Оценки параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом
В работе построены оценки неизвестных параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом. Для построения оценок применен метод моментов. Доказана сильная состоятельность оценок, построены асимптотические доверительные области для неизвестных параметров....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140883 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценки параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом / А.А. Хархота, С.А. Мельник // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 4. — С. 559-574. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140883 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1408832018-07-18T01:23:55Z Оценки параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом Хархота, А.А. Мельник, С.А. В работе построены оценки неизвестных параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом. Для построения оценок применен метод моментов. Доказана сильная состоятельность оценок, построены асимптотические доверительные области для неизвестных параметров. 2015 Article Оценки параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом / А.А. Хархота, С.А. Мельник // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 4. — С. 559-574. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC: 60P05, 60F05, 60G10, 60H10 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140883 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе построены оценки неизвестных параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом. Для построения оценок применен метод моментов. Доказана сильная состоятельность оценок, построены асимптотические доверительные области для неизвестных параметров. |
| format |
Article |
| author |
Хархота, А.А. Мельник, С.А. |
| spellingShingle |
Хархота, А.А. Мельник, С.А. Оценки параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом Український математичний вісник |
| author_facet |
Хархота, А.А. Мельник, С.А. |
| author_sort |
Хархота, А.А. |
| title |
Оценки параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом |
| title_short |
Оценки параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом |
| title_full |
Оценки параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом |
| title_fullStr |
Оценки параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом |
| title_full_unstemmed |
Оценки параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом |
| title_sort |
оценки параметров модели самуэльсона с телеграфным трендом |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140883 |
| citation_txt |
Оценки параметров модели Самуэльсона с телеграфным трендом / А.А. Хархота, С.А. Мельник // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 4. — С. 559-574. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT harhotaaa ocenkiparametrovmodelisamuélʹsonastelegrafnymtrendom AT melʹniksa ocenkiparametrovmodelisamuélʹsonastelegrafnymtrendom |
| first_indexed |
2025-07-10T11:28:24Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:28:24Z |
| _version_ |
1837259195638874112 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 12 (2015), № 4, 559 – 574
Оценки параметров модели Самуэльсона с
телеграфным трендом
Анна А. Хархота, Сергей А. Мельник
(Представлена C. Я. Махно)
Аннотация. В работе построены оценки неизвестных параметров
модели Самуэльсона с телеграфным трендом. Для построения оце-
нок применен метод моментов. Доказана сильная состоятельность
оценок, построены асимптотические доверительные области для не-
известных параметров.
2010 MSC. 60P05, 60F05, 60G10, 60H10.
Ключевые слова и фразы. Mодель Самуэльсона, телеграфная
волна, стационарный процесс, эргодический процесс.
1. Введение
В 1965 г. в работе [1] П. Самуэльсоном была предложена модель
эволюции стоимости финансового актива:
S(t) = S0e
(
µ−σ
2
2
)
t+σW (t)
,
где S(t) — величина биржевого курса некоторого финансового акти-
ва в момент времени t, W (t) — стандартный винеровский процесс
со значениями в R1; µ называют коэффициентом роста, σ — коэф-
фициентом волатильности. Благодаря своей простоте модель Саму-
эльсона стала популярным объектом исследования, и на ее основе в
1973 г. Ф. Блэк и М. Шоулз провели расчеты стоимостей опционов.
Оценивание параметров такой модели не представляет трудностей.
Если Sk = S(tk), то последовательность
{
ln
Sk+1
Sk
}∞
k=0
является по-
следовательностью независимых гауссовских величин с параметрами((
µ− 0.5σ2
)
h;σ2h
)
. Однако, существенным недостатком модели Са-
муэльсона является постоянство коэффициентов µ и σ, что трудно
Статья поступила в редакцию 17.09.2014
Работа выполнена при поддержке гранта НАНУ-РФФИ № 09-01-14
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
560 Оценки параметров модели Самуэльсона...
встретить в действительности. Поэтому существует значительное ко-
личество моделей, представляющих собой усовершенствования моде-
ли Самуэльсона, например, модель диффузии со скачками Мерто-
на [2]. Такая модель использовались в [3] для нахождения стратегии
хеджирования наименьшей вариации. Другой тип моделей представ-
лен моделями стохастической вариации, среди которых широко изве-
стна модель Гестона [4]. Г.Л. Бухбиндер и К.М. Чистилин построили
оценки неизвестных параметров модели Гестона и применили полу-
ченные результаты к мониторингу реальных курсов акций россий-
ских компаний [5]. Однако, в перечисленных моделях остается посто-
янным коэффициент роста µ, что не позволяет учитывать возможные
смены тренда, наступающие в случайные моменты времени.
В работе [6] была предложена усовершенствованная модель Саму-
эльсона — модель с телеграфным трендом. Напомним, как выглядит
указанная модель. На стохастическом базисе (Ω,ℑ, {ℑt}t≥0,P) заданы
независимые: процесс Пуассона ν(t), t ≥ 0 с параметром λ > 0, ви-
неровский процесс W (t), а также последовательность независимых
случайных величин {ηk}∞k=0, имеющих нормальное распределение с
параметрами (0; θ2). Будем говорить, что курс финансового актива
меняется согласно модели Самуэльсона с телеграфным трендом, если
S(t) = S0e
µ(t)−σ
2t
2
+σW (t),
где: S0 > 0, µ(t) =
t∫
0
ην(s)ds, σ > 0. Процесс ην(s), s ≥ 0 принято
называть обобщённым телеграфным процессом.
Таким образом, тренд финансового актива формируется процес-
сом µ(t), а случайные колебания курса в окрестности тренда форми-
руются процессом W (t). В отличие от перечисленных выше разно-
видностей моделей, данная модель учитывает возможность смены
тренда в случайные моменты времени (моменты скачков процесса
Пуассона ν(t)), что делает модель более адекватной по отношению к
реальной динамике курса финансового актива на бирже.
2. Постановка задачи
Введённая выше модель Самуэльсона с телеграфным трендом ха-
рактеризуется тремя параметрами:
• λ — частота смены направления тренда;
• θ — волатильность угла атаки тренда;
• σ — волатильность курса финансового актива.
А. А. Хархота, С. А. Мельник 561
В моменты времени tk = kh, h > 0, k = 0, 1, . . . , n производя-
тся измерения Sk = S(kh), на основе которых формирутся базовая
последовательность измерений (БПИ)
zk = ln
Sk+1
Sk
= ∆kµ− σ2h
2
+ σ∆kW, k = 0, 1, . . . , n− 1,
где ∆kµ =
(k+1)h∫
kh
ην(s)ds, ∆kW =W ((k + 1)h)−W (kh).
Необходимо построить оценки параметров λ, θ2, σ2, изучить их
свойства и построить доверительные области.
3. Оценки параметров λ, θ, σ2
В работе [6] доказано, что последовательность {zk}∞k=0 является
стационарной как в широком, так и в узком смысле, а также эргодиче-
ской по математическому ожиданию и по корреляционной функции.
Это позволяет нам строить оценки параметров, основываясь на БПИ.
Оценки параметров λ, θ, σ2 построим методом моментов. Обозна-
чим через z̄ выборочное математическое ожидание и R̄z(l),
l = 0, 1, . . . , n − 1 — выборочную корреляционную функцию после-
довательности {zk}∞k=0. Рассмотрим систему уравнений:
Ezk = z̄,
Rz(1) = R̄z(1),
Rz(3) = R̄z(3),
или
− σ2h
2
= z̄,
θ2
λ2
(
1− e−λh
)2
= R̄z(1),
θ2
λ2
(
1− e−λh
)2
e−2λh = R̄z(3).
Решив систему уравнений относительно неизвестных λ и θ, получим
оценки этих параметров:
σ∗2(n) = −2
h
z̄, (3.1)
λ∗(n) =
1
2h
ln
R̄z(1)
R̄z(3)
, (3.2)
562 Оценки параметров модели Самуэльсона...
θ∗(n) =
R̄z(1)
2h
(√
R̄z(1)−
√
R̄z(3)
) ln
R̄z(1)
R̄z(3)
. (3.3)
Может оказаться, что система неразрешима или имеет отрицательное
решение. В этом случае положим σ∗2(n) = λ∗(n) = θ∗(n) = 0 (см. [7,
с. 76–77]). В силу [6, следствие 2]
lim
n→∞
z̄ = −σ
2h
2
(3.4)
и
lim
n→∞
R̄z(l) = Rz(l) (3.5)
с вероятностью 1. Поэтому найдется номер n(ω), начиная с которого
z̄ < 0 и R̄z(1) > R̄z(3) > 0 с вероятностью 1, и мы получим ненулевые
оценки.
Изучим свойства полученных оценок. Очевидно, что оценка
σ∗2(n) является несмещенной и состоятельной с вероятностью 1 в си-
лу (3.4).
Теорема 3.1. Оценка σ∗2(n) состоятельна в среднем квадратичес-
ком.
Доказательство. Как показано в [6], корреляционная функция по-
следовательности {zk}∞k=0 имеет вид:
Rz(l) =
{
R0 + σ2h, l = 0,
Re−λh|l|, l ̸= 0,
где R0 = 2θ2
(
λh− 1 + e−λh
)
/λ2, R = θ2eλh
(
1− e−λh
)2
/λ2. Имеем
N∑
l=0
Rz(l) = R0 + σ2h+R
e−λh(N+1)
1− e−λh
.
Так как lim
N→∞
1
N
N∑
l=0
Rz(l) = 0, то, согласно [8, с.430], оценка σ∗2(n)
состоятельна в среднем квадратическом. Теорема 3.1 доказана.
Теорема 3.2. Оценки λ∗(n) и θ∗(n) состоятельны с вероятностью 1.
Доказательство. Оценки λ∗(n) и θ∗(n) как функции от R̄z(1) и R̄z(3)
непрерывны при R̄z(1) > R̄z(3) > 0. Из (3.5) следует, что lim
n→∞
λ∗(n) =
λ и lim
n→∞
θ∗(n) = θ с вероятностью 1. Теорема 3.2 доказана.
А. А. Хархота, С. А. Мельник 563
4. Асимптотический доверительный интервал для σ2
Чтобы с помощью оценки σ∗2(n) построить доверительный интер-
вал для σ2, необходимо знать её закон распределения. Хотя оценка
σ∗2(n) довольно просто устроена, построение ее закона распределения
сопряжено с большими трудностями, так как в состав БПИ входит
слагаемое ∆kµ. Поэтому нашей целью будет построение асимптоти-
ческих доверительных областей. Для этого нам понадобится следую-
щая теорема.
Теорема 4.1. Случайные величины 1√
n
n−1∑
k=0
(
zk +
σ2h
2
)
сходятся по
распределению к величине, имеющей нормальное распределение с па-
раметрами
(
0; 2θ2h/λ+ σ2
)
.
Доказательство. Для доказательства теоремы воспользуемся цен-
тральной предельной теоремой для стационарных процес-
сов [9, с. 242]. Для последовательности {zk}∞k=0 проверим условия те-
оремы [9, с. 242]:
1) {zk}∞k=0 является вполне регулярной:
α(l) = sup
A∈ℑ
tk
0
B∈ℑ∞
tk+l
|P (AB)− P (A)P (B)| → 0
при l → ∞, где ℑtk0 и ℑ∞tk+l — σ–алгебры, порожденные случайными
величинами zm, m ≤ k и zm, m ≥ k + l, соответственно. При этом
α(l) = o(l−1−ϵ) при некотором ϵ > 0.
2) {zk}∞k=0 имеет моменты достаточно высокого порядка, именно,
Ez2+δk <∞ при некотором δ > 4/ϵ.
3) спектральная плотность φz(u) последовательности {zk}∞k=0 ог-
раничена, непрерывна и невырождена в нуле.
Проверим условие 1. Пусть: A ∈ ℑtk0 , B ∈ ℑ∞tk+l , H = {ν(tk+l+1)−
ν(tk) = 0}. Тогда
P (A) = P (A|H)P (H) + P (A|H̄)P (H̄),
P (B) = P (B|H)P (H) + P (B|H̄)P (H̄),
P (H) = e−λh(l+1),
и
P (A ∩B)− P (A)P (B) = P (A ∩B|H)P (H) + P (A ∩B|H̄)P (H̄)
− P (A|H)P (B|H)(P (H))2 − P (A|H̄)P (B|H)P (H)P (H̄)
− P (A|H)P (B|H̄)P (H)P (H̄)− P (A|H̄)P (B|H̄)(P (H̄))2.
564 Оценки параметров модели Самуэльсона...
Покажем, что P
(
A ∩B|H̄
)
= P
(
A|H̄
)
P
(
B|H̄
)
. Действительно, zk =
∆kµ−0.5σ2h+σ∆kW , zk+l = ∆k+lµ−0.5σ2h+σ∆k+lW , а при условии
H̄ величина ∆kµ не зависит от ∆k−∆tµ в силу независимости величин
ηk. Следовательно, события A и B условно независимы.
Получим
P (A ∩B)− P (A)P (B) = P (A ∩B|H)e−λh(l+1)
− P (A|H)P (B|H)e−2λh(l+1)
+ P (A|H̄)P (B|H̄)e−λh(l+1)
(
1− e−λh(l+1)
)
− P (A|H̄)P (B|H)e−λh(l+1)
(
1− e−λh(l+1)
)
− P (A|H)P (B|H̄)e−λh(l+1)
(
1− e−λh(l+1)
)
.
Таким образом,
|P (A ∩B)− P (A)P (B)| < 5e−λh(l+1).
Таким образом, условие 1 выполнено.
Условие 2 также выполнено, так как Ez3k = 0.
Проверим выполнение условия 3. Построим спектральную пло-
тность φz(u) и покажем, что она удовлетворяет условиям теоремы [9,
с.242]. Из структуры БПИ следует, что
φz(u) = φ∆µ(u) + σ2φ∆W (u).
Последовательность {∆kW}∞k=0 является гауссовским белым шумом
и согласно [8, с.405] ее спектральная плотность имеет вид:
φ∆W (u) =
1
2π
, u ∈ [−π;π),
0, u /∈ [−π;π).
В [6] показано, что
R∆µ(l) =
{
R0, l = 0,
R, l ̸= 0.
Отсюда и из [8, с. 412] следует:
φ∆µ(u) =
1
2π
∞∑
l=−∞
e−iulR∆µ(l)
=
R0
2π
+
R
2π
( ∞∑
l=1
e−(λh−iu)l +
∞∑
l=1
e−(λh+iu)l
)
.
А. А. Хархота, С. А. Мельник 565
Так как
∣∣e−λh+iu∣∣ = ∣∣e−λh−iu∣∣ = e−λh < 1, то
∞∑
l=1
e−(λh−iu)l =
e−λh+iu
1− e−λh+iu
и
∞∑
l=1
e−(λh+iu)l =
e−λh−iu
1− e−λh−iu
.
Далее имеем
φ∆µ(u) =
R0 −R
2π
+
R
2π
· 1− e−2λh
|1− e−iue−λh|2
.
Таким образом,
φz(u) =
R0 −R+ σ2
2π
+
R
2π
· 1− e−2λh
|1− e−iue−λh|2
, u ∈ [−π;π),
R0 −R
2π
+
R
2π
· 1− e−2λh
|1− e−iue−λh|2
, u /∈ [−π;π).
Легко видеть, что φz(u) ограничена, непрерывна и невырождена в
нуле.
Таким образом, условие 3 также выполнено. Таким образом,
1√
n
n−1∑
k=0
(
zk +
σ2h
2
)
d→ Φ0,2πφz(0),
где 2πφz(0) = 2θ2h/λ+ σ2. Теорема 4.1 доказана.
Построим доверительный интервал для σ2. Пусть все параметры
неизвестны. В силу теоремы 4.1
√
n
(
σ∗2(n)− σ2
) d→ Φ0,V (σ2,λ,θ),
где V (σ2, λ, θ) = 8θ2/λh+ 4σ2/h2. Согласно [7, с.316]
√
n
(
σ∗2(n)− σ2
)√
V (σ∗2, λ∗, θ∗)
d→ Φ0,1.
Таким образом, доверительный интервал для σ2 будет следующим:
σ2± = −2z̄
h
± 2uγ√
n
√√√√ 1
h2
(
R̄(1)√
R̄(1)−
√
R̄(3)
)2
ln
R̄(1)
R̄(3)
− 2z̄
h3
,
где uγ — квантиль уровня γ ≈ 1 распределения Φ0,1.
566 Оценки параметров модели Самуэльсона...
5. Асимптотическая доверительная область для λ, θ2
Рассмотрим последовательность {ζk(l)}∞k=0 = {z̊kz̊k+l}∞k=0, где
z̊k = zk − Ezk, l ∈ Z+.
Лемма 5.1. Последовательность {ζk(l)}∞k=0 стационарна в узком
смысле и эргодична по математическому ожиданию при каждом
l = 0, 1, . . . .
Доказательство. Рассмотрим совместное распределение величин
ζk1(l), . . . , ζkn(l):
P {ζk1(l) < x1, . . . , ζkn(l) < xn} = P {z̊k1 z̊k1+l < x1, . . . , z̊kn z̊kn+l < xn} .
Так как последовательность {z̊k}∞k=0 стационарна в узком смысле, то
для любого m ∈ Z+ верно равенство:
P {z̊k1 z̊k1+l < x1, . . . , z̊kn z̊kn+l < xn}
= P {z̊k1+mz̊k1+l+m < x1, . . . , z̊kn+mz̊kn+l+m < xn}
= P {ζk1+m(l) < x1, . . . , ζkn+m(l) < xn} .
Таким образом, последовательность {ζk(l)}∞k=0 стационарна в узком
смысле. Эргодичность по математическому ожиданию следует из [6,
теорема 4]. Лемма 5.1 доказана.
Теперь найдем совместное асимптотическое распределение слу-
чайных величин
1√
n− 1
n−2∑
k=0
ζk(1)−
√
n− 1Eζk(1) и
1√
n− 3
n−4∑
k=0
ζk(3)−
√
n− 3Eζk(3).
Рассмотрим двумерный процесс {Zk}∞k=0 = {ζk(1), ζk(3)}∞k=0 и найдем
его спектральную плотность φZ(u). Для этого построим вначале ма-
тричную корреляционную функцию RZ(l) = {Rpq(l)}q=1;2
p=1;2. Заметим,
что корреляционная матрица обладает свойством RZ(l) = RTZ(−l),
поэтому достаточно определить ее элементы при l ≥ 0.
Получим:
R11(0) =
8σ4
λ2
(
1
λ
(
1− e−λh
)
− he−λh
)2
+
(
2σ2
λ
(
h− 1
λ
(
1− e−λh
))
+ σ2h
)2
− σ4
λ4
(
1− e−λh
)4
;
А. А. Хархота, С. А. Мельник 567
R11(1) =
2θ4h2
λ2
e−λh
(
1− e−λh
)2
+
2θ4
λ3
(
1− e−λh
)2( 1
λ
(
1− e−λh
)
− he−λh
)
− θ4
λ4
(
1− e−λh
)4
;
R11(l) =
2θ4h2
λ2
(
1− e−λh
)2
e−λhl, l ≥ 2;
R12(0) =
4θ4h
λ2
e−2λh
(
1− e−λh
)( 1
λ
(
1− e−λh
)
− he−λh
)
+
2θ4
λ3
(
1− e−λh
)2
e−λh
(
h− 1
λ
(
1− e−λh
))
− θ4
λ4
e−2λh
(
1− e−λh
)4
;
R12(1) =
2θ4h2
λ2
e−3λh
(
1− e−λh
)2
− 2θ4
λ3
e−2λh
(
1− e−λh
)2( 1
λ
(
1− e−λh
)
− he−λh
)
− θ4
λ4
e−2λh
(
1− e−λh
)4
;
R12(l) =
2θ4h2
λ2
(
1− e−λh
)2
e−2λhe−λhl, l ≥ 2;
R21(0) = R12(0);
R21(1) =
2θ4h2
λ2
e−2λh
(
1− e−λh
)2
+
θ4
λ4
(
1− e−λh
)4 (
1− e−2λh
)
;
R21(2) =
4θ4h
λ2
e−2λh
(
1− e−λh
)( 1
λ
(
1− e−λh
)
− he−λh
)
+
2θ4
λ3
(
1− e−λh
)2
e−λh
(
h− 1
λ
(
1− e−λh
))
− θ4
λ4
e−2λh
(
1− e−λh
)4
;
568 Оценки параметров модели Самуэльсона...
R21(3) =
2θ4h2
λ2
e−3λh
(
1− e−λh
)2
+
2θ4
λ3
e−2λh
(
1− e−λh
)2( 1
λ
(
1− e−λh
)
− he−λh
)
− θ4
λ4
e−2λh
(
1− e−λh
)4
;
R21(l) =
2θ4h2
λ2
(
1− e−λh
)2
e−λhl, l ≥ 4;
R22(0) =
8θ4
λ2
e−2λh
(
1
λ
(
1− e−λh
)
− he−λh
)2
+
(
2θ2
λ
(
h− 1
λ
(
1− e−λh
))
+ σ2h
)2
− θ4
λ4
e−4λh
(
1− e−λh
)4
;
R22(1) =
2θ4h2
λ2
e−3λh
(
1− e−λh
)2
+
θ4
λ4
(
1− e−λh
)4 (
1− e−4λh
)
;
R22(2) =
2θ4h2
λ2
e−4λh
(
1− e−λh
)2
+
θ4
λ4
e−2λh
(
1− e−λh
)4 (
1− e−2λh
)
;
R22(3) =
2θ4h2
λ2
e−5λh
(
1− e−λh
)2
+
2θ4
λ3
e−4λh
(
1− e−λh
)2( 1
λ
(1− e−λh)− he−λh
)
− θ4
λ4
e−4λh
(
1− e−λh
)4
;
R22(l) =
2θ4h2
λ2
e−2λh
(
1− e−λh
)2
e−λhl, l ≥ 4.
При помощи равенства φpq(u) = 1
2π
∞∑
l=−∞
e−iulRpq(l) найдем элементы
матрицы спектральной плотности φZ(u) = {φpq(u)}q=1;2
p=1;2:
φ11(u) =
1
2π
[
2θ4h2
λ2
(
1− e−λh
)2( e2iue−2λh
1− eiue−λh
+
e−2iue−2λh
1− e−iue−λh
)
+R11(0) + 2R11(1) cosu] ;
А. А. Хархота, С. А. Мельник 569
φ12(u) =
1
2π
[
2θ4h2
λ2
(
1− e−λh
)2( e4iue−4λh
1− eiue−λh
+
e−2iue−4λh
1− e−iue−λh
)
+eiuR21(1) +e
2iuR21(2) + e3iuR21(3) +R12(0) + e−iuR12(1)
]
;
φ21(u) = φ12(−u);
φ22(u) =
1
2π
[
2θ4h2
λ2
(
1− e−λh
)2( e4iue−6λh
1− eiue−λh
+
e−4iue−6λh
1− e−iue−λh
)
+R22(0) +
(
eiu + e−iu
)
R22(1) +
(
e2iu + e−2iu
)
R22(2)
+
(
e3iu + e−3iu
)
R22(3)
]
.
Теперь докажем центральную предельную теорему.
Теорема 5.1. Случайный вектор
Z⃗(n) =
(
1√
n− 1
n−2∑
k=0
ζk(1)−
√
n− 1Eζk(1) ;
1√
n− 3
n−4∑
k=0
ζk(3)−
√
n− 3Eζk(3)
)
имеет асимптотически нормальное распределение с параметрами
(0; 2πφZ(0)).
Доказательство. Покажем, что к процессу {Zk}∞k=0 применима тео-
рема [9, с.242]. Условия 1 и 2 для {Zk}∞k=0 проверяются так же, как и
при доказательстве теоремы 4.1.
Проверим выполнение условия 3. Так как 1−e−iue−λh отлично от
нуля при u ∈ [−π;π], то спектральная плотность φZ(u) непрерывна
и ограничена. Покажем теперь, что detφZ(0) ̸= 0. Найдем φpq(0),
p, q = 1; 2.
φ11(0) =
1
2π
[
4θ4h2
λ2
e−λh
(
1− e−λh
)
+
8θ4
λ2
(
1
λ
(
1− e−λh
)
− he−λh
)2
+
(
2θ2
λ
(
h− 1
λ
(
1− e−λh
))
+ σ2h
)2
+
4θ4
λ3
(
1− e−λh
)2
×
(
1
λ
(
1− e−λh
)
− he−λh
)
− 3θ4
λ4
(
1− e−λh
)4]
;
570 Оценки параметров модели Самуэльсона...
φ12(0) =
1
2π
[
8θ4h
λ2
e−2λh
(
1− e−λh
)( 1
λ
(
1− e−λh
)
− he−λh
)
+
4θ4
λ3
e−λh
(
1− e−λh
)2(
h− 1
λ
(
1− e−λh
))
+
2θ4h2
λ2
e−2λh
(
1− e−2λh
)
+
θ4
λ4
(
1− 5e−2λh
)(
1− e−λh
)4]
;
φ21(0) = φ12(0);
φ22(0)
=
1
2π
[
4θ4h2
λ2
e−3λh
(
1− e−λh
)
+
8θ4
λ2
e−2λh
(
1
λ
(
1− e−λh
)
− he−λh
)2
+
(
2θ2
λ
(
h− 1
λ
(
1− e−λh
))
+ σ2h
)2
+
4θ4
λ3
e−4λh
(
1− e−λh
)2( 1
λ
(
1− e−λh
)
− he−λh
)
+
θ4
λ4
(
2 + 2e−2λh − 7e−4λh
)(
1− e−λh
)4]
.
Докажем, что detφZ(0) > 0. Заметим, что detφZ(0) > det φ̃Z(0) =
φ̃11(0)φ̃22(0) − φ2
12(0), где φ̃11(0) и φ̃22(0) – значения φ11(0) и φ22(0)
при σ = 0. Поэтому достаточно показать, что det φ̃Z(0) > 0. Для
краткости положим h = 1 и обозначим v = eλ − 1. Тогда
2πλ4
θ4
e4λφ̃11(0) = 4(v + 1)2(v2 + 3v + 3)λ2 − 4v(v + 1)(2v2 + 9v + 6)λ
+ 12v2(v + 1)2 + 4v3(v + 1)− 3v4;
2πλ4
θ4
e6λφ12(0) = 2v(v + 1)2(v − 2)λ2 + 4v2(v + 1)2(v + 3)λ+
+ v3(v3 − 2v2 − 12v − 4);
2πλ4
θ4
e8λφ̃22(0) = 4(v + 1)4(v + 2 + (v + 1)4)λ2 − 4v(v + 1)(4(v + 1)3
+ 2(v + 1)6 + v)λ+ 8v2(v + 1)4 + 4v2(v + 1)6
+ 4v3(v + 1) + v4(2(v + 1)4 + 2(v + 1)2 − 7).
А. А. Хархота, С. А. Мельник 571
Обозначим D(λ) = 4π2λ8
θ8
e12λ det φ̃Z(0) и рассмотрим D′(λ) — прои-
зводную этой функции по переменной λ.
D′(λ) = 120λ5 + 288λ4 + (920λ5 + 2016λ4 − 1152λ3)v
+ (3104λ5 + 6296λ4 − 8760λ3 + 1728λ2)v2
+ (6228λ5 + 12728λ4 − 29472λ3 + 13104λ2 − 1152λ)v3
+ (8420λ5 + 20108λ4 − 61266λ3 + 42728λ2 − 8592λ+ 288)v4
+ (8144λ5 + 25984λ4 − 91118λ3 + 83180λ2 − 26728λ+ 2112)v5
+ (5772λ5 + 26264λ4 − 102031λ3 + 111754λ2 − 48172λ+ 6256)v6
+ (3016λ5 + 19856λ4 − 85347λ3 + 109484λ2 − 58222λ+ 10448)v7
+ (1156λ5 + 42728λ4 − 51835λ3 + 77890λ2 − 49690λ+ 11426)v8
+ (312λ5 + 4324λ4 − 22053λ3 + 38828λ2 − 29540λ+ 8504)v9
+ (52λ5 + 1164λ4 − 6216λ3 + 12736λ2 − 11608λ+ 4108)v10
+ (4λ5 + 196λ4 − 1046λ3 + 2450λ2 − 2674λ+ 1176)v11
+ (16λ4 − 80λ3 + 210λ2 − 266λ+ 154)v12.
Теперь положим V = (eλ − 1)/λ = v/λ и перепишем D′(λ). Получим
D′(λ) = 288V 4 − 1152V 3 + 1728V 2 − 1152V + 288+
+ (120V 5 + 2016V 4 − 8760V 3 + 13104V 2 − 8592V + 2112)v
+ (920V 5 + 6296V 4 − 29472V 3 + 42728V 2 − 26728V + 6256)v2
+ (3104V 5 + 12728V 4 − 61266V 3 + 83180V 2 − 48172V + 10448)v3
+ (6228V 5 + 20108V 4 − 91118V 3 + 111754V 2 − 58222V + 11426)v4
+ (8420V 5 + 25984V 4 − 102031V 3 + 109484V 2 − 49690V + 8504)v5
+ (8144V 5 + 26264V 4 − 85347V 3 + 77890V 2 − 29540V + 4108)v6
+ (5772V 5 + 19856V 4 − 51835V 3 + 38828V 2 − 11608V + 1176)v7
+ (3016V 5 + 42728V 4 − 22053V 3 + 12736V 2 − 2674V + 154)v8
+ (1156V 5 + 4324V 4 − 6216V 3 + 2450V 2 − 266V )v9
+ (312V 5 + 1164V 4 − 1046V 3 + 210V 2)v10
+ (52V 5 + 196V 4 − 80V 3)v11
+ (4V 5 + 16V 4)v12 > 0,
так как коэффициенты при степенях v строго положительны при V ∈
(1;+∞). Это означает, что D(λ) строго возрастает. Поскольку D(0) =
0, то D(λ) > 0 при всех значениях λ > 0.
572 Оценки параметров модели Самуэльсона...
Таким образом, мы показали, что к процессу {Zk}∞k=0 применима
центральная предельная теорема [9, с.242], согласно которой Z⃗
d→
Φ0,2πφZ(0). Теорема 5.1 доказана.
Отметим, что построение доверительной области в случае, если
все три параметра неизвестны, привело бы к необходимости дока-
зать центральную предельную теорему для трехмерного процесса
{Zk}∞k=0 = {z̊k, ζk(1), ζk(3)}∞k=0, где ζk(l) = (zk − z̄)(zk+l − z̄). Доказа-
тельство невырожденности матрицы спектральной плотности такого
процесса еще более затруднительно, чем в предыдущем случае.
Пусть σ2 известно, а λ и θ неизвестны. Построим асимптотиче-
скую доверительную область для вектора τ = (λ, θ)T . Для этого рас-
смотрим уравнение(
θ2(1− e−λh)2/λ2
θ2(1− e−λh)2e−2λh/λ2
)
=
(
R̄(1)
R̄(3)
)
,
с помощью которого построены оценки λ∗ и θ∗. Обозначим матрицу
слева через G(τ). Из теоремы 5.1 известно, что асимптотической кор-
реляционной матрицей вектора
(√
n(R̄(1)−R(1),
√
n(R̄(3)−R(3)
)
является матрица φZ(0). Асимптотическую корреляционную матри-
цу Q(τ) для вектора τ = (λ∗, θ∗)T найдем по формуле
Q = [(G(τ)′)−1]TφZ(0)(G(τ)
′)−1,
где G(τ)′ — матрица производных G(τ) по λ и θ. Подставив в матрицу
Q(τ) значения оценок, получим матрицу Q(τ∗). Согласно [7, с.325]
n(τ∗ − τ)T [Q(τ∗)]−1(τ∗ − τ)
d→ χ2
2.
Отсюда следует
lim
n→∞
P{n(τ∗ − τ)T [Q(τ∗)]−1(τ∗ − τ) < vγ} = 1− γ,
где vγ — квантиль уровня γ распределения χ2 с двумя степенями
свободы. Пусть для краткости Q(τ∗) = Q∗. Таким образом, довери-
тельная область для вектора τ = (λ, θ)T задается уравнением:
(λ∗ − λ)((Q∗)−111 (λ
∗ − λ) + (Q∗)−121 (θ
∗ − θ)) + (θ∗ − θ)((Q∗)−112 (λ
∗ − λ)
+(Q∗)−122 (θ
∗ − θ)) <
vγ
n
.
Для построения доверительных интервалов для λ и θ воспользу-
емся тем, что
(τ∗ − τ)T
√
n(Q∗)−1/2(τ∗)
d→ Φ0,E
А. А. Хархота, С. А. Мельник 573
( [7, с.325]). Таким образом,
λ± = λ∗ ±
uγ
√
(Q∗)−111√
n
,
θ± = θ∗ ±
uγ
√
(Q∗)−122√
n
.
Применим предложенные методы оценивания к траекториям про-
цесса S(τ), построенным с помощью компьютерной имитации. По-
строим БПИ с шагом h = 1, продолжительностью 200, 500, 1000 и
2000 измерений. В каждом случае будем рассматривать по 100 разли-
чных траекторий, для которых истинные значения параметров равны
λ = 0.5, θ = 0.3, σ2 = 0.01. Для доверительных интервалов выбран
уровень значимости γ = 0.95. В таблице 1 представлены выборочное
среднее a и выборочная дисперсия s2 полученных оценок, а также
указано m — количество случаев, когда истинное значение параме-
тра не попало в доверительный интервал.
Таблица 1.
λ σ2 θ2
n a s2 m a s2 m a s2 m
200 0.4764 0.0221 7 0.0093 0.4321 · 10−3 4 0.0828 0.0988 · 10−3 6
500 0.5602 0.0074 6 0.0133 0.2208 · 10−3 5 0.0792 0, 0332 · 10−3 5
1000 0.5189 0.0124 5 0.0112 0.0440 · 10−3 3 0.0878 0, 0646 · 10−3 4
2000 0.4844 0.0056 5 0.0102 0.0886 · 10−3 4 0.0895 0, 0314 · 10−3 4
Пример показывает, что для выбранных значений параметров мы
можем получить приемлемые оценки параметров (относительные по-
грешности не превосходят 5%), произведя 1000 и более наблюдений,
что означает в среднем 500 и более смен тренда. Доверительные ин-
тервалы при этом соответствуют номинальному уровню значимости
даже для меньших объемов выборки.
6. Выводы
Для параметров λ, θ, σ2 модели Самуэльсона с телеграфным трен-
дом построены оценки, определенные соотношениями (3.1), (3.2),
(3.3). Доказана несмещенность, состоятельность с вероятностью 1 и
в среднем квадратическом оценки σ∗2(n), и сильная состоятельность
оценок λ∗(n) и θ∗(n). Доказаны теоремы об асимптотической нор-
мальности величин
Θ(1)(n) =
1√
n
n−1∑
k=0
(
zk +
σ2h
2
)
, Θ2(n) =
1√
n− 1
n−2∑
k=0
(̊zkz̊k+1 −Rz(1)) ,
574 Оценки параметров модели Самуэльсона...
которые использованы для построения доверительных интервалов.
Доказано, что почти для каждой траектории наблюдаемого процесса
такие интервалы могут быть построены, при условии, что произведе-
но достаточное количество наблюдений. В случае небольшого объема
данных оценки и доверительные интервалы могут оказаться доволь-
но неточными, однако, их точность будет возрастать с ростом объема
выборки.
Литература
[1] P. A. Samuelson, Rational theory of warrant pricing // Industrial Management
Review, 6 (1965), 13–31.
[2] R. S. Merton, Option pricing when underlying stock returns are discontinuous //
J. Financial Economics, 3 (1976), 125–144.
[3] В. М. Радченко, Хеджування з найменшою варiацiєю в пуассоновi випадковi
моменти // Теорiя ймовiрностей та математична статистика, 78 (2008), 159–
174.
[4] S. L. Heston, A closed-form solution for options with stochastic volatility with
applications to bond and currency options // Rev. Financial Studies, 6 (1993),
No. 2, 327–343.
[5] Г. Л. Бухбиндер, К. М. Чистилин, Описание российского фондового рынка в
рамках модели Гестона // Мат. моделирование, 17 (2005), No. 10, 31–38.
[6] А. А. Хархота, Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом //
Труды ИПММ НАН Украины 27 (2013), 217–225.
[7] А. А. Боровков, Математическая статистика, М.: Наука, 1984.
[8] А. Н. Ширяев, Вероятность, М.: Наука, 1980.
[9] Ю. А. Розанов, Стационарные случайные процессы, М.: Наука, 1990.
Сведения об авторах
Анна
Александровна
Хархота
Сергей
Анатольевич
Мельник
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины
E-Mail: annaharhota@yandex.ru
s.a.melnik@yandex.ua
|