Об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала

Об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала

Досліджено поширення вісесиметричних електропружних хвиль у порожнистих лиліндрах з функціонально градієнтного п'єзокерамічного матеріалу, поляризованого в радіальному напрямі. Властивості матеріалу змінюються за степеневим законом за товщиною. Бічні поверхні циліндра вільні від навантажень та...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2017
Hauptverfasser: Григоренко, А.Я., Лоза, И.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2017
Schriftenreihe:Прикладная механика
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158774
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала / А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 22-31. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-158774
record_format dspace
spelling irk-123456789-1587742019-09-14T01:25:20Z Об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала Григоренко, А.Я. Лоза, И.А. Досліджено поширення вісесиметричних електропружних хвиль у порожнистих лиліндрах з функціонально градієнтного п'єзокерамічного матеріалу, поляризованого в радіальному напрямі. Властивості матеріалу змінюються за степеневим законом за товщиною. Бічні поверхні циліндра вільні від навантажень та вкриті тонкими електродами, до яких підведено знакозмінну різницю потенціалів ±V₀exp[i(kz - ωt)]. Для розв'язання задачі запропоновано ефективний числово-анаалітичний метод. Початкову тривимірну задачу теорії електропружності в частинних похідних (шляхом представлення компонентів тензора пружності, компонент векторів переміщень, електричної індукції та електростатичного потенціалу біжучими хвилями в осьовому напрямі) зведено до крайової задачі на власні значення для звичайних диференціальних рівняннях. Одержану задачу розв'язано за стійким методом дискретної ортогоналізації. Наведено результати числового аналізу для циліндра, виготовленого з функціонально градієнтного п'єзокерамічного матеріалу (металу та п'єзокераміки PZT 4). The problem on propagation of axisymmetric electroelastic waves in the hollow cylinders made of functionally graded piezoceramic material polarized in the radial direction. The material properties are assumed to be changed over the thickness by the exponential law. The cylinder lateral surfaces are free of loads and are covered by thin electrodes, to which the alternating potential is applied. To solve the problem, an efficient numerical-analytical method is offered. An initial three-dimensional problem of electroelasticity in the partial derivatives is reduced to the boundary-value problem for the ordinary differential equations. For that, the components of elastic properties tensor, displacement vector, electric induction, and electrostatic potential are represented in the form of running waves in the axial direction. The system of equations is solved by the stable method of discrete orthogonalization. The results of numerical analysis for the piezoceramics PZT4 are shown. 2017 Article Об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала / А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 22-31. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158774 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Досліджено поширення вісесиметричних електропружних хвиль у порожнистих лиліндрах з функціонально градієнтного п'єзокерамічного матеріалу, поляризованого в радіальному напрямі. Властивості матеріалу змінюються за степеневим законом за товщиною. Бічні поверхні циліндра вільні від навантажень та вкриті тонкими електродами, до яких підведено знакозмінну різницю потенціалів ±V₀exp[i(kz - ωt)]. Для розв'язання задачі запропоновано ефективний числово-анаалітичний метод. Початкову тривимірну задачу теорії електропружності в частинних похідних (шляхом представлення компонентів тензора пружності, компонент векторів переміщень, електричної індукції та електростатичного потенціалу біжучими хвилями в осьовому напрямі) зведено до крайової задачі на власні значення для звичайних диференціальних рівняннях. Одержану задачу розв'язано за стійким методом дискретної ортогоналізації. Наведено результати числового аналізу для циліндра, виготовленого з функціонально градієнтного п'єзокерамічного матеріалу (металу та п'єзокераміки PZT 4).
format Article
author Григоренко, А.Я.
Лоза, И.А.
spellingShingle Григоренко, А.Я.
Лоза, И.А.
Об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала
Прикладная механика
author_facet Григоренко, А.Я.
Лоза, И.А.
author_sort Григоренко, А.Я.
title Об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала
title_short Об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала
title_full Об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала
title_fullStr Об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала
title_full_unstemmed Об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала
title_sort об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate 2017
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/158774
citation_txt Об осесимметричных акустоэлектрических волнах в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала / А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 22-31. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series Прикладная механика
work_keys_str_mv AT grigorenkoaâ obosesimmetričnyhakustoélektričeskihvolnahvpolomcilindreiznepreryvnoneodnorodnogopʹezoélektričeskogomateriala
AT lozaia obosesimmetričnyhakustoélektričeskihvolnahvpolomcilindreiznepreryvnoneodnorodnogopʹezoélektričeskogomateriala
first_indexed 2025-07-14T11:22:06Z
last_indexed 2025-07-14T11:22:06Z
_version_ 1837621184319979520
fulltext 2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, № 4 22 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 4 А .Я . Г р и г о р е н к о ¹ , И .А .Л о з а ² ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ АКУСТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНАХ В ПОЛОМ ЦИЛИНДРЕ ИЗ НЕПРЕРЫВНО НЕОДНОРОДНОГО ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ¹Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: ayagrigorenko@yandex.ru. ²Национальный транспортный университет, ул. Омеляновича-Павленко, 1, 01010, Киев, Украина; e-mail: dukeigor@ukr.net. Abstract. The problem on propagation of axisymmetric electroelastic waves in the hol- low cylinders made of functionally graded piezoceramic material polarized in the radial direc- tion. The material properties are assumed to be changed over the thickness by the exponential law. The cylinder lateral surfaces are free of loads and are covered by thin electrodes, to which the alternating potential is applied. To solve the problem, an efficient numerical-analytical method is offered. An initial three-dimensional problem of electroelasticity in the partial de- rivatives is reduced to the boundary-value problem for the ordinary differential equations. For that, the components of elastic properties tensor, displacement vector, electric induction, and electrostatic potential are represented in the form of running waves in the axial direction. The system of equations is solved by the stable method of discrete orthogonalization. The results of numerical analysis for the piezoceramics PZT4 are shown. Key words: kinematic characteristic, progressing elastoelastic waves, hollow cylinder, piezoceramic functionally gradient material. Введение. К настоящему времени выполнено значительное количество работ, посвященных исследованию волновой картины в бесконечном упругом цилиндре кругового попе- речного сечения. Содержание проведенных исследований достаточно полно отражено в обзорах [2, 15 и др.] и монографиях [1, 5 и др.]. Связанные поля значительно услож- няют проведение исследований. Так, для пьезокерамического цилиндра только в слу- чае осевой поляризации пьезокерамики для продольных осесимметричных волн и в случае окружной поляризации для крутильных волн возможно представление реше- ния через специальные функции. Учет неоднородности материала цилиндра еще бо- лее усложняет задачу, в то время как в большинстве устройств используются именно неоднородные пьезоэлектрические материалы (биморфы). Исследования, посвящен- ные этой проблематике известны [4, 6]. В настоящее время все более широкое приме- нение имеют так называемые функционально-градиентные пьезоэлектрические мате- риалы, сочетающие преимущества биморфов и лишенные проблемной зоны  по- верхности соединения материалов с различными коэффициентами температурного расширения. Попытка учесть непрерывно изменяющиеся свойства материала приво- дит к тому, что модули материала являются не константами, а функциями по одной из координат [8, 9, 13 и др.]. Это является серьезной проблемой для применения многих численных методов. 23 В данной работе рассмотрена осесимметричная задача о распространении вынуж- денных акустоэлектрических волн в неоднородном по толщине полом цилиндре из функционально градиентной пьезокерамики, поляризованной в радиальном направле- нии. Первые наборы частных решений дифференциальных уравнений в частных про- изводных (уравнений Ламе) в цилиндрических координатах были построены в рабо- тах Похгаммера [14] и Кри [10, 11]. Для решения задачи о распространении вынуж- денных акустоэлектрических волн в неоднородном по толщине полом цилиндре из функционально градиентной пьезокерамики, поляризованной в радиальном направле- нии, предложен эффективный численно-аналитический подход. На основании пред- ложенного подхода проведен кинематический анализ распространяющихся вдоль оси цилиндра акустоэлектрических волн. Исследовано также влияние фактора неоднород- ности на кинематические характеристики распространяющихся волн. 1. Постановка задачи. Основные уравнения для полых цилиндров. Осесимметричные продольные уравнения движения волн в цилиндрической сис- теме координат ( , , )r z имеют вид:   21 0;rr rz rr ru r r z             21 0.rz zz rz zu r r z           (1) Уравнения электростатики: 1 0;r z r D D D r r z        ;rE r     .zE z     (2) Геометрические соотношения: ;r rr u r     1 ;ru r  ;z zz z u u     .z r rz u u r z        (3) В (1) – (3) принято: ij  компоненты тензора напряжений;   плотность материала;   круговая частота; iu  компоненты вектора перемещений; iD  компоненты вектора электрической индукции; iE  компоненты вектора напряженности электрического поля;   электростатический потенциал; ij  компоненты тензора деформаций. Физические соотношения для пьезокерамического материала, поляризованного в радиальном направлении, имеют вид: 33 13 13 33 ;rr rr zz rc c c e E       13 11 12 13 ;rr zz rc c c e E        13 12 11 13 ;zz rr zz rc c c e E       55 152 ;rz rz zc e E   (4) 33 13 13 33 ;r rr zz rD e e e E       15 332 .z rz zD e E   где ijc  компоненты тензора модулей упругости; ije  компоненты тензора пьезо- модулей; ij  компоненты тензора диэлектрической проницаемости материала. Ука- занные выше компоненты являются функциями радиальной координаты. Рассмотрим материал, состоящий из двух компонент – стали и пьезокерамики. Характеристики материала изменяются следующим образом по толщине: ( ) ( ) ( ) ,m p pP r P P V r P   (5) где ( )V z выражает объёмную долю керамики и определяется формулой: 0 1 ( ) . 2 2 n r R V r h       (6) Граничные условия на боковых поверхностях цилиндра (при 0r R h  ) примем следующими: поверхности свободны от внешних усилий: 0rr rz   и покрыты тон- 24 кими электродами, к которые подведена гармоническая разность потенциалов:   ( ) 0 i kz tV e   0(R  радиус срединной поверхности цилиндра; h  половина толщины цилиндра). Разрешающий вектор смешанного типа имеет вид  , , , , , . T rr rz r z ru u D  R (7) Разрешая систему (1)  (4) относительно вектора R , после ряда преобразований получаем: 2 512 4 1 2 2 11 11 1111 1 1 ;rr rz z rr r c u u r r c z rc z rc zr c t                              2 2 2 13 3 1 2 2 2 2 11 11 11 11 1 ;rz rr r rz z c u u r c z r c rc z cz z t                            15 55 ;rr r e c D r        33 1312 11 11 11 11 1 ;r z rr r e cu c u u r c c z rc c z           (8) 5111 ;z r rz r eu u D r z           2 2 13 6 5 3 2 2 11 11 11 11 1 .r rr r z r eD u u D r c z c rc z c rz z                   2. Методика решения краевых осесимметричных задач. Решение задачи будем искать в виде волн бегущих в осевом направлении:          , , ; , , ( ) ;i kz t i kz t rr rr rz rzr z t i r e r z t r e               0 , , ( ) ; , , ( ) ;i kz t i kz t r rr z t h r e u r z t ihu r e       (9)    , , ( ) ;i kz t z zu r z t hu r e      0, , ( ) ,i kz t r rD r z t D r e    Используя представление (9), исходную двумерную задачу теории электроупругости в частных производных, можно свести к краевой задаче в обыкновенных дифферен- циальных уравнениях.  , d A x dx   R R (10) с граничными условиями: имеет вид ( 1) ; (1) .  1 1 2 2B R C B R C (11) где вектор  00, 0, , 0, 0, 0V T 1C , вектор  2 00, 0, , 0, 0, 0V TC . Здесь введены безразмерные величины: 0 0 0 0 00 ; ; ; ; .ij ij ij ij ij ij c e r R h c e x h                – плотность материала цилиндра; 0R – радиус срединной поверхности; 0 – ди- электрическая проницаемость вакуума; 10 210 H м  . Решение задачи (8), (9) выполнено устойчивым методом дискретной ортого- нализации. 25 3. Анализ численных результатов. Ниже приведены результаты численного анализа задачи (10), (11). Выражение (6) представляет собой общую формулу для физико-химических характеристик мате- риала, pP , mP  соответствующие характеристики керамики и металла. Показатель степени объёмной доли керамики в формуле (6) может изменяться в пределах 0 ≤ n <1000 . При этом если 0n  , то структура является полностью металлической, если же n   , то  пьезокерамической (рис. 1). 16 20 24 n = 1 0 0 n = 1 0 n = 5 n = 2 n = 1 10 10 H/м 2 n = 0 x-1 0 Рис. 1 0 1 2 3 4 2 4 6 A U ( 1 ) S W ( 1 ) A W ( 1 ) S U ( 0 ) S W ( 0 ) C P-C c ф C R / Рис. 2 Для случая однородной задачи (свободные движения) наблюдаются (как это было отмечено в работе [11]) качественные различия в дисперсионных соотношениях. Лучше это видно, если рассмотреть фазовые скорости распространяющихся волн. Так для однородного цилиндра из пьезокерамики PZT 4 (рис. 2) первые две волны (0)SW и (0)AU в коротковолновом диапазоне выходят на поверхностную волну рэлеевского типа. Скорость этих волн меньше наименьшей из скоростей объемных волн в безграничном пространстве. 26 Rc   2 55 33 33 33min ; ( ) .c c e   Ниже проведен детальный анализ распределения перемещений в данных волнах. На рисунках используются обозначения для волн, принятые в работе [7]. Маркиров- ка (0)SW означает, что волна рождается ( 0k  ) как симметричные продольные коле- бания (планарные колебания), (0)AU  антисимметричные радиальные колебания. Остальные ветви в коротковолновом диапазоне довольно быстро выходят на волны, распространяющиеся без дисперсии, с постоянной скоростью, которая больше скоро- сти поверхностных волн и меньше скоростей объемных волн в безграничном про- странстве. Назовем эти волны  волнами Похгаммера – Кри (по аналогии с волнами Лэмба в пластине). Для случая, когда материал цилиндра неоднородный наблюдается существенная перестройка спектра фазовых скоростей. Для значения параметра неоднородности 5n  соответствующие фазовые скорости распространяющихся волн представлены на рис. 3. Из приведенного рисунка следует, что только первая ветвь выходит на бездис- персионную волну, а все остальные распространяются с существенной дисперсией. На частотах запирания ( 0  ) имеют место чисто упругие продольные колебания и связанные электроупругие радиальные колебания [7]. Анализ распределения ампли- туд перемещений в бегущих волнах в непосредственной близости к частотам запирания показывает, что движения сохраняют характер, принятый в обозначениях. На рис. 4 представлены результаты численного анализа распределения амплитуд перемещений первых пяти ветвей для случая однородного цилиндра ( 1000n  ) ( 0,01  ). 0 1 2 3 4 3 6 9 12 AU(1) SW(1) AW(1)SU(0) c P-C c ф c R SW(0) / Рис. 3 Исследуем влияние параметра неоднородности на распределение амплитуд пере- мещений. Влияние указанного параметра существенно зависит от частоты. Так, для первой ветви (0)SW это влияние столь незначительно, что не может быть представле- но графически. Перемещения в этой волне являются преимущественно продольными, что и отражено в обозначении этой ветки. На рис. 5 представлены результаты числен- ного анализа влияния параметра неоднородности на распределение амплитуд пере- мещений для второй ветви (0)AU ( 0,01  ) для различных значений фактора не- однородности n . Сплошными линиями показаны амплитуды радиальных перемеще- ний ( ru ), пунктирными  продольных ( zu ). Для этих волн характерно преобладание радиальных перемещений. Для ветвей (0)SW и (0)AU характерно почти линейное распределение амплитуд перемещений по толщине. На рис. 6 – 8 представлено влия- ние фактора неоднородности n на распределение амплитуд перемещений для ветвей (1)AW , (1)SW и (1),AU соответственно ( 0,01  ). 27 -1 0 -1 0 u r / m a x ( u r , u z ) A U ( 0 ) S W ( 0 ) u z / m a x ( u r , u z ) A U ( 1 ) S W ( 1 ) A W ( 1 ) x Рис. 4 -1 0 0 n = 5 n = 2 n = 100n = 1 u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 5 -1 0 0 n = 5 n = 2 n = 10 n = 1 u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 6 28 Для ветвей (1)AW и (1)SW в случае однородного материала характерно преоб- ладание продольных перемещений. С ростом частоты наблюдается увеличение числа полуволн на единицу. Для случая неоднородного материала для ветви (1)AW (рис. 6) -1 0 0 n = 10 n = 5 n = 2 n = 100 n = 1 u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 7 -1 0 0 n = 10 n = 5 n = 2 n = 100 n = 1 u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 8 наблюдается незначительное влияние параметра неоднородности на характер рас- пределения перемещений. Для ветви (1)SW (рис. 7) можно отметить, что изменение параметра неоднородности приводит к значительным изменениям характера распре- деления перемещений. Для больших значений параметра n , т.е. когда материал ци- линдра, в основном, состоит из пьезокерамики, преобладают осевые перемещения (так же, как в случае однородного пьезокерамического материала). С уменьшением параметра n , т.е. уменьшением объёмной доли пьезокерамики, перемещения стано- вятся, преимущественно, радиальными. 29 -1 0 0 0 , 0 1   3   2   1  u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) x -1 0 0  0 , 0 1   3   2  u r / m a x ( u r , u z )  1  u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 9 Рис. 10 Для ветви (1)AU (рис. 8), для больших значений параметра неоднородности n ха- рактерно преобладание радиальных перемещений, что и отражено в обозначении ветви. С уменьшением параметра неоднородности перемещения становятся преимуще- ственно продольными. Можно отметить на основании анализа приведенных рисунков тенденцию к смещению движений частиц цилиндра в сторону меньших значений мо- дулей материала. Рассмотрим, как происходит трансформация распределения перемещений по тол- щине при уменьшении длины волны. Для случая однородного материала (рис. 9), пер- вая ветвь (0)SW выходит на поверхностную волну рэлеевского типа, распространяю- щуюся вдоль внутренней поверхности цилиндра. Вторая ветвь (0)AU в коротковол- новом диапазоне выходит на поверхностную волну рэлеевского типа, распростра- няющуюся вдоль внутренней поверхности цилиндра (рис. 10, жирная линия). В случае, когда материал цилиндра неоднородный (параметр неоднородности 5n  ), наблюдаются качественные отличия в характере распределения амплитуд пере- мещений. Как это отмечено выше, первая ветвь (0)SW также выходит на поверхност- ную волну рэлеевского типа (рис. 11, жирная линия). Вторая ветвь (0)AU уже не вы- ходит на поверхностную волну рэлеевского типа (рис. 12). -1 0 0 0 , 0 14 2 u r / m a x ( u r , u z ) 1 u z / m a x ( u r , u z ) x -1 0 0 0 , 0 1 4 2 u r / m a x ( u r , u z ) 1 u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 11 Рис. 12 Для следующих ветвей (1)AW и (1)SW (рис. 13 и рис. 14) в случае однородного ма- териала наблюдается выход в коротковолновой области на почти симметричное (относи- тельно срединной поверхности цилиндра) или почти антисимметричное распределение перемещений по толщине цилиндра. Рождаются волны ( 0  ) (1)AW и (1)SW как про- дольные колебания антисимметричные и симметричные, соответственно, с уменьшением длины волны перемещения становятся, в основном, радиальными. Причем радиальное 30 перемещение для волны (1)AW имеет одну полуволну по толщине, продольное – две. Для волны (1)SW радиальное перемещение имеет две волны, продольное – три. -1 0 -1 0 3 2 1 0 , 0 1 u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) -1 0 -1 0 3 2 1 0 , 0 1 u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 13 Рис. 14 Для более высоких ветвей сохраняется эта тенденция: перемещения либо почти симметричны, либо почти антисимметричны (с увеличением количества полуволн на единицу при увеличении порядкового номера волны на единицу). В случае неоднородного материала наблюдается нарушение симметрии распреде- ления перемещений относительно срединной поверхности. Перемещения увеличива- ются в более «мягких» участках цилиндра и уменьшаются в более «жестких». -1 0 -1 0    u r / m a x ( u r , u z )  u z / m a x ( u r , u z ) x -1 0 -1 0 0 , 0 1 4 2 u r / m a x ( u r , u z ) 1 u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 15 Рис. 16 На рис. 15 представлено распределение перемещений для ветви (1)AW для раз- личных значений волнового числа. Жирными линиями, как и в предыдущих случаях, выделены перемещения для наибольшего из представленных волновых чисел. На рис. 16 дано распределение перемещений для ветви (1)SW для различных волновых чисел. Заключение. Неоднородность материала цилиндра приводит к существенным отличиям в ха- рактере распределения амплитуд перемещений бегущих волн. Особенно существен- ные отличия наблюдаются для второй ветви дисперсионных соотношений. Так, в слу- чае однородного материала цилиндра первая ветвь в коротковолновом диапазоне вы- ходит на поверхностную волну рэлеевского типа, распространяющуюся вдоль внеш- ней поверхности цилиндра. Вторая ветвь выходит на поверхностную волну рэлеев- ского типа, распространяющуюся вдоль внутренней поверхности цилиндра. 31 В случае неоднородного материала только первая ветвь выходит на поверхност- ную волну рэлеевского типа, распространяющуюся вдоль поверхности с наименьши- ми значениями модулей. Вторая ветвь не выходит на поверхностную волну. Для более высоких ветвей наблюдается нарушение симметрии в распределении по толщине ам- плитуд перемещений и смещении их в область с наименьшими значениями модулей. В случае однородного материала более высокие ветви в коротковолновом диапа- зоне выходят на волны, распространяющиеся без дисперсии. Распределение амплитуд перемещений в этом случае происходит либо симметрично, либо антисимметрично по отношению к срединной поверхности с увеличением числа полуволн на единицу с увеличением номера волны. В случае, когда материал цилиндра неоднородный, на- блюдается нарушение симметрии в распределении амплитуд перемещений, происхо- дит смещение движений частиц материала цилиндра в сторону с меньшими значе- ниями модулей. РЕЗЮМЕ . Досліджено поширення вісесиметричних електропружних хвиль у порожнистих циліндрах з функціонально градієнтного п’єзокерамічного матеріалу, поляризованого в радіальному напрямі. Властивості матеріалу змінюються по степеневому закону по товщині. Бічні поверхні цилі- ндра вільні від навантажень та вкриті тонкими електродами, до яких підведена знакозмінна різниця потенціалів  0 expV i kz t    . Для розв’язання задачі запропоновано ефективний чисельно- аналітичний метод. Початкова тривимірна задача теорії електропружностi в частинних похідних (шляхом представлення компонентів тензора пружності, компонент векторів переміщень, електрич- ної індукції та електростатичного потенціалу біжучими хвилями в осьовому напрямі) зведена до крайової задачі на власні значення для звичайних диференціальних рівняннях. Отриману задачу розв’язано стійким методом дискретної ортогоналізації. Наведено результати чисельного аналізу для циліндра, виготовленого з функціонально градієнт- ного п’єзокерамічного матеріалу (металу та п’єзокераміки PZT 4). 1. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – К.: Наук. дум- ка, 1981. – 283 с. 2. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. – М.: ИЛ, 1955. – 192 с. 3. Лоза І.А. О распространении осесимметричных волн в полом цилиндре из функционально гради- ентного пьезоэлектрического материала // Доп. НАН України. – 2015. – № 3. – С. 50 – 57. 4. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга / Отв. ред. А.Н. Гузь; АН УССР Ин-т механики. – К.: Наук. думка, 1989. – 280 с. 5. Физическая акустика / Под редакцией У. Мэзона. Р. Терстона. – М.: Мир, 1966. – т. 1–7. – 663 с. 6. Шульга Н.А. Распространение гармонических волн в анизотропных пьезоэлектрических цилинд- рах, волноводы с усложненными свойствами / В кн.: Успехи механики в 6-ти томах, Т. 3. – 2007. – С. 681 – 702. 7. Шульга Н.А., Григоренко А.Я., Лоза И.А. Осесимметричные электроупругие волны в полом пьезо- керамическом цилиндре // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 1. – С. 79 – 86. 8. Birman V., Byrd L.W. Modeling and analysis of functionally graded materials and structures. ASME Appl. Mech. Rew., 2007. – 195. – pp. 195 – 216. 9. Chih-Ping Wu, Tsu-Chieh Tsai. Exact solutions of functionally graded piezoelectric material sandwich cylinders by a modified Pagano method // Applied Mathematical Modelling. – 2012. – 36, N 5. – P. 1910 – 1930. 10. Cree C. Longitudinal vibration of circular bar // Quart. J. Pure and Appl. Math. – 1886. – 21, N 83/84. – P. 287 – 298. 11. Cree C. The equation of an isotropic elastic solid in polar and cylindrical coordinates, their solution and application // Trans. Cambridge Philos. Soc. – 1889. – Pt III. – P. 250 – 369. 12. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Axisymmetric Waves in Layered Hollow Cylinders with Axially Polarized piezoelectric Layers // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 6. – P. 707 – 713. 13. Grigorenko A., Müller W.H., Wille R., Loza I. Non axisymmetric vibrations of radially polarized hollow cylinders made of functionally gradient piezoelectric materials / Continuum Mech. Thermodyn. – 2012. – 24 (4– 6). – P. 515 – 524. 14. Pochhammer L. Über die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenz- ten isotropen Kreiszylinder // J. Reine Angew. Math. – 1876. – 81, N 4. – P. 324 – 336. 15. Thurston R.N. Elastic waves in rods and clad rods // J. Acoust. Soc. Am. – 1978. – 64, N 1. – P. 1 – 37. Поступила 01.07.2016 Утверждена в печать 14.03.2017

Ähnliche Einträge