Задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинA Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multi-Connected Plates

Запропоновано метод розв’язання задачі електромагнітов’язкопружності для багатозв’язних пластин. Методом малого параметра задачу зведено до рекурентної послідовності задач електромагнітопружності, які розв’язуються з використанням комплексних потенціалів. Розроблена методика визначення за комплексни...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Калоеров, С.А., Самодуров, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2015
Schriftenreihe:	Прикладная механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141017
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинA Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multi-Connected Plates / С.А. Калоеров, А.А. Самодуров // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 23-41. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-141017
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1410172018-07-22T01:23:14Z Задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинA Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multi-Connected Plates Калоеров, С.А. Самодуров, А.А. Запропоновано метод розв’язання задачі електромагнітов’язкопружності для багатозв’язних пластин. Методом малого параметра задачу зведено до рекурентної послідовності задач електромагнітопружності, які розв’язуються з використанням комплексних потенціалів. Розроблена методика визначення за комплексними потенціалами наближень основних характеристик електромагнітопружного стану (напружень, індукцій та напруженостей електромагнітного поля) у будь-який момент часу після прикладення навантаження. Як приклад наведено розв’язок задачі для пластинки з еліптичним отвором. Встановлено зміну значень основних характеристик електромагніто-в’язкопружного стану багатозв’язних пластин з часом . A method of solving the problem of electromagnetoviscoelasticity for multiconnected plates is proposed. By the small parameter method, this problem is reduced to the recursive sequence of problems of electromagnetoelasticity, which are solved by using the complex potentials. A technique is developed for determination through the complex potentials the approximations of the main characteristics of electromagnetoelastic state (stresses, inductions and intensities of electromagnetic field) at any time after application of load. As an example, the solution of the problem on plate with elliptic hole is given. An essential effect of time on values of basic characteristics of multi-connected electromagnetoviscoelastic plates is shown. 2015 Article Задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинA Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multi-Connected Plates / С.А. Калоеров, А.А. Самодуров // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 23-41. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141017 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Запропоновано метод розв’язання задачі електромагнітов’язкопружності для багатозв’язних пластин. Методом малого параметра задачу зведено до рекурентної послідовності задач електромагнітопружності, які розв’язуються з використанням комплексних потенціалів. Розроблена методика визначення за комплексними потенціалами наближень основних характеристик електромагнітопружного стану (напружень, індукцій та напруженостей електромагнітного поля) у будь-який момент часу після прикладення навантаження. Як приклад наведено розв’язок задачі для пластинки з еліптичним отвором. Встановлено зміну значень основних характеристик електромагніто-в’язкопружного стану багатозв’язних пластин з часом .
format	Article
author	Калоеров, С.А. Самодуров, А.А.
spellingShingle	Калоеров, С.А. Самодуров, А.А. Задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинA Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multi-Connected Plates Прикладная механика
author_facet	Калоеров, С.А. Самодуров, А.А.
author_sort	Калоеров, С.А.
title	Задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинA Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multi-Connected Plates
title_short	Задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинA Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multi-Connected Plates
title_full	Задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинA Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multi-Connected Plates
title_fullStr	Задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинA Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multi-Connected Plates
title_full_unstemmed	Задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинA Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multi-Connected Plates
title_sort	задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинa problem of electromagnetoviscoelasticity for multi-connected plates
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141017
citation_txt	Задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинA Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multi-Connected Plates / С.А. Калоеров, А.А. Самодуров // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 23-41. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT kaloerovsa zadačaélektromagnitovâzkouprugostidlâmnogosvâznyhplastinaproblemofelectromagnetoviscoelasticityformulticonnectedplates AT samodurovaa zadačaélektromagnitovâzkouprugostidlâmnogosvâznyhplastinaproblemofelectromagnetoviscoelasticityformulticonnectedplates
first_indexed	2025-07-10T11:45:38Z
last_indexed	2025-07-10T11:45:38Z
_version_	1837260280721047552
fulltext	2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 6 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, №6 23 С .А .К а л о е р о в , А .А .С а м о д у р о в ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОМАГНИТОВЯЗКОУПРУГОСТИ ДЛЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ПЛАСТИН Донецкий национальный университет kaloerov@mail.ru, andrey-samodurov@yandex.ru Abstract. A method of solving the problem of electromagnetoviscoelasticity for multi- connected plates is proposed. By the small parameter method, this problem is reduced to the recursive sequence of problems of electromagnetoelasticity, which are solved by using the complex potentials. A technique is developed for determination through the complex poten- tials the approximations of the main characteristics of electromagnetoelastic state (stresses, inductions and intensities of electromagnetic field) at any time after application of load. As an example, the solution of the problem on plate with elliptic hole is given. An essential effect of time on values of basic characteristics of multi-connected electromagnetoviscoelas- tic plates is shown. Key words: multi-connected electromagnetoviscoelastic plate, time operator, complex potential, small parameter method. Введение. В различных отраслях современной техники широкое применение получили эле- менты из пьезоматериалов. В связи с этим возникла необходимость разработки мето- дов определения их электромагнитоупругого состояния при действии на них механи- ческих сил и электромагнитных полей. Общие подходы решения таких задач предло- жены в работах [2, 10], а в монографиях [3, 6] разработаны методы решения задач электромагнитоупругости для многосвязных областей, позволяющие определять на- пряженно-деформированное состояние пластинок с отверстиями, трещинами. Но во всех указанных работах не учитывались вязкоупругие свойства материалов, за счет которых возникающее мгновенное напряженно-деформированное состояние со вре- менем изменяется. Учету этого явления и посвящена данная статья, в которой реше- ние задачи линейной вязкоупругости для пьезопластины сведено к последовательно- сти задач электромагнитоупругости, которые решаются с использованием комплекс- ных потенциалов. На примере решения задачи для пластинки с эллиптическим отвер- стием показано влияние времени на значения напряжений. §1. Постановка задачи. Рассмотрим отнесенную к прямоугольной декартовой системе координат Oxyz находящуюся в условиях обобщенного плоского электромагнитоупругого состояния конечную пьезопластину, занимающую многосвязную область S , ограниченную внешним контуром 0L и контурами отверстий lL ( 1,l   ). К контурам пластинки приложены механические и электромагнитные воздействия; во внутренних точках области  0 0 0,r r rz x y ( 1,r R ) действуют сосредоточенные силы, электрические заря- ды и магнитные диполи. Если внешний контур 0L полностью уходит в бесконеч- 24 ность, то будем иметь бесконечную пластинку с отверстиями. В последнем случае предположим, что на бесконечности заданы напряжения x  , y  , xy  , угол жесткого поворота пластинки как целого 3  , а также компоненты векторов индукций xD , yD , xB , yB или напряженностей xE , yE , xH , yH электромагнитного поля. При- нимаем, что по упругим свойствам пластинка является вязкоупругой, электромагнит- ные свойства материала с течением времени не изменяются. Для рассматриваемой пластинки решим задачу электромагнитовязкоупругости, заключающуюся в определении изменяющегося во времени электромагнитоупругого состояния (ЭМУС). Эту задачу решаем, используя принцип Вольтерра [11], в соответ- ствии с которым следует сначала решать задачу электромагнитоупругости без учета времени, а затем в полученном решении заменять упругие постоянные соответст- вующими временными операторами и определять их воздействия с течением времени. §2. Основные соотношения электромагнитоупругости. Решение задачи электромагнитовязкоупругости без учета времени сводится к ин- тегрированию основной системы уравнений [6, 10], состоящей из: уравнений равновесияEquation Chapter 1 Section 2 0xyx x y       ; 0xy y x y        ; (2.1) уравнений электромагнитостатики 0yx DD x y      ; 0yx EE y x      ; 0yx BB x y      ; 0yx HH y x      ; (2.2) уравнений электромагнитоупругого состояния 11 12 16 11 21 11 21x x y xy x y x ys s s g D g D p B p B          ; 12 22 26 12 22 12 22y x y xy x y x ys s s g D g D p B p B          ; 16 26 66 16 26 16 26xy x y xy x y x ys s s g D g D p B p B          ; 11 12 16 11 12 11 12x x y xy x y x yE g g g D D B B              ; 21 22 26 12 22 12 22y x y xy x y x yE g g g D D B B              ; 11 12 16 11 12 11 12x x y xy x y x yH p p p D D B B              ; 21 22 26 12 22 12 22y x y xy x y x yH p p p D D B B              ; (2.3) соотношений Коши и потенциальности электромагнитного поля ;x u x     ;y v y     ;xy u v y x        xE x     ; yE y     ; xH x     ; yH y     . (2.4) 25 Здесь x , y , xy и x , y , xy – компоненты тензоров напряжений и деформаций; u , v – проекции вектора перемещений; xD , yD , xE , yE и  – компоненты векторов индукции, напряженности и потенциал электрического поля; xB , yB , xH , yH и  – компоненты векторов индукции, напряженности и потенциал магнитного поля; ijs – коэффициенты деформаций материала, измеренные при постоянных индукциях элек- трического и магнитного полей; kig и kip – пьезоэлектрические и пьезомагнитные коэффициенты деформаций и напряженностей, измеренные при постоянных напря- жениях и индукциях; kl , kl и kl – коэффициенты диэлектрической, магнитной и электромагнитной восприимчивости, измеренные при постоянных напряжениях. При этом имеет место соотношение совместности Сен-Венана 2 22 2 2 0y xyx x yy x           , (2.5) а остальные соотношения совместности деформаций выполняются тождественно. Если задачу электромагнитоупругости решать с использованием обобщенных комплексных потенциалов, то определение электромагнитоупругого состояния пьезо- пластины при использовании теории функций комплексного переменного сводится к нахождению комплексных потенциалов электромагнитоупругости ( )k kz из соот- ветствующих граничных условий. После получении комплексных потенциалов ос- новные характеристики (напряжения, перемещения, индукции и потенциалы) вычис- ляем по формулам [3, 6]       4 1 2 6 1 , , 2Re , ,x y xy k k k k k k z         ;         4 0 0 3 0 3 0 0 0 1 , , , 2 Re , , , , , ,k k k k k k k u v p q r h z y u x v             ;       4 7 8 1 , 2Re ,x y k k k k k D D z     ; (2.6)       4 0 0 1 , 2Re ,x y k k k k k k E E r r z     ;       4 9 10 1 , 2Re ,x y k k k k k B B z      ;       4 0 0 1 , 2Re ,x y k k k k k k H H h h z     ; k kz x y  ; (2.7) k – корни характеристического уравнения 2 4 2 2 2 3 3 2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s g g pl l l l l l l l l                      3 3 2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0p p gl l l l l          ; (2.8)    4 3 2 4 11 16 12 66 26 222 2 2sl s s s s s s          ; 26      3 2 3 11 21 16 12 26 22gl g g g g g g         ;      3 2 3 11 21 16 12 26 22pl p p p p p p         ;   2 2 11 12 222l           ,   2 2 11 12 222l           ;   2 2 11 12 222l           ; (2.9) 2 1 ;k k  2 1;k  6 ;k k   7k k k   ; 8k k   ; 9k k k   ; 10k k   ;    2 11 16 12 11 21 11 21k k k k k k kp s s s g g p p            ; 22 22 22 12 26 12 12k k k k k k k s g p q s s g p                        ;    0 2 11 16 12 11 12 11 12k k k k k k kr g g g                ;    0 2 11 16 12 11 12 11 12k k k k k k kh p p p                ; (2.10) 3 2 3 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p k k g k k k k k k l l l l l l l                 ,  3 2 2 3 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g k k k p k k k k k l l l l l l l                 ; (2.11) 3 0y u  , 3 0x v  – жесткие перемещения тела как целого; 3 – угол поворота плоскости Oxy против часовой стрелки, причем 3 1 2 v u x y            ; 0u , 0v – компо- ненты поступательного движения тела; 0 и 0 – нулевой уровень потенциалов электрического и магнитного полей. Функции ( )k kz для неподкрепленных контуров lL (первая основная задача) должны удовлетворять граничным условиям [6]         4 1 2 3 4 1 0 2Re 1, , , , , , , , , s k k k k k ln ln ln ln l l l l k z Y X D B ds c c c c          (2.12) при задании на контуре индукции электромагнитного поля lnD , lnB или       4 0 0 * * 1 2 0 0 1 0 0 2Re 1, , , , , , , , , s s k k k k k ln ln l l l l k r h z Y ds X ds c c                     , (2.13) если на контуре заданы потенциалы электрического и магнитного полей l , l . Для контуров, на которых заданы перемещения lu , lv (вторая основная задача), гранич- ные условия имеют вид     4 1 2Re , , ,k k k k k k k p q t     27 * 3 0 * 3 0 3 4 0 0 , , , s s l l ln l ln lu y u v x v D ds c B ds c                   (2.14) при задании на контурах индукций или       4 0 0 * 3 0 * 3 0 * 0 * 0 1 2Re , , , , , ,k k k k k k l l l l k p q r h t u y u v x v               , (2.15) если на контуре заданы потенциалы электрического и магнитного полей. В (2.12) – (2.15) верхние знаки в правой части относятся к внешнему контуру, нижние – к кон- турам отверстий и тонких колец. При идеальном механическом и электромагнитном контактах пластины с включением с областью ( )lS , граничные условия на lL имеют вид [3]     4 0 0 1 2Re 1, , , , , , ,k k k k k k k k k k p q r h z                          0 01, , , , , , ,l l l l l l l l l k k k k k k k k kp q r h z       ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 0 3 0 3 4 0 03 0 3 0, , , , , , ,l l l l l l l lc c y u y u x v x v c c             , (2.16) где  ( ) ( )l l k kz – комплексные потенциалы для включения с областью ( )lS ; lic , 0 , 0 , 0u ,   0 lu , 0v ,   0 lv – постоянные. Для абсолютно жесткого включения для lL должно выполняться также условие [3]   4 1 1 1 0kl kl k      , (2.17) в котором 1kl – вычет функции  0k kz в точке klz . Комплексные потенциалы ( )k kz определены в областях kS , ограниченных кон- турами klL , получаемыми из lL аффинными преобразованиями (2.7). В общем случае функции имеют вид [3, 6]        0 0 0 1 1 ln ln R k k k k kl k kl kr k kr k k l r z z A z z A z z z             . (2.18) Здесь k – постоянные, равные нулю для конечной области и определяемые для бес- конечной области из системы   4 2 1 2Re 1, , , , , , ,k k k k k k k k k k k k k q p              3, , , 2 , , , ,y xy x y x y xD D B B              (2.19) при задании на бесконечности компонент векторов индукции электромагнитного поля или   4 2 0 0 0 0 1 2Re 1, , , , , , ,k k k k k k k k k k k k k q p r r h h          28  3, , , 2 , , , ,y xy x x y x yE E H H                , (2.20) если на бесконечности заданы компоненты векторов напряженности поля; klA , 0 kjA – постоянные, определяемые из систем   4 0 0 1 2Re 1, , , , , , ,k k k k k k k kl k p q r h i      , , 0, 0, , , 0, 0 2 2 2 2 l l el mlY X Q Q             ; (2.21)   0 04 0 0 0 1 2Re 1, , , , , , , , , 0, 0, , , 0, 0 2 2 2 2 er mrr r k k k k k k k kr k Q QY X p q r h i                   ; (2.22)  0k kz  функции, голоморфные в многосвязных областях kS ; lX , lY и elQ , mlQ – компоненты главного вектора внешних усилий и суммарные электрический и магнит- ный заряды, приложенные к контуру lL ; rX , rY и 0 erQ , 0 mrQ – компоненты сосредо- точенной силы и сосредоточенные электрические заряды и диполи в точке  0 0 0,r r rz x y . Таким образом, в каждом конкретном случае после выбора функций (2.18) и удо- влетворения соответствующим граничным условиям (2.12) – (2.16) находятся ком- плексные потенциалы ( )k kz , а затем по ним основные характеристики ЭМУС (2.6). При этом, если выражения основных характеристик представляются произведениями рациональных функций постоянных в уравнениях состояния (2.3) на функции коор- динат, то ЭМУС с течением времени можно определять, заменив в этих выражениях постоянные в уравнениях состояния временными операторами и вычислив действие этих операторов во времени. Equation Section (Next) §3. Определение электромагнитовязкоупругого состояние по принципу Вольтерра. Из уравнений электромагнитоупругого состояния для деформаций в случае орто- тропных материалов имеем 11 12 13 11 21 31 11 21 31x x y z x y z x y zs s s g D g D g D p B p B p B            ; 12 22 23 12 22 32 12 22 32y x y z x y z x y zs s s g D g D g D p B p B p B             ; 13 23 33 13 23 33 13 23 33z x y z x y z x y zs s s g D g D g D p B p B p B            ; 44 14 24 34 14 24 34yz yz x y z x y zs g D g D g D p B p B p B        ; 55 15 25 35 15 25 35xz xz x y z x y zs g D g D g D p B p B p B        ; 66 16 26 36 16 26 36xy xy x y z x y zs g D g D g D p B p B p B        ; (3.1) 11 1 1 ;s E  22 2 1 ;s E  33 3 1 ;s E  44 12 1 ;s G  55 23 1 ;s G  66 31 1 ;s G  29 12 21 12 1 2 s E E       ; 13 31 13 1 3 s E E       ; 23 32 23 2 3 s E E       ; (3.2) iE , ij – модули Юнга и коэффициенты Пуассона для соответствующих направлений. Если изменения технических постоянных со временем представить с помощью операторов Работнова Ю. Н. [11], тогда  * * 0 * * * 1i i i i iE E Э        ; * 0 * * * 12 12 1 ( )Э        ;  * * 0 * * * 1ij ij ij ij ijG G Э        , (3.3) в которых 0 iE , 0 12 , 0 ijG – мгновенные значения соответствующих постоянных (ос- тальные ij выражаются через 12 ); * * (1 ) 0 ( ) Э ( , ) ( ) ( 1)(1 ) n n n t t t n                     (3.4) – оператор Работнова Ю. Н., (1 )  ( 1 0   ) – гамма-функция, i , * i и * ij , * ij – реологические постоянные материала, связанные с изменением соответствую- щих iE и ijG во времени;  ,  – реологические постоянные материала, связанные с изменением 12 во времени. Таким подходом можно воспользоваться, если известны реологические постоян- ные, связанные с изменением всех технических постоянных. Однако для анизотроп- ных материалов в большинстве случаев известны лишь реологические постоянные, связанные с коэффициентами iE , ijG для главных направлений. Поэтому возникает необходимость получения неизвестных реологических постоянных через известные. Кроме того, для уменьшения числа операторов, входящих в полученные решения в исследованиях для конкретных задач применяют различные упрощения [13, 14, 20]. Это можно сделать, учитывая постоянство во времени некоторых величин. Из уравнений (3.1) для первого инварианта тензора деформаций в случае орто- тропного материала имеем      11 12 13 12 22 23 13 23 33x y z x y zs s s s s s s s s                      11 12 13 21 22 23 31 32 33x y zg g g D g g g D g g g D               11 12 13 21 22 23 31 32 33x y zp p p B p p p B p p p B         (3.5) или 1 2 3 1 1 1 1 1 x y z x D D K K K K         2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 y z x y z D D B B B D D B B B K K K K K      , (3.6) где 1 2 3x y z            – первый инвариант тензора деформаций; 1K , 2K , 3K – модули деформаций для растяжения-сжатия вдоль главных направлений [1]; iDK , iBK – модули деформаций для электромагнитных воздействий, причем 30 11 12 13 1 1 s s s K    ; 12 22 23 2 1 s s s K    ; 13 23 33 3 1 s s s K    ; (3.7) 11 12 13 1 1 D g g g K    ; 21 22 23 2 1 D g g g K    ; 31 32 33 3 1 D g g g K    ; 11 12 13 1 1 B p p p K    ; 21 22 23 1 1 B p p p K    ; 31 32 33 3 1 B p p p K    . (3.8) При действии на тело гидростатического давления (всестороннего растяжения- сжатия), когда 1 2 3 p     , учитывая свойства первого инварианта тензора на- пряжений 1 2 3x y z            , формулу (3.6) запишем в виде 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 x y z x y z D D D B B B D D D B B B K K K K K K K         ; (3.9) 11 22 33 12 13 23 1 2 2 2s s s s s s K       ; (3.10) K – модуль объемной деформации тела для растяжения-сжатия, который со време- нем не изменяется [8, 12, 14]. Также примем, что со временем не изменяются и моду- ли деформаций для электромагнитных воздействий iDK и iBK . Подставляя в (3.10) представления (3.2), получим 23 1312 1 2 3 1 2 1 2 221 1 1 1 K E E E E E E         . (3.11) В связи с тем, что в литературе отсутствуют значения модуля Юнга 3E , коэффи- циентов Пуассона 13 и 23 и их реологические постоянные, примем, что [5, 19]  33 11 22 / 2s s s  ; 13 23 12s s s  , (3.12) т. е. 3 1 2 1 1 1 1 2E E E        ; 13 23 12 1 2 1E E E      . (3.13) Тогда из (3.11) получим равенство 12 1 2 1 61 3 3 2 2K E E E     , (3.14) откуда следует, что 1 1 12 2 31 3 . 6 2 E E E K          (3.15) Заменив в последних формулах модули Юнга временными операторами (3.3) с учетом постоянства во времени K , для 12 получим операторные представления * * * 1 1 12 * 0 2 31 3 6 2 E E E K           , (3.16) где 0K – постоянное значение модуля объемной деформации тела (3.14), в котором iE принимают значения 0 iE ; 31 * 0 * * * * 1 1 1 1 11 Э ( ) ;E E         * * * 2 2* 0 2 2 1 1 1 Э ( ) E E       . (3.17) Таким образом, после решения задачи электромагнитоупругости, заменив в вы- ражениях основных характеристик ЭМУС постоянные их временными операторами, можно определить значения этих величин в любой момент времени, если они пред- ставляются произведениями рациональных функций постоянных в уравнениях со- стояния (2.3) на функции координат. Но в большинстве случаев, и в первую очередь для многосвязных областей, невозможно получить решение задачи в явном виде, и, следовательно, непосредственное применение принципа Вольтерра к анализу элек- тромагнитоупругого состояния тел невозможно. В связи с этим возникает необходи- мость и в этих случаях получать такие решения, которые явным образом содержали бы коэффициенты упругих деформаций. Это можно получить, используя метод мало- го параметра. §4 Сведение задачи электромагнитовязкоупругости к ряду задач электро- магнитоупругости. Выделим из коэффициентов деформации ijs величину, меньшую единицы, и раз- ложим все решение задачи в ряд по ней как по малому параметру. Из технических постоянных меньшими единицы являются только коэффициенты Пуассона ij . Поэтому в качестве малого параметра можно принять любой из коэф- фициентов, например 12 . Но сходимость получаемых решений ускорится, если в качестве малого параметра принять не коэффициент Пуассона 12 , а его изменение с течением времени представить 12 в виде Equation Section (Next) 0 12 12    , (4.1) в котором 0 12 – мгновенно-упругое значение коэффициента Пуассона 12 . Учитывая равенство (4.1), из выражений (3.2), (2.10) получим 0 12 12 11s s s  ; 0 1k k kp p p  ; 0 1k k kq q q  , (4.2) где 0 0 12 12 11s s  ; 1 11kp s  ; 1 11k kq s   ;      2 0 0 12 11 16 11 21 11 21k k k k k k kp s s g g p p             ; 0 22 22 22 0 12 11 26 12 12k k k k k k k s g p q s s g p                          . (4.3) Введем малый параметр  в приведенное выше общее решение задачи электро- магнитоупругости. Но прежде чем использовать этот параметр, несколько преобразу- ем системы (2.19) – (2.22). Характеристическое уравнение (2.8) не может иметь вещественных корней [3, 6, 9], в том числе и равных нулю, т. е. 0k  . Кроме того, 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0k k kl l l      , иначе уравнение (2.8) не содержало бы полинома 4 ( )s kl  с коэффициентами дефор- мации и не соответствовало бы задаче электромагнитоупругости. Следовательно, для любых пьезоматериалов –  2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0k k k kl l l       . Исходя из этого, преобра- 32 зуем системы уравнений (2.19) – (2.22) таким образом, чтобы их определители не со- держали постоянную 12s , входящую в коэффициенты k k kq p . Исходя из выражений (2.10), имеем равенства 2 3 222 22 26 16 11 12 21 11k k k k k k k k k k s g q p s s s g g g                        222 12 21 11k k k k p p p p              . (4.4) Тогда четвертое уравнение системы (2.19) можно записать в виде 4 2 3 222 22 26 16 11 12 21 11 1 2Re k k k k k k k k s g s s s g g g                         222 12 21 11 32k k k k k p p p p                 . (4.5) Разделив уравнение (2.8) на  2 2 2 2( ) ( ) ( )k k k kl l l      , получим    3 2 222 11 16 12 66 26 11 21 162 2 2k k k k k k k s s s s s s g g g                     222 22 12 26 11 21 16 12 26 0k k k k k g p g g p p p p p                       . (4.6) Выразив из последнего уравнения 3 11 ks  и подставив его в (4.4), находим 2 3 222 22 26 16 11 12 21 11k k k k k k k k k k s g q p s s s g g g                        2 222 22 12 21 11 26 12 66 162 3 (2 )k k k k k k k p s p p p s s s s                       22 22 12 26 16 12 26 16 2 2 2 2k k k k k k g p g g g p p p                           . (4.7) Поэтому четвертое уравнение системы (2.19) примет вид 4 212 26 16 22 1 22 21 2 Re 1 2 2 k k k k k g g g g s                212 26 16 22 22 2 2 2 k k k k p p p p s              3 26 12 66 16 22 1 2 3 2 2 y xy xs s s s s              . (4.8) 33 Уравнение (4.8) преобразуем, учитывая первые три уравнения системы (2.19). Окон- чательно систему (2.19) запишем в виде 4 2 212 26 16 22 1 22 21 2Re 1, , , 1 2 2 k k k k k k k g g g g s                     212 26 16 22 22 2 , , , , 2 2 k k k k k k k k k k p p p p s                      3 26 12 66 16 22 1 , , , 2 3 2 , , , , 2y xy x y xy x y x y xs s s s D D B B s                              .(4.9) Если на бесконечности заданы напряженности, то последние четыре уравнения системы (4.9) примут такой вид:     4 0 0 0 0 1 2Re , , , , , ,k k k k k k k x y x y k r r h h E E H H             . (4.10) По аналогии с выводом уравнений (4.9) из систем (2.21) – (2.22) получаем 4 2 0 011 11 22 22 1 11 22 1 2Re 1, , 1 , 1 , , , ,k k k k k k k k k k kl k k k g p g p r h i s s                              16 12 21 21 12 26 12 12 11 22 , , , , 2 2 2 2 l l l l el ml l l el mlY X s X s Y g Q p Q s X s Y g Q p Q s s               , 0, , 0 2 2 el mlQ Q       ; (4.11) 4 2 0 0 011 11 22 22 1 11 22 1 2Re 1, , 1 , 1 , , , ,k k k k k k k k k k kr k k k g p g p r h i s s                              0 0 0 0 0 0 0 00 0 16 12 21 21 12 26 12 12 11 22 , , , , 2 2 2 2 r r er mr r r er mrr r s X s Y g Q p Q s X s Y g Q p QY X s s              0 0 , 0, , 0 2 2 er mrQ Q       . (4.12) Разложим входящие в выражения (2.18) постоянные k , klA , 0 krA и функции  * k kz , а также углы поворотов 3 , в ряды по малому параметру  [5, 19] 0 j k jk j      ; 0 j kl jkl j A A    ; 0 0 0 j kr jkr j A A         * * 3 3 0 , ,j k k jk k j j z z       . (4.13) Подставив разложения (4.13), (4.3) в системы (4.9) – (4.12), учитывая, что 0 12 12 11s s s  и сравнивая в полученных равенствах коэффициенты при одинаковых 34 степенях  , для определения постоянных jk , jklA , 0 jkrA получим следующие по- следовательности систем уравнений: 4 2 212 26 16 22 1 22 21 2Re 1, , , 1 2 2 k k k k k k k g g g g s                     212 26 16 22 0 22 2 , , , , 2 2 k k k k k k k k k k p p p p s                       0 3 26 66 12 11 16 22 1 , , , 2 3 2 , , , , 2y xy x y xy x y x y xs s s s D D B B s                               ; 4 2 212 26 16 22 1 22 21 2Re 1, , , 1 2 2 k k k k k k k g g g g s                     212 26 16 22 1 22 2 , , , , 2 2 k k k k k k k k k k p p p p s                      11 22 0, 0, 0, , 0, 0, 0, 0 2 xy s s          ; (4.14) 4 2 0 011 11 22 22 0 1 11 22 1 2Re 1, , 1 , 1 , , , ,k k k k k k k k k k kl k k k g p g p r h i s s                              0 0 16 12 11 21 21 12 11 26 12 12 11 22 , , , , 2 2 2 2 l l l l el ml l l el mlY X s X s Y g Q p Q s X s Y g Q p Q s s                  , 0, , 0 2 2 el mlQ Q       ; 4 2 0 011 11 22 22 1 1 11 22 1 2Re 1, , 1 , 1 , , , ,k k k k k k k k k k kl k k k g p g p r h i s s                               11 110, 0, , , 0, 0, 0, 0l ls Y s X   ; (4.15) 4 2 0 0 011 11 22 22 0 1 11 22 1 2Re 1, , 1 , 1 , , , ,k k k k k k k k k k kr k k k g p g p r h i s s                              0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 16 12 11 21 21 12 11 26 12 12 11 22 , , , , 2 2 2 2 r r er mr r r er mrr r s X s Y g Q p Q s X s Y g Q p QY X s s                  0 0 , 0, , 0 2 2 er mrQ Q       ; 35 4 2 0 0 011 11 22 22 1 1 11 22 1 2Re 1, , 1 , 1 , , , ,k k k k k k k k k k kr k k k g p g p r h i s s                               0 0 11 110, 0, , , 0, 0, 0, 0r rs Y s X   ; (4.16) 0 0jk jkl jkrA A    ( 2j  ). Учитывая разложения (4.13), комплексные потенциалы (2.18) представим в виде     0 j k k jk k j z z     , (4.17) где      * jk k jk k jk k jk kz z N z z     ; (4.18)      0 0 1 1 ln ln R jk k jkl k kl jkr k kr l r N z A z z A z z         ; (4.19)  * jk kz – функции, голоморфные в многосвязных областях kS , ограниченных кон- турами klL . Комплексные потенциалы приближений  jk kz должны удовлетворять соответ- ствующим граничным условиям. Подставив (4.17) в граничные условия и приравняв в полученных равенствах коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра  , получим рекуррентную последовательность граничных условий для определения комплексных потенциалов приближений. Механические граничные условия для не- подкрепленного контура из условий (2.12) получаем в виде       4 0 1 2 1 2Re 1, ,k jk k j l l k t c c     . (4.20) Если на контуре заданы перемещения, то из (2.14) получим          4 4 0 0 0 1 1 1, 1 1 2Re , 2Re 1 ,k k jk k j k k j k k k k p q t p q t              0 * 0 * 0 3 3, ,j l l j ju u v v y x       . (4.21) Электромагнитные граничные условия принимают такой вид:       4 0 3 4 1 2Re , ,k k jk k j l l k t c c      (4.22) при задании на контуре электрической и магнитной индукций, и       4 0 0 0 * 3 * 4 1 2Re , ,k k jk k j l l l l k r h t c c        , (4.23) если на контуре заданы электрические и магнитные потенциалы. Если пластина имеет электромагнитовязкоупругие включения с областями ( )lS , в которых определены комплексные потенциалы  ( ) ( )l l k kz , то для решения задачи 36 электромагнитовязкоупругости в ряды по малому параметру  следует разлагать и комплексные потенциалы для каждого включения. Для упрощения решения задачи малые параметры для всех включений можно принять одинаковыми и равными мало- му параметру  для пластинки. Тогда имеем ( ) 0( ) 12 12 l l    , (4.24) где 0( ) 12 l – мгновенно-упругое значение коэффициента Пуассона ( ) 12 l . Как и для пла- стинки, учитывая представления (4.24), по аналогии с (4.2) – (4.3) для каждого вклю- чения находим ( ) 0( ) ( ) 12 12 11 l l ls s s  , 0( ) 0( ) ( ) 12 12 11 l l ls s  ; (4.25) ( ) ( ) ( ) 0 1 l l l k k kp p p  , ( ) ( ) ( ) 0 1 l l l k k kq q q  ; (4.26)      ( ) ( ) 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 11 16 11 21 11 210 ( )l l l l l l l l l l l l l l k k k k k k kp s s g g p p             ; ( ) ( ) 111 l l kp s  , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 22 12 11 26 12 120 ( ) ( ) ( ) l l l l l l l l l l l l k k k kl l l k k k s g p q s s g p                             ; ( ) ( ) ( ) 111 l l l k kq s   . (4.27) Комплексные потенциалы для электромагнитовязкоупругих включений, по анало- гии с (4.17), имеют вид    ( ) ( ) ( ) ( ) 0 l l j l l k k jk k j z z     ; (4.28)    ( ) ( ) ( ) ( )l l l l jk k jk kz z   ; (4.29)  ( ) ( )l l jk kz – функции, голоморфные в многосвязных областях ( )l kS , ограниченных контурами ( )l kL Подставив функции (4.17) и (4.28) в граничные условия (2.16) и приравняв в по- лученных равенствах коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра  , для случая идеального контакта пластинки и включения получим следующую рекур- рентную последовательность граничных условий для определения комплексных по- тенциалов приближений:         4 0 0 ( ) ( ) ( ) 0( ) 0( ) ( ) ( ) 1 2Re 1, , , , , 1, , , , ,l l l l l l l k k k k k jk k k k k k k jk k k r h t r h t              0 1 2 3 4 0 0, , , , ,j l l l lc c c c   ,         4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2Re , ,l l l l k k jk k k k jk k k p q t p q t        =           4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1, 1 1 1, 1 2Re 1 , ,l l l l j k k j k k k k j k k k p q t p q t            37       ( ) ( ) 0 * 0 * 0 3 33 3, ,l l j l l l l j jj ju u v v y x             . (4.30) После определения из граничных условий функций приближений  jk kz , а в случае наличия включений и  ( ) ( )l l jk kt , заменив степени малого параметра j вре- менными операторами, можно получить значения комплексных потенциалов (4.17) и их производных в любой момент времени, а по ним основные характеристики ЭМУС (2.6). При этом, чтобы для пластинки определить степени малого параметра  , сле- дует учитывать, что на основании (4.1) имеем * 0 12 12    . (4.31) Заменив в (4.31) * 12 его временным оператором (3.16), получим    * * * * * 1 1 1 2 2Э ЭD D           ; (4.32) * 0 * 01 1 2 1 120 * * * 2 1 2 1 1 4 4 E D E                ; * 0 * * 2 1 1 2 2 0 * * * 2 1 2 14 E D E           . (4.33) Исходя из формулы (4.31) и из свойств возведения оператора в степень, определяем         * 0 1 0 12 12 12 * 11 1 Э1 1 ! j jj jj                      . (4.34) Возведя  по формуле (4.34) в степень j , получаем    - * * ** 2 1 1 21 0 Э Э j k k j j kj k k j k C D D                * * ** * 2 1 1 21 * * * 0 2 1 1 Э Э k j k j j kk k j k C D D                    . (4.35) Вычислив j по формуле (4.35) и подставив его, как и ранее, в выражение (4.17), оп- ределим функции ( )k kz и их производные, следовательно, и основные характери- стики ЭМУС (2.6) в любой момент времени. Аналогичным образом для каждого из включений имеем ( ) 0( ) 12 12 l l    . (4.36) При этом для включения ( )lS так же, как и выше, определяем        ( ) ( ) ( ) ( ) ( )** 1 2 1 1 2 0 Э Э j k k j j k kl l l l lj k j k C D D                     ( ) ( ) ( ) * 2 1 1( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 1 1 Э Э k j kl l lj j k kl lk j l l l k C D D                    ; (4.37) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( )1 1 2 1 120( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 4 4 l l l l l l l l l E D E                 ; 38 ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 0( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 14 l l l l l l l l l E D E           ; (4.38) 0( )l iE  1,2i  – мгновенно упругие значения ( )l iE ; ( )l i , ( )l i – реологические постоян- ные материала включения, связанные с изменением ( )l iE во времени.Equation Section (Next) §5. Решение задачи для пластины с эллиптическим отверстием. Рассмотрим бесконечную пластину с эллиптическим отверстием. Обозначим кон- тур отверстия и его полуоси через 1L , 1a , 1b (рис. 1). Контур отверстия жестко подкреплен, электрическая и магнитная индукции на нем равна нулю. На бесконечности – y p   ; 3 0x xy       . Кроме того, yE   ; yH   ; 0x xE H   или yD   ; yB   ; 0x xD B   . В данном случае комплексные потенциалы (4.17) примут вид    1jk k jk k jk kz z z    , (5.1) где jk – постоянные, определяемые из системы уравнений (4.14);  1jk kz – функ- ции, голоморфные вне эллипсов 1kL , соответствующих 1L при аффинных преобразо- ваниях (2.7). Для построения этих функций используем конформные отображения. Функции [4]  1 1 1 1/k k k k kz R m   , (5.2) в которых  1 1 1 / 2k kR a i b  ;    1 1 1 1 1/k k km a i b a i b    , (5.3) отображают конформно внешности единичных кругов 1\| \| 1k  на внешности эллип- сов 1kL . Тогда  1jk kz , голоморфные вне 1kL , будут голоморфными вне единичных кругов 1\| \| 1k  , включая бесконечно удаленную точку, и их можно представить ря- дами Лорана по отрицательным степеням 1k . Поэтому для функций (5.1) будем иметь выражения   1 1 1 jk n jk k jk k n n k a z z        . (5.4) Подставляя функции (5.1) в граничные условия (4.21) – (4.22) и применяя метод рядов, получаем, что 1 0jk na   0,1..., 1,4, 2j k n   , а 11jka удовлетворяют систе- ме уравнений       4 4 0 0 11 0 1 1 1, 11 1 1 , 1 ,k k jk j k k j k k k p q a p q a             4 0 0 0 , 1 1 0 0 , 1 1 , ,j k k j k k k k k j k k k p q R m p q R             4 1 1 1 1, 1 1 1 1 1, 1 1 , ,j k k j k k k k k j k k k p q R m p q R          ;       4 4 11 0 1 1 1 1 1 , , ,k k jk j k k jk k k k jk k k k k a R R m                 . (5.5) Рис. 1 1L 1aO 1b x y B A 39 Решая систему (5.5), определяем коэффициенты 11jka . Окончательно комплекс- ные потенциалы и их производные примут вид   11 1 jk jk k jk k k a z z      ;     11 2 1 1 1 jk jk k jk k k k a z R m      . (5.6) Вычислив по формуле (4.35) степени малого параметра j и умножив их на функции приближений (5.6), получим комплексные потенциалы (4.17) и их производ- ные, а по ним и значения основных характеристик (2.6) в любой момент времени. Если контур отверстия не подкреплен, то построение решения проводится анало- гичным образом. Это решение получаем из приведенного выше, если принять 0 1kp  ; 0k kq  ; 1 1 0k kp q  . Если вместо индукций на контуре пластинки заданы потенциалы электрического и магнитного полей, то решение также получаем из при- веденного при замене 0 k kr  ; 0 k kh  . Проведены численные исследования изменения основных характеристик ЭМУС в пластинке во времени из следующих материалов: композит на основе 3 2 4BaTiO CoFe O (М1) [22]; композит, упругие и электрические постоянные которого соответствуют кадмию селедиума CdSe , а пьезомагнитные и магнитные – 3BaTiO [17, 21] (М2); композит, упругие, пьезоэлектрические и электрические постоянные кото- рого соответствуют 4PZT  , а пьезомагнитные и магнитные – 2 4CoFe O [17, 21] (М3). Реологические постоянные для всех материалов примем такими, как в работе [5, 5a]: * 0,846  ; * 1 10,1570c  ; * 2 10,2745c  ; * 1 10,0323c  ; * 2 10,1295c  . При проведении расчетов количество приближений j по степеням малого пара- метра  увеличивалось до тех пор, пока последующее приближение изменяло максимальные значения напряжений предыдущего приближения более, чем на 0,01%. Для этого в рассмотренных случаях необходимо было оставлять от 5 до 10 приближений (степеней малого параметра  ). В таблице для пластинки из мате- риалов М1 и М3 в зависимости от вре- мени приведены значения напряжений в точках А и В на площадках, нормальных (со значком n ) и касательных (со знач- ком s ) к контуру отверстия, а на рис. 2 изображены графики распределения напряжений s по контуру для началь- ного (сплошные линии) и стационарного (штриховые линии) состояния. Из ана- лиза результатов следует, что уже через 200 час. напряжения в пластинке с тече- нием времени практически не изменя- ются, т.е. в ней устанавливается стацио- нарное состояние. Но значительные из- менения напряжений происходят лишь в первые 20 час. При переходе в стационарное состояние значения напряжений изменя- ется значительно. Так, значения s в точке А для пластины из материала М1 изменя- ются на 51%, для пластины из материала М3 – на 3%. Эти же изменения в точке В составляют, соответственно, 21% и 21%. 0,1 0 / 6 / 3  M1 M3 0,0 0,1 0, 2 0,3 0, 4 0,5 /s p Рис. 2 40 Заметим, что полученные значения основных характеристик в начальном состоя- нии совпадают с известными [7]. В случае вязкоупругих материалов, близких к изот- ропным, они согласуются с результатами работы [18], для анизотропных – работы [19], для пьезоэлектрических – работ [15, 16]. Заключение. В работе предложен метод решения задачи электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластин. С использованием метода малого параметра задача сведена к решению последовательности задач электромагнитоупругости, решаемых с использо- ванием комплексных потенциалов. Разработана методика определения по комплекс- ным потенциалам приближений основных характеристик электромагнитоупругого состояния (напряжений, индукций и напряженностей электромагнитного поля) в про- извольный момент времени после приложения нагрузки. В качестве числового при- мера представлено решение задачи для пластины с эллиптическим отверстием. Уста- новлено изменение значений основных характеристик электромагнитовязкоупругого состояния многосвязных пластин во времени. t , час. Ма- те- риал Воз- дейст- вие Точ- ки Вели- чина 0 20 40 60 80 100 200 300 s 0,063 0,040 0,038 0,036 0,035 0,035 0,032 0,031 А n 0,006 -0,040 -0,042 -0,042 -0,043 -0,043 -0,044 -0,044 s 0,479 0,566 0,570 0,572 0,573 0,574 0,577 0,578 y p   В n 1,469 1,458 1,459 1,459 1,459 1,459 1,460 1,461 2 10s -2,161 -2,122 -2,122 -2,122 -2,123 -2,123 -2,124 -2,125 А 2 10n 1,172 1,103 1,101 1,100 1,100 1,100 1,099 1,099 1 10s 6,228 7,127 7,155 7,169 7,178 7,184 7,200 7,205 yH   В 2 10n 1,908 1,856 1,855 1,855 1,855 1,855 1,855 1,855 1 10s -2,294 -2,286 -2,287 -2,288 -2,288 -2,289 -2,290 -2,291 А n 5,114 4,631 4,618 4,611 4,607 4,604 4,597 4,596 s 4,607 5,340 5,367 5,382 5,391 5,397 5,415 5,423 М1 yE   В 1 10n 1,412 1,385 1,385 1,385 1,385 1,385 1,385 1,385 s 0,273 0,286 0,285 0,285 0,284 0,284 0,283 0,282 А n 0,175 0,120 0,118 0,117 0,117 0,116 0,115 0,115 s 0,368 0,434 0,437 0,439 0,440 0,440 0,443 0,444 y p   В n 1,556 1,517 1,516 1,516 1,516 1,516 1,517 1,517 2 10s -10,007 -9,599 -9,590 -9,586 -9,584 -9,583 -9,582 -9,583 А 2 10n 8,119 7,537 7,522 7,515 7,511 7,509 7,503 7,502 2 10s 2,993 3,415 3,428 3,434 3,439 3,441 3,449 3,451 yH   В 3 10n 1,265 1,204 1,202 1,202 1,201 1,201 1,201 1,201 1 10s -5,741 -5,594 -5,591 -5,591 -5,590 -5,590 -5,591 -5,592 А 1 10n 2,515 2,302 2,296 2,294 2,292 2,291 2,289 2,288 1 10s 1,159 1,333 1,339 1,342 1,344 1,346 1,349 1,351 М3 yE   В 1 10n 4,898 4,689 4,684 4,682 4,681 4,681 4,680 4,680 41 Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано метод розв’язання задачі електромагнітов’язкопружності для ба- гатозв’язних пластин. Методом малого параметра задачу зведено до рекурентної послідовності задач електромагнітопружності, які розв’язуються з використанням комплексних потенціалів. Розроблена методика визначення за комплексними потенціалами наближень основних характеристик електрома- гнітопружного стану (напружень, індукцій та напруженостей електромагнітного поля) у будь-який момент часу після прикладення навантаження. Як приклад наведено розв’язок задачі для пластинки з еліптичним отвором. Встановлено зміну значень основних характеристик електромагні- тов’язкопружного стану багатозв’язних пластин з часом . 1. Ашкенадзи Е. К., Ганов Э. В. Анизотропия конструкционных материалов: Справочник. – Л.: Ма- шиностороение, 1980. – 247 с. 2. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость.– К.: Наук. думка, 1989.– 280 с. (Ме- ханика связных полей в элементах конструкций: В 5-ти т.; Т. 5). 3. Калоеров С.А., Баева А.И., Бороненко О.И. Двумерные задачи электро- и магнитоупругости для многосвязных сред. – Донецк: Юго-Восток, 2007. – 270 с. 4. Калоеров С.А., Горянская Е.С. Двумерное напряженно-деформированное состояние многосвязного анизотропного тела // Концентрация напряжений.– К.: А.С.К., 1998. – С. 10–26. – (Механика композитов: В 12-ти т.; Т. 7). 5. Калоеров С.А., Паршикова О. А. Решение задачи термовязкоупругости для анизотропной пластин- ки // Теорет. и прикл. механіка. – 2011. – 48, № 2. – С. 51 – 70. 6. Калоеров С.А., Петренко А.В. Двумерные задачи электромагнитоупругости для многосвязных тел. – Донецк: Юго-Восток, 2011. – 232 с. 7. Калоеров С.А., Самодуров А.А. Исследование электромагнитоупругого состояния пьезопластинки с подкрепленными отверстиями // Вісн. Донец. ун-та. Сер. А. Природ. науки. – 2013. – 1. – С. 42 – 48. 8. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. – М.: Мир, 1974. – 338 с. 9 Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977.– 416 с. 10. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. – М.: Наука, 1988.– 472 с. 11. Работнов Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием // Прикл. математика и механика. – 1948. – 12, № 1. – С. 53 – 62. 12. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 1966.– 752 с. 13. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. – М.: Наука, 1977.– 384 с. 14. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий.– К.: Наук. думка, 1968.– 888 с. 15. Ask A., Menzel A., Ristinmaa M. Electrostriction in electro-viscoelastic polymers / Mech. Mater. – 2012. – 50. – P. 9 – 21. 16. Ask A., Menzel A., Ristinmaa M. Phenomenological modeling of viscous electrostrictive polymers // Int. J. Non-Linear Mech. – 2012. – 47. – P. 156 – 165. 17. Hrennikoff A. Solution of problems of elasticity by the framework method // J. Appl. Mech. – 1941. – 8. – P. A169 – A175. 18. Kaloerov S.A., Mironenko A.B. Analyzing the Viscoelastic State of a Plate with Elliptic or Linear Elastic Inclusions // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 2. – P. 198 – 208. 19. Kaloerov S.A., Parshikova O.A. Thermoviscoelastic State of Multiply Connected Anisotropic Plates // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 2. – P. 319 – 331. 20. Kaminsky A.A. Study of the Deformation of Anisotropic Viscoelastic Bodies // Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N 11. – P. 1434 – 1457. 21. Tang T., Yu W. Micromechanical modeling of the multiphysical behavior of smart materials using the variational asymptotic method // Smart Mater. Struct. – 2009. – 18. – P. 1 – 14. 22. Tian W.-Y., Gabbert U. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids // Europ. J. Mech. Part A. – 2004. – 23. – P. 599 – 614. Поступила 12.03.2014 Утверждена в печать 26.05.2015

Задача электромагнитовязкоупругости для многосвязных пластинA Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multi-Connected Plates

Institution

Ähnliche Einträge