Метод моделирования нестационарных режимов электротехнических систем на основе их схемных коэффициентов
Предложен эффективный численно-аналитический метод моделирования нестационарных и переходных режимов электротехнических систем. Метод основан на использовании схемных коэффициентов и пригоден для анализа как линейных, так и нелинейных систем. Описана методика вычисления схемных коэффициентов. Привед...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут технічних проблем магнетизму НАН України
2007
|
| Назва видання: | Електротехніка і електромеханіка |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/142830 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод моделирования нестационарных режимов электротехнических систем на основе их схемных коэффициентов / Л.Н. Канов, В.В. Костюков // Електротехніка і електромеханіка. — 2007. — № 1. — С. 53-55. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-142830 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1428302018-10-17T01:23:28Z Метод моделирования нестационарных режимов электротехнических систем на основе их схемных коэффициентов Канов, Л.Н. Костюков, В.В. Теоретична електротехніка Предложен эффективный численно-аналитический метод моделирования нестационарных и переходных режимов электротехнических систем. Метод основан на использовании схемных коэффициентов и пригоден для анализа как линейных, так и нелинейных систем. Описана методика вычисления схемных коэффициентов. Приведен пример применения метода. Запропонований ефективний чисельно-аналітичний метод моделювання нестаціонарних й перехідних режимів електротехнічних систем. Медод базується на використанні схемних коефіцієнтів і здатен для аналізу як лінійних, так і нелінійних систем. Описана методика обчислення схемних коефіцієнтів. Наведен приклад використання методу. An efficient numerical-and-analytical method of modeling nonsteady and transient states of electrical systems is introduced. The method is based on circuit factors and applicable to analyzing both linear and nonlinear systems. A technique of circuit factors calculation is described. An example of the method application is given. 2007 Article Метод моделирования нестационарных режимов электротехнических систем на основе их схемных коэффициентов / Л.Н. Канов, В.В. Костюков // Електротехніка і електромеханіка. — 2007. — № 1. — С. 53-55. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 2074-272X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/142830 621.3 ru Електротехніка і електромеханіка Інститут технічних проблем магнетизму НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Теоретична електротехніка Теоретична електротехніка |
| spellingShingle |
Теоретична електротехніка Теоретична електротехніка Канов, Л.Н. Костюков, В.В. Метод моделирования нестационарных режимов электротехнических систем на основе их схемных коэффициентов Електротехніка і електромеханіка |
| description |
Предложен эффективный численно-аналитический метод моделирования нестационарных и переходных режимов электротехнических систем. Метод основан на использовании схемных коэффициентов и пригоден для анализа как линейных, так и нелинейных систем. Описана методика вычисления схемных коэффициентов. Приведен пример применения метода. |
| format |
Article |
| author |
Канов, Л.Н. Костюков, В.В. |
| author_facet |
Канов, Л.Н. Костюков, В.В. |
| author_sort |
Канов, Л.Н. |
| title |
Метод моделирования нестационарных режимов электротехнических систем на основе их схемных коэффициентов |
| title_short |
Метод моделирования нестационарных режимов электротехнических систем на основе их схемных коэффициентов |
| title_full |
Метод моделирования нестационарных режимов электротехнических систем на основе их схемных коэффициентов |
| title_fullStr |
Метод моделирования нестационарных режимов электротехнических систем на основе их схемных коэффициентов |
| title_full_unstemmed |
Метод моделирования нестационарных режимов электротехнических систем на основе их схемных коэффициентов |
| title_sort |
метод моделирования нестационарных режимов электротехнических систем на основе их схемных коэффициентов |
| publisher |
Інститут технічних проблем магнетизму НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Теоретична електротехніка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/142830 |
| citation_txt |
Метод моделирования нестационарных режимов электротехнических систем на основе их схемных коэффициентов / Л.Н. Канов, В.В. Костюков // Електротехніка і електромеханіка. — 2007. — № 1. — С. 53-55. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Електротехніка і електромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT kanovln metodmodelirovaniânestacionarnyhrežimovélektrotehničeskihsistemnaosnoveihshemnyhkoéfficientov AT kostûkovvv metodmodelirovaniânestacionarnyhrežimovélektrotehničeskihsistemnaosnoveihshemnyhkoéfficientov |
| first_indexed |
2025-07-10T15:51:07Z |
| last_indexed |
2025-07-10T15:51:07Z |
| _version_ |
1837275727611822080 |
| fulltext |
Електротехніка і Електромеханіка. 2007. №1 53
УДК 621.3
МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ
ИХ СХЕМНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Канов Л.Н., к.т.н., доц.; Костюков В.В.
Севастопольский национальный технический университет
Украина, 99053, Севастополь, Стрелецкая бухта, СевНТУ,
кафедра "Судовые и промышленные электромеханические системы"
тел. (0692) 235-160
Запропонований ефективний чисельно-аналітичний метод моделювання нестаціонарних й перехідних режимів елек-
тротехнічних систем. Медод базується на використанні схемних коефіцієнтів і здатен для аналізу як лінійних, так і
нелінійних систем. Описана методика обчислення схемних коефіцієнтів. Наведен приклад використання методу.
Предложен эффективный численно-аналитический метод моделирования нестационарных и переходных режимов
электротехнических систем. Метод основан на использовании схемных коэффициентов и пригоден для анализа как
линейных, так и нелинейных систем. Описана методика вычисления схемных коэффициентов. Приведен пример
применения метода.
ВВЕДЕНИЕ
С развитием и усложнением электротехнических
систем необходимость исследования переходных
процессов приобретает все большее значение [1]. Из
существующих методов выгодно выделяется класси-
ческий метод расчета, основанный на непосредствен-
ном решении дифференциальных уравнений и имею-
щий прозрачный физический смысл [2, 3]. В то же
время с усложнением исследуемых систем намети-
лись затруднения в использовании этого метода, ко-
торые неоправданно сужают его применение. Речь
идет об излишней громоздкости определения посто-
янных интегрирования в системах высокого порядка
[3, 4], т.к. наряду с вычислением производных высо-
кого порядка по переменным системы это требует
многократного решения систем линейных алгебраи-
ческих уравнений.
Статья посвящена разработке численно-
аналитического метода моделирования переходных
процессов в линейных и нелинейных электромехани-
ческих системах, который, сохраняя все достоинства
классического анализа, позволил бы в какой-то мере
обойти отмеченные затруднения. Метод основан на
вычислении схемных коэффициентов, устанавливаю-
щих взаимную связь между переменными системы в
переходном процессе [5] и на использовании этих
коэффициентов для моделирования нестационарных и
переходных режимов электротехнических систем.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Переходные процессы в линейной электротехни-
ческой системе описываются совокупностью диффе-
ренциальных и алгебраических уравнений. Ограни-
чимся здесь случаем простых собственных чисел. В
этих условиях каждая переменная имеет свободную
составляющую в виде
∑
=
===
n
i
ijij nimjtpAtx
1
св ,,...,2,1 ;,...,2,1 );exp()( (1)
где jiA , – постоянные интегрирования; ip – собствен-
ные числа; m – число переменных системы; n – поря-
док системы; mn ≤ .
Для установления связи между свободными со-
ставляющими переменных выделим в выражении (1)
слагаемые, соответствующие, например, собственно-
му числу 1p : mjtpAj ,...,2,1 );exp( 11 = и подставим
их в упомянутую совокупность однородных уравне-
ний системы. После выполнения операций дифферен-
цирования и сокращения множителя )exp( 1tp получа-
ем линейную, однородную, алгебраическую систему
уравнений относительно постоянных 1,jA . Примем
одну из переменных за базовую, например, )(1 tx и,
удерживая 1−m уравнений, решим их относительно
mjAj ,...,3,2 ;1, = . Очевидно, найденные постоянные
интегрирования являются функциями 1 1А . Тогда
схемными коэффициентами по собственному числу
1p назовем отношения
1 1
11
1
)(
)(
A
pA
pK j
j = :
mj ,...,3,2= . Таким образом, схемные коэффициенты
позволяют выразить постоянные интегрирования всех
переменных системы при собственном числе 1p через
соответствующую постоянную базовой переменной.
Аналогичные действия выполняются и при получении
схемных коэффициентов по другим собственным
числам. В результате будут сформированы матрица
схемных коэффициентов K и матрица A постоян-
ных интегрирования переменных системы, упорядо-
ченные по порядку собственных чисел и переменных
системы:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)(...)()(
...
)(...)()(
1...11
21
22212
nmmm
n
pKpKpK
pKpKpK
K ; (2)
54 Електротехніка і Електромеханіка. 2007. №1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nnmmm
nn
n
ApKApKApK
ApKApKApK
AAA
1122111
1212221112
11211
)(...)()(
...
)(...)()(
...
A . (3)
Выражение (1) теперь может быть переписано в виде
∑
=
=
n
i
iiijj tpApKtx
1
1св );exp()()(
1)( ; , ... ,2,1 1 ≡= ipKmj , (4)
а вектор переменных системы дается уравнением
)()( уст tt XAeX Pt += , (5)
где [ ]ТPte – вектор [ ]tptptp nexp( ..., ),exp( ),exp( 21 ;
)(уст tX – установившиеся значения переменных.
Поставим задачу применения схемных коэффи-
циентов для анализа переходных процессов в нели-
нейных системах на основе кусочно-линейной ап-
проксимации их характеристик.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Пусть в момент itt > переменные системы соот-
ветствуют i -му участку кусочно-линейной аппрок-
симации нелинейной характеристики, it – момент вы-
хода переменных на этот участок. Тогда вектор
)(tiX на основании (4) описывается выражением:
)()( уст
)(
1 ii
t
ii ttt ii −+= − XeAKX tP
i ,
где вектор [ ] [ ),(exp( 111
)(
iii
Ttt ttpAi −=−iP
1ieA
]))(exp( , ... )),(exp( 1212 iniiniii ttpAttpA −− ,
а индекс i указывает на принадлежность к i -му уча-
стку. Полагая 1+= itt , получаем вектор переменных
)()( уст 11 iiiii tt ii Δ+= Δ
+ XeAKX tP
i ,где iii ttt −=Δ +1 .
Момент 1+it определяется переходом перемен-
ных системы на 1+i -й участок характеристики.
Пусть в этот момент переменные испытывают скачок,
и их новые значения в момент 011 += +++ ii tt опреде-
ляются функцией if
)]([)( уст 11 iiiiii tft ii Δ+= Δ
++ XeAKX tP
i . (6)
На 1+i -ом участке процесс описывается выражением
)()( 1уст 1
)(
1 111 11
++
−
+++ −+= ++ ii
t
ii ttt ii XeAKX tP
i . В
момент ++1it получаем
)]0()]([)( уст 11 11111 +++++++ +== iiiiiii tft XAKXX i .(7)
Сопоставляя выражения (6) и (7), определим вектор
постоянных для базовой переменной на 1+i -ом уча-
стке через значение этого вектора на i -ом участке:
−Δ+= Δ−
++ )]([{ уст 11 1 iiiii tf ii XeAKKA tP
i
1
1i
})0(уст 1+− iX . (8)
На первом участке вектор постоянных определяется
по значениям )0( ),0( уст 11 XX .
Вполне аналогичные соотношения справедливы
и для расчета переходных процессов в линейной сис-
теме, параметры которой скачкообразно меняются во
времени. Тогда моменты it задаются заранее.
Обобщим предлагаемый метод на случай перио-
дического режима, характеризующегося чередовани-
ем значений параметров системы. Пусть период со-
стоит из двух интервалов: i и 1+i . Тогда по анало-
гии с выражением (8) определим вектор постоянных
интегрирования на 2+i интервале
+= ++ Δ
+++
−
++
111 11122 1 [{ iiiii f tP
i
1
i eAKKA
)}0()]( уст 21уст 1 +++ −Δ+ iii t XX .
Согласно условию периодичности это равенство
можно записать в виде
+= ++ Δ
+++
− 111 111 1 [{ iiiii f tP
i
1
i eAKKA
)}0()]( уст 1уст 1 iii t XX −Δ+ ++ . (9)
Уравнения (8), (9) позволяют найти постоянные ин-
тегрирования для базовой переменной на двух интер-
валах периода. Аналогично можно выписать уравне-
ния для постоянных в случае, когда период состоит из
нескольких интервалов.
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Рассмотрим переходный процесс включения
электромагнита постоянного тока с пусковой и удер-
живающими обмотками [6], рис. 1. Число витков пус-
ковой обмотки меньше числа витков удерживающей,
поэтому при включении ток вначале протекает по
пусковой обмотке, а в удерживающей наводится эдс,
запирающая диод. По мере нарастания тока в пуско-
вой обмотке эта эдс уменьшается, и диод открывается
в момент 1t , когда U
dt
di
M п = , где M – коэффициент
взаимной индукции, U – напряжение сети.
Рис. 1. Схема включения двухобмоточного электромагнита
До начала движения якоря пренебрежем измене-
нием индуктивности и коэффициента взаимной ин-
дукции обмоток [6]. Таким образом, в рассматривае-
мой системе имеется один нелинейный элемент – ди-
од VD , сопротивление которого в закрытом состоя-
нии обозначим 1r , а в открытом – 2r ; 21 rr >> .
Система описывается уравнениями
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=+++
==+++
U
dt
di
Lirr
dt
di
M
i
dt
du
CUu
dt
di
M
dt
di
Lri
y
yyдy
п
п
c
c
yп
ппп
)(
; ;
,
где yynn LrLr , , , – соответственно сопротивления и
индуктивности пусковой и удерживающей обмоток;
;yn rr < ;yn LL < 1rrд = или 2rrд = . Принимая за
базовую переменную )(tin , получаем систему урав-
нений для определения схемных коэффициентов
Електротехніка і Електромеханіка. 2007. №1 55
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=+++
=−=+++
0)(
;01 ;0
yyудy
ccynn
AрLАrrpM
pCAApMApLr
,
из второго и третьего уравнения которой получаем
схемные коэффициенты
pC
ApK cc
1)( == ;
дyy
yy rrpL
pMApK
++
−==)( . На первом участке с
учетом нулевых начальных условий, постоянные ин-
тегрирования для базовой переменной )(tin вычис-
ляются по выражению:
уст 1
1
11 XKA −−= ,
где [ ]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
== U
rr
Uuii
y
суп
T ; ;0 ; ;
1
уст уст уст уст 1X .
На втором участке при открытом диоде в соответст-
вии с (8) [ ]уст 2уст 2 11 XXeAKKA 111
1
2 −+= − tP . Для
нахождения постоянных интегрирования для
)( ),( tuti cy следует воспользоваться выражением (3).
Рис. 2. Процесс включения электромагнита
На рис. 2 изображены результаты моделирования
переходного процесса; графики построены по выра-
жениям:
∑
=
+=
3
1
уст 1111 )()exp()(
i
jijij txtpAtx
при 10 tt <≤ ;
∑
=
−+−=
3
1
1уст 21222 )()(exp()(
i
jijij ttxttpAtx при
1tt ≥ ,
где индекс j пробегает значения 1, 2, 3 и nix =1 ,
yix =2 , cux =3 . Моделирование выполнено при сле-
дующих типичных значениях параметров:
Ом 50=yr , Гн 7,3=yL , Ом 10=пr , Гн 171,0=пL ,
мкФ 100=С , Гн 5,0=М , кОм 11 =r , Ом 12 =r . Соб-
ственные числа на интервалах:
[ ]jРТ 824,66466,31 9,5021 m−−= ;
[ ]991,13 1194,82739,522 −−= jРТ m , соответствующие
матрицы схемных коэффициентов:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−+−−
−⋅+⋅−= −−
jj
jj
249,12768,5249,12768,5988,1
038,0109,6038,0109,631,0
111
33
1K ;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−+−
−−−+−=
475,71621,8537,5621,8537,5
13,9019,0144,0019,0144,0
111
jj
jj2K ;
момент открывания диода мc 895,81 =t ; векторы по-
стоянных интегрирования по базовой переменной:
[ ]jT 381,4355,0 709,01 ±−=A ;
[ ]167,0 101,3989,12 jT ±=A .
Из рисунка следует, что пусковой ток вместе с
намагничивающей силой F , график которой показан
уменьшенным в 103 раз, интенсивно нарастает. В мо-
мент 1t , когда график эдс снижается до значения U ,
переменные не претерпевают разрыва..
ВЫВОДЫ
Предложен численно-аналитический метод оп-
ределения постоянных интегрирования в выражениях
для моделирования переходных процессов в нелиней-
ных и нестационарных электротехнических системах.
Метод основан на схемных коэффициентах и вычис-
лении на их основе полных матриц постоянных ин-
тегрирования на каждом линейном участке системы.
Достоинством метода является возможность получе-
ния аналитических выражений переменных на каж-
дом линейном участке и оценка влияния каждого соб-
ственного числа в формировании переходного про-
цесса. Определение постоянных интегрирования не
сопровождается вычислением производных от пере-
менных системы в начальный момент времени. Даль-
нейшим перспективным направлением является раз-
работка методики применения схемных коэффициен-
тов для анализа качества переходных процессов в ли-
нейных и нелинейных электротехнических системах.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Куликов Ю.А. Переходные процессы в электрических
системах. – М.: Мир: ООО "Изд-во АСТ", 2003. – 283 с.
[2] Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники.
Т.2. / К.С.Демирчян, Л.Р.Нейман, Н.В.Коровкин и др. –
СПб.: Изд-во "Питер", 2003. – 576 с.
[3] Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники.
Электрические цепи.–М.:Изд-во "Гардарики", 2000. –
638 с.
[4] Кузовкин В.А. Теоретическая электротехника. – М.:
Изд-во "Логос", 2005. – 480 с.
[5] Костюков В.В. Связь между постоянными интегрирова-
ния при анализе переходных процессов в линейных
электрических цепях // Вестник СевГТУ. Вып: 55 Меха-
ника, энергетика, экология: Сб. научн. тр.; Севастоп.
нац. техн. ун-т. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2004. –
С. 80 -86.
[6] Переходные процессы в электрических машинах и ап-
паратах и вопросы проектирования / О.Д.Гольдберг,
О.Б.Буль, И.С. Свириденко и др. – М.: Высш. шк., 2001.
– 512 с.
Поступила 30.05.2006
|