Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое
Сформулирована и строго решена нелинейная нестационарная задача безотрывного поверхностного фильтрования при постоянном перепаде давлений на неподвижной и подвижной границах динамического слоя. Полученное в параметрической форме решение позволяет надежно прогнозировать изменения во времени качества...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2019
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162686 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое / В.Л. Поляков // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 12. — С. 33-40. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-162686 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1626862020-01-15T01:25:59Z Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое Поляков, В.Л. Механіка Сформулирована и строго решена нелинейная нестационарная задача безотрывного поверхностного фильтрования при постоянном перепаде давлений на неподвижной и подвижной границах динамического слоя. Полученное в параметрической форме решение позволяет надежно прогнозировать изменения во времени качества фильтрата и производительности установки поверхностного фильтрования. На ряде примеров проанализировано влияние сорбционных свойств фильтрующего материала, автокатализа, темпа формирования динамического слоя на важнейшие характеристики фильтрования. Сформульовано і точно розв'язано нелінійну нестаціонарну задачу безвідривного поверхневого фільтрування при постійному перепаді тисків на нерухомій і рухомій границях динамічного шару. Отриманий у параметричній формі розв'язок дозволяє надійно прогнозувати зміни у часі якості фільтрату і продуктивності установки поверхневого фільтрування. На ряді прикладів проаналізовано вплив сорбційних властивостей фільтруючого матеріалу, автокаталізу, темпу формування динамічного шару на основні характеристики фільтрування. A non-linear non-steady task of undetachable cake filtration at a constant pressure difference at moving and stationary cake layer boundaries is formulated and solved exactly. Sorption and conductivity possibilities are described by arbitrary functions. The solution obtained in the parametric form enables one to predict reliably chan ges in time of the filtrate quantity and productivity of a cake filtration installation. The effects of layer sorption pro perties, autocatalysis, and rate of cake formation on the main filtration characteristics are analyzed for a number of test examples. It is established that a considerable decrease in the suspended substance content in a filtrate, and filtration rate occurs during a short time, and the deposition is distributed along the dynamic layer height essentially unevenly with the maximum at its exit. 2019 Article Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое / В.Л. Поляков // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 12. — С. 33-40. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.12.033 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162686 532.546:682.16 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Поляков, В.Л. Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое Доповіді НАН України |
| description |
Сформулирована и строго решена нелинейная нестационарная задача безотрывного поверхностного фильтрования при постоянном перепаде давлений на неподвижной и подвижной границах динамического слоя. Полученное в параметрической форме решение позволяет надежно прогнозировать изменения во времени качества фильтрата и производительности установки поверхностного фильтрования. На ряде примеров проанализировано влияние сорбционных свойств фильтрующего материала, автокатализа, темпа формирования динамического слоя на важнейшие характеристики фильтрования. |
| format |
Article |
| author |
Поляков, В.Л. |
| author_facet |
Поляков, В.Л. |
| author_sort |
Поляков, В.Л. |
| title |
Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое |
| title_short |
Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое |
| title_full |
Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое |
| title_fullStr |
Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое |
| title_sort |
математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2019 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162686 |
| citation_txt |
Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое / В.Л. Поляков // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 12. — С. 33-40. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT polâkovvl matematičeskoemodelirovanieosvetleniâsuspenziivdinamičeskomsloe |
| first_indexed |
2025-07-14T15:13:30Z |
| last_indexed |
2025-07-14T15:13:30Z |
| _version_ |
1837635742777475072 |
| fulltext |
33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 12: 33—40
Наряду с традиционным объемным фильтрованием [1, 2] для удаления тонкодисперсных
загрязнений в практике водоочистки, а также для обезвоживания осадков, в мембранных
технологиях, биотехнологиях применяется поверхностное фильтрование [3—7]. При этом
рабочий пористый слой создается из особой, грубодисперсной фракции, содержащейся в
би- или полидисперсной примеси разделяемой суспензии. Крупные частицы могут оказать-
ся в ней как результат природного (ливневые стоки, паводки) или техногенного (бытовые,
промышленные, сельскохозяйственные стоки) загрязнения воды, а также целенаправленно
добавляться в уже загрязненную воду. Поверхностное фильтрование в сравнении с объем-
ным имеет с технологической точки зрения существенные и преимущества, и недостатки.
И прежде всего, следует отметить, что таким образом удается отказаться от регулярных
промывок. Тем самым экономится очищенная вода и удешевляется технологический про-
цесс. Поверхностное фильтрование, как и объемное, может реализовываться на практике в
двух режимах, а именно, при постоянных скорости фильтрования V или действующем пе-
репаде давлений.
Математическое моделирование фильтрования суспензии с существенно неоднород-
ной примесью через динамический слой, образующийся на удерживающей поверхности с
мелкой перфорацией (сетке с мелкими ячейками), осложняется ввиду наличия у области
© В.Л. Поляков, 2019
https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.12.033
УДК 532.546:682.16
В.Л. Поляков
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
E-mail: polyakov_igm@list.ru
Математическое моделирование осветления
суспензии в динамическом слое
Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.Я. Олейником
Сформулирована и строго решена нелинейная нестационарная задача безотрывного поверхностного фильт-
рования при постоянном перепаде давлений на неподвижной и подвижной границах динамического слоя.
Полученное в параметрической форме решение позволяет надежно прогнозировать изменения во времени
качества фильтрата и производительности установки поверхностного фильтрования. На ряде примеров
проанализировано влияние сорбционных свойств фильтрующего материала, автокатализа, темпа форми-
рования динамического слоя на важнейшие характеристики фильтрования.
Ключевые слова: поверхностное фильтрование, суспензия, скорость, перепад давлений, математическое
моделирование, концентрация, подвижная граница.
34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 12
В.Л. Поляков
фильтрации подвижной границы. Но если при постоянном значении V закономерность
перемещения указанной границы заранее известна, то при втором режиме фильтрования,
который и рассматривается аналитическими методами ниже, и скорость V , и высота ди-
намического слоя l изменяются со временем, причем зависимости ( )V t и ( )l t должны
устанавливаться в ходе решения соответствующей математической задачи.
Итак, формулируется и затем строго решается нелинейная нестационарная задача
безотрывного фильтрования полидисперсной суспензии через формирующийся с нуля по-
верхностный несжимаемый пористый слой, при постоянном перепаде давлений на его
неподвижной и подвижной границах. Исходная математическая модель включает два
бло ка — осветлительный и фильтрационный. Первый из них содержит уравнения баланса и
кинетики тонкодисперсного загрязняющего вещества [8—10]
( ) 0
C S
V t
z t
∂ ∂− =
∂ ∂
, (1)
( ) ( )
S
V t S C
t
∂ = λ
∂
, (2)
которые дополняются парой условий на подвижной верхней границе
0( ), , 0z l t C C S= = = . (3)
Здесь ,C S — объемные концентрации взвешенных и осажденных мелких частиц; λ — при-
веденный функциональный коэффициент фильтрования, который не зависит от ско рости
V ; 0C — постоянная исходная концентрация мелких частиц в суспензии.
Фильтрационный блок составляют уравнения движения суспензии, гидравлического
сопротивления динамического слоя и состояния осадка в нем
( ) ( )s
h
V t k S
z
∂=
∂
, (4)
0( ) ( )s k sk S k f S= , (5)
( ) ( )sS S S S= γ , (6)
а также два граничных условия
0, constdz h H= = = , 0( ), ( )d
p
z l t h H l t
g
Δ
= = + +
ρ
. (7)
Здесь h — пьезометрический напор; 0,k k — коэффициенты фильтрации загрязненного и
чистого фильтрующего материала; sS — объемная концентрация осадка; γ — функциональ-
ный коэффициент, характеризующий соотношение между содержаниями осадка и частиц
суспензии в нем [11, 12]; dH — пьезометрический напор на выходе из динамического
слоя; 0pΔ — перепад давлений на его границах; ρ — плотность суспензии; g — ускорение
силы тяжести.
35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 12
Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое
Задача (1)—(7) обезразмеривается с использованием системы масштабов 0C , 0k , 0l .
Тогда
0
,
C
C
C
=
0
,
l
S
S
n C
=
0
,
z
z
l
= 0
0
,
l
k t
t
n l
= 0 ,lλ = λ
0
,s
s
l
S
S
n C
=
0
,dh H
h
l
−
=
0
l
l
l
= , 0
0
0
p
h
gl
Δ
Δ =
ρ
,
ln — пористость чистого динамического слоя.
( ) 0
C S
V t
z t
∂ ∂− =
∂ ∂
, (8)
( ) ( )
S
V t S C
t
∂ = λ
∂
, (9)
( ) ( )k s
h
V t f S
z
∂=
∂
, (10)
( )sS S S= γ , (11)
( ), 1; 0z l t C S= = = ; (12)
0, 0;z h= = ( )z l t= , 0 ( )h h l t= Δ + . (13)
Прежде всего, вводится новая относительная независимая переменная
0
( )
t
V dτ = ξ ξ∫ . (14)
Из баланса тонкодисперсной фракции в примеси в динамическом слое следует
( ) ll t a= τ , (15)
где
1
l l
l
l
n C
a
n
=
−
, lC — объемная концентрация грубодисперсной фракции примеси, фор-
мирующей указанный слой. Система уравнений (8), (9) сводится к единому уравнению
относительно S
1
0
( )
S
S
zS
⎡ ⎤∂ ∂ − =⎢ ⎥∂τ ∂λ⎣ ⎦
. (16)
Двойное интегрирование (16) с учетом условий (12) позволило получить, во-первых,
строгое представление для искомой концентрации S в неявной интегральной форме
0
( ) (1 )
S
l l
l
d
a a z
a
ς = τ −
λ ς − ς∫ , (17)
во-вторых, простую формулу для концентрации C .
( ) 1 .lC S a S= − (18)
36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 12
В.Л. Поляков
В результате относительные выходные концентрации eC и eS со временем изменяют-
ся следующим образом:
( ) (0, ) 1 ( )e l eC C a Sτ = τ = − τ . (19)
0
( ) (1 )
eS
l
dS
S a S
= τ
λ −∫ . (20)
Распределение приведенного напора в динамическом слое на произвольный момент вре-
мени после интегрирования уравнения (10) при условии (13) описывается зависимостью
0
( , ) ( )
( ( , ))
z
k
d
h z V
f S
ητ = τ
η τ∫ . (21)
Для проведения конкретных расчетов устанавливается связь между τ и t из решения
уравнения
0
0
( ( , ))
la
l
k
d d
h a
dtf S
τ η τ = Δ + τ
η τ∫ . (22)
При условии
0, 0t = τ =
искомая связь имеет вид обратной функции
1
0
0 0
( ) ( )
( ( , ))
la
l
k
d
t h a d
f S
−στ ⎡ ⎤η⎢ ⎥τ = Δ + σ σ
η σ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ . (23)
Однако ввиду неявного представления функции ( , )S z τ интеграл в (23) приходится преоб-
разовывать, принимая во внимание
1
,
( ) (1 ) ( ) (1 )
l
el e l e
az d
S dSS a S S a S
∂ τ= − = −
∂ λ − λ − .
Тогда окончательно зависимость ( )t τ будет
0 00
1
( )
[ ( )] ( ) (1 ) ( ) ( )(1 )
eS
e l
l l k l
dS
t S a d
h a a f S S a S
ς
= ς
Δ + τ ς ⋅λ ς − ς λ −∫ ∫
. (24)
Скорость фильтрования также следует рассчитывать как функцию от eS по формуле
1
0
0
( ) ( ) .
( ) ( )(1 )
eS
e e
l k l
h dS
V S S
a f S S a S
−⎡ ⎤⎡ ⎤Δ ⎢ ⎥= + τ⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫
(25)
37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 12
Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое
Ввиду неявного присутствия во выведенных выше зависимостях неопределенного мас-
штаба 0l для инженерных расчетов удобнее их использовать в размерной форме. В частно-
сти, размерным аналогом (24) будет
0 0 00 0
1
( )
[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
eS
e l
l l k l
dS
t S a d
h a C a f S S C a S
ς
= ς
Δ + τ ς ⋅λ ς − ς λ −∫ ∫
(26)
Полученное выше строгое решение нелинейной нестационарной задачи безотрывного
поверхностного фильтрования иллюстрируется расчетами четырех примеров (рис. 1). Для
них выбирались исходные данные, которые характерны для такого фильтрования в реаль-
ных условиях. Но прежде всего для приведенного функционального коэффициента филь-
трования ( )Sλ , а также ( )kf S приняты следующие известные аппроксимационные выра-
жения [13—15]
0( ) ( )(1 )mS S S Sλ = λ − +θ , 3( ) (1 )k cf S S= − γ ,
где 0λ — постоянный приведенный коэффициент фильтрования; mS — относительная гря-
зеемкость по отношению к мелким частицам суспензии; θ — автокаталитический коэф-
фициент. Значения параметров mS (200), 0hΔ (1), cγ (0,0035) были едиными для всех упо-
мянутых примеров. Кроме того, для базового (первого) примера принимались 0 0,02λ = ,
0θ = , 0,01la = . В остальных примерах значения последних трех коэффициентов поочеред-
но менялись, а именно, 0 0,04λ = (пример 2), 0,01θ = (пример 3), 0,02la = (пример 4).
Предметом расчетов стали важнейшие относительные характеристики фильтрования —
концентрации eC , S и потери напора hΔ .
Семейство кривых, описывающих закономерное снижение выходной концентрации
взвешенных частиц со временем от начального значения 1, представлено на рис. 1. Вычисляли
eC непосредственно по формуле (19), а предварительно значения τ и eS находили в за-
висимости от заданного значения t из уравнений (20), (24). Из рис.1 следует важный вы-
вод — начальный этап фильтрования, когда
качество фильтрата еще неудовлетворитель-
ное, является кратковременным. И логично,
что продолжительность данного этапа еще бо-
лее сокращается при усилении сорбционных
свойств за счет увеличения и 0λ , и θ .
С технологической точки зрения особого
внимания заслуживает факт значительной не-
равномерности распределения задержанных
в динамическом слое частиц суспензии, о чем
свидетельствует рис. 2. Здесь изображены про -
фили ( )S z , вычисленные для базового при-
Рис. 1. Снижение относительной концентрации взве-
шенных частиц в фильтрате: 1 — пример 4; 2 — при-
мер 2; 3 — пример 3; 4 — базовый пример.
38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 12
В.Л. Поляков
мера на три момента времени. Дополнительно функцию распределения ( )S z определяли
при 100t = с учетом автокатализа (пример 3, кривая 3).
Положение подвижной верхней границы области фильтрации на заданные моменты
времени идентифицируется на рис. 2 как значение z , при котором расчетный профиль об-
нуляется. Отсюда видно, что значение l при рассматриваемом режиме фильтрования в от-
личие от режима constV = зависит не только от расчетного времени, но и от сорбционной
способности динамического слоя. Ее усиление обусловливает большие наполненность и
нелинейность профилей концентрации осажденных частиц.
Наблюдаемая значительная неравномерность в распределении осадка по высоте ука-
занного слоя ведет к ускоренному снижению скорости фильтрования. На рис. 3 приведе-
ны в графической форме результаты расчетов убывающей скорости, выполненные по фор-
муле (25) при ранее найденных значениях τ и eS . Отсюда очевидно возможное падение
расчетной скорости, так что поверхностное фильтрование может оказаться неэффектив-
ным по своей производительности уже через короткое время. Показательным является
сопоставление величины ( )V t для случаев 0,01la = (пример 1, кривая 2) и 0,02la = (при-
мер 4, кривая 1). Сначала скорость V снижается быстрее во втором случае ввиду большого
количества задержанных в поверхностном слое частиц суспензии и темпа прироста его вы-
соты. Однако со временем ситуация в отношении V кардинально меняется вследствие на-
много более равномерного распределения осадка в данном случае. Как следствие, скорость
V теперь стабилизируется на более высоком уровне.
В заключение необходимо отметить принципиальные отличия в поведении функций-
концентраций ( , )C z t и ( , )S z t при поверхностном и объемном фильтровании. Выведенные
выше зависимости могут служить надежной основой для выработки рекомендаций с целью
рационального управления установкой поверхностного фильтрования.
Рис. 2. Профили относительной объемной концентрации осажденных мелких частиц: 1, 2, 4 — базо вый
пример; 3 — пример 3; 1 — 50t = ; 2, 3 — 100t = ; 4 — 150t =
Рис. 3. Снижение относительной скорости фильтрования со временем: 1 — пример 4; 2 — базовый при-
мер; 3 — пример 3; 4 — пример 2
39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 12
Математическое моделирование осветления суспензии в динамическом слое
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Минц Д.М. Теоретические основы технологии очистки воды. Москва: Стройиздат, 1964. 155 с.
2. Jegatheesan V., Vigneswaran S. Deep bed filtration: mathematical models and observations. Crit. Rev.
Environ. Sci. Technol. 2005. 35(6). P. 515—569.
3. Benesch T., Meier U., Schutz W. Modelling filtration with superimposed sedimentation. Separat. Purif.
Technol. 2004. 35. P. 37—46.
4. Zee D.J., Wang C.H. Theories of cake filtration and consolidation and implications to sludge dewatering.
Water Res. 2000. 34. P. 1—20.
5. Zee S., Park P.-K., Kim J.-H., Yeon K.-M., Lee C.-H. Analysis of filtration in submerged microfiltration for
drinking water treatment. Water Res. 2008. 42. P. 3109—3121.
6. Mota M., Teixeira J.A., Yelshin A. Influence of cell-shape on the cake resistance in dead-end and cross-flow
filtrations. Separat. Purific. Technol. 2002. 27. P. 137—144.
7. Wakeman R. The influence of particle properties on filtration. Separat. Purific. Technol., 2007. 58. P. 234—241.
8. Akgiray O, Saatci A.M. An algorithm for bank operation of declining rate Filters. Water Res. 1998. 3.
Р. 2095—2105.
9. Bai R., Tien C. Effect of deposition in deep-bed filtration: determination and search of rate parameters.
J. Colloid Interface Sci. 2000. 231. P. 299—311.
10. Chaundry F.H. Theory of declining rate filtration. I. Continuous operationю J. Environ. Eng. Din. ASCE. 1987.
113(4). P. 834—851.
11. Ojha C.S., Graham N.J.D. Theoretical estimates of bulk specific deposit in deep bed filters. Water Res. 1993.
27. P. 377—387.
12. Polyakov V., Kravchuk A., Kochetov G., Kravhuk O. Clarification of aqueous suspensions with a high content
of suspended solids in rapid sand filters. Eureka: Physics and Engineering. 2019. № 1. Р. 28—45.
13. Веницианов Е.В., Рубинштейн Р.Н. Динамика сорбции из жидких сред. Москва: Наука, 1983. 237 с.
14. Boller M.A., Kavanauch M.C. Particle characteristics and headloss increase in granular media filtration.
Water Res. 1995. 29. Р. 1139—1149.
15. Saatci A.M. Application of the declining rate filtration theory — Continuous operation. J. Environ. Eng. Div.
ASCE. 1990. 116(1). P. 87—105.
Поступило в редакцию 17.07.2019
REFERENCES
1. Mints, D. M. (1964). Theoretical fundamentals of water purification technology. Moscow: Stroyizdat (in
Russian).
2. Jegatheesan, V. & Vigneswaran, S. (2005). Deep bed filtration: mathematical models and observations. Crit.
Rev. Environ. Sci. Technol., 35(6), pp. 515-569.
3. Benesch, T., Meier, U. & Schutz, W. (2004) Modelling filtration with superimposed sedimentation. Separat.
Purific. Technol., 35, pp. 37-46.
4. Zee, D. J. & Wang, C. H. (2000). Theories of cake filtration and consolidation and implications to sludge
dewatering. Water Res., 34, pp. 1-20.
5. Zee, S., Park, P.-K., Kim, J.-H., Yeon, K.-M. & Lee, C.-H. (2008). Analysis of filtration in submerged
microfiltration for drinking water treatment. Water Res., 42, pp. 3109-3121.
6. Mota, M., Teixeira, J. A. & Yelshin, A. (2002). Influence of cell-shape on the cake resistance in dead-end and
cross-flow filtrations. Separat. Purific. Technol., 27, pp. 137-144.
7. Wakeman, R. (2007). The influence of particle properties on filtration. Separat. Purific. Technol., 58,
pp. 234-241.
8. Akgiray, O. & Saatci, A.M. (1998). An algorithm for bank operation of declining rate filters. Water Res., 3,
pp. 2095-2105.
9. Bai, R. & Tien, C. (2000). Effect of deposition in deep-bed filtration: determination and search of rate
parameters. J. Colloid Interface Sci., 231, pp. 299-311.
10. Chaundry, F. H. (1987). Theory of declining rate filtration. I. Continuous operation. J. Environ. Eng. Din.
ASCE, 113(4), pp. 834-851.
40 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 12
В.Л. Поляков
11. Ojha, C. S. & Graham, N. J. D. (1993) Theoretical estimates of bulk specific deposit in deep bed filters. Water
Res., 27, pp. 377-387.
12. Polyakov, V., Kravchuk, A., Kochetov, G. & Kravhuk, O. (1993). Clarification of aqueous suspensions with a
high content of suspended solids in rapid sand filters. Eureka: Physics and Engineering, No. 1, pp. 28-45.
13. Venitsianov, E. V. & Rubinshteyn, R. N. (1983). Sorption dynamics from aqueous media. Moscow: Nauka (in
Russian).
14. Boller, M. A. & Kavanauch, M. C. (1995). Particle characteristics and headloss increase in granular media
filtration. Water Res., 29, pp. 1139-1149.
15. Saatci, A. M. (1990). Application of the declining rate filtration theory — Continuous operation. J. Environ.
Eng. Div. ASCE, 116(1), pp. 87-105.
Received 17.07.2019
В.Л. Поляков
Інститут гідромеханіки НАН України, Київ
E-mail: polyakov_igm@list.ru
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОСВІТЛЕННЯ
СУСПЕНЗІЇ В ДИНАМІЧНОМУ ШАРІ
Сформульовано і точно розв’язано нелінійну нестаціонарну задачу безвідривного поверхневого фільт-
рування при постійному перепаді тисків на нерухомій і рухомій границях динамічного шару. Отриманий у
параметричній формі розв’язок дозволяє надійно прогнозувати зміни у часі якості фільтрату і продук-
тивності установки поверхневого фільтрування. На ряді прикладів проаналізовано вплив сорбційних влас-
тивостей фільтруючого матеріалу, автокаталізу, темпу формування динамічного шару на основні характе-
ристики фільтрування.
Ключові слова: поверхневе фільтрування, суспензія, швидкість, перепад тисків, математичне моделю-
вання, концентрація, рухлива межа.
V.L. Polyakov
Institute of Hydromechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: polyakov_igm@list.ru
MATHEMATICAL MODELING OF SUSPENSION
CLARIFICATION IN A DYNAMIC LAYER
A non-linear non-steady task of undetachable cake filtration at a constant pressure difference at moving and
stationary cake layer boundaries is formulated and solved exactly. Sorption and conductivity possibilities are
described by arbitrary functions. The solution obtained in the parametric form enables one to predict reliably
chan ges in time of the filtrate quantity and productivity of a cake filtration installation. The effects of layer sorp-
tion pro perties, autocatalysis, and rate of cake formation on the main filtration characteristics are analyzed for a
number of test examples. It is established that a considerable decrease in the suspended substance content in a
filtrate, and filtration rate occurs during a short time, and the deposition is distributed along the dynamic
layer height essentially unevenly with the maximum at its exit.
Keywords: surface filtration, suspension, rate, pressure difference, mathematical modeling, concentration, moving
boundary.
|