Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле
В компонентах вектора перемещения поставлена краевая задача о равновесии нелинейного упругого ортотропного тела с трещиной нормального отрыва при наличии зоны предразрушения. В результате численного решения этой задачи показана эволюция зоны предразрушения, происходящая при нагружении тела. Изучено...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2018
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144522 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 10. — С. 44-55. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-144522 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1445222018-12-28T01:22:58Z Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. Механіка В компонентах вектора перемещения поставлена краевая задача о равновесии нелинейного упругого ортотропного тела с трещиной нормального отрыва при наличии зоны предразрушения. В результате численного решения этой задачи показана эволюция зоны предразрушения, происходящая при нагружении тела. Изучено поле деформаций у конца зоны предразрушения. У компонентах вектора переміщення поставлено крайову задачу про рівновагу нелінійного пружного ортотропного тіла з тріщиною нормального відриву за наявності зони передруйнування. В результаті чисельного розв’язання цієї задачі показано еволюцію зони передруйнування, яка відбувається при на вантаженні тіла. Вивчено поле деформацій біля кінця зони передруйнування. A boundary-value problem in terms of the displacement vector components for the equilibrium state of a non linear elastic orthotropic body with a crack of normal separation is stated with regard for its prefracture zone. As a result of the numerical solution of the problem, the evolution of this zone under the loading is shown. The deformation field near the crack tip is studied. 2018 Article Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 10. — С. 44-55. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2018.10.044 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144522 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле Доповіді НАН України |
| description |
В компонентах вектора перемещения поставлена краевая задача о равновесии нелинейного упругого ортотропного тела с трещиной нормального отрыва при наличии зоны предразрушения. В результате численного решения этой задачи показана эволюция зоны предразрушения, происходящая при нагружении тела.
Изучено поле деформаций у конца зоны предразрушения. |
| format |
Article |
| author |
Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| author_facet |
Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| author_sort |
Каминский, А.А. |
| title |
Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле |
| title_short |
Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле |
| title_full |
Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле |
| title_fullStr |
Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле |
| title_full_unstemmed |
Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле |
| title_sort |
об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144522 |
| citation_txt |
Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 10. — С. 44-55. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kaminskijaa obévolûciizonypredrazrušeniâuveršinytreŝinyvnelinejnomanizotropnomtele AT kurčakovee obévolûciizonypredrazrušeniâuveršinytreŝinyvnelinejnomanizotropnomtele |
| first_indexed |
2025-07-10T19:33:52Z |
| last_indexed |
2025-07-10T19:33:52Z |
| _version_ |
1837289751707648000 |
| fulltext |
44 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 10
Экспериментальные исследования показывают, что перед трещиной образуется зона пред-
разрушения (prefracture zone) — узкая область, в которой наблюдаются микротрещи ны,
поры и расслоения [1]. Указанную зону необходимо учитывать при постановке краевых
задач для тел с трещинами. Однако это сопряжено со значительными трудностями. Во мно-
гом их удается избежать, если использовать ту или иную модель зоны предразрушения.
Наиболее адекватной представляется модель [2], в которой границы зоны предразрушения
интерпретируются как поверхности раскрытого разреза, к которым приложены противо-
положные векторы напряжения, и учитывается, что в конце зоны предразрушения должен
соблюдаться критерий прочности. Модифицируем эту модель, принимая, что компоненты
векторов напряжения в точках на противоположных границах зоны предразрушения за-
висят от компонент вектора смещения относительно друг друга этих точек. Ввиду этого при
постановке краевой задачи потребуются конститутивные уравнения, связывающие между
собой эти величины [3].
Воспользовавшись тензорно-линейными определяющими уравнениями, связывающи-
ми компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций, и упомянутыми
выше конститутивными уравнениями, поставим краевую задачу о равновесии нелинейного
упругого ортотропного тела с трещиной нормального отрыва. Осуществим это в компонен-
тах вектора перемещения.
© А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков, 2018
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.10.044
УДК 539.3
А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: fract@inmech.kiev.ua
Об эволюции зоны предразрушения
у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле
Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко
В компонентах вектора перемещения поставлена краевая задача о равновесии нелинейного упругого орто-
тропного тела с трещиной нормального отрыва при наличии зоны предразрушения. В результате числен-
ного решения этой задачи показана эволюция зоны предразрушения, происходящая при нагружении тела.
Изучено поле деформаций у конца зоны предразрушения.
Ключевые слова: нелинейное упругое ортотропное тело, трещина нормального отрыва, зона предразру-
шения, конститутивные уравнения.
45ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 10
Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле
В результате решения краевой задачи установим зависимость длины зоны предразру-
шения и раскрытия трещины от нагрузки на тело. Изучим поле деформаций возле конца
зоны предразрушения.
Постановка краевой задачи. Ограничимся малыми деформациями. Воспользуемся тен-
зорно-линейными определяющими уравнениями, связывающими контравариантные ком-
поненты тензора напряжений S с ковариантными компонентами тензора деформаций D [4]:
( )S G D G D gαβ αβγδ αβγδ αβ
γδ γδ
Ε⎛ ⎞= −ϕ Ω −⎜ ⎟⎝ ⎠Ζ
. (1)
Аргументом функции ( )ϕ Ω является величина
2ΕΩ = Ξ−
Ζ
. (2)
Инварианты Ζ , Ε , Ξ таковы:
; ; .F g g g D G D Dαβ γδ αβ αβγδ
αβγδ αβ αβ γδΖ = Ε = Ξ = (3)
Взаимно обратные тензоры четвертого ранга F и G характеризуют анизотропию. Эти
тен зоры обладают высокой симметрией. Иначе говоря, в компонентах этих тензоров можно
ме нять местами как индексы, относящиеся к любой одной паре индексов, так и сами пары
индексов.
Пусть система координат 1 2 3, ,x x x , к которой отнесено тело, является прямоуголь ной
декартовой. Стало быть,
1 ( );
0 ( ).
gεζ
ε = ζ⎧
= ⎨ ε ≠ ζ⎩
(4)
Выведем основные уравнения для компонент вектора перемещения u. Воспользуемся
со отношениями Коши [5]:
( , )
u
D
x
ε
εζ ζ
∂
= ε ζ
∂
. (5)
Привлекая соотношения (5), запишем уравнения (1) в виде
( )
u u
S G G g
x x
γ γαβ αβγδ αβγδ αβ
δ δ
∂ ∂⎛ ⎞Ε= −ϕ Ω −⎜ ⎟Ζ⎝ ⎠∂ ∂
. (6)
С учетом соотношений (5) второй и третий из инвариантов (3) будут
; .
uu u
g G
x x x
γαβ αβγδα α
β β δ
∂∂ ∂
Ε = Ξ =
∂ ∂ ∂
(7)
Предположим, что тело является ортотропным. Главные направления примем совпада-
ющими с направлениями осей 1 2 3, ,x x x .
46 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 10
А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
Остановимся на случае обобщенного плоского напряженного состояния, полагая
1 2( , ) ( 1,2, 1,2);S S x xαβ αβ= α = β = (8)
0 ( 1,2, 3; 3, 1,2; 3, 3)Sαβ = α = β = α = β = α = β = . (9)
В соответствии с равенствами (4) первый из инвариантов (7) примет вид
1 2 3
1 2 3
.
u u u
x x x
∂ ∂ ∂
Ε = + +
∂ ∂ ∂
(10)
Так как ( ) 1ϕ Ω ≠ , то в силу равенств (9) и (4) из уравнений (6) следует
0 ( 1,2, 3; 3, 1,2)
u u
x x
γ δ
δ γ
∂ ∂
+ = γ = δ = γ = δ =
∂ ∂
. (11)
Используем обозначения
1111 1212 1122 2222
1133 2233 3333
,
.
, , ,
, ,
AA BB AD DD
AF DF FF
G G G G
G G G
≡ μ ≡ μ ≡ μ ≡ μ
≡ μ ≡ μ ≡ μ
(12)
Согласно равенствам (11) и обозначениям (12), второй из инвариантов (7) примет вид
1 1 1 2 1 3
1 1 1 2 1 3
2 2AA AD AF
u u u u u u
x x x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Ξ = μ + μ + μ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
1 1 1 2 2 2
2 2 2 1 1 1
2BB
u u u u u u
x x x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+μ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2 2 2 3 3 3
2 2 2 3 3 3
2 .DD DF FF
u u u u u u
x x x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+μ + μ +μ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(13)
Учитывая равенства (9) и (4), на основании уравнений (6) найдем
3311 3322 3333 3311 33223 1 2 3 1 2
3 3333 1 2 3 1 2
1
( ) .
u u u u u u
G G G G G
x G x x x x x
⎡∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Ε⎛ ⎞ ⎤= ϕ Ω + + − − −⎢ ⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠Ζ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎦⎣
(14)
Опираясь на равенства (4) и выражение (14), для уравнений (6) будем иметь
33 33
11 3311 22 33221 2
3333 1 3333 2
u uG G
S G G G G
G x G x
αβ αβ
αβ αβ αβ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂
= − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
33 33
11 3311 22 33221 2
3333 1 3333 2
( )
u uG G
G G G G
G x G x
αβ αβ
αβ αβ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂
−ϕ Ω − + − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣
33
3333
1 ( , 1,2; );
G
G
αβ ⎤⎛ ⎞ Ε− − α β = α = β⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ Ζ⎥⎝ ⎠ ⎦
(15)
47ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 10
Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле
12 21 12 211 2 1 2
2 1 2 1
( ) ( , 1,2; ).
u u u u
S G G G G
x x x x
αβ αβ αβ αβ αβ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + −ϕ Ω + α β = α ≠ β⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂
(16)
Введем обозначения
1133 2233
3333 3333
, ;AF DF
G G
G G
≡ ξ ≡ ξ (17)
1133 1133
1111 3311 1122 3322
3333 3333
, ,AA AD
G G
G G G G
G G
− ≡ μ − ≡ μ
2233 2233
2211 3311 2222 3322
3333 3333
, .DA DD
G G
G G G G
G G
− ≡ μ − ≡ μ
(18)
Воспользуемся уравнениями Навье [5]:
0.
S
x
αβ
β
∂ =
∂
(19)
Допустим, что тело является однородным.
Принимая во внимание формулы (8) и равенства (9), используя уравнения (15), (16) и
учитывая второе из обозначений (12), а также обозначения (17) и (18), на основании урав-
нений (19) установим
2 2 2
11 2 1
1 1 1 2 2 2
( ) ;AA AD BB BB
u u u
Q
x x x x x x
μ
∂ ∂ ∂
+ +μ +μ =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
μ
2 2 2
22 1 2
1 1 1 2 2 2
( ) .BB BB DA DD
u u u
Q
x x x x x x
∂ ∂ ∂
μ
∂
μ μ+ μ + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(20)
Здесь
1 1 2 1 2
1 1 2 2 2 1
1( ) ( )AF
AA AD BB
u u u u
Q
x x x x x x
∂ ∂ − ξ ∂ ∂∂ϕ Ω ∂ϕ Ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − Εμ μ + μ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Ζ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2
1 2 1
1 1 1 2 2 2 1
1
( ) ( ) ;AF
AA AD BB BB
u u u
x x x x x x x
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ −ξ ∂Ε+ϕ Ω + +μ +μ −⎢ ⎥
Ζ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢⎣
μ μ
⎥⎦
2 2 1 1 2
1 1 2 2 1 2
1( ) ( ) DF
BB DA DD
u u u u
Q
x x x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ − ξ∂ϕ Ω ∂ϕ Ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= μ + + + − Ε +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Ζ∂ ∂ ∂ ∂
μ
∂
μ
∂
2 2 2
2 1 2
1 1 1 2 2 2 2
1
( ) ( ) DF
BB BB DA DD
u u u
x x x x x x x
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ − ξ ∂Ε+ϕ Ω μ + μ + + −⎢ ⎥
Ζ∂ ∂ ∂ ∂
μ
∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣
μ
⎦
.
(21)
На границах тела, берегах трещины и границах зоны предразрушения зададим вектор
напряжения P с компонентами Pα .
48 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 10
А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
Воспользуемся граничными условиями [5]:
S n Pαβ α
β = , (22)
где nβ — компоненты единичного вектора внешней нормали n.
Принимая во внимание равенства (9), используя уравнения (15), (16) и учитывая второе
из обозначений (12), а также обозначения (17) и (18), на основании условий (22) получим
1 11 2 1 2
1 21 2 2 1
;AA AD BB
u u u u
n n P R
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +μ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ
∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝
μ
⎠
2 22 1 1 2
1 21 2 1 2
.BB DA DD
u u u u
n n P R
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ + + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
μ μ
(23)
Здесь
1 1 2 1 2
1 21 2 2 1
1
( ) ;AF
AA AD BB
u u u u
R n n
x x x x
⎡ ⎤∂ ∂ − ξ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ϕ Ω + − Ε +μ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
μ μ
⎠ ⎝ ⎠Ζ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
2 2 1 1 2
1 21 2 1 2
1
( ) .DF
BB DA DD
u u u u
R n n
x x x x
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ − ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ϕ Ω μ + + + − Ε⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Ζ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
μ μ
(24)
Рассмотрим прямоугольное тело малой толщины с трещиной по центру. С осями сим-
метрии тела совместим оси 1 2,x x .
Нагрузку на тело будем задавать симметрично относительно осей 1 2,x x . Поэтому мож-
но ограничиться рассмотрением лишь четвертой части тела, например, располагающейся в
первом квадранте (рис. 1).
Для верхней границы рассматриваемой части тела 1 2( 0, 1)n n= = уравнения (23) ста-
новятся такими:
1 1 2 21 2 2 1
1 2 1 2
; ,AA AD BB
u u u u
P R P R
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞μ +μ = + μ + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(25)
а формулы (24) будут
1 1 2
1 2
1
( ) E ;AF
AA AD
u u
R
x x
∂ ∂ − ξ⎛ ⎞= ϕ Ω + −⎜ ⎟⎝ ⎠Ζ∂ ∂
μμ
2 2 1
1 2
( ) .BB
u u
R
x x
∂ ∂⎛ ⎞= ϕ Ω μ +⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂
(26)
Для боковой границы рассматриваемой части тела (n1 = 0, n2 = 1)
уравнения (23) становятся такими:
1 1 2 21 2 1 2
2 1 1 2
; ,BB DA DD
u u u u
P R P R
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞μ + = + μ +μ = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(27)
а формулы (24) будут Рис. 1
49ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 10
Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле
1 21 2 1 2
2 1 1 2
1
( ) ; ( ) E .DF
BB DA DD
u u u u
R R
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ − ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ϕ Ω μ + = ϕ Ω + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Ζ∂ ∂ ∂
μ μ
∂
(28)
Для верхнего берега трещины и верхней границы зоны предразрушения 1 2( 1, 0)n n− = =
уравнения (23) принимают вид
1 1 2 21 2 2 1
1 2 1 2
; ,AA AD BB
u u u u
P R P R
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = + −μ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠
μ
⎝
μ (29)
а формулы (24) будут
1 21 2 2 1
1 2 1 2
1
( ) E ; ( ) .AF
AA AD BB
u u u u
R R
x x x x
∂ ∂ − ξ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ϕ Ω + − − = ϕ Ω μ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Ζ∂ ∂ ∂
μ
∂
μ (30)
Отличной от нуля примем только компоненту 1P вектора P в точках на верхней грани-
це рассматриваемой части тела (см. рис. 1).
Предположим, что известен вектор ν, изображающий смещение относительно друг дру-
га точек на противоположных границах зоны предразрушения.
Компоненты вектора напряжения в точках на верхней границе зоны предразрушения не-
обходимо представить, используя конститутивные уравнения, через компоненты вектора ν.
Для модуля P≡P вектора P и модуля | ν | ≡ ν вектора ν имеем
;P g P Pα β
αβ= gαβ α βν = ν ν . (31)
Будем считать, что oo
P Pν= = .
Воспользуемся конститутивными уравнениями, установленными в статье [3]:
[1 ( )] ,o
g
P P f
αβ
βα ν
= − ν
ν
(32)
где ( )f ν — функция, возрастающая в промежутке ( , )o η .
Обратим внимание на то, что в уравнениях (32) фигурируют контравариантные ком-
поненты вектора P, противоположного вектору напряжения в точках на границах зоны
предразрушения.
Очевидно, что в данной задаче
1 0,ν > (33)
а
2 3 0.ν = ν = (34)
В силу равенств (4), а также неравенства (33) и равенств (34) на основании второй
из формул (31) получим
1.ν = ν (35)
Заметим, что
1 12 .uν = (36)
50 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 10
А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
Учитывая равенства (4), а также равенства (34) и формулу (35), для первого из урав-
нений (32) будем иметь
1 [ ( ]1 ,)oP P f= − ν (37)
а на основании второго и третьего из уравнений (32) придем к равенствам
2 3 0.P P= = (38)
При решении краевой задачи потребуется еще одна группа уравнений для компонент 21,u u .
Из симметрии относительно осей 1 2,x x следуют такие уравнения:
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2( , ) ( , ) 0; ( , ) ( , ) 0;u x x u x x u x x u x x− − + = − + + =
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2( , ) ( , ) 0; ( , ) ( , ) 0.u x x u x x u x x u x x− + + = − − + =
(39)
Из симметрии относительно оси 2x вытекает, что в конце зоны предразрушения
1 0.u = (40)
Выведем уравнение для компоненты 2u .
Выделим около конца зоны предразрушения точку с координатами 1 2,a a . Будем по-
лагать, что 1 2
2( , )u x x — действительная функция, имеющая все непрерывные частные про-
изводные (до второго порядка включительно) в окрестности D точки 1 2( , )a a .
Составим кратный ряд Тейлора, расположенный по степеням 1 1 2 2,x a x a− − :
1 2
2
1 2 1 2 2
2 2
1 ( , )
( , ) ( , ) ( )
a a
u
u x x u a a x a
x
β β
β
β=
∂
= + − +
∂
∑
1 2
22 2
1 22
1 1 ( , )
1
( )( ) (( , ) ).
2
a a
u
x a x a x x D
x x
β β γ γ
β γ
β= γ=
∂
+ − − ∈
∂ ∂
∑ ∑ (41)
Координаты конца зоны предразрушения запишем так: 1 1 2 2.,a a+ ε + ε С учетом этого
на основании формулы (41) будем иметь
1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 22 2
2 2 1 2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
a a a a
u u
u a a u a a
x x
∂ ∂
− + ε + ε + + ε + ε +
∂ ∂
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 1 1 2 2 22 2 2
1 1 1 2 2 2
( , ) ( , ) ( , )
1
2 0.
2
a a a a a a
u u u
x x x x x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ ε ε + ε ε + ε ε =
⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(42)
Числовой пример. В результате численного решения краевой задачи показана эволю-
ция зоны предразрушения, происходящая вследствие повышения нагрузки на тело.
При решении краевой задачи использованы данные для сплава Д16, приведенные в
статье [6].
51ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 10
Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле
Компоненты тензора анизотропии F являются такими:
− − − − − −
− − − − − −
− − − − −
= ⋅ − = ⋅ − = ⋅
= ⋅ = ⋅ = ⋅
− = ⋅ = ⋅ = ⋅
10 1 10 1 10 1
1111 1122 1133
10 1 10 1 10 1
1212 1313 2222
10 1 10 1 10
2233 2323 3333
0,193 10 Па , 0,045 10 Па , 0,049 10 Па ,
0,107 10 Па , 0,121 10 Па , 0,142 10 Па ,
0,045 10 Па , 0,107 10 Па , 0,193 10 П
F F F
F F F
F F F −1а .
Для компонент тензоров анизотропии F и G, как компонент взаимно обратных тензо-
ров четвертого ранга, имеем
( , ).F G ζγδεζ ε
αβγδ α β= δ δ ε ζ (43)
В формулах (43) фигурируют символы Кронекера η
γδ :
1 ( );
0 ( ).
η
γ
γ = η⎧
δ = ⎨ γ ≠ η⎩
(44)
На основе значений компонент тензора анизотропии F по формулам (43) вычислены
(с учетом равенств (44)) компоненты тензора анизотропии G:
= ⋅ = ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅ = ⋅
1111 10 1122 10 1133 10
1212 10 1313 10 2222 10
2233 10 2323 10 3333 10
6,395 10 Па, 2,744 10 Па, 2,263 10 Па,
2,336 10 Па, 2,066 10 Па, 8,781 10 Па,
2,744 10 Па, 2,336 10 Па, 6,395 10 Па.
G G G
G G G
G G G
Функция ( )ϕ Ω из уравнений (1) принята в виде [4]
0, [ , ];
( ) ln 1
, [ , ].
a
a
Ω∈ ο υ⎧
⎪⎪ Ω− υ⎛ ⎞ϕ Ω = ⎨Ω− υ− +⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ Ω∈ υ ψ⎪ Ω⎩
(45)
В дальнейшем воспользуемся критерием прочности, сформулированным в статье [4]:
Ω = ψ . (46)
Установлено [4], что при нарушении прочности, когда величина Ω становится равной постоян-
ной ψ , плотность энергии, расходуемой на дефор мацию элемента тела без изменения его объе-
ма, принимает значение Ψ :
2 1 ln 1 1 1 .
2
a
a a
⎧ ⎫⎡ ⎤υ ψ −υ ψ−υ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = υ ψ− + + + − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
(47)
Постоянные υ и ψ, а также коэффициент a из формул (45) и (47) таковы:
υ = ⋅ ψ = ⋅ = ⋅2 1/2 2 1/2 2 1/23,25 10 Па , 93,50 10 Па ; 1,1112866 10 Па .a
На основе этих значений по формуле (47) вычислено: Ψ = ⋅ 4645,97 10 Па.
52 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 10
А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
Функция ( )f ν из уравнений (32) принята в виде [3]
1 2
1 2
( ) ,k k
k kf b bν = ν + ν (48)
где 1 2,k k — целые числа 1 2(1 )k k< < .
Коэффициенты
1kb и
2kb таковы:
1 21 2
2 1
2 1 1 2
; .
( ) ( )
k kk k
k m k m
b b
k k k k
+ η + η
= =
− η − η
(49)
Здесь
( )
d
m f
d ν=η
= − ν
ν
.
Принималось, что
− −= = = − ⋅ η = ⋅5 1 5
1 22, 3; 0,2 10 м ; 5,0 10 м.k k m
На основе этих значений по формулам (49) вычислены коэффициенты
1kb ,
2kb :
− −= ⋅ = − ⋅
21
10 2 15 30,08 10 м ; 0,008 10 м .k kb b
В соответствии с формулой (48) ( ) 1f ν = , если −ν = ⋅ 55,0 10 м. При этом, согласно урав-
нению (37), 1 0P = , т. е. будет достигнуто состояние предельного равновесия.
Координата 2x начала зоны предразрушения (точки A) записана как 2
fx , а конца зоны
предразрушения (точки B) — как 2
gx (см. рис. 1).
Были заданы
− − − −= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅2 2 2 2 2 21,50 10 м; 1,58 10 м, 1,60 10 м, 1,62 10 м;f gx x
−− ε = ε = ⋅1 2 20,02 10 м.
Итак, длина трещины, 2
R fl x= , была равной 1,50 · 10–2 м, а длина зоны предразрушения,
2 2
S g fl x x= − , составляла − −⋅ ⋅2 20,08 10 м, 0,10 10 м, 0,12 · 10–2 м.
Подчеркнем, что лишь компонента 1P вектора P в точках на верхней границе рассма-
триваемой части тела не была равна нулю (см. рис. 1). Эта компонента выражена через па-
раметр w нагрузки на тело: P1= w.
Решая краевую задачу, следовало определить параметр w (из условия, что в точке B со-
блюдается критерий (46), а Ψ = ⋅ 4645,97 10 Па ).
В общей сложности решение краевой задачи найдено для трех вариантов, различающих-
ся длиной зоны предразруше ния. В каждом из этих вариантов параметр w варьировали.
При решении краевой задачи (для каждого из значений w) учитывали, что в точке B
компонента 11S тензора S должна удовлетворять равенству
11 .B oS P= (50)
53ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 10
Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле
Не известную заранее величину Po определяли за несколько итераций. Изначально ее
задавали равной ⋅ 81,90 10 Па .
Компоненту 1P вектора P в точках на верхней границе зоны предразрушения выра-
жали, используя уравнение (37), через величину оP и функцию ( )f ν . Кроме того учиты-
вали первое из равенств (38).
Затем по уравнениям (20) и (25), (27), (29), а также (39), (40) и (42) определяли, пред-
ставив частные производные через конечные разности, компоненты 21,u u . Выполняли это
методом последовательных приближений, обобщающим метод Ильюшина. Так, в первом
приближении принимали ( ) 0ϕ Ω = . При этом в соответствии с формулами (21) и (26), (28),
(30) имели место равенства 1 2, 0Q Q = и 1 2, 0R R = . Кроме того, в первом приближении по-
лагали ( ) 0f ν = . В каждом последующем приближении, одном из 89-ти приближений, зна-
чения функции ( )ϕ Ω , величин 1 2,Q Q и 1 2,R R , а также функции ( )f ν устанав ливали на
основе значений компонент 21,u u , полученных в предыдущем приближении. Для этого прив-
лекали формулы (45), (2), первый из инвариантов (3), инварианты (10) и (13), выражение
(14), формулы (21) и (26), (28), (30), а также уравнение (37), формулы (48), (35) и (36).
После этого по первому из уравнений (15) вычисляли компоненту 11S тензора S в точке
B. Если она не удовлетворяла равенству (50), то величину оP корректировали и всю про-
цедуру повторяли.
Учитывая формулу (2), первый из инва-
риантов (3), инварианты (10) и (13), проверя-
ли соблюдение критерия (46) в точке B. Если
это не имело места, то параметр w изменяли.
Анализ полученных результатов. В ре-
зультате решения краевой задачи для различ-
ных длин зоны предразрушения определена, в
частности, нагрузка на тело (параметр w).
Согласно полученным значениям w (табл. 1),
с повышением нагрузки на тело увеличивают-
ся длина зоны предразрушения и, как след-
ствие этого, раскрытие трещины в вершине
(точке A). Иными словами, тело стремится к
Рис. 2.
Рис. 4
Рис. 3
54 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 10
А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
состоянию предельного равновесия, в котором модуль ν вектора ν принимает критическое
значение η, а модуль P вектора P становится равным нулю (все это — в точке A).
По мере повышения нагрузки на тело изменение длины зоны предразрушения стано-
вится все более значительным. Это убедительно иллюстрирует график, представленный на
рис. 2. Подобным же образом ведет себя и раскрытие трещины в вершине.
Наглядное представление об эволюции зоны предразрушения в процессе нагружения те ла
дает рис. 3. Для кривых, изображенных на этом рисунке, длина зоны предразрушения такова:
− − −⋅ ⋅ ⋅2 2 20,08 10 м, 0,10 10 м, 0,12 10 м.1 2 3— — —
На рис. 3, а показано, как именно увеличивается перемещение (в направлении оси x1)
верхней границы зоны предразрушения с возрастанием длины зоны предразрушения.
Интересно, что компонента 11S тензора S в точке B слабо зависит от длины зоны пред-
разрушения. В самом деле, для кривых 1, 2, 3, изображенных на рис. 3, б, она составляет
⋅ 82,0026 10 Па , ⋅ 82,0046 10 Па , ⋅ 82,0087 10 Па соответственно.
Зависимости компоненты 1u вектора u и компоненты 11S тензора S в точке А от пара-
метра w иллюстрирует рис. 4. Как видно, 1
Au резко увеличивается, а 11
AS столь же резко
уменьшается с повышением параметра w.
Для каждой длины зоны предразрушения по соотношениям (5) вычислены компо-
ненты 11 22 33, ,D D D тензора D в точках, окружающих точку B. Особый интерес вызывают
значения этих компонент в самой точке B (табл. 2).
Отметим, что возрастание длины зоны предразрушения от 2 м0,08 10−⋅ до 2 м0,12 10−⋅ обус-
ловило увеличение 11
BD от 22,0235 10−⋅ до 22,0311 10−⋅ и уменьшение 22
BD от 21,8232 10−⋅ до
21,8170 10−⋅ . При этом 33
BD изменилась гораздо менее заметно, уменьшившись от 23,5356 10−− ⋅
до 23,5364 10−− ⋅ .
Представляется интересным тот факт, что, невзирая на заметное возрастание длины
зоны предразрушения, компонента 33
BD не претерпела ощутимых изменений.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Каminsky А.А., Кurchakov Е.Е. Influence of tension along a mode I crack in an elastic body on the for-
mation of a nonlinear zone. Int. Appl. Mech. 2015. 51, № 2. P. 130—148.
2. Kaminsky A.A., Bogdanova O.S. Long-term crack-resistance of orthotropic viscoelastic plate under biaxial
loading. Int. Appl. Mech.1995. 31, № 9. P. 747—753.
3. Богданова О.С., Каминский А.А., Курчаков Е.Е. О зоне предразрушения возле фронта произвольной
трещины в твердом теле. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 5. С. 25—33. doi: https://doi.org/10.15407/
dopovidi2017.05.025
Таблица 1
lS · 102, м w · 10–7, Па
0,08 5,846375
0,10 5,903761
0,12 5,909860
Таблица 2
lS · 102, м DB
11 · 102 DB
22· 102 DB
33 · 102
0,08 2,0235 1,8232 –3,5356
0,10 2,0281 1,8190 –3,5359
0,12 2,0311 1,8170 –3,5364
55ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 10
Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном анизотропном теле
4. Курчаков Е.Е. Термодинамическое обоснование определяющих уравнений для нелинейного ани зо-
тропного тела. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2015. № 9. С. 46—53.
5. Love A. Treatise on the mathematical theory of elasticity. Cambridge: Univ. Press, 1927. 674 p.
6. Kurchakov E.E. Stress-strain relation for nonlinear anisotropic medium. Sov. Appl. Mech.1979. 15, № 9.
С. 803—807.
Поступило в редакцию 20.04.2018
REFERENCES
1. Каminsky, А. А. & Кurchakov, Е. Е. (2015). Influence of tension along a mode I crack in an elastic body on the
formation of a nonlinear zone. Int. Appl. Mech., 51, No. 2, pp. 130-148.
2. Kaminsky, A. A. & Bogdanova, O. S. (1995). Long-term crack-resistance of orthotropic viscoelastic plate under
biaxial loading. Int. Appl. Mech., 31, No. 9, pp. 747-753.
3. Bogdanova, O. S., Kaminsky, A. A. & Kurchakov, E. E. (2017). On the fracture process zone near the front of
an arbitrary crack in a solid. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 5, pp. 25-33. doi: https://doi.org/10.15407/
dopovidi2017.05.025 (in Russian).
4. Kurchakov, E. E. (2015). Thermodynamic verification of constitutive equations for a nonlinear anisotropic
body. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 9, pp. 46-53 (in Russian).
5. Love, A. (1927). Treatise on the mathematical theory of elasticity. Cambridge: Univ. Press.
6. Kurchakov, E. E. (1979). Stress-strain relation for nonlinear anisotropic medium. Sov. Appl. Mech., 15, No. 9,
pp. 803-807.
Received 20.04.2018
А.О. Камінський, Є.Є. Курчаков
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: fract@inmech.kiev.ua
ПРО ЕВОЛЮЦІЮ ЗОНИ ПЕРЕДРУЙНУВАННЯ
БІЛЯ ВЕРШИНИ ТРІЩИНИ В НЕЛІНІЙНОМУ АНІЗОТРОПНОМУ ТІЛІ
У компонентах вектора переміщення поставлено крайову задачу про рівновагу нелінійного пружного ор-
тотропного тіла з тріщиною нормального відриву за наявності зони передруйнування. В результаті чи-
сельного розв’язання цієї задачі показано еволюцію зони передруйнування, яка відбувається при на ван-
таженні тіла. Вивчено поле деформацій біля кінця зони передруйнування.
Ключові слова: нелінійне пружне ортотропне тіло, тріщина нормального відриву, зона передруйнування,
конститутивні рівняння.
A.A. Kaminsky, E.E. Kurchakov
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: fract@inmech.kiev.ua
ON THE EVOLUTION OF THE PREFRACTURE ZONE
NEAR THE CRACK TIP IN А NONLINEAR ANISOTROPIC BODY
A boundary-value problem in terms of the displacement vector components for the equilibrium state of a non li-
near elastic orthotropic body with a crack of normal separation is stated with regard for its prefracture zone. As a
result of the numerical solution of the problem, the evolution of this zone under the loading is shown. The
deformation field near the crack tip is studied.
Keywords: nonlinear elastic orthotropic body, crack of normal separation, prefracture zone, constitutive equations.
|