Математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов

Построены дробно-дифференциальные математические модели для описания динамики геофильтрационных процессов в условиях учета явления релаксации давления. Модели базируются на понятиях обобщенных производных Капуто и Хильфера как производных дробного порядка от функции по другой функции. В рамках указа...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автор:	Булавацкий, В.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системний аналіз
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/161429
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов / В.М. Булавацкий // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 51-60. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-161429
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1614292019-12-09T01:26:01Z Математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов Булавацкий, В.М. Системний аналіз Построены дробно-дифференциальные математические модели для описания динамики геофильтрационных процессов в условиях учета явления релаксации давления. Модели базируются на понятиях обобщенных производных Капуто и Хильфера как производных дробного порядка от функции по другой функции. В рамках указанных моделей получены аналитические решения некоторых фильтрационных краевых задач включительно с задачей с нелокальными граничными условиями. Побудовано дробово-диференційні математичні моделі для опису динаміки геофільтраційних процесів за умов урахування явища релаксації тиску. Моделі базуються на поняттях узагальнених похідних Капуто та Хільфера як похідних дробового порядку від функції по іншій функції. У рамках вказаних моделей одержано аналітичні розв'язки деяких фільтраційних крайових задач включно з задачею з нелокальними граничними умовами. Fractional-differential mathematical models for describing the dynamics of geofiltration processes under pressure relaxation are constructed. The models are based on the concepts of the generalized Caputo and Hilfer derivatives, as derivatives of fractional order of a function with respect to another function. Within the framework of these models, analytical solutions of some filtration boundary-value problems inclusive with a problem with nonlocal boundary conditions are obtained. 2018 Article Математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов / В.М. Булавацкий // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 51-60. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/161429 517.9: 519.6 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Булавацкий, В.М. Математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов Кибернетика и системный анализ
description	Построены дробно-дифференциальные математические модели для описания динамики геофильтрационных процессов в условиях учета явления релаксации давления. Модели базируются на понятиях обобщенных производных Капуто и Хильфера как производных дробного порядка от функции по другой функции. В рамках указанных моделей получены аналитические решения некоторых фильтрационных краевых задач включительно с задачей с нелокальными граничными условиями.
format	Article
author	Булавацкий, В.М.
author_facet	Булавацкий, В.М.
author_sort	Булавацкий, В.М.
title	Математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов
title_short	Математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов
title_full	Математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов
title_fullStr	Математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов
title_full_unstemmed	Математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов
title_sort	математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/161429
citation_txt	Математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов / В.М. Булавацкий // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 51-60. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT bulavackijvm matematičeskiemodeliizadačidrobnodifferencialʹnojdinamikinekotoryhrelaksacionnyhfilʹtracionnyhprocessov
first_indexed	2025-07-14T14:00:15Z
last_indexed	2025-07-14T14:00:15Z
_version_	1837631134575362048
fulltext	ÓÄÊ 517.9:519.6 Â.Ì. ÁÓËÀÂÀÖÊÈÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ È ÇÀÄÀ×È ÄÐÎÁÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÐÅËÀÊÑÀÖÈÎÍÍÛÕ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ Àííîòàöèÿ. Ïîñòðîåíû äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè ãåîôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ â óñëîâèÿõ ó÷åòà ÿâ- ëåíèÿ ðåëàêñàöèè äàâëåíèÿ. Ìîäåëè áàçèðóþòñÿ íà ïîíÿòèÿõ îáîáùåííûõ ïðîèçâîäíûõ Êàïóòî è Õèëüôåðà êàê ïðîèçâîäíûõ äðîáíîãî ïîðÿäêà îò ôóíêöèè ïî äðóãîé ôóíêöèè. Â ðàìêàõ óêàçàííûõ ìîäåëåé ïîëó÷åíû àíà- ëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ ôèëüòðàöèîííûõ êðàåâûõ çàäà÷, âêëþ÷àÿ çàäà÷ó ñ íåëîêàëüíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûå ïðîöåññû ãåîôèëüòðàöèè, äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, ïðîèçâîäíûå Êàïóòî è Õèëüôåðà, êðàåâûå çàäà÷è, íåëîêàëüíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ãåîôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ â ñëîæíûõ óñëîâèÿõ èõ ïðîòåêàíèÿ — îäíî èç àêòóàëüíûõ ïðåäìåòíûõ íà- ïðàâëåíèé ãåîìàòåìàòèêè, ãåîèíôîðìàòèêè, ãåîìåõàíèêè, ðàçâèâàþùååñÿ ïðå- èìóùåñòâåííî â ðàìêàõ êëàññè÷åñêèõ ïîñòàíîâîê çàäà÷ íà îñíîâå îáùåïðè- íÿòûõ ìåòîäîâ è ïîäõîäîâ òåîðèè ñïëîøíîé ñðåäû [1–4]. Ïðè ýòîì áîëüøèíñòâî èçâåñòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ïðîöåññîâ ïåðåíîñà â ãåîïîðèñòûõ ñðåäàõ áàçèðóåòñÿ íà êëàññè÷åñêèõ çàêîíàõ ïåðåíîñà, íåàäåêâàòíûõ â óñëîâèÿõ ñó- ùåñòâåííîãî îòêëîíåíèÿ ñèñòåìû îò ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ [1, 5]. Êðîìå òîãî, â êëàññè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ïåðåíîñà ïîñòóëèðîâàíî òàêîå âåñüìà æåñòêîå îãðàíè- ÷åíèå íà ïðîöåññû, êàê áåñêîíå÷íàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñîâðåìåííûì ôèçè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì. Ïîïûòêè òåîðåòè÷åñêîãî ó÷åòà ýôôåêòîâ íåðàâíîâåñíîñòè (â ÷àñòíîñòè, ýô- ôåêòîâ ïàìÿòè) ïðè íåñòàöèîíàðíîé ôèëüòðàöèè â ïîðèñòîé ñðåäå ïðèâåëè ê ñî- çäàíèþ òåîðèè ðåëàêñàöèîííîé ôèëüòðàöèè, ïåðâîå íàèáîëåå ïîëíîå èçëîæåíèå êîòîðîé, ïî-âèäèìîìó, ñîäåðæèòñÿ â èçâåñòíîé ðàáîòå [4]. Ýôôåêòèâíûé ñîâðåìåííûé ïîäõîä â îïèñàíèè ïðîöåññîâ ïåðåíîñà â ñèñòå- ìàõ, äëÿ êîòîðûõ âàæåí ó÷åò íåëîêàëüíûõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ñâîéñòâ, ñâÿçàí ñ èñïîëüçîâàíèåì àïïàðàòà èíòåãðî-äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íåöåëîãî ïîðÿä- êà [6–11]. Òàê, íàïðèìåð, â ðàáîòå [10] ïîñòðîåíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè è ïî- ëó÷åíû ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ ôèëüòðàöèîííûõ êðàåâûõ çàäà÷ ïî ìîäåëèðîâàíèþ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè ðåëàêñàöèîííûõ ôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåñ- ñîâ â ïîðèñòûõ è òðåùèíîâàòî-ïîðèñòûõ ìàññèâàõ êîíå÷íîé ìîùíîñòè, à â [11] ïîñòàâëåíà è ðåøåíà çàäà÷à ìîäåëèðîâàíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìè- êè ðåëàêñàöèîííîãî ôèëüòðàöèîííîãî ïðîöåññà ïðè íàëè÷èè íåëîêàëüíûõ ãðàíè- ÷íûõ óñëîâèé. Îòìåòèì òàêæå ðàáîòó [12] ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè ðåëàêñàöèîííûõ ïðîöåññîâ êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ â ïîäçåìíûõ ôèëüòðàöèîííûõ ïîòîêàõ. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíû íîâûå äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíûå ìàòå- ìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïðîöåññîâ ãåîôèëüòðàöèè ñ ó÷åòîì ðåëàêñàöèè äàâëåíèÿ, áà- çèðóþùèåñÿ íà ïîíÿòèÿõ ïðîèçâîäíûõ Êàïóòî è Õèëüôåðà îò ôóíêöèè ïî äðó- ãîé ôóíêöèè, à òàêæå ïîëó÷åíû çàìêíóòûå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ êðàåâûõ çàäà÷ ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 51 � Â.Ì. Áóëàâàöêèé, 2018 íåêëàññè÷åñêîé òåîðèè ðåëàêñàöèîííîé ôèëüòðàöèè, âêëþ÷àÿ çàäà÷ó, èìåþùóþ íåëîêàëüíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Â îòëè÷èå îò ðàíåå ðàçðàáîòàííûõ ìîäåëåé õà- ðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ ðàññìàòðèâàåìûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïðè èõ ïîñòðîåíèè ó÷èòûâàëàñü âîçìîæíîñòü â èçâåñòíîì ñìûñëå óïðàâëå- íèÿ ïðîöåññîì ìîäåëèðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ íàäëåæàùåãî âûáîðà «ïðîáíûõ» ôóíêöèé, âõîäÿùèõ â îïðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÎÄÅËÈ ÄËß ÎÏÈÑÀÍÈß ÄÐÎÁÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÃÅÎÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ Â ÓÑËÎÂÈßÕ ÐÅËÀÊÑÀÖÈÈ ÄÀÂËÅÍÈß Êàê èçâåñòíî [1–4], ïðîöåññû ðåëàêñàöèîííîé ôèëüòðàöèè êàïåëüíî-ñæèìàå- ìîé æèäêîñòè â ãåîïîðèñòûõ ñðåäàõ îïèñûâàþòñÿ âìåñòî êëàññè÷åñêîãî çàêî- íà Äàðñè ñîîòíîøåíèåì u k x p p t x p� � � � � � � � � � � � � , (1) ãäå ux — ñêîðîñòü ãåîôèëüòðàöèè, p — äàâëåíèå, k 0 — êîýôôèöèåíò ïðîíè- öàåìîñòè ñðåäû, � 0 — âÿçêîñòü æèäêîñòè, � p — âðåìÿ ðåëàêñàöèè äàâëåíèÿ. Ñîîòíîøåíèå (1) óñòàíàâëèâàåò ôàêò íàðóøåíèÿ «ðàâíîâåñíîãî» ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó ñêîðîñòüþ ôèëüòðàöèè è ãðàäèåíòîì äàâëåíèÿ, ïîñòóëèðóåìîãî êëàññè÷åñ- êèì çàêîíîì Äàðñè, ÷òî îáúÿñíÿåòñÿ âëèÿíèåì ðåëàêñàöèîííûõ ýôôåêòîâ [2–4]. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ îñîáåííîñòåé äèíàìèêè àíîìàëüíûõ ôèëüòðàöèîííûõ ïðî- öåññîâ â ïîðèñòûõ ñðåäàõ (â ÷àñòíîñòè, ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû) âìåñòî ñîîòíî- øåíèÿ (1) èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå îáîáùåííûå ñîîòíîøåíèÿ îñíîâíîãî çàêîíà ôèëüòðàöèè, íàïðèìåð [9] u k x p D px p t� � � � � � � �( )( ) , (2) ãäå Dt ( )� — îïåðàòîð äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà [7, 13] ïî ïåðåìåí- íîé t ïîðÿäêà � ( )0 1� �� . (Çàìåòèì, ÷òî èç (2) ïðè � �1 ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå (1).) Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (1) èç óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà [2, 3] � � � � � � u x p t x � * 0 (3) (� * — êîýôôèöèåíò óïðóãîåìêîñòè ïëàñòà) ïîëó÷àåì èçâåñòíîå óðàâíåíèå ðå- ëàêñàöèîííîé ôèëüòðàöèè (àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèþ ôèëüòðàöèè â òðåùèíîâà- òî-ïîðèñòîé ñðåäå) ñëåäóþùåãî âèäà [2–4]: � � � � � � � � � � � � p t x p p t p� � 2 2 , (4) ãäå � �� k / ( )* — êîýôôèöèåíò ïüåçîïðîâîäíîñòè [2, 3]. Èñïîëüçóÿ âìåñòî (3) îáîáùåííîå óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè ïîòîêà â âèäå [14] � � � � u x D p x tx t� �* ( ) ( , ) 0 (5) (Dt ( )� — îïåðàòîð äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà ïî ïåðåìåííîé t ïîðÿäêà � ( )0 1� �� ), ïîëó÷àåì èç (2), (5) óðàâíåíèå ôèëüòðàöèè D p x p D pt p t ( ) ( )( )� �� 2 2 ( , )0 1� �� . (6) Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè ïðè � �, �1, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (4). Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèåì âèäà (6) òàêæå ìîäåëèðóåòñÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ äèíà- ìèêà ôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ â òðåùèíîâàòî-ïîðèñòûõ ñðåäàõ [15]. 52 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 53 Ïðè ìîäåëèðîâàíèè àíîìàëüíûõ ôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ áîëüøåé ñòå- ïåíè îáùíîñòè ìîæíî äîñòè÷ü çàìåíîé â óðàâíåíèè (6) ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ãå- ðàñèìîâà îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà — òàê íàçûâàåìîé g-Êà- ïóòî äðîáíîé ïðîèçâîäíîé [16, 17]. Òîãäà ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ D p x t x p D pt g p t g, ( ) , ( )( , ) ( )� �� 2 2 ( , )0 1� �� , (7) ãäå g g t� ( ) — íåêîòîðàÿ «ïðîáíàÿ» ôóíêöèÿ (â ÷àñòíîñòè, ïðè g t t( ) � óðàâ- íåíèå (7) ïåðåõîäèò â (6)). Ôèëüòðàöèîííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, îñíîâàííàÿ íà óðàâíåíèè âèäà (7), ïîçâîëÿåò â íåêîòîðîì ñìûñëå óïðàâëÿòü ïðîöåññîì ìîäåëèðîâàíèÿ èçó÷àåìîãî ÿâëåíèÿ ñ ïîìîùüþ íàäëåæàùåãî âûáîðà «ïðîáíîé» ôóíêöèè g t( ). ÐÅØÅÍÈÅ ÏÅÐÂÎÉ ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È ÄËß ÊÎÍÅ×ÍÎÃÎ ÏÐÎÌÅÆÓÒÊÀ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÈ Â ðàìêàõ ìîäåëè, îñíîâàííîé íà óðàâíåíèè (7), ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìàòåìàòè- ÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè ðåëàêñàöèîííîãî ôèëüòðàöèîííîãî ïðîöåññà â ãåîìàññèâå êîíå÷íîé ìîùíîñòè l ñ ïðîíèöàåìû- ìè ãðàíÿìè. Â ìàòåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå äàííàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îòûñêà- íèþ â îáëàñòè ( , ) ( , )0 0l � � � ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷è: D p x t x p D pt g p t g, ( ) , ( )( , ) ( )� �� 2 2 ( , )0 1� �� , (8) p t( , )0 0� , p l t( , ) � 0, (9) p x p x( , ) ( )0 0� . (10) Çäåñü D p x tt g, ( ) ( , )� — îáîáùåííàÿ äðîáíàÿ ïðîèçâîäíàÿ Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà ïî ïåðåìåííîé t ïîðÿäêà � îò ôóíêöèè p ïî ôóíêöèè g, îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøå- íèåì [16, 17] D p x t p x d g t g t g t , ( ) ( , ) ( ) ( , ) [ ( ) ( )] � � �� 1 1 0 � , (11) ãäå g t C( ) [ , )� � �1 0 , � �g t t( ) ( )0 0 , g( )0 0� , �( )z — ãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà, p x0 ( ) — çàäàííàÿ ôóíêöèÿ íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äàâëåíèé â ìàññèâå. (Îòìåòèì, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå g t t( ) � èç (11) ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå, íà êî- òîðîì áàçèðóåòñÿ îïðåäåëåíèå îáùåïðèíÿòîé äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïó- òî–Ãåðàñèìîâà [6, 7, 13].) Âûïîëíÿÿ â (8)–(10) çàìåíó � � g t( ) ( ( )t g� �1 � , g g( ( ))� �1 � �, g � �1 0 0( ) ), ñâîäèì ðàññìàòðèâàåìóþ çàäà÷ó ê êðàåâîé çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèÿ ñ òðàäèöèîííûìè äðîáíûìè ïðîèçâîäíûìè D U x x U x D U xp� � � �� ( ) ( )( , ) ( ( , ) ( , ))� � � � 2 2 ( , )0 1� �� , (12) U ( , )0 0� � , U l( , )� � 0, (13) U x p x( , ) ( )0 0� (14) (D f � �( ) — îïåðàòîð ñòàíäàðòíîé äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà ïî- ðÿäêà � îò ôóíêöèè f ( )� ïî ïåðåìåííîé � [7, 13], U x p x g( , ) ( , ( ))� �� 1 ). Ïðè- ìåíèì ê çàäà÷å (12)–(14) êîíå÷íîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âèäà U U x x dxn l n( ) ( , )sin ( )� � �� 0 � n n l n N� � � � � �, . (15) Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì çàäà÷ó D U D U Un n p n n n� � � �� ( ) ( )( ) ( ) ( )� � �2 2 0, (16) U p x x dxn n l n( ) ( )sin ( )0 0 0 � � � � ( )n N� . (17) Äàëåå, ïðèìåíÿÿ ê (16), (17) ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, ïî ïåðåìåííîé � íàõîäèì � ( )U s s s s s n n n p n p n � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 ( , )� ��n n n N� �2 , (18) ãäå � ( )U sn — îáðàç ôóíêöèè U n ( )� â ïðîñòðàíñòâå èçîáðàæåíèé ïî Ëàïëàñó, s — ïàðàìåòð ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà. Èç ñîîòíîøåíèÿ (18) ñ ó÷åòîì ðåçóëü- òàòîâ ðàáîò [7, 13, 18] èìååì U En n n p r r r r n r ( ) ( ) [ ( )( ) , ( ) � � � � � �� 1 1 0 � � �� n p r r nE , ( )( ) ( )] 1 1 1 ( )n N� , (19) ãäå E z � � � , ( ) — òðåõïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Ìèòòàã-Ëåôôëåðà [19]. Âîçâðàùàÿñü â ñîîòíîøåíèè (19) â îáëàñòü îðèãèíàëîâ ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé, ïîëó÷àåì ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è â âèäå p x t l g t E gn p r r r r n( , ) ( ) ( ( )) [ (( ) , ( ) � � �� 2 1 1� � �� ( ))t rn � � � � � �� 01 � �� n p r r n ng t E g t( ( )) ( ( ))] sin ( , ( )( )1 1 1 nx). (20) Îòìåòèì, ÷òî, ïîëîæèâ â (20) g t t( ) � , ïîëó÷èì ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ôèëüòðàöèîííîé êðàåâîé çàäà÷è â ðàìêàõ ìîäåëè, ñîäåðæàùåé òðàäèöèîí- íûå [7, 13] äðîáíûå ïðîèçâîäíûå Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà. Åñëè â ñîîòíîøåíèè (20) ïîëîæèòü g t t( ) ( )� � � 0 , òî ïîëó÷èì ðåøåíèå ðàññìàò- ðèâàåìîé çàäà÷è â ðàìêàõ ìîäåëè, ñîäåðæàùåé ïðîèçâîäíûå Êàïóòî–Êàòóãàìïîëà [20]. Îòäåëüíî ðàññìîòðèì ñëó÷àé � p � 0. Çäåñü âìåñòî (8) èìååì óðàâíåíèå ôèëüòðàöèè âèäà D p x t p x t g, ( ) ( , )� �� 2 2 . (21) Èç (20) ïîëó÷àåì ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (21), (9), (10) â âèäå p x t l E g t xn n n n( , ) ( ( ))sin ( )� � � � � 2 1 � �� , (22) ãäå E z� ( ) — êëàññè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Ìèòòàã-Ëåôôëåðà [19]. Ïðè ýòîì ïðèâå- äåííûå â ðàáîòå [16] ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ñîãëàñíî (22) ïîêàçûâàþò, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò âèäà ôóíêöèè g t( ) ðåøåíèå (22) ïîçâîëÿåò îïèñûâàòü êàê «ñâåðõìåäëåííûå», òàê è «ñâåðõáûñòðûå» äèôôóçèîííûå ðåæèìû. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî èç ñîîòíîøåíèÿ (22) ïðè � �1, g t t( ) � ïîëó÷àåì ðåøå- íèå ñîîòâåòñòâóþùåé ôèëüòðàöèîííîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ êëàññè÷åñêîãî óðàâ- íåíèÿ óïðóãîãî ðåæèìà ôèëüòðàöèè � � � � � p t p x � 2 2 54 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 â âèäå p x t l e p d xnt l n n n( , ) ( )sin( ) sin( )� � � � �� 2 0 01 � � � , ÷òî ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì, ïðèâåäåííûì, íàïðèìåð, â [21]. ÄÀËÜÍÅÉØÅÅ ÎÁÎÁÙÅÍÈÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÎÄÅËÈ È ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÐÅØÅÍÈß ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È ÃÅÎÔÈËÜÒÐÀÖÈÈ Óâåëè÷åíèå ñòåïåíè îáùíîñòè ðàññìîòðåííîé ãåîôèëüòðàöèîííîé ìàòåìàòè- ÷åñêîé ìîäåëè ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî, â ÷àñòíîñòè, èñïîëüçîâàíèåì â óðàâíå- íèÿõ ìîäåëè âìåñòî îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà îò ôóíêöèè ïî ôóíêöèè ñîîòâåòñòâåííî îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé Õèëüôåðà îò ôóíêöèè ïî äðóãîé ôóíêöèè, îïðåäåëÿåìîé ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì [16]: D f t I g t d dt I f tt g t g t g, , , ( ) , ( )( )( ) ( ) ( )� � � � � �� 1 1 11 ( , , ( ) ).0 1 0 1 0� � � � � � � g t (23) Çäåñü I f tt g, ( ) — äðîáíûé èíòåãðàë ïîðÿäêà îò ôóíêöèè f ïî äðóãîé ôóíê- öèè g, îïðåäåëÿåìûé òàêèì îáðàçîì [13]: I f t f g d g t g t g t , ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] � � � � � � � �� 1 1 0 � . (24) Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè ïðè g t t( ) � , ïîëó÷àåì îáùåïðèíÿòóþ ïðîèçâîäíóþ Õèëü- ôåðà ïîðÿäêà � òèïà � îò ôóíêöèè f t( ), îáîçíà÷àåìóþ D f tt � �, ( ) [22]. Ïîñêîëüêó, êàê èçâåñòíî [22, 23], ïðîèçâîäíàÿ Õèëüôåðà îáîáùàåò ïîíÿòèÿ äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ Êàïóòî è Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ, èñïîëüçîâàíèå äàííîé ïðî- èçâîäíîé ïðè ìîäåëèðîâàíèè äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè ôèëüòðàöè- îííûõ ïðîöåññîâ â ïîðèñòûõ ñðåäàõ ïîçâîëÿåò èçó÷àòü ôèëüòðàöèîííûå ìîäåëè áîëüøåé îáùíîñòè, ÷åì îáû÷íî ïðèìåíÿåìûå â íàñòîÿùåå âðåìÿ. Ïðè ýòîì, â ðàìêàõ ïîäõîäà, îñíîâàííîãî íà èñïîëüçîâàíèè îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé Õèëüôåðà âèäà (23), äîïîëíèòåëüíî îòêðûâàåòñÿ âîçìîæíîñòü íåêîòîðûì îáðà- çîì óïðàâëÿòü ïðîöåññîì ìîäåëèðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ íàäëåæàùåãî ïîäáîðà ôóíêöèé g t( ) èç íåêîòîðîãî äîïóñòèìîãî êëàññà ôóíêöèé. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìîäåëèðîâàíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè ãåîôèëüòðàöèîííîãî ïðîöåññà (ñ ó÷åòîì ðåëàêñàöèè äàâëåíèÿ) â ðàìêàõ ìàòå- ìàòè÷åñêîé ìîäåëè, îñíîâàííîé íà îáîáùåíèè ôèëüòðàöèîííîãî çàêîíà Äàðñè âèäà u k x p D px p t g� � � � � � � � �( ), , , (25) ãäå Dt g, ,� � — îïåðàòîð îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé Õèëüôåðà, îïðåäåëÿåìûé ñîãëàñ- íî (23), (24). (Çàìåòèì, ÷òî èç (25) ïðè � �1, � �� ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå (2).) Ïîñòóëèðóÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ àíîìàëüíûõ ãåîìèãðàöèîííûõ ïðîöåññîâ âûïîëíåíèå (âìåñòî ñîîòíîøåíèÿ (3)) îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà � � � � u x D p x tx t g� � �* , , ( , ) 0, (26) ïîëó÷àåì èç (25), (26) îñíîâíîå óðàâíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ôèëüòðà- öèè â âèäå D p x t x p D pt g p t g, , , ,( , ) ( )� � � �� 2 2 ( )0 1� �� . (27) Óðàâíåíèå (27), î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì óðàâíåíèÿ (7), ïîñêîëüêó ïðè � �1 èç (27) ñëåäóåò (7). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèåì âèäà (27) îïèñûâà- åòñÿ òàêæå äèíàìèêà ïðîöåññîâ ôèëüòðàöèè â òðåùèíîâàòî-ïîðèñòûõ ñðåäàõ. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 55 Â ðàìêàõ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ôèëüòðàöèè, áàçèðóþùåéñÿ íà óðàâíå- íèè (27), çàäà÷à ìîäåëèðîâàíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè ðåëàêñàöè- îííîãî ôèëüòðàöèîííîãî ïðîöåññà â ãåîìàññèâå êîíå÷íîé ìîùíîñòè l, íàïðèìåð, ñ ïðîíèöàåìûìè ãðàíÿìè, â ìàòåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ â îáëàñòè ( , ) ( , )0 0l � � � êðàåâîé çàäà÷è äëÿ (27) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè p t p l t( , ) , ( , )0 0 0� � , (28) I p x p xt g, ( )( ) ( , ) ( )1 1 00� � � �� , (29) ãäå p x0 ( ) — çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëÿþùàÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïðîöåññà, I f tt g, ( )( ) ( )1 1� �� — äðîáíûé èíòåãðàë ïîðÿäêà ( )( )1 1� �� îò ôóíêöèè f ïî äðóãîé ôóíêöèè g, îïðåäåëÿåìûé ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (24). Âûïîëíèâ, êàê è âûøå ïðè ðåøåíèè çàäà÷è (8)–(10), çàìåíó � � g t( ), ïåðåïè- øåì ðàññìàòðèâàåìóþ êðàåâóþ çàäà÷ó (27)–(29) â âèäå D U x x U x D U xp� � � � � �� , ,( , ) ( ( , ) ( , ))� � � � 2 2 ( )0 1� �� , (30) U U l( , ) , ( , )0 0 0� �� , (31) I U x p x � � �( )( ) ( , ) ( )1 1 00� � � � (32) (D f � � �, — îïåðàòîð ñòàíäàðòíîé äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Õèëüôåðà îò f ( )� ïî ïåðåìåííîé � [22, 23]). Ïðèìåíÿÿ ê çàäà÷å (30)–(32) êîíå÷íîå èíòåãðàëüíîå ñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âèäà (15), ïîëó÷àåì â îáëàñòè èçîáðàæåíèé çàäà÷ó D U Un n n� � � � � �, ( ) ( )� � 0, (33) I U n n� � � ( )( ) ( )1 1 0� � � � ( )n N� , (34) ãäå � �� n n n p � � 2 21 , �n l np x x dx� � 0 0 ( )sin ( ) ( )n N� . Â ïðîñòðàíñòâå èçîáðàæåíèé ïî Ëàïëàñó îòíîñèòåëüíî âðåìåííîé� ïåðåìåí- íîé t èç ñîîòíîøåíèé (33), (34) íàõîäèì � ( ) ( ) U s s s n n n � � � � � � � 1 ( )n N� , ãäå � ( )U sn — îáðàç ôóíêöèè U n ( )� â ïðîñòðàíñòâå èçîáðàæåíèé ïî Ëàïëàñó, s — ïàðàìåòð ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà. Îòñþäà ñ ó÷åòîì [7, 13, 19] èìååì U En n n( ) ( )( )( ) , ( )� � � �� 1 1 1 ( )n N� , (35) ãäå E z� �, ( ) — äâóõïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Ìèòòàã-Ëåôôëåðà [13, 19]. Âîçâðàùàÿñü â ñîîòíîøåíèÿõ (35) â îáëàñòü îðèãèíàëîâ ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé, ïîëó÷àåì ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è â âèäå p x t l g t E g tn n n ( , ) ( ( )) ( ( ))( )( ) , ( )� �� 2 1 1 1 �� 1 � � sin ( )� nx . 56 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 57 Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ïðè g t t( ) ( )� � � 0 ïîëó÷àåì ðåøåíèå ñîîòâåòñòâó- þùåé ôèëüòðàöèîííîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ìîäåëè ñ ïðîèçâîäíîé Õèëüôå- ðà–Êàòóãàìïîëà [24] â âèäå p x t l t E tn n n ( , ) ( )sin( )( ) , ( )� �� 2 1 1 1 1 �� ( )� nx . ÄÐÎÁÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÄÈÍÀÌÈÊÀ ÐÅËÀÊÑÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÏÐÈ ÍÅËÎÊÀËÜÍÛÕ ÃÐÀÍÈ×ÍÛÕ ÓÑËÎÂÈßÕ Ïðèâåäåì ïðèìåð ïîñòðîåíèÿ çàìêíóòîãî ðåøåíèÿ ôèëüòðàöèîííîé êðàåâîé çàäà÷è ñ íåëîêàëüíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðåëàêñàöèîííîãî ôèëüòðàöèîííîãî ïðîöåññà, îïðåäåëÿåìîãî óðàâíåíèåì âèäà (27). Â ðàìêàõ óêàçàííîé äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ôèëüòðà- öèè ìîäåëèðîâàíèå íåðàâíîâåñíîé äèíàìèêè ôèëüòðàöèîííîãî ïðîöåññà â ãåî- ìàññèâå åäèíè÷íîé ìîùíîñòè ñ ïðîíèöàåìîé íèæíåé ãðàíüþ â ïðåäïîëîæå- íèè, íàïðèìåð, ðàâåíñòâà ðàñõîäîâ æèäêîñòè ÷åðåç ãðàíè ìàññèâà ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ â îáëàñòè � � � � � �{ }( , ): ,x t x t T0 1 0 ñëåäóþùåé çàäà÷è: D p x t x p D pt g p t g, , , ,( , ) ( )� � � �� 2 2 , (36) p t( , )1 0� , p t p tx x( , ) ( , )0 1� ( )0 � �t T , (37) I p x h xt g, ( )( ) ( , ) ( )1 1 0� � � �� ( )0 1� �x , (38) ãäå h x( ) — çàäàííàÿ ôóíêöèÿ íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äàâëåíèé, Dt g, ,� � — îïåðàòîð îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé Õèëüôåðà, îïðåäåëÿåìûé ñîîòíîøåíèÿìè (23), (24). Îòìåòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì çàäà÷è Ñàìàðñêîãî–Èîíêèíà [25] ïðèìåíèòåëüíî ê äèôôóçèîííûì óðàâíåíèÿì ñ äðîáíûìè ïðîèçâîäíûìè âèäà (36). Äëÿ åå ðåøåíèÿ èñïîëüçóåì ïîäõîä, ðàç- ðàáîòàííûé â [25, 26] äëÿ êëàññè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷à â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èìååò âèä �� X x X x( ) ( )�2 0 ( )0 1� �x , X ( )1 0� , � � �X X( ) ( )0 1 , ãäå �2 — ñïåêòðàëüíûé ïàðàìåòð. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äàííîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è, êàê èçâåñòíî [25, 26], ðàâíû � n n� 2 ( ).n N� Ñîîòâåòñòâóþùèå óêà- çàííûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì ñîáñòâåííûå è ïðèñîåäèíåííûå ôóíêöèè èìå- þò âèä �0 2 1( ) ( )x x� � , � �1 4 1n nx x x( ) ( )cos ( )� � , � �2 4n nx x( ) sin ( )� ( ).n N� (39) Ñèñòåìà ôóíêöèé (39), êàê ïîêàçàíî â [26, 27], çàìêíóòà, ìèíèìàëüíà è îáðà- çóåò áàçèñ Ðèññà â L2 0 1( , ). Â ðàáîòå [27] äëÿ íåå âûïèñàíà ñèñòåìà ñîáñòâåí- íûõ è ïðèñîåäèíåííûõ ôóíêöèé ñîïðÿæåííîé çàäà÷è, èìåþùàÿ âèä � 0 1( )x � , � �1n nx x( ) cos ( )� , � �2n nx x x( ) sin ( )� ( )n N� . (40) Ñèñòåìû (39), (40) îáðàçóþò áèîðòîãîíàëüíóþ íà èíòåðâàëå ( , )0 1 ñèñòåìó ôóíêöèé, ëþáóþ ôóíêöèþ èç L2 0 1( , ) ìîæíî ðàçëîæèòü â áèîðòîãîíàëüíûé ðÿä. Ïðåäñòàâèì ðåøåíèå çàäà÷è (36)–(38) â âèäå áèîðòîãîíàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ p x t p t x p t xkn kn nk ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � ��0 0 11 2 � � . (41) Ðàçëîæèâ â áèîðòîãîíàëüíûé ðÿä ôóíêöèþ íà÷àëüíèõ óñëîâèé çàäà÷è h x( ): h x h x h xkn kn nk ( ) ( ) ( )� � � � � ��0 0 11 2 � � , h h x x0 0� ( ( ), ( ))� , h h x xkn kn� ( ( ), ( ))� ( , , )k n N� �1 2 , ïîëó÷èì íà îñíîâàíèè (36)–(38) òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàäà÷ Êîøè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äðîáíîãî ïîðÿäêà: D p t I p ht g t g, , , ( )( )( ) , ( )� � � � 0 1 1 0 00 0� � �� , (42) D p t p t I p ht g n n n t g n n, , , ( )( )( ) ( ) , ( )� � � ��1 1 1 1 1 10 0� � � �� , (43) D p t p t F t I pt g n n n n t g n, , , ( )( )( ) ( ) ( ), ( )� � � ��2 2 1 1 2 0� � �� h n2 , (44) ãäå � �� n n p n � � 2 21 , F t p tn n p n p n n( ) ( ) ( )� � � 2 1 1 2 1 �� ( )n N� . Ðåøåíèÿ çàäà÷ (42)–(44) ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íî èçëîæåííîìó âûøå ñ èñïîëüçî- âàíèåì îïåðàöèîííîãî ìåòîäà [7, 13]. Â ðåçóëüòàòå íàõîäèì p t h g t0 0 1 1 1 ( ) ( ( )) ( ( )) ( )( )� � � � � � � � � � � , p t h g t E g tn n n1 1 1 1 1( ) ( ( )) ( ( ))( )( ) , ( )� �� , (45) p t h g t E g tn n n2 2 1 1 1( ) ( ( )) ( ( ))( )( ) , ( )� � �� 2 1 1 1 2 1 1 2 �� n p n n p n h g t E ( ) ( ( )) ( )( ) , (1 2 � � � �� ) ( ( ))ng t . (46) Îòíîñèòåëüíî óñëîâèé ñõîäèìîñòè ðÿäîâ èç ñîîòíîøåíèÿ (41) îòìåòèì ñëå- äóþùåå. Ïóñòü h x C( ) [ , ]� 2 0 1 . Òîãäà, êàê èçâåñòíî [28], èìåþò ìåñòî ñîîòíîøå- íèÿ \| \|h C kn n � �2 ( , , , )k C n N� �1 2 0 . Ó÷èòûâàÿ àñèìïòîòè÷åñêèå îöåíêè ôóíê- öèè E z� �, ( ) äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé \| \|z [7, 13], èìååì èç (45) äëÿ ëþáîãî t t� 0 0 îöåíêó \| ( )\| ( , ,p t C C M C M nn n n n p n n n 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 0� � � � � � � � �� N ). (47) Äàëåå, èç (46) ïîëó÷àåì äëÿ ëþáîãî t t� 0 0 àíàëîãè÷íóþ îöåíêó \| ( )\| \| ( )\| p t C C n n n n n n p n p n 2 2 2 3 2 2 2 1 1 � � � � � � � � � � � � � �� 1 0 2 2 4 3 2 2 2 � � �n n n C C M M n N( , ). (48) Ñ ó÷åòîì îöåíîê (47), (48) çàêëþ÷àåì, ÷òî ðÿäû èç (41) (â ñèëó ìàæîðàíòíîãî ïðèçíàêà Âåéåðøòðàññà) ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî â îáëàñòè � � � �[ , ]0 1 � [ , ]� T äëÿ ëþáîãî � 0. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ p x t( , ) íåïðåðûâíà â �T � � �[ , ] ( , ]0 1 0 T . Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ è íåïðåðûâíîñòü â �T ôóíêöèé p p D px xx t g, , , ,� � . 58 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûõ ãåî- ôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ â ñëîæíûõ óñëîâèÿõ ïðîòåêàíèÿ, c ó÷åòîì ÿâëåíèÿ ðåëàêñàöèè äàâëåíèÿ, ââîäÿòñÿ â ðàññìîòðåíèå íîâûå äðîáíî-äèôôåðåíöèàëü- íûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, áàçèðóþùèåñÿ íà ïîíÿòèÿõ äðîáíûõ ïðîèçâîä- íûõ Êàïóòî è Õèëüôåðà îò ôóíêöèè ïî äðóãîé ôóíêöèè. Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ ýòèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïðè èõ ïîñòðîåíèè ó÷èòûâàëàñü âîçìîæíîñòü â îïðåäåëåííîì ñìûñëå óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì ìîäåëèðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ íàäëåæàùåãî âûáîðà «ïðîáíûõ» ôóíêöèé, ââîäèìûõ â îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîèçâîäíûõ äðîáíîãî ïîðÿäêà. Â ðàìêàõ óêàçàííûõ ìîäåëåé ïîëó÷åíû çàìêíóòûå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ êðàå- âûõ çàäà÷ íåêëàññè÷åñêîé òåîðèè ðåëàêñàöèîííîé ôèëüòðàöèè, âêëþ÷àÿ çàäà÷ó ñ íåëîêàëüíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Õàñàíîâ Ì.Ì., Áóëãàêîâà Ã.Ò. Íåëèíåéíûå è íåðàâíîâåñíûå ýôôåêòû â ðåîëîãè÷åñêè ñëîæ- íûõ ñðåäàõ. Ìîñêâà–Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2003. 288 ñ. 2. Áàðåíáëàòò Ã.È., Åíòîâ Â.Í., Ðûæèê Â.Ì. Äâèæåíèå æèäêîñòåé è ãàçîâ â ïðèðîäíûõ ïëàñòàõ. Ìîñêâà: Íåäðà, 1984. 303 ñ. 3. Íèêîëàåâñêèé Â.Í., Áàñíèåâ Ê.Ñ., Ãîðáóíîâ À.Ò., Çîòîâ Ã.À. Ìåõàíèêà íàñûùåííûõ ïîðèñ- òûõ ñðåä. Ìîñêâà: Íåäðà, 1970. 339 ñ. 4. Ìîëîêîâè÷ Þ.Ì., Íåïðèìåðîâ Í.È., Ïèêóçà Â.È., Øòàíèí À.Â. Ðåëàêñàöèîííàÿ ôèëüòðàöèÿ. Êàçàíü: Èçä-âî Êàçàí. óí-òà, 1980. 136 ñ. 5. Ñîáîëåâ Ñ.Ë. Ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûå ìîäåëè ïðîöåññîâ ïåðåíîñà. Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê. 1997. Ò. 167, ¹ 10. Ñ. 1095–1106. 6. Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. London: Imperial College Press, 2010. 368 p. 7. Podlubny I. Fractional differential equations. New York: Academic Press, 1999. 341 p. 8. Caputo M. Models of flux in porous media with memory. Water Resources Research. 2000. Vol. 36. P. 693–705. 9. Deseri L., Zingales M. A mechanical picture of fractional-order Darcy equation. Communication in Nonlinear Sciences and Numerical Simulation. 2015. Vol. 20. P. 940–949. 10. Áóëàâàöêèé Â.Ì. Íåêîòîðûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ãåîèíôîðìàòèêè äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåñ- ñîâ ïåðåíîñà â óñëîâèÿõ âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2011. ¹ 3. Ñ. 128–137. 11. Áóëàâàöêèé Â.Ì., Êðèâîíîñ Þ.Ã. Î ìîäåëèðîâàíèè äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè íå- êîòîðûõ ïðîöåññîâ ðåëàêñàöèîííîé ôèëüòðàöèè. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2015. ¹ 4. Ñ. 60–69. 12. Bulavatsky V.M., Bogaenko V.A. Mathematical modelling of the fractional differential dynamics of the relaxation process of convective diffusion under conditions of planed filtration. Cybernetics and Systems Analysis. 2015. Vol. 51, N 6. P. 886–895. 13. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p. 14. Compte A., Metzler R. The generalized Cattaneo equation for the description of anomalous transport processes. Journal of Phusics A. 1997. Vol. 30. P. 7277–7289. 15. Bulavatsky V.M. Mathematical modelling of fractional differential filtration dynamics based on models with Hilfer–Prabhakar derivative. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 2. P. 204–216. 16. Áóëàâàöêèé Â.Ì., Êðèâîíîñ Þ.Ã. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñ ôóíêöèåé êîíòðîëÿ äëÿ èññëåäî- âàíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè ãåîìèãðàöèîííûõ ïðîöåññîâ. Ïðîáëåìû óïðàâëå- íèÿ è èíôîðìàòèêè. 2014. ¹ 3. Ñ. 138–147. 17. Almeida R. A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function. arXiv:1609.04775v1[math. CA]. 2016. 18. Saxena R.K., Mathai F.M., Haubold H.J. Solutions of fractional reaction diffusion equations in terms of the Mittag-Leffler functions. Intern. Journ. Scient. Research. 2006. Vol. 15. P. 1–17. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 59 19. Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V. Mittag-Leffler functions, related topics and applications. Berlin: Springer Verlag, 2014. 454 p. 20. Almeida R., Malinowska A.B., Odzijewicz T. Fractional differential equations with dependence on the Caputo–Katugampola derivative. arXiv:1607.06913v1[math. CA]. 2016. 21. Ãóñåéíçàäå Ì.À., Êîëîññîâñêàÿ À.Ê. Óïðóãèé ðåæèì â îäíîïëàñòîâûõ è ìíîãîïëàñòîâûõ ñèñ- òåìàõ. Ìîñêâà: Íåäðà, 1972. 456 ñ. 22. Hilfer R. Fractional time evolution. Applications of fractional calculus in Physics. Hilfer R. (Ed). Singapore: World scientific, 2000. P. 87–130. 23. Sandev T., Metzler R., Tomovski Z. Fractional diffusion equation with a generalized Riemann–Liouville time fractional derivative. Journal of Physics A. 2011. Vol. 44. P. 5–52. 24. Oliveira D.S., Capelas de Oliveira E. Hilfer–Katugampola fractional derivative. arXiv:1705.07733v1 [math. CA]. 2017. 25. Èîíêèí Í.È. Ðåøåíèå îäíîé êðàåâîé çàäà÷è òåîðèè òåïëîïðîâîäíîñòè ñ íåêëàññè÷åñêèì êðà- åâûì óñëîâèåì. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 1977. Ò. 13, ¹ 2. Ñ. 294–304. 26. Èîíêèí Í.È., Ìîèñååâ Å.È. Î çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ äâóòî÷å÷íûìè êðàå- âûìè óñëîâèÿìè. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 1979. Ò. 15, ¹ 7. Ñ. 1284–1295. 27. Ìîèñååâ Å.È. Î ðåøåíèè ñïåêòðàëüíûì ìåòîäîì îäíîé íåëîêàëüíîé êðàåâîé çàäà÷è. Äèôôå- ðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 1999. Ò. 35, ¹ 8. Ñ. 1094–1100. 28. Furati K.M., Iyiola O.S., Kirane M. An inverse problem for a generalized fractional diffusion. Applied Mathematics and Computation. 2014. Vol. 249. P. 24–31. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 26.10.2017 Â.Ì. Áóëàâàöüêèé ÌÀÒÅÌÀÒÈ×Í² ÌÎÄÅË² ÒÀ ÇÀÄÀ×² ÄÐÎÁÎÂÎ-ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÉÍÎ¯ ÄÈÍÀÌ²ÊÈ ÄÅßÊÈÕ ÐÅËÀÊÑÀÖ²ÉÍÈÕ Ô²ËÜÒÐÀÖ²ÉÍÈÕ ÏÐÎÖÅÑ²Â Àíîòàö³ÿ. Ïîáóäîâàíî äðîáîâî-äèôåðåíö³éí³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ äëÿ îïèñó äèíàì³êè ãåîô³ëüòðàö³éíèõ ïðîöåñ³â çà óìîâ óðàõóâàííÿ ÿâèùà ðåëàêñàö³¿ òèñêó. Ìîäåë³ áàçóþòüñÿ íà ïîíÿòòÿõ óçàãàëüíåíèõ ïîõ³äíèõ Êàïóòî òà Õ³ëüôåðà ÿê ïîõ³äíèõ äðîáîâîãî ïîðÿäêó â³ä ôóíêö³¿ ïî ³íø³é ôóíêö³¿. Ó ðàì- êàõ âêàçàíèõ ìîäåëåé îäåðæàíî àíàë³òè÷í³ ðîçâ’ÿçêè äåÿêèõ ô³ëüòðàö³éíèõ êðàéîâèõ çàäà÷ âêëþ÷íî ç çàäà÷åþ ç íåëîêàëüíèìè ãðàíè÷íèìè óìîâàìè. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ, ëîêàëüíî-íåð³âíîâàæí³ ïðîöåñè ãåîô³ëüòðàö³¿, äðîáîâî-äèôåðåíö³éí³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³, ïîõ³äí³ Êàïóòî òà Õ³ëüôåðà, êðàéîâ³ çàäà÷³, íåëîêàëüí³ ãðàíè÷í³ óìîâè. V.M. Bulavatsky MATHEMATICAL MODELS AND PROBLEMS OF FRACTIONAL-DIFFERENTIAL DYNAMICS OF SOME RELAXATIONAL FILTRATIONAL PROCESSES Abstract. Fractional-differential mathematical models for describing the dynamics of geofiltration processes under pressure relaxation are constructed. The models are based on the concepts of the generalized Caputo and Hilfer derivatives, as derivatives of fractional order of a function with respect to another function. Within the framework of these models, analytical solutions of some filtration boundary-value problems inclusive with a problem with nonlocal boundary conditions are obtained. Keywords: mathematical modelling, locally non-equilibrium processes of geofiltration, fractional-differential mathematical models, Caputo and Hilfer’s derivatives, boundary-value problems, nonlocal boundary conditions. Áóëàâàöêèé Âëàäèìèð Ìèõàéëîâè÷, äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, å-mail: v_bulav@ukr.net. 60 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5

Математические модели и задачи дробно-дифференциальной динамики некоторых релаксационных фильтрационных процессов

Репозитарії

Схожі ресурси