Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів
Розглянуто задачу побудови емпіричних формул декількох змінних для наближеного представлення експериментальних даних. Для знаходження оптимальних значень параметрів емпіричних формул запропоновано адаптувати алгоритм диференціальної еволюції. Це один із кращих еволюційних алгоритмів, який стабільно...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2018
|
| Назва видання: | Математичні машини і системи |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/150646 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів / Л.П. Вакал, Є.С. Вакал // Математичні машини і системи. — 2018. — № 3. — С. 109-116. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-150646 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1506462019-04-16T01:25:08Z Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів Вакал, Л.П. Вакал, Є.С. Моделювання і управління Розглянуто задачу побудови емпіричних формул декількох змінних для наближеного представлення експериментальних даних. Для знаходження оптимальних значень параметрів емпіричних формул запропоновано адаптувати алгоритм диференціальної еволюції. Це один із кращих еволюційних алгоритмів, який стабільно знаходить глобальний оптимум функції за мінімальний час. Рассмотрена задача построения эмпирических формул нескольких переменных для приближенного представления экспериментальных данных. Для нахождения оптимальных значений параметров эмпирических формул предложено адаптировать алгоритм дифференциальной эволюции. Это один из лучших эволюционных алгоритмов, стабильно находящий глобальный оптимум функции за минимальное время. The problem of constructing empirical formulas of several variables for experimental data approximation is considered. It is proposed to adapt a differential evolution algorithm for finding optimal parameters of the empirical formulas. It is one of the best evolutionary algorithms stably finding function global optimum in minimum time. 2018 Article Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів / Л.П. Вакал, Є.С. Вакал // Математичні машини і системи. — 2018. — № 3. — С. 109-116. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/150646 519.657:004.021 uk Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Моделювання і управління Моделювання і управління |
| spellingShingle |
Моделювання і управління Моделювання і управління Вакал, Л.П. Вакал, Є.С. Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів Математичні машини і системи |
| description |
Розглянуто задачу побудови емпіричних формул декількох змінних для наближеного представлення експериментальних даних. Для знаходження оптимальних значень параметрів емпіричних формул запропоновано адаптувати алгоритм диференціальної еволюції. Це один із кращих еволюційних алгоритмів, який стабільно знаходить глобальний оптимум функції за мінімальний час. |
| format |
Article |
| author |
Вакал, Л.П. Вакал, Є.С. |
| author_facet |
Вакал, Л.П. Вакал, Є.С. |
| author_sort |
Вакал, Л.П. |
| title |
Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів |
| title_short |
Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів |
| title_full |
Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів |
| title_fullStr |
Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів |
| title_full_unstemmed |
Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів |
| title_sort |
знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Моделювання і управління |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/150646 |
| citation_txt |
Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів / Л.П. Вакал, Є.С. Вакал // Математичні машини і системи. — 2018. — № 3. — С. 109-116. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT vakallp znahodžennâoptimalʹnihparametrívempíričnihformuldekílʹkohzmínnihzadopomogoûevolûcíjnihalgoritmív AT vakalês znahodžennâoptimalʹnihparametrívempíričnihformuldekílʹkohzmínnihzadopomogoûevolûcíjnihalgoritmív |
| first_indexed |
2025-07-13T00:26:44Z |
| last_indexed |
2025-07-13T00:26:44Z |
| _version_ |
1837489360105111552 |
| fulltext |
© Вакал Л.П., Вакал Є.С., 2018 109
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2018, № 3
МОДЕЛЮВАННЯ І УПРАВЛІННЯ
УДК 519.657:004.021
Л.П. ВАКАЛ
*
, Є.С. ВАКАЛ
**
ЗНАХОДЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ПАРАМЕТРІВ ЕМПІРИЧНИХ ФОРМУЛ
ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ ЗА ДОПОМОГОЮ ЕВОЛЮЦІЙНИХ АЛГОРИТМІВ
*
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м. Київ, Україна
**
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, Україна
Анотація. Розглянуто задачу побудови емпіричних формул декількох змінних для наближеного
представлення експериментальних даних. Для знаходження оптимальних значень параметрів ем-
піричних формул запропоновано адаптувати алгоритм диференціальної еволюції. Це один із кра-
щих еволюційних алгоритмів, який стабільно знаходить глобальний оптимум функції за мінімаль-
ний час. Еволюційний процес в алгоритмі починається з генерації популяції випадкових векторів,
координати яких представляють собою можливі значення шуканих параметрів. Далі з викорис-
танням операторів схрещування, мутації та селекції вектори постійно модифікуються з метою
зменшення похибки наближення експериментальних даних емпіричною формулою. Алгоритм заве-
ршується, якщо вичерпано максимальне число поколінь популяції або відбувається стагнація ево-
люційного процесу. Запропонований алгоритм дозволяє знаходити оптимальні значення парамет-
рів емпіричних формул різних типів (лінійних і нелінійних відносно параметрів) з використанням
різних норм: квадратичної, рівномірної та ін. Визначено найкращі значення параметрів налашту-
вання алгоритму: розміру популяції, сили мутації, ймовірності схрещування. Розглянуто приклади
побудови лінійної емпіричної формули чотирьох змінних для обчислення вмісту оксиду заліза за
показниками рентгенівського емісійного датчика та нелінійної емпіричної формули двох змінних
для наближеного подання експериментальних даних щодо густини розбавленого сольового розчину
в залежності від температури і концентрації солі. Отримані результати наближення експериме-
нтальних даних з різних областей науки і техніки дозволили зробити висновок про ефективність
запропонованого алгоритму. Крім того, він простий у реалізації та використанні (містить мало
параметрів, що потребують налаштування).
Ключові слова: емпірична формула декількох змінних, експериментальні дані, диференціальна еволю-
ція, квадратичне наближення, рівномірне наближення.
Аннотация. Рассмотрена задача построения эмпирических формул нескольких переменных для
приближенного представления экспериментальных данных. Для нахождения оптимальных значе-
ний параметров эмпирических формул предложено адаптировать алгоритм дифференциальной
эволюции. Это один из лучших эволюционных алгоритмов, стабильно находящий глобальный оп-
тимум функции за минимальное время. Эволюционный процесс в алгоритме начинается с генера-
ции популяции случайных векторов, координаты которых представляют собой возможные значе-
ния искомых параметров. Далее с использованием операторов скрещивания, мутации и селекции
векторы постоянно модифицируются в целях уменьшения погрешности приближения экспери-
ментальных данных эмпирической формулой. Алгоритм заканчивается, если исчерпано макси-
мальное число поколений или происходит стагнация эволюционного процесса. Предложенный ал-
горитм позволяет находить оптимальные значения параметров эмпирических формул разных ти-
пов (линейных и нелинейных относительно параметров) с использованием различных норм: квад-
ратичной, равномерной и др. Определены наилучшие значения параметров настройки алгоритма
дифференциальной эволюции: размера популяции, силы мутации, вероятности скрещивания. Рас-
смотрены примеры построения линейной эмпирической формулы четырех переменных для вычис-
ления содержания оксида железа по показаниям рентгеновского эмиссионного датчика и нелиней-
ной эмпирической формулы двух переменных для приближенного представления эксперименталь-
ных данных о плотности разбавленного солевого раствора в зависимости от температуры и кон-
центрации соли. Полученные результаты приближений экспериментальных данных из разных об-
ластей науки и техники позволили сделать вывод об эффективности предложенного алгоритма.
110 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2018, № 3
Кроме того, он прост в реализации и использовании (содержит мало параметров, требующих
настройки).
Ключевые слова: эмпирическая формула нескольких переменных, экспериментальные данные, диффе-
ренциальная эволюция, квадратичное приближение, равномерное приближение.
Abstract. The problem of constructing empirical formulas of several variables for experimental data ap-
proximation is considered. It is proposed to adapt a differential evolution algorithm for finding optimal
parameters of the empirical formulas. It is one of the best evolutionary algorithms stably finding function
global optimum in minimum time. In the algorithm the evolutionary process begins with a generation of
random vectors population. Coordinates of the vectors are the possible values of the required parameters.
Further, the vectors are constantly modified using operators of crossover, mutation and selection in order
to decrease an approximation error of experimental data by an empirical formula. The algorithm is ended
if maximum number of population generations is exhausted or the evolutionary process stagnates. The
algorithm permits to find optimal values of parameters for linear and nonlinear (with respect to the pa-
rameters) empirical formulas using different norms: quadratic, uniform, etc. The best values of setting
parameters of the differential evolution algorithm such as a population size, a mutation force, a crossing
probability are determined. Two examples of constructing a linear empirical formula of four variables for
calculating the iron oxide content from indications of an X-ray emission sensor and constructing a nonlin-
ear empirical formula of two variables for approximation of experimental data on density of dilute solu-
tion as a function of temperature and salt concentration are considered. The obtained results of approxi-
mations for experimental data from different fields of science and technology permit to conclude that the
proposed algorithm is effective. It is already simple for programming and using (it contains few setting
parameters requiring customization).
Keywords: empirical formula of several variables, experimental data, differential evolution, quadratic
approximation, uniform approximation.
1. Вступ
Сучасний рівень розвитку науки передбачає проведення широкомасштабних експеримен-
тів з метою вивчення закономірностей різних фізичних явищ. При експериментальному
вивченні функціональної залежності величини y від sxx ,,1 виконують серію з m вимі-
рювань y при різних значеннях величин sxx ,,1 . Отримані результати, як правило, пода-
ються у вигляді таблиці або графічно. Точна функціональна залежність y від 1, , sx x неві-
дома і через обмежену кількість значень, а також наявність випадкових помилок, однозна-
чно відтворити її на основі експериментальних даних неможливо. Тому намагаються побу-
дувати емпіричну формулу (функцію, модель), яка б достатньо добре наближала значення
ky , mk ,,1 [1 5]. Велика кількість формул, що застосовуються в науці та техніці, є
емпіричними. Відомо багато прикладів того, як отримання вдалої емпіричної функції стало
важливою віхою на шляху до великих наукових відкриттів [2, 3].
Емпірична формула містить низку параметрів, які підлягають визначенню. Знахо-
дження оптимальних значень параметрів формули декількох змінних, особливо в неліній-
ному відносно невідомих параметрів випадку, досить непроста задача. Її розв’язання пот-
ребує застосування чисельних методів і громіздких алгоритмів. Тому актуальним є ство-
рення ефективних і водночас нескладних алгоритмів для розв’язання вказаної задачі.
Мета роботи розробити ефективний і водночас нескладний у реалізації алгоритм
знаходження оптимальних параметрів лінійних і нелінійних емпіричних формул декількох
змінних для наближеного представлення експериментальних даних з використанням різ-
них норм наближення (квадратичної, рівномірної та ін.).
З цієї точки зору перспективним є підхід, що ґрунтується на використанні еволю-
ційних алгоритмів (ЕА) новітнього ефективного інструменту розв’язання оптимізаційних
задач [6 10]. До групи ЕА належать генетичні алгоритми, еволюційні стратегії, алгоритм
оптимізації мурашиної колонії, диференціальна еволюція тощо. У статті для знаходження
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2018, № 3 111
оптимальних значень параметрів емпіричних формул пропонується адаптувати один із кра-
щих ЕА алгоритм диференціальної еволюції (ДЕ) [11], який стабільно знаходить опти-
мум функції за мінімальний час. Крім того, він простий у реалізації та використанні (міс-
тить мало параметрів, що потребують налаштування).
2. Постановка задачі та аналіз методів її розв’язання
Нехай при експериментальному вивченні невідомої функціональної залежності y від
sxx ,,1 у результаті m вимірювань отримано таблицю відповідних значень kskk yxx ,,,1
( mk ,,1 ). Задача побудови емпіричної формули для наближеного представлення екс-
периментальних даних kskk yxx ,,,1 полягає у знаходженні формули
),,;,,( 11 ns aaxxfy , (1)
значення якої при sksk xxxx ,,11 якомога менше відрізнялися б від ky , mk ,,1 .
Невідомі величини naa ,,1 називаються параметрами (коефіцієнтами) емпіричної форму-
ли. Побудова емпіричної формули складається з двох етапів: вибору типу формули та ви-
значення найкращих значень її параметрів. Будемо вважати, що на основі теоретичних мі-
ркувань щодо характеру досліджуваної функціональної залежності або за допомогою спе-
ціальних прийомів [2, 3, 5] тип формули вибрано, і перейдемо до другого етапу знахо-
дження найкращих значень параметрів naa ,,1 .
Позначимо через k відхилення ky від значень, обчислених за формулою (1)
1 1 1 1( , , ) ( , , ) [ ( , , ; , , )]k n k sk k k sk na a w x x y f x x a a , mk ,,1 , (2)
де 0),,( 1 sxxw деяка задана вагова функція. При 1),,( 1 sxxw маємо абсолютне
відхилення, при kskk yxxw 1),,( 1 відносне відхилення. Найкращими або оптималь-
ними називаються такі значення параметрів naa ,,1 , для яких вибрана норма відхилення
буде мінімальною. На практиці найчастіше використовуються такі норми:
квадратична
m
k
inaa
1
2
12 ),,( ; (3)
рівномірна або чебишовська
k
mk
nC aa
1
1 max),,( ; (4)
норма 1l
m
k
knaa
1
11 ),,( . (5)
Оскільки реальні фізичні процеси здебільшого мають нелінійний характер, то для
адекватного їх представлення доцільно використовувати нелінійні емпіричні формули. Ро-
зрізняють два типи нелінійних формул. До першого відносяться формули, нелінійні відно-
сно змінних sxx ,,1 , але лінійні відносно шуканих параметрів naa ,,1 . Такі формули на-
зиваються суттєво лінійними і можуть записуватися у вигляді
n
i
siins xxaaaxxf
1
111 ),,(),,;,,( , (6)
112 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2018, № 3
де i нелінійні функції змінних sxx ,,1 . До другого типу належать емпіричні формули,
нелінійні відносно параметрів naa ,,1 . Вони називаються суттєво нелінійними. Серед них
можна виділити формули, які відповідним перетворенням змінних зводяться до лінійних
відносно параметрів формул. Ці нелінійні емпіричні формули разом із суттєво лінійними
називаються внутрішньо лінійними формулами. Суттєво нелінійні емпіричні формули, які
до лінійного відносно параметрів вигляду не приводяться, називаються внутрішньо нелі-
нійними.
У випадку квадратичної норми (3) параметри внутрішньо лінійних формул знахо-
дяться за методом найменших квадратів досить просто з нормальної системи лінійних рів-
нянь. Однак слід пам’ятати, що у загальному випадку перетворення змінних порушує
принцип найменших квадратів, тобто після повернення до старих змінних можна прийти
до неадекватної формули. Оптимальні параметри суттєво нелінійних емпіричних формул
можуть визначатися ітераційними методами з системи нелінійних рівнянь. Оскільки така
система часто має декілька розв’язків, то при невдалому виборі початкових значень можна
взагалі не отримати задовільний за точністю результат.
У випадку рівномірної норми (4) знайти параметри емпіричної формули складніше,
ніж у методі найменших квадратів. Зокрема, для знаходження параметрів емпіричної фор-
мули виду (6) можна застосовувати алгоритми найкращої рівномірної апроксимації функ-
ції декількох змінних узагальненим многочленом, які здебільшого зводяться до
розв’язання задачі лінійного програмування модифікованим симплекс-методом [1, 4, 12,
13]. Слід зазначити, що використання норми (4) в задачах наближення експериментальних
даних має важливе значення з методологічної точки зору. Ще Лаплас писав, що тільки на-
ближення за критерієм найкращої рівномірної апроксимації дозволяють строго ставити і
вирішувати питання про те, чи вкладаються отримані експериментальні дані в емпіричну
формулу того або іншого типу [14, с. 11].
Далі описується алгоритм ДЕ, який дозволяє знаходити оптимальні значення пара-
метрів як внутрішньо лінійних, так і внутрішньо нелінійних емпіричних формул декількох
змінних. Алгоритм простий у реалізації та не потребує використання чисельних методів.
3. Алгоритм
В алгоритмі ДЕ моделюються базові процеси біологічної еволюції: схрещування, мутація,
відбір [11]. Еволюційний процес починається з генерації популяції випадкових векторів,
координати яких представляють собою можливі значення параметрів naa ,,1 емпіричної
формули (1). Далі для кожного вектора покоління, який називається базовим, створюється
мутантний вектор. Над останнім виконується операція схрещування, в ході якої деякі його
координати заміщуються координатами базового вектора. Отриманий після схрещування
вектор називається пробним. Якщо він виявляється кращим за базовий, тобто його значен-
ня цільової функції (критерію оптимізації) менше, то в новому поколінні базовий вектор
замінюється на пробний, у протилежному випадку в новому поколінні зберігається базо-
вий вектор. Такий оператор відбору гарантує, що найменше значення цільової функції не
буде пропущено, що приводить до швидкої збіжності алгоритму. Еволюційний процес в
алгоритмі ДЕ завершується, якщо виконується одна з термінальних умов (вичерпано мак-
симальне число популяцій та ін. [11]).
Далі наводиться покроковий опис алгоритму ДЕ для знаходження оптимальних зна-
чень параметрів емпіричної формули декількох змінних.
1. Генерується початкове покоління векторів ),,( 1 inii vvV , NP,,i 1 , де NP –
розмір популяції. Координати jiv ( n,,j 1 ) вектора iV – випадкові числа з інтервалу
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2018, № 3 113
1][-1, . Слід зазначити, що межі цього інтервалу мають значення лише на кроці початкової ге-
нерації, в подальшій еволюції простір пошуку, у принципі, є необмеженим.
2. Для базового вектора iV ( NP,,i 1 ) з поточного покоління вибираються три ви-
падкових вектори dcb VVV ,, ( idcb ) і створюється мутантний вектор bV
~
:
( )b b c dV V FM V V ,
де FM – деяка додатна дійсна константа з проміжку ]2,0[ , яка називається коефіцієнтом
або силою мутації і визначає амплітуду збурень, що вносяться в вектор bV .
3. Обчислюються координати пробного вектора iU :
, якщо rand(0,1)
, якщо rand(0,1)
jb rand
j i
j i rand
v CR j j
u
v CR j j
,
де 1)rand(0, – випадкове число з інтервалу )10( , , CR задана ймовірність схрещування.
4. Для включення в нове покоління вибирається той із векторів iU і iV , значення ці-
льової функції якого менше. Цільова функція F обчислюється за формулою
)()( ii VVF ,
де )( iV визначається з формул (2) і (3) у випадку квадратичної норми, з формул (2) і (4) –
для чебишовської норми та з формул (2) і (5) – у випадку норми 1l . Чим ближче значення
цільової функції вектора до нуля, тим ближче закодовані у цьому векторі значення параме-
трів до оптимальних.
5. Алгоритм ДЕ завершує роботу, якщо виконується одна з умов:
1) вичерпано максимальне число поколінь m axp (за умовчанням 200maxp );
2) відбувається стагнація еволюційного процесу, тобто відносний розкид значень
цільової функції в популяції менше заданої величини (за умовчанням 310 ):
1, , 1, ,1, ,
max ( ) min ( ) min ( )i i i
i NP i NPi NP
F V F V F V .
Якщо жодна з цих умов не виконується, то відбувається перехід до п. 2.
Розмір популяції NP, сила мутації FM та ймовірність схрещування CR є параметра-
ми налаштування алгоритму ДЕ. За результатами тестування рекомендується вибирати
значення вказаних параметрів у таких діапазонах: nNPn 105 , 6040 ,FM, ,
18,0 СR . Зазначимо також, що через стохастичний характер алгоритму ДЕ для отри-
мання прийнятного результату потрібно зробити декілька його запусків.
4. Результати обчислювальних експериментів
Виконано серію обчислювальних експериментів по наближенню експериментальних даних
з різних областей науки і техніки емпіричними формулами декількох змінних з викорис-
танням алгоритму ДЕ. Отримані результати підтвердили ефективність цього алгоритму
для знаходження оптимальних значень параметрів як суттєво лінійних, так і суттєво нелі-
нійних (у тому числі, внутрішньо нелінійних) емпіричних формул, побудованих з викорис-
танням різних норм наближення. Нижче наведено декілька прикладів.
Приклад 1. Рентгенівський емісійний датчик має чотири канали для вимірювання у
досліджуваному матеріалі оксидів кремнію, алюмінію, заліза та кальцію, при цьому прису-
тність одного компонента впливає на покази датчика, пов’язані з іншими компонентами. В
ході експерименту знімалися покази кожного з чотирьох каналів по низці спроб, після чого
114 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2018, № 3
шляхом хімічного аналізу спроб у мокрому вигляді встановлювався «справжній вміст» цих
компонентів. За наведеними у табл. 1 даними експерименту щодо вмісту оксиду заліза
Fe2O3 [15] потрібно знайти коефіцієнти лінійної емпіричної формули:
453423121 xaxaxaxaay ,
де y «справжній вміст» оксиду заліза (у %), 4321 ,,, xxxx покази чотирьох каналів рент-
генівського емісійного датчика (в імпульсах за секунду).
Таблиця 1 – Дані експерименту і результати розрахунків щодо вмісту оксиду заліза
Спро-
ба
x1 x2 x3 x4 y обч
~y обч.
~- yy обчy
обч.- yy
1 598,95 37,45 335,65 7185,3 0,53 0,479 0,051 0,487 0,044
2 1051,10 15,20 211,20 5739,8 0,38 0,378 0,002 0,423 0,043
3 115,50 8,68 105,50 8547,0 0,18 0,187 0,007 0,165 0,015
4 28,40 8,50 155,60 7598,5 0,23 0,244 0,014 0,274 0,044
5 910,60 183,70 738,45 5205,5 1,05 1,045 0,005 1,041 0,009
6 1102,50 205,58 999,90 4680,3 1,31 1,336 0,026 1,354 0,044
7 577,80 41,15 301,35 7317,8 0,45 0,446 0,004 0,443 0,007
8 611,50 149,85 644,85 5830,3 0,95 0,901 0,049 0,906 0,044
9 366,25 82,90 358,35 7729,5 0,52 0,524 0,004 0,488 0,032
10 605,40 96,75 472,35 6576,8 0,63 0.674 0,044 0,674 0,044
11 617,75 20,55 204,35 6965,3 0,32 0.,339 0,019 0,354 0,034
12 519,20 100,02 457,45 6750,5 0,68 0,656 0,024 0,649 0,031
13 589,90 112,00 496,70 6626,0 0,69 0,711 0,021 0,699 0,009
За допомогою алгоритму ДЕ знайдено оптимальні значення невідомих коефіцієнтів
54321 ,,,, aaaaa для випадків застосування квадратичної та чебишовської норм. У першому
випадку отримано емпіричну формулу
4321 0,000012880,00097090,00092210,00004914,18130~ xxxxy ,
у другому формулу
4321 0,000055340,0010850,000086150,00001356,52480 xxxxy ,
абсолютна похибка якої не перевищує 0,044. Як показують наведені у табл. 1 результати
розрахунків, обидві емпіричні формули цілком задовільно описують дані хімічного аналізу
щодо процентного вмісту оксиду заліза.
Приклад 2. В експерименті досліджувалась залежність густини B (в умовних одини-
цях) від температури t (в С) і концентрації С (в г/л) солі у розбавлених розчинах [16].
Отримані експериментальні дані наведені в табл. 2.
Необхідно знайти такі значення параметрів 1a , 2a , 3a і 4a емпіричної формули
tCaaCaB
a
)( 431
2 2 , (7)
щоб сума модулів відносних відхилень експериментальних даних від значень, обчислених
за формулою (7), була мінімальною. Зазначимо, що (7) внутрішньо нелінійна відносно
невідомих параметрів формула.
При використанні норми (5) за алгоритмом ДЕ отримано емпіричну формулу
tCCB )00709,0,03750(02694,0 731,12 . (8)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2018, № 3 115
Таблиця 2 – Дані експерименту і результати розрахунків щодо густини розчину
C t B Bобч. , % C t B Bобч. , %
35,97 20,8 2,957 2,961 0,1 23,97 20,4 1,98 1,970 0,5
24,9 2,800 2,807 0,2 24,5 1,80 1,827 1,5
29,0 2,643 2,643 0,0 28,0 1,70 1,696 0,2
33,7 2,429 2,442 0,5 32,0 1,51 1,531 1,4
38,0 2,243 2,2423 0,04 37,0 1,28 1,297 1,3
41,0 2,086 2,091 0,3 40,9 1,08 1,080 0,0
29,96 21,0 2,457 2,452 0,2 17,97 20,5 1,46 1,468 0,6
24,0 2,343 2,343 0,0 24,0 1,36 1,357 0,2
28,0 2,200 2,189 0,5 27,1 1,23 1,249 1,6
31,1 2,071 2,059 0,6 32,9 1,02 1,020 0,0
36,0 1,843 1,841 0,1 38,7 0,70 0,720 2,8
39,4 1,700 1,672 1,7 40,4 0,615 0,605 1,6
Як видно з табл. 2, дані експерименту та значення густини, обчислені за формулою
(8), збігаються цілком задовільно: відносне відхилення не перевищує 2,8%. Для порівняння
зазначимо, що наведена в [16] формула
tCCB )006999,0,03520(02644,0 736,12
наближає експериментальні дані з похибкою 7%.
Алгоритм також успішно використовувався для побудови нелінійних формул біль-
шого числа змінних, зокрема, формул для обчислення кута взаємного повороту двох бло-
ків залізобетонного елемента, відокремлених нормальною тріщиною. Цей кут залежно від
форми перерізу елемента (тавр, двотавр та ін.) є функцією від чотирьох до семи змінних
[17]. Визначення кута повороту є одним із основних моментів у розрахунках крутильної
жорсткості елементів у залізобетонних плитно-ребристих системах (мости, перекриття то-
що).
5. Висновки
У статті представлено алгоритм диференціальної еволюції, адаптований для знаходження
оптимальних значень параметрів емпіричних формул декількох змінних. Його основними пе-
ревагами є універсальність (дозволяє знаходити оптимальні параметри як лінійних, так і
нелінійних емпіричних формул з використанням різних норм наближення), простота реалі-
зації та використання. Результати обчислювальних експериментів дають підстави вважати,
що запропонований алгоритм є ефективним засобом наближення експериментальних даних.
СПИСОК ДЖЕРЕЛ
1. Вакал Л.П., Каленчук-Порханова А.О. Аналітична обробка даних на основі чебишовської апрок-
симації. Математичні машини і системи. 2006. № 2. С. 15–24.
2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с.
3. Вакал Л.П. Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами.
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009. № 8. С. 35–44.
4. Каленчук-Порханова А.О., Вакал Л.П. Застосування найкращої чебишовської апроксимації для
моделювання деяких фізичних процесів. Математичне та комп’ютерне моделювання. Технічні
науки. Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський національний університет, 2010. Вип. 4.
С. 111–118.
5. Вакал Л.П. Построение наилучших нелинейных эмпирических формул. Праці міжнар. симп.
«Питання оптимізації обчислень (ПОО–XXXV)». К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН
України, 2009. Т. 1. С. 99–103.
116 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2018, № 3
6. Вакал Л.П. Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації. Комп’ютерні засоби, мережі
та системи. 2013. № 12. С. 20–26.
7. Vakal L.P. Solving uniform nonlinear approximation problem using continuous genetic algorithm.
Journal of Automation and Information Sciences. New York, 2016. Vol. 48, N 6. P. 49–59.
8. Gorbiychuk M.I. Medvedchuk V.M., Lazoriv A.N. Analysis of parallel algorithm of empirical models
synthesis on principles of genetic algorithms. Journal of Automation and Information Sciences. New
York, 2016. Vol. 48, N 2. P. 54–73.
9. Вакал Л.П. Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціаль-
ної еволюції. Математичні машини і системи. 2017. № 1. С. 90–96.
10. Вакал Л.П., Вакал Є.С. Розв’язання перевизначеної системи трансцендентних рівнянь з викори-
станням диференціальної еволюції. Математичне та комп’ютерне моделювання. Технічні науки.
Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський національний університет, 2017. Вип. 15. С. 24–
30.
11. Storn R., Price K. Differential evolution – a simple and efficient heuristic for global optimization over
continuous spaces. Journal of Global Optimization. Dordrecht, 1997. Vol. 11. P. 341–359.
12. Каленчук-Порханова А.О., Вакал Л.П. Побудова найкращих рівномірних наближень функцій
багатьох змінних. Комп’ютерні засоби, мережі і системи. 2007. № 6. С. 141–148.
13. Каленчук-Порханова А.А., Вакал Л.П. Аппарат аппроксимации в составе программного обес-
печения суперкомпьютера с кластерной архитектурой. Искусственный интеллект. 2009. № 1.
С. 158–165.
14. Ремез Е.Я. Общие вычислительные методы чебышевского приближения. Киев: Изд-во АН
УкрССР, 1957. 454 с.
15. Lee T.H., Adams G.E., Gaines W.M. Computer process control: modeling and optimization. New
York: Wiley, 1968. 386 p.
16. Батунер Л.П., Позин М.Е. Математические методы в химической технике. Л.: Химия, 1968.
823 с.
17. Azizov T.N., Melnyk A.S., Vakal L.P., Kalenchuk-Porkhanova A.A., Orlova O.M. According to the
calculation of reinforced concrete ceilings taking into account the change in torsional stiffness of prefabri-
cated plates against the formation of normal cracks. Theoretical & Applied Science. Philadelphia, 2017.
Vol. 49, N 5. P. 180–189.
Стаття надійшла до редакції 23.05.2018
https://www.google.com.ua/search?hl=uk&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Teng-hui+Lee%22
https://www.google.com.ua/search?hl=uk&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Gayle+E.+Adams%22
https://www.google.com.ua/search?hl=uk&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Warren+M.+Gaines%22
|