О третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны

До задачі про поширення плоскої поздовжньої гармонічної хвилі в гіперпружному матеріалі, деформування якого відбувається квадратично нелінійно згідно з класичною моделлю Мурнагана, застосовано метод збурень (метод малого параметра). У точному вигляді отримано представлення третього наближення через...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Рущицький, Я.Я., Симчук, Я.В., Синчило, С.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2015
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140986
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны / Я.Я. Рущицький, Я.В. Симчук, С.В. Синчило // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 76-85. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-140986
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1409862018-07-22T01:22:45Z О третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны Рущицький, Я.Я. Симчук, Я.В. Синчило, С.В. До задачі про поширення плоскої поздовжньої гармонічної хвилі в гіперпружному матеріалі, деформування якого відбувається квадратично нелінійно згідно з класичною моделлю Мурнагана, застосовано метод збурень (метод малого параметра). У точному вигляді отримано представлення третього наближення через функції Ханкеля нульового та першого порядків та їхній добуток. Розглянуто варіант спрощення нового представлення. The perturbation method is applied to the problem on propagation of a cylindrical wave in the hyperelastic material, deformation of which іs quadratically nonlinear according to the classical Murnaghan model. The third approximation is found exactly through the fourth powers of Hankel functions of the zeroth and first indexes and their products. The variant of simplification of new representation is considered and numerically analyzed. 2015 Article О третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны / Я.Я. Рущицький, Я.В. Симчук, С.В. Синчило // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 76-85. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140986 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	До задачі про поширення плоскої поздовжньої гармонічної хвилі в гіперпружному матеріалі, деформування якого відбувається квадратично нелінійно згідно з класичною моделлю Мурнагана, застосовано метод збурень (метод малого параметра). У точному вигляді отримано представлення третього наближення через функції Ханкеля нульового та першого порядків та їхній добуток. Розглянуто варіант спрощення нового представлення.
format	Article
author	Рущицький, Я.Я. Симчук, Я.В. Синчило, С.В.
spellingShingle	Рущицький, Я.Я. Симчук, Я.В. Синчило, С.В. О третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны Прикладная механика
author_facet	Рущицький, Я.Я. Симчук, Я.В. Синчило, С.В.
author_sort	Рущицький, Я.Я.
title	О третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны
title_short	О третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны
title_full	О третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны
title_fullStr	О третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны
title_full_unstemmed	О третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны
title_sort	о третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140986
citation_txt	О третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны / Я.Я. Рущицький, Я.В. Симчук, С.В. Синчило // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 76-85. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT ruŝicʹkijââ otretʹempribliženiivanalizekvadratičnonelinejnojgiperuprugojcilindričeskojvolny AT simčukâv otretʹempribliženiivanalizekvadratičnonelinejnojgiperuprugojcilindričeskojvolny AT sinčilosv otretʹempribliženiivanalizekvadratičnonelinejnojgiperuprugojcilindričeskojvolny
first_indexed	2025-07-10T11:41:15Z
last_indexed	2025-07-10T11:41:15Z
_version_	1837260005784420352
fulltext	2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 3 76 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 3 Я .Я . Р ущ и ц к и й , Я . В .С им ч у к , С .В .С и н ч и л о О ТРЕТЬЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ В АНАЛИЗЕ КВАДРАТИЧНО НЕЛИНЕЙНОЙ ГИПЕРУПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова 3, 03057, Киев, Украина e-mail: rushch@inmech.kiev.ua Национальный технический университет Украины «КПИ», просп. Победы 34, 03034, Киев, Украина e-mail: simchuk@i.ua Abstract. The perturbation method is applied to the problem on propagation of a cylin- drical wave in the hyperelastic material, deformation of which іs quadratically nonlinear ac- cording to the classical Murnaghan model. The third approximation is found exactly through the fourth powers of Hankel functions of the zeroth and first indexes and their products. The variant of simplification of new representation is considered and numerically analyzed. Key words: cylindrical wave, quadratically nonlinear wave equation, Murnaghan model, perturbation method, first three approximations. Введение. Настоящая работа посвящена рассмотрению цилиндрической волны [2, 3, 15] в ги- перупругом материале, деформирование которого происходит квадратично нелинейно согласно модели Мурнагана. При этом рассмотрены различные постановки задачи (состояние плоской деформации, осесимметричное и другие состояния) [18 – 20]. Изучается осесимметричное состояние. Такая задача в рамках двух первых при- ближений проанализирована в [14, 23]. Поскольку нулевое (линейное) приближение выражается через функцию Ханкеля и для таких функций имеются представления в виде степенных рядов, то в [20, 23] были использованы именно такие представления. В работе [14] представлен общий подход к анализу в рамках многих приближений и в рамках двух первых приближений получено точное аналитическое представление решения через функции Ханкеля. Необходимо отметить, что нелинейные упругие волны изучаются в последнее время достаточно интенсивно. Для примера укажем здесь публикации по распростра- нению упругих волн в классических средах [4, 8], в микроструктурных средах [6, 24], средах нового типа [5], применительно к задачам геофизики [9, 26], в элементах кон- струкций [12, 25],по анализу относительно простых и сложных типов волн [4, 10, 12, 15, 16, 17, 21]. Ранее исследования плоских и цилиндрических волн для модели Мур- нагана проводились известными в нелинейной теории волн методами – методом по- следовательных приближений (малого параметра) и методом медленно изменяющих- ся амплитуд (методом Ван дер Поля) [7]. При использовании метода последователь- ных приближений ограничивались двумя первыми приближениями – нулевым (ли- нейным) и первым. В обоснование этого ограничения приводились два аргумента [7]: 1) результат в рамках двух приближений совпадает с результатом решения эволюционного уравнения при применении метода медленно изменяющихся ам- плитуд; 2) основные нелинейные волновые явления, описываемые решением в 77 виде двух приближений и решением эволюционного уравнения, подтверждаются экспериментальными наблюдениями. При этом вопрос об анализе влиянии после- дующих приближений достаточно открыт до сих пор, предположим, что публика- ции [22] – только начало анализа. §1. Вычисление трех первых приближений в задаче о цилиндрической волне. Примем в качестве исходного нелинейное волновое уравнение, которое соответ- ствует осесимметричному, зависящему только от координаты r и с осью симметрии Oz , состоянию континуума (это состояние характерно для классической цилиндриче- ской волны) и в котором учтены физическая и геометрическая нелинейности [19, 20] , , , 2 r r tt r r r u u u r             , ,, ,r r r r rrS u u u ; (1)       ~ ~ ~ ~ ~2 2 , , 1 , , 2 , 3 , 4 , 52 3 1 1 1 1 , ,r r r r rr r rr r r r rr r r r r r r rS u u u N u u N u u N u u N u N u r rr r       ;  ~ ~ ~ 1 2 3 2 3 2 2 3 ; ; ; 2 2 2 A B C B C N N N                      ~ ~ 4 5 2 3 2 2 2 3 2 ; 2 2 A B C A B C N N                     . Здесь приняты такие обозначения:  ,ru r t – радиальное перемещение; r – пройден- ное волной расстояние; t – время распространения волны;  – постоянная плотность; ,  – упругие постоянные второго порядка (постоянные Ляме); , ,A B C –упругие постоянные третьего порядка (постоянные Мурнагана), точкой обозначено диффе- ренцирование по времени t , запятой после индекса – дифференцирование по про- странственной переменной r . Рассмотрим гармонические во времени цилиндрические волны, возникающие в описанной в [19, 20] гиперупругой среде с цилиндрической полостью радиуса or , ко- гда к этой полости приложена гармоническая во времени нагрузка  ,rr i t o or t p e   или гармоническое во времени радиальное перемещение  , i t or ror t eu u  . В линейном случае такие волны задаются аналитически решением линейного волнового уравнения  2, , , 0r r tt ph r r r u u v u r        (2) посредством функций Ханкеля первого рода и первого порядка [7, 11, 13, 15]    (0) (1) 1, i t r ro Lu r t u H k r e  , (3) где rou – амплитудный множитель, определяемый по граничному условию на по- верхности полости      1) 1) 0 1 2 2 o L ro L L o L o o p k u k H k r H k r r       ;  L Lk v – волно- вое число продольной плоской волны. 78 Основной особенностью цилиндрической волны (3) является то, что она уже не гармоническая (можно сказать, что по свойствам функции Ханкеля она асимптотиче- ски гармоничная) и ее интенсивность убывает со временем распространения. Основной особенностью нелинейных плоских и цилиндрических волн при их анализе методом последовательных приближений является возрастание размаха колебаний (воз- растание интенсивности волны) с увеличением пройденного волной расстояния. Таким образом, в предпринятом в настоящей работе анализе цилиндрической волны следует ожидать взаимодействие двух противоположных тенденций – возрас- тания амплитуды волны вследствие учета нелинейности деформирования и уменьше- ние амплитуды вследствие природы цилиндрической волны. Первое приближение определяется как решение такого неоднородного линейного волнового уравнения:     (1)2(1) (1) (0) (0) (0) , , , , , , , ;r r tt ph r r r r r r rr r u u v u S u u u r          (4)       ~ ~ ~ ~ ~2 2 , , 1 , , 2 , 3 , 4 , 52 3 1 1 1 1 , ,r r r r rr r rr r r r rr r r r r r r rS u u u N u u N u u N u u N u N u r rr r       . Тогда в рамках первых двух приближений распространение цилиндрической вол- ны описывается формулой        (0) (1) (1) 1, , , i t r r r ro Lu r t u r t u r t u H k r e             2 2(1) (1) (1) (1) 2 00 11 010 1 0 1 i t L L L LB H k r B H k r B H k r H k r e          , (5) где       1 11 2 2 2 3 1 1 2 2 8 1 2 1 4 L L L L B k k r k r k r                                             2~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 2 1 2 3 4 5 1 43 2 2 2~ ~ ~ ~ ~ 1 1 2 3 42 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 4 1 4 L L LL L L L L LL L L k r N N N N N N N N N k r k rk r k r k r k r N N N N N k r k rk r k r k r                                                           ;     1 ~ ~ 00 1 4 112 1 1 2 2L LL B k N N B k rk r                   ;     1 ~ ~ ~ ~ ~ 01 1 1 2 3 4 112 2 1 1 4 4 2L LL L B k N N N N N B k rk r k r                             . Решение (5) может быть упрощено при условии, что пройденное волной расстоя- ние  or r согласовано с длиной волны L таким образом, что 2 / 2 / 3 20L L L L L Lk k r r r k r           . (6) 79 В этом случае в (5) можно пренебречь двумя составляющими с коэффициентами 00 11,B B и частью составляющих в коэффициенте 01B . В итоге получаем уравнение          2(1) (1) (1) 21 1 0 1 1 , 4 2 i t i t r ro L o L L L N u r t u H k r e u k H k r H k r e       . (7) Рассмотрим уравнение третьего приближения     (2)2(2) (2) (1) (1) (1) , , , , , , ,r r tt ph r r r r r r rr r u u v u S u u u r          . (8) Правую часть уравнения (8) необходимо представить через функции Ханкеля          ~ ~ 43(1) (1) (1) 4 (1) , , 1 4 0, , 1i t r r r r rr L L LS u u u k e N N k r H k r              ~ ~ 4(1) 1 4 13 1 L LN N k r H k r           ~ ~ ~ ~ 3(1) (1) 1 2 3 4 0 12 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 4 L L L L N N N N H H k r k r k r k r                 (9)   ~ ~ ~ ~ 3(1) (1) 1 2 3 4 0 12 2 2 2 2 2 2 2 5 1 1 1 4 3 L L L L N N N N H H k r k r k r k r                 ~ ~ 1 22 2 2 2 1 2 1 2 8 4 L LL L N N k r k rk r k r                           ~ ~ ~ 2 2(1) (1) 3 4 5 0 13 3 2 2 3 3 1 1 1 1 1 LL L L N N N H H k rk r k r k r             . Итак, правая часть линейного волнового уравнения (4) содержит три составляю- щие, включающие четвертые степени функций Ханкеля нулевого и первого порядка и их произведение первой, второй и третьей степени, соответственно. Коэффициенты в этих составляющих зависят от времени посредством экспоненты 4i te  (временного компонента второй гармоники плоской продольной волны), прой- денного волной расстояния r и постоянных параметров задачи (упругих постоянных и волнового числа плоской продольной волны). Поскольку степени функций Ханкеля нулевого и первого порядка и их произве- дения  (1) (1) 0 1( )L LH k r H k r  4(1) 0 ,H  4(1) 1 ,H  3(1) (1) 0 1 ,H H  3(1) (1) 0 1 ,H H  2(1) 0H   2(1) 1H не являются решениями однородного волнового уравнения (2), то процедура решения неоднородного уравнения (4) отличается от процедуры решения соответст- вующего уравнения для родственной задачи о плоской продольной волне. Частное решение неоднородного уравнения для цилиндрической волны выбира- ется в виде, соответствующем правой части (9) 80         4 4 2 2(1) (1) (1) (1) 04 14 220 1 0 1u B H B H B H H        3 3(1) (1) (1) (1) 4 13 310 1 0 1 i tB H H B H H e   . (10) Соответственно, в рамках первых трех приближений распространение цилиндри- ческой волны описывается формулой          (0) (1) (2) (1) 1, , , , i t r r r r ro Lu r t u r t u r t u r t u H k r e      (11)         2 2(1) (1) (1) (1) 2 00 11 010 1 0 1 i t L L L LB H k r B H k r B H k r H k r e                       4 4 2 2 3 3(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 4 04 14 22 13 310 1 0 1 0 1 0 1 i tB H B H B H H B H H B H H e      . Неизвестные коэффициенты 04 14 22 13 31, , , ,B B B B B определяются с помощью подстановки представления (11) в левую часть уравнения (8) и сравнения с пра- вой частью (9). Такое сравнение приводит к равенству   ~ ~ 2 2 04 22 1 42 2 3 1 12 2 L L L B B k k N N rk r                ;   ~ ~ 2 2 14 22 13 1 42 2 2 3 12 1 1 12 2 6 3L L L L B B k B k k N N rr rk r                  ; (12)   2 2 2 22 04 14 31 132 2 3 2 1 1 8 12 12 12 6 12L L L L L L k B k B k B B k B k r rrk r                ~ ~ 1 22 2 2 2 3 2 ~ ~ ~ 3 4 53 3 2 2 3 3 1 2 1 2 8 4 1 1 1 1 1 1 L LL L L LL L L N N k r k rk r k r k N N N k rk r k r k r                                     ;   2 2 13 31 14 222 2 3 6 1 1 6 12 6 24 8L L L L L k B k B B k B k r rrk r               ~ ~ ~ ~ 3 1 2 3 42 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 1 1 1 4 3L L L L L k N N N N k r k r k r k r                ;   2 2 31 13 222 3 1 6 12 6 4L L L L k B B k B k rk r             81 ~ ~ ~ ~ 3 1 2 3 42 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 4L L L L L k N N N N k r k r k r k r                . Если использовать равенство   22 2 Lk    в выражении     12 2 ou     3Lk , то после сравнения выражений и упрощении при условиях, изложенных вы- ше, коэффициенты получаем в следующем виде: 04 14 22, , 0B B B  ; ~ 13 1 1 3 B k N ; ~ 31 1 1 3. B k N  . Тогда в рамках первых трех приближений и принятых упрощений распростране- ние цилиндрической волны описывается формулой          (0) (1) (2) (1) 1, , , , i t r r r r o Lu r t u r t u r t u r t u H k r e         2 (1) (1) 21 0 0 1 1 4 2 i t L L L N u k H k r H k r e                 3 2 24 3 (1) (1) (1) (1) 41 0 0 1 1 0 1 48 2 i t L L L L N u k H k r H k r H k r H k r e              . (13) Итак, решение (13) выражается через функции Ханкеля нулевого и первого по- рядка и содержит первые, вторые и четвертые гармоники. Представим далее результаты первичного анализа искажения первоначального профиля цилиндрической волны. Для компьютерного анализа использованы данные о физических постоянных материалов (плотность, две постоянные Ляме, три постоян- ные Мурнагана) из таблицы. Материал 410  1010  1010  1110A  1110B  1110C  вольфрам молибден медь сталь алюминий полистирол 1,89 1,02 0,893 0,78 0,27 0,105 7,5 15,7 10,7 9,4 5,2 0,369 7,3 1,1 4,8 7,9 2,7 0,114 -1,08 -0,26 -2,8 -3,25 -0,65 -0,108 -1,43 -2,83 -1,72 -3,1 -2,05 -0,0785 -9,08 3,72 -2,4 -8,0 -3,7 -0,0981 При расчетах принимались такие значения (в системе СИ): первоначаль- ная амплитуда 31 10ou   м, частота волны 1,5  МГц, волновое число 4000Lk  1/м, 35 10or   м. На представленных ниже рис. 1 – 6 показано ис- кажение первоначального профиля цилиндрической волны в случае пятого материала (алюминия). Рис. 1 – 6 однотипны; по оси абсцисс отложена величина r ; по оси ординат отло- жена амплитуда осцилляций ru . 82 Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 На рис. 1 показан первоначальный профиль      (0) (1) 1, , i t r r o Lu r t u r t u H k r e   ; рис. 2 и 3 показывают искаженный профиль влияния второго и третьего приближе- ния, соответственно, т.е.            (0) (1) (1) 2 (1) (1) 21 01 0 1 1 , , , 4 2 i t i t r r r o L L L L N u r t u r t u r t u H k r e u k H k r H k r e         ; 83 и        (0) (2) (1) 1, , , i t r r r o Lu r t u r t u r t u H k r e               3 2 24 3 (1) (1) (1) (1) 41 0 0 1 1 0 1 . 48 2 i t L L L L N u k H k r H k r H k r H k r e              Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 84 Рис. 4 характерен для одновременного влияния второго и третьего приближений        (0) (1) (2), , , ,r r r ru r t u r t u r t u r t         (1) 2 (1) (1) 21 01 0 1 1 4 2 i t i t o L L L L N u H k r e u k H k r H k r e                  3 2 24 3 (1) (1) (1) (1) 41 0 0 1 1 0 1 48 2 i t L L L L N u k H k r H k r H k r H k r e              . На рис. 5 показано оба профиля – первоначальный и искаженный. Как следует из рис. 1 и рис. 4, достаточно быстро периодичность осцилляций ста- новится практически ровно в два раза большей и амплитуда осцилляций убывает со временем, о чем свидетельствует рис. 6, который показывает два профиля, первона- чальный и искаженный, на расстоянии от 2,5 or до 5 or . Основные волновые эффекты состоят в том, что в отличии от плоской продольной волны, где волна сначала слабо отличается от линейной гармонической, далее с рос- том пройденного волной расстояния или времени распространения волны первая гар- моника складывается со второй и четвертой гармониками и они образуют слабомоду- лированную волну; в цилиндрической волне вначале видно сильное влияние третьей и меньшее влияние второй гармоник. Со временем влияние второй и третьей гармо- ник убывает и профиль принимает вид первого приближения; это можно наблюдать уже на промежутке от 2,5 or до 5 or . Заключение. Таким образом, к задаче о распространении плоской продольной гармонической волны в гиперупругом материале, деформирование которого происходит квадратично нелинейно согласно классической модели Мурнагана, применен метод возмущений (метод малого параметра). В точном виде получено третье приближение через функ- ции Ханкеля нулевого и первого порядков и их произведений. Рассмотрен вариант упрощения нового представления. Р Е ЗЮМ Е . До задачі про поширення плоскої поздовжньої гармонічної хвилі в гіперпруж- ному матеріалі, деформування якого відбувається квадратично нелінійно згідно з класичною модел- лю Мурнагана, застосовано метод збурень (метод малого параметра). У точному вигляді отримано представлення третього наближення через функції Ханкеля нульового та першого порядків та їхній добуток. Розглянуто варіант спрощення нового представлення. 1. Гузь А.Н., Рущицкий Я.Я., Гузь И.А. Введение в механику нанокомпозитов. – К.: Академпе- риодика, 2010. – 398 с. 2. Рущицький Я.Я., Цурпал С.І. Хвилі в матеріалах з мікроструктурою. – К.: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка, 1998. – 377 с. 3. Achenbach J.D. Wave Propagation in Elastic Solids. – Amsterdam: North Holland Publishing Company, 1973. – 425 p. 4. Abrahams I.D. Antiplane wave scattering from a cylindrical void in a prestressed incompressible neo- Hookean materials // Communications Comp. Physics. – 2012. – 11. – P.367 – 382. 5. Barbieri E., Meo M., Polimeno U. Nonlinear wave propagation in damaged hysteretic materials using a frequency domain-based PM space formulation // Int. J. Solids and Struct. – 2009. – 46, N 1. – P. 165 – 180. 6. Berezovski A., Berezovski M., Engelbrecht J. Numerical simulation of nonlinear elastic wave propagation in piecewise homogemeous media // Material Science and Engineering. – 2006. – A418. – P. 354 – 360. 7. Cattani C., Rushchitsky J.J. Wavelet and Wave Analysis as applied to Materials with Micro or Nanostruc- ture. – Singapore – London: World Scientific, 2007. – 466 p. 85 8. Engelbrecht, J., Berezovski, A., Salupere, A.: Nonlinear deformation waves in solids and dispersion // Wave Motion. – 2007. – 44, N 6. – P. 493 – 500. 9. Hakstad K. Nonlinear and dispersive acoustic wave propagation // Geophysics. – 2004. – 69, N 3. – P. 840 – 848. 10. Korneev V. Spherical wave propagation in a nonlinear elastic medium // Reports of Lawrence Berkeley National Laboratory. – 2009. – P. 1 – 12. 11. Kratzer A., Franz W.Transcendente Funktionen. – Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft, 1960. – 466 s. 12. Mueller M.F., Kim J.-Y., Qu J.M., Jacobs L.J. Characteristics of second harmonic generation of Lamb waves in nonlinear elastic plates // J. Acoust. Soc. Amer. – 2010. – 127, N 4. – P. 2141 – 2152. 13. Olver F.W.J.Asymptotics and Special Functions. – New York: Academic Press, 1974. – 528 p. 14. Rushchitsky J.J. Analysis of Propagation of Quadratically Nonlinear Hyperelastic Cylindrical Wave // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 6. – P. 848 – 858. 15. Rushchitsky J.J. Nonlinear Elastic Waves in Materials. – Heidelberg: Springer, 2014. – 454 p. 16. Rushchitsky J.J. On Nonlinear Description of Love Elastic Wave // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. – P. 629 – 640. 17. Rushchitsky J.J. On the Nonlinear Elastic Stoneley Wavе // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 1. – P. 31 – 41. 18. Rushchitsky J.J. Quadratically Nonlinear Cylindrical Hyperelastic Waves – Derivation of Wave Equations. Plane Strain State // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 5. – P. 701 – 712. 19. Rushchitsky J.J. Quadratically Nonlinear Cylindrical Hyperelastic Waves – Derivation of Wave Equa- tions.Axisymmetrical and Other States // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 6. – P. 831 – 840. 20. Rushchitsky J.J.Quadratically Nonlinear Cylindrical Hyperelastic Waves – Primary Analysis of Evolu- tion // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 7. – P. 825 – 833. 21. Rushchitsky J.J., Sinchilo S.V. On 2D Nonlinear Wave Equations Corresponding to Murnaghan Model // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 5. – P. 533 – 539. 22. Rushchitsky J.J., Sinchilo S.V., Khotenko I.N. Generation of the Second, Fourth, Eighth and Next Harmonics by the Quadratically Nonlinear Hyperelastic Plane Longitudinal Wave // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 6. – P. 764 – 772. 23. Rushchitsky J.J., Symchuk J.V. Modeling Cylindrical Waves in Nonlinear Eelastic Composites // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 6. – P. 638 – 646. 24. Salupere A., Tamm K., Engelbrecht J. Numerical simulation of solitary deformation waves in micro- structured solids // Int. J. Non-Linear Mech. – 2008. – 43. – P. 201 – 208. 25.Young R. Wave interactions in nonlinear elastic strings // Arch.Rat.Mech.Anal. – 2002. – 161. – P. 65 – 92. 26.Zheng Hai-shah, Zhang Zhong-jie, Yang Bao-jun. A numerical study of 1D nonlinear P-wave propaga- tion in solid // Acta Seismologica Sinica. – 2004. – 17, N 1. – P. 80 – 86. Поступила 07.05.2013 Утверждена в печать 19.02.2015

О третьем приближении в анализе квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны

Репозитарії

Схожі ресурси