Динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися

В статті викладені результати теоретичного дослідження розгінної течії нестисливої рідини з раптовим початком обертання мікроціліндра. Задача вирішувалася за допомогою двох аналітичних підходів – методу Фур’є і аналізу симетрії. В ході аналітичного рішення отримано вирази для обчислення профілю швид...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автори:	Авраменко, А.О., Тирінов, А.І., Дмитренко, Н.П., Кравчук, О.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут технічної теплофізики НАН України 2016
Назва видання:	Промышленная теплотехника
Теми:	Тепло- и массообменные процессы
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/142312
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися / А.О. Авраменко, А.І. Тирінов, Н.П. Дмитренко, О.В. Кравчук // Промышленная теплотехника. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 14-20. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-142312
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1423122018-10-05T01:22:46Z Динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися Авраменко, А.О. Тирінов, А.І. Дмитренко, Н.П. Кравчук, О.В. Тепло- и массообменные процессы В статті викладені результати теоретичного дослідження розгінної течії нестисливої рідини з раптовим початком обертання мікроціліндра. Задача вирішувалася за допомогою двох аналітичних підходів – методу Фур’є і аналізу симетрії. В ході аналітичного рішення отримано вирази для обчислення профілю швидкості, коефіцієнта тертя та крутного моменту. В статье изложены результаты теоретического исследования разгонного течения несжимаемой жидкости с внезапным началом вращения микроцилиндра. Задача решалась с помощью двух аналитических подходов – метода Фурье и анализа симметрии. В ходе аналитического решения получены выражения для вычисления профиля скорости, коэффициента трения и крутящего момента. The article presents the results of theoretical research accelerating flow of an incompressible fluid with a sudden onset microcylinder rotation. The problem was solved with the help of two analytical approaches – Fourier analysis method and symmetry. In the course of the analytical solutions the expressions for the calculation of the velocity profile, the coefficient of friction and torque are obtained. 2016 Article Динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися / А.О. Авраменко, А.І. Тирінов, Н.П. Дмитренко, О.В. Кравчук // Промышленная теплотехника. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 14-20. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 0204-3602 DOI https://doi.org/10.31472/ihe.6.2016.02 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/142312 532.536 uk Промышленная теплотехника Інститут технічної теплофізики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Тепло- и массообменные процессы Тепло- и массообменные процессы
spellingShingle	Тепло- и массообменные процессы Тепло- и массообменные процессы Авраменко, А.О. Тирінов, А.І. Дмитренко, Н.П. Кравчук, О.В. Динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися Промышленная теплотехника
description	В статті викладені результати теоретичного дослідження розгінної течії нестисливої рідини з раптовим початком обертання мікроціліндра. Задача вирішувалася за допомогою двох аналітичних підходів – методу Фур’є і аналізу симетрії. В ході аналітичного рішення отримано вирази для обчислення профілю швидкості, коефіцієнта тертя та крутного моменту.
format	Article
author	Авраменко, А.О. Тирінов, А.І. Дмитренко, Н.П. Кравчук, О.В.
author_facet	Авраменко, А.О. Тирінов, А.І. Дмитренко, Н.П. Кравчук, О.В.
author_sort	Авраменко, А.О.
title	Динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися
title_short	Динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися
title_full	Динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися
title_fullStr	Динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися
title_full_unstemmed	Динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися
title_sort	динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися
publisher	Інститут технічної теплофізики НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Тепло- и массообменные процессы
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/142312
citation_txt	Динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися / А.О. Авраменко, А.І. Тирінов, Н.П. Дмитренко, О.В. Кравчук // Промышленная теплотехника. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 14-20. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
series	Промышленная теплотехника
work_keys_str_mv	AT avramenkoao dinamíkarozgínnoítečíívmíkrocilíndríŝopočinaêraptovoobertatisâ AT tirínovaí dinamíkarozgínnoítečíívmíkrocilíndríŝopočinaêraptovoobertatisâ AT dmitrenkonp dinamíkarozgínnoítečíívmíkrocilíndríŝopočinaêraptovoobertatisâ AT kravčukov dinamíkarozgínnoítečíívmíkrocilíndríŝopočinaêraptovoobertatisâ
first_indexed	2025-07-10T14:44:32Z
last_indexed	2025-07-10T14:44:32Z
_version_	1837271532929286144
fulltext	ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2016, т. 38, №614 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ УДК 532.536 ДИНАМІКА РОЗГІННОЇ ТЕЧІЇ В МІКРОЦИЛІНДРІ, ЩО ПОЧИНАЄ РАПТОВО ОБЕРТАТИСЯ Авраменко А.О., чл.-кор. НАН України, Тирінов А.І., канд. техн. наук, Дмитренко Н.П., канд. техн. наук, Кравчук О.В. Інститут технічної теплофізики НАН України, вул. Желябова 2а, м. Київ, 03068, Україна В статті викладені результати теоретичного дослідження розгінної течії нестисливої рідини з раптовим початком обертання мікроціліндра. Задача вирішувалася за допомогою двох аналітичних підходів – мето- ду Фур’є і аналізу симетрії. В ході аналітичного рішення отримано вирази для обчислення профілю швидкості, коефіцієнта тертя та крутного моменту. The article presents the results of theoretical research accelerating flow of an incompressible fluid with a sudden onset microcylinder rotation. The problem was solved with the help of two analytical approaches – Fourier analysis method and symmetry. In the course of the analytical solutions the expressions for the calculation of the velocity profile, the coefficient of friction and torque are obtained. В статье изложены результа- ты теоретического исследования разгонного течения несжимаемой жидкости с внезапным началом вращения микроцилиндра. Задача решалась с помощью двух аналити- ческих подходов – метода Фурье и анализа симметрии. В ходе анали- тического решения получены вы- ражения для вычисления профиля скорости, коэффициента трения и крутящего момента. Бібл. 12, рис. 1. Ключові слова: гідродинаміка, розгінний потік мікроциліндр, коефіцієнт тертя, профіль швидкості. Введення Науковий і практичний інтерес до мікроканальних потоків постійно зростає в останні десятиліття в зв’язку з розвитком різних мікропристроїв та мікроелектромеханічних си- стем. В мікропристроях, вимірювання та моде- лювання величин проходить в мікромасштабах з характерною довжиною в діапазоні мікрометрів. Ефекти розрідження мікропотоків характери- зуються числом Кнудсена (Kn). Для Kn ≤ 10–3 потік все ще можна змоделювати за допомогою рівнянь Нав'є-Стокса, які замикаються умовами прилипання. При 10–3 ≤ Kn ≤ 10–1 виникає так зва- ний режим потоку з проковзуванням [1]. Ці межі іще не чітко визначені до сих пір. Режим пере- ходу потоку виникає при 10–1 ≤ Kn ≤ 10, де при- пущення континуума не діє і застосування такого методу моделювання як Монте-Карло чи рівнянь Барнета [2] є можливим. В даний час цілий ряд методів було розро- блено, для моделювання мікро- та нанопотоків, що включають різні довжини і час. Вони можуть бути розділені на наступні групи. Для мікромасштабного діапазону близько 10 нм і 1 нс, використовуються методи молекулярної динаміки, які беруть до уваги тільки консервативний потенціал міжмо- лекулярного зв'язку і невалентні сили [3, 4]. В мезомасштабному діапазоні приблизно від 10 нм до 1 нм і від 1 нс до 10 мс, використовують метод динаміки дисипативних частинок, який включає в себе не тільки сили відштовхування, а і дисипативні і стохастичні взаємодії. Метод ґраток Больцмана, який оснований на решітчастому рівнянні Больцмана [5,6] також може бути вико- ристаних тут. A, a, b – константи; L – довжина вільного пробігу молекули; r~ – радіальна координата; t~ – час; ũ– колова швидкість α – коефіцієнт в’язкого ковзання; μ – динамічний коефіцієнт в’язкості; ν – коефіцієнт кінематичної в’язкості; ρ – густина. ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2016, т. 38, №6 15 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ Розгінну течію в трубі, де перепад тиску не залежить від часу, було досліджено спочатку для початкової нерухомої рідині. Перше точ- не рішення цієї задачі було отримано в [7] при розгінній течії в круглій трубі. Розгінний потік в кільцевому каналі був вивчений в [8]. Зворотне явище, а саме, зупинка потоку в трубі з падінням тиску, що раптово зникає було розглянуто в [9]. Розгінний потік в круглій трубі і між паралель- ними пластинам, простір між якими заповнений пористим середовищем, яке рівномірно насичене рідиною було досліджено в [10]. В даній роботі розглянуто розгінну течію в мікроциліндрі, який починає раптово обертатися з постійною швидкістю. Розглянута нестислива рідина. Було застосовано два методи – метод ме- тоду Фур'є та метод симетрії (групи Лі). Математична модель У момент часу 0~ =t швидкість внутрішнього циліндру збільшується миттєво від нуля до 0 ~u . Рух такого потоку описується наступним рівнянням                22 2 ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ r u r u rr u t u . (2) 0~ u для всіх r~ при 0~ t (3) 0~ u при 0~ r ; r uLuu ~ ~~~ 0    для 0 ~~ rr  при 0~ t . (4) 0 ~ ~ r rr  , 0 ~ ~ u uu  , 2 0 ~ ~ r tt   . (5) 22 2 1 r u r u rr u t u          , (6) 0u для 0r r uu    Kn1 для 1r при 0t , (8) 0 ~Kn r L (9) 01 22 2       r u r u rr u , (10) (2) Граничні та початкові умови мають наступний вигляд:                22 2 ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ r u r u rr u t u . (2) 0~ u для всіх r~ при 0~ t (3) 0~ u при 0~ r ; r uLuu ~ ~~~ 0    для 0 ~~ rr  при 0~ t . (4) 0 ~ ~ r rr  , 0 ~ ~ u uu  , 2 0 ~ ~ r tt   . (5) 22 2 1 r u r u rr u t u          , (6) 0u для 0r r uu    Kn1 для 1r при 0t , (8) 0 ~Kn r L (9) 01 22 2       r u r u rr u , (10) (3)                22 2 ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ r u r u rr u t u . (2) 0~ u для всіх r~ при 0~ t (3) 0~ u при 0~ r ; r uLuu ~ ~~~ 0    для 0 ~~ rr  при 0~ t . (4) 0 ~ ~ r rr  , 0 ~ ~ u uu  , 2 0 ~ ~ r tt   . (5) 22 2 1 r u r u rr u t u          , (6) 0u для 0r r uu    Kn1 для 1r при 0t , (8) 0 ~Kn r L (9) 01 22 2       r u r u rr u , (10) (4) Для подальших розрахунків зручно скориста- тися наступними безрозмірними величинами:                22 2 ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ r u r u rr u t u . (2) 0~ u для всіх r~ при 0~ t (3) 0~ u при 0~ r ; r uLuu ~ ~~~ 0    для 0 ~~ rr  при 0~ t . (4) 0 ~ ~ r rr  , 0 ~ ~ u uu  , 2 0 ~ ~ r tt   . (5) 22 2 1 r u r u rr u t u          , (6) 0u для 0r r uu    Kn1 для 1r при 0t , (8) 0 ~Kn r L (9) 01 22 2       r u r u rr u , (10) (5) Враховуючи безрозмірні величини (5) та умови (3) і (4) рівняння (2) прийме наступну форму:                22 2 ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ r u r u rr u t u . (2) 0~ u для всіх r~ при 0~ t (3) 0~ u при 0~ r ; r uLuu ~ ~~~ 0    для 0 ~~ rr  при 0~ t . (4) 0 ~ ~ r rr  , 0 ~ ~ u uu  , 2 0 ~ ~ r tt   . (5) 22 2 1 r u r u rr u t u          , (6) 0u для 0r r uu    Kn1 для 1r при 0t , (8) 0 ~Kn r L (9) 01 22 2       r u r u rr u , (10) (6) u = 0 для всіх r при t ≤ 0 (7)                22 2 ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ r u r u rr u t u . (2) 0~ u для всіх r~ при 0~ t (3) 0~ u при 0~ r ; r uLuu ~ ~~~ 0    для 0 ~~ rr  при 0~ t . (4) 0 ~ ~ r rr  , 0 ~ ~ u uu  , 2 0 ~ ~ r tt   . (5) 22 2 1 r u r u rr u t u          , (6) 0u для 0r r uu    Kn1 для 1r при 0t , (8) 0 ~Kn r L (9) 01 22 2       r u r u rr u , (10) (8) де                22 2 ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ r u r u rr u t u . (2) 0~ u для всіх r~ при 0~ t (3) 0~ u при 0~ r ; r uLuu ~ ~~~ 0    для 0 ~~ rr  при 0~ t . (4) 0 ~ ~ r rr  , 0 ~ ~ u uu  , 2 0 ~ ~ r tt   . (5) 22 2 1 r u r u rr u t u          , (6) 0u для 0r r uu    Kn1 для 1r при 0t , (8) 0 ~Kn r L (9) 01 22 2       r u r u rr u , (10) (9) – число Кнудсена. Для стаціонарної течії рівняння (6) – (8) трансформуються в                22 2 ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ r u r u rr u t u . (2) 0~ u для всіх r~ при 0~ t (3) 0~ u при 0~ r ; r uLuu ~ ~~~ 0    для 0 ~~ rr  при 0~ t . (4) 0 ~ ~ r rr  , 0 ~ ~ u uu  , 2 0 ~ ~ r tt   . (5) 22 2 1 r u r u rr u t u          , (6) 0u для 0r r uu    Kn1 для 1r при 0t , (8) 0 ~Kn r L (9) 01 22 2       r u r u rr u , (10) (10) u = 0 при r = 0 (11) r uu    Kn1 при 1r (12) Kn1  ru . (13)          1 , n nn tTrRArrtu . (15) Kn1 1  A . (16) 011 1 2               n nnnnnn RTR r R r RT . (17) 22 11 n n n n nnn z T T R R r R r R     . (18)   0]1[ 22  nnnn RrzRrRr . (19) (12) Рішення рівняння (10) з граничними умовами (11) та (12) має просту форму r uu    Kn1 при 1r (12) Kn1  ru . (13)          1 , n nn tTrRArrtu . (15) Kn1 1  A . (16) 011 1 2               n nnnnnn RTR r R r RT . (17) 22 11 n n n n nnn z T T R R r R r R     . (18)   0]1[ 22  nnnn RrzRrRr . (19) (13) Для випадку течії без проковзування (Kn = 0) рівняння (13) буде мати класичний вигляд [11] u = r. (14) Метод Фур'є Враховуючи умову (8), будемо шукати рішення у наступному вигляді r uu    Kn1 при 1r (12) Kn1  ru . (13)          1 , n nn tTrRArrtu . (15) Kn1 1  A . (16) 011 1 2               n nnnnnn RTR r R r RT . (17) 22 11 n n n n nnn z T T R R r R r R     . (18)   0]1[ 22  nnnn RrzRrRr . (19) (15) З урахуванням цієї умови, маємо r uu    Kn1 при 1r (12) Kn1  ru . (13)          1 , n nn tTrRArrtu . (15) Kn1 1  A . (16) 011 1 2               n nnnnnn RTR r R r RT . (17) 22 11 n n n n nnn z T T R R r R r R     . (18)   0]1[ 22  nnnn RrzRrRr . (19) (16) Підстановка (15) в (6) дає r uu    Kn1 при 1r (12) Kn1  ru . (13)          1 , n nn tTrRArrtu . (15) Kn1 1  A . (16) 011 1 2               n nnnnnn RTR r R r RT . (17) 22 11 n n n n nnn z T T R R r R r R     . (18)   0]1[ 22  nnnn RrzRrRr . (19) (17) Розділяючи змінні, отримуємо r uu    Kn1 при 1r (12) Kn1  ru . (13)          1 , n nn tTrRArrtu . (15) Kn1 1  A . (16) 011 1 2               n nnnnnn RTR r R r RT . (17) 22 11 n n n n nnn z T T R R r R r R     . (18)   0]1[ 22  nnnn RrzRrRr . (19) (18) Звідси маємо r uu    Kn1 при 1r (12) Kn1  ru . (13)          1 , n nn tTrRArrtu . (15) Kn1 1  A . (16) 011 1 2               n nnnnnn RTR r R r RT . (17) 22 11 n n n n nnn z T T R R r R r R     . (18)   0]1[ 22  nnnn RrzRrRr . (19) (19) Рішенням цього рівняння, з урахуванням гранич- них умов, є Rn = J1(znr), (20) де J1 – функції Бесселя першого роду першого порядку, zn – корені трансцендентного рівняння   0Kn 1  rnn RR . (21) 02  nnn TzT . (22) tz nn necT 2 . (23)    1 0 2 1 0 rdrR rdrrR Ac n n n . (24)              tz zJzzJz rzJrrtu n n nnnn n 2 1 1 2 0 1 exp KnKn1Kn21 2 Kn1 ,         , (25)        tz zJz rzJrrtu n n nn n 2 1 0 1 exp2,     , (26)   01 nzJ (n= 1, 2, …). (27) urt q          21 , (28) rr rr r r t t uuu qqpr         )2( , (30) (21) Із (17) також маємо   0Kn 1  rnn RR . (21) 02  nnn TzT . (22) tz nn necT 2 . (23)    1 0 2 1 0 rdrR rdrrR Ac n n n . (24)              tz zJzzJz rzJrrtu n n nnnn n 2 1 1 2 0 1 exp KnKn1Kn21 2 Kn1 ,         , (25)        tz zJz rzJrrtu n n nn n 2 1 0 1 exp2,     , (26)   01 nzJ (n= 1, 2, …). (27) urt q          21 , (28) rr rr r r t t uuu qqpr         )2( , (30) (22) Звідки   0Kn 1  rnn RR . (21) 02  nnn TzT . (22) tz nn necT 2 . (23)    1 0 2 1 0 rdrR rdrrR Ac n n n . (24)              tz zJzzJz rzJrrtu n n nnnn n 2 1 1 2 0 1 exp KnKn1Kn21 2 Kn1 ,         , (25)        tz zJz rzJrrtu n n nn n 2 1 0 1 exp2,     , (26)   01 nzJ (n= 1, 2, …). (27) urt q          21 , (28) rr rr r r t t uuu qqpr         )2( , (30) (23)                22 2 ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ r u r u rr u t u . (2) 0~ u для всіх r~ при 0~ t (3) 0~ u при 0~ r ; r uLuu ~ ~~~ 0    для 0 ~~ rr  при 0~ t . (4) 0 ~ ~ r rr  , 0 ~ ~ u uu  , 2 0 ~ ~ r tt   . (5) 22 2 1 r u r u rr u t u          , (6) 0u для 0r r uu    Kn1 для 1r при 0t , (8) 0 ~Kn r L (9) 01 22 2       r u r u rr u , (10)                22 2 ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ r u r u rr u t u . (2) 0~ u для всіх r~ при 0~ t (3) 0~ u при 0~ r ; r uLuu ~ ~~~ 0    для 0 ~~ rr  при 0~ t . (4) 0 ~ ~ r rr  , 0 ~ ~ u uu  , 2 0 ~ ~ r tt   . (5) 22 2 1 r u r u rr u t u          , (6) 0u для 0r r uu    Kn1 для 1r при 0t , (8) 0 ~Kn r L (9) 01 22 2       r u r u rr u , (10) ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2016, т. 38, №616 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ Враховуючи початкову умову t = 0 та властивості ортогональності знаходимо   0Kn 1  rnn RR . (21) 02  nnn TzT . (22) tz nn necT 2 . (23)    1 0 2 1 0 rdrR rdrrR Ac n n n . (24)              tz zJzzJz rzJrrtu n n nnnn n 2 1 1 2 0 1 exp KnKn1Kn21 2 Kn1 ,         , (25)        tz zJz rzJrrtu n n nn n 2 1 0 1 exp2,     , (26)   01 nzJ (n= 1, 2, …). (27) urt q          21 , (28) rr rr r r t t uuu qqpr         )2( , (30) (24) Тоді кінцевий вираз для швидкості має наступну форму   0Kn 1  rnn RR . (21) 02  nnn TzT . (22) tz nn necT 2 . (23)    1 0 2 1 0 rdrR rdrrR Ac n n n . (24)              tz zJzzJz rzJrrtu n n nnnn n 2 1 1 2 0 1 exp KnKn1Kn21 2 Kn1 ,         , (25)        tz zJz rzJrrtu n n nn n 2 1 0 1 exp2,     , (26)   01 nzJ (n= 1, 2, …). (27) urt q          21 , (28) rr rr r r t t uuu qqpr         )2( , (30) (25) де J0 – функції Бесселя першого роду нульового порядку. При Kn → 0 вираз (25) трансформується до   0Kn 1  rnn RR . (21) 02  nnn TzT . (22) tz nn necT 2 . (23)    1 0 2 1 0 rdrR rdrrR Ac n n n . (24)              tz zJzzJz rzJrrtu n n nnnn n 2 1 1 2 0 1 exp KnKn1Kn21 2 Kn1 ,         , (25)        tz zJz rzJrrtu n n nn n 2 1 0 1 exp2,     , (26)   01 nzJ (n= 1, 2, …). (27) urt q          21 , (28) rr rr r r t t uuu qqpr         )2( , (30) (26) де   0Kn 1  rnn RR . (21) 02  nnn TzT . (22) tz nn necT 2 . (23)    1 0 2 1 0 rdrR rdrrR Ac n n n . (24)              tz zJzzJz rzJrrtu n n nnnn n 2 1 1 2 0 1 exp KnKn1Kn21 2 Kn1 ,         , (25)        tz zJz rzJrrtu n n nn n 2 1 0 1 exp2,     , (26)   01 nzJ (n= 1, 2, …). (27) urt q          21 , (28) rr rr r r t t uuu qqpr         )2( , (30) (27) Симетричне рішення Для автомодельних перетворень рівняння (6) необхідно знайти симетрії (групи Лі) цього рівняння. Симетрії рівняння (6) можна описати за допомогою інфінітезимального генератора [12]   0Kn 1  rnn RR . (21) 02  nnn TzT . (22) tz nn necT 2 . (23)    1 0 2 1 0 rdrR rdrrR Ac n n n . (24)              tz zJzzJz rzJrrtu n n nnnn n 2 1 1 2 0 1 exp KnKn1Kn21 2 Kn1 ,         , (25)        tz zJz rzJrrtu n n nn n 2 1 0 1 exp2,     , (26)   01 nzJ (n= 1, 2, …). (27) urt q          21 , (28) rr rr r r t t uuu qqpr         )2( , (30) (28) де ξ1, ξ2, ϕ – невідомі коефіцієнти. Ці коефіцієнти знаходяться із наступної умови pr(2)q(Δ) = 0, (29) де pr(2)q(Δ) – друга пролонгація інфініте- зимального генератора (28), оператор Δ означає часткове диференціювання рівняння (6). Друга пролонгація інфінітезимального гене- ратора (28) побудована у відповідності з наступ- ним виразом   0Kn 1  rnn RR . (21) 02  nnn TzT . (22) tz nn necT 2 . (23)    1 0 2 1 0 rdrR rdrrR Ac n n n . (24)              tz zJzzJz rzJrrtu n n nnnn n 2 1 1 2 0 1 exp KnKn1Kn21 2 Kn1 ,         , (25)        tz zJz rzJrrtu n n nn n 2 1 0 1 exp2,     , (26)   01 nzJ (n= 1, 2, …). (27) urt q          21 , (28) rr rr r r t t uuu qqpr         )2( , (30) (30) де індекси функції u являють собою часткові похідні по відповідним змінним. Коефіцієнти ϕt, ϕr, ϕrr є функціями ξ1, ξ2, ϕ та u їхніми похідними по t та r. Застосування оператора pr(2)q до рівняння (6) дає вираз, який вміщає одночлени з різними   0Kn 1  rnn RR . (21) 02  nnn TzT . (22) tz nn necT 2 . (23)    1 0 2 1 0 rdrR rdrrR Ac n n n . (24)              tz zJzzJz rzJrrtu n n nnnn n 2 1 1 2 0 1 exp KnKn1Kn21 2 Kn1 ,         , (25)        tz zJz rzJrrtu n n nn n 2 1 0 1 exp2,     , (26)   01 nzJ (n= 1, 2, …). (27) urt q          21 , (28) rr rr r r t t uuu qqpr         )2( , (30) комбінаціями функції u. В результаті ці члени приводять до системи диференціальних рівнянь відповідно до коефіцієнтів ξ1, ξ2, ϕ. Розв’язок цієї системи дає шість симетрій (перетворень Лі). Ці алгебри Лі є t q   1 , (31) u uq   2 , (32) r r t tq       23 , (33)   u rtu r tr t tq          22 4 444 , (34)     u arJtaq    1 2 5 exp , (35)     u brYtbq    1 2 6 exp , (36)                r r t tC u uCq 2323,2 , (37) 02       r r t t . (38) t r   . (39) 02 23       u FuC t FtC . (40) (31) (32) (33) (34) (35) (36) де Υ1 – функція Бесселя другого роду першого по- рядку. Використовуючи перетворення Лі, можна понизити кількість змінних і автомодельні фор- ми рівняння (6). Для цього зручно використати комбінацію масштабованих трансформацій t q   1 , (31) u uq   2 , (32) r r t tq       23 , (33)   u rtu r tr t tq          22 4 444 , (34)     u arJtaq    1 2 5 exp , (35)     u brYtbq    1 2 6 exp , (36)                r r t tC u uCq 2323,2 , (37) 02       r r t t . (38) t r   . (39) 02 23       u FuC t FtC . (40) (37) де С2 і С3 – константи. Автомодельні змінні можна знайти за допо- могою перетворення q3, яке генерує наступне рівняння t q   1 , (31) u uq   2 , (32) r r t tq       23 , (33)   u rtu r tr t tq          22 4 444 , (34)     u arJtaq    1 2 5 exp , (35)     u brYtbq    1 2 6 exp , (36)                r r t tC u uCq 2323,2 , (37) 02       r r t t . (38) t r   . (39) 02 23       u FuC t FtC . (40) (38) Розв’язком рівняння (38) є (39) Щоб отримати автомодельну форму невідомої функції потрібно вибрати параметричну змінну. Зазвичай вона обирається такою, похідна по якій має найменший порядок. Тобто із (38) отримуємо t q   1 , (31) u uq   2 , (32) r r t tq       23 , (33)   u rtu r tr t tq          22 4 444 , (34)     u arJtaq    1 2 5 exp , (35)     u brYtbq    1 2 6 exp , (36)                r r t tC u uCq 2323,2 , (37) 02       r r t t . (38) t r   . (39) 02 23       u FuC t FtC . (40) (40) Розв’язком (40) буде  3 2 2C C tu . (41)   gtu , (42) 011 2 22 2                       g d d d d . (43)    d d tt g Kn1 для t 1  . (45)    , (46)   4 2  . (47)   0 2 122 2              g d d d d . (48)              ,2, 2 1,2, 2 1 2111 gMCgFC , (49)                            t gFg t gFt gFt g 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 1111 2 11 2 3 , (50) (41) t q   1 , (31) u uq   2 , (32) r r t tq       23 , (33)   u rtu r tr t tq          22 4 444 , (34)     u arJtaq    1 2 5 exp , (35)     u brYtbq    1 2 6 exp , (36)                r r t tC u uCq 2323,2 , (37) 02       r r t t . (38) t r   . (39) 02 23       u FuC t FtC . (40) ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2016, т. 38, №6 17 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ C2 та C3 – довільні константи. Далі наведемо ав- томодельну форму невідомої функції в такому вигляді  3 2 2C C tu . (41)   gtu , (42) 011 2 22 2                       g d d d d . (43)    d d tt g Kn1 для t 1  . (45)    , (46)   4 2  . (47)   0 2 122 2              g d d d d . (48)              ,2, 2 1,2, 2 1 2111 gMCgFC , (49)                            t gFg t gFt gFt g 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 1111 2 11 2 3 , (50) (42) де g – довільний коефіцієнт. Підставивши (42) в (6) маємо  3 2 2C C tu . (41)   gtu , (42) 011 2 22 2                       g d d d d . (43)    d d tt g Kn1 для t 1  . (45)    , (46)   4 2  . (47)   0 2 122 2              g d d d d . (48)              ,2, 2 1,2, 2 1 2111 gMCgFC , (49)                            t gFg t gFt gFt g 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 1111 2 11 2 3 , (50) (43) Умови (7) та (8) трансформуються в Ф = 0 для η = 0, (44)  3 2 2C C tu . (41)   gtu , (42) 011 2 22 2                       g d d d d . (43)    d d tt g Kn1 для t 1  . (45)    , (46)   4 2  . (47)   0 2 122 2              g d d d d . (48)              ,2, 2 1,2, 2 1 2111 gMCgFC , (49)                            t gFg t gFt gFt g 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 1111 2 11 2 3 , (50) для  3 2 2C C tu . (41)   gtu , (42) 011 2 22 2                       g d d d d . (43)    d d tt g Kn1 для t 1  . (45)    , (46)   4 2  . (47)   0 2 122 2              g d d d d . (48)              ,2, 2 1,2, 2 1 2111 gMCgFC , (49)                            t gFg t gFt gFt g 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 1111 2 11 2 3 , (50) (45) Для вирішення рівняння (43) перетворимо його до стандартної (класичної) форми. Для цьо- го необхідно включити наступну заміну  3 2 2C C tu . (41)   gtu , (42) 011 2 22 2                       g d d d d . (43)    d d tt g Kn1 для t 1  . (45)    , (46)   4 2  . (47)   0 2 122 2              g d d d d . (48)              ,2, 2 1,2, 2 1 2111 gMCgFC , (49)                            t gFg t gFt gFt g 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 1111 2 11 2 3 , (50) (46) де  3 2 2C C tu . (41)   gtu , (42) 011 2 22 2                       g d d d d . (43)    d d tt g Kn1 для t 1  . (45)    , (46)   4 2  . (47)   0 2 122 2              g d d d d . (48)              ,2, 2 1,2, 2 1 2111 gMCgFC , (49)                            t gFg t gFt gFt g 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 1111 2 11 2 3 , (50) (47) Використовуючи рівняння (46) і (47) можна трансформувати рівняння (43) до  3 2 2C C tu . (41)   gtu , (42) 011 2 22 2                       g d d d d . (43)    d d tt g Kn1 для t 1  . (45)    , (46)   4 2  . (47)   0 2 122 2              g d d d d . (48)              ,2, 2 1,2, 2 1 2111 gMCgFC , (49)                            t gFg t gFt gFt g 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 1111 2 11 2 3 , (50) (48) Рівняння (48) є класичним рівнянням Кумме- ра і рішенням цього рівняння є  3 2 2C C tu . (41)   gtu , (42) 011 2 22 2                       g d d d d . (43)    d d tt g Kn1 для t 1  . (45)    , (46)   4 2  . (47)   0 2 122 2              g d d d d . (48)              ,2, 2 1,2, 2 1 2111 gMCgFC , (49)                            t gFg t gFt gFt g 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 1111 2 11 2 3 , (50) (49) де C1 та C2 – константи інтегрування, 1F1 – функція Куммера (гіпергеометрична функція), M – другий лінійний незалежний розв’язок, який можна ви- разити через функцію Куммера. Підставляючи рівняння (49) в (46) і беручи до уваги (47) з використанням граничних умов (44) і (45), ми отримаємо  3 2 2C C tu . (41)   gtu , (42) 011 2 22 2                       g d d d d . (43)    d d tt g Kn1 для t 1  . (45)    , (46)   4 2  . (47)   0 2 122 2              g d d d d . (48)              ,2, 2 1,2, 2 1 2111 gMCgFC , (49)                            t gFg t gFt gFt g 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 1111 2 11 2 3 , (50) (50) Після підстановки (50) в (42) отримаємо розподіл швидкості в вигляді                            t gFg t gFt t rgFrt rtu 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 , 1111 2 11 . (51)                  t gF t rgFr rtu 4 1,2, 2 1 4 ,2, 2 1 , 11 2 11 . (52) 0 ~~ ~ ~ ~ ~ rr w r u r u            . (53) 1Re 4            r f r u r uc , (54) 2 0 ~ 2 u c w f    (55)    00 ~2~ Re ru (56)              tz zJzzJz zJzJc n n nnnn nnf 2 1 1 2 0 10 exp KnKn1Kn21 22 4 Re        . (57)                            t gFg t gFt t gFgc f 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 1,3, 2 312 4 Re 1111 11 . (58)              tz zJzzJz zJzJruL n n nnnn nn 2 1 1 2 0 10 00 exp KnKn1Kn21 2~~4        . (59)                            t gFg t gFt t gFgru L 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn12 4 1,3, 2 312~~ 1111 110 . (60) (60) Якщо ми врахуємо умову t → ∞, то (51) перетво- риться на (12). При Kn → 0 рівняння(51) скоротиться до                            t gFg t gFt t rgFrt rtu 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 , 1111 2 11 . (51)                  t gF t rgFr rtu 4 1,2, 2 1 4 ,2, 2 1 , 11 2 11 . (52) 0 ~~ ~ ~ ~ ~ rr w r u r u            . (53) 1Re 4            r f r u r uc , (54) 2 0 ~ 2 u c w f    (55)    00 ~2~ Re ru (56)              tz zJzzJz zJzJc n n nnnn nnf 2 1 1 2 0 10 exp KnKn1Kn21 22 4 Re        . (57)                            t gFg t gFt t gFgc f 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 1,3, 2 312 4 Re 1111 11 . (58)              tz zJzzJz zJzJruL n n nnnn nn 2 1 1 2 0 10 00 exp KnKn1Kn21 2~~4        . (59)                            t gFg t gFt t gFgru L 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn12 4 1,3, 2 312~~ 1111 110 . (60) (52) Результати дослідження На основі отриманих профілів швидкості можливо розрахувати динаміку поведінки по- верхневого тертя τw, використовуючи наступну формулу                            t gFg t gFt t rgFrt rtu 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 , 1111 2 11 . (51)                  t gF t rgFr rtu 4 1,2, 2 1 4 ,2, 2 1 , 11 2 11 . (52) 0 ~~ ~ ~ ~ ~ rr w r u r u            . (53) 1Re 4            r f r u r uc , (54) 2 0 ~ 2 u c w f    (55)    00 ~2~ Re ru (56)              tz zJzzJz zJzJc n n nnnn nnf 2 1 1 2 0 10 exp KnKn1Kn21 22 4 Re        . (57)                            t gFg t gFt t gFgc f 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 1,3, 2 312 4 Re 1111 11 . (58)              tz zJzzJz zJzJruL n n nnnn nn 2 1 1 2 0 10 00 exp KnKn1Kn21 2~~4        . (59)                            t gFg t gFt t gFgru L 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn12 4 1,3, 2 312~~ 1111 110 . (60) (53) Рівняння (53) перепишемо у вигляді                            t gFg t gFt t rgFrt rtu 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 , 1111 2 11 . (51)                  t gF t rgFr rtu 4 1,2, 2 1 4 ,2, 2 1 , 11 2 11 . (52) 0 ~~ ~ ~ ~ ~ rr w r u r u            . (53) 1Re 4            r f r u r uc , (54) 2 0 ~ 2 u c w f    (55)    00 ~2~ Re ru (56)              tz zJzzJz zJzJc n n nnnn nnf 2 1 1 2 0 10 exp KnKn1Kn21 22 4 Re        . (57)                            t gFg t gFt t gFgc f 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 1,3, 2 312 4 Re 1111 11 . (58)              tz zJzzJz zJzJruL n n nnnn nn 2 1 1 2 0 10 00 exp KnKn1Kn21 2~~4        . (59)                            t gFg t gFt t gFgru L 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn12 4 1,3, 2 312~~ 1111 110 . (60) (54) де                            t gFg t gFt t rgFrt rtu 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 , 1111 2 11 . (51)                  t gF t rgFr rtu 4 1,2, 2 1 4 ,2, 2 1 , 11 2 11 . (52) 0 ~~ ~ ~ ~ ~ rr w r u r u            . (53) 1Re 4            r f r u r uc , (54) 2 0 ~ 2 u c w f    (55)    00 ~2~ Re ru (56)              tz zJzzJz zJzJc n n nnnn nnf 2 1 1 2 0 10 exp KnKn1Kn21 22 4 Re        . (57)                            t gFg t gFt t gFgc f 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 1,3, 2 312 4 Re 1111 11 . (58)              tz zJzzJz zJzJruL n n nnnn nn 2 1 1 2 0 10 00 exp KnKn1Kn21 2~~4        . (59)                            t gFg t gFt t gFgru L 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn12 4 1,3, 2 312~~ 1111 110 . (60) (55) – коефіцієнт тертя.                            t gFg t gFt t rgFrt rtu 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 , 1111 2 11 . (51)                  t gF t rgFr rtu 4 1,2, 2 1 4 ,2, 2 1 , 11 2 11 . (52) 0 ~~ ~ ~ ~ ~ rr w r u r u            . (53) 1Re 4            r f r u r uc , (54) 2 0 ~ 2 u c w f    (55)    00 ~2~ Re ru (56)              tz zJzzJz zJzJc n n nnnn nnf 2 1 1 2 0 10 exp KnKn1Kn21 22 4 Re        . (57)                            t gFg t gFt t gFgc f 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 1,3, 2 312 4 Re 1111 11 . (58)              tz zJzzJz zJzJruL n n nnnn nn 2 1 1 2 0 10 00 exp KnKn1Kn21 2~~4        . (59)                            t gFg t gFt t gFgru L 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn12 4 1,3, 2 312~~ 1111 110 . (60) (56) – число Рейнольдса. Використовуючи (25) вираз (54) пере- трансформується в                            t gFg t gFt t rgFrt rtu 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 , 1111 2 11 . (51)                  t gF t rgFr rtu 4 1,2, 2 1 4 ,2, 2 1 , 11 2 11 . (52) 0 ~~ ~ ~ ~ ~ rr w r u r u            . (53) 1Re 4            r f r u r uc , (54) 2 0 ~ 2 u c w f    (55)    00 ~2~ Re ru (56)              tz zJzzJz zJzJc n n nnnn nnf 2 1 1 2 0 10 exp KnKn1Kn21 22 4 Re        . (57)                            t gFg t gFt t gFgc f 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 1,3, 2 312 4 Re 1111 11 . (58)              tz zJzzJz zJzJruL n n nnnn nn 2 1 1 2 0 10 00 exp KnKn1Kn21 2~~4        . (59)                            t gFg t gFt t gFgru L 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn12 4 1,3, 2 312~~ 1111 110 . (60) (57) Якщо ми застосуємо групи симетрії (46) то отримаємо (58) Розподіли коефіцієнта тертя в залежності від часу, отримані на основі виразів (57) та (58) на- ведено на рис. 1. Пунктирна лінія відповідає ре- зультатам отриманим на основі (57), а суцільні лінії відповідають виразу (58) для різних значень параметру g. В ході аналізу результатів розрахунку вияви- лося, що в початковий момент часу коефіцієнт тертя більший для потоку, що проковзує. Однак в процесі розвитку потоку значення коефіцієнта тертя для потоку, що проковзує, стає меншим в                            t gFg t gFt t rgFrt rtu 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 , 1111 2 11 . (51)                  t gF t rgFr rtu 4 1,2, 2 1 4 ,2, 2 1 , 11 2 11 . (52) 0 ~~ ~ ~ ~ ~ rr w r u r u            . (53) 1Re 4            r f r u r uc , (54) 2 0 ~ 2 u c w f    (55)    00 ~2~ Re ru (56)              tz zJzzJz zJzJc n n nnnn nnf 2 1 1 2 0 10 exp KnKn1Kn21 22 4 Re        . (57)                            t gFg t gFt t gFgc f 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 1,3, 2 312 4 Re 1111 11 . (58)              tz zJzzJz zJzJruL n n nnnn nn 2 1 1 2 0 10 00 exp KnKn1Kn21 2~~4        . (59)                            t gFg t gFt t gFgru L 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn12 4 1,3, 2 312~~ 1111 110 . (60) ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2016, т. 38, №618 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ порівнянні з потоком, що прилипає до стінки. Це можна пояснити зростанням скачка швидкості під час розвитку течії на твердій поверхні для по- току, що прилипає. g = 0,2 g = 1 g = 3 g = 5 g = 7 Рівняння (57) Рис. 1. Залежність коефіцієнта тертя від часу при Kn = 0,1. Якщо помножити коефіцієнт поверхневого тертя на радіус циліндра і довжину його кола, то отримаємо величину моменту, який повинен бути прикладений до циліндра, щоб підтримувати його обертання з постійною швидкістю. В нашо- му випадку цей крутний момент визначається із                            t gFg t gFt t rgFrt rtu 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 , 1111 2 11 . (51)                  t gF t rgFr rtu 4 1,2, 2 1 4 ,2, 2 1 , 11 2 11 . (52) 0 ~~ ~ ~ ~ ~ rr w r u r u            . (53) 1Re 4            r f r u r uc , (54) 2 0 ~ 2 u c w f    (55)    00 ~2~ Re ru (56)              tz zJzzJz zJzJc n n nnnn nnf 2 1 1 2 0 10 exp KnKn1Kn21 22 4 Re        . (57)                            t gFg t gFt t gFgc f 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 1,3, 2 312 4 Re 1111 11 . (58)              tz zJzzJz zJzJruL n n nnnn nn 2 1 1 2 0 10 00 exp KnKn1Kn21 2~~4        . (59)                            t gFg t gFt t gFgru L 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn12 4 1,3, 2 312~~ 1111 110 . (60) (59) Для задачі симетрії                            t gFg t gFt t rgFrt rtu 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 ,2, 2 18 , 1111 2 11 . (51)                  t gF t rgFr rtu 4 1,2, 2 1 4 ,2, 2 1 , 11 2 11 . (52) 0 ~~ ~ ~ ~ ~ rr w r u r u            . (53) 1Re 4            r f r u r uc , (54) 2 0 ~ 2 u c w f    (55)    00 ~2~ Re ru (56)              tz zJzzJz zJzJc n n nnnn nnf 2 1 1 2 0 10 exp KnKn1Kn21 22 4 Re        . (57)                            t gFg t gFt t gFgc f 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn18 4 1,3, 2 312 4 Re 1111 11 . (58)              tz zJzzJz zJzJruL n n nnnn nn 2 1 1 2 0 10 00 exp KnKn1Kn21 2~~4        . (59)                            t gFg t gFt t gFgru L 4 1,3, 2 3Kn12 4 1,2, 2 1Kn12 4 1,3, 2 312~~ 1111 110 . (60) (60) Як можна бачити, значення зазначеного крут- ного моменту, наближається до нуля із зростан- ням часу. Висновки Проведено аналітичний аналіз розгінного по- току в мікроциліндрі, що починає раптово оберта- тися. Аналітичні рішення отримані на основі двох математичних методів: Фур’є і груп симетрії. Ме- тод Фур’є дав розв’язок у вигляді нескінченного ряду, а методика симетрії дала рішення у вигляді кінцевого рівняння. Коефіцієнт тертя зменшується з часом від нескінченності при t = 0 до нуля, якій відповідає стаціонарній течії. У початковий момент часу коефіцієнт тертя вище для потоку з проковзуван- ням. Однак в процесі розвитку потоку значення коефіцієнта тертя для потоку з прилипанням на стінці стає більшим, ніж для потоку з ковзанням. ЛІТЕРАТУРА 1. Gad-el-Hak M. The fluid mechanics of microdevices // J. Fluids Engineering. – 1999. – V. 121 – P. 5-33. 2. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. – Oxford University Press: 1994. – p. 458. 3. Haile J.M. Molecular dynamics simulation. – New York Wiley and sons. – 1992. – p. 481. 4. G. Karniadakis, A. Beskok, Aluru N. Micro- flows and Nanoflows Fundamentals and Simulation. – New York: Springer. – 1965. – p. 818. 5. Wylie B.J.N. Application of two-dimensional cellular automaton lattice-gas models to the simulation of hydrodynamics. – University of Edinburgh. – 1990. – p. 114. 6. Maxwell J.B. Lattice Boltzmann methods for interfacial wave modelling. – University of ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2016, т. 38, №6 19 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ Edinburgh. – 1997. – p. 238. 7. Szymansky F. Quelques solution exactes des équations de l’hydrodynamique de fluide visqueux dans le cas d’un tube cylindrique // J. Math. Pures Appl. –1932 V.97, – №.11, – P. 67–107. 8. Müller W. Zum Problem der Anlaufströmung einer Flüssigkeit im geraden Rohr mit Kreisring- und Kreisquerschnitt // ZAMM. – 1936. – №.16, – P. 227-238. 9. Gerberts W. Zur instationären, laminaren Strömung einer inkompressiblen zähen Flüssigkeit in kreiszylindrischen Rohren // Z. angew. Physik. – 1951. – V.3, – P. 267-271. 10. Avramenko A.A., Kuznetsov A.V. Start-up flow in a channel or pipe occupied by a fluid-saturated porous medium // J. Porous Media. – 2009. – V.12, №. 4. – P. 361–367. 11. Schlichting H., Gersten K. Boundary Layer Theory, 8th ed. Berlin. Springer: – 2000. p. 799. 12. Olver P. Applications of Lie Groups to Differential Equations. Berlin. Springer: – 2000. p. 513. ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2016, т. 38, №620 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ DYNAMICS ACCELERATING FLOW IN MICROCYLINDER THAT START SUDDENLY ROTATES Avramenko A.O., Tyrinov A.I., Dmitrenko N.P., Kravchuk O.V. Institute of Engineering Thermophysics of the National Academy of Sciences of Ukraine, st. Zhelyabova, 2a, Kyiv, 03680 Ukraine An analytical analysis startup flow inside the microcylinder when it starts suddenly rotating is analyzed. Analytical solutions are obtained using of two mathematical methods: Fourier and symmetry groups. Fourier method of solution given in the form of an infinite series, and a symmetry method gives solution in closed form. The results of the investigation show that the coefficient of friction decreases with time from infinity at t = 0 to zero, which corresponds to a stationary flow. At the initial time coefficient of friction is higher for the slip flow. At the initial time the coefficient of friction for the slip flow is greater than for the flow without sliding. Key words: hydrodynamics, startup flow, micro- cylinder, friction coefficient, velocity profile. References 12, figure 1. 1. Gad-el-Hak M. The fluid mechanics of microdevices // J. Fluids Engineering. – 1999. – V. 121 – P. 5-33. 2. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. – Oxford University Press: 1994. – p. 458. 3. Haile J.M. Molecular dynamics simulation. – New York Wiley and sons. – 1992. – p. 481. 4. G. Karniadakis, A. Beskok, Aluru N. Micro- flows and Nanoflows Fundamentals and Simulation. – New York: Springer. – 1965. – p. 818. 5. Wylie B.J.N. Application of two-dimensional cellular automaton lattice-gas models to the simulation of hydrodynamics. – University of Edinburgh. – 1990. – p. 114. 6. Maxwell J.B. Lattice Boltzmann methods for interfacial wave modelling. – University of Edinburgh. – 1997. – p. 238. 7. Szymansky F. Quelques solution exactes des équations de l’hydrodynamique de fluide visqueux dans le cas d’un tube cylindrique // J. Math. Pures Appl. –1932 V.97, – №.11, – P. 67–107. 8. Müller W. Zum Problem der Anlaufströmung einer Flüssigkeit im geraden Rohr mit Kreisring- und Kreisquerschnitt // ZAMM. – 1936. – №.16, – P. 227-238. 9. Gerberts W. Zur instationären, laminaren Strömung einer inkompressiblen zähen Flüssigkeit in kreiszylindrischen Rohren // Z. angew. Physik. – 1951. – V.3, – P. 267-271. 10. Avramenko A.A., Kuznetsov A.V. Start-up flow in a channel or pipe occupied by a fluid-saturated porous medium // J. Porous Media. – 2009. – V.12, №. 4. – P. 361–367. 11. Schlichting H., Gersten K. Boundary Layer Theory, 8th ed. Berlin. Springer: – 2000. p. 799. 12. Olver P. Applications of Lie Groups to Differential Equations. Berlin. Springer: – 2000. p. 513. Получено 15.08.2016 Received 15.08.2016

Динаміка розгінної течії в мікроциліндрі, що починає раптово обертатися

Репозитарії

Схожі ресурси