Использование дополнительных функций для исследования устойчивости и неустойчивости неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Для неавтономных систем дифференциальных уравнений получил развитие метод исследования устойчивости нулевогорешенияспомощью дополнительныхфункций. Этот метод используется для того, чтобы за счет добавления дополнительных функцийоткорректировать функциюсо знакопостоянной производной по времени в сил...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Series: | Механика твердого тела |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140940 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Использование дополнительных функций для исследования устойчивости и неустойчивости неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 78-86. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140940 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1409402018-07-20T01:23:07Z Использование дополнительных функций для исследования устойчивости и неустойчивости неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Ковалев, А.М. Неспирный, В.Н. Для неавтономных систем дифференциальных уравнений получил развитие метод исследования устойчивости нулевогорешенияспомощью дополнительныхфункций. Этот метод используется для того, чтобы за счет добавления дополнительных функцийоткорректировать функциюсо знакопостоянной производной по времени в силу рассматриваемой системы, которая может быть построена для весьма широкого класса неавтономных систем, и получить в результате функцию со знакоопределенной производной. В статье предложены способы построениядополнительныхфункцийдляслучая, когда инвариантное множество, генерируемое производной функции Ляпуноваповремени, имеетсложнуюгеометрическую структуру и является объединением нескольких подмножеств, а также для случая, когда указанное инвариантное множество определяется более, чем двумя первыми членами це-почки производных по времени от инвариантного соотношения. Получены достаточные условия, при которых использование дополнительных функций обеспечивает асимптотическую или неасимптотическую устойчивость. For a wide class of nonautonomous systems of ordinary differential equations, functions of state variables and time can be constructed, which have non-positive time derivative by virtue of the system. The method of additional functions has been developed to construct a function, having sign-definite time derivative, by adding special function summands to the initial function. In the article, some techniques are proposed for constructing additional functions in the case of complicated geometric structure of the invariant set, generated by the time derivative of a Lyapunov function, and also in the case when this invariant set is defined by three or more terms of the time derivatives chain for some invariant relation. Sufficient conditions, under which application of these additional functions ensures asymptotic stability or non-asymptotic stability, are obtained. 2017 Article Использование дополнительных функций для исследования устойчивости и неустойчивости неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 78-86. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140940 531.36, 517.91, 517.925.5 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для неавтономных систем дифференциальных уравнений получил развитие метод исследования устойчивости нулевогорешенияспомощью дополнительныхфункций. Этот метод используется для того, чтобы за счет добавления дополнительных функцийоткорректировать функциюсо знакопостоянной производной по времени в силу рассматриваемой системы, которая может быть построена для весьма широкого класса неавтономных систем, и получить в результате функцию со знакоопределенной производной. В статье предложены способы построениядополнительныхфункцийдляслучая, когда инвариантное множество, генерируемое производной функции Ляпуноваповремени, имеетсложнуюгеометрическую структуру и является объединением нескольких подмножеств, а также для случая, когда указанное инвариантное множество определяется более, чем двумя первыми членами це-почки производных по времени от инвариантного соотношения. Получены достаточные условия, при которых использование дополнительных функций обеспечивает асимптотическую или неасимптотическую устойчивость. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.М. Неспирный, В.Н. |
| spellingShingle |
Ковалев, А.М. Неспирный, В.Н. Использование дополнительных функций для исследования устойчивости и неустойчивости неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Механика твердого тела |
| author_facet |
Ковалев, А.М. Неспирный, В.Н. |
| author_sort |
Ковалев, А.М. |
| title |
Использование дополнительных функций для исследования устойчивости и неустойчивости неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_short |
Использование дополнительных функций для исследования устойчивости и неустойчивости неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_full |
Использование дополнительных функций для исследования устойчивости и неустойчивости неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Использование дополнительных функций для исследования устойчивости и неустойчивости неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Использование дополнительных функций для исследования устойчивости и неустойчивости неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_sort |
использование дополнительных функций для исследования устойчивости и неустойчивости неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140940 |
| citation_txt |
Использование дополнительных функций для исследования устойчивости и неустойчивости неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 78-86. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevam ispolʹzovaniedopolnitelʹnyhfunkcijdlâissledovaniâustojčivostiineustojčivostineavtonomnyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT nespirnyjvn ispolʹzovaniedopolnitelʹnyhfunkcijdlâissledovaniâustojčivostiineustojčivostineavtonomnyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-10T11:35:49Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:35:49Z |
| _version_ |
1837259662667284480 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2017. Вып. 47
УДК 531.36, 517.91, 517.925.5
c©2017. А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
И НЕУСТОЙЧИВОСТИ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для неавтономных систем дифференциальных уравнений получил развитие метод иссле-
дования устойчивости нулевого решения с помощью дополнительных функций. Этот метод
используется для того, чтобы за счет добавления дополнительных функций откорректиро-
вать функцию со знакопостоянной производной по времени в силу рассматриваемой систе-
мы, которая может быть построена для весьма широкого класса неавтономных систем, и
получить в результате функцию со знакоопределенной производной. В статье предложены
способы построения дополнительных функций для случая, когда инвариантное множество,
генерируемое производной функции Ляпунова по времени, имеет сложную геометрическую
структуру и является объединением нескольких подмножеств, а также для случая, когда
указанное инвариантное множество определяется более, чем двумя первыми членами це-
почки производных по времени от инвариантного соотношения. Получены достаточные
условия, при которых использование дополнительных функций обеспечивает асимптоти-
ческую или неасимптотическую устойчивость.
Ключевые слова: неавтономные системы, устойчивость, функция Ляпунова, метод
дополнительных функций.
Введение. Задача об устойчивости некоторого положения равновесия
или заданного режима движения системы была сформулирована А.М.Ляпу-
новым [1] в 1892 году. Им же были предложены и несколько методов исследо-
вания устойчивости. Среди них наибольшую популярность приобрел второй
метод Ляпунова, основанный на изучении свойств некоторых специальным
образом подбираемых функций (функций Ляпунова) и их производных в си-
лу заданной системы. Преимущество этого метода заключается в том, что для
исследования устойчивости не требуется находить решения системы. Одна-
ко построение функции Ляпунова не имеет четко определенного алгоритма
в общем случае и для конкретной заданной системы требует определенного
искусства.
Большое значение для развития методов исследования асимптотической
устойчивости имела теорема Барбашина–Красовского [2], в которой для ав-
тономной (или периодической по времени) системы требование знакоопре-
деленности производной функции Ляпунова в силу системы было ослабле-
но. Теорема гарантирует асимптотическую устойчивость при наличии зна-
коопределенной функции со всего лишь знакопостоянной производной, если
множество обращения в нуль этой производной не содержит целых полутра-
екторий (за исключением нулевого решения). Построение такой функции со
знакопостоянной производной для ряда важных приложений (в частности,
для механических систем) оказалось гораздо проще.
78
Использование дополнительных функций
Существенным вкладом в конструктивный подход к исследованию устой-
чивости стало появление метода дополнительных функций [3, 4]. Отправной
точкой в данном методе является нахождение функции со знакопостоянной
производной (без ограничения на знак самой функции). В дальнейшем, с
помощью метода инвариантных соотношений [5] из множества обращения
в нуль производной построенной функции выделяется инвариантное много-
образие и с помощью дополнительных функций строится новая функция,
которая может обращаться в нуль только уже на инвариантном многообра-
зии. Такая функция позволяет практически полностью исследовать систему
в автономном случае, выделяя устойчивые, асимптотически устойчивые и не-
устойчивые переменные [6, 7].
В связи с обобщением метода инвариантных соотношений на неавтоном-
ный случай [8] часть результатов метода дополнительных функций удалось
перенести на случай систем с правыми частями, зависящими от времени [9],
и получить теорему о частичной асимптотической устойчивости. Настоящая
работа продолжает исследование, связанное с обобщением метода дополни-
тельных функций на системы неавтономных дифференциальных уравнений.
1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения. Пусть
задана система неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений
ẋ = f(x, t), x ∈ X, t ∈ I, (1)
где X – некоторая область пространства Rn, содержащая начало координат
в качестве внутренней точки; I – бесконечный полуинтервал времени [t0,∞);
f(x, t) – функция, непрерывно дифференцируемая достаточное число раз на
множестве (x, t) ∈ X × I, и при любом t ∈ I выполняется f(0, t) = 0, что
обеспечивает существование нулевого решения системы (1), т. е. положения
равновесия в начале координат.
Ставится задача об установлении характера этого положения равновесия:
устойчивое, асимптотически устойчивое или неустойчивое.
Введем следующие обозначения. Парой угловых скобок 〈, 〉 будем обозна-
чать стандартное скалярное произведение двух n-мерных векторов. Симво-
лом Df обозначим оператор дифференцирования функции в силу системы
(1). Наряду с обозначением Df там, где это не будет допускать двусмысленно-
сти, для обозначения производной в силу системы будем использовать также
точку над дифференцируемой функцией: ϕ̇ = Dfϕ.
При анализе устойчивости с помощью функций Ляпунова часто возника-
ет вопрос об определении наличия целых полутраекторий системы, лежащих
в множестве, где производная функции Ляпунова обращается в нуль. Этот
вопрос разрешается с помощью метода инвариантных соотношений, который
позволяет выделить из множества, заданного некоторым соотношением, ин-
вариантное многообразие.
Пусть исследуемое множество M определяется функцией ϕ:
M = {(x, t) : ϕ(x, t) = 0}.
79
А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный
Будем предполагать, что ϕ такова, что ϕ(0, t) = 0. Это гарантирует, что M
содержит по крайней мере нулевое решение системы (1) и, следовательно,
ϕ является инвариантным соотношением. Тогда, согласно [8], инвариантное
множество N , содержащееся в M , задается бесконечной системой функцио-
нальных уравнений:
ϕ(x, t) = 0, Dfϕ(x, t) = 0, ..., Ds
fϕ(x, t) = 0, ... . (2)
Большинство содержательных результатов в теории инвариантных со-
отношений получается в случае, когда частные производные функции ϕ не
обращаются в нуль одновременно по крайней мере на множестве M . Поэтому
далее всюду будем предполагать, что градиент функции ϕ не обращается в
нуль на M (или, в векторном случае, что матрица Якоби вектор-функции ϕ
имеет полный ранг).
Следующая лемма справедлива даже в том случае, если указанное свой-
ство не выполнено.
Лемма 1. [8] Для всех точек множества N должны выполняться урав-
нения (2).
Очевидно, что бесконечная система функциональных уравнений, связыва-
ющих фиксированное число переменных, не может быть независимой. Сле-
довательно, в (2) найдется не более, чем n + 1 уравнений, система которых
будет эквивалентна исходной бесконечномерной системе (2). Следующая тео-
рема показывает, что искать эти независимые уравнения следует в начале
цепочки.
Теорема 1. [8] Если в последовательности (2) существует k функцио-
нально независимых уравнений, то независимыми будут и первые k уравне-
ний системы (2).
Введем обозначение для множества, которое определяется первыми k
уравнениями системы (2):
Mk = {(x, t) ∈ X × I
∣
∣
∣
ϕ(x, t) = 0, Dfϕ(x, t) = 0, ..., Dk−1
f ϕ(x, t) = 0}. (3)
В соответствии с этим обозначением и определением множества M , имеем
M1 = M . Для удобства будем считать, что M0 совпадает со всем расширен-
ным фазовым пространством X × I. Имеет место следующее включение
Mk ⊇Mk+1. (4)
Пусть l – максимальное количество независимых функций в последова-
тельности (2). Тогда, в соответствии с теоремой 1, первые l членов цепочки
производных ϕ, Dfϕ, . . . , Dl−1
f будут независимыми, а все производные по-
рядка l и выше будут зависеть от них. Следовательно, Ml =Ml+1 = . . . = N .
Рассмотрим тогда разности между соседними множествами M0 \ M1,
M1 \ M2, . . . , Ml−1 \ Ml и множество N . Построенное семейство множеств
образует разбиение области определения системы (1) на подмножества, кото-
рые, по аналогии с [5], будем называть слоями области X × I относительно
80
Использование дополнительных функций
инариантного соотношения ϕ = 0. В соответствии с [5], соотношение ϕ = 0,
которое порождает l функционально независимых членов цепочки производ-
ных (2), называют (l−1)-слойным, подразумевая, что из множества M , опре-
деляемого инвариантным соотношением, следует исключить l − 1 слой для
выделения инвариантного множества N .
Лемма 2. Пусть задано (l−1)-слойное инвариантное соотношение ϕ, а
N – инвариантное множесnво, определяемое им. Тогда для каждой точки
(x∗, t∗) ∈ M \ N найдется 1 ≤ k ≤ l такое, что Dk
fϕ(x∗, t∗) 6= 0, а для всех
0 ≤ i < k выполнено Di
fϕ(x∗, t∗) = 0.
Из определения слоев следует, что значение k для каждой точки (x∗, t∗)
из множества M \N определяется номером слоя инвариантного соотношения,
в котором лежит эта точка.
2. Дополнительные функции и их свойства. При достаточно об-
щих предположениях на правые части неавтономной системы (1) для нее
может быть построена функция V (x, t) с отрицательно постоянной производ-
ной V̇ (x, t). Если при этом сама функция V (x, t) оказывается положительно
определенной (в смысле существования функции Хана a(||x||), оценивающей
снизу функцию V (x, t)), то по теореме Ляпунова [1] нулевое решение системы
(1) будет устойчивым (но не обязательно асимптотически).
В теоремах Ляпунова об асимптотической устойчивости и о неустойчиво-
сти существенно используется, что функция V̇ (x, t) не может обращаться в
нуль, за исключением начала координат.
Метод дополнительных функций [3,4,9] предназначен для максимального
уменьшения множества M обращения в нуль производной V̇ (x, t). Дополни-
тельная функция Va строится таким образом, чтобы ее производная была
положительной всюду на множестве M , за исключением инвариантного мно-
жества N , содержащегося в M . При этом ее добавление к исходной функции
V с некоторыми коэффициентами и показателями обеспечивает сохранение
свойств функций V̇ (x, t) и V (x, t) в оставшейся части области определения
системы (1) (прежде всего это касается знакопостоянства V̇ и знакоопреде-
ленности V , если это свойство изначально имело место для нее).
Итак, пусть задана функция V , производная которой в силу системы (1)
обращается в нуль на множестве M . Пусть M представляет собой объедине-
ние s многообразий Mi, проходящих через начало координат и задающихся
соотношениями ϕi(x, t) = 0 (при этом ϕi может быть вектор-функцией). Тог-
да дополнительная функция для соотношения ϕi = 0 из объединения соотно-
шений {ϕj = 0} (j = 1, s) определяется формулой
Vaϕi
(x, t) =
〈
Dϕi(x, t),Dϕi(x, t)
〉m〈
Dϕi(x, t), ϕi(x, t)
〉
∏
j 6=i
〈
ϕj(x, t), ϕj(x, t)
〉
.
(5)
В [4] такая функция названа дополнительной функцией второго типа.
Дополнительная функция первого типа является частным случаем дополни-
81
А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный
тельной функции второго типа для объединения, состоящего всего из одного
соотношения.
Лемма 3. Пусть ϕi(x, t) (i = 1, s) — некоторые заданные функции, Mi
— множество, определенное соотношением ϕi(x, t) = 0, Ni — множество,
определяемое двумя соотношениями ϕi(x, t) = 0, Dfϕi(x, t) = 0, Mi− — объе-
динение всех множеств Mj , за исключением Mi, а функция Vaϕi
(x, t) задана
формулой (5). Тогда производная функции Vaϕi
(x, t) в силу системы (1) при-
нимает на множестве Mi \ (Mi−
⋃
Ni) строго положительные значения, а
на множествах Ni и Mi− обращается в нуль.
Доказательство. Вычислим производную функции (5):
V̇aϕi
(x, t) =
(
〈ϕ̇i, ϕ̇i〉
m+1 + 2m〈ϕ̇i, ϕ̇i〉
m−1〈ϕ̇i, ϕ̈i〉〈ϕ̇i, ϕi〉+ 〈ϕ̇i, ϕ̇i〉
m〈ϕ̈i, ϕi〉
)
×
×
∏
j 6=i
〈ϕj , ϕj〉+ 2〈ϕ̇i, ϕ̇i〉
m〈ϕ̇i, ϕi〉
∑
k 6=i
〈ϕ̇k, ϕk〉
∏
j 6=i,j 6=k
〈ϕj , ϕj〉
.
На множестве Mi имеет место соотношение ϕi = 0, поэтому на нем справед-
ливо равенство
V̇aϕi
∣
∣
∣
(x,t)∈Mi
= 〈ϕ̇i, ϕ̇i〉
m+1
∏
j 6=i
〈ϕj , ϕj〉. (6)
Если (x, t) ∈ Mi \ (Mi−
⋃
Ni), то значения ϕj отличны от нуля для всех j и,
кроме того, значение производной ϕ̇i не равно нулю. Из того, что полученное
выражение для производной является произведением квадратов указанных
ненулевых значений, следует, что V̇aϕi
на множестве Mi \ (Mi−
⋃
Ni) прини-
мает строго положительные значения.
Рассмотрим точку (x, t) из множества Ni, которое является подмноже-
ством Mi. В этих точках, в нуль обращается не только функция ϕi, но и ее
производная ϕ̇i. Подстановка ϕ̇i = 0 в формулу (6) дает нулевое значение
производной V̇aϕi
дополнительно функции второго типа.
Наконец, определим значение V̇aϕi
на множествах Ml, где l 6= i. Тогда
обнуляются значения 〈ϕl, ϕl〉 и 〈ϕ̇l, ϕl〉. Поскольку в каждое из выражений
∏
j 6=i
〈ϕj , ϕj〉 и 〈ϕ̇k, ϕk〉
∏
j 6=i,j 6=k
〈ϕj , ϕj〉 входит множителем одно из этих значе-
ний, то каждое из этих выражений обнуляется на множестве Ml. Подстановка
нулевых значений вместо этих выражений в формулу для V̇aϕi
, где они вхо-
дят как множители, показывает, что производная дополнительной функции
второго типа принимает значение нуль на каждом множестве Ml (l 6= i), а,
значит, и на их объединении Mi−. Лемма полностью доказана.
В лемме 3 не делается никаких предположений о свойствах инвариант-
ности множеств Mi и Ni, поэтому она справедлива для любых множеств.
Однако в случае, когда Ni не является инвариантным, потребуется построить
также дополнительную функцию для того же объединения соотношений, в
котором соотношение ϕi = 0 будет заменено системой соотношений {ϕi =
= 0, ϕ̇i = 0}.
82
Использование дополнительных функций
Также следует отметить, что все построенные дополнительные функции
V̇aϕi
(i = 1, n) имеют нулевое значение производных на пересечениях нес-
кольких множеств. Если какое-то пересечение (например, Mi1
⋂
· · ·
⋂
Mik) не
является инвариантным множеством, то следует построить дополнительную
функцию для объединения соотношений, которое получается из исходного
объединения следующим образом: из объединения исключаются все соотно-
шения ϕi1 = 0, . . . , ϕik = 0 и вместо них добавляется одно векторное соотно-
шение {ϕi1 = 0, . . . , ϕik = 0}. При этом важно обеспечить, чтобы показатель у
соответствующей дополнительной функции для пересечения был выше, чем у
любой из уже построенных дополнительных функций для множеств, которые
содержат это пересечение.
Таким образом, в худшем случае (если каждое из возможных пересечений
представляет собой нетривиальный случай) может потребоваться рассмотре-
ние 2s − 1 различных объединений и построение для каждого из них до n
(в зависимости от количества слоев у соотношения, определяющего соответ-
ствующее пересечение) дополнительных функций.
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть задана система (1) и функция V с отрицательно-
постоянной производной V̇ в силу системы (1). Пусть множество обра-
щения в нуль производной V̇ является объединением s многообразий. То-
гда добавлением к V не более (2s − 1)n дополнительных функций вида (5),
домноженных на некоторые отрицательные коэффициенты, может быть
получена функция V ∗, производная которой будет также отрицательно-
постоянной. При этом множество обращения в нуль производной V̇ ∗ будет
инвариантным множеством для системы (1).
3. Исследование устойчивости с помощью дополнительных
функций. Теорема 2 позволяет максимально сузить множество обращения
в нуль производной функции V , допуская нулевые значения лишь на инвари-
антном множестве N . Всюду в этом разделе будем считать, что N является
(по крайней мере в окрестности начала координат) многообразием.
Для дальнейшего анализа выполним замену переменных в системе (1)
таким образом, чтобы N в новых координатах записывалось максимально
простым образом.
Пусть инвариантное множество N задается системой уравнений ϕ1(x, t) =
= 0, . . . , ϕk(x, t) = 0. Учитывая, что траектория нулевого решения должна
лежать в множестве N , для любого i должно быть выполнено ϕi(0, t) = 0.
Выберем еще n−k функций ψj(x, t) таким образом, чтобы выполнялось усло-
вие ψj(0, t) = 0 и матрица Якоби системы функций (ϕ,ψ) по переменным x
была невырожденной в каждый момент времени t, а ее определитель был
равномерно ограничен по t. Тогда определим новые переменные (y, z) фор-
мулами
{
yi = ϕi(x, t), i = 1, k,
zj = ψj(x, t), j = 1, n− k.
(7)
Заметим, что для случая, когда N состоит только из нулевого решения,
83
А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный
имеем k = n. Это означает, что переменных z не будет, а y будет совпадать с
фазовым вектором x. Следующая теорема показывает, что при положитель-
но определенной функции Ляпунова асимптотическая устойчивость нулевого
решения возможна лишь в случае k = n.
Теорема 3. Пусть V (x, t) — положительно определенная функция (рав-
номерно ограниченная снизу и сверху автономными положительно опре-
деленными функциями a(‖x‖) и b(‖x‖) соответственно), а ее производная
V̇ (x, t) в силу системы (1) — функция отрицательно постоянная и обра-
щается в нуль на множестве M = {(x, t) : ϕ(x, t) = 0}. Функции V , f и
ϕ являются гладкими (имеют непрерывные производные сколь угодно боль-
шого порядка) и градиент ϕ отличен от нуля. Если соотношение ϕ = 0
является (l − 1)-слойным (l < n), то нулевое решение x = 0 системы (1)
является неасимптотически устойчивым.
Доказательство. Заметим, что в условиях теоремы выполняются требо-
вания теоремы Ляпунова об устойчивости. Откуда следует, что решение x = 0
является устойчивым. Таким образом, остается показать, что решение x = 0
не является притягивающим.
Построим дополнительные функции для соотношений, опеределяющих
множества M1, M2, ... Ml−1. Теорема 2 гарантирует, что это возможно сде-
лать таким образом, чтобы производная функции V ∗ = V + α1VaM1 + . . .+
+αl−1VaMl−1
была по-прежнему знакопостоянной, но обращалась в нуль толь-
ко на множестве Ml = N . При этом за счет выбора показателя дополнитель-
ных функций (он должен быть выше порядка функции V ) можно обеспечить
сохранение знака V ∗ по крайней мере в некоторой окрестности нуля.
Пусть задано произвольное δ > 0. Поскольку l < n, инвариантное мно-
гообразие будет иметь размерность не менее двух. Учитывая, что точки ну-
левого решения (0, t) принадлежат множеству N , одна из этих размерностей
будет обязательно использована для t, а другая позволит при каждом t полу-
чать различные точки в окрестности начала координат. Возьмем некоторую
точку (x0, t0) ∈ N
⋂
(Bδ × I), при этом t0 может быть выбрано сколь угодно
большим. Пусть v0 = V (x0, t0). Тогда в силу положительной определенно-
сти функции V , имеем v0 > 0. Из условия инвариантности множества N и
того, что V̇ = 0 всюду на N , имеем, что функция V будет иметь постоян-
ное значение на любом решении с начальным условием из N , в том числе
на решении x(t;x0, t0), удовлетворяющем условию x(t0;x0, t0) = x0. То есть,
V (x(t;x0, t0), t) ≡ v0.
Положительно определенная функция b(‖x‖) должна возрастать в точке
‖x‖ = 0, откуда следует, что локально существует обратная функция b−1. По-
ложим ε = b−1(v0). Из ограниченности сверху функции V следует, что внутри
окрестности Bε значения функции V (x, t) при любом t будут строго меньше
v0. Это означает, что траектория x(t;x0, t0) не может попасть в окрестность
Bε ни при каких значениях t.
Таким образом, для любого δ и t0 найдутся такие ε и точка x0 ∈ Bδ, что
для любого значения t точка x(t;x0, t0) лежит вне окрестности Bε. Следова-
тельно, нулевое решение не является притягивающим.
84
Использование дополнительных функций
Итак, невозможно добиться асимптотической устойчивости нулевого ре-
шения по всем переменным, если после применения метода дополнительных
функций осталось нетривиальное инвариантное множество. Тем не менее при
определенных условиях можно выделить часть переменных, по которым ну-
левое решение будет асимптотически устойчивым. Это будут переменные y,
определяемые формулой (7).
Теорема 4. Пусть V (x, t) — положительно определенная функция (рав-
номерно ограниченная снизу автономной положительно определенной фун-
кцией a(‖x‖)), а ее производная V̇ (x, t) в силу системы (1) — функция отри-
цательно постоянная и обращается в нуль на множестве M = {(x, t) :
ϕ(x, t) = 0}. Функции V , f и ϕ являются гладкими (имеют непрерывные
производные сколь угодно большого порядка) и градиент ϕ отличен от ну-
ля. Тогда, если производная каждой дополнительной функции Vaj допускает
оценку снизу автономной положительно определенной относительно D\Nj
функцией cj , то нулевое решение является асимптотически устойчивым по
части переменных y.
Доказательство. Пусть разложение a(||x||) начинается членом порядка
малости 2β. Тогда воспользуемся теоремой (2) для построения дополнитель-
ных функций, при этом показатели выберем таким образом, чтобы было
выполнено mk > mk−1 > . . . > m1 ≥ β. Тогда величина VaMi
будет иметь
порядок малости не ниже 2mi + 2 > 2β. Отсюда следует, что существует не-
которая окрестность начала координат, в которой V ∗ = V + α1VaM1 + . . .+
+αl−1VaMl−1
будет сохранять знак V (x, t). Рассмотрим теперь производную
V̇f . Поскольку вне M выполнено V < 0, а функции VaMi
имеют больший по-
рядок малости, то по крайней мере в некоторой окрестности V̇ ∗ будет отри-
цательной. Поскольку V̇ = 0, V̇aMj
= 0 при j < i и V̇aMi
> 0 во всех точках
i-го слоя Mi \Mi+1, то при αi < 0 для всех точек этого слоя будет выполнено
V̇ ∗ > 0.
Для автономного случая этого результата уже было бы достаточно для
заключения о частичной асимптотической устойчивости. Однако для неавто-
номной системы необходимо получить равномерную по времени оценку для
производной. Она строится отдельно для каждого из слоев.
Для слоя Mi\Mi+1 (где будем считать y1, . . . , yi равными нулю, а перемен-
ную yi+1 отличной от нуля) значения V̇ , а также V̇aMj
при j < i обращаются
в нуль. А для остальных производных в силу наличия оценок, указанных
в условии теоремы, имеет место неравенство V̇aMj
> cj
(√
y2i+1 + . . .+ y2k
)
.
Так как показатели дополнительных функций выбирались так, чтобы обе-
спечить их возрастание при увеличении номера слоя, то в определенной
окрестности начала координат может быть обеспечено выполнение оценки
V̇ ∗ ≥ (1− ε)cj(‖y‖).
Выбрав c(‖y‖) = (1 − ε) min
j=0,k
{|αj |cj(‖y‖)}, получим, что для любого x
выполнено V̇ ∗(x, t) ≤ −c(‖y‖). Данная оценка позволяет применить теорему
85
А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный
Румянцева о частичной асимптотической устойчивости и завершить доказа-
тельство теоремы 4.
Заключение. В работе получил развитие метод построения дополни-
тельных функций в неавтономном случае. С его помощью доказана теорема о
возможности построения функции со знакопостоянной производной, обнуля-
ющейся лишь на инвариантном множестве. Показана возможность примене-
ния такой функции для исследования асимптотической и неасимптотической
устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений.
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
– 472 с.
2. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН
СССР. – 1952. – 86, №3. – С. 453-456.
3. Ковалев А.М. Построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной для
систем, удовлетворяющих теореме Барбашина–Красовского // Прикл. математика и
механика. – 2008. – 72, вып. 2. – С. 266-272.
4. Ковалев А.М., Суйков А.С. Функции Ляпунова для систем, удовлетворяющих усло-
виям теоремы Барбашина–Красовского // Докл. НАН Украины. – 2008. – № 12. –
С. 22-27.
5. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных урав-
нений // Механика твердого тела. – 1974. – Вып. 6. – С. 15-24.
6. Ковалев А.М. Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функ-
цией со знакопостоянной производной // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39.
– С. 3-28.
7. Ковалев А.М. Инвариантность и неустойчивость // Механика твердого тела. – 2010.
– Вып. 40. – С. 3-11.
8. Ковалев А.М., Горр Г.В., Неспирный В.Н. Инвариантные соотношения неавтоном-
ных систем дифференциальных уравнений с приложением в механике // Механика
твердого тела. – 2013. – Вып. 43. – C. 3-19.
9. Ковалев А.М., Неспирный В.Н. Метод дополнительных функций в теории устойчи-
вости неавтономных систем дифференциальных уравнений // Докл. НАН Украины.
– 2014. – № 8. – С. 20-27.
A.M. Kovalev, V.N. Nespirnyy
The application of the method of additional functions for an investigation of
stability and instability of non-autonomous systems of ordinary differential
equations
For a wide class of nonautonomous systems of ordinary differential equations, functions of state
variables and time can be constructed, which have non-positive time derivative by virtue of the
system. The method of additional functions has been developed to construct a function, having
sign-definite time derivative, by adding special function summands to the initial function. In
the article, some techniques are proposed for constructing additional functions in the case of
complicated geometric structure of the invariant set, generated by the time derivative of a
Lyapunov function, and also in the case when this invariant set is defined by three or more
terms of the time derivatives chain for some invariant relation. Sufficient conditions, under
which application of these additional functions ensures asymptotic stability or non-asymptotic
stability, are obtained.
Keywords: nonautonomous systems, stability, Lyapunov function, method of additional func-
tions.
ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”, Донецк
kovalev@iamm.su, vetal_n@mail.ru
Получено 16.10.17
86
|