Нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях

Предложен подход к исследованию нестационарных волновых процессов в упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях четвертой краевой задачи теории упругости. Применяются интегральные преобразования Лапласа и Фурье, последовательное обращение которых либо использование метода Каньяра для их с...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
1. Verfasser:	Кубенко, В.Д.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2016
Schriftenreihe:	Прикладная механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141039
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях / В.Д. Кубенко // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 3-19. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-141039
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1410392018-07-22T01:23:18Z Нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях Кубенко, В.Д. Предложен подход к исследованию нестационарных волновых процессов в упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях четвертой краевой задачи теории упругости. Применяются интегральные преобразования Лапласа и Фурье, последовательное обращение которых либо использование метода Каньяра для их совместного обращения дает возможность получить искомое точное решение задачи (напряжение, перемещение) в замкнутом аналитическом виде: в виде аналитического выражения, содержащего элементарные функции, или в виде определенного интеграла от элементарных функций. Развитый подход позволяет выполнить исследование для широкого ассортимента действующих нагрузок. Запропоновано підхід до дослідження нестаціонарних хвильових процесів у пружній півплощині при змішаних граничних умовах четвертої граничної задачі теорії пружності. Застосовано інтегральні перетворення Лапласа і Фур'є, послідовне обернення яких або використання методу Каньяра для їхнього спільного обернення дає можливість одержати розв’язок (напруження, переміщення) у замкненому аналітичному вигляді. Підхід дозволяє виконати дослідження для різноманітного асортименту діючих навантажень. An approach is proposed to study of the non-stationary wave processes in an elastic half-plane under mixed boundary conditions of the fourth boundary problem of theory of elasticity. The Laplace and Fourier integral transforms are applied, the inverse transform of which or the Cagniard method for their common inversion provide the required solution (stresses, displacements) in the closed analytical form. This approach permits to study the problem for the diverse choice of loadings. 2016 Article Нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях / В.Д. Кубенко // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 3-19. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141039 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Предложен подход к исследованию нестационарных волновых процессов в упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях четвертой краевой задачи теории упругости. Применяются интегральные преобразования Лапласа и Фурье, последовательное обращение которых либо использование метода Каньяра для их совместного обращения дает возможность получить искомое точное решение задачи (напряжение, перемещение) в замкнутом аналитическом виде: в виде аналитического выражения, содержащего элементарные функции, или в виде определенного интеграла от элементарных функций. Развитый подход позволяет выполнить исследование для широкого ассортимента действующих нагрузок.
format	Article
author	Кубенко, В.Д.
spellingShingle	Кубенко, В.Д. Нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях Прикладная механика
author_facet	Кубенко, В.Д.
author_sort	Кубенко, В.Д.
title	Нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях
title_short	Нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях
title_full	Нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях
title_fullStr	Нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях
title_full_unstemmed	Нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях
title_sort	нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141039
citation_txt	Нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях / В.Д. Кубенко // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 3-19. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT kubenkovd nestacionarnaâzadačadlâuprugojpoluploskostiprismešannyhgraničnyhusloviâh
first_indexed	2025-07-10T11:48:41Z
last_indexed	2025-07-10T11:48:41Z
_version_	1837260472603115520
fulltext	2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 2 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, № 2 3 В .Д .К у б е н к о НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ СМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ Инcтитут механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: vdk@inmech.kiev.ua Abstract. An approach is proposed to study of the non-stationary wave processes in an elastic half-plane under mixed boundary conditions of the fourth boundary problem of the- ory of elasticity. The Laplace and Fourier integral transforms are applied, the inverse trans- form of which or the Cagniard method for their common inversion provide the required so- lution (stresses, displacements) in the closed analytical form. This approach permits to study the problem for the diverse choice of loadings. Key words: elastic half-plane, stress state, non-stationary waves, integral transforms, mixed boundary conditions. Введение. Известны четыре типа граничных задач теории упругости (см., например, [9]): за- дается вектор напряжения (первая краевая задача); задается вектор перемещения (вто- рая краевая задача); задается нормальная составляющая вектора перемещения и каса- тельные составляющие вектора напряжения (третья краевая задача); задается нормаль- ная составляющая вектора напряжения и касательные составляющие вектора переме- щения (четвертая краевая задача). Первые два типа условий являются основными, а два последние условия – смешанными. Тип граничных условий может существенно вли- ять на возможность получения аналитического решения нестационарных задач. Нестационарные волновые процессы в изотропном упругом полупространстве (полуплоскости) при действии сосредоточенных или распределенных поверхностных воздействий были предметом изучения значительного количества исследований, биб- лиографию которых можно найти, например, в работах [3, 6, 7, 11]. Для решения со- ответствующих краевых задач разработаны эффективные аналитические и численно- аналитические методы, основанные преимущественно на применении интегральных преобразованиях Лапласа по временной координате и Фурье (Ханкеля) – по линей- ной. Основной трудностью при этом является проблема построения оригиналов, ко- торая зависит, в первую очередь, от характера пространственно-временного распре- деления нагрузки на границе, типа граничных условий. Исследования обычно концентрируются на отдельных особенностях рассматри- ваемых волновых процессов: асимптотическом построении полей перемещений и на- пряжений в окрестности волновых фронтов [26, 27]; перемещениях точек на поверх- ности полупространства и на оси симметрии [15, 25] или же на значительном удале- нии от нее [15]. При этом для совместного обращения преобразований применяется техника Каньяра [8, 12] с учетом однородности изображения относительно парамет- ров преобразований. В публикациях [14, 21 – 23] представлены решения для переме- щений и напряжений во внутренних точках полупространства при действии равно- мерно распределенной нагрузки ступенчатого профиля с использованием методов теории вычетов при обращении преобразования Лапласа. В работе [10] расчетные 4 выражения записаны как в виде суперпозиции аналитических решений задачи Лэмба, так и в виде свертки по радиальной координате функции распределения внешней на- грузки и соответствующего фундаментального решения. Рассмотрено два вида рас- пределения нагрузки по пространственной координате и вычислены упругие переме- щения как результат действия нагрузки, изменяющейся во времени как дельта- функция. Последнее обусловило разрывность вычисленных перемещений, что не сог- ласуется с линейной формулировкой задачи теории упругости. Более сложными являются задачи с движущейся границей области действия на- грузки. Исследованы преимущественно случаи равномерного расширения границы и изучены перемещения точек либо на границе, либо вблизи фронтов упругих волн [28]. В публикации [16] методами интегральных преобразований дано решение нестацио- нарной первой краевой задачи теории упругости для упругой полуплоскости. Полу- ченное аналитическое решение дает возможность определить напряжение (перемеще- ние) вдоль оси симметрии для некоторых конкретных видов нагрузки. В работах [17, 18] предложено численно-аналитическое решение первой краевой задачи для полу- плоскости, где это ограничение снято. Связанные с ударными процессами постановки и исследования в рамках третьей краевой задачи изложены в обзорной статье [6]. В данной работе строится точное аналитическое решение плоской задачи о дейст- вии нестационарной нагрузки на поверхность упругой полуплоскости в условиях "смешанной" краевой задачи, когда на границе задано нормальное напряжение и каса- тельное перемещение (четвертая краевая задача). Применяются интегральные преоб- разования Лапласа и Фурье, обращение которых удается выполнить при помощи таб- личных соотношений и теорем о свертке преобразования Лапласа и преобразования Фурье для широкого ассортимента действующих нестационарных нагрузок и полу- чить выражение для напряжения (смещения) в замкнутом аналитическом виде. Про- стота построения решения, которое позволяет определить характеристики волнового процесса в произвольной точке объекта в произвольный момент времени, является его несомненным достоинством. Получение точных аналитических решений, пусть даже нечасто используемых в практике, кроме самостоятельной значимости обеспечивает также возможность отработки с их помощью различных численных и приближенных подходов, для которых вид граничных условий не критичен. Данная работа является обобщением публикации [19] и ориентирована преимущественно на русскоязычного читателя. §1. Постановка задачи. Рассматривается задача плоской деформации. Полуплоскость отнесена к декарто- вым координатам x, z , так что ось x направлена вдоль границы полуплоскости, ось z вглубь ее (рис. 1). Нормальная нагрузка Q(x, t), симметричная относительно оси z, возникает в некоторый начальный момент времени 0t  и, в общем случае, является функцией времени и координаты x. l x , , O Q(x,t) z l- Рис. 1 Задача формулируется в безразмерных обозначениях: / ; / ; / ; / ; / ( 2 ); , , ;j j p jk jkx x R z z R u u R t c t R j k x z          0/ ;pc c  0/ ; / ; ( 2 ) / ; / ,s p sc c b c c            черта над которыми ниже будет 5 опущена. Здесь R и 0c – некоторые характерные линейный размер и скорость;   плотность материала; ,  упругие постоянные Ламе; ,p sc c  соответственно, ско- рости распространения волн расширения и волн сдвига; jk  компоненты напряжен- ного состояния; ju компоненты вектора перемещений. Поведение упругой среды описывается волновыми потенциалами  и  , кото- рые в случае плоской задачи удовлетворяют волновым уравнениям [4] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0; 0 x z t x z t                          (1.1) и связаны с упругими перемещениями и напряжениями соотношениями , ;x zu u x z z x               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ; 2 .zz xzb x z x zt z z x                                          (1.2) В качестве граничных условий при 0z  рассматриваем смешанные условия чет- вертой краевой задачи теории упругости, согласно которой на границе задается нор- мальное напряжение и отсутствует касательное перемещение. Как будет показано ниже, при таких условиях удается получить аналитическое решение соответствующей граничной задачи. Такое решение может, в частности, служить ориентиром при раз- работке соответствующих численных подходов, для которых вид условий на границе не является критичным. Укажем, что избранная постановка задачи исключает появле- ние поверхностной волны Релея и, следовательно, непригодна для исследования при- поверхностных процессов; однако, можно ожидать, что при удалении от границы по- лученное решение будет приближаться к решению первой краевой задачи, когда на границе отсутствует касательное напряжение. Ниже на конкретном примере будет выполнено сравнение результатов вычислений указанных задач. Граничные условия на поверхности полуплоскости 0z  в принятой постановке имеют вид  0 0 , , 0.zz xz z Q x t u    (1.3) Начальные условия для потенциалов – нулевые, т.е. 0 0 0 0 0.t t t tt t              (1.4) Кроме того, имеют место условия затухания порожденных нестационарной на- грузкой волновых возмущений на бесконечности   2 2 ' ', , , 0. x z       (1.5) Если волновые уравнения (1.1) подвергнуть преобразованию Лапласа [2] по вре- мени (с учетом нулевых начальных условий) и преобразованию Фурье по координате x (с учетом того, что при x  потенциалы и их первые производные стремятся к нулю), они приобретут вид 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0; 0. LF LF LF LFs s z z                              (1.6) 6 Здесь s  параметр преобразования Лапласа;   параметр преобразования Фурье. Верхние индексы L и F при функциях обозначают, соответственно, изображение дан- ной функции в пространстве преобразований Лапласа и преобразований Фурье          1 0 1 ; ; 2 c i L st L pt L c i f s e f t dt f t L f s e f s ds i                       1 1 ; 2 F i x F F i xf f x e dx f x F f f e d                  . §2. Решение граничной задачи в изображениях. Общее решение уравнений (1.6) при нулевых начальных условиях записываем в виде         0 1 , , ; , , z zz z S SP PLF LF n n A s e A s e B s e B s e                                ; 2 2 2 2 2 2; ,P s S s       (2.1) где  , ;A s     , ; , ;A s B s   ,B s  – функции, подлежащие определению из гра- ничных условий. Очевидно, что в силу условий затухания при ,z  имеем 0.A B   В результате удовлетворения граничным условиям (1.3) получим выражения для напряжения zz и перемещения zu в пространстве изображений по Лапласу и Фурье   2 2 2 2 2 2 2 2 , 1 zz SPLF LF zz Q s e e s s                  ; 2 2 2 1 zz SPLF LF z P u Q e e s S s               . (2.2) Задачу обращения интегральных преобразований выполним ниже для различных видов действующей нагрузки. §3. Обращение интегральных преобразований. Общий случай. Начнем с достаточно общего случая. Полагаем, что внезапно приложенная на- грузка и ее изображения по Лапласу и Фурье имеют вид              0 0 0 1 1 , ; , ; , ,L LF FQ t x Q H t G x Q s Q G x Q s Q G s s      (3.1) где  H t – единичная функция Хевисайда   1, 0; 0, 0. t H t t     Функция  G x задает характер распределения напряжения вдоль оси x. Из (2.2) получаем выражение для напряжения    , , ,LF LF LF zz Q s g s z     2 2 2 2 2 2 2 2 , , 1 , zz SPLFg s z e e s s                 которое для последующих операций перепишем в виде 7    0 , ,LF F LF zz Q G g s z   ;     2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 , , , , zz z SP PLF LFg s z g s z e e e s s s s             . (3.2) Задача состоит в обращении интегральных преобразований. Если удастся опреде- лить оригинал функции  , ,LFg s z , т.е. функцию  , ,g t x z , то для получения на- пряжения  , ,zz t z x можно будет воспользоваться сверткой преобразования Фурье функций  G x и  , ,g t x z [5]. Ниже предполагается возможность перемены поряд- ка обращения интегральных преобразований. Для обращения преобразования Фурье функции  , ,LFg s z используем таблич- ное соотношение [2]  2 2 1 2 2 12 2 1 1sz z F e s K s x z x z                   (3.3) и известное свойство преобразования        2 1 2 2 1 , 1,2,... n nn F n d F f f x n dx      . (3.4) Здесь  1K t цилиндрическая функция Макдональда [1]. Соотношение (3.3) обращает по Фурье первое слагаемое функции  , ,LFg s z ; свойство (3.4) позволяет обратить второе и третье слагаемые. Как результат после последовательных преобразований получим следующее выражение для оригинала по Фурье функции 2 3 z Ps e   (второе слагаемое в выражении (3.2)):            2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 3 5 2 2 2 2 3 3 1 z P s x x z s x z K x z s s x z x z K x z z F e s x z                                  . (3.5) Аналогичное выражение получаем при инверсии  3 1 2 . z S s F e    Обращения преобразования Лапласа выполняется при помощи табличных соот- ношений вида       1/21 1 2 2 1L K sb H t b tb t b       (3.6) и производных от них, получаемых, например, при помощи известных свойств интегри- рования оригинала [2]. В результате, используя соотношения (3.3) – (3.6) получим функ- цию  , , ,g t x z изображение которой задано выражением (3.2), в следующем виде:           2 22 2 2 4 6 32 , , , , , , , , x zr tz x g t x z H t t x z r t x z r t x z r                             + 8       2 22 4 6 32 , , , , x zr tz x H t t x z r t x z r                        2 2 2 2 2 2 2 2, , ; , , ;t x z t r t x z t r r x z             . (3.7) Для определения напряжения  , ,zz t x z теперь можно воспользоваться сверт- кой преобразования Фурье для функций  G x и  , ,g t x z [5]      , , , ,zz t x z G x g t z d        . (3.8) Пусть, например, функция  G x такова, что нормальная нагрузка приложена в фиксированной области ;l x l   const :l               0, ,Q t x Q H t G x G x f x H x l H x l       , (3.9) где  f x – некоторая функция, задающая распределение нагрузки в указанной области. В результате из соотношений (3.7) – (3.9) получим выражение для напряжения zz в произвольной точке полуплоскости в произвольный момент времени в случае, когда заданная нагрузка действует в фиксированной области границы  ,l l , а ее за- висимость от времени задается функцией Хевисайда H(t) (на что будет указывать со- ответствующий нижний индекс Н)              0 1 , , , , , , ; x l zzH x l t x z Q f x F t z f x F t z d                (3.10)               2 22 2 2 2 2 2 4 6 32 , , , , ; , , , , ztz F t z H t z t z t z t z                                              2 22 2 2 2 4 6 32 , , , , , , ztz F t z H t z t z t z                          ; 2 2z   . Если зависимость нагрузки от времени в (3.8) задана некоторой функцией   , 0t t  , достаточно общего вида, искомое напряжение вычисляется на основе теоремы о свертке операционного исчисления с использованием функции  , ,zz H t x z из формулы (3.10)         0 , , , , t zz zzHt t x z x z t d         . (3.11) Упругие перемещения определим при помощи аналогичной процедуры. В частно- сти, из (2.2) и (3.1) получим в пространстве изображений равенства    0 , , ;LF F LF zu Q G j s z    2 2 2 2 3 3 1 , , zz SP LF e e j s z s P Ss s                  . 9 Обращение функции  , ,LFj s z при помощи свойства (3.5) и табличных соот- ношений типа 2 2 1 2 2 02 2 1 1 s z e F K s x z s                                   позволяет окончательно определить функцию  , ,j t x z в виде      , , , , , ,j t x z j t x z j t x z   (3.12)       2 2 22 2 2 2 2 22 2 3 2 22 ln 1 , , ; ln t t rx r rr t t rr x rr j t z x H t r t r t                                   2 2 22 2 2 2 22 2 3 2 2 2 2 22 ln 1 , , , . ln t t rx rr t t rr x rr j t z x H t r r x z t r t                                   В случае нагрузки вида (3.9) перемещение определяется формулой      0, , , , x l zH x l u t x z Q f x j t z d       . (3.13) В общем случае, когда зависимость нагрузки от времени определяется некоторой функцией  , 0t t  , будем иметь         0 , , , , t z zHt u t x z u x z t d       . (3.14) Таким образом, соотношения (3.10), (3.11), а также (3.12) – (3.14), дают замкнутое аналитическое решение задачи, сформулированной в §1, для произвольной зависимо- сти действующей нагрузки от времени и ее произвольного распределения вдоль фик- сированного участка границы, являющегося областью задания нагрузки. В случае, когда внезапно приложенная нагрузка (3.1) действует на всей оси x, т.е.      0, ,Q t x Q H t f x выражение для искомого напряжения получаем из (3.8) в сле- дующем виде:           2 2 2 0 0 1 , , [ , , t z zz t x z Q H t r f x F t z d                     2 2 2 0 , , ], t z H t r f x F t z d          (3.15) где        , , , , ,F t z F t z   определяются соотношениями (3.10). Аналогично по- лучаем выражение для перемещения. 10 §4. Переменная область действия нагрузки. Перейдем к случаю, когда область действия нагрузки изменяется во времени, в частности, расширяется с постоянной скоростью k . Тогда функция  ,Q t x и ее изо- бражения имеют вид         0 0 0 2 2 2 2 sin 2 , ; , ; , .F LF Qkt Q t x Q H kt x Q t Q Q s k s k            (4.1) Cоответственно, изображение напряжения  , ,LF zz s z  будет следующим:   2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 1 2 2 , , 1 . zz SPLF zz s z Q k e e s k s s                     (4.2) Для простоты ограничимся здесь поиском распределения напряжения вдоль оси z, для чего воспользуемся процедурой совместного обращения интегральных преобразований. С этой целью запишем обращение преобразования Фурье на оси симметрии  0x    2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 1 2 2 , , 0 1 . zz SPL zz s z Q k e e d s k s s                       (4.3) Выполнив замену переменного интегрирования согласно методу Каньяра [8] , ,s d sd     (4.4) получим такое равенство:       2 2 2 2 12 2 0 2 2 10 2 2 1 1 2 2 1 , , 0 1 1 2 z s L zz z s e s s z Q k d k e s                                  . Выполнив обращение по Лапласу и необходимое интегрирование, получаем окончательно следующее выражение:         2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 22 2 2 arctan 2 1 , , 0 2 arctan zz t z t z H t z k k k z z t z Q k t z t z H t z k k z z z                                           . (4.5) Выражение (4.5) представляет в аналитическом виде распределение искомого на- пряжения вдоль оси z в произвольный момент времени в случае, если действующая нагрузка имеет вид (4.1). Перемещение zu вдоль оси z определяется из (2.2), (4.1) аналогичным образом и окончательно имеет вид       , 2 2 2 2 0 2 2 0 12 1 1 , , 0 1 f t z zu t z Q k t z d k                               , 2 2 22 2 2 2 2 2 0 ; , ; , 1 f t z t zz t z t d f t z f t z z z                        . (4.6) 11 Если внезапно возникшая нагрузка такова, что ее область действия расширяется вдоль оси x с переменной скоростью, пропорциональной x-1/2, функция  ,Q t x имеет вид         2 2 2 4 0 0 0 1 , ; , ; , . 2 x k sL LFk sk Q t x Q H kt x Q s x Q e Q s Q e s s s        (4.7) Выражение для изображения напряжения приобретает вид   2 2 2 2 2 4 0 3/2 2 2 1 2 2 , , 1 . 2 zk z SPLF s zz k s z Q e e e s s s                     (4.8) Выполнив инверсию преобразования Фурье на оси z и сделав замену переменного (4.4), получим формулы    0 1 21/2 1 , , ;L L L zz k Q R s z R s z s       (4.9)       2 22 2 2 2 4 41 1 2 2 2 2 1 2 0 0 , 1 2 ; , 2 . k kz zs s L LR s z e d R s z e d                                  Последовательно выполняя замену переменного 2 2 2 4 1k z t       в подынте- гральном выражении  1 ,LR s z и 2 2 2 4 1k z t       в подынтегральном выражении  2 , ,LR s z а также используя табличное соотношение [2]  1 1/2 1 sx H t x L e s t x        и применяя теорему о свертке операционного исчисления, окончательно получим сле- дующее выражение для напряжения zz в произвольной точке оси z:                                     2 2 32 2 3 0 2 2 3 2 3 4 1 2 , 2 , 1 , , , , 0 , 2 ,8 1 , t z zz t z T z z T z kH t z d t T z T zk t z x Q T z z T z H t z d k t T z                                                                2 2 2 2 3 3 2 , 2 , ; , 4 4 , , k T z k z zT z T z k z                        . (4.10) Аналогично определяется перемещение, которое окончательно имеет вид   0, , 0zu t z x Q k                                    2 3 22 2 3 3 2 2 2 22 2 ,4 1 , , , . 2 ,4 4 1 , , t z t z z T z H t z t T z d k T z T z z T z H t z d k T z T z k                                                (4.11) 12 Таким образом, в §§3, 4 в постановке четвертой краевой задачи теории упругости для полуплоскости получены в замкнутом виде точные аналитические решения основных нестационарных задач – формулы (3.10) (3.15), (4.5), (4.6), (4.10), (4.11). При этом формулы (3.10), (3.11), (3.15) определяют напряжение zz в произвольной точке по- луплоскости, а решения (4.5), (4.10) в произвольной точке оси симметрии задачи. Со- ответственно формулы (3.12), (3.14) определяют перемещение zu в произвольной точке полуплоскости, решения (4.6), (4.11) в произвольной точке оси z. §5. Числовые результаты. Рассмотрим несколько примеров, при вычислении которых примем следующие исходные числовые значения параметров: 0 1,0; 1,0; 0,55.Q     (5.1) Пример 1. В выражениях (3.9) и, соответственно, (3.10) и (3.13) положим   1f x  , так что функция ( , )Q t x будет иметь вид        0, .Q t x Q H t H x l H x l      (5.2) При таком выборе напряжение zz на отрезке x l внезапно возникает при 0t  и в дальнейшем остается постоянным во времени и на отрезке. В этом случае правую часть выражения (3.10) удается проинтегрировать, в результате чего напряжение  , ,zzn t x z предстает в следующем аналитическом виде:                  , , , , , , , , , , n nX t x z X t x z zz x l x l t x z G t z G t z           ;     2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , ; , t z t z x l X t x z x l t z x l                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , t z t z x l X t x z x l t z x l                (5.3)             22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 2 2 2 3 , , 2 n n t z z z z t z t z G t z tz z                               4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 6 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 arctan ; 2 t z z z t t z z t t t z z t z                                    22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 3 , , 2 t z z z z t z t z G t z t z z                             2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 arctan 2 n n nt z z t z t t z z t z                . 13 Аналогично получено выражение для перемещения uz. Для конкретных расчетов функция ( , ),Q t x задающая характер распределения на- грузки, выбрана в следующем виде:      0, [ ( )] ( ), ( ) ( ).Q t x Q H t H t T G x G x H x l H x l       (5.4) Соответственно, ее изображения по Лапласу и Фурье имеют вид        0 0 1 1 , ( ) ; , ( ) sT sT L LF Fe e Q s x Q G x Q s Q G s s s s         . Выбор нагрузки в виде (5.4) означает, что на отрезке x l однородное по х напря- жение zz внезапно возникает при 0t  и остается постоянным в течение конечного интервала времени 0 < t < T (так называемая ступенька конечной длительности). В этом случае напряжение  , ,zz t z x вычисляется по формуле ( , , ) ( , , ) ( , , )zz zzH zzHt z x t z x t T z x     (5.5)  ( , , ), ( , , ) вычисляются по формуле (5.3)zzH zzHt z x t T z x   . При вычислениях параметр l (полуширина области действия нагрузки) принят равным 1, временной интервал Т равен 2 или бесконечности. Рис. 2, а, б, в показывают напряжение zz , а рис. 2, г, д, е – нормальное переме- щение uz. На рис. 2, а напряжение представлено в зависимости от x  0 10x  в мо- мент времени 11t  для нескольких дискретных значений глубины z: 1) 1;z  2) 5; 3) 8z z  . На рис. 2, б напряжение как функция z представлено на оси симмет- рии  0x  в фиксированные моменты времени: 1) 3; 2) 6; 3) 10t t t   . Рис. 2, в демонстрирует развитие напряжения во времени в нескольких точках оси z: 1) 1; 2) 4; 3) 8z z z   . Сплошной линией показано напряжение для нагрузки ко- нечной длительности 2T  , пунктиром – для T  . Представленные графики позволяют заметить особенности распространения не- стационарных волн в направлении оси симметрии задачи (ось z) и в поперечном на- правлении (в направлении оси x). Так, для T  на оси z имеют место скачки на- пряжения, которые достигаются в момент прихода волны расширения в рассматри- ваемую точку. При этом указанный скачок имеет всегда одну и ту же единичную ам- плитуду, но различную длительность постоянной фазы за фронтом, которая сущест- венно зависит от глубины (чем больше z, тем меньше длина скачка см. рис. 2, б). За фронтом волны после упомянутой постоянной фазы имеет место участок спада на- пряжения и его последующего подъема к моменту прихода волны искажения. С тече- нием времени напряжение стремится к стационарному значению, которое тем мень- ше, чем больше значение z (рис. 2, в). Распределение напряжения в направлении оси x, как показывают графики рис. 2, а, не сопровождается скачками. Для нагрузки конечной длительности ( 2T  , сплошные линии графиков) наличие заднего фронта естественно приводит к появлению дополнительной системы скачков, сопровождаемых шлейфом затухающего напряжения. Рисунки 2, г, д, е представляют перемещение uz, вычисленное для нагрузки в виде бесконечной ступеньки T  . На рис. 2, г показано перемещение на поверхности z = 0 в моменты времени: 1) t=1; 2) t=2; 3) t=5; 4) t=9. Рис 2, д иллюстрирует распределение развития перемеще- 14 ния вдоль оси z, т.е. при х = 0, в моменты времени 1) t=1; 2) t=5; 3) t=10; 4) t=20; 5) t=39. Наконец, рис. 2, е представляет развитие перемещения во времени в фиксиро- ванных точках оси z: 1) z= 0; 2) z=1; 3) z= 5; 4) z=10. Можно заметить, что распреде- ление перемещения как по времени, так и по пространственным координатам сопро- вождается наличием максимума, перемещающегося с удалением от места приложения нагрузки. Пример 2. Внезапно приложенная нагрузка распределена вдоль границы 0z  следующим образом:        0 0 02 2 2 2 1 1 1 1 1 , ; , ; , .L LF kQ t x Q H t Q s x Q Q s Q e s s kx k x k       (5.6) Такой тип нагрузки, в частности, может в определенном приближении при доста- точно малых значениях параметра k моделировать нагрузку в виде дельта-функции, которая часто рассматривается в подобных исследованиях [10]. а б в г д е Рис. 2 15 Используя изложенную в §3 процедуру, получим выражение для нормального на- пряжения в пространстве оригиналов, которое служит исходной формулой для прове- дения вычислений, т.е.                       2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0 0 2 2 2 22 2 0 1 1 , , 1 , , 1 1 , , t z zz t z H t x z F t z d x k x k t z x Q H t x z F t z d x k x k                                                      .(5.7) Заметим, что если в выражении (5.7) положить 0,x  ,t z   в пределе при 0  получим, что скачок напряжения в момент прихода волны расширения в про- извольную точку оси z равен   0 20, / .zz x t z z Q k     (5.8) Таким образом, указанный скачок не зависит от z. При вычислениях по формуле (5.7) использована квадратурная формула тра- пеций. Шаг интегрирования t изменялся, пока результаты счета при t и t/2 не совпадали с приемлемой точностью. Ниже на рисунках вычисленные значе- ния напряжения zz (t, z, x) в целях удобст- ва сравнения умножены на 2 ,k так что при 0x z  всегда имеет место единичное значение 2 zzk  . На рис. 3, а показано рас- пределение напряжения в направлении оси x в момент времени 8,0t  при нескольких дискретных значениях глубины z: 1) 0;z  2) 2; 3) 4; 4) 6.z z z   Сплошные кривые построены при зна- чении 1,k  пунктирные – при 0,1.k  Можно заметить, что при любом значении k в выбранный фиксированный момент времени максимум напряжения c ростом z сдвигается с оси z . Рис. 3, б представляет напряжение как функцию глубины для дис- кретных моментов времени: 1: 1) 0,5; 2) 2; 3) 6; 4) 9;k t t t t     0,1: 5) 1; 6) 2,5; 7) 6,5; 8) 9,5.k t t t t     На рисунке сплошные кривые отвеча- ют 1,k  пунктирные – 0,1.k  Различ- ные значения времени для различных k выбраны, чтобы избежать затруднений при анализе вследствие возможного слияния кривых на рисунке. Пиковые значения на- а б в Рис. 3 16 пряжения, отвечающие имеющему место скачку в момент прихода фронта волны рас- ширения, на рисунке выглядят меньше 1, что не соответствует полученному значению (5.8). Причина расхождения объясняется тем, что квадратурная формула при вычис- лении функций с большими градиентами в окрестности пиковых точек дает погреш- ность, так как ширина пика чрезвычайно мала. Фактический скачок напряжения 2 zzk  всегда равен 1. Как и ранее, наблюдаемый на графиках излом кривой определя- ет положение фронта волны искажения. На рис. 3, c представлено напряжение (как функция времени), вычисленное в нескольких точках оси z: 1: 1) 0,2; 2) 1; 3) 4; 4) 8; 0,1: 5) 0,5; 6) 1,5; 7) 4,5; 8) 8,5. k z z z z k z z z z           Cплошные кривые отвечают 1,k  пунктирные – 0,1.k  Как и в случае предыдуще- го рисунка, вычисления методом квадратур не определяют точное значение скачка напряжения в момент прихода фронта волны расширения в рассматриваемую точку, которое согласно (5.8) и (5.1) равно 1. Приведенные графики показывают, что скачко- образно возникающее в конкретной точке в момент прихода фронта волны расшире- ния напряжение за фронтом резко затухает и со временем стремится к стационарному значению. Момент появления волны искажения определяется изломом кривой в соот- ветствующем месте. Пример 3. Примем, что нагрузка распространяется вдоль границе полуплоскости с постоянной скоростью k, т.е.    0, .Q t x Q H kt x  Тогда напряжение ( , , 0)zz t z на оси z вычисляется при помощи формулы (4.5). На рис. 4, а представлено вычисленное напряжение как функция z для фиксированных моментов времени 2,0t  и 10t  при различных значениях параметра k, т.е. 0,1; 0,5; 1,0; 5,0; 10,0k  . Кривые, соответствующие 2,t  на рисунке расположены в том же порядке, что и при 10,t  поэтому их нумерация опущена. а б Рис. 4 Рисунок показывает характер распределения напряжения от первоначальной точ- ки возбуждения 0z  до фронта волны в зависимости от значения параметра k (ско- рости движения нагрузки). При малых скоростях k скачок напряжения на фронте вол- ны расширения (в точках 2z  и 6z  , соответственно) практически не заметен и напряжение плавно изменяется, достигая единицы в точке 0.z  При больших k кар- тина иная: на фронте волны значение напряжения меняется практически скачкообраз- но, а на отрезке 0 z t  имеет место область постоянного значения напряжения. 17 На рис. 4, б напряжение представлено в зависимости от t в фиксированных точках оси z ( 2; 6z  ) для тех же значений k. Можно заметить, что при больших значениях k напряжение в точке возрастает практически скачкообразно и с момента прихода фронта волны искажения становится постоянным. Малые k обусловливают медлен- ный рост напряжения, скачок напряжения мало заметен. Пример 4. Область действия нагрузки расширяется вдоль оси x с переменной ско- ростью, пропорциональной x-1/2 . В этом случае функция  ,Q t x имеет вид  ,Q t x   2 0 ,Q H kt x  а напряжение на оси z вычисляется при помощи формулы (4.10). Рис. 5, а представляет вычисленное напряжение как функцию z в фиксированные мо- менты времени 2,0t  и 10t  для нескольких значений параметра скорости k: k  0,1; 0,5; 1,0; 5,0; 10,0. а б Рис. 5 Сплошные кривые представляют напряжение при 2,0,t  пунктирные – 10.t  На рисунке значения k указаны для случая 10,t  для второго случая кривые распо- ложены в том же порядке. Можно проследить распределение напряжения от исходной точки и до фронта волны, на котором значение скачка существенно зависит от значе- ния параметра скорости k. Наконец, на рис. 5, б показано напряжение в фиксированных точках оси z ( 2,z  5z  ) в зависимости от времени для тех же значений параметра k. Сплошные кривые соответствуют напряжению в точке 2,z  пунктирные – 5.z  Приведенные кривые демонстрируют: скачок напряжения в момент прихода волны расширения в рассмат- риваемую точку; момент прихода фронта волны искажения (излом на графике) и раз- витие напряжения со временем до стационарного значения, которое достигается тем позже, чем меньше значение параметра k. §6. Сравнение результатов решения 1-й и 4-й граничных задач. Напомним, что использованная формулировка граничных условий (1.3) в отличие от первой краевой задачи теории упругости (задание вектора напряжений на границе) исключает возникновение поверхностных волн. Однако, можно ожидать, что на уда- лении от границы полученное решение и решение первой краевой задачи будут отли- чаться незначительно. В этом можно убедиться, сравнивая указанные решения. На рис. 6, a, 6, б представлено напряжение, вычисленное для расширяющейся с постоян- ной скоростью k нагрузки (см. решение (4.5)) в постановке данной статьи (пунктир) и в постановке 1-й краевой задачи [16] (сплошная линия). При этом рис. 6, a иллюстри- рует распределение напряжения вдоль оси z при различных значениях скорости k в конкретный момент времени 15;t  рис. 6, б показывает напряжение как функцию 18 времени в точках 5z  и 15.z  Можно заметить, что различие в значениях напря- жений, вычисленных согласно первой и четвертой краевых задач, в целом невелико, и это отличие тем меньше, чем ближе к волновому фронту, а также чем больше ско- рость расширения нагрузки k и чем больше расстояние от границы. Например, в точке 15z  кривые, отвечающие одной и другой постановкам, практически сливаются. а б Рис. 6 Заключение. В работе предложен подход к исследованию нестационарных волновых процессов в упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях четвертой краевой задачи теории упругости. Применяются интегральные преобразования Лапласа и Фу- рье, последовательное обращение которых либо использование метода Каньяра для их совместного обращения дает возможность получить искомое точное решение зада- чи (напряжение, перемещение) в замкнутом аналитическом виде: в виде аналитиче- ского выражения, содержащего элементарные функции, или в виде определенного интеграла от элементарных функций. Развитый подход позволяет выполнить исследо- вание для широкого ассортимента действующих нагрузок. В качестве примеров рас- смотрены нагрузки, зависимость которых от времени определяется функцией Хеви- сайда, однако полученные результаты могут быть использованы в качестве исходных при рассмотрении других временных зависимостей. На ряде конкретных примеров исследованы особенности возникающих волновых процессов как в конкретных точ- ках полуплоскости, так и вдоль той или другой оси в функции времени. Полезность получения точных аналитических решений рассмотренного типа со- стоит еще и в том, что такие решения могут служить ориентиром при разработке спе- циализированных численных методов. Известно, что наличие больших градиентов искомых решений, таких как скачки напряжений, обусловливают трудности достиже- ния приемлемой точности вычисления упомянутых скачков при использовании чис- ленных методов. Для отработки эффективных численных подходов, для которых тип граничных условий не влияет на эффективность решения, точные решения опреде- ленных задач могут оказаться весьма полезными. Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано підхід до дослідження нестаціонарних хвильових процесів у пру- жній півплощині при змішаних граничних умовах четвертої граничної задачі теорії пружності. Засто- совано інтегральні перетворення Лапласа і Фур'є, послідовне обернення яких або використання ме- тоду Каньяра для їхнього спільного обернення дає можливість одержати розв’язок (напруження, переміщення) у замкненому аналітичному вигляді. Підхід дозволяє виконати дослідження для різно- манітного асортименту діючих навантажень. 19 1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболи- ческого цилиндра, ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1966. – 296 с. 2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. В 2-х т.; Т1. Преобразования Фу- рье, Лапласа, Меллина. – М.: Наука, ГИФМЛ, 1969. – 344 с. 3. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. – М.: Наука. Физматлит, 1995. – 352 с. 4. ГузьА.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – К.: Наук. думка, 1978. – 308 с. 5. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – М.: ГИФМЛ, 1961. – 524 с. 6. Кубенко В.Д. Нестационарное контактное взаимодействие твердого тела с упругой средой (плоская задача) // Прикл. механика. – 2012. – 48, № 5. – С. 5 – 78. 7. Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича, В.М.Александрова. – М.: Физматгиз, 2001. – 670 с. 8. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. – М.: Наука, 1986. – 328 с. 9. Снеддон .Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. – М.: ГИФМЛ, 1961. – 220 с. 10. Bresse L.F., Hutchins D.A. Transient generation of elastic waves in solids by a disk-shaped normal force source // J. Acoust. Soc. Аmеr. – 1989. – 86, N 2. – P. 810 – 817. 11. De A., Roy A. Transient response of an elastic half space to normal pressure acting over a circular area on an inclined plane // J. Eng. Math. – 2012. – 74. – P. 119 – 141. 12. Duffy D.G. Transform methods for solving partial differential equations. – New York: Chapman & Hall/CRC Press., 2004. – 728p. 13. Eason G. The stresses produced in a semi-infinite solid by a moving surface force // Int. J. Eng. Sci. – 1965. – 2, N 6. – P. 581 – 609. 14. Eason G. The displacements produced in an elastic half-space by a suddenly applied surface force // J. Inst. Math. Appl. – 1966. – 2. – P. 299 – 326. 15. Ghosh S.C. Disturbance produced in an elastic half-space by impulsive normal pressure // Pure and Appl. Geophysics. – 1970. – 80, N 1. – P. 71 – 83. 16. Kubenko V.D. Stress State of an Elastic Half-Plane under Nonstationary Loading // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 2. – P. 121 – 129. 17. Kubenko V.D., JanchevskyI.V. Nonstationary Load on the Surface of an Elastic Half-Strip // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 3. – P. 303 – 310. 18. Kubenko V. D., Yanchevsky I.V. Nonstationary distributed axisymmetric load on an elastic half-space // J. Eng. Math., DOI 10.1007/s10665-014-9778-2. 19. Kubenko V.D. On a non-stationary load on the surface of a semiplane with mixed boundary conditions // ZAMM. – 2015. – 95, N 12. – P. 1448 – 1460. 20. Kutzenko A.G., Ulitko A.F., Oliynik V.N. Displacements of the elastic half-space surface caused by in- stantaneous axisymmetric loading // Int. J. Fluid Mech. Res. – 2001. – 28, N 1 – 2. – P. 258 – 273. 21. Laturelle F.G. Finite element analysis of wave propagation in an elastic half-space under step loading // Comput. and Struct. – 1989. – 32, N 3 – 4. – P. 721 – 735. 22. Laturelle F.G. The stresses produced in an elastic half-space by a normal step loading over a circular area: аnalytical and numerical results // Wave Motion. – 1990. – 12. – P. 107 – 127. 23. Laturelle F.G. The stresses produced in an elastic half-space by a pressure pulse applied uniformly over a circular area: role of the pulse duration // Wave Motion. – 1991. – 14. – P. 1 – 9. 24. Meish V.F., Kepenach N.P. Nonstationary Dynamics of Longitudinally Stiffened Cylindrical Shells of Elliptic Cross Section // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 6. – P. 83 – 89. 25. Mitra M. Disturbance produced in an elastic half-space by impulsive normal pressure // Math. Proc. Cambr. Phil. Soc. – 1964. – 60, N 3. – P. 683 – 696. 26. Molotkov L. A. On the vibrations of a homogeneous elastic half-space under the action of a source ap- plied to a uniformly expanding circular region // J. Appl. Math. and Mech. – 1967. – 31. – P. 232 – 243. 27. Roy A. Response of an elastic solid to non-uniformly expending surface loads // Int. J. Eng. Sci. – 1979. – 17. – P. 1023 – 1038. 28. Singh S.K., Kuo J.T. Response of an elastic half-space to uniformly moving circular surface load // Trans. ASME. J. Appl. Mech. – 1970. – 37, N 1. – P. 109 – 115. Поступила 14.11.2014 Утверждена в печать 22.12.2015

Нестационарная задача для упругой полуплоскости при смешанных граничных условиях

Institution

Ähnliche Einträge