Побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами

Однією з актуальних задач сучасної прикладної математики є вивчення рівнянь інтегровного типу з сингулярним збуренням, зокрема, задача про побудову асимптотичних розв’язків, які за своєю структурою і властивостями є близькими до солітонних розв’язків. Саме побудові таких асимптотичних розв’язків для...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Зайцева, К.С., Самойленко, В.Г., Самойленко, Ю.І., Вовк, Л.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162200
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами / К.С. Зайцева, В.Г. Самойленко, Ю.І. Самойленко, Л.В. Вовк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 48-54. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-162200
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1622002020-01-05T01:25:30Z Побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами Зайцева, К.С. Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.І. Вовк, Л.В. Однією з актуальних задач сучасної прикладної математики є вивчення рівнянь інтегровного типу з сингулярним збуренням, зокрема, задача про побудову асимптотичних розв’язків, які за своєю структурою і властивостями є близькими до солітонних розв’язків. Саме побудові таких асимптотичних розв’язків для рівняння Кортевега-де Фріза із сингулярним збуренням і змінними коефіцієнтами спеціального вигляду і присвячено дану статтю, у якій для цього рівняння побудовано головний доданок його асимптотичного солітоноподібного розв’язку. Показано, що отриманий асимптотичний розв’язок належить простору швидко спадних функцій і, на відміну від загального випадку, він визначений для всіх значень незалежних змінних. Доведено твердження проточність, з якою побудований асимптотичний розв’язок задовольняє досліджуване рівняння. The paper deals with constructing the asymptotic soliton like solutions to the singular perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients of special form. There is constructed a main term of the asymptotic solution. The solution is shown to belong to the space of quickly decreasing functions and the solution is demonstrated to define for any values of independent variables in contradistinction to the general case. The theorem on accuracy with which the asymptotic solution satisfies the equation is proved. 2018 Article Побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами / К.С. Зайцева, В.Г. Самойленко, Ю.І. Самойленко, Л.В. Вовк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 48-54. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162200 517.9 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Однією з актуальних задач сучасної прикладної математики є вивчення рівнянь інтегровного типу з сингулярним збуренням, зокрема, задача про побудову асимптотичних розв’язків, які за своєю структурою і властивостями є близькими до солітонних розв’язків. Саме побудові таких асимптотичних розв’язків для рівняння Кортевега-де Фріза із сингулярним збуренням і змінними коефіцієнтами спеціального вигляду і присвячено дану статтю, у якій для цього рівняння побудовано головний доданок його асимптотичного солітоноподібного розв’язку. Показано, що отриманий асимптотичний розв’язок належить простору швидко спадних функцій і, на відміну від загального випадку, він визначений для всіх значень незалежних змінних. Доведено твердження проточність, з якою побудований асимптотичний розв’язок задовольняє досліджуване рівняння.
format	Article
author	Зайцева, К.С. Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.І. Вовк, Л.В.
spellingShingle	Зайцева, К.С. Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.І. Вовк, Л.В. Побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Зайцева, К.С. Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.І. Вовк, Л.В.
author_sort	Зайцева, К.С.
title	Побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами
title_short	Побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами
title_full	Побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами
title_fullStr	Побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами
title_full_unstemmed	Побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами
title_sort	побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння кортевега-де фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162200
citation_txt	Побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами / К.С. Зайцева, В.Г. Самойленко, Ю.І. Самойленко, Л.В. Вовк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 48-54. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT zajcevaks pobudovaasimptotičnogosolítonopodíbnogorozvâzkusingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazíspecíalʹnozadanimikoefícíêntami AT samojlenkovg pobudovaasimptotičnogosolítonopodíbnogorozvâzkusingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazíspecíalʹnozadanimikoefícíêntami AT samojlenkoûí pobudovaasimptotičnogosolítonopodíbnogorozvâzkusingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazíspecíalʹnozadanimikoefícíêntami AT vovklv pobudovaasimptotičnogosolítonopodíbnogorozvâzkusingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazíspecíalʹnozadanimikoefícíêntami
first_indexed	2025-07-14T14:43:47Z
last_indexed	2025-07-14T14:43:47Z
_version_	1837633873613160448
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 48 M. P. Korniichuk and V. M. Tikhomirov established the general criterion for an extremal element for the problem of the best approximation of an ele- ment of a linear normed space by a convex set based on the dual interrelation. The Kolmogorov's criterion of the extremal element for the problem of approx- imation of a complex-valued function by a finite-dimensional subspace of gen- eralized complex-valued polynomials is somewhat different from this criterion. An important class of problems of the theory of the approximation is problems of simultaneous approximation of several elements of linear normed space by set of this space. In the article one of these tasks is considered. This is a problem to re- search in the sense of the weighted distances Chebyshov's center of several points of the linear normed space relatively to the convex set of this space. For this problem we found the dual relation. These duality relations became the basis for obtaining the criterion of the extremal sequence and the criterion of the extremal element. We generalized Kolmogorov's crite- rion on the problem that is considered in the work. These results clarified for some cases of the studied problem. Key words: the linear normed space, the weighted distances, the con- vex set, the generalized point of Chebyshev, the extreme sequence, the cri- teria of the generalized center of Chebyshev. Отримано: 23.05.2018 УДК 517.9 К. С. Зайцева, В. Г. Самойленко, д-р фіз.-мат. наук, професор, Ю. І. Самойленко, д-р фіз.-мат. наук, Л. В. Вовк*, канд. фіз.-мат. наук Київський університет імені Бориса Грінченка м. Київ, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, *Київський національний університет культури і мистецтв, м. Київ ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНОГО СОЛІТОНОПОДІБНОГО РОЗВ’ЯЗКУ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РІВНЯННЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРІЗА ЗІ СПЕЦІАЛЬНО ЗАДАНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ Рівняння Кортевега-де Фріза є одним з важливих об’єктів дослідження сучасної теоретичної фізики і прикладної мате- матики. Це рівняння описує хвильові процеси в середовищах з нелінійної дисперсією і стало широко відомим у середині ми- нулого століття завдяки наявності у нього так званих солітон- них розв’язків, що мають властивість нелінійної суперпозиції. За допомогою різних аналітичних і якісних методів (метод оберненої задачі теорії розсіювання, метод Хіроти, методи Бе- клунд перетворення і Дарбу перетворення, метод скінченно- © К. С. Зайцева, В. Г. Самойленко, Ю. І. Самойленко, Л. В. Вовк, 2018 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 49 зонного інтегрування, методи групового аналізу та інші) для рівняння Кортевега-де Фріза вивчено широкий клас задач і встановлено існування для нього розв’язків різної фізичної природи, зокрема, солітонних, періодичних і майже періодич- них, розв’язків типу ударної хвилі (типу сходинки), тощо. У випадку середовищ зі змінними характеристиками і малою ди- сперсією в якості математичних моделей певних процесів і явищ виникає рівняння Кортевега-де Фріза зі змінними коефі- цієнтами та сингулярним збуренням. При вивченні рівняння Кортевега-де Фріза зі змінними коефі- цієнтами та малим параметром ефективним методом його дослі- дження є асимптотичний аналіз, який дозволяє знайти його на- ближені розв’язки та проаналізувати їх якісні властивості. Однією з актуальних задач сучасної прикладної математики є вивчення рівнянь інтегровного типу з сингулярним збуренням, зокрема, задача про побудову асимптотичних розв’язків, які за своєю структурою і властивостями є близькими до солітонних розв’язків. Саме побудові таких асимптотичних розв’язків для рі- вняння Кортевега-де Фріза із сингулярним збуренням і змінними коефіцієнтами спеціального вигляду і присвячено дану статтю, у якій для цього рівняння побудовано головний доданок його асим- птотичного солітоноподібного розв’язку. Показано, що отрима- ний асимптотичний розв’язок належить простору швидко спад- них функцій і, на відміну від загального випадку, він визначений для всіх значень незалежних змінних. Доведено твердження про точність, з якою побудований асимптотичний розв’язок задоволь- няє досліджуване рівняння. Ключові слова: рівняння Кортевега-де Фріза, солітонний розв’язок, сингулярне збурення, асимптотичний розв’язок. Вступ. Рівняння Кортевега-де Фріза є одним з важливих об’єктів сучасної математичної фізики. Для побудови і вивчення його розв’язків використовувалися різноманітні аналітичні і якісні методи, серед яких методи теорії звичайних диференціальних рівнянь, чисельні методи, метод оберненої задачі теорії розсіювання, метод Хіроти, пере- творення Беклунда і Дарбу перетворення, методи групового аналізу, асимптотичні методи та інші [1–11]. При цьому було встановлено, що це рівняння володіє розв’язками з різноманітними властивостями. Над- звичайний інтерес до даного рівняння пов'язаний з наявністю у нього так званих солітонних розв’язків, які описують принцип нелінійної суперпозиції розв’язків хвильової природи. Крім фізично змістовної сутності дане рівняння володіє низкою цікавих математичних власти- востей, серед яких згадаємо лише про існування у нього так званих сингулярних розв’язків, тобто розв’язків, які можуть «руйнуватися» або грубо, або згідно сценарію градієнтної катастрофи [12]. Проте переважна більшість згаданих вище методів і підходів може ефективно використовуватися лише для випадку рівняння Кортевега-де Математичне та комп’ютерне моделювання 50 Фріза зі сталими коефіцієнтами, в той час, як при моделюванні хвильо- вих процесів у середовищах зі змінними характеристиками в якості ма- тематичних моделей виникають рівняння Кортевега-де Фріза зі змінни- ми коефіцієнтами і, зокрема, з малим параметром при старшій похідній, який характеризує малу дисперсію середовища. Зауважимо, що при ная- вності малого параметра чи не єдиним методом дослідження таких рів- нянь є асимптотичний аналіз, який дозволяє знайти їх наближені розв’язки. Саме побудові асимптотичних розв’язків спеціального вигля- ду для рівняння Кортевега-де Фріза з сингулярним збуренням і змінними коефіцієнтами спеціального вигляду і присвячено дану статтю. Постановка задачі. Для сингулярно збуреного рівняння Корте- вега-де Фріза зі змінними коефіцієнтами вигляду 2 ( , , ) ( , , ) ,xxx t xu a x t u b x t uu    (1) де  — малий параметр, функції ( , , ), ( , , )a x t b x t  записуються у вигляді асимптотичних (за Пуанкаре) рядів 0 ( , , ) ( , ) k k k a x t a x t      , 0 ( , , ) ( , ) k k k b x t b x t      , коефіцієнти яких є нескінченно диференційованими за x, t функціями, розглядається задача про знаходження його асимптотичного соліто- ноподібного розв’язку для випадку, коли коефіцієнти мають вигляд 2 2( , , ) 1a x t t x    , ( , , ) 1b x t   . (2) Зазначимо, що рівняння Кортевега-де Фріза зі змінними коефіцієнтами вивчалося у низці статей, зокрема, у [10]. Алгоритм побудови розв’язку. Асимптотичний солітоноподібний розв’язок рівняння (1), (2) шукається за допомогою алгоритму, який роз- роблено і обґрунтовано в [13, 14]. Відповідно до властивостей солітон- них розв’язків шуканий асимптотичний розв’язок має спеціальну пове- дінку при великих значеннях аргументів, а тому його доданки належать певним функціональним просторам. Розглянемо [13, 15] простір 1 1= ( [0; ] )G G R T R  — лінійний простір таких нескінченно диферен- ційовних функцій = ( , , )f f x t  , ( , , ) [0; ]x t R T R    , що для довільних невід’ємних цілих чисел n , p , q , r рівномірно щодо ( , )x t на кожній компактній множині [0; ]K R T  виконуються умови: 01 . справджується співвідношення: ( , , ) = 0, ( , ) ;lim p q r n p q r f x t x t K x t           02 . існує така нескінченно диференційовна функція ( , )f x t , що Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 51  ( , , ) ( , ) = 0, ( , ) .lim p q r n p q r f x t f x t x t K x t              Нехай 0 0 1 1 1= ( [0; ] )G G R T R G   — простір функцій 1= ( , , )f f x t G  , ( , , ) [0; ]x t R T R    , для яких рівномірно щодо змінних ( , )x t на кожному компакті [0; ]K R T  виконується умова ( , , ) = 0.lim f x t    Означення 1 [13–15]. Функція = ( , , )u u x t  , де  — малий па- раметр, називається солітоноподібною, якщо ця функція для довільного цілого 0N  зображується асимптотичним розкладом вигляду: 1 =0 ( )( , , ) = ( , ) ( , , ) ( ), = , N j N j j j x tu x t u x t V x t O            (3) де ( ) ([0; ])t C T  — скалярна функція, функції ( , )ju x t , = 0, ,j N — нескінченно диференційовні; 0 0 1( , , ) ,V x t G  1( , , ) ,jV x t G  = 1,j N . Вираз ( )x t називається фазою солітоноподібної функції ( , , ).u x t  Асимптотичний солітоноподібний розв’язок рівняння (1) запи- сується у вигляді 1( , , ) = ( , , , ) ( ),N Nu x t Y x t O     =0 ( )( , , , ) = ( , ) ( , , ) , = N j N j j j x tY x t u x t V x t          Оскільки солітонні властивості розв’язку визначаються його сингулярною частиною, то у подальшому вважаємо, що регулярна частина асимптотичного розв’язку рівна нулеві, тобто розглядається випадок нульового фону. Стандартними методами показується, що доданки сингулярної частини асимптотики — функції ( , , ),jV x t  = 0,j N , задовольняють систему диференціальних рівнянь вигляду: 3 0 0 0 0 0 0 0 03 ( , ) ( ) ( , ) = 0, V V V V a x t t b x t u V                (4)   3 0 0 0 03 ( , ) ( ) ( , ) = ( , , ),j j j j j V V V a x t t b x t u V V F x t                 (5) де функції ( , , )jF x t  , = 1,j N знаходяться рекурентно. У [13] описано загальну процедуру побудови розв’язків системи (4), (5), яка дає алгоритм знаходження функції ( )t , за допомогою Математичне та комп’ютерне моделювання 52 якої визначається фаза солітоноподібного розв’язку. Оскільки у цій статті ми обмежуємося побудовою лише головного доданку асимптотичного розв’язку рівняння (1), (2), то для даного випадку фазу шуканого розв’язку можна визначити [13] за допомогою рівності ( ) 2x t x t   , тобто покласти ( ) 2 .t t   Шукаючи розв’язок рівняння (4) у просторі 0G , знаходимо, що головний доданок сингулярної частини асимптотичного солітоноподіб- ного розв’язку рівняння (1), (2) має вигляд 2 2 2 0 10 2 2( , , ) 3(10 2) 2 2 t x tY x t t ch               . Встановлено твердження. Теорема. Для рівняння вигляду 2 2 2= ( 1)xxx t xu x t u uu    функція 2 2 2 10 2 2( , , ) 3(10 2) 2 2 t x tu x t t ch               є головним доданком асимптотичного солітоноподібного розв’язку і задовольняє це рівняння з точністю (1)O . Доведення даного твердження проводиться аналогічно доведен- ню теореми 1 [13], а тому тут не подається. Зауваження. Побудований розв’язок, на відміну від загального випадку, «гарантовано» визначено для всіх значень незалежних аргу- ментів x, t. Очевидно також, що цей розв’язок має «солітонні» влас- тивості і становить певний фізичний інтерес. Висновки. Побудовано асимптотичний солітоноподібний розв’язок сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі змін- ними коефіцієнтами для випадку, коли коефіцієнти рівняння мають спеціальний вигляд. Встановлено точність, з якою побудований аси- мптотичний розв’язок задовольняє дане рівняння. Показано, що отриманий розв’язок є розв’язком солітонного типу. Список використаних джерел: 1. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике / А. Ньюэлл ; пер. с англ. И. Р. Габитов, А. Ю. Орлов, Е. И. Шульман. — М. : Мир, 1989. — 324 c. 2. Солитоны / под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. — М. : Мир, 1983. — 408 с. 3. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис. — М. : Мир, 1988. — 696 с. 4. Стокер Дж. Волны на воде / Дж. Стокер. — М. : ИЛ, 1959. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 53 5. Теория солитонов: метод обратной задачи / В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский. — М. : Наука, 1980. — 320 с. 6. Филиппов А. Т. Многоликий солитон / А. Т. Филиппов. — М. : Наука, 1986. — 223 c. 7. Ablowitz M. J. Nonlinear dispersive waves. Asymptotic analysis and solitons / M. J. Ablowitz. — Cambridge : Cambridge University Press, 2011. — 348 p. 8. Gardner C. S. Method for solving the Korteweg-de Vries equation / C. S. Gardner, J. M. Green, M. D. Kruskal, R. M. Miura // Physical Review Lett. — 1967. — Vol. 19. — P. 1095–1097. 9. Hirota R. Exact solutions of the Korteweg-de Vries equation for multiple colli- sions of solutions / R. Hirota // Physical Review Letters. — 1971. — Vol. 27. — P. 1192–1194. 10. Vaneeva O. Group classification of variable coefficient KdV-like equations / O. Vaneeva // arXiv: 1204.4875v3. — 8 p. 11. Blacmore D. Nonlinear dynamical systems of mathematical physics. Spectral and integrability analysis / D. Blacmore, A. K. Prykarpatsky, V. H. Samoylenko. — Singapore : World Scientific, 2011. — 564 p. 12. Похожаев С. И. О сингулярных решениях уравения Кортевега-де Фриза / С. И. Похожаев // Матем. заметки. — 2010. — Т. 88, вып. 5. — C. 770–777. 13. Самойленко В. Г. Асимптотичні розвинення для однофазових солітоно- подібних розв'язків рівняння Кортевега-де Фріза зі змінними коефіцієн- тами / В. Г. Самойленко, Ю. І. Самойленко // Укр. мат. журн. — 2005. — T. 57, №1. — C. 111–124. 14. Самойленко В. Г. Асимптотичні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі змінними коефіцієнтами / В. Г. Самойленко, Ю. І. Самойленко // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — C. 122–132. 15. Maslov V. P. Geometric asymptotics for PDE. I / V. P. Maslov, G. A. Ome- l'yanov. — Providence : American Math. Society, 2001. — 243 p. CONSTRUCTING ASYMPTOTIC SOLITON-LIKE SOLUTION TO THE SINGULAR PERTURBED KORTEWEG-DE VRIES EQUATION WITH SPECIAL COEFFICIENTS The Korteweg-de Vries equation is known as one of important object for researching in modern theoretical physics and applied mathematics. The equation describes wave processes in nonlinear dispersion media. It became widely known in the middle of the past century. The equation attracted much attention in connection with discovery of soliton solutions possessing interesting property of non-linear superposi- tion. By means of different analytical, qualitative and numerical methods and approaches, namely, inverse scattering transform, Hirota method, Backlund transform, Darboux transform, method of finite zone integration, group analysis and others, for the Korteweg-de Vries equation there were studied a lot of different mathematical problems. In particular, there were found solutions with different physical treatment as well as there were proved existence of periodic and almost periodic solutions, shock wave so- lutions (or step like solution) and others. Математичне та комп’ютерне моделювання 54 While studying certain physical processes and phenomena in media with variable characteristics and small dispersion the Korteweg-de Vries equation with singular perturbation is appeared as a mathematical model. Methods of asymptotic analysis are effective instruments for studying the Korteweg-de Vries equation with variable coefficients and a small parameter because they allow us to construct approximate solutions to the equation as well as to ana- lyze its different properties. Consideration of singular perturbed equations of in- tegrable type is current problem of modern applied mathematics that includes a problem of constructing asymptotic soliton like solutions. The paper deals with constructing the asymptotic soliton like solutions to the singular perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients of special form. There is constructed a main term of the asymptotic solution. The solution is shown to belong to the space of quickly decreasing functions and the solution is demonstrated to define for any values of independent variables in contradistinction to the general case. The theorem on accuracy with which the asymptotic solution satisfies the equation is proved. Key words: the Korteweg-de Vries equation, soliton solution, singular perturbation, asymptotic solution. Отримано: 26.05.2018 УДК 517.5 І. Б. Ковальська, канд. фіз.-мат. наук Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський НАБЛИЖЕННЯ НЕСКІНЧЕННО-ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ В ІНТЕГРАЛЬНІЙ МЕТРИЦІ Оскільки будь-яка сумовна 2π-періодична функція розвива- ється в ряд Фур’є, то найбільш зручним апаратом наближення та- ких функцій є послідовності частинних сум цього ряду і послідо- вності лінійних операторів, що визначаються деякою трикутною матрицею Λ. Ця матриця задає метод побудови поліномів і визна- чає конкретний метод підсумовування рядів Фур’є. Одним з них є регулярний метод, який називається сумами Зігмунда. Суми Зігмунда були введені А. Зігмундом в 1945 році. Він же довів деякі твердження, які встановлювали точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень цих сум на класах r-диферен- ційовних функцій для дробових r. Дослідження Зігмунда були продовжені Б. Надем, С. А. Теля- ковським, А. В. Єфимовим, О. І. Степанцем, Д. М. Бушевим та ін. У статті отримано точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень сум Зігмунда від нескінченно-диференційовних функ- цій в інтегральній метриці. © І. Б. Ковальська, 2018

Побудова асимптотичного солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами

Репозитарії

Схожі ресурси