Математичне моделювання конвективно-дифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата
На основі теорії масопереносу і аналізу задачі гемодіалізу запропоновано математичну модель комірки гемодіалізного апарата. Отримано відносні витрати нейтральних компонентів і їх розподіл в розрахунковій області з урахуванням гідродинамічного впливу напівпроникної мембрани. Показано можливість регу...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2019
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/150505 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математичне моделювання конвективно-дифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата / А.Ф. Булат, В.І. Єлісєєв, Ю.П. Совіт, Р.Н. Молчанов, О. Блюсс // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 2. — С. 40-44. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-150505 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1505052019-04-09T01:25:50Z Математичне моделювання конвективно-дифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата Булат, А.Ф. Єлісєєв, В.І. Совіт, Ю.П. Молчанов, Р.Н. Блюсс, О. Механіка На основі теорії масопереносу і аналізу задачі гемодіалізу запропоновано математичну модель комірки гемодіалізного апарата. Отримано відносні витрати нейтральних компонентів і їх розподіл в розрахунковій області з урахуванням гідродинамічного впливу напівпроникної мембрани. Показано можливість регулювання витратами компонентів за допомогою профілювання опору мембрани. На основе теории массопереноса и анализа задач гемодиализа предложена математическая модель ячейки гемодиализного аппарата. Получены относительные расходы нейтральных компонентов и их распределения в расчетной области с учетом гидродинамического влияния полупроницаемой мембраны. Показана возможность регулирования расходами этих компонентов с помощью профилирования сопротивления мембраны. A mathematical model of a hemodialysis cell is proposed based on the theory of mass transfer and the analysis of the hemodialysis problem. Relative costs of the neutral components and their distributions in the calculated area are obtained with the hydrodynamic effect of a semipermeable membrane taken into account. The ability to regulate the costs of these components by profiling the membrane resistance is shown. 2019 Article Математичне моделювання конвективно-дифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата / А.Ф. Булат, В.І. Єлісєєв, Ю.П. Совіт, Р.Н. Молчанов, О. Блюсс // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 2. — С. 40-44. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.02.040 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/150505 [532.54:532.72:615.002.5]:51.001.57 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Булат, А.Ф. Єлісєєв, В.І. Совіт, Ю.П. Молчанов, Р.Н. Блюсс, О. Математичне моделювання конвективно-дифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата Доповіді НАН України |
| description |
На основі теорії масопереносу і аналізу задачі гемодіалізу запропоновано математичну модель комірки гемодіалізного апарата. Отримано відносні витрати нейтральних компонентів і їх розподіл в розрахунковій
області з урахуванням гідродинамічного впливу напівпроникної мембрани. Показано можливість регулювання витратами компонентів за допомогою профілювання опору мембрани. |
| format |
Article |
| author |
Булат, А.Ф. Єлісєєв, В.І. Совіт, Ю.П. Молчанов, Р.Н. Блюсс, О. |
| author_facet |
Булат, А.Ф. Єлісєєв, В.І. Совіт, Ю.П. Молчанов, Р.Н. Блюсс, О. |
| author_sort |
Булат, А.Ф. |
| title |
Математичне моделювання конвективно-дифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата |
| title_short |
Математичне моделювання конвективно-дифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата |
| title_full |
Математичне моделювання конвективно-дифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата |
| title_fullStr |
Математичне моделювання конвективно-дифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата |
| title_full_unstemmed |
Математичне моделювання конвективно-дифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата |
| title_sort |
математичне моделювання конвективно-дифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2019 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/150505 |
| citation_txt |
Математичне моделювання конвективно-дифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата / А.Ф. Булат, В.І. Єлісєєв, Ю.П. Совіт, Р.Н. Молчанов, О. Блюсс // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 2. — С. 40-44. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT bulataf matematičnemodelûvannâkonvektivnodifuzíjnogomasoperenosuvkomírcígemodíalíznogoaparata AT êlísêêvví matematičnemodelûvannâkonvektivnodifuzíjnogomasoperenosuvkomírcígemodíalíznogoaparata AT sovítûp matematičnemodelûvannâkonvektivnodifuzíjnogomasoperenosuvkomírcígemodíalíznogoaparata AT molčanovrn matematičnemodelûvannâkonvektivnodifuzíjnogomasoperenosuvkomírcígemodíalíznogoaparata AT blûsso matematičnemodelûvannâkonvektivnodifuzíjnogomasoperenosuvkomírcígemodíalíznogoaparata |
| first_indexed |
2025-07-13T00:15:18Z |
| last_indexed |
2025-07-13T00:15:18Z |
| _version_ |
1837488675594698752 |
| fulltext |
40 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 2
Створення нових матеріалів і розвиток мембранних технологій [1, 2] уможливили розробку
більш сучасного медичного обладнання, зокрема апаратів для сепарації і очищення крові.
Штучне очищення крові в сучасній медицині загально визнане і використовується як ефек
тивний метод для іонного гомеостазу, детоксикації і дегідратації організму [3]. Одним із
перспективних напрямів використання діалізу є контрольована доставка препаратів [4].
Цей метод може застосовуватися для рівномірної доставки ліків в організм, а також в бага
тьох технологічних процесах інших галузей. Процес гемодіалізу пов’язаний з перебігом
складних масообмінних процесів у каналах, що розділені мембранними перегородками, че
рез які фільтрується рідина і дифундують низькомолекулярні компоненти крові: сечовина,
креатинін, токсичні речовини тощо. Основою гемодіалізного апарата є пучок порожнистих
волокон, стінки яких є напівпроникними мембранами. Всередину волокна подається кров
пацієнта, а в міжволоконний простір — діалізний розчин, як правило, в протитечії. Внаслідок
перепаду тиску на мембрані потік рідини, що становить 90 % плазми крові, разом з метабо
літами фільтрується в діалізний канал, через що концентрація формених елементів і про
теїнів у волокні збільшується, що супроводжується підвищенням в’язкості крові. Кров є
гетерогенним середовищем, вона складається з кров’яних клітин (формені елементи — дис
© А.Ф. Булат, В.І. Єлісєєв, Ю.П. Совіт, Р.Н. Молчанов, О. Блюсс, 2019
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.02.040
УДК [532.54:532.72:615.002.5]:51.001.57
А.Ф. Булат 1, В.І. Єлісєєв 1, Ю.П. Совіт 2,
Р.Н. Молчанов 3, О. Блюсс 4
1 Інститут геотехнічної механіки ім. М.С. Полякова НАН України, Дніпро
2 Дніпровський національний університет ім. Олеся Гончара
3 ДЗ “Дніпропетровська медична академія МОЗ України”, Дніпро
4 Лондонський університет королеви Марії, Великобританія
Email: igtmnanu@ukr.net
Математичне моделювання конвективнодифузійного
масопереносу в комірці гемодіалізного апарата
Представлено академіком НАН України А.Ф. Булатом
На основі теорії масопереносу і аналізу задачі гемодіалізу запропоновано математичну модель комірки гемо
діалізного апарата. Отримано відносні витрати нейтральних компонентів і їх розподіл в розрахунковій
області з урахуванням гідродинамічного впливу напівпроникної мембрани. Показано можливість регулюван
ня витратами компонентів за допомогою профілювання опору мембрани.
Ключові слова: гемодіаліз, масоперенос, дифузія, розподіл компонентів.
41ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 2
Математичне моделювання конвективнодифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата
персне середовище) і дисперсійно плинної маси — плазми. Плазма являє собою біологіч
ний колоїдний розчин, що містить як низькомолекулярні речовини, так і високомолеку
лярні білкові сполуки. В цілому процес гемодіалізу розглядається на сьогодні як з гідроди
намічних позицій [5, 6], так і на засадах теорії конвективнодифузійного масопереносу за
наявності молекулярної взаємодії компонентів з поверхнями апарату [7, 8]. У цій роботі на
основі математичної моделі розглянуто деякі питання масопереносу, які мають істотне зна
чення в практиці гемодіалізу і в інших мембранних технологіях.
Математична модель масопереносу. Основне рівняння для електрично нейтральних
компонентів можна записати у вигляді [9]
, , , , ,
, ,
( )J K J J K J J K J K J K J
J J J K J J K J J
c c c c c
u v D D r J
t x r x x r r r
∂ ρ ∂ρ ∂ρ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = ρ + ρ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, (1)
де t — час; ,x r — система координат; ,J Ju v — компоненти швидкості; ,K Jc — концентра
ція дослідної компоненти; ,K JD — коефіцієти дифузії; JJ визначає зміну концентрації; ін
декс , ,J C M D= позначає область течії: в капілярі (C), мембрані (M) і діалізному каналі
(D); індекс K належить до компонентів: 1K = — досліджуваний компонент, що знаходить
ся в крові і дифундує в діалізний розчин; 2K = — досліджуваний компонент, що знахо
диться в діалізному розчині і дифундує в капіляр. Приймемо в подальшому, що 0JJ = ; ко
ефіцієнти дифузії в кожній з областей різні, але постійні; густина рідини в капілярі зміню
ється тільки уздовж капіляра, а густина рідин у мембрані і діалізному каналі постійні і
дорівнюють один одному, тобто M Dρ = ρ . Як граничні умови використовуватимемо відомі
з теорії масообміну співвідношення [10]: рівності масових потоків і концентрацій. Так, зо
крема, на границях капіляр — мембрана і мембрана — діалізний канал умови для концентра
цій мають вигляд
, , ,( , ) ( , )
C CK M r R K MC K C r Rс x r H c x r= == ,
, , ,( , ) ( , )
M MK M r R K MD K D r Rс x r H c x r= == ,
де CR — радіус капіляра, він же внутрішній радіус мембрани; MR — зовнішній радіус мем
брани, або внутрішній радіус діалізного каналу; ,K MCH і ,K MDH — коефіцієнти Генрі.
Для пасивних щодо розчину мембран можна прийняти, що , ( / )K MC D CH = ρ ρ і , 1K MDH = .
На осі капіляра виконуються умови симетрії, на стінці діалізного каналу — умови рівно
сті нулю потоків. У торцевих ділянках комірки співвідношення мають такий вигляд: у капі
лярі, де L — довжина капіляра,
1, 0(0, )C Cс r С= , 1,( / ) 0C x Lc x =∂ ∂ = ;
2, 2, 0[ ( / )] 0C C C xu D c x =− ∂ ∂ = , 2,( / ) 0C x Lc x =∂ ∂ = ;
(2)
у діалізному каналі
1, 0( / ) 0D xc x =∂ ∂ = , 1, 1,[ ( / )] 0D D D x Lu D c x =− ∂ ∂ = ;
2, 0( / ) 0D xc x =∂ ∂ = , 2, 0( , )D Dс L r C= ;
(4)
42 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 2
А.Ф. Булат, В.І. Єлісєєв, Ю.П. Совіт, Р.Н. Молчанов, О. Блюсс
у мембрані має місце рівність нулю потоків досліджуваних компонентів. Виписана сис
тема рівнянь і граничних умов досить загальна, що дає можливість моделювати складні
випадки масообміну. Відзначимо, що значення швидкості ,J Ju v знаходяться, як правило,
з розв’язку гідравлічної задачі. З огляду на квазілінійний характер течії з метою отриман
ня закономірностей масопереносу, пов’язаного з подачею деякого компонента в діалізний
розчин, можна розглядати зворотну задачу, тобто задавати профіль поздовжньої і попе
речної швидкості відповідно, а потім профілювати опір мембрани. Як приклад розгля
немо таку модельну задачу. Приймемо, що швидкість у капілярі має профіль Пуазейля і
подана у вигляді
2
0 [1 ( ) ](1 )C C C Cu U a b= − + ς ς − η ,
де /x Lς = , / Cr Rη = , Ca і Cb — коефіцієнти, що характеризують перетікання рідини, що
фільтрується через мембрану. У дослідженні для модельного уявлення була взята наведена
залежність зміни швидкості крові в капілярі, яка може бути доповнена відповідно до чи
сельного розв’язку гідравлічної задачі. Густина крові, що записана у вигляді С R R P P F Fρ = α ρ + α ρ + α ρ
С R R P P F Fρ = α ρ + α ρ + α ρ , де , ,R P Fρ ρ ρ — густина розчину, що фільтрується ( R Dρ = ρ ), протеїнів у плаз
мі і формених елементів відповідно; , ,R P Fα α α — об’ємна частка цих компонентів крові,
визначається за умов збереження маси, кожного з цих компонентів. Було прийнято, що всі
компоненти крові мають одну й ту саму поздовжню швидкість. Беручи до уваги, що
1R P Fα + α + α = , за умов збереження маси визначаються відповідні залежності зміни
об’ємної частки компонентів уздовж поздовжньої осі. Це, у свою чергу, дає можливість
знайти значення поперечної швидкості, як у капілярі, мембрані, так і в діалізному каналі.
Розв’язання виписаної системи проводилося чисельно явним методом після обезроз
мірювання і введення масштабу часу 2/CT R D= . У розрахунках було прийнято: L = 30 см,
RC = 0,3 мм; RM = 0,35 мм; RD = 0,7 мм; D = (10)–9 м2/c; 1, 2, 0,9C CD D D= = ; 1, 2, 0,2M MD D D= = ;
1, 2,D DD D D= = ; 0 0,4Fα = ; 0 0,1Pα = ; 1090 /Fρ = кг/м3; 0 0 1020 /PL R R P P кг мρ = α ρ + α ρ = кг/м3 (гус
тина плазми крові); 1000 /R кг мρ = кг/м3 [6, 7].
Результати розв’язання показані на рисунку: а — 1 1 10/D Dg G G= , б — 2 2 20/CСg G G= , де
G10, G1D — масова витрата першого досліджуваного компонента на вході в капіляр і на
Зміна відносної витрати компонента 1 на виході з діалізного каналу (а) і з капіляра (б) залежно від вели
чини 0DU і коефіцієнта Ca ( 0СU = 0,01 м/с): 1 — Ca = 0,001; 2 — 0,01; 3 — 0,04; 4 — 0,08; 5 — 0,1
43ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 2
Математичне моделювання конвективнодифузійного масопереносу в комірці гемодіалізного апарата
виході з діалізного каналу відповідно; G20, G2С — масова витрата другого досліджуваного
компонента на вході в діалізний канал і на виході з капіляра відповідно.
На рисунку, а наведені залежності 1Dg від швидкості 0DU для різних значень Ca при
0Cb = . У випадку малих значень Ca (0,001 і 0,01) маємо практично дифузійне перенесен
ня компонента 1 з капіляра в діалізний канал. Зі збільшенням значення Ca роль фільтрацій
ної швидкості зростає, внаслідок чого витрата компонента 1 у діалізному каналі помітно
підвищується. Вплив швидкості діалізного розчину в межах вказаного інтервалу швидко
стей на перенесення компонента 1 порівняно невелика. Воно, звичайно, пов’язано з вине
сенням даного компонента від зовнішньої поверхні мембрани всередину каналу за рахунок
поперечної швидкості і за рахунок осьової швидкості до вихідного перетину.
Аналіз залежностей відносних витрат 2Cg (див. рисунок, б) показує, що досліджуваний
компонент проникає в капіляр з кров’ю з діалізного розчину, при цьому його величина
сла бо зростає зі збільшенням швидкості розчину, хоча його відносна величина швидко
падає. Величина фільтраційного потоку сильно впливає на відношення 2 20/СG G . Залеж
ності 1 і 2 практично збігаються, що також підтверджує практично дифузійне перенесення
компо нента при таких значеннях швидкості фільтрації. Далі із зростанням коефіцієнта Ca
зменшується потік з діалізного каналу. Це природно, тому що конвективна складова про
цесу стає більшою від дифузійної. Розрахунки були проведені до 0,1Ca = , з подальшим
збільшенням параметра Ca відношення 2 20/СG G стає приблизно однаковим з розрахун
ковою помилкою.
Величину проникнення різних речовин можна регулювати, як шляхом зміни переті
кання рідини, що фільтрується, так і за умови утримання загального перетікання, але за
рахунок профілювання опору мембран, відповідно за визначеними величинами Ca і Cb .
Таким чином, за допомогою моделювання процесу гемодіалізу доведено можливість під ви
щен ня його ефективності шляхом регульованого перетікання компонентів.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Брык М.Т., Цапюк Е.А. Ультрафильтрация. Киев: Наук. думка, 1989. 288 с.
2. Брык М.Т., Голубев В.Н., Чагаровский А.П. Мембранная технология в пищевой промышленности.
Киев: Урожай, 1991. 224 с.
3. Стецюк Е.А. Основы гемодиализа. Москва: ИД ГЭОТАРМЕД, 2001. 392 с.
4. Pallone T.L., Hyver S., Petersen J. The simulation of continuous arteriovenous hemodialysis with a
mathematical model. Kidney Int. 1989. 35. Р. 125—133.
5. Eloot S. Experimental and numerical modeling of dialysis: PhD dissertation / Ghent University, Gent, 2004.
6. Каграманов Г.Г. Диффузионные мембранные процессы: учеб. пособие. Москва: РХТУ им. Менделеева,
2009. 73 с.
7. Aniort J., Chupin L., Cîndea N. Mathematical model of calcium exchange during hemodialysis using a citrate
containing dialysate. Math. Med. Biol. 2018. 35, suppl. 1. Р. 87—120. doi: https://doi.org/10.1093/imammb/
dqx013
8. Annan K. Mathematical modeling for hollow fiber dialyzer: blood and 3HCO− dialysate flow characteristics.
Int. J. Pure Appl. Math. 2012. 79, № 3. Р. 425—452.
9. ЭрдеиГруз Т. Явления переноса в водных растворах. Москва: Мир, 1986. 595 с.
10. Дытнерский Ю.И. Процессы и аппараты химической технологии. Ч. 2. Массообменные процессы и
аппараты. Москва: Химия, 1995. 366 с.
Надійшло до редакції 04.12.2018
44 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 2
А.Ф. Булат, В.І. Єлісєєв, Ю.П. Совіт, Р.Н. Молчанов, О. Блюсс
REFERENCES
1. Bryik, M. T. & Tsapyuk, E. A. (1989). Ultrafiltration. Кiev: Naukova Dumka (in Russian).
2. Bryik, M. T. Golubev, V. N. & Chagarovskiy, A. P. (1991). Membrane technology in the food industry. Кiev:
Urozhay (in Russian).
3. Stetsyuk, E. A. (2001). Basics of hemodialysis. Moscow: GEOTARMED (in Russian).
4. Pallone, T. L., Hyver, S. & Petersen, J. (1989). The simulation of continuous arteriovenous hemodialysis with
a mathematical model. Kidney Int., рр. 125133.
5. Eloot, S. (2004). Experimental and numerical modeling of dialysis (PhD dissertation). Ghent University,
Gent (in Belgium).
6. Kagramanov, G. G. (2009). Diffusion membrane processes: tutorial. Moscow: RHTU im. Mendeleeva (in
Russian).
7. Aniort, J., Chupin, L. & Cîndea, N. (2018). Mathematical model of calcium exchange during hemodialysis
using a citrate containing dialysate. Math. Med. Biol., 35, suppl. 1, pp. 87120. doi: https://doi.org/10.1093/
imammb/dqx013
8. Annan, K. (2012). Mathematical modeling for hollow fiber dialyzer: blood and 3HCO− dialysate flow
characteristics. Int. J. Pure Appl. Math., 79, No. 3, pp. 425452.
9. ErdeiGruz, T. (1986). Transfer phenomena in aqueous solutions. Moscow: Mir (in Russian).
10. Dyinerskiy, Yu. I. (1995). Processes and devices of chemical technology. Pt. 2. Mass transfer processes and
devices. Moscow: Khimiya (in Russian).
Received 04.12.2018
А.Ф. Булат 1, В.И. Елисеев 1, Ю.П. Совит 2, Р.Н. Молчанов 3, О. Блюсс 4
1 Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова НАН Украины, Днипро
2 Днипровский национальный университет им. Олеся Гончара
3 ГУ “Днепропетровская медицинская академия МОЗ Украины”, Днипро
4 Лондонский университет королевы Марии, Великобритания
Еmail: igtmnanu@ukr.net
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОДИФФУЗИОННОГО
МАССОПЕРЕНОСА В ЯЧЕЙКЕ ГЕМОДИАЛИЗНОГО АППАРАТА
На основе теории массопереноса и анализа задач гемодиализа предложена математическая модель ячей
ки гемодиализного аппарата. Получены относительные расходы нейтральных компонентов и их распреде
ления в расчетной области с учетом гидродинамического влияния полупроницаемой мембраны. Показана
возможность регулирования расходами этих компонентов с помощью профилирования сопротивления
мембраны.
Ключевые слова: гемодиализ, массоперенос, диффузия, распределение компонентов.
А.F. Bulat 1, V.I. Eliseev 1, Yu.P. Sovit 2, R.N. Molchanov 3, O. Blyuss 4
1 N. Polyakov Institute of Geotechnical Mechanics of the NAS of Ukraine, Dnipro
2 Oles Honchar Dnipro National University
3 “Dnipropetrovsk Medical Academy of the Ministry of Health of Ukraine”, Dnipro
4 Queen Mary University of London, United Kingdom
Еmail: igtmnanu@ukr.net
MATHEMATICAL MODELING OF THE CONVECTIVEDIFFUSIVE
MASS TRANSFER IN A HEMODIALYSIS CELL
A mathematical model of a hemodialysis cell is proposed based on the theory of mass transfer and the analysis of
the hemodialysis problem. Relative costs of the neutral components and their distributions in the calculated area
are obtained with the hydrodynamic effect of a semipermeable membrane taken into account. The ability to
regulate the costs of these components by profiling the membrane resistance is shown.
Keywords: hemodialysis, mass transfer, diffusion, distribution of components.
|