-
ным уравнениям дробного порядка. С помощью этого метода, в ча-
стности, получены оценки для собственных функций и собственных
значений краевой задачи для дробного осцилляционного уравнения.
2010 MSC. 34L10.
Ключевые слова и фразы. Функция Миттаг–Леффлера, спектр,
собственное число, дробная производная.
1. Основные понятия
Пусть f(x) ∈ L1(0, 1). Тогда, функция
d−α
dx−α
f(x) ≡ 1
Γ(α)
x∫
0
(x− t)α−1f(t) dt ∈ L1(0, 1)
называется дробным интегралом порядка α > 0 с началом в точке
x = 0, и функция
d−α
d(1− x)−α
f(x) ≡ 1
Γ(α)
1∫
x
(t− x)α−1f(t) dt ∈ L1(0, 1)
называется дробным интегралом порядка α > 0 с концом в точке
x = 1 [1]. Здесь, Γ(α) является гамма-функцией Эйлера. Как известно
Статья поступила в редакцию 03.06.2015
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
294 Об одном классе несамосопряженных операторов...
(см. [1]), функция g(x) ∈ L1(0, 1) называется дробной производной
функции f(x) ∈ L1(0, 1) порядка α > 0 с началом в точке x = 0, если
f(x) =
d−α
dx−α
g(x).
Обозначив тогда
g(x) =
dα
dxα
f(x),
в дальнейшем под символом
dα
dxα
,
будем подразумевать дробный оператор дробного интегрирования при
α < 0 и дробного дифференцирования при α > 0. Дробная произво-
дная
dα
d(1− x)α
порядка α > 0 функции f(x) ∈ L1(0, 1) с концом в точке x = 1,
определяется так же.
Пусть {γk}n0 — некоторое множество действительных чисел, удов-
летворяющих условию 0 < γj ≤ 1, (0 ≤ j ≤ n). Обозначим
σk =
k∑
j=0
γj − 1; µk = σk + 1 =
k∑
j=0
γj (0 ≤ k ≤ n),
и предположим, что
1
ρ
=
n∑
j=0
γj − 1 = σn = µn − 1 > 0.
Следуя M.M. Джрбашяну [2], рассмотрим интегро-дифференциаль-
ные операторы
D(σ0)f(x) ≡ d−(1−γ0)
dx−(1−γ0)
f(x),
D(σ1)f(x) ≡ d−(1−γ1)
dx−(1−γ1)
dγ0
dxγ0
f(x),
D(σ2)f(x) ≡ d−(1−γ2)
dx−(1−γ2)
dγ1
dxγ1
dγ0
dxγ0
f(x),
· · · · · · · · · · · ·
D(σn)f(x) ≡ d−(1−γn)
dx−(1−γn)
dγn−1
dxγn−1
· · · d
γ0
dxγ0
f(x).
Т. С. Алероев, Х. Т. Алероева 295
Работа посвящена исследованию некоторых краевых задач для
дробных дифференциальных уравнений
D(σn)u− λu = 0, 0 < σn <∞,
и им сопутствующих интегральных операторов [1]
A[α,β]
γ u(x) = cα
x∫
0
(x− t)
1
α
−1u(t) dt+ cβ,γ
1∫
0
x
1
β
−1
(1− t)
1
γ
−1
u(t) dt,
где cα и cβ,γ — произвольные постоянные. Отметим, что операто-
ры A
[α,β]
γ относятся к тем классам несамосопряженных операторов,
спектральная структура которых мало исследована. В связи с этим
следует отметить очень важные работы М.М. Маламуда и Л.Л. Ори-
дороги [3], посвященные исследованию подобных операторов.
В [5,6] методами теории возмущений исследован оператор
Bu =
1
Γ(2− α)
x∫
0
(x− t)1−αu(t)dt− x
1∫
0
(1− t)1−αu(t)dt
, (1.1)
сопутствующий задаче
u′′ + λ
dα
dxα
u = 0, 0 < α < 1, (1.2)
u(0) = 0, u(1) = 0. (1.3)
(отметим, что функция Грина задачи (1.2)–(1.3) впервые была по-
строена одним из авторов в его студенческой работе [4]). Хотя заме-
тка [6] и не осталась незамеченной (см., например, [7]) следует под-
черкнуть, что там не было результатов, позволяющих включить ис-
следование операторов вида A[α,β]
γ в общую схему теории возмущений.
Данная работа восполняет этот пробел. Здесь проводится спектраль-
ный анализ операторов B, заданного формулой (1.1), и
Aρ(u) =
1
Γ(ρ−1)
x∫
0
(x− t)
1
ρ
−1
u(t)dt−
1∫
0
x
1
ρ
−1
(1− t)
1
ρ
−1
u(t) dt
,
где 0 < ρ < 2. Так как задача (1.2)–(1.3) находится в центре вни-
мания многих авторов [8], то особое внимание уделено исследованию
оператора B.
296 Об одном классе несамосопряженных операторов...
2. Спектральный анализ интегрального оператора, со-
путствующего краевой задаче для модельного дро-
бного дифференциального уравнения
В пространстве L2(0, 1) изучим оператор
Aρ(u) =
1∫
0
G(x, t)u(t) dt
=
1
Γ(ρ−1)
x∫
0
(x− t)
1
ρ
−1
u(t)dt−
1∫
0
x
1
ρ
−1
(1− t)
1
ρ
−1
u(t) dt
,
который впервые был рассмотрен в [9, 10], где 0 < ρ < 2, а
G(x, t) =
(1− t)
1
ρ
−1
x
1
ρ
−1 − (x− t)
1
ρ
−1
Γ(ρ−1)
, 0 ≤ t ≤ x ≤ 1
(1− t)
1
ρ
−1
x
1
ρ
−1
Γ(ρ−1)
, 0 ≤ x ≤ t ≤ 1
— функция Грина следующей задачи S (при λ = 0):
1
Γ(n− ρ−1)
dn
dxn
x∫
0
(x− s)n−ρ−1−1u(s)ds+ λu = 0,
(n−1 ≤ ρ−1 < n, n = [ρ−1]+1, где [ρ−1] — целая часть числа ρ−1)
u(0) = 0, u′(0) = 0, . . . , u(n−2)(0) = 0, u(1) = 0.
При этом [11] если γ0 = γ1 = . . . = γn = 1, то задача S примет вид
u(n) + λu = 0,
u(0) = 0, u′(0) = 0, . . . , u(n−2)(0) = 0, u(1) = 0.
а ее функция Грина G(x, t) (при λ = 0) равна
G(x, t) =
(1− t)n−1xn−1 − (x− t)n−1
(n− 1)!
, 0 ≤ t ≤ x ≤ 1,
(1− t)n−1xn−1
(n− 1)!
, 0 ≤ x ≤ t ≤ 1 .
Последняя функция достаточно хорошо изучена, и этим мы будем
пользоваться в дальнейшем. Оператор Aρ изучен в работах [1, 9–13].
Т. С. Алероев, Х. Т. Алероева 297
Мы так тщательно не стали бы исследовать этот оператор, если бы
не обнаружилось, что уравнение Майнарди [14] (дробное осцилляци-
онное уравнение) не обладает многими основными осцилляционными
свойствами. Поиск уравнения дробного порядка, обладающего этими
свойствами, и привел нас к исследованию оператора Aρ. Выпишем
наиболее важные свойства этого оператора, установленные нами ра-
нее:
1. при ρ > 1 оператор Aρ вполне несамосопряженный [10,15];
2. при ρ ≤ 1 оператор Aρ секториальный [15,16];
3. при 0 < ρ < 2 система собственных функций оператора Aρ
полна в L2 [9–11].
Теперь приведем один из основных результатов данной работы
(в [5] подобный результат приводится без полного доказательства).
Теорема 2.1. Если |ε| < 1, то оператор
A(ε)u = −
x∫
0
(x− t)1+εu(t)dt+
1∫
0
x1+ε(1− t)1+εu(t)dt
образует голоморфное семейство типа (A).
Доказательство. Прежде всего, сформулируем известный критерий
голоморфности типа (A) [19, с. 473]:
Теорема (критерий голоморфности (A)). Пусть, T -замыкае-
мый оператор из X в Y , и T (n), n = 1, 2, . . . , — операторы из X в Y,
области определения которых содержат D(T ) = D. Предположим,
что существуют постоянные a, b, c ≥ 0, такие что
T (n)u ≤ cn−1(a||u||+ b||Tu||), u ∈ D, n = 1, 2, . . . . (2.1)
Тогда ряд
T (κ)u = Tu+ κT (1)u+ κ2T (2)u+ . . . , u ∈ D
для |κ| < 1/c определяет оператор T (κ) с областью определения D.
Если |κ| < (b + c)−1, то оператор T (κ) замыкаем и замыкания T̃ (κ)
образуют голоморфное семейство типа (A).
298 Об одном классе несамосопряженных операторов...
Теперь приступим к доказательству теоремы 2.1. Введем обозна-
чения
M(ε)u(x) =
x∫
0
(x− t)1+εu(t)dt,
N(ε)u(x) =
1∫
0
x1+ε(1− t)1+εu(t)dt.
Очевидно, что
A(ε)u = N(ε)u(x)−M(ε)u(x).
Как и в работах [11,18] для оператора A(ε) получим представление
A(ε)u = A(0)u+ εA1u+ ε2A2u+ . . .+ εnAnu+ . . . . (2.2)
Для получения представления (2.2) поступим следующим образом:
изучим разность операторов A(ε) − A(0) , что равносильно исследо-
ванию операторов M(ε)−M(0) и N(ε)−N(0). Введем обозначения:
ядро оператора M(ε) обозначим символом K(ε;x, t), а ядро операто-
ра M(0) обозначим символом K(0;x, t). Очевидно, что
K(ε;x, t) =
{
(x− t)1+ε, t < x,
0, t ≥ x,
K(0;x, t) =
{
(x− t), t < x,
0, t ≥ x.
Аналогично, ядра операторов N(ε) и N(0) обозначим K̃(ε;x, t) и
K̃(0;x, t) соответственно, где
K̃(ε;x, t) = x1+ε(1− t)1+ε,
K̃(0;x, t) = x(1− t).
Очевидно, что
(A(ε)−A(0))u = (M(0)−M(ε))u− (N(0)−N(ε))u
и
(M(0)−M(ε))u =
1∫
0
[K(0;x, t)−K(ε;x, t)]u(t)dt.
Т.к.
ax = ex ln a = 1 +
x ln a
1!
+
(x ln a)2
2!
+ . . . (2.3)
Т. С. Алероев, Х. Т. Алероева 299
|x| <∞, a > 0,
то
K(0;x, t)−K(ε;x, t) =
=
{
−(x− t)
[
ε ln (x−t)
1! + ε2 ln
2 (x−t)
2! + . . .+ εn lnn (x−t)
n! + . . .
]
, t < x,
0, t ≥ x.
Отсюда следует, что
(M(0) − M(ε))u = −ε
1∫
0
K1(x, t)u(t)dt
− ε2
1∫
0
K2(x, t)u(t)dt− . . .− εn
1∫
0
Kn(x, t)u(t)dt− . . .
Из последнего равенства следует
M(ε)u =
1∫
0
K0(x, t)u(t)dt+ ε
1∫
0
K1(x, t)u(t)dt
+ ε2
1∫
0
K2(x, t)u(t)dt+ . . .+ εn
1∫
0
Kn(x, t)u(t)dt+ . . . , (2.4)
где
Kn(x, t) =
{
(x−t) lnn(x−t)
n! , t < x,
0, t ≥ x,
n = 0; 1; 2; 3; . . . .
Точно также, можно получить представление вида (2.4) и для опера-
тора N(ε) с помощью равенства
K̃(0;x, t)− K̃(ε;x, t)
= −x(1− t)
[
ε
ln (x− xt)
1!
+ ε2
ln2 (x− xt)
2!
+ . . .+ εn
lnn (x− xt)
n!
+ . . .
]
.
Получаем представление
N(ε)u =
1∫
0
K̃0(x, t)u(t)dt+ ε
1∫
0
K̃1(x, t)u(t)dt
+ ε2
1∫
0
K̃2(x, t)u(t)dt+ . . .+ εn
1∫
0
K̃n(x, t)u(t)dt+ . . . , (2.5)
300 Об одном классе несамосопряженных операторов...
где
K̃n(x, t) =
x(1− t) lnn(1− t)x
n!
, n = 0; 1; 2; 3; . . . .
Таким образом, формально имеем представление
A(ε)u = A(0)u+ εA1u+ ε2A2u+ . . .+ εnAnu+ . . . ,
здесь
A(0) = N(0)−M(0), A1 = N1 −M1, . . . , An = Nn −Mn, . . . ,
где Mnu =
1∫
0
Kn(x, t)u(t)dt, а Nnu =
1∫
0
K̃n(x, t)u(t)dt. Далее, вычи-
слим нормы операторов M(ε) и N(ε) (операторы рассматриваются в
L2). Имеем, [19, с. 331]
∥Mn∥2L2
≤
1∫
0
1∫
0
[θ(x, t)Kn(x, t)]
2dt dx, n = 0, 1, 2, 3, . . . .
(безусловно, здесь можно было воспользоваться формулой
∥Mn∥L2 ≤ |θ(x, t)Kn(x, t)|,
где |θ(x, t)Kn(x, t)| обозначает норму функции как элемента простра-
нства L2, а ∥Mn∥ — норму оператора в пространстве L2). Здесь
θ(x, t) =
{
1, t < x,
0, t ≥ x.
Итак нужно сначала вычислить интеграл
1∫
0
[θ(x, t)Kn(x, t)]
2dt,
т.е.
x∫
0
[(x− t)2 ln2n(x− t)dt.
Имеем
x∫
0
[(x− t)2 ln2n(x− t)dt = −
0∫
x
z2 ln2n zdz =
x∫
0
z2 ln2n z dz
≤
1∫
0
z2 ln2n zdz =
∞∫
0
e−3tt2ndt =
(2n)!
32n+1
.
Т. С. Алероев, Х. Т. Алероева 301
И теперь
∥Mn∥2L2
≤
1∫
0
1∫
0
[θ(x, t)Kn(x, t)]
2dtdx ≤
(
1
n!
)2 (2n)!
32n+1
.
Используя асимптотическую формулу Стирлинга
n! =
√
2nπ
(n
e
)n
e
θ
12n , 0 < θ < 1
получим
∥Mn∥2L2
≤
(
1√
(2nπ)(ne )
n
)2 (√
4nπ(2ne )2n
)
32n+1e
=
22n
e
√
nπ32n+1
≤
(
2n
3n
)2
.
Отсюда
∥Mn∥L2 ≤ (
2
3
)n.
Теперь получим подобную оценку для нормы оператора Nn
∥Nn∥2L2
≤
1∫
0
1∫
0
[K̃n(x, t)]
2dtdx =
1∫
0
1∫
0
[
x(1− t)2 lnn x(1− t)
n!
]2
dt dx.
Сначала рассмотрим интеграл
1∫
0
(x− xt)2 ln2n(x− xt)dt.
Имеем
1∫
0
[(x− xt)2 ln2n(x− xt)dt = x
1∫
0
(1− t)(x− xt) ln2n(x− xt)dt
≤ x
1∫
0
(x− xt) ln2n(x− xt)dt =
z∫
0
z ln2n zdz
≤ z2 ln2n z
2
∣∣1
0 − 2n
2
1∫
0
z ln2n−1 zdz = −2n
2
1∫
0
zln2n−1 zdz
−2n
2
[
z2 ln2n−1 z
2
∣∣∣∣1
0
− 2n− 1
2
∫ 1
0
z(ln2n−2 z)dz
]
302 Об одном классе несамосопряженных операторов...
=
2n(2n− 1)
22
∫ 1
0
z(ln2n−2 z)dz
= −2n(2n− 1)(2n− 2) · . . . · 2
22n−1
∫ 1
0
z ln zdz
= − (2n)!
22n−1
1∫
0
z ln zdz = − (2n)!
22n−1
[
z2(
ln z
2
− 1
22
)
]∣∣∣∣1
0
=
(2n)!
22n+1
И теперь
∥Nn∥2L2
=
1∫
0
1∫
0
[θ(x, t)Kn(x, t)]
2dtdx ≤
(
1
n!
)2 (2n)!
22n+1
Как и выше, используя оценку для n!, получим
∥Nn∥2L2
≤ 1.
Таким образом для An имеем оценку
∥Anu∥L2(0,1) ≤ 2∥u∥.
Теперь из критерия голомофности следует, что представление (2.2)
для |ε| < 1 образует голоморфное семейство типа (A).
Теорема 2.1 доказана.
Приведем теперь следствие из теоремы 2.1, в котором будет да-
на оценка отклонения первого собственного значения и первой соб-
ственной функции оператора A(ε) от первого собственного значения
и первой собственной функции соответствующей задачи Штурма–
Лиувилля.
Следствие 2.1. Пусть λ1(ε) — первое собственное число оператора
A(ε), а φ1(ε) — соответствующая собственная функция. Тогда, при
|ε| < 3
64π2
,
справедливы соотношения∣∣∣∣λ1(ε)− 1
π2
∣∣∣∣ ≤ 64|ε|,
|φ1(ε)− sinxπ| ≤ 32π2
3
|ε| .
Т. С. Алероев, Х. Т. Алероева 303
Доказательство. Так как A(ε) образует голоморфное семейство ти-
па (A), то в некоторой окрестности точки ε = 0 определены функции
λ1(ε) = λ1(0) + ελ
(1)
1 + ε2λ
(2)
1 + . . .+ εnλ
(n)
1 + . . . , (2.6)
φ1(ε) = φ1(0) + εφ
(1)
1 + ε2φ
(2)
1 + . . .+ εnφ
(n)
1 + . . . . (2.7)
Имеются различные формулы для вычисления нижней границы
радиусов сходимости этих рядов и оценки собственных функций и
собственных значений [19,20], но мы решили воспользоваться форму-
лами, приведенными у Б.В. Логинова [20], в знак глубокой благодар-
ности за очень сильную поддержку, оказанную одному из авторов при
защите кандидатской диссертации [21] (следует отметить, что работа
Б.В. Логинова [20] появилась намного раньше книги Т. Като [19]).
Теорема Логинова. Пусть G0 - некоторая связная область в
комплексной плоскости ε, содержащая точку ε = 0, и пусть в ней
1. определена и регулярна функция
A(ε) = A0 + εA+ ε2A2 + . . .+ εnAn + . . . ,
2. величина
s = s(ε) = ||R|| · ||B|| < 1
2
,
3. выполнены неравенства
||Anu|| ≤ pn−1{a||u||+ b||A0u||}, (n = 1, 2, . . .)
с неотрицательными постоянными a, b, p.
Тогда для ε ≤ 1
c имеют место оценки
|λ1(ε)− (λ1(0) + ελ1 + ε2λ2 + . . .+ εnλn)| ≤
d
2
(∥c∥ε)n+1,
|φ1(ε)− (φ1(0) + εφ1 + ε2φ2 + . . .+ εnφn)| ≤
1
2
(∥c∥ε)n+1,
здесь |ε| ≤ (1/c), c = max{8a+mb
d ; 8p+4a+mb
d }, m = ∥A0∥, B = B(ε) =
A(ε) − A0,
1
d = ∥R∥ (R — приведенная резольвента оператора A0
относительно собственного числа λ1(0), т.е. оператор, обратный
к A0 − λ1(0) в ортогональном дополнении к φ1(0) и распространен-
ным его на все пространство, считая Rφ1(0) = 0). Очевидно, что в
нашем случае b = 0, a = 2, p = 1.
304 Об одном классе несамосопряженных операторов...
Найдем значение указанных параметров. Т.к. 1
d = ∥R∥, и оператор
A0 самосопряженный, то норма ∥R∥ находится по формуле
∥R∥ =
1
min
k ̸=1
|λ1 − λk|
=
1
1
π2 − 1
4π2
=
4π2
3
.
Далее находим m. Т.к. оператор A0 — самосопряженный, то m =
∥A0∥ = sprA0, где sprA0 — спектральный радиус оператора A0, но
спектральный радиус sprA0 = |λ0|, где λ0 — наибольшее по моду-
лю собственное значение оператора A0. Наибольшее по модулю соб-
ственное значение A0 равно 1
π2 , поэтому ∥A0∥ = sprA0 = 1
π2 . Таким
образом m = 1
π2 .
Итак,
|ε| < 3
64π2
,
поэтому
|λ1(ε)− (λ1(0) + ελ
(1)
1 + ε2λ
(2)
1 + . . .+ εnλ
(n)
1 )| ≤ 3
8π2
(|ε|c)n+1
=
3
8π2
[
|ε|
(
64π2
3
)]n+1
,
|φ1(ε)− (φ1(0) + εφ
(1)
1 + ε2φ
(2)
1 + . . .+ εnφ
(n)
1 )| ≤ 1
2
(|ε|c)n+1
=
1
2
[
|ε|
(
64π2
3
)]n+1
.
Из полученных соотношений, в частности, следует, что
|λ1(ε)−
1
π2
| ≤ 64|ε|,
здесь λ1(ε) — первое собственное число оператора A(ε). Точно также
доказывается, что
|φ1(ε)− sinxπ| ≤ 32π2
3
|ε|,
где φ1(ε) — первая собственная функция оператора A(ε). Следствие
доказано полностью.
Т. С. Алероев, Х. Т. Алероева 305
3. Спектральный анализ интегрального оператора, со-
путствующего краевой задаче для дробного осцил-
ляционного уравнения
Рассмотрим оператор
B̃u = −Bu
=
1
Γ(2− α)
x∫
0
−(x− ξ)1−αu(ξ)dξ + x
1∫
0
(1− ξ)1−αu(ξ)dξ
.
Проанализируем ядро этого оператора, чтобы понять, насколько
правильно в качестве осцилляционного уравнения выбрано уравнение
(1.2).
Легко проверить, что при α > 0, ядро оператора B̃ не является
знакопостоянным. Поэтому, первое собственное число оператора B̃
необязательно должно быть вещественным. Вышеизложенный метод
позволяет, в частности, доказать, что при достаточно малых α, пер-
вые собственные числа оператора B̃ являются вещественными.
Теорема 3.1. Оператор
B̃(ε)u = −
x∫
0
(x− t)1+εu(t)dt+
1∫
0
x(1− t)1+εu(t)dt,
при |ε| < 3
2 , также образует голоморфное семейство типа (A).
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 2.1, оператор
B̃(ε)u запишем следующим образом
B̃(ε)u = −M(ε)u(x) + C(ε)u(x) = B̃(0)u+ εB̃1u+ . . .+ εnB̃nu+ . . . ,
где оператор M(ε) уже изучен выше, а оператор C(ε)u(x) =
1∫
0
x(1 −
t)1+εu(t)dt.
Для оператора M(ε) представление по степеням ε мы уже получи-
ли (теорема 2.1), и теперь подобное представление получим для опе-
ратора C(ε). Точно так же, как и для оператора N(ε) (теорема 2.1),
запишем представление для оператора C(ε)u
C(ε)u = C(0)u+ εC1u+ . . .+ εnCnu+ . . . ,
где
C(0)u(x) =
1∫
0
x(1− t)u(t) dt,
306 Об одном классе несамосопряженных операторов...
Cnu(x) =
1
n!
1∫
0
x(1− t)[ln (1− t)]nu(t) dt (n = 1, 2, . . .).
Далее,
∥Cn∥2L2
≤
(
1
n!
)2
1∫
0
1∫
0
x2(1− t)2 [ln(1− t)]2n dt dx
=
(
1
n!
)2
1∫
0
x2
{ 1∫
0
(1− t)2 [ln(1− t)]2n dt
}
dx.
Так как для интеграла
x∫
0
(x− t)2 [ln(x− t)]2n dt
оценка сверху для любого x ∈ (0, 1) нами уже получена, то
∥Cn∥L2 ≤
(
2
3
)n
.
Поэтому
∥Mnu∥L2(0,1) + ∥Cnu∥L2(0,1) ≤ 2
(
2
3
)n−1 2
3
∥u∥. (3.1)
Что и доказывает теорему 3.1.
Конечно, эта оценка является весьма грубой и ее можно улу-
чшить. Но на данном этапе, такая задача авторами не ставится.
Следствие 3.1. Пусть
|ε| < 1
16
3 + 4
π2
,
тогда первое собственное число оператора B̃(ε) вещественное.
Доказательство. Так как B̃(ε) образуют голоморфное семейство ти-
па (A), то в некоторой окрестности точки ε = 0 определены функции
λ1(ε) = λ1(0) + ελ
(1)
1 + ε2λ
(2)
1 + . . .+ εnλ
(n)
1 + . . . , (3.2)
Т. С. Алероев, Х. Т. Алероева 307
φ1(ε) = φ1(0) + εφ
(1)
1 + ε2φ
(2)
1 + . . .+ εnφ
(n)
1 + . . . . (3.3)
Нижняя граница для радиуса сходимости ряда Тейлора функций
λ1(ε) и φ1(ε), с учетом неравенства (3.1), вычисляется точно также,
как и в следствии 2.1. Очевидно, что нижняя граница этого радиуса
r0 >
1
16
3
+ 4
π2
.
Далее, коэффициенты λ
(n)
1 и φ(n)
1 будем вычислять по формулам,
указанным в работе [20]
λ
(n)
1 =
n∑
k=1
(Ãkφ
(n−k)
1 , φ1(0)), φ
(n)
1 =
n∑
k=1
R(λ
(k)
1 − Ãk)φ
(n−k)
1 . (3.4)
В нашем случае, R — приведенная резольвента оператора B̃(0),
соответствующая собственному значению λ1(0), а Ãk = B̃k, (k =
1, 2, 3, . . .). Из (3.4) следует, что
λ
(1)
1 = (B̃1φ1(0), φ1(0)).
Т.к. ядро оператора B̃1 является вещественнозначным, то Imλ
(1)
1 = 0.
Далее из (3.4) следует, что
φ
(1)
1 = R(λ
(1)
1 − B̃1)φ1(0)
т.к. ядра операторов R и B̃1 вещественнозначные, то Imφ
(1)
1 = 0.
Таким образом последовательно можно установить что Imλ
(n)
1 =
Imφ
(n)
1 = 0, для всех n (n = 1, 2, 3, . . .). Итак, если ε вещественное, то
λ1(ε) также вещественное число, что и доказывает следствие 3.1.
Безусловно, таким же образом можно показать, что и второе соб-
ственное число оператора B̃(ε) является вещественным (разумеется,
тут границы изменения ε будут другими). Много интересного можно
получить еще если за невозмущенные операторы брать A(n) и B̃(n)
при определенных натуральных числах n. Но нам кажется, как это
было подчеркнуто выше, подобные вопросы лучше изложить в от-
дельной работе.
Так как [6] Фредгольмов спектр исследованных операторов сов-
падает с нулями соответствующих функций типа Миттаг–Леффлера,
то изложенный метод позволяет эффективно исследовать распреде-
ление нулей этих функций. В подтверждение приведем хотя бы два
утверждения. Следуя [22], введем обозначения: λn(α) — собственные
значения задачи (1.2)–(1.3), где сказано, что в “предельном случае
308 Об одном классе несамосопряженных операторов...
α = 0 задача (1.2)–(1.3) становится краевой задачей Штурма–Лиу-
вилля с последовательностью собственных значений λn = (πn)2. Вер-
но ли, что limα→0+ λn(α) = (πn)2 при любом фиксированном n? Ответ
положителен.”
Докажем более сильное утверждение.
Теорема 3.2. limα→α0+ λn(α) = limα→α0− λn(α) = λn(α0) при любом
α0 ∈ [0; 1].
Доказательство. Теорема 3.2 является простым следствием теоремы
4.2 [23, с. 35] и того факта, что операторная функция B̃(ε) сильно
непрерывна когда |ε| < 1.
И наконец, обратимся к еще одному очень важному вопросу –
к вопросу о кратности собственных чисел оператора B̃(ε) (как уже
отмечалось, этот вопрос тесно связан с вопросом кратности нулей
соответствующей функции типа Миттаг–Леффлера [21]).
Известно, что все достаточно большие по модулю нули функции
типа Миттаг–Леффлера Eρ(z, µ) (где ρ > 1
2 , ρ ̸= 1, Im (µ) = 0) про-
стые. Поэтому, основное внимание мы уделим кратности первых соб-
ственных чисел оператора B̃(ε).
Теорема 3.3. Пусть |ε| < (32π
2
9 + 2
3)
−1, тогда первое собственное
число λ1(ε) оператора B̃(ε) простое.
Доказательство. Известно [19, с. 475], что если спектр оператора
B̃(0) разбивается на две части замкнутой кривой Γ, то спектр опе-
ратора B̃(ε) также разбивается кривой Γ для достаточно малых ε.
Известна [19, с. 475] оценка, насколько для этого должно быть ма-
лым ε
|ε| < min
ζ∈Γ
(a||R(ζ, B̃(0))||+ b||B̃(0)R(ζ, B̃(0))||+ c)−1 (3.5)
(где a, b, c — параметры, фигурирующие в неравенстве (2.1)). В фор-
муле (3.5) в качестве контура Γ возьмем окружность |ζ − 1
π2 | = ρ
2 ,
где ρ — расстояние от 1
π2 до множества остальных собственных чи-
сел оператора B̃(0), а параметры a, b, c — нами уже вычислены (см.
(3.1)). Что и доказывает теорему 3.3.
Заметим, что точно так же можно установить простоту второго
собственного числа оператора B̃(ε). А самое главное, этот метод по-
зволяет включить исследование несамосопряженных операторов ви-
да A[α,β]
γ (и не только операторов вида A[α,β]
γ ) в общую схему теории
возмущений.
Т. С. Алероев, Х. Т. Алероева 309
Авторы очень надеются, что изложенный в этой работе метод ста-
нет тем толчком, который наконец-то позволит построить спектраль-
ную теорию несамосопряженных операторов хотя бы вида A[α,β]
γ .
Авторы глубоко благодарны рецензенту за многочисленные, очень
полезные замечания, способствовавшие устранению недостатков в ра-
боте.
Литература
[1] Т. С. Алероев, Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного
порядка // Сиб. электрон. матем. изв., 10 (2013), 41–55.
[2] М. М. Джрбашян, Краевая задача для дифференциального оператора типа
Штурма–Лиувилля дробного порядка // Изв. Акад. наук Армянской ССР,
серия Математика, 5(1970), No. 2, 71–96.
[3] М. М. Маламуд, Л. Л. Оридорога, Аналог теоремы Биркгофа и полнота соб-
ственных функций для дифференциальных уравнений дробного порядка //
Росс. журнал. мат. физ., 8 (2001), No. 3, 287–308.
[4] Т. С. Алероев, Задача Штурма–Лиувилля для дифференциального уравнения
второго порядка с дробными производными в младших членах // Дифф.
уравнения, 18 (1982), No. 2, 341–342.
[5] Т. С. Алероев, Х. Т. Алероева, Задача Штурма–Лиувилля для дифференци-
ального уравнения второго порядка с дробными производными в младших
членах // Изв. Вузов. Математика, 10 (2014), 3–12.
[6] Т. С. Алероев, Об одной краевой задаче для дифференциального оператора
дробного порядка // Дифф. уравнения, 34 (1998), No. 1, 123.
[7] E. R. Kaufmann, Existence and nonexistence of positive solutions for a nonlinear
fractional boundary value problem // Discrete and continuous dynamical systems,
2009 (2009), 416–423.
[8] А. М. Нахушев, Дробное исчисление и его применение, M.: Физматлит, 2003.
[9] Т. С. Алероев, О полноте собственных функций одного дифференциального
оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения, 36 (2000), No. 6, 829–
830.
[10] Т. С. Алероев, Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными
производными // Дисс. доктора физ.-мат. наук, МГУ, 2000.
[11] T. S. Aleroev, H. T. Aleroeva, Ning-Ming Nie, Yi-Fa Tang, Boundary Value
Problems for Diferential Equations of Fractional Order // Mem. Diferential
Equations Math. Phys., 49 (2010), 19–82.
[12] T. S. Aleroev, H. T. Aleroeva, A problem on the zeros of the Mittag-Lefer function
and the spectrum of a fractional-order diferential operator // Electron. J. Qual.
Theory Difer. Equ., 25 (2009), 1–18.
[13] Yuan Chengjun, Multiple positive solutions for (n-1, 1)-type semipositone
conjugate boundary value problems of nonlinear fractional diferential equations //
E. J. Qualitative Theory of Dif. Equ., 36 (2010), 1–12.
[14] F. Mainardi, Fractional Relaxation-Oscillation and fractional Difusion-wave
Phenomena Chaos // Solutions and Fractals. 7 (1996), No. 9, 1461–1477.
310 Об одном классе несамосопряженных операторов...
[15] Т. С. Алероев, Об одном классе операторов, связанных с дифференциальными
уравнениями дробного порядка // Сиб. мат. журнал. 46 (2005), No. 6, 1201–
1207.
[16] Э. Р. Кехарсаева, А. К. Микитаев, Т. С. Алероев, Модель деформационно-
прочностных характеристик хлорсодержащих полиэфиров на основе прои-
зводных дробного порядка // Пластические массы, 3 (2001), 35.
[17] Т. С. Алероев, А. М. Гачаев, К проблеме о нулях функции типа Миттаг–
Леффлера // Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиу-
ма "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и инфор-
матики". Нальчик-Эльбрус, 2003, 14–15.
[18] Т. С. Алероев, Х. Т. Алероева, Неокоторые применения теории возмущений
в дробном исчислении // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной
академии наук, 10 (2008), No. 2, 9–13.
[19] T. Като, Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
[20] Б. В. Логинов, К оценке точности метода возмущений // Известия АН
УзССР. Сер. физ.-мат. наук, 6 (1963), 14–19.
[21] Т. С. Алероев, Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными
производными // Дисс. канд. физ.-мат. наук, Баку, 1983.
[22] А. Ю. Попов, О количестве вещественных собственных значений одной кра-
евой задачи для уравнения второго порядка с дробной производной // Фунд.
и прикл. мат., 12 (2006), No. 6, 137-–155.
[23] А. М. Седлецкий, А. Ю. Попов, Распределение корней функций Миттаг–
Леффлера // Современная математика. Фундаментальные направления, 40
(2011), 3-–171.
[24] И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопря- жен-
ных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.
Сведения об авторах
Темирхан
Султанович
Алероев
Национальный исследовательский
Университет МГСУ
E-Mail: aleroev@mail.ru
Хеди
Темирхановна
Алероева
Московский технический университет
связи и информатики
E-Mail: BinSabanur@gmail.com
|