Об устойчивости горизонтального движения самолёта
Исследована устойчивость горизонтального полета легкого самолета, управление которым реализуется посредством отклонения рулей высоты. Принято также, что система, с помощью которой моделируется исследуемый объект, составлена, возможно, с некоторой степенью неточности, что отвечает наличию численного...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141037 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об устойчивости горизонтального движения самолёта / А.С. Хорошун // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 134-144. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-141037 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1410372018-07-22T01:22:57Z Об устойчивости горизонтального движения самолёта Хорошун, А.С. Исследована устойчивость горизонтального полета легкого самолета, управление которым реализуется посредством отклонения рулей высоты. Принято также, что система, с помощью которой моделируется исследуемый объект, составлена, возможно, с некоторой степенью неточности, что отвечает наличию численного параметра, входящего в уравнения движения. Применение подхода сингулярных возмущений позволяет свести исходную линеаризированную систему дифференциальных уравнений к сингулярно возмущенному виду и применить для исследования устойчивости ее нулевого состояния равновесия подход, основанный на концепции параметрической устойчивости. Отметим, что устойчивость нулевого состояния равновесия исходной линейной системы можно исследовать, используя условия Рауса - Гурвица. Однако, наличие существенно нелинейных параметрических возмущений системы дифференциальных уравнений, как в рассматриваемом примере, делает эту задачу трудноразрешимой. Использование же предложенного подхода позволяет учитывать параметрические возмущения любой степени сложности. Використовуючи підхід сингулярних збурень, досліджено стійкість горизонтального руху легкого літака. Враховано можливі неточності моделювання за допомогою введення у рівняння руху деякого числового параметра. Отримано множину значень параметрів, при яких стійкість зберігається. The stability of horizontal motion of a light airplane is studied using the approach of singular perturbations. The possible inaccuracies of modeling are taken into account by use of introducing into a motion equation some numerical parameter. A set of values of parameters for which the stability is kept is obtained. 2016 Article Об устойчивости горизонтального движения самолёта / А.С. Хорошун // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 134-144. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141037 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследована устойчивость горизонтального полета легкого самолета, управление которым реализуется посредством отклонения рулей высоты. Принято также, что система, с помощью которой моделируется исследуемый объект, составлена, возможно, с некоторой степенью неточности, что отвечает наличию численного параметра, входящего в уравнения движения. Применение подхода сингулярных возмущений позволяет свести исходную линеаризированную систему дифференциальных уравнений к сингулярно возмущенному виду и применить для исследования устойчивости ее нулевого состояния равновесия подход, основанный на концепции параметрической устойчивости. Отметим, что устойчивость нулевого состояния равновесия исходной линейной системы можно исследовать, используя условия Рауса - Гурвица. Однако, наличие существенно нелинейных параметрических возмущений системы дифференциальных уравнений, как в рассматриваемом примере, делает эту задачу трудноразрешимой. Использование же предложенного подхода позволяет учитывать параметрические возмущения любой степени сложности. |
| format |
Article |
| author |
Хорошун, А.С. |
| spellingShingle |
Хорошун, А.С. Об устойчивости горизонтального движения самолёта Прикладная механика |
| author_facet |
Хорошун, А.С. |
| author_sort |
Хорошун, А.С. |
| title |
Об устойчивости горизонтального движения самолёта |
| title_short |
Об устойчивости горизонтального движения самолёта |
| title_full |
Об устойчивости горизонтального движения самолёта |
| title_fullStr |
Об устойчивости горизонтального движения самолёта |
| title_full_unstemmed |
Об устойчивости горизонтального движения самолёта |
| title_sort |
об устойчивости горизонтального движения самолёта |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141037 |
| citation_txt |
Об устойчивости горизонтального движения самолёта / А.С. Хорошун // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 134-144. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT horošunas obustojčivostigorizontalʹnogodviženiâsamolëta |
| first_indexed |
2025-07-10T11:48:24Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:48:24Z |
| _version_ |
1837260455164248064 |
| fulltext |
2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 1
134 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, №1
А .С .Х о р ош у н
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: center@inmech.kiev.ua
Abstract. The stability of horizontal motion of a light airplane is studied using the ap-
proach of singular perturbations. The possible inaccuracies of modeling are taken into ac-
count by use of introducing into a motion equation some numerical parameter. A set of val-
ues of parameters for which the stability is kept is obtained.
Key words: approach of singular perturbations, parametric stability, Lyapunov function.
Введение.
Необходимость автоматизации управления полета самолетов первоначально была
обусловлена их недостаточной устойчивостью и управляемостью. Полет на таких само-
летах требовал высокой техники пилотирования. Использование автоматических средств
стабилизации самолета по крену и тангажу, [2, 5], облегчало труд пилота и полет стано-
вился менее опасным. По мере увеличения продолжительности и дальности полетов воз-
никла потребность разгрузить экипаж от утомительных и однообразных функций стаби-
лизации самолета не только по крену и тангажу, но и по курсу.
На ранних этапах развития авиационной техники, вождение самолетов по задан-
ной траектории осуществлялось простейшими визуальными методами навигации путем
наблюдения за наземными ориентирами. Развитие инструментальных методов навига-
ции позволило осуществить автоматическое управление полетом самолетов в крей-
серском полете по маршруту. Автоматическое управление траекторным движением
самолета на маршруте обеспечивает лишь эпизодическое участие или практически
полное невмешательство пилота в процесс управления. Благоприятное влияние авто-
матики на процесс управления полетом самолета проявляется в улучшении качества
переходных процессов возвращения самолета к исходной траектории после непроиз-
вольного отклонения под действием внешних возмущений. Так осуществляется
автоматическая стабилизация траекторного движения на маршруте [4].
В данной работе задача об автоматическом управлении продольным движением
самолета рассмотрена при учете наличия некоторых неопределенных параметров в
системе дифференциальных уравнений, которая описывает реальную механическую
систему. Это может быть обусловлено многими факторами, как то, неточностью изме-
рений, наличием неучтенных воздействий на элементы системы и.т.п. и является
неотъемлемой частью любого реального процесса. Концепция параметрической
устойчивости [6] позволяет учитывать наличие неопределенных параметров и делать
вывод об устойчивости решений исследуемой системы дифференциальных уравнений,
суть о сохранении определенной характеристики механической системы, для всех значе-
ний таких параметров из некоторой области. В контексте исследования автоматичес-
кого регулирования полетом самолета это даст возможность, в частности, повысить
качество функционирования органов управления и увеличить безопасность полета.
135
1. Постановка задачи.
Рассмотрим продольное движение легкого самолета, принимая, что вектор скорости
его центра масс лежит в плоскости симметрии, которой обладает исследуемый лета-
тельный аппарат (рис. 1).
Рис. 1
Также предполагаем, что движение происходит в пределах атмосферы на высоте
11 км. Число Маха = 0,9M . В этом случае линеаризированные уравнения движения
объекта [1] с учетом управления, которое реализуется посредством изменения
положения руля высоты, имеют вид
=
d
A
d
[ = ( )T q , = (0 0 0 )T n ];
11 13 12
21 23 22
31 0 21 0 23 32 0 22 0 33
0
0 0 0 1
= ;
1
n n n
A
n n n
n n n n n n n n n n
11 = 0,024n ; 12 = 0,11n ; 13 = 0,2n ; 21 = 0,4n ; 22 = 2,4n ;
23 = 0n ; 31 = 0n ; 32 = 38n ; 33 = 2,45n ; 0 = 0,4n ; = 49n ;
– приращение скорости; – приращение угла тангажа; – приращение угла
атаки; q – приращение скорости изменения угла тангажа; – отклонение руля
высоты; – время, соответствующее быстрому движению. Отметим, что указанные
переменные безразмерные и им лишь придан смысл тех же размерных величин.
Элементы матрицы A и вектора также безразмерные. Примем, что они заданы
неточно, т. е. в следствие, например, неидеальности измерительных приборов их
значения получены с некоторой погрешностью. Таким образом, вместо исходной
системы будем рассматривать систему
= ( ) ( ) ,
d
A p p
d
(1)
где элементы матрицы ( )A p и вектора ( )p некоторым образом непрерывно зависят
от параметра p P R , причем примем, что *( ) =A p A и *( ) =p , где *p P .
136
Пусть управление углом тангажа задано [1, 3] соотношением
1 2= ,e k k q (2)
где 1 2,k k R – параметры управления. Автопилот, который реализует управление
(2), должен реагировать на отклонения от равновесных значений переменных (в кон-
тексте выбора переменных системы в виде прироста определенных величин равновес-
ными принимаем их нулевые значения) и обеспечивать возврат к таковым. Управление
будет тем лучше, чем быстрее и с наименьшим отклонением от равновесных величин
происходит стабилизация движения летательного аппарата.
В данной работе с помощью так называемого сингулярно возмущенного подхода
получены соотношения на параметры управления, которое обеспечит устойчивость
нулевого состояния равновесия системы (1), суть стабилизирует полет самолета при
возможных отклонениях от заданного курса. Также, используя концепцию параметри-
ческой устойчивости, получена оценка на величину возможных параметрических
возмущений элементов матрицы A и вектора , при которых устойчивость нулевого
состояния равновесия системы (1) сохранится.
2. Переход к сингулярно возмущенной форме уравнений движения.
Известно, что система дифференциальных уравнений (1), которая описывает
продольное движение самолета, включает в себя переменные, которые изменяются с
разной скоростью. Поэтому представим ее в сингулярно возмущенной форме, для
чего необходимо перейти от «быстрого» времени , относительно которого рассмат-
ривается система (1), к «медленному» времени t , связанному с соотношением
= at , где = 3,8a численно равно аэродинамической постоянной летательного аппа-
рата [1], и провести соответствующую замену переменных [7]. Для этого запишем
систему (1) в виде
1
111 120 111 1201 1
211 220 211 2202 22
( ) ( ) ( ) ( )
=
( ) ( ) ( ) ( )
d
F p F p f p f pdt
F p F p f p f pd
dt
(3)
1 =T ; 2 =T q ;
1
=
a
;
1311
111
( )( )
( ) =
0 0
n pn p
F p
;
2321
12
120 211
31 0 21 0 23
( )( )
( ) 0
( ) = ; ( ) = ;
0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n pn p
n p
F p F p
n p n p n p n p n p
22
220 111
32 0 22 0 33
( ) 1 0 0
( ) = ; ( ) = ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0
n p
F p f p
n p n p n p n p n p
120 211 1 220 21
2
0 0
0 00 0
( ) = ; ( , ) = ; ( , ) =( )
0 ( )0 0 0
f p f p k f p kn p k
n p k
.
Воспользовавшись невырожденной заменой переменных
137
* 1 *
2 1 120 220 2= , = ( ) ( ) ,y x F p F p
где 1 *
220 ( )F p , очевидно, существует, систему (3) представим в виде
11 1 12 1 2= ( , ) ( , , ) ;x A p k x A p k k y
21 1 22 1 2= ( , ) ( , , )y A p k x A p k k y (4)
* 1 *
11 1 111 111 120 220 211 211 1( , ) = ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( , ));A p k F p f p F p F p F p f p k
* 1 * * 1 *
12 1 2 11 1 120 220 120 120 220 220 2
1
( , , ) = ( , ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( , ));A p k k A p k F p F p f p F p F p f p k
21 1 211 211 1( , ) = ( ( ) ( , ));A p k F p f p k
* 1 *
22 1 2 211 211 1 120 220 220 220 2( , , ) = ( ( ) ( , )) ( ) ( ) ( ) ( , ) .A p k k F p f p k F p F p F p f p k
Система дифференциальных уравнений (4) имеет стандартный вид системы син-
гулярно возмущенных дифференциальных уравнений.
3. Исследование устойчивости состояния равновесия рассматриваемой системы.
После приведения системы дифференциальных уравнений (1) к сингулярно
возмущенной форме (4) для исследования устойчивости ее нулевого состояния
равновесия, суть нулевого состояния равновесия системы (1), применим подход,
предложенный в работе [10].
Относительно системы (4) примем следующее предположение.
Предположение. Существуют такие параметры управления 1k и 2k , что матрицы
* * *
22 1 2( , , )A p k k и * * * * * * * * 1 * * * * *
0 1 2 11 1 12 1 2 22 1 2 21 1( , , ) = ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , )A p k k A p k A p k k A p k k A p k
устойчивы.
Пусть 2 2
1 2,Q Q R – произвольные симметрические положительно определенные
матрицы, а 2 2
1 2,P P R – симметрические положительно определенные матрицы, кото-
рые являются решениями алгебраических уравнений Ляпунова
* * * * * *
0 1 2 1 1 0 1 2 1( , , ) ( , , ) = ;TA p k k P P A p k k Q
* * * * * *
22 1 2 2 2 22 1 2 2( , , ) ( , , ) = ;TA p k k P P A p k k Q
которые, очевидно, разрешимы.
Рассмотрим векторную функцию 1 2( , ) = ( ( ) ( )) ,TV x y v x v y где 1 1( ) = Tv x x P x , 2 ( )v y
2( ( )) ( ( ))Ty x P y x , 1
22 1 2 21 1( ) = ( , , ) ( , )x A p k k A p k x и оценим производные ее
компонент в силу системы (4). При этом имеем
1
11 1 12 1 2 1 1 11 1 12 1 2
(4)
( )
= ( ( , ) ( , , ) ) ( ( , ) ( , , ) ) =T Tdv x
A p k x A p k k y P x x P A p k x A p k k y
dt
1
11 1 12 1 2 22 1 2 21 1 1= ( ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , ))T Tx A p k A p k k A p k k A p k P x
1
1 11 1 12 1 2 22 1 2 21 1( ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , ))Tx P A p k A p k k A p k k A p k x
138
1
12 1 2 12 1 2 22 1 2 21 1 1( ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , ))TA p k k y A p k k A p k k A p k P x
1
1 12 1 2 12 1 2 22 1 2 21 1( ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , )) =Tx P A p k k y A p k k A p k k A p k
0 1 2 1 1 0 1 2= ( , , ) ( , , )T T Tx A p k k P x x P A p k k x
12 1 2 1 1 12 1 2( ( )) ( , , ) ( , , )( ( ))T Ty x A p k k P x x P A p k k y x
max 0 1 2 1 1 0 1 2 1 12 1 2( ( , , ) ( , , )) 2 ( , , ) ( )TA p k k P P A p k k P A p k k x y x ; (5)
2
2 2
(4)
( ) ( ) ( )
= ( ( )) ( ( )) =
T
Tdv y d x d x
y x P y x y x P y x
dt dx dx
1
21 1 22 1 2 22 1 2 21 1 11 1 12 1 2
1 1
= ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , )( ( , ) ( , , ) )
T
A p k x A p k k y A p k k A p k A p k x A p k k y
2 2( ( )) ( ( ))TP y x y x P
1
21 1 22 1 2 22 1 2 21 1 11 1 12 1 2
1 1
( , ) ( , , ) ( , , ) ( , )( ( , ) ( , , ) ) =A p k x A p k k y A p k k A p k A p k x A p k k y
22 1 2 2 2 22 1 2
1
= ( ( )) ( , , ) ( , , ) ( ( ))T Ty x A p k k P P A p k k y x
1
22 1 2 21 1 0 1 2 2( , , ) ( , ) ( , , ) ( ( ))
TTx A p k k A p k A p k k P y x
1
22 1 2 21 1 12 1 2 2( ( )) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( ( ))
TTy x A p k k A p k A p k k P y x
1
2 22 1 2 21 1 0 1 2( ( )) ( , , ) ( , ) ( , , )Ty x P A p k k A p k A p k k x
1
2 22 1 2 21 1 12 1 2( ( )) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( ( ))Ty x P A p k k A p k A p k k y x
max 22 1 2 2 2 22 1 2
1
( , , ) ( , , )TA p k k P P A p k k
+ 1
max 22 1 2 21 1 12 1 2 2( , , ) ( , ) ( , , )
T
A p k k A p k A p k k P +
21
2 22 1 2 21 1 12 1 2( , , ) ( , ) ( , , ) ( )P A p k k A p k A p k k y x
1
2 22 1 2 21 1 0 1 22 ( , , ) ( , ) ( , , ) ( ) .P A p k k A p k A p k k x y x (6)
Введем обозначения:
1 1 2 max 0 1 2 1 1 0 1 2( , , ) = ( , , ) ( , , ) ;Tp k k A p k k P P A p k k
139
1 1 2 1 12 1 2( , , ) = 2 ( , , ) ;p k k P A p k k
2 1 2 max 22 1 2 2 2 22 1 2( , , ) = ( , , ) ( , , ) ;Tp k k A p k k P P A p k k
2 1 2( , , ) =p k k
1
max 22 1 2 21 1 12 1 2 2= ( , , ) ( , ) ( , , )
T
A p k k A p k A p k k P
1
2 22 1 2 21 1 12 1 2( , , ) ( , ) ( , , ) ;P A p k k A p k A p k k
1
2 1 2 2 22 1 2 21 1 0 1 2( , , ) = 2 ( , , ) ( , ) ( , , ) .p k k P A p k k A p k A p k k
Тогда, учитывая оценки
2 2
min 1 1 max 1( ) ( ) ( )P x V x P x ,
2 2
min 2 2 max 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )P y x V x P y x
и соотношения (5), (6), для производной векторной функции ( , )V x y в силу системы
(4) получим, аналогично [10], следующую оценку относительно конуса 2R :
1 2
(4)
( , )
( , , ) ( , )
dV x y
A p k k V x y
dt
2
1 1 2 1 1 2
min 1 1 1 2 min 2
2 1 21 2 2 2 1 2
2 1 2
2 1 2 min 2
2 1 2 min 1
( , , ) ( , , )
( ) ( , , ) ( )
1 ( , , )( , , ) = .( , , )2 ( , , )
( , , ) ( )
( , , ) ( )
p k k p k k
P p k k P
p k kA p k k p k kp k k
p k k P
p k k P
Далее сформулируем и докажем следующее утверждение.
Утверждение. Пусть выполняются условия Предположения 1 и имеет место
неравенство
* * *
* * * * * * * * * * * *2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
( , , )
( , , ) ( , , ) > ( , , ) ( , , ).
p k k
p k k p k k p k k p k k
(7)
Тогда существует область 2K R такая, что для каждой пары 1 2( , )k k K нуле-
вое состояние равновесия системы дифференциальных уравнений (4) глобально
асимптотически устойчиво для каждого значения параметра p из некоторго интервала
P , причем *p P и * *
1 2( , )k k K .
Доказательство. Так как выполняются условия Предположения, 1 1 2( , , )p k k ,
2 1 2( , , )p k k , 2 1 2( , , )p k k , 1 1 2( , , )p k k , 2 1 2( , , )p k k непрерывно зависят от 1k , 2k и
выполняется соотношение (7), то, очевидно, существует область 2K R , * *
1 2( , )k k K
такая, что выполняются неравенства
140
*
1 1 2( , , ) < 0;p k k (8)
*
2 1 2( , , ) < 0;p k k (9)
*
* * * *2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
( , , )
( , , ) ( , , ) > ( , , ) ( , , )
p k k
p k k p k k p k k p k k
(10)
для всех 1 2( , )k k K . Выберем произвольно 1 2( , )k k K . Так как 1 1 2( , , )p k k ,
2 1 2( , , )p k k , 2 1 2( , , )p k k , 1 1 2( , , )p k k , 2 1 2( , , )p k k непрерывно зависят от p и для
выбранных 1 2( , )k k K выполняются соотношения (8) – (10), то, очевидно, сущест-
вует область P R , *p P такая, что выполняются неравенства
1 1 2( , , ) < 0;p k k (11)
2 1 2( , , ) < 0;p k k (12)
2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
( , , )
( , , ) ( , , ) > ( , , ) ( , , )
p k k
p k k p k k p k k p k k
(13)
для всех p P . Выберем произвольно p P . Очевидно, что будут справедливы
соотношения
1 1 2( , , ) < 0;p k k (14)
2 1 2( , , ) < 0;p k k (15)
2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
( , , )
( , , ) ( , , ) > ( , , ) ( , , ).
p k k
p k k p k k p k k p k k
(16)
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
1 2= ( , , ) ,
dU
A p k k U
dt
(17)
где матрица 1 2( , , )A p k k задана выше, а 2
1 2= ( , )TU u u R . При выполнении нера-
венств (14) – (16) функция 1 2( ) = ( , , )f U A p k k U удовлетворяет условию Важевского
[11] относительно конуса 2R и матрица 1 2( , , )A p k k устойчива, т. е. система (17)
является системой сравнения для системы дифференциальных уравнений (4), которая
рассматривается для значений параметра ( p , 1k , 2 )k . Следовательно, нулевое состо-
яние равновесия системы (4) при этих значениях параметра является глобально асимп-
тотически устойчивым.
Таким образом показано, что область K существует и поскольку 1 2( , )k k
произвольная точка этой области, то для всех пар 1 2( , )k k K существует область P
такая, что для всех p P , поскольку p произвольная точка области P , и выбранных
1 2( , )k k нулевое состояние равновесия системы дифференциальных уравнений (4)
глобально асимптотически устойчиво.
Таким образом, утверждение доказано.
Замечание 1. Следуя доказательству Утверждения, выбор области K и интервала
P проводится согласно неравенствам (8) – (10) и (11) – (13), соответственно.
141
Замечание 2. Легко видеть, что Утверждение имеет место и при всех значениях
малого параметра, меньших используемого в данной задаче, но больших нуля. Таким
образом, соотношение (7) можно использовать для выбора верхней границы интер-
вала изменения малого параметра .
4. Числовые результаты и их анализ.
Воспользуемся полученными результатами по устойчивости нулевого состояния
равновесия системы дифференциальных уравнений (4) для выбора параметров
управления (2) и получения области P возможных параметрических возмущений,
при которых устойчивость нулевого состояния равновесия системы (4) сохранится.
Параметры управления *
1k и *
2k выберем, исходя из условий Предположения.
Причем, учитываем, что *( ) =A p A и *( ) =p , т. е. выбор параметров управления
*
1k и *
2k проводится для системы (4) без параметрических возмущений. Выбрав
*
1 = 0,35k *
2 = 0,7k , убедимся, что матрицы * * *
22 1 2( , , )A p k k и * * *
0 1 2( , , )A p k k устой-
чивы, то есть условия Предположения 1 выполнены. При этом выполняется и
соотношение (7), т. е. нулевое состояние равновесия системы дифференциальных
уравнений (4) при выбранных параметрах управления глобально асимптотически
устойчиво. Выберем 2 2
1 2= =Q Q I – единичная матрица размерности 2 2 и
вычислим
3
1 2 3
1,7718 0,67748 0,384 8,16 10
= ; =
0,67748 0,8898 8,16 10 0,0136
P P
.
Выбор области 2K R , согласно доказательству Утверждения, проведем таким
образом, чтобы для всех 1 2( , )k k K выполнялись условия (8) – (10). Область
изображена на рис. 2.
Рис. 2
Пусть параметрические возмущения таковы, что элементы матрицы ( )A p и
вектора ( )p имеют вид
11 12= 0,24 ; ( ) = 0,11 sin( );pn pe n p p
13 21 22( ) = 0,2; ( ) = 0,4 ; ( ) = 2,4 sin( );n p n p p n p p p
23 31 32( ) = ; ( ) = ; ( ) = 38 ;n p p n p p n p p
142
33 0( ) = 2,45 , ( ) = 0,4cos( ), ( ) = 49 .pn p e n p p n p p
Отметим, что при * = 0p *( ) =A p A и *( ) =p . Определим величину пара-
метрических возмущений, при которой сохранится устойчивость нулевого состояния
равновесия системы дифференциальных уравнений (4) для выбранных параметров
управления *
1k и *
2k . Согласно доказательству Утверждения 1, выбор области P про-
водится таким образом, чтобы для всех p P выполнялись соотношения (11) – (13),
где *
1 1=k k , *
2 2=k k . Область P получим в виде отрезка = [ 0,02, 0,69]P .
Таким образом, при всех p P управление * *
1 2=e k k q стабилизирует нулевое
состояние равновесия системы дифференциальных уравнений (4), суть указанное
управление стабилизирует горизонтальный полет легкого самолета при возможных
его отклонениях от горизонтали с учетом возможных неточностей построенной модели.
Отметим, что свойство асимптотической устойчивости горизонтального полета легкого
самолета является глобальным, т. е. не зависит от величины возмущений начальных
значений.
На рис. 3 – 6 показано поведение решений системы дифференциальных
уравнений (1). Управление имеет вид (2), параметры управления 1 = 0,35k ; 2 = 0,7k .
Выбрано значение параметра = 0,5p , которое принадлежит области P . Начальные
значения переменных = 0 ; = 1 ; = 1 ; = 0q , что соответствует задаче устранения
автопилотом начального отклонения угла тангажа.
Рис. 3 Рис. 4
Рис. 5 Рис. 6
На рис. 7 – 10 показано поведение решений системы дифференциальных
уравнений (1). Управление имеет вид (2), параметры управления 1 = 0,35k ; 2 = 0,7k .
Выбрано значение параметра = 0,6p , которое принадлежит области P . Начальные зна-
чения переменных = 0 ; = 0 ; = 1 ; = 0q , что соответствует задаче устранения
автопилотом вертикального ветрового возмущения.
143
Рис. 7 Рис. 8
Рис. 9 Рис. 10
Отметим, что графики поведения решений исходной системы получены в
«быстром» времени. Если есть необходимость получить их в «медленном» времени,
значения абсцисс необходимо умножить на 3,8 .
Заключение.
В статье исследована устойчивость горизонтального полета легкого самолета,
управление которым реализуется посредством отклонения рулей высоты. Принято
также, что система, с помощью которой моделируется исследуемый объект [9], состав-
лена, возможно, с некоторой степенью неточности, что отвечает наличию численного
параметра, входящего в уравнения движения. Применение подхода сингулярных
возмущений позволяет свести исходную линеаризированную систему дифферен-
циальных уравнений к сингулярно возмущенному виду и применить для исследова-
ния устойчивости ее нулевого состояния равновесия подход, основанный на концеп-
ции параметрической устойчивости [6, 10].
Отметим, что устойчивость нулевого состояния равновесия исходной линейной
системы можно исследовать, используя условия Рауса – Гурвица. Однако, наличие
существенно нелинейных параметрических возмущений системы дифференциальных
уравнений, как в рассматриваемом примере, делает эту задачу трудноразрешимой.
Использование же предложенного подхода позволяет учитывать параметрические
возмущения любой степени сложности. Представляет интерес также развитие данного
подхода в контексте работ [8, 12].
Р Е ЗЮМ Е . Використовуючи підхід сингулярних збурень, досліджено стійкість горизон-
тального руху легкого літака. Враховано можливі неточності моделювання за допомогою введення у
рівняння руху деякого числового параметра. Отримано множину значень параметрів, при яких
стійкість зберігається.
144
1. Боднер В.А. Теория автоматического управления полетом. – М.: Наука, 1964. – 700 с.
2. Боднер В.А., Козлов М.С. Стабилизация летательных аппаратов и автопилоты. – М.: Оборонгиз,
1961. – 508 с.
3. Воробьев В.Г., Кузнецов С.В. Автоматическое управление полетом самолетов: Учеб. для вузов. –
М.: Транспорт, 1995. – 448 с.
4. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое
конструирование. – М.: Наука, 1973. – 560 с.
5. Etkin B., Reid L.D. Dynamics of Flight: Stability and Control. – Canada: John Willey and Sons, 1995. –
382 p.
6. Ikeda, Y. Ohta, D.D., Ŝiljak Parametric stability // The Ohio State University Joint Conference: (Proc. of
the Univesitádi Genova). – Boston, Basel, Berlin: Birkhäuser, 1991. – P. 1 – 20.
7. Kokotovic P., Khalil H.K., O’Reilly J. Singular Perturbation Methods in Control: Analysis and Design. –
London: Academic Press, 1986. – 371 p.
8. Larin V.B., Tunik A.A. Improvement of Aircraft’s Capability of Tracking the Reference Trajectory // Int.
Appl. Mech. – 2015. – 51, N 5. – P. 601 – 606.
9. Martynyuk A. A. Elements of the Theory of Stability of Hybrid Systems (Review) // Int. Appl. Mech. –
2015. – 51, N 3. – P. 243 – 302.
10. Martynyuk A.A., Khoroshun A.S. Parametric Stability of Singularly Perturbed Nonlinear Uncertain
Systems // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 10. – P. 1177 – 1189.
11. Wazewski T. Certaines propositions de caractere “epidermique” relatives aux inegalites differentielles //
Ann. Sci. Polon. Math. – 1952. – N 24. – P. 1 – 12.
12. Zakrzhevskii A.E., Khoroshilov V.S. Dynamics of an Unstabilized Spacecraft During the Deployment of
an Elastic Pantograph Structure Trajectory // Int. Appl. Mech. – 2015. – 50, N 3. – P. 341 – 351.
Поступила 15.07.2014 Утверждена в печать 22.12.2015
|