Об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов

Описаны некоторые возможные математические и физические ограничения на значения градиентов перемещений, возникающие при анализе задач теории упругости, уточняющие достаточно абстрактное классическое ограничение |uk,i| << 1, и прокомментирована геометрическая интерпретация ограничений....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
1. Verfasser:	Рущицкий, Я.Я.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2016
Schriftenreihe:	Прикладная механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141040
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов / Я.Я. Рущицкий // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 20-35. — Бібліогр.: 35 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-141040
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1410402018-07-22T01:23:46Z Об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов Рущицкий, Я.Я. Описаны некоторые возможные математические и физические ограничения на значения градиентов перемещений, возникающие при анализе задач теории упругости, уточняющие достаточно абстрактное классическое ограничение \|uk,i\| << 1, и прокомментирована геометрическая интерпретация ограничений. Розглянуто класичне і досить абстрактне обмеження для пружних матеріалів \|uk,i\| << 1 та ряд випадків можливих математичних та фізичних обмежень на значення градієнтів зміщень. The classical and quite abstract restriction for the elastic materials \|uk,i\| << 1 and a row of cases of possible mathematical and physical restrictions on the values of gradients of displacements are discussed. 2016 Article Об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов / Я.Я. Рущицкий // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 20-35. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141040 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Описаны некоторые возможные математические и физические ограничения на значения градиентов перемещений, возникающие при анализе задач теории упругости, уточняющие достаточно абстрактное классическое ограничение \|uk,i\| << 1, и прокомментирована геометрическая интерпретация ограничений.
format	Article
author	Рущицкий, Я.Я.
spellingShingle	Рущицкий, Я.Я. Об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов Прикладная механика
author_facet	Рущицкий, Я.Я.
author_sort	Рущицкий, Я.Я.
title	Об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов
title_short	Об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов
title_full	Об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов
title_fullStr	Об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов
title_full_unstemmed	Об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов
title_sort	об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141040
citation_txt	Об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов / Я.Я. Рущицкий // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 20-35. — Бібліогр.: 35 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT ruŝickijââ obograničeniâhznačenijgradientovperemeŝenijdlâuprugihmaterialov
first_indexed	2025-07-10T11:48:51Z
last_indexed	2025-07-10T11:48:51Z
_version_	1837260482161934336
fulltext	2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 2 20 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, № 2 Я .Я . Р ущ и ц к и й ОБ ОГРАНИЧЕНИЯХ ЗНАЧЕНИЙ ГРАДИЕНТОВ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЛЯ УПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: rushch@inmech.kiev.ua Abstract. The classical and quite abstract restriction for the elastic materials ,\| \| 1k iu  and a row of cases of possible mathematical and physical restrictions on the values of gradi- ents of displacements are discussed. Key words: elastically deforming material, nonlinear elasticity, restrictions, gradients of dis- placements. 1. Введение. О месте градиентов перемещений в описании деформирования материалов. 1.1. Общая теория. Одним из исходных понятий теории деформирования мате- риала (тела) является мера деформации [5, 6, 8, 14, 16, 20 – 23, 26, 28, 29, 34], которую трактуют геометрически как изменение длин радиусов-векторов точки-частицы при деформировании тела ,m m m m m k k mdX E dx e u dx e     . Здесь принято, что точка 1 2 3( , , )X X X X  тела в отсчетной конфигурации отобража- ется в точку 1 2 3( , , )x x x x  тела в актуальной конфигурации; радиус-вектор OM   1 2 3( , , )R X X X   в декартовой системе координат 1 2 3OX X X определяет точку- частицу M тела и радиус-вектор 1 2 3( , , )OM r x x x    в декартовой системе координат 1 2 3Ox x x , когда точка-частица M в недеформированном состоянии переходит после деформирования в точку M  ; вектор перемещения точки-частицы M задают величиной  1 2 3, ,OM OM R r u x x x        (1) и ,m mE e   являются ортами систем координат 1 2 3 1 2 3,OX X X Ox x x , соответственно. Выражение для тензора деформации получают, рассматривая изменение квадра- тов длин векторов-радиусов точки-частицы при деформировании тела , ;m m m k kdX dx u dx  (2)        2 2 , ,m m m k k m m i idX dL dx u dx dx u dx                  2 2 2 2 , , , , , ,2 2 .m i k m k m i k i i k m k m i k idx dl u u u dx dx dL dl u u u dx dx          Примечание 1. Таким образом, для описания деформирования используются две группы параметров – перемещения (три параметра) и градиенты перемещений (девять параметров). Физический смысл, по определению, имеет лишь первая группа. 21 Примечание 2. В классических книгах по нелинейной механике [5, 6, 8, 14, 16, 20 – 23, 26, 28, 29, 34] факт введения меры деформации как линейной аппроксимации (2) пе- ремещения в виде нелинейной функции практически не комментируется. Это не единственный случай взаимного согласия ученых-механиков довольствоваться при- нятым ограничением. Примечание 3. Второй случай связан с новыми технологиями, которые позволили разработку метаматериалов. К настоящему времени, материалы разделяют на тради- ционные (классические) и нетрадиционные (метаматериалы). Метаматериалы вклю- чают механические метаматериалы, которые, в свою очередь, включают ауксетичес- кие материалы. Общее свойство метаматериалов состоит в том, что они представляют собой, главным образом, искусственные структуры и создаются с целью наличия у них свойств, не встречающихся в природе. В частности, ауксетические материалы проявляют нетрадиционное поведение в классическом механическом эксперименте на одностороннее растяжение образца в виде стержня (балки), к торцам которого прило- жены силы растяжения-сжатия. Традиционное свойство деформирования стержня состоит в том, что поперечное сечение стержня становится меньше при растяжении и больше при сжатии. Нетрадиционное свойство, напротив, состоит в том, что стержень из ауксетического материала увеличивает свое поперечное сечение при растяжении и уменьшает при сжатии. Эти механические явления описываются в классической тео- рии упругости с помощью введения коэффициента Пуассона. Теория содержит спе- циальное ограничение на изменение коэффициента Пуассона, допускающее измене- ния только в диапазоне ( 1; 0,5) . Примечание 4. Третий случай связан с нанотехнологиями, которые привели к соз- данию различных нанообъектов и материалов с внутренней структурой наноуровня [3, 16, 15, 17 – 19]. К настоящему времени в механике различают материалы четырех структурных уровней – макро-, мезо-, микро- и наноуровень. Их объединяет господ- ствующая в механике материалов концепция континуума (сплошной среды). Конти- нуумом (точнее, материальном континуумом) в механике называют некоторую об- ласть трехмерного пространства, в каждой точке которого задана плотность. Реальное тело в механике заменяют континуумом, который заполняет область с формой этого тела. Фактически вся механика материалов с взаимного согласия ученых-механиков построена на этой концепции. Исторически долгое время изучались материалы в рам- ках макроструктурного уровня. Можно считать, что термин «мезоуровень» вошел в механику при анализе структуры металлов и «микроуровень» – при анализе компо- зитных материалов. В этих трех случаях компоненты внутренней структуры обосно- ванно моделировались тоже континуумом. При появлении материалов наноструктур- ного уровня концепция континуума формально используется так же, как и для первых трех уровней. Однако в ряде случаев внутренняя структура наноматериала уже име- ет молекулярный уровень. В итоге, в современной механике возникла проблема с ис- пользованием фундаментальной концепции континуума, справедливость которой па- ру столетий не подвергалась сомнениям. Возвратимся к формуле (2). Здесь в выражении , , ,2 i k m k m iu u u выделяют симмет- ричную и антисимметричную части    , , , ,1 2ik i k k i m k m iu u u u    ,    , ,1 2ik i k k iu u   . (3) Именно ik называют тензором деформации Коши – Грина и в ряде случаев запись (3) упрощают    , ,1 2ik i k k iu u   . (4) Примечание 5. Как подтверждают формулы (3), вся последующая структура ки- нематики деформирования строится на основе указанных в Примечании 2 параметров как структурных элементов («молекул»). Примечание 6. Соотношения (4) называют в линейной теории упругости соотно- шениями Коши. В нелинейном подходе, когда деформации могут быть конечными, считается достаточным представление (3). 22 Примечание 7. В теории упругости считают, что соотношения (4) соответствуют линейной теории, тогда как соотношения (3) – нелинейной. При этом понятия геомет- рической и физической линейности или нелинейности связывают также с опреде- ляющими соотношениями и граничными условиями. 1.2. Комментарий к малости градиентов перемещений. Этот комментарий от- носится к возможности толкований малости градиентов перемещений. Начнем с ука- зания комментариев из двух очень известных классических книг по теории упругости. Примечание 8. Трусделл [22, глава IX, §1] отмечает, что «вводить перемещения в механике сплошных сред полезно, только если как перемещения, так и их градиенты малы в каком-нибудь смысле». Примечание 9. Лурье [16, глава 2, §1, пункт 1.1] отмечает: «В линейной теории упругости нет нужды в использовании перечисленных мер деформации; в ней осно- вываются на вполне приемлемом при рассмотрении деформации массивных и слабо- деформируемых тел предположении о существенной малости элементов матрицы тензора u  : 1k su a   . Этим допускается последовательное пренебрежение квад- ратами и произведениями компонент тензора по сравнению с их первыми степенями». При описании деформирования материалов очень часто используются понятия малых (бесконечно малых) и больших (конечных) деформаций. При этом, малые де- формации понимают как такие, когда компоненты тензоров деформации и вращений настолько малые, что формы недеформированного и деформированного тела могут приближенно считаться одинаковыми. Большие деформации понимают как такие, когда компоненты тензоров деформации и вращений настолько большие, что формы недеформированного и деформированного тела существенно отличаются. Также рас- сматривают (гораздо реже) промежуточные понятия деформаций «компоненты тензо- ра деформаций малые – компоненты тензора вращений большие» и «компоненты тен- зора деформаций большие – компоненты тензора вращений малые». Следует заметить, что если для малых деформаций классическая теория упруго- сти предлагает достаточно общие и абстрактные ограничения на величины перемеще- ний и градиентов перемещений ,1; 1,k k iu u  (5) то для больших деформаций теория ограничения не вводит. Ограничения малости деформаций (5) введены для описания деформирования «массивных и слабодеформируемых» материалов, для которых существуют более конкретные ограничения. В частности, для перемещений полагается предельное зна- чение не более 1%, т. е. 0,01ku  . (6) Ограничение на градиенты перемещений в (5) обычно понимают, что оно введено для линейной теории чисто математически с целью пренебрежения произведений гра- диентов в формуле (4), представляющей деформации через перемещения. Это пре- небрежение устанавливает в геометрически линейной теории физический смысл для градиентов перемещений – они тогда идентичны некоторым компонентам деформа- ции тела. Ограничение (6) понимают таким образом: по отношению к единице длины пере- мещения не превосходят 1% и форма тела после деформирования не более чем на 1% отличается от формы тела до деформирования. Геометрически это может быть интер- претировано как условие, что кривая линия, определяющая перемещения на единич- ном промежутке, должна находиться в прямоугольнике с основой 1 (единичный про- межуток) и высотой 0,02 (максимальные и минимальные перемещения 0,01 и – 0,01). 2. Некоторые факты из теории определяющих соотношений в теории упругости. 2.1. Общий вид определяющих соотношений, два подхода. Как известно [1, 11], в классической теории упругости существует два подхода к построению определяю- щих соотношений (соотношений между напряжениями и деформациями), которые основаны на базовом свойстве упругого тела обратимости процесса деформирования 23 после снятия нагрузки, вызвавшей деформацию. Это свойство наблюдается в двух взаимосвязанных явлениях: в полной восстанавливаемости формы тела после снятия нагрузки и полной потере телом энергии, накопленной им при деформировании, после снятия нагрузки. Указанные два явления лежат в основе двух подходов к по- строению определяющих соотношений. Первый подход ведет начало от Коши. Он состоит в формулировке взаимноодно- значных соотношений между тензорами напряжений и деформаций. Если нулевые напряжения соответствуют нулевым деформациям, то первоначальная форма тела после снятия нагрузки, вызвавшей деформацию, восстанавливается полностью. Если до нагружения существовали начальные напряжения и некоторая начальная форма тела, то после снятия нагрузки условие взаимной однозначности обеспечивает те же напряжения и ту же начальную форму. Второй подход ведет начало от Грина. Здесь потенциальную (внутреннюю) энергию упругой деформации представляют в виде функции тензора деформации при условии, что компоненты тензора деформации полностью определяют состояние тела при его деформировании. В таком случае внутренняя энергия равна нулю при нуле- вых деформациях, т. е., упругое тело полностью теряет энергию, накопленную при деформации. Ограничимся случаем изотропии упругих свойств деформируемого тела. Тогда в рамках первого подхода определяющие соотношения можно представить в некотором общем виде [8, 9]      0 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3, , , , , , ,ik ik ik in nkI I I I I I I I I          (7) где тензор деформации (3) описывается его тремя первыми алгебраическими инвари- антами (базисными инвариантами) 1 11 22 33;ik ikI g        2 2 2 2 2 2 2 11 22 33 12 23 31( ) ( ) ( ) 2( ) 2( ) 2( ) ;ik kiI                        3 3 3 2 2 3 11 22 33 11 12 11 313 3ik nk inI                 (8)        2 2 2 2 22 12 22 23 33 31 33 23 12 31 233 3 3 3 6 .               В (7) функции 0 1 2, ,   как функции базисных инвариантов также являются ин- вариантами. Они полагаются модулями упругих деформаций и должны определяться экспериментальным путем (т.е., они сначала задаются аналитически и далее согласо- вываются с экспериментальными данными). В научной практике используются функ- ции k , достаточно простые в аналитическом представлении. Примечание 10. В описании кинематики деформирования вместо компонентов тензора деформаций ik кроме эквивалентных им инвариантов kI также используется еще одна группа параметров k , которые однозначно описывают тензор деформации и которые имеют смысл удлинений материальных волокон, соответствующих глав- ным направлениям тензора деформаций, 2 2 2 3 3 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3; ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) .I I I                 (9) В линейной теории упругости соотношения (6) значительно упрощаются и имеют название закона Гука ik mm ik ik     . (10) Для описания второго подхода напомним, что существует деление упругих мате- риалов на гиперупругие, упругие и гипоупругие. Гиперупругие материалы определя- ются как такие, для которых существует бесконечное количество раз дифференци- 24 руемый упругий потенциал ( )ikW  и определяющие соотношения для которых полу- чаются по формуле  ik ikW    . (11) Для упругих материалов внутреннюю энергию, зависящую от шести независимых переменных IK , определяют в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности «точки» с нулевыми координатами 0IK  (при этом полагается, что два первых члена ряда равны нулю)   1 1 1 0 1 0 ( ) (1 !) ( ) ( ) ( ) ( )N N IK IK M N m mm mM IK ij sr ij sr M IK W M W W                               0IK ij ijW        2 0 3 0 1 (1 2!) ( ) (1 3!) ( ) ; . IK IK ij kl ijkl ij kl ij kl mn ijklmn ij kl mn N W C W C m m M                                     (12) Линейная модель упругого деформирования соответствует сохранению в разложении (12) только квадратично нелинейных составляющих, квадратично нелинейная модель – дополнительно еще кубически нелинейных. Нелинейности более высоких порядков не используются в моделях упругого деформирования. Порядок величин, которыми пренебрегают в таких случаях, определяется остаточным членом в форме Пеано     /22 2 11 23 N NR o           или в форме Лагранжа  1 1(1 !) ( ) ( ) ( ) ( )N N o IK IK m mm mN N ij sr ij srR N W               (0;1).  (13) Таким образом, малость остаточного члена порядка N в приближенном представ- лении внутренней энергии (12) определяется как малостью деформаций, так и мало- стью N -ых частных производных (имеющих смысл упругих констант реальных ма- териалов). Константы могут еще записываться в обозначениях Фойгта: ,ijkl IJ ijklmnC C C  IJKC . Для случая изотропии свойств внутренняя энергия (12) имеет вид 2 2 12 11 12 2 3 456 144 123 ( ) (1 2) ( ) (1 2)( )( ) (4 3) ( ) (1 6) ( ) . ik mm ik ik im km ik mm mm W C C C C C C                  (14) Если учесть представление (3), то внутренняя энергия (12) может также быть за- писана в эквивалентном (12) виде разложения через градиенты перемещений. Для случая изотропии свойств такое разложение имеет вид   2 2 , 12 , 11 12 , , 2 11 12 456 , , , 12 144 , , 456 , , , ( ) (1 2) ( ) (1 4)( )( ) (1 2)( ) (1 2)( ) ( ) (1 3) i k m m i k k i i k m i m k m m i k i k k m m i W u C u C C u u C C C u u u C C u u C u u u             3 2 2 144 , , , 123 , , , , ,(1 2) (1 6) ( ) (1 8) ( ) (1 4) ( )i k k i m m m m p m p m n k n iC u u u C u u u u u      , , , , , , 456 , , , , , , , , , , , , ( )( ) (1 6) ( )( ) ( )( ) i k k i i m m i n k n s i k k i s k k s p m p i i m m i s k k s q k q i u u u u u u C u u u u u u u u u u u u                (15) 25 2 144 , , , , , , , , ,(1 8) 4( ) ( )i k k i n k n i m m i k k i p m p mC u u u u u u u u u       2 123 , , ,(1 8) ( )m m p m p mC u u u  456 , , , , , , , , , , , ,(1 6) ( ) ( )i k k i p m p i n k n s i m m i q k q i n k n sC u u u u u u u u u u u u     , , , , , ,( )s k k s q k q i p m p iu u u u u u    2 2 144 , , , , , , , , , 123 , , ,(1 4) ( ) ( ) (1 8) ( )i k k i n k n i p m p m m m n k n i m m p m p mC u u u u u u u u u C u u u       2 3 456 , , , , , , 144 , , , , 23 , ,(4 3) ( ) (1 6) ( ) .n k n i p i p s q k q s n k n i m n m n p m p mC u u u u u u C u u u u C u u    В случае бесконечного количества раз дифференцируемости упругого потенциала ,( )i kW u определяющие соотношения получаются по формуле ,( ).ik k it W u   (16) Следующий анализ основан на том, что внутренняя энергия всегда ограничена и поэтому бесконечные разложения (12),(14),(15) в виде рядов по степеням компонен- тов тензора деформаций ik или компонентов градиентов перемещений ,i ku должны сходиться. Прежде всего, следует еще раз отметить, что ряды (12),(14),(15) имеют постоянные коэффициенты и эти коэффициенты имеют физический смысл упругих постоянных. Остаточный член в форме Лагранжа (13) в разложении (15) имеет вид  1 1 ,, , , , ,(1 !) ( ) ( ) ( ) ( )N N o I KI K m mm mN N i j s r i j s r u u R N W u u u u          0;1  . (17) Поскольку все частные производные внутренней энергии суть ограниченные величи- ны, то стремление остаточного члена (17) к нулю и, соответственно, сходимость ряда Тейлора (15) обеспечивается условием , 1.k iu  (18) Примечание 11. Ограничение на градиенты перемещений (18) можно считать наи- более общим, поскольку оно не связано с условиями на величину деформаций – боль- шие они или умеренно большие, или умеренно малые, или малые. Геометрически условие (18) может быть интерпретировано следующим образом: если перемещения описываются непрерывно дифференцируемой функцией, соответ- ствующей выпуклой вверх или вниз кривой линии, то неравенство (18) определяет факт, что эта кривая линия находится внутри равнобедренного треугольника, основа которого лежит на оси Ox и стороны которого наклонены к основе на (в каждом слу- чае малый) угол arc tan 1 45    . 2.2. Упругие потенциалы. Конечно, в случае больших деформаций ограничения на градиенты перемещений не столь важны как в случае малых. Дело в том, что в опи- сании больших деформаций используются, главным образом, параметры k . Основ- ные модели для так называемых несжимаемых материалов определяются такими представлениями внутренней энергии [7, 8, 15]:        2 2 2 1 2 31 2 3W          – потенциал Трелоара;                   2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 1 3 1 4 1 3 W                                 – потенциал Муни; 26    1 2 31 2 3W        – потенциал Бартенева – Хазановича;   1 21W                 1 1 1 3 1 2 33 1 3               – потенциал Черныха. В описании малых деформаций, как правило, не используют параметры k . Конкретные представления упругих потенциалов образуют довольно ограничен- ную группу. Два из них можно считать имеющими достаточно общую форму: потен- циал Синьйорини [3, 30] 2 2 2 1 2 3 2( , ) ( 3) ( 3) ( 3)A A A A A I IW W I I h I h I h I       (19) ( 1 2 3, ,h h h –упругие постоянные Синьйорини; 1 2,A AI I – инварианты тензора деформа- ций Альманзи) и потенциал Мурнагана [3, 9, 10, 27] 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2 3( , , ) (1 2) ( ) (1 3) ( ) (1 3)W W I I I I I A I BI I CI       (20) ( ,  – упругие постоянные Ляме; , ,A B C – упругие постоянные Мурнагана). Потенциал Мурнагана (20) также может быть представлен через компоненты не- линейного тензора деформаций Коши – Грина ik , т.е.      2 2 2 3( ) 1 2 ( ) ( ) 1 3 ( ) 1 3 ( )ik mm ik ik im km ik mm mmW A B C               . (21) Существует связь между представлениями (12), (14) и (15): 2 ;ijkl ij kl ijklC I    (1 2)( );ijkl ik jl il jkI      (22) 2 2 ( )ijklmn ij kl mn ij klmn kl mnij mn ijklC C B I I I          (1 2) ( ).ik jlmn il jkmn jk ilmn jl ikmnA I I I I       Также существует связь между постоянными IJKC и , ,A B C :  111 112 123 144 166 456 2( 3 ); 2 ; 2 ; ; (1 2) ; (1 4) . C A B C C B C C C C B C A B C A           (23) Материал  10(10 )Pa  10(10 )Pa A 11(10 )Pa B 11(10 )Pa C 11(10 )Pa алюминий Al 99 алюминий Al B535 алюминий Al D545 алюминий Al 8091 армко-железо вольфрам медь медь Cu 99.9 молибден латунь ЛС-59-1 латунь Л-62 сталь Hecla17 сталь Hecla37 сталь Hecla138А сталь HeclaATN сталь 42 сталь Е355 сталь рельсовая 6,10 5,80 4,90 4,50 11,0 7,50 10,7 10,4 15,7 10,5 11,1 11,1 10,9 8,7 11,0 10,9 11,6 2,50 2,60 2,60 3,10 8,2 7,30 4,80 4,60 11,0 3,7 8,21 8,21 8,20 7,20 8,10 8,20 8,00 – 0,47 – 2,23 – 3,87 – 2,18 – 3,48 – 1,08 – 2,80 – 5,42 – 0,26 – 4,05 – 5,0 – 4,61 – 3,28 – 4,26 – 5,35 – 0,48 – 1,92 – 2,48 – 3,42 – 2,37 – 3,58 – 3,78 – 10,3 – 1,43 – 1,72 – 3,72 – 2,83 + 17,0 – 2,9 – 6,36 – 5,95 – 6,19 – 7,62 – 5,03 – 5,65 – 6,23 – 2,48 – 2,76 – 3,28 – 4,35 + 11,0 – 9,08 – 2,40 – 4,01 + 3,72 + 2,4 – 2,4 – 7,08 – 6,68 – 7,08 – 4,00 – 6,52 – 7,24 – 7,14 27 Примечание 12. Из представления (21) более отчетливо видно, что (19) представ- ляет собой полином по степеням компонент тензора с постоянными коэффициентами и включает лишь вторые и третьи степени компонентов тензора деформаций. Упругие постоянные , , , ,A B C  определены для многих используемых в инженерной прак- тике материалов. Эти материалы относят к классу слабодеформируемых материалов. Этот класс еще можно охарактеризовать как материалы, деформирующиеся нелиней- но упруго при малых деформациях. Значения постоянных , , , ,A B C  для некоторых характерных металлических материалов показаны в таблице [1, 10 – 12, 25, 32]. 2.3. О различии в описании физической нелинейности разными тензорами напря- жений. Продолжим анализ второго подхода и напомним, что компоненты тензора напря- жений определяются из потенциала по формуле ( )ik ikW    или ,( )ik k it W u   . В первом случае тензор напряжений Лагранжа имеет стандартный вид, следующий из представления (12) 1 ( 2 ) 2ij ij kl ijkl klI       2 2 ( )1 (1 2) ( )6 ij kl mn ij klmn kl mnij mn ijkl kl mn ik jlmn il jkmn jk ilmn jl ikmn C B I I I A I I I I                           . (24) Примечание 13. Если в представлении (24) ограничиться первыми двумя состав- ляющими, т.е. учесть только линейные и квадратично нелинейные составляющие, то можно получить прямую связь с потенциалом Мурнагана, для которого выражения для компонент тензора напряжений Лагранжа имеют вид (ниже показана лишь одна компонента, структура зависимости для остальных компонент подобна первой)  2 2 2 11 11 22 33 11 12 13 2 2 11 11 22 33 11 22 33 ( 2 ) ( ) ( ) (1 3) ( ) ( ) 3( ) 2 ( ) ( ) . A B C                                    (25) Чтобы вычислить тензор напряжений Кирхгоффа как степенную функцию компо- нентов градиентов перемещений, следует записать его через градиенты перемещений и в итоге он оказывается уже степенной функцией более высокого порядка (второй порядок преобразуется в шестой, третий – в девятый и т.д.). К примеру, потенциал Мурнагана (21) становится степенной функцией градиентов перемещений от второго до шестого порядков [20]    2 2 2 , , , , , , , ,(1 2) ( ) (1 4) ( ) (1 4) 1 2 ( ) ( )m m i k k i i k m i m k m m i kW u u u A u u u B u u          3 , , , , , , ,(1 12) (1 2) (1 3) ( )i k k m m i i k k i m m m mAu u u Bu u u C u    2 2 , , , ,(1 8) ( ) (1 4) ( )p m p m n k n iu u u u     , , , , , , , , , , , , , , , , , , ( )( ) 1 24 ( )( ) ( )( ) i k k i i m m i n k n s i k k i s k k s p m p i i m m i s k k s q k q i u u u u u u A u u u u u u u u u u u u                (26) 2 2 , , , , , , , , , , , ,(1 8) 4( ) ( ) (1 4) ( )i k k i n k n i m m i k k i p m p m m m p m p mB u u u u u u u u u C u u u        , , , , , , , , , , , ,(1 24) ( ) ( )i k k i p m p i n k n s i m m i q k q i n k n sA u u u u u u u u u u u u     , , , , , ,( )s k k s q k q i p m p iu u u u u u    28 2 2 , , , , , , , , , , , ,(1 4) ( ) ( ) (1 4) ( )i k k i n k n i p m p m m m n k n i m m p m p mB u u u u u u u u u Cu u u       2 3 , , , , , , , , , , , ,(1 3) ( ) (1 3) ( ) .n k n i p i p s q k q s n k n i m n m n p m p mAu u u u u u B u u u u C u u   Именно такой путь был избран в пионерской работе [7] и далее развивался во многих работах [3, 30]. В ней исследованы продольные и поперечные плоские волны и для вывода соответствующих нелинейных волновых уравнений в потенциале были сохранены составляющие второго и третьего порядков и пренебрежены составляю- щие четвертого-шестого порядков         2 2 2 1,1 2,1 3,1 3 2 2 1,1 1,1 2,1 3,1 (1 2) 2 ( ) ( ) ( ) (1 2) (1 3) (1 3) ( ) (1 2) ( ) ( ) , W u u u A B C u B u u u                        (27) где принято обычное для анализа плоских волн предположение 1( , )k ku u x t о рас- пространении волн вдоль оси 1Ox . Тогда компоненты несимметричного тензора на- пряжений Кирхгоффа имеют вид квадратично нелинейных соотношений (далее пока- заны только 3 из 9)       2 11 1,1 1,1 2 2 2,1 3,1 2 (3 2) 2 2( 3 ) ( ) (1 2) 2 (1 2) ( ) ( ) ; t u A B C u A B u u                      (28)  12 2,1 1,1 2,1(1 2) 2 (1 2) ;t u A B u u       (29)  13 3,1 1,1 3,1(1 2) 2 (1 2) .t u A B u u       (30) 2.4. Ограничение на компоненты тензора деформаций и градиенты переме- щений по причине линейности соотношений Коши. Возвратимся к факту сохране- ния в представлении потенциала (26) только составляющих не выше третьего порядка и пренебрежения составляющими более высокого порядка. Этот факт, к сожалению, ранее не комментировался, хотя он является конкретным проявлением различия огра- ничений на малость деформаций и малость градиентов деформаций для слабодефор- мируемых упругих материалов. Под различием в данном случае понимается факт, что внутренняя энергия при ее представлении квадратично и кубически нелинейными составляющими тензора деформаций эквивалентна представлению через градиенты перемещений составляющими от второго до шестого порядков и поэтому не эквива- лентна представлению (25). Так возникает проблема различения малости деформаций и градиентов перемещений. Однако, исходным ограничением является ограничение на деформации – они не должны быть большими и их малость должна как-то регла- ментироваться. Покажем далее один из путей ограничения на компоненты тензора деформаций по причине их малости, соответствующий концепции общего ограничения (5). Примечание 14. Ограничение (5) имеет целью построение простейшей модели уп- ругого деформирования – линейной модели малых упругих деформаций. Ограничение связано с вопросом, когда деформации можно считать малыми и ко- гда градиенты перемещений также малы. Исходным уравнением выберем нелинейные соотношения Коши (3) и частный случай деформации  1, ,k ku u x t характерный для плоских волн в направлении оси абсцисс. Тогда формула (3) упрощается и для про- дольной деформации 11 имеет вид        2 2 2 11 1,1 1,1 2,1 3,11 2u u u u        . (31) 29 Покажем, что формула (31) позволяет установить простую приближенную связь между 11 и 1,1 2,1 3,1, ,u u u . Выберем градиент с наибольшим значением и завысим зна- чения двух остальных, так что 1,1 2,1 3,1u u u    . Перепишем уравнение (31) в виде    2 112 3 2 3 0     . Если выполняется условие 11 0 0    , то 11(1 3)( 1 1 6 )     . Последняя формула свидетельствует, что существует следующее различие между  и 11 (в процентах): 2 11 5 10 4,7%;    2 11 4 10 3,8%;    2 11 3 10 2,9%;    2 11 2 10 1,9%;    2 11 1 10 0,99%;    3 11 5 10 0,5%;    3 11 3 10 0,3%;    3 11 1 10 0,1%.    Из приведенных формул следует, что может быть приближенно определено зна- чение деформации, при котором различие между значениями деформации и градиента деформации несущественно (может быть определено пороговое значение для значе- ния деформации, ниже которой она может полагаться малой и не зависит от нелиней- ных составляющих в (3)). Само понятие различия должно быть также определено: если различие составляет около 1 %, тогда пороговое значение малой деформации составляет около 21 10 ; если различие составляет около 0,1 %, тогда пороговое значение малой деформации составляет около 31 10 . Итак, в рамках геометрически линейной теории общее ограничение на компонен- ты тензора деформаций может быть приближенно уточнено к виду 21 10ki   (32) и ограничение (5) на градиенты перемещений , 1k iu  – к виду 2 , 1 10k iu   . (33) Примечание 15. Показанная приближенная оценка (ограничение) (32) имеет толь- ко геометрический характер и не зависит от свойств материала. Она совпадает с пока- занным в формуле (6) ограничением, позволяющим считать деформации малыми. Примечание 16. Знание порогового значения для конкретного типа малых дефор- маций позволяет решать, находимся ли мы действительно в рамках геометрически линейной теории и в области малых деформаций или нет, однако не дает ответ на во- прос, будут ли в этой области определяющие соотношения нелинейными (т. е., нахо- димся ли мы в рамках физически линейной теории или нет). Примечание 17. Определяющие соотношения (27) и (29) не идентичны и должны представляться геометрически различающимися нелинейными кривыми для одного и того же материала. 2.5. Степень отклонения кривых «напряжение – деформация» и «напряжение – градиент перемещения» от прямой линии, соответствующей линейному закону Гука. Рассмотрим далее степень отклонения кривых «напряжение – деформация» и «на- пряжение – градиент перемещения» от прямой линии, соответствующей линейному закону Гука, на частном примере сдвиговой деформации, т.е. рассмотрим далее в рамках принятого ограничения для движения в виде плоских волн только сдвиговую компоненту тензора напряжений Кирхгоффа (29) и соответствующую компоненту тензора напряжений  12 12 11 122 2 2A B      . (34) 30 Для этого выберем три слабо деформируемых металлических материала из таблицы и наиболее неблагоприятный случай максимальных значений 11 12 ,    1,1 2,1u u   . Запишем соответствующие формулы   2 12 2 2 2A B     ; (35)     2 12 1 2 2 1 2 .t A B          (36) Ограничим далее анализ областью значений  и  ниже их пороговых значений 21 10 ,     вычисленных для оценки применимости геометрически нелинейной теории упругости с точностью до 1% , и определим для выбранных трех материалов отклонения (в %) от прямых линий 12 2  и 12t  . Алюминий:   0,01; 0,005; 0,001; 0,00057 (\%=)17,25; 8,63; 1,73; 1,00; (37)   0,01; 0,005; 0,0048; 0,0046  (\%=) 2,20; 1,10; 1,06; 1,00; Медь:   0,01; 0,005; 0,001; 0,00077 (\%=)13,0; 6,50; 1,30; 1,00; (38)   0,01; 0,008; 0,007; 0,0065  (\%=) 1,54; 1,23; 1,08; 1,00; Сталь Hecla37:   0,01; 0,005; 0,001; 0,00082 (\%=)12,3; 6,15; 1,23; 1,00; (39)   0,01; 0,005; 0,001; 0,00082  (\%=)1,83; 1,28; 1,10; 1,00. Примечание 18. Напомним, что пороговое значение деформации и градиента пе- ремещений определено как такое значение, при превышении которого они уже не мо- гут рассматриваться как малые величины. Поэтому сравнение определенных прибли- женно отклонений нелинейных кривых  и t  от их линейного прототипа реа- лизуется здесь для геометрически линейной теории деформирования. Основной ре- зультат, следующий из сравнения, может быть разделен на два: 1) данные (37) – (39) подтверждают факт, что многие металлы деформируются нелинейно упруго при ма- лых деформациях (деформируются слабо) и что модель Мурнагана описывает эту особенность металлов; 2) нелинейные кривые   и t  отличаются друг от друга примерно в 8 раз – если отклонения около порогового значения 21 10     для кривых   существенно большие (от 17% до 12%), то для кривых t  отклоне- ния значительно меньше (от 1.5% дo 2.2%). Таким образом, ограничение на градиенты деформаций (33) обеспечивает при- ближенно геометрическую линейность деформирования многих металлов, но не обес- печивает физическую линейность их деформирования. Для обеспечения последней необходимо более жесткое ограничение 4 , 8 10k iu   . (40) 3. Описание динамики упругого нелинейного деформирования в перемещениях. Пример ограничения на градиенты перемещений в теории плоских волн. 3.1. Общий вид уравнений движения. Для построения уравнений движения упру- гой среды используют уравнения баланса (массы, количества движения, момента ко- личества движения, энергии). В отличие от кинематической части классической тео- рии упругости эта часть относится к кинетике движения и требует введения кинети- ческих параметров (сил и напряжений). 31 Если факторы изменения массы и моментов движения отсутствуют, то достаточно проанализировать уравнения баланса количества движения. Локальная запись этих уравнений имеет стандартный для классической теории упругости вид ,ik k i iF u    или , ,ki k i it F u   (41) где ik – симметричный тензор напряжений Лягранжа; ikt – несимметричный тензор напряжений Кирхгоффа; iF – компоненты главного вектора внешних сил. 3.2. Нелинейные уравнения движения в перемещениях. Эти уравнения как обоб- щения классических уравнений Ляме находятся в несколько шагов [30]. В первом подходе в балансовое уравнение (40) подставляется представление (6)       0 1 2 3 1 1 2 3, , 1 1 2 3 , 2 1 2 3 2 1 2 3 ,, ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( ) ik ikk k ik k in nk in nk k i ik I I I I I I I I I I I I I I I F u                      0 0 0 1 1 1 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 2 3 , 1, 2, 3, 1 2 3 ( , , ) k k k ik k k k ik ik k k k k in nk I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I                                                         2 1 2 3 , , , in nk i ik I I I F u       (42) и затем вычисляются при известных функциях 0 1 2, ,   производные 0, 1, 2,, ,m m m   и производные от инвариантов. В итоге для всех известных представлений может быть выделена линейная (соответствующая линейному закону Гука (9) и уравнениям Ляме) и нелинейная (зависящая от произведений градиентов перемещений и их про- изводных с порядком нелинейности два и более) части   , , , , ,( , , , ...).k ki i kk i i i n m n mp n mpqu u F u N u u u        (43) Во втором подходе в балансовое уравнение (43) подставляются компоненты тен- зора напряжений Кирхгоффа ikt . Подстановка соотношений (27 – 29) в уравнения движения ,ik i k kt X u   дает квадратично нелинейные волновые уравнения для трех поляризованных плоских волн [3, 30] 1, 1,11 1 1,11 1,1 2 2,11 2,1 3,11 3,1( 2 ) ( );ttu u N u u N u u u u       (44) 2, 2,11 2 2,11 1,1 1,11 2,1( );ttu u N u u u u    (45) 3, 3,11 2 3,11 1,1 1,11 3,1( );ttu u N u u u u    (46)      1 23 2 2 3 , 2 1 2 .N A B C N A B              (47) Примечание 19. Интуитивно рациональное решение о пренебрежении в потенциале Мурнагана (20) составляющих порядка выше третьего имеет следствием включение в тензор напряжений и волновые уравнения нелинейных составляющих только второго порядка. В итоге, поля деформаций и напряжений описываются одинаково с точностью до величин градиентов деформации третьего порядка (третий порядок уже не учиты- вается). Однако вопрос о том, следует ли учитывать третий-пятый порядки в тензоре напряжений и в волновых уравнениях, в то время как в тензоре деформаций учитыва- ется лишь второй порядок, остается открытым. Учет третьего порядка (кубической нелинейности) показал, что поперечные плоские волны описываются лучше, посколь- 32 ку в случае такого учета описывается нелинейное взаимодействие и самогенерация поперечных волн. Следовательно, волны в рамках учета более высоких приближений желательно изучать. При этом возникает коллизия между описанием деформаций в квадратичном приближении и напряжений в более высоких приближениях. 3.3. Ограничение на значение градиента перемещения, возникающее при ре- шении нелинейного волнового уравнения в перемещениях. Рассмотрим задачу о рас- пространении нелинейно упругой плоской продольной волны перемещения при условии, что изначально возбуждается только эта волна (поперечные волны не возбуждаются). Тогда в упругой среде возникают лишь продольные перемещения и математически задача описывается несколько упрощенным нелинейным волновым уравнением (44)  1, 1,11 1 1,11 1,12ttu u N u u     . (48) Предположим, что первоначально волна не обязательно гармоническая и имеет профиль, характерный для простой волны 1 1( , 0) ( )u x F x (дважды непрерывно диф- ференцируемая функция). Будем искать решение уравнения (48) в виде волны Далам- бера с неизвестной скоростью v , т.е. 1 1( , ) ( )u x t F x v t  . (49) Примечание 20. Фазовую скорость v можно понимать согласно Лайтхиллу [23] как местную скорость волны в точке x и в момент времени t . Тогда можно приме- нить приближенную процедуру нахождения функции 1F , которая совпадает с тракто- ванием Лайтхиллом простой волны Римана. Указанная процедура основана на первичном предположении, что фазовая ско- рость определяется уравнением (48) и имеет вид [3]  1 1v c u x    , (50) где  1 2c     ,    3 2 3 2A B C         . (51) Следующий шаг в процедуре состоит в приближенном представлении решения в виде          1 2 1 1 1 1, 1 1 2u x t F x c u x F x c t t u x             . (52) Приближенность в (52) состоит в замене      1 2 1 1 1 2 ,u x u x          ко- торая возможна лишь при малых значениях  .u x   Если ограничиться случаем слабодеформируемых металлов из таблицы, то можно указать более определенное ограничение на градиент перемещения. Для этого сначала необходимо оценить значения параметра . В данном случае он изменяется в диапазоне 2 19.  Далее следует определить приемлемую точность в формуле (52). Пусть она составляет 0,1% подобно одному из предыдущих случаев приближенных оценок значений градиента переме- щений. На основании равенств 1,094 1,00459455... ,  1 0,094 1 1 2 0,094    1,0047 можно принять, что   0,01u x    . Следовательно, получим оценку   40,0005 5 10u x      . (53) 3.4. О геометрической интерпретации конкретных ограничений на градиен- ты перемещений в анализе волн. Начнем с того, что максимальная амплитуда волны перемещения является индикатором для принятия решения, какую модель деформи- рования следует принимать – модель малых или модель конечных деформаций. Од- нако также в теории волн перемещения очень важным параметром является отноше- ние максимальной амплитуды волны к длине волны (для гармонических волн) или максимальной амплитуды волны к величине подошвы волны (для одиночных или простых волн). Эта длина соответствует введенному в [16] геометрическому парамет- 33 ру L , характеризующему изменяемость механических полей. Поэтому указанное вы- ше отношение является индикатором для принятия решения – соответствуют ли дли- ны или подошвы волн континуальной или дискретной модели материала. Напомним, что в задачах устойчивости таким индикатором является отношение длины волны моды потери устойчивости L к геометрическому параметру h – характерной длине внутренней структуры материала и в задачах статики минимальной длине L , на кото- рой изменяются существенно механические поля, к геометрическому параметру h . Ограничения на градиенты перемещений (как общее (18), так и менее общие (6), (32), (40), (53)) также могут играть роль индикаторов для принятия решения, нахо- димся ли мы в рамках континуального подхода к упругому деформированию мате- риала. Дело в том, что если учесть, что форма волны задается перемещением ( , )u x t , и вспомнить, что градиент перемещения u x  геометрически трактуется как касатель- ная к кривой ( , ),u u x t определяющей форму волны, то любое ограничение на значе- ния градиента перемещения  u x c   (54) может трактоваться как основание для двух ограничений. Первое имеет в каждом конкретном случае значения постоянной с свою интер- претацию: для случая (5) – определяет общую (геометрическую и физическую одновремен- но) линейность для всех возможных упругих материалов; для случая (18) – определяет общую (геометрическую и физическую одновремен- но) нелинейность для всех возможных упругих материалов; для случая (33) – приближенно определяет геометрическую линейность для опре- деленно го класса упругих материалов (слабодеформируемых металлических мате- риалов; для случая (40) – приближенно определяет общую (геометрическую и физическую одновременно) линейность для того же класса упругих материалов; для случая (53) – определяет возможность приближенного подхода к построению решения в виде плоских гармонических и одиночных волн для того же класса упругих материалов. Второе ограничение – общее для всех случаев и имеет следующую геометриче- скую интерпретацию: если перемещения описываются непрерывно дифференцируе- мой функцией, соответствующей выпуклой вверх или вниз кривой линии, то неравен- ство (54) определяет факт, что эта кривая линия находится внутри равнобедренного треугольника, основа которого лежит на оси Ox и стороны которого наклонены к основе на угол arctan c  . Если при этом известно значение параметра h изменяе- мости механических полей, то оказывается возможным решать – находимся ли мы в рамках континуального подхода к упругому деформированию материала. Следует также отметить четыре факта: 1) в большинстве случаях ограничений угол очень малый (поэтому с большой точностью c  – к примеру, tan 5 0,0875   ); 2) основа треугольника в теории волн определяется длиной волны или равноценным параметром; 3) верхняя вершина треугольника всегда превосходит значение максималь- ной амплитуды; 4) кривая ( )i ku x внутри треугольника не обязательно симметрична. Итак, ограничение типа (54) может служить основой для обоих индикаторов, ука- занных в начале этого пункта: какую модель деформирования следует принимать – модель малых или модель конечных деформаций – и соответствуют ли длины или подошвы волн континуальной модели материала. 4. Заключение. Описаны некоторые возможные математические и физические ограничения на значения градиентов перемещений, возникающие при анализе задач теории упруго- сти, уточняющие достаточно абстрактное классическое ограничение ,\| \| 1k iu  , и про- комментирована геометрическая интерпретация ограничений. 34 Инициатором в проведенном исследовании выступил академик Гузь А.Н., кото- рый в дискуссии на одном из заседаний ученого совета Института механики НАН Украины им. С.П.Тимошенко сформулировал идею о недостаточности существующе- го анализа ограничений на градиенты перемещений в теории упругости. Также он предложил одну из возможных геометрических интерпретаций ограничения на гради- ент перемещения при описании упругой плоской волны. Последующее изучение автором этого элемента основ теории упругости показало, что здесь существуют определенные умалчивания, что-то не акцентируется и считает- ся само собой разумеющимся, какие-то моменты просто не описаны в существующих монографиях и учебниках по теории упругости. Потребовались беседы с эрудирован- ными и креативными учеными и внимательное чтение их работ. Здесь снова основ- ным генератором выступил академик Гузь А.Н., общение с которым позволило на- полнить проведенный анализ фактами и рассуждениями. Внимательный читатель мо- жет увидеть в тексте статьи вкрапления из научных публикаций нескольких мировых авторитетов в этой области, в том числе и академика Гузя А.Н. Поэтому автор полагает приятным долгом и абсолютно необходимым действием выразить признательность Гузю Александру Николаевичу за практическую помощь в выполнении настоящего исследования. Р Е ЗЮМ Е . Розглянуто класичне і досить абстрактне обмеження для пружних матеріалів ,\| \| 1k iu  та ряд випадків можливих математичних та фізичних обмежень на значення градієнтів зміщень. 1. Bogdanov V.L., Guz A.N., Nazarenko V.M. Spatial Problems of the Fracture of Materials Loaded along Cracks (Review) // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 5. – P. 489 – 560. 2. Carneiro V.H., Meireles J., Puga H. Auxetic Materials – A Review // Materials Science-Poland. – 2013. – 31, N 4. – P. 561 – 571. 3. Cattani C., Rushchitsky J.J. Wavelet and Wave Analysis as applied to Materials with Micro or Nanostruc- tures. – Singapore – London: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2007. – 466 p. 4. Dudek K.K., Attard D., Caruana-Gauci R., Wojciechowski K.W., Grima J.N. Unimode metamaterials exhibiting negative linear compressibility and negative thermal expansion // Smart Materials and Struc- tures. – 2016. – 25, N 2. – P.025009. 5. Fu Y.B., Ogden R.W. (Eds) Nonlinear Elasticity: Theory and Applications // London Mathematical Soci- ety Lecture Note Series, 283. – Cambridge: Cambridge University Press, 2001. – 525 p. 6. Germain P. Cours de mechanique des milieux continua. T.1. Theorie generale. – Paris: Masson et Cie Editeurs, 1973. – 417 p. 7. Goldberg Z.A. On interaction of plane longitudinal and transverse waves // Akusticheskii Zhurnal. – 1960. – 6, N 2. – P. 307 – 310. 8. Goldenblatt I.I. Nonlinear Problems of the Theory of Elasticity. – Moscow: Nauka, 1969. – 336 p. 9. Green A.E., Adkins J.E. Large Elastic Deformations and Nonlinear Continuum Mechanics. – London: Oxford University Press, Clarendon Press, 1960. – 348 p. 10. Guz A.N. Elastic Waves in Bodies with Initial Stresses. Vol.1, General Problems, Vol.2, Regularities of Propagation. – Kiev: Naukova Dumka, 1986. – 376 p., 536 p. 11. Guz A.N. Fundamentals of the Three-Dimensional Theory of Stability of Deformable Bodies / Series: Foundations of Engineering Mechanics. – Berlin: Springer, 1999. – 555 p. 12. Guz A.N. Ultrasonic Nondestructive Method for Stress Analysis of Structural Members and Near-Surface Layers of Materials. Focus on Ukrainian Research (Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 3. – P. 231 – 252. 13. Guz A.N. Recognation of the Achievements of the S.P.Timoshenko Institute of Mechanics by the World’s Scientific Community // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N1. – P. 1 – 11. 14. Guz A.N., Makhort F.G., Gushcha O.I. Introduction in Electroelasticity. – Kiev: Naukova Dumka, 1977. –152 p. 15. Guz A.N., Rushchitsky J.J. Establishing foundations of the mechanics of nanocomposites // Int.Appl. Mech. – 2011. – 47, N 1. – P. 2 – 44. 35 16. Guz A.N., Rushchitsky J.J. Short Introduction to Mechanics of Nanocomposites. – Rosemead, CA: Scien- tific and Academic Publishing, 2013. – 280 p. 17. Guz A.N., Rushchitsky J.J. Some fundamental aspects of mechanics of nanocomposite materials // J. of Nanotechnologies. – 2013. – 24, special issue «Nanocomposites 2013». – P. 1 – 15. 18. Guz A.N., Rushchitsky J.J. On features of continuum description of nanocomposite material // J. of Re- search in Nanotechnology. – 2014. – 1, N 1. – P. 50 – 60. 19. Guz I.A., Rushchitsky J.J. Comparison of mechanical properties and effects in micro- and nanocompo- sites with carbon fillers (carbon microfibers, graphite microwhiskers, and carbon nanotubes) / Mechan- ics of Comp. Materials. – 2004. – 40, N 3. – P. 179 – 190. 20. Hanyga A. Mathematical Theory of Nonlinear Elasticity. – California: Ellis Horwood, 1983. – 430 p. 21. Hetnarski R.B., Ignaczak J. The Mathematical Theory of Elasticity. – Boca Raton: CRC Press, Taylor and Francis Group, 2010. – 837 p. 22. Holzapfel G.A. Nonlinear Solid Mechanics. A Continuum Approach for Engineering. – Chichester: Wiley, 2006. – 470 p. 23. Lighthill J. Waves in Fluids. – Cambridge: Cambridge University Press, 1978. – 504 p. 24. Lim T.C. Auxetic Materials and Structures. – Singapore: Springer, 2015. – 835 p. 25. Lur’e A.I. Nonlinear Theory of Elasticity. – Amsterdam: North-Holland, 1990. – 617 p. 26. Lurie A.I. Theory of Elasticity / Series: Foundations of Engineering Mechanics. – Berlin: Springer, 2005. –1050 p. 27. Murnaghan F.D. Finite Deformation in an Elastic Solid. – New York: John Wiley, 1951(1967). – 218 p. 28. Novozhilov V.V. Foundations of the Nonlinear Theory of Elasticity. – New York: Graylock Press, 1953; Dover, 2011. – 256 p. 29. Ogden R.W. Nonlinear Elastic Deformations. – New York: Dover, 1997. – 544 p. 30. Rushchitsky J.J. Nonlinear Elastic Waves in Materials / Series: Foundations of Engineering Mechanics. – Heidelberg: Springer, 2014. – 454 p. 31. Rushchitsky J.J. Auxetic linearly elastic isotropic materials: restrictions on elastic moduli // Arch. of Appl. Mech. – 2015. – 72, N 1. – P. 72 – 76. 32. Structural and Residual Stress Analysis. Ed. V.Hauk. – Amsterdam: Elsevier Science B.V., 1997 (e- variant 2006). – 640 p. 33. Truesdell, C. A First Course in Rational Continuum Mechanics. – Baltimore: The John Hopkins Univer- sity,1972; New York: Academic Press, 2nd edition, 1991. – 352 p. 34. Truesdell C., Noll W. The Nonlinear Field Theories of Mechanics / Flügge Handbuch der Physik, Band III /3. – Berlin: Springer Verlag, 1965; revised and enlarged edition, Springer, 2004. – 636 р. 35. Zhu R., Liu X.N., Huang G.L. Study of anomalous wave propagation and reflection in semi-infinite elas- tic metamaterials // Wave Motion. – 2015. – 55. – P. 73 – 83. Поступила 30.12.2014 Утверждена в печать 22.12.2015

Об ограничениях значений градиентов перемещений для упругих материалов

Institution

Ähnliche Einträge