О стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях

Для управляемых систем представляет интерес не только вопрос об устойчивости, но и задача об оценке переходного процесса, а также оценка границы изменения решений. Полученные в работе новые интервальные оценки нормы решений нелинейных неавтономных систем имеют значительный потенциал для решения указ...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2016
Main Authors:	Бабенко, Е.А., Мартынюк, А.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2016
Series:	Прикладная механика
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141047
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях / Е.А. Бабенко, А.А. Мартынюк // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 99-110. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-141047
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1410472018-07-22T01:23:34Z О стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях Бабенко, Е.А. Мартынюк, А.А. Для управляемых систем представляет интерес не только вопрос об устойчивости, но и задача об оценке переходного процесса, а также оценка границы изменения решений. Полученные в работе новые интервальные оценки нормы решений нелинейных неавтономных систем имеют значительный потенциал для решения указанных задач. Эффективность полученных оценок показана на примере управляемой системы со многими управляющими органами. Применение развитой техники для механической системы, состоящей из 2-х связанных маятников в среде с сопротивлением может представить интерес для инженерных приложений. Досліджено рух системи управління з багатьма виконавчими органами при інтервальних початкових умовах. Рівняння руху такої системи утворюють нелінійну систему диференціальних рівнянь з інтервальними початковими умовами. Для отримання оцінки інтервальної норми руху системи використано метод, що базується на використанні нелінійних інтегральних нерівностей. На основі отриманої оцінки отримано умови стабілізації руху системи. Як приклад, розглянуто механічну систему, що складається з двох зв’язаних маятників, кожний з яких підданий дії керуючих сил. A stability of motion of the control system with many executive organs is studied under the interval initial conditions. The motions equation of such system form a nonlinear system of differential equations with the interval initial conditions. To obtain the estimate of the integral norm of the m*otion of system, the method is used that is based on application of the nonlinear integral inequalities. Basing on this estimate, the conditions of stabilization of the motion of system are obtained. As an example, the mechanical system is considered which consists of two linked mathematical pendulums, each of which is under moti on of operating forces. 2016 Article О стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях / Е.А. Бабенко, А.А. Мартынюк // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 99-110. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141047 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Для управляемых систем представляет интерес не только вопрос об устойчивости, но и задача об оценке переходного процесса, а также оценка границы изменения решений. Полученные в работе новые интервальные оценки нормы решений нелинейных неавтономных систем имеют значительный потенциал для решения указанных задач. Эффективность полученных оценок показана на примере управляемой системы со многими управляющими органами. Применение развитой техники для механической системы, состоящей из 2-х связанных маятников в среде с сопротивлением может представить интерес для инженерных приложений.
format	Article
author	Бабенко, Е.А. Мартынюк, А.А.
spellingShingle	Бабенко, Е.А. Мартынюк, А.А. О стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях Прикладная механика
author_facet	Бабенко, Е.А. Мартынюк, А.А.
author_sort	Бабенко, Е.А.
title	О стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях
title_short	О стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях
title_full	О стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях
title_fullStr	О стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях
title_full_unstemmed	О стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях
title_sort	о стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141047
citation_txt	О стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях / Е.А. Бабенко, А.А. Мартынюк // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 99-110. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT babenkoea ostabilizaciidviženiânelinejnojsistemypriintervalʹnyhnačalʹnyhusloviâh AT martynûkaa ostabilizaciidviženiânelinejnojsistemypriintervalʹnyhnačalʹnyhusloviâh
first_indexed	2025-07-10T11:49:49Z
last_indexed	2025-07-10T11:49:49Z
_version_	1837260542951030784
fulltext	2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 2 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, №2 99 Е .А . Б а б е н к о 1 , А .А .Ма р ты ню к 2 О СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ИНТЕРВАЛЬНЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ 1 Черкасский национальный университет им. Б. Хмельницкого, бульвар Шевченко, 81, 18000, Черкассы, Украина; e-mail: kutsokon78@gmail.com 2 Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: amartynyuk@voliacable.com Abstract. A stability of motion of the control system with many executive organs is studied under the interval initial conditions. The motions equation of such system form a nonlinear system of differential equations with the interval initial conditions. To obtain the estimate of the integral norm of the motion of system, the method is used that is based on application of the nonlinear integral inequalities. Basing on this estimate, the conditions of stabilization of the motion of system are obtained. As an example, the mechanical system is considered which consists of two linked mathematical pendulums, each of which is under motion of operating forces. Key words: interval vector, stability, nonlinear integral inequality, control system. Введение. Анализ динамики механических и другой природы систем при неточных началь- ных данных движения формализован при помощи интервального анализа [7, 8]. Мо- нография [14], содержит первые результаты по интервальному оцениванию решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Вопросам численно- го исследования уравнений возмущенного движения с интервальными начальными данными посвящены многие работы [5]. Задача об устойчивости при интервальных начальных условиях исследуется в работе [2]. Проблема стабилизации и устойчивости движения линейных и нелинейных сис- тем обсуждается во многих статьях и монографиях [1, 3]. Наряду с методом функций Ляпунова при решении этой проблемы применяются и другие подходы. В данной статье предлагается конструктивное применение нелинейных инте- гральных неравенств [4, 12] при оценке движений и получении условий стабилизации движения нелинейной системы со многими управляющими органами при интерваль- ных начальных условиях. Во многих работах, посвященных данной проблеме, приме- няется линейное интегральное неравенство [9]. 1. Элементы интервального анализа. При исследовании движения систем с интервальной неопределённостью началь- ных условий предполагается неполное (частичное) знание о решениях соответствую- щей системы уравнений возмущенного движения, т.е. в этой ситуации можно указать лишь границы возможных значений нормы решений. Соответственно, интервальный анализ – это отрасль математического знания, исследующая задачи с интервальными неопределённостями и методы их решения. Приведем некоторые сведения из интер- вального анализа [8, 6]. 100 Интервалом a называется множество вида  : ,a a a x R a x a       . (1) Вещественные числа a отождествляются с интервалами нулевой ширины [ , ]a a , называемыми также вырожденными интервалами. Если a – интервал, то ( )a обозна- чает интервал (–1) a , так что : ,a a a      . На множестве интервалов вида (1) вво- дят интервальные арифметические операции: 1) сложение , ;a b a b a b      (2) 2) вычитание , ;a b a b a b      (3) 3) умножение    min , , , ,max , , , ;a b ab ab ab ab ab ab ab ab     (4) 4) деление / 1/ ,1/a b a b b     для 0 b . (5) Определение 1. Алгебраическая система , , , , /IR    , образованная множеством всех вещественных интервалов (1) с бинарными операциями сложения, вычитания, умножения и деления, которые определены формулами (2) – (5), называется классиче- ской интервальной арифметикой. Определение 2. Абсолютной величиной (модулем) интервала a называется вели- чина  max ,a a a . Определение 3. Упорядоченный кортеж из интервалов, расположенных верти- кально (вектор-столбец) или горизонтально (вектор-строка), называется интерваль- ным вектором. Таким образом, если 1a , 2a , ... , na – некоторые интервалы, то  1 2, ,..., T na a a a – интервальный вектор-столбец, а  1 2, ,..., na a a a – интервальный вектор-строка. Множество интервальных векторов, компоненты которых принадлежат IR , обо- значается через nIR . Геометрическим образом интервального вектора является пря- моугольный параллелепипед в пространстве nR со сторонами, параллельными коор- динатным осям – брус. Определение 4. Нормой интервального вектора a называется вещественная ве- личина, обозначаемая a , удовлетворяющая следующим аксиомам: 1) 0a  , причем 0a  тогда и только тогда, когда 0a  – неотрицательность; 2) a a   , для R  – абсолютная непрерывность; 3) a b a b   – неравенство треугольника; 4) a b a b   – монотонность по включению. Ниже приведены примеры норм интервальных векторов 1 21 : ... na a a a    ; (6) 101 1 : max ;i i n a a    (7) 22 2 1 22 : ... .na a a a    (8) 2. Постановка задачи. Рассмотрим нелинейную систему уравнений управляемого движения  , , , dy F t y u dt  (9) где ny R ,  , ,n m nF C R R R R     mu t U R  – управление движением. Пусть для фиксированного управления  pu t U заданы интервальные начальные данные для решения  y t  0 0 00 ,y t y y y     . (10) При широких предположениях о системе (9) ее решение    0 0, , ,p py y t y t t y u  существует на любом конечном интервале I R . Представляет интерес задача об оценке движения при интервальных начальных условиях (10) и условиях стабилизации движения к экспоненциально устойчивому. В системе (9) проведем замену переменных x и u по формулам py y x  , pu u v  . Тогда система (9) примет вид  , , , dx f t x v dt  (11) где      , , , , , ,p p p pf t x v F t y x u v F t y u    . При этом  ,0,0 0f t  и при 0v  система (11) имеет движение 0x  . Далее систему уравнений (11) рассматриваем в виде    , , , , dx f t x g t x v dt   (12) где    , , ,0f t x f t x и      , , , , ,g t x v f t x v f t x  . Рассмотрим задачу об оценке нормы решения ( )x t при интервальных начальных условиях   00 0 0 , ,x t x x x     (13) где 00 ,x x – заранее заданные величины. 3. Оценки движений системы (12). Здесь и далее применяется интервальная норма в виде (8). О системе (12) сделаем следующие предположения. H1. Существует интегрируемая неотрицательная функция  m t при всех 0t  та- кая, что    ,f t x m t x (14) при всех  , nt x R R  ; 102 H2. Существует интегрируемая неотрицательная функция  l t и постоянная 1p  такие, что    , , p g t x v l t x (15) при всех  , , nt x v R R U   . Имеет место такое утверждение. Теорема 1. Если выполняются условия предположений H1 – H2, тогда для нормы решения  l t уравнения (12) верна оценка             0 0 1 1 1 0 0 0 exp 1 1 exp 1 t t s p p x m s ds x t p x l s p m d ds                         при всех 0t s  , как только        1 0 0 0 1 exp 1 1 t s p p x l s p m d ds             . Доказательство. Уравнение (12) представим в виде             0 0 0 , , , t t t t x t x t f s x s ds g s x s v s ds    , (16) при всех 0 0t t  . Из соотношения (16) при условиях H1 – H2 получим оценку           0 0 0 t t p t x t x m s x s ds l s x s ds    . (17) Пусть    x t t при всех 0t  . Из неравенства (17) следует, что           1 0 0 t pt x m s l s s s ds     . (18) Применяя к псевдолинейному неравенству (18) лемму Гронуолла – Беллмана, по- лучаем оценку         1 0 0 exp t pt x m s l s s ds           . (19) Неравенство (19) эквивалентно следующему:           11 1 0 0 exp 1 t pp pt x p m s l s s ds            . (20) Умножая обе стороны неравенства (20) на отрицательное выражение          1 0 1 exp 1 t pp l t p l s s ds            , получаем следующее неравенство: 103            1 1 0 1 exp 1 t p pp l t t p l s s ds                      1 0 0 1 exp 1 . t p p x l t p m s ds            Отсюда следует, что              11 0 0 0 exp 1 1 exp 1 . t t ppd p l s s ds p x l t p m s ds dt                             (21) Интегрируя неравенство (21) от 0 до t , получаем              11 0 0 0 0 exp 1 1 1 exp 1 t t s ppp l s s ds p x l s p m d ds                         и далее имеем               1 11 0 0 0 0 exp 1 1 1 exp 1 t t s ppp l s s ds p x l s p m d ds                               (22) при всех 0t s  . Учитывая неравенство (22), оценка (20) принимает вид               0 01 1 0 0 0 exp 1 . 1 1 exp 1 t p t t p x p m s ds t p x l s p m d ds                         (23) Из неравенства (23) следует оценка нормы решений системы (12). Теорема 1 до- казана. Теорема 2. Пусть существуют интегрируемые при всех 0t  функции  km t ( 1,2,...,k n ) такие, что       1 , , , n k k k f t x g t x v m t x     (24) при всех  , , nt x v R R V   . Тогда для нормы решения  x t системы (12) верна оценка             0 1 0 1 1 1 0 1 20 0 exp 1 1 exp 1 t t sn n k k k x m s ds x t n x m s n m d ds                          (25) при всех 0t s  , как только        1 0 1 20 0 1 1 exp 1 0 t sn k k k n x m s n m d ds               . 104 Доказательство. Из соотношения (16) при условии (24) получим оценку      0 10 t n k k k x t x m s x s ds     , (26) которую представим в псевдолинейном виде          1 0 1 20 t n k k k x t x m s m s x s x s ds           (27) при всех 0t  . Применив к неравенству (27) лемму Гронуолла – Беллмана, полу- чим оценку        1 0 1 20 exp t n k k k x t x m s m s x s ds             (28) при всех 0t  . Из неравенства (28) следует, что                   11 1 0 1 20 1 1 0 1 20 exp 1 exp 1 t n kk k k k t n k k k k x t x k m s m s x s ds x n m s m s x s ds                                  (29) при всех 0t  и 2,...,k n . Умножая обе стороны неравенства (29) на отрицательный множитель          1 20 1 exp 1 t n k k k k n m t n m s x s ds             , получаем            1 1 20 1 exp 1 t n k k k k k n m t x t n m s x s ds                      1 0 1 0 1 exp 1 t k kn m t x n m s ds             . (30) Далее суммируем обе стороны неравенства (30)            1 1 2 20 1 exp 1 tn n k k k k k k n m t x t n m s x s ds                        1 0 1 2 0 1 exp 1 tn k k k n m t x n m s ds               . (31) Интегрируя (31) неравенство от 0 до t , получаем      1 20 exp 1 t n k k k n m s x s ds            105        1 0 1 20 0 1 1 exp 1 . t sn k k k n m s x n m d ds               Отсюда следует, что    1 20 exp t n k k k m s x s ds                  1 1 1 0 1 20 0 1 . 1 1 exp 1 t sn n k k k n m s x n m d ds                   (32) Учитывая оценку (32) в неравенстве (28), получаем оценку (25), составляющую утверждение Теоремы 2. Теорема 2 доказана. 4. Стабилизация движения. Рассмотрим нелинейную систему со многими управляющими органами           0 1 , m i i i dx A t x t G t x t u t Bu t dt     ,    y t Cx t ,   00 0 0 ,x t x x x    , (33) где nx R ,  A t – ( n n )-матрица, элементы которой являются непрерывными на любом конечном интервале движения функциями,  ,iG t x – ( n m )-матрица, векто- ры управлений   m iu t R при всех 1,2,...,i m , B – ( n m )-матрица, управление  0 mu t R , C – постоянная ( n n )-матрица, 0x – интервальный вектор начальных состояний системы (33). О системе (33) сделаем следующие предположения: H3. Функции  ,0 0iG t  , 1,2,...,i m при всех 0t  ; H4. Существует постоянная ( n m )-матрица 0K такая, что для системы   0 dy A t BK C y dt   фундаментальная матрица  t удовлетворяет оценке      1 t st s Me     (34) при 0t s t  , где M и  – некоторые положительные постоянные. H5. Существуют постоянные 0i  и 1q  такие, что  , q i iG t x x при всех 1,2,...,i m . Имеет место следующее утверждение. Теорема 3. Пусть выполняются условия предположений H3 – H5. Тогда управле- ния    i iu t K y t  , 1,2,...,i m ;    0 0u t K y t  (35) стабилизируют движение системы (33) к экспоненциально устойчивому. 106 Доказательство. Пусть <m n и применяются управления    i iu t K y t  ,    0 0u t K y t  для стабилизации движения системы (33). При этом имеем           0 1 , m i i i dx A t BK C x t G t x t K Cx t dt     . (36) Из соотношения (36) следует, что                 0 1 1 0 0 1 , t m i i it x t t t x t s G s x s K Cx s ds          , (37) где 00 0 ,x x x    . Учитывая условия Теоремы 3, из соотношения (37) получим оценку нормы решения системы (33) в виде       1 0 10 t st m qt i i x t x Me Me K C x s ds           . (38) Преобразуем неравенство (38) к виду     1 0 10 qst m qt s i i x t e x M Me K C x s e ds          . (39) Применяя оценку (25) к неравенству (39), получаем     0 1 1 0 1 0 1 t tm qqq qs i i M x x t e qM K C x e ds                 =     0 1 1 0 11 1 m qqq i qti M x M K C x e                    при всех 0t  . Предположим выполнение условия  1 0 1 1 m qq i i M K C x      , (40) тогда при всех 0t  будет выполняться оценка     0 1 1 0 11 t m qqq i i M x x t e M K C x                    107 и для нормы решения  x t получим оценку   0 0 tx t M x e  при всех 0t  , где   0 1 1 0 11 m qqq i i M M M K C x                  . Теорема 3 доказана. 5. Приложения. В качестве иллюстрации результатов, полученных в предыдущем разделе, рас- смотрим механическую систему, состоящую из двух связанных математических ма- ятников длины l каждый, соединенных пружиной на расстоянии a от точек подвеса (рисунок) Их точки подвеса находятся на одной и той же высоте. Маятники управляются двумя противоположно направленными силами 1v и 2v , которые приложены к маят- никовым грузам массы m каждый. Кроме того, каждый из маятников подвержен дей- ствию управляемых обобщенных сил 2 1 1 1Q u   и 2 2 2 2Q u   , где 1 и 2 – углы, которые образуют маятники с вертикалью. Уравнения движения предложенной механической системы можно записать в ви- де     2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 , . ml ka mgl v u ml ka mgl v u                           (41) Предположим также, что начальное состояние системы определяется некоторым интервальным вектором   00 10 10 20 20 0, , , ,             . (42) Выясним, какими должны быть управления  1 2, T u u u и  1 2, T v v v , чтобы ста- билизировать движение системы (41) с интервальными начальными значениями (42) к экспоненциально устойчивому. Запишем систему (41) в нормальной форме; для этого введем новые переменные 1x , 2x , 3x и 4x так: 1 1 2 1 3 2 4 2, , ,x x x x        . (43) В результате получим систему уравнений 108 1 2 2 2 21 1 2 1 3 12 2 2 2 3 4 2 2 22 2 4 1 3 32 2 2 2 , , , x x u vka g ka x x x x lml ml ml ml x x u vka ka g x x x x lml ml ml ml                                                       (44) с интервальными начальными условиями:   00 0 0,x t        . (45) Систему (44) можно представить также в виде 1 2 2 2 1 3 1 1 1 3 4 2 4 1 3 2 3 2 , , , . x x x px qx ru x rv x x x qx px ru x rv                    (46) где 2 2 ka g p lml    , 2 2 ka q ml  , 2 1 r ml  . Используя обозначения раздела 4 настоящей статьи, систему перепишем так:  dx Ax G x u Bv dt    ; (47) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 p q A q p            ,   2 1 2 3 0 0 0 0 0 0 rx G x rx              , 0 0 0 0 0 0 r B r            ;  1 2, T u u u ,  1 2, T v v v . Вектор выхода y будем считать равным фазовому вектору x , т. е. матрица C равна единичной. Проверим, удовлетворяет ли система (47) предположениям H3 – H5. Поскольку  0 0G  , то предположение H3 выполняется. Проверим условие H4. В качестве 0K рассмотрим матрицу 0 0 0 p q r r rK q p r r r                , где  ,  – отрицательные действительные числа. Тогда 0A BK C будет равна 109 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 A BK C                  . Определим собственные значения матрицы 0A BK C . Характеристическое урав- нение имеет вид  22 0     . Поскольку параметры  ,  – отрицательные, то все собственные значения имеют отрицательные действительные части, т. е. сущест- вует 0  такое, что  0 1,4 max 0i i A BK C        . (48) Оценим норму матрицы    1t s  , где  t – фундаментальная матрица сис- темы дифференциальных уравнений  0 dy A BK C y dt   . Поскольку матрица 0A BK C – постоянная, то    0A BK C tt e   и       01 A BK C t st s e     при всех 0t s t  . Воспользовавшись известной оценкой матричной экспоненты At te Me , где  max i i A   , 0t  , и равенством (48), получим оценку      1 t st s Me     . Предположение H4 выполняется. А по- скольку   2 ,G x r x то предположение H5 также выполняется. Таким образом, согласно Теореме 3 управления u Ky  и 0v K y  , где матрица 0 0 0 p q r r rK q p r r r                , в которой  и  – отрицательные действительные числа, стабилизируют движение системы (41) с интервальными начальными условиями (42) к экспоненциально устой- чивому. При этом, матрица K удовлетворяет неравенству (40), которое с использова- нием обозначений данной задачи имеет такой вид: 2 0 3 K rM     . (49) 6. Заключительные замечания. В общем, для управляемых систем представляет интерес не только вопрос об ус- тойчивости, но и задача об оценке переходного процесса, а также оценка границы изменения решений. Полученные в статье новые интервальные оценки нормы реше- ний нелинейных неавтономных систем имеют значительный потенциал для решения указанных задач. Эффективность полученных оценок показана на примере управляе- мой системы со многими управляющими органами. Применение развитой техники для механической системы, состоящей из двух связанных маятников в среде с сопро- тивлением может представить интерес для инженерных приложений. 110 Оценки движения на основе интегральных неравенств были предметом многих статей и обобщающих монографий [3, 4, 9, 12]. Основным инструментом таких оце- нок была известная лемма Гронуолла – Беллмана для линейного интегрального нера- вества. Предложенные в данной статье интервальные оценки решений нелинейных систем имеют практический интерес во многих прикладных задачах [10, 11, 13, 15]. В связи с развитой здесь теорией остаются открытыми многие проблемы для сис- тем вида (12) и/или (33). Некоторые из них состоят в оценке времени переходного процесса и его минимизация, условия устойчивости на конечном интервале и ряд дру- гих. Р Е ЗЮМ Е . Досліджено рух системи управління з багатьма виконавчими органами при інтер- вальних початкових умовах. Рівняння руху такої системи утворюють нелінійну систему диференціа- льних рівнянь з інтервальними початковими умовами. Для отримання оцінки інтервальної норми руху системи використано метод, що базується на використанні нелінійних інтегральних нерівнос- тей. На основі отриманої оцінки отримано умови стабілізації руху системи. Як приклад, розглянуто механічну систему, що складається з двох зв’язаних маятників, кожний з яких підданий дії керуючих сил. 1. Зубов В.И. Лекции по теории управления. – Санкт-Петербург: Лань, 2009. – 496 с. 2. Мартынюк А. А. Об устойчивости движения при интервальных начальных условиях // Доп. НАН України. – 2013. – № 1. – С. 24–29. 3. Мартынюк А. А., Гутовски Р. Интегральные неравенства и устойчивость движения. – К: Наук. думка, 1979. – 271 с. 4. Перов А.И. Об интегральных неравенствах // Труды семинара по функциональному анализу. – Воронеж. – 1957. – № 5. – С. 87 – 97. 5. Рогалев А.Н. Границы множеств решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными начальными данными // Вычислит. технологии. – 2004. – 9, № 1. – С.86 – 94. 6. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. – Новосибирск:Изд-во XYZ, 2013. – 606 с. 7. Adams E., Kulisch U. (Eds.) Scientific Computing with Automatic Result Verification. – Boston: Aca- demic Press, 1993. 8. Alefeld G., Mayer G. Interval analysis: theory and applications // J. Comp. Appl. Math. – 2000. – 121. – P. 421 – 464. 9. Bellman R. Stability Theory of Differential Equations. – New York: McGraw-Hill, 1953. – 176 p. 10. Larin V.B. Algorithms for Solving a Unilateral Quadratic Matrix Equation and the Model Updating Problem // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 5. – P. 107 – 123. 11. Larin V.B., Tunik A.A. On Improving the Quality of Tracking the Trajectory of the Aircraft Program // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 3. – P. 137 – 143. 12. Louartassi Y., Mazoudi H., Elalami N. A new generalization of lemma Gronwall–Bellman // Appl. Math. Sci. – 2012. – 6, N 13. – P. 621–628. 13. Martynyuk A.A., Khoroshun A.S. To the Finite Time Stability of Motion // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 3. – P. 124 – 132. 14. Moore R.E. Interval Analysis. – Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1966. – 145p. 15. Zekevic A.I., Siljak D.D. Stabilization of nonlinear systems with moving equilibria // IEEE Trans. on Autom. Control. – 2003. – 48, N6. – P. 1036 – 1040. Поступила 12.09.2014 Утверждена в печать 22.12.2015

О стабилизации движения нелинейной системы при интервальных начальных условиях

Institution

Similar Items