Анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа

При помощи обобщенного метода Фурье проведен анализ напряженно-деформированного состояния при осесимметричном вдавливании кругового в плане штампа в трансверсально изотропное полупространство с неподвижным параболоидальным основанием, при отсутствии трения между штампом и полупространством. Задача с...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Щербакова, Ю.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2010
Назва видання:	Проблемы машиностроения
Теми:	Динамика и прочность машин
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141828
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа / Ю.А. Щербакова // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 42-48. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-141828
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1418282018-09-15T01:22:58Z Анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа Щербакова, Ю.А. Динамика и прочность машин При помощи обобщенного метода Фурье проведен анализ напряженно-деформированного состояния при осесимметричном вдавливании кругового в плане штампа в трансверсально изотропное полупространство с неподвижным параболоидальным основанием, при отсутствии трения между штампом и полупространством. Задача сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Проведен численный анализ распределения напряжений между граничными поверхностями в плоскостях, параллельных границе полупространства. Приведен качественный анализ напряжений в зависимости от геометрических параметров. За допомогою узагальненого методу Фур’є проведено аналіз напружено-деформівного стану при осесиметричному вдавлювані кругового в плані штампу у трансверсально ізотропний півпростір з нерухомою параболоідальною основою за відсутності тертя між штампом та півпростором. Задачу зведено до системи інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Проведено чисельний аналіз розподілу напружень між граничними поверхнями в площинах, що є паралельними границі півпростору. Наведено якісний аналіз напружень в залежності від геометричних параметрів. With application of generalized Fourier's method was made the analysis of the stressesdeformed condition the analysis of tensely deformed status is lead axis symmetric cave-in circular by way of a stamp in transversely isotropic with motionless paraboloid the basis, coaxial axes of a stamp, at absence of friction between a stamp and half-space. The numerical analysis of distribution of pressure between boundary surfaces in the planes parallel to border halfspace is lead. The qualitative analysis of pressure is resulted depending on geometrical parameters. 2010 Article Анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа / Ю.А. Щербакова // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 42-48. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0131-2928 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141828 539.3 ru Проблемы машиностроения Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин
spellingShingle	Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин Щербакова, Ю.А. Анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа Проблемы машиностроения
description	При помощи обобщенного метода Фурье проведен анализ напряженно-деформированного состояния при осесимметричном вдавливании кругового в плане штампа в трансверсально изотропное полупространство с неподвижным параболоидальным основанием, при отсутствии трения между штампом и полупространством. Задача сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Проведен численный анализ распределения напряжений между граничными поверхностями в плоскостях, параллельных границе полупространства. Приведен качественный анализ напряжений в зависимости от геометрических параметров.
format	Article
author	Щербакова, Ю.А.
author_facet	Щербакова, Ю.А.
author_sort	Щербакова, Ю.А.
title	Анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа
title_short	Анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа
title_full	Анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа
title_fullStr	Анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа
title_full_unstemmed	Анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа
title_sort	анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Динамика и прочность машин
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141828
citation_txt	Анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа / Ю.А. Щербакова // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 42-48. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT ŝerbakovaûa analiznaprâžennodeformirovannogosostoâniâtransversalʹnoizotropnogopoluprostranstvapoddejstviemkrugovogoštampa
first_indexed	2025-07-10T13:35:33Z
last_indexed	2025-07-10T13:35:33Z
_version_	1837267195861663744
fulltext	ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 42 7. Жовдак В. А. Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с технологической расстрой- кой / В. А. Жовдак, А. А. Ларин, А. Ф. Кабанов // Пробл. прочности. – 2008. – № 5 (395). – С. 105–113 8. Жовдак В. О. Нелінійні коливання пакетів лопаток з роз’ємними з’єднаннями / В. О. Жовдак, А. П. Зіньковський, О. С. Степченко, Я. Д. Круглій // Пробл. машиностроения. – 2009. – Т. 12, № 4. – С. 45–53. Поступила в редакцию 10.02.10 УДК 539.3 Ю. А. Щербакова Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «ХАИ» (г. Харьков, Е-mail: k405@d4.khai.edu) АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПОД ДЕЙСТВИЕМ КРУГОВОГО ШТАМПА При помощи обобщенного метода Фурье проведен анализ напряженно- деформированного состояния при осесимметричном вдавливании кругового в плане штампа в трансверсально изотропное полупространство с неподвижным параболои- дальным основанием, при отсутствии трения между штампом и полупространством. Задача сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Проведен численный анализ распределения напряжений между граничными поверхностями в плоскостях, параллельных границе полупространства. Приведен качественный анализ напряжений в зависимости от геометрических параметров. За допомогою узагальненого методу Фур’є проведено аналіз напружено-деформівного стану при осесиметричному вдавлювані кругового в плані штампу у трансверсально ізотропний півпростір з нерухомою параболоідальною основою за відсутності тертя між штампом та півпростором. Задачу зведено до системи інтегральних рівнянь Фре- дгольма другого роду. Проведено чисельний аналіз розподілу напружень між граничними поверхнями в площинах, що є паралельними границі півпростору. Наведено якісний ана- ліз напружень в залежності від геометричних параметрів. Исследование напряженно-деформированного состояния (НДС) пространственных канонических тел с усложненными физико-механическими свойствами, в частности с транс- версальной изотропией материала тела, является важной частью создания математических моделей композитных материалов. Над этим работали многие авторы, используя различные методы. В работе [1] применяется один из вариантов метода однородных решений, в работах [2–4] – метод разделения переменных. Особенно отметим [4], где методом Фурье построены точные решения уравнений равновесия трансверсально изотропного параболоида вращения. Подчеркнем, что в известной нам научной литературе практически отсутствуют исследова- ния НДС в трансверсально изотропных многосвязных канонических телах, ограниченных координатными поверхностями нескольких криволинейных систем координат. Исключени- ем является работы [5–7], в которых используется обобщенный метод Фурье (ОМФ). В ча- стности, в [7] развит аппарат ОМФ применительно к трансверсально изотропным полупро- странству и параболоиду вращения. Проведен асимптотический анализ напряжений, созда- ваемых в трансверсально изотропном полупространстве с неподвижным параболоидальным включением сосредоточенной силой. Заметим, что аппарат ОМФ для различных пар криво- линейных координат (но без параболоидальных) в трансверсально изотропном случае был развит в работе [8]. Известные методики численных расчетов малоэффективны в простран- ственных многосвязных областях со сложной геометрией, особенно в случае некомпактной ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 43 границы области. В данной работе рассмотрена задача теории упругости для трансверсально изотропного тела с двумя некомпактными непе- ресекающимися граничными поверхностями – плоскостью и параболоидом вращения. Рассмотрим осесимметричное вдавлива- ние кругового в плане штампа в трансверсально изотропное полупространство с неподвижным параболоидальным основанием. Считаем, что трение между штампом и полупространством отсутствует, радиус штампа равен a, уравнение z = c1ρ – c2 (cj > 0) задает поверхность парабо- лоидального основания в цилиндрической сис- теме координат (ρ, z, ϕ), соосной с осью штам- па, начало которой расположено на расстоянии h от границы полупространства. Ось анизотро- пии совпадает с осью симметрии рассматривае- мого тела (рис 1). Введем две параболоидальные системы координат (βj, αj, ϕj) (j = 1, 2), которые свя- заны с цилиндрической системой координат формулами ( ) ( )⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ β−α= βα=ρ γ+ν= ρ=ρ , 2 , 22 jj j j jjjj jjj j a z a zz где aj > 0 – параметры параболоидальных координат. Уравнение параболоидального основа- ния можно представить в виде βj = βj0, где ( )1 2 0 2ca jjj ν=β , если потребовать, чтобы ( ) jjj cc ν−ν=γ 214 . При этом на поверхности параболоида 2 1 2 2 ρ=αν ca jjj (ρ – координата на поверхности параболоида). Будем искать решение поставленной задачи в виде ( )∑ ∫∫ = ∞ + ∞ − λ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ βα+λρλ= 2 1 0 )9( ,0, 0 )2( ,0, ),()(),( j jjtjjjjj dttBdzA UUU , (1) где ),,(),,( )9( ,, )9( ,, ϕβα λ∂λ ∂ =ϕβα ± λ ± λ ssmsssssms ua DU , ),,(1),,( )2( ,, )2( ,, ϕρ λ =ϕρ ± λ ± λ jmjjjmj zuz DU , ϕ± λ λα ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ λβ λβ =ϕβα jm jm jm jm jjmj eJ I K u )( )( )( ),,()9( ,, , )(),,()2( ,, λρ=ϕρ ϕ+λ±± λ m jmz jmj Jezu j , s z s s yxs z k yx ∂ ∂ ν + ∂ ∂ + ∂ ∂ = eeeD , (s = 1, 2). Здесь и далее Km(x) – функция Макдонольда; Jm(x) и Im(x) – обычная и модифициро- ванная функции Бесселя первого рода. Для базисных решений уравнения Ламе в цилиндрических и параболоидальных ко- ординатах теоремы сложения имеют вид [7] ∫ ∞ < > ± λ λ+ λϕρ−=ϕβα 0 )2( ,, )92( ,, )9( ,, )0(,),,(),,( zdzg jmjjtmjjtmj UU , (2) Рис. 1. Геометрия рассматриваемой задачи ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 44 ∫ ∞ − λ ± λ ϕβα=ϕρ 0 )9( ,, )29( ,, )2( ,, ,),,(),,( dtgz jjtmj t jmjmj UU (3) где ( )λ−λ λ = jat jtm eg 2)92( ,, 2 2 1 ; ( )λ− λ λ = jat j t jm e a tg 2)29( ,, 2 . Преобразуя решение (1) с помощью теорем сложения (2) и (3) отдельно к цилиндри- ческим и параболоидальным координатам соответственно, получим { } λρ−ρλ=∑ ∫∫ = ∞ λ+ λ ∞ − λ ddtgtBzzAU j jtjjjjjj 2 1 0 )92( ,,0 )2( ,0, 0 )2( ,0, )(),(),()( UU , (4) ∑∫ ∫ = ∞ ∞ λ −+ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λλβα+βα= 2 1 0 0 )29( ,,0 )9( ,0, )9( ,0, )(),(),()( j t jjjjtjjjtjj dtdgAtBU UU . (5) Из условий закрепления на поверхности параболоида после перехода к координат- ной записи перемещения имеют вид .0)()()()()( )()()()()( 0 )29( ,,0000101 2 1 0 000101 = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ λ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ αβ ν −αβ−+ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ αβ ν −αβ= ∫ ∑∫ ∞ λρ = ∞ ρ dtgAtJtI k tJtI tJtK k tJtKtB t jjzjj j j jj j zjj j j jjj ee eeU При 12ca jj =ν на поверхности основания выполняется условие ρ=α j . Обращая ин- тегралы Ханкеля, получаем ( ) ( ) .0)()()()( ,0)()()()( 2 1 0 29 ,,00000 2 1 0 29 ,,00101 = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λλβ+β ν = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λλβ−β ∑ ∫ ∑ ∫ = ∞ λ = ∞ λ j t jjjjj j j j t jjjjj dgAtItKtB k dgAtItKtB Из полученной системы выразим Bj(t) ∑ = −−−− + βχβ− Δ = 2 1 0,313,3 1 )()()1( )( 1)( p jpjpp jp j tKt t tB . (6) где )()()()()( 201100 1 1 101200 2 2 1 ββ ν −ββ ν =Δ tKtKktKtKkt λλβχ−=β ∫∑ ∞ λ− = + dgAtIt t jjjs j js s s 0 )29( ,,002 2 1 1 )()()1()( , ⎩ ⎨ ⎧ =ν = =χ 2, 1,1 sk s jj js . Удовлетворим условиям на границе полупространства 0,0, ,, =τ=σδ−= −=ρ>ρ−=<ρ−= hzzahzzahzzu . (7) На площадка zen −= с учетом (4) напряжения можно записать в виде ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 45 [ ] [ ] .)()()( )()()( 1 0 )92( ,,001 2 1 0 0144 λ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⋅λρν+λρ−+ + ⎩ ⎨ ⎧ λρν−λρ−λλ ν + = ∫ ∑ ∫ ∞ λλ ρ λ = ∞ λ− ρ λ− ddtgtBJeJe JeJeA k C jtjz z j z j z z j z j j j jj jj ee eeFU (8) Уравнение границы полупространства z = –h в переменных zj имеет вид )2,1( 4 2 1 =−≡ ν + ν − ν −= jhc c hz j j j j j . С учетом условий (7), из (4) и (8) получим { }∑ ∫ = ∞ λ−λ <ρ≤δ=λλρλα+λ ν 2 1 0 0 )0()()()( j h j h j j j adJeeA k jj , (9) ( ) { }∑ ∫ = ∞ λ−λ >ρ=λλλρλα−λ+ 2 1 0 0 )(0)()()(1 j h j h jj adJeeAk jj , (10) ∑ ∫ = ∞ λλ−λ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ +λ ν +2 1 0 )92( ,,0 0)()( 1 j jtj hh j j j dtgtBeeA k jj , (11) где ∫ ∞ λ=λα 0 )92( ,,0)()( dtgtB jtjj . Обозначим ( ){ } )()()(1 2 1 λ=λα+λ+∑ = λ−λ j j j hh jj DeeAk jj и jh jj eAA λλ=λ )()( ~ . Тогда из двух последних соотношений получаем ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ λα ν + −=λ ν + +λ ν + λα++λ=λ++λ+ ∑ ∑ = λ− = λ− 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2211 ;)( 1 )( ~1)( ~1 ,)(1)()( ~ 1)( ~ 1 j j h j j j j h jj j j e k AkAk ekDAkAk откуда ( ) ( )( ) ( ) )2,1()(111)( 1 1)( ~ 2 1 33 1 12 21 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λα⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ν + ν ++ ν λ ν−ν+ νν− =λ ∑ = λ− −− λ− sekD k eA j j h js j ss hs s j s . Подставим Aj(λ)в первое из парных уравнений (9) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ∫∑ ∑ ∫∑∫∑ ∞ λ− = = − ∞ λ− = ∞ = − λλρλα⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ν + ν + ν−ν+ νν− ν − −λλρλα ν −δ=λλρλ νν−ν+ νν− ν 0 0 2 1 2 1 312 21 0 01 2 10 01 2 1 312 21 .)()(111 1 1 )()()()( 1 1 dJek k k dJe k dJD k k r h j r rj r j j j j h j j j j jj j j j r j С учетом ( ) ( )( ) ( )( )( ) ϑ= ν−ν++ − = νν−ν+ νν− ν∑ = − 2 1 1221 12 312 21 111 1 j jj j j j kk kk k k , получим ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 46 ( ) ( )( ) ( ) ).()()(111 1 1 )()(1)()( 0 0 2 1 2 1 312 21 0 01 2 10 01 ρ≡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ λλρλα⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ν + ν + ν−ν+ νν− ν − ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λλρλα ν −δ ϑ =λλρλ ∫∑ ∑ ∫∑∫ ∞ λ− = = − ∞ λ− = ∞ EdJek k k dJe k dJD r h j r rj r j j j j h j j j r j В результате парная система (9)–(10) имеет вид ).(,0)()( ;)0(,)()()( 0 01 0 01 adJD aEdJD >ρ=λλρλλ <ρ≤ρ=λλρλ ∫ ∫ ∞ ∞ Будем искать ее решение [9] в следующем виде: ∫ λϕ=λ a dtttD 0 1 cos)()( , где ϕ(t) – новая неизвестная функция. Из второго уравнения следует, что ⎩ ⎨ ⎧ <ρρ− >ρ =λλλρ =λ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λϕ′−λϕλρ=λλϕλρλ=λλλρλ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∞ ∞∞∞ ;,1 ,,0 sin)( ,0sin)(sin)()(cos)()()()( 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 tt t dtJ dtdttaaJdtdttJdJD aa т. е. второе уравнение автоматически удовлетворяется. Из первого уравнения, используя формулу ⎩ ⎨ ⎧ >ρ−ρ <ρ =λλλρ∫ ∞ ;,1 ,,0 cos)( 22 0 0 tt t dtJ получаем интегральное уравнение типа Абеля ∫ ρ ρ= −ρ ϕ 0 22 )()( Edt t t , которое имеет точное решение ∫ ρ ρ− ρρ π =ϕ t d t E dt dt 0 22 )(2)( . Правую часть последней формулы можно вычислить при помощи формулы ∫ ρ −ρ λ π =λρ 0 220 cos2)( td t tJ . Получаем ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ;cos)(111 1 1 cos)(112)( 2 1 0 2 1 312 21 0 2 112 1221 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λλλα⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ν + ν + ν−ν+ νν− ν − ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λλλα ν −δ − ν−ν++ π =ϕ ∑ ∫∑ ∫∑ = ∞ λ− = − ∞ λ− = j r h r rj r j j j j j h j j j dtek k k dte k kk kkt r j (12) ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 47 ∑ ∫∫ = ∞ λ − −− −− + ∞ λ λ β Δ β χ−==λα 2 1 0 2 1 0,31 3,3 0 )92( ,,0 2 2 1)( )( )1()()( p a t p jp jp jp jtjj dtet tK dtgtB j ; (13) ( ) ( )( ) ] ( ) .)(111 cos)(1 1 1)()1()( 0 2 2 1 3 0 0 2 3 2 1 12 21 02 1 2 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ λ λ λα⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ν + ν ++ +λλ λ ϕ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ν × × ν−ν+ νν− βχ−=β ∫∑ ∫ ∫ ∑ ∞ λ − λ− = − ∞ λ − λ− − = − + de a tek dudue a teu k tIt jr jj a t j r h r rj r a a t j h j j j j jsjs s s (14) Получена система (12)–(14) интегральных уравнений Фредгольма второго рода от- носительно функций ϕ(t), αj(λ), βs(λ). Напряжения при z ∈ (–h, c2] можно вычислять по формуле ( ) λλ−λβλ+=σ ∑ ∫ = ∞ λ−λ deAekC j z j z jjz jj 2 1 0 44 )()()1( , а при z = h, ρ ∈ (0, a): ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ρ− ϕ′ − ρ− ϕ =σ ∫ ρ a z dt t t a aC 222244 )()( . Расчеты проводились для случая, когда трансверсально изотропным материалом вы- бран песчаник. Анализ НДС проведен при различных соотношениях геометрических пара- метров, где L – расстояние между граничными поверхностями; а – радиус штампа, С – точка пересечения параболоида с осью OZ. При постоянном значении c2 чем больше С, тем мень- ше кривизна параболоида (т. е. при С = 0,5 – он более сжатый, а при С = 5 – более растянут по ширине). На рис. 2–4 приведены графики напряжений для σ = σz/σ0 между граничными поверхностями в плоскостях, параллельных границе полупространства. Между вершиной параболоида и граничной плоскостью рассмотрены 5 плоскостей, расположенных на одина- ковом расстоянии друг от друга. На рисунках линия (1) соответствует напряжениям в плос- кости, проходящей через вершину параболоида, а (5) – в плоскости, наиболее близкой к гра- нице полупространства. Рис. 2. Динамика напряжений при разных размерах радиуса штампа (а) при постоянных С = 1 и L = 5 ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 48 Литература 1. Мехтиев М. Ф. Асимптотическое поведение решения осесимметричной задачи теории упругости для трансверсально-изотропного полого конуса / М. Ф. Мехтиев, Н. А. Сардарова, Н. И. Фомина // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2003. – № 2. – С. 61–70. 2. Ding H. J. Analytical thermoelastodynamic solutions for a nonhomogeneous transversely isotropic hol- low sphere/ H. J. Ding, H. M. Wang, W. W. Chen // Appl. Mechanics. – 2002. – Rel. 72, № 8. – P. 545– 553. 3. Подильчук Ю. Н. Точные аналитические решения электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально изотропного тела в криволинейных системах координат / Ю. Н. Подильчук // Прикл. механика. – 2003. – Вып. 39, № 2. – С. 14–54. 4. Подильчук Ю. Н. Упругая деформация трансверсально-изотропного параболоида вращения / Ю. Н. Подильчук // Прикл. механика. – 1989. – Вып. 25, № 2. – С. 12–19. 5. Николаев А. Г. Круговая трещина в трансверсально изотропном сфероиде под действием нор- мальной нагрузки / А. Г. Николаев, Ю. А. Щербакова // Теорет. и прикл. механика. – 2003. – Вып. 38. – С. 9–14. 6. Ніколаєв О. Г Аналіз напружено-деформівного стану трансверсально ізотропного сфероїда зі сфе- роїдальною порожниною / О. Г. Ніколаєв, Ю. А. Щербакова // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. Прикл. ма- тематика та інформатика, 2007. – Вип. 12. – С. 141–147. 7. Николаев А. Г. Действие сосредоточенной силы на трансверсально изотропное полупространство с параболоидальным включением / А. Г. Николаев, Ю. А. Щербакова., А. И. Юхно // Вопросы прое- ктирования и производства конструкций летательных аппаратов. Сб.науч. тр. Нац. аэрокосмич. ун- та им. Н. Е. Жуковского «ХАИ». Вып. 2 (45). Харьков: НАКУ, 2006. – С. 47–51. 8. Николаев А. Г. Теоремы сложения перемещений трансверсально изотропных канонических тел / А. Г. Николаев // Рук. деп. в ГНТБ Украины 10.07.96, №1568 – Ук 96. – 52 с. 9. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в теории упругости / Я. С. Уфлянд // М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1963. – 367 с. Поступила в редакцию 22.04.09 Рис. 3. Динамика напряжений при увеличении расстояния между граничными поверхностями (L) при постоянных а = 1 и С = 1 Рис. 4. Динамика напряжений при изменении формы параболоидального основания (С) при постоянных а = 1 и L = 5

Анализ напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного полупространства под действием кругового штампа

Репозитарії

Схожі ресурси