Збіжність косих броунівських рухів з локальними часами в кількох точках, які стягуються в одну
Отримано умови збiжностi в середньому процесiв косого броунiвського руху з локальними часами в кiлькох точках, якi стягуються в одну граничну точку. Доведено, що граничним процесом також є косий броунiвський рух з локальним часом в граничнiй точцi. Знайдено формулу для обчислення коефiцiєнту при лок...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140901 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Збіжність косих броунівських рухів з локальними часами в кількох точках, які стягуються в одну / І.Г. Крикун // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 2. — С. 213-223. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140901 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1409012018-07-18T01:23:54Z Збіжність косих броунівських рухів з локальними часами в кількох точках, які стягуються в одну Крикун, І.Г. Отримано умови збiжностi в середньому процесiв косого броунiвського руху з локальними часами в кiлькох точках, якi стягуються в одну граничну точку. Доведено, що граничним процесом також є косий броунiвський рух з локальним часом в граничнiй точцi. Знайдено формулу для обчислення коефiцiєнту при локальному часi граничного процесу. Conditions of convergence in mean of skew Brownian motions with local times in several points, which are contracted in a limiting point, are obtained. It is proved that the limiting process is also skew Brownian motion with the local time in the limiting point. We found a formula to calculate the coefficient of local time of limiting process. 2016 Article Збіжність косих броунівських рухів з локальними часами в кількох точках, які стягуються в одну / І.Г. Крикун // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 2. — С. 213-223. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1810-3200 010 MSC: 60F25, 60J55 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140901 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримано умови збiжностi в середньому процесiв косого броунiвського руху з локальними часами в кiлькох точках, якi стягуються в одну граничну точку. Доведено, що граничним процесом також є косий броунiвський рух з локальним часом в граничнiй точцi. Знайдено формулу для обчислення коефiцiєнту при локальному часi граничного процесу. |
| format |
Article |
| author |
Крикун, І.Г. |
| spellingShingle |
Крикун, І.Г. Збіжність косих броунівських рухів з локальними часами в кількох точках, які стягуються в одну Український математичний вісник |
| author_facet |
Крикун, І.Г. |
| author_sort |
Крикун, І.Г. |
| title |
Збіжність косих броунівських рухів з локальними часами в кількох точках, які стягуються в одну |
| title_short |
Збіжність косих броунівських рухів з локальними часами в кількох точках, які стягуються в одну |
| title_full |
Збіжність косих броунівських рухів з локальними часами в кількох точках, які стягуються в одну |
| title_fullStr |
Збіжність косих броунівських рухів з локальними часами в кількох точках, які стягуються в одну |
| title_full_unstemmed |
Збіжність косих броунівських рухів з локальними часами в кількох точках, які стягуються в одну |
| title_sort |
збіжність косих броунівських рухів з локальними часами в кількох точках, які стягуються в одну |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140901 |
| citation_txt |
Збіжність косих броунівських рухів з локальними часами в кількох точках, які стягуються в одну / І.Г. Крикун // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 2. — С. 213-223. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT krikuníg zbížnístʹkosihbrounívsʹkihruhívzlokalʹnimičasamivkílʹkohtočkahâkístâguûtʹsâvodnu |
| first_indexed |
2025-07-10T11:30:31Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:30:31Z |
| _version_ |
1837259328217677824 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 13 (2016), № 2, 213 – 223
Збiжнiсть косих броунiвських рухiв
з локальними часами в кiлькох точках,
якi стягуються в одну
Iван Г. Крикун
(Представлена С. Я. Махном)
Анотацiя. Отримано умови збiжностi в середньому процесiв косого
броунiвського руху з локальними часами в кiлькох точках, якi стя-
гуються в одну граничну точку. Доведено, що граничним процесом
також є косий броунiвський рух з локальним часом в граничнiй то-
чцi. Знайдено формулу для обчислення коефiцiєнту при локальному
часi граничного процесу.
2010 MSC. 60F25, 60J55.
Ключовi слова та фрази. Стохастичнi рiвняння, локальний час,
косий броунiвський рух, збiжнiсть в середньому.
1. Вступ
Розглянемо косий броунiвський рух як розв’язок стохастичного
рiвняння з N локальними часами в точках та з коефiцiєнтами, якi
залежать вiд параметру n
ξn(t) = β1(n)L
ξn(t, 0) +
N∑
i=2
βi(n)L
ξn(t, ai(n)) +w(t), t ∈ [0, T ]. (1.1)
Дослiджується питання про збiжнiсть розв’язкiв стохастичного
рiвняння (1.1) за умови, що параметр n → ∞, а коефiцiєнти при ло-
кальних часах βi(n) прямують при цьому до своїх граничних значень
βi вiдповiдно (i = 1, ..., N), а точки ai(n) прямують до 0 (i = 2, ..., N).
В данiй роботi розглядається косий броунiвський рух, визначе-
ний К. Iто i Х. Маккiном [1] i побудований у зв’язку з Феллерiв-
ською класифiкацiєю одновимiрних дифузiйних процесiв у термiнах
Стаття надiйшла в редакцiю 01.03.2016
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
214 Збiжнiсть косих броунiвських рухiв...
елiптичних диференцiйних операторiв другого порядку. В роботах В.
Розенкранца [2] та М. I. Портенка [3] косий броунiвський рух бу-
ло отримано як слабку границю певного процесу, коефiцiєнт зносу
якого прямує до дельта-функцiї в точцi 0. В подальшому косий бро-
унiвський рух розглядався у багатьох роботах. Вiдзначимо роботи
таких авторiв, як Дж. Харрiсон, Л. Шепп [4] та Ж.-Ф. Ле Галл [5], у
яких цей процес пов’язаний iз розв’язком стохастичного рiвняння з
локальним часом. У роботi [5], а також у роботах Х.-Й. Енгелберта, В.
Шмiдта [6], С. Я. Махна [7] запропонованi формули, якi пов’язують
розв’язки стохастичних рiвнянь з локальним часом iз розв’язками
рiвнянь Iто. Детальнiший огляд недавнiх результатiв, численних уза-
гальнень та властивостей косого броунiвського руху можна знайти в
працях А. Леджея [8], Дж. М. Рамiреса [9].
В книгах М.I. Портенка [10,11] розглядається розв’язки стохасти-
чних рiвнянь типу (1.2) як дифузiйнi процеси у просторi з частково
прозорими бар’єрами (напiвпрозорими мембранами).
Питання про поведiнку часткового випадку процесу (1.1) — косого
броунiвського руху з двома напiвпрозорими мембранами, якi стягу-
ються в одну, — тобто процесу виду
ξn(t) = β1(n)L
ξn(t, 0) + β2(n)L
ξn(t, a(n)) + w(t), t ∈ [0, T ]. (1.2)
де a(n) → 0 при n→ ∞, було розглянуто Л.Л. Зайцевою [12]. Отрима-
ний нею результат спiвпадає з результатом для аналогiчного випадку
в данiй роботi (див. Приклад 1). В роботi Д. Дередре, С. Маззонет-
то, С. Рьоллi [13] розглянуто та отримано перехiдну щiльнiсть косого
броунiвського руху з двома частково прозорими бар’єрами (та зi зно-
сом, рiвним константi).
В недавнiх роботах С. Я. Махна [14] та [15] розглянуто питання
про граничну поведiнку розв’язкiв стохастичних рiвнянь з локальни-
ми часами в багатьох точках (з бар’єрами) у випадках коли бар’єри
в границi заповнюють певний вiдрiзок [14] i коли бар’єри збiгаються
в один бар’єр [15]. Рiвняння для процесiв в [14, 15] є бiльш загаль-
ними, проте в них доведена слабка збiжнiсть до граничного процесу.
В данiй же роботi вдається довести збiжнiсть в середньому косого
броунiвського процесу до граничного процесу.
Вiдомо [4], що при |βi| > 1 рiвняння (1.1) не має розв’язкiв. Якщо
ж |βi| = 1, то ця ситуацiя згiдно [16] вiдповiдає наявностi непрозорої
мембрани в точцi ai(n). Тому особливий iнтерес викликає питання
про граничний процес для процесу (1.1) у випадку, якщо |βi| < 1,
але
∣∣∣
N∑
i=1
βi
∣∣∣ ≥ 1. Як показує отриманий результат в данiй роботi ре-
I. Г. Крикун 215
зультат, тодi граничний процес теж буде косим броунiвським рухом з
коефiцiєнтом при локальному часi, що за модулем менший за одини-
цю. Формула для обчислення згаданого коефiцiєнта при локальному
часi наведена.
Робота органiзована таким чином: у наступному роздiлi 2 наведе-
но позначення та сформульовано основний результат роботи — теоре-
му 1; в роздiлi 3 доведено теорема 1 та допомiжнi леми 1—2. Роздiл 4
мiстить висновки та узагальнення отриманих результатiв. В роздiлi
5 наведено модельнi приклади.
2. Основний результат
Введемо позначення. Нехай IA(x) — iндикатор множини A.
При фiксованому n та |βi(n)| ≤ 1 для i = 1, ..., N рiвняння (1.1)
має єдиний сильний розв’язок [4], [17, теорема II.5.5], тобто на ймовiр-
нiсному просторi (Ω,F,Ft,P) з потоком σ-алгебр Ft, t ∈ [0, T ] та за-
даним стандартним одновимiрним вiнерiвським процесом (w(t),Ft),
iснує неперервний семiмартингал (ξ(t),Ft) такий, що симетричнi ло-
кальнi часи в точках 0 та ai(n), i = 2, ..., N , що заданi рiвнiстю
Lξn(t, b) = lim
δ→0
1
2δ
∫ t
0
I(
b−δ,b+δ
)(ξn(s))ds,
iснують майже напевно i (1.1) виконується майже напевно.
Для косого броунiвського руху (1.1) введемо наступну умову.
Умова (I):
I1. |βi(n)| < 1 для всiх n та i = 1, ..., N .
I2. Iснують константи βi такi, що |βi| < 1, i = 1, ..., N , та
lim
n→∞
βi(n) = βi, i = 1, ..., N.
I3. ai(n) > 0 для всiх n, i = 2, ..., N .
I4. ai(n) 6= aj(n) при i 6= j для всiх n, i, j = 2, ..., N .
I5. Для i = 2, ..., N виконується
lim
n→∞
ai(n) = 0.
Основним результатом роботи є наступна теорема.
Теорема 1. Нехай для рiвняння (1.1) виконується умова (I). Тодi
має мiсце збiжнiсть при n → ∞ процесiв косого броунiвського руху
(1.1) до граничного процесу
ξ(t) = γLξ(t, 0) + w(t), t ∈ [0, T ], (2.3)
216 Збiжнiсть косих броунiвських рухiв...
в середньому рiвномiрно за часом, тобто має мiсце рiвнiсть
lim
n→∞
E
[
sup
0≤t≤T
∣∣ξn(s)− ξ(s)
∣∣
]
= 0. (2.4)
При цьому коефiцiєнт γ при локальному часi граничного процесу ξ(t)
знаходиться за формулою:
γ =
N∏
i=1
(1 + βi)−
N∏
i=1
(1− βi)
N∏
i=1
(1 + βi) +
N∏
i=1
(1− βi)
. (2.5)
Позначимо tanhx — тангенс гiперболiчний x, artanh x — гiпербо-
лiчний ареатангенс (обернений тангенс гiперболiчний) x.
Зауваження 1. Коефiцiєнт при локальному часi γ граничного про-
цесу можна знайти за такою формулою:
γ = tanh
( N∑
i=1
artanh βi
)
. (2.6)
Iдентичнiсть формул (2.5) i (2.6) доведена в лемi 2 нижче.
Зауваження 2. Нескладно довести, що при виконаннi вимоги I2 ко-
ефiцiєнт при локальному часi граничного процесу буде обмежений в
тих же межах: |γ| < 1.
3. Доведення основного результату
Доведення теореми 1. Доведення полягає в застосуваннi результату
[5, теорема 3.1] для процесу (1.1).
Справдi, в позначеннях [5],
ϕn(t) ≡ 1, νn(dx) = β1(n)δ0(x)dx+
N∑
i=2
βi(n)δai(n)(x)dx,
таким чином, при виконаннi умови ( I ), ϕn та νn належать вiдповiд-
ним класам функцiй/мiр та є обмеженими так, як вказано в вимо-
гах [5, теорема 3.1].
Далi, в позначеннях [5],
fνn(x) =
∏
y≤x
1− νn({y})
1 + νn({y})
I. Г. Крикун 217
=
1, x < 0,
1− β1(n)
1 + β1(n)
, 0 ≤ x < a2(n),
k−1∏
i=1
1− βi(n)
1 + βi(n)
, ak−1(n) ≤ x < ak(n), k = 3, 4, ..., N,
N∏
i=1
1− βi(n)
1 + βi(n)
, x ≥ aN (n).
Граничними функцiями будуть
ϕ(t) ≡ 1, f(x) =
1, x < 0
N∏
i=1
1− βi
1 + βi
, x ≥ 0.
Звiдси обмеженою мiрою, асоцiйованою з цiєю функцiєю f , буде
f ′(dx) =
(
f(0)− f(0−)
)
δ0(x)dx =
( N∏
i=1
1− βi
1 + βi
− 1
)
δ0(x)dx.
В пiдсумку, мiра ν(dx) визначається так
ν(dx) = − f ′(dx)
f(0) + f(0−)
=
1−
N∏
i=1
1− βi
1 + βi
1 +
N∏
i=1
1− βi
1 + βi
δ0(x)dx.
Таким чином, виконуються всi вимоги [5, теорема 3.1], звiдки мо-
жемо знайти, що має мiсце рiвнiсть (2.4), де граничний процес ξ(t)
має вигляд (2.3) з коефiцiєнтом при локальному часi, що знаходиться
за формулою
γ =
1−
N∏
i=1
1− βi
1 + βi
1 +
N∏
i=1
1− βi
1 + βi
,
з якої нескладно отримати формулу для коефiцiєнту при локальному
часi граничного процесу (2.5).
218 Збiжнiсть косих броунiвських рухiв...
Лема 1. Коефiцiєнт при локальному часi граничного процесу γ, ви-
значений формулою (2.5) або (2.6), може бути знайденим за реку-
рентною формулою: γ = γN , де
γ1 = β1, γi =
γi−1 + βi
1 + γi−1βi
, i = 2, ..., N. (3.7)
Доведення. 1. Спочатку доведемо лему для величини γ, обчисленої
за формулою (2.5). Для спрощення запису позначимо
B+
k =
k∏
i=1
(1 + βi), B−
k =
k∏
i=1
(1− βi).
Тодi формула (2.5) набуде вигляду
γ = γN =
B+
N −B−
N
B+
N +B−
N
.
Доведемо тепер лему за iндукцiєю.
Для k = 1 твердження леми очевидне, γ1 = β1. Доведемо для
k = 2. Отже, за формулою (2.5)
γ2 =
B+
2 −B−
2
B+
2 +B−
2
=
(1 + β1)(1 + β2)− (1− β1)(1− β2)
(1 + β1)(1 + β2)− (1− β1)(1− β2)
=
β1 + β2
1 + β1β2
;
а за формулою (3.7)
γ2 =
γ1 + β2
1 + γ1β2
=
β1 + β2
1 + β1β2
.
Отримали однакове значення, отже лема виконується для k = 2.
Припустимо, що лема виконується для довiльного цiлого k − 1:
γk−1 =
B+
k−1 −B−
k−1
B+
k−1 +B−
k−1
.
З формул (2.5), (3.7) маємо
γk =
γk−1 + βk
1 + γk−1βk
=
B+
k−1−B−
k−1
B+
k−1+B−
k−1
+ βk
1 +
B+
k−1−B−
k−1
B+
k−1+B−
k−1
βk
=
B+
k−1 −B−
k−1 + βk
(
B+
k−1 +B−
k−1
)
B+
k−1 +B−
k−1 + βk
(
B+
k−1 −B−
k−1
)
I. Г. Крикун 219
=
B+
k−1
(
1 + βk
)
−B−
k−1
(
1− βk
)
B+
k−1
(
1 + βk
)
+B−
k−1
(
1− βk
) =
B+
k −B−
k
B+
k +B−
k
,
тобто отримали, що твердження леми виконується для k. В силу до-
вiльностi значення k це закiнчує доведення леми для формули (2.5).
2. Доведемо тепер лему для величини γ, обчисленої за формулою
(2.6). Для гiперболiчного тангенса маємо формулу
tanh(A+B) =
tanhA+ tanhB
1 + tanhA tanhB
. (3.8)
Справдi, перетворюючи праву частину, отримаємо
tanhA+ tanhB
1 + tanhA tanhB
=
eA − e−A
eA + e−A
+
eB − e−B
eB + e−B
1 +
eA − e−A
eA + e−A
· e
B − e−B
eB + e−B
=
(eA − e−A)(eB + e−B) + (eB − e−B)(eA + e−A)
(eA + e−A)(eB + e−B) + (eA − e−A)(eB − e−B)
=
2
(
eA+B − e−A−B
)
2
(
eA+B + e−A−B
) = tanh(A+B).
Далi можемо аналогiчно попередньому довести за iндукцiєю, зва-
жаючи на те, що для k = 1 за формулою (2.6)
γ1 = tanh
(
artanh β1
)
= β1,
тобто лема має мiсце для k = 1; для k = 2 за формулами (2.6), (3.8)
γ2 = tanh
(
artanh β1 + artanh β2
)
=
tanh
(
artanh β1
)
+ tanh
(
artanh β2
)
1 + tanh
(
artanh β1
)
tanh
(
artanh β2
) =
β1 + β2
1 + β1β2
.
Отже лема виконується для k = 2. Зрештою, якщо лема виконується
для довiльного k − 1, k ≥ 3, то з формули (3.8) випливає (3.7) для
довiльного k. В силу довiльностi значення k це закiнчує доведення
леми для формули (2.6).
Лема 2. Формули для обчислення коефiцiєнту при локальному часi
граничного процесу (2.5) та (2.6) рiвносильнi.
Доведення. Твердження леми випливає з леми 1 та рiвностi γ1 та γ2,
обчислених за формулами (2.5) та (2.6).
220 Збiжнiсть косих броунiвських рухiв...
4. Висновки i узагальнення
Аналiз доведення теореми 1 дає можливiсть зробити наступнi ви-
сновки.
Наслiдок 1. Умову I3 (тобто ai(n) > 0, i = 2, ..., N) можна вiдки-
нути, обмежившись iншими умовами умови (I). Твердження тео-
реми 1 при цьому залишиться в силi, як i формула для обчислення
коефiцiєнту при локальному часi граничного процесу (2.5).
Наслiдок 2. Граничною точкою для послiдовностi ai(n) може бути
довiльна точка α, а не лише точка 0, тобто умову I5 теж можна
послабити. Твердження теореми 1 залишається в силi, як i фор-
мула для обчислення коефiцiєнту при локальному часi граничного
процесу (2.5).
Наслiдок 3. Теорема 1 має мiсце i у випадку коефiцiєнта дифузiї,
вiдмiнного вiд одиницi — для процесу
ξn(t) = x0+
N∑
i=1
βi(n)L
ξn(t, ai(n))+
∫ t
0
σn(ξn(s))dw(s), t ∈ [0, T ]. (4.9)
у якого симетричнi локальнi часи в точках ai(n), i = 1, ..., N заданi
рiвнiстю
Lξn(t, b) = lim
δ→0
1
2δ
∫ t
0
I(
b−δ,b+δ
)(ξn(s))σ2(ξn(s))ds.
Для збiжностi процесу (4.9) до граничного процесу (та для iсну-
вання сильного розв’язку рiвняння (4.9)) потрiбно, крiм виконання
умови (I), щоб коефiцiєнт дифузiї задовольняв вимоги [5, теорема
3.1], тобто σn(x) має бути:
— функцiєю обмеженої варiацiї;
— неперервною справа;
— обмеженою та вiдокремленою вiд нуля, тобто має iснувати кон-
станта Λ така, що
1
Λ
≤ σn(x) ≤ Λ;
— має iснувати функцiя σ(x) така, що
lim
n→∞
∫ K
−K
|σn(x)− σ(x)|dx = 0 для всiх K > 0.
Граничним буде процес
ξ(t) = x0 + γLξ(t, 0) +
∫ t
0
σ(ξ(s))dw(s), t ∈ [0, T ]. (4.10)
з коефiцiєнтом γ, що знаходиться за формулою (2.5) або (2.6).
I. Г. Крикун 221
5. Приклади
Приклад 1. Розглянемо косий броунiвський рух з двома напiвпрозо-
рими мембранами, якi стягуються в одну, тобто процес (1.2), i нехай
для нього виконується умова (I). Яким буде граничний процес?
Згiдно теореми 1 граничним для (1.2) процесом буде
ξ(t) = γLξ(t, 0) + w(t), t ∈ [0, T ],
де коефiцiєнт при локальному часi знаходиться за формулою (2.5)
так:
γ =
β1 + β2
1 + β1β2
. (5.11)
Приклад 2. Поставимо задачу: якi мають бути границi коефiцiєнтiв
βi при локальних часах косого броунiвського руху (1.1), щоб коефiцi-
єнт при локальному часi граничного косого броунiвського руху (2.3)
дорiвнював заданому A, де |A| < 1?
Зрозумiло, що ця задача може мати не один розв’язок — хоча б
тому, що як коефiцiєнти при локальних часах дограничного процесу,
так i їх кiлькiсть можуть бути довiльними.
Якщо маємо косий броунiвський рух з N локальними часами (1.1)
та з рiвними коефiцiєнтами при локальних часах βi = β, де |β| < 1,
для i = 1, ..., N , то зручнiше користуватися формулою (2.6):
A = tanh(Nartanh β);
Nartanh β = artanh A;
artanh β =
artanh A
N
.
Звiдки можемо отримати остаточну формулу для граничного зна-
чення коефiцiєнтiв при локальних часах:
β = tanh
(
artanh A
N
)
.
Розглянемо окремо найпростiший варiант — косий броунiвський
рух з двома локальними часами (1.2) та з однаковими коефiцiєнтами
при локальних часах: β1 = β2 = β, де |β| < 1. Тодi для знаходження
коефiцiєнту β зручнiше скористатися формулою (5.11):
2β
1 + β2
= A.
222 Збiжнiсть косих броунiвських рухiв...
Нескладний аналiз отриманого квадратного вiдносно β рiвняння
показує, що граничне значення для коефiцiєнтiв при локальних часах
дограничного косого броунiвського руху має бути таким:
β =
1−
√
1−A2
A
.
Подяка
Автор висловлює вдячнiсть анонiмному рецензенту за ретель-
не вивчення тексту та кориснi зауваження, якi допомогли покращити
статтю.
Лiтература
[1] K. Ito, H. McKean, Brownian motions on a half line // Illinois J. Math., 7 (1963),
issue 2, 181–231.
[2] W. A. Rosenkrantz, Limit theorems for solutions to a class of stochastic differenti-
al equations // Indiana University Mathematics Journal, 24(7) (1975), 613–625.
[3] N. I. Portenko, Generalized diffusion processes // Proceedings of the Third
Japan—USSR Symposium on Probability Theory, Springer Berlin Heidelberg,
1976, 500–523.
[4] J. M. Harrison, L. A. Shepp, On skew Brownian moution // The Annals of
Probability, 9 (1981), №2, 309–313.
[5] J.-F. Le Gall, One-dimensional stochastic equations involving the local times of
the unknown process // Lecture Notes in Mathematics, 1095 (1983), 51–82.
[6] H.-J. Engelbert, W. Schmidt, Strong Markov continuous local martingales and
solutions of one-dimensional stochastic differential equations, III // Math.
Nachr., 151 (1991), issue 1, 149–197.
[7] С. Я. Махно, Гранична теорема для стохастичних рiвнянь з локальним
часом // Теорiя ймовiрностей та математична статистика, 64 (2001), 106–
109.
[8] A. Lejay, On the constructions of the skew Brownian motion // Probab. Surv., 3
(2006), 413–466.
[9] J. M. Ramirez, Multi-skewed Brownian motion and diffusion in layered media //
Proc. Amer. Math. Soc., 139(10) (2006), 3739–3752.
[10] М. I. Портенко, Дифузiя у середовищах з напiвпрозорими мембранами, К.,
Iнститут математики НАН України, 1994.
[11] М. I. Портенко, Процеси дифузiї у середовищах з мембранами, К., Iнститут
математики НАН України, 1995.
[12] L. L. Zaitseva, Wiener process with two partly reflecting membranes // Abstracts
of International Gnedenko conference, June 3–7, 2002, Kyiv, (2002), p. 241.
[13] D. Dereudre, S. Mazzonetto, S. Roelly, An explicit representation of the transition
densities of the skew Brownian motion with drift and two semipermeable barriers
// (2015), arXiv preprint arXiv:1509.02846.
I. Г. Крикун 223
[14] С. Я. Махно, Диффузионные процессы в композитных средах // Теорiя ймо-
вiрностей та математична статистика, 94 (2016), 130–142.
[15] S. Ya. Makhno, One-dimensional stochastic equations in layered media with semi-
permeable barriers // Random Oper. Stoch. Equ., 24 (2016), issue 3, 165–171.
[16] Н. И. Портенко, Обобщенные диффузионные процессы, К., Наукова думка,
1982, 208 с.
[17] С. Я. Махно, Стохастические уравнения. Предельные теоремы. Серия “За-
дачи и методы: математика, механика, кибернетика”, Т. 6, К., Наукова думка,
2012, 434 с.
Вiдомостi про авторiв
Iван Григорович
Крикун
Первомайський полiтехнiчний iнститут
НУК iм. адмiрала Макарова,
м. Первомайськ, Україна
&
Iнститут прикладної математики
i механiки НАН України,
Слов’янськ, Україна
E-Mail: iwanko@i.ua
|