Про максимальні стабільні порядки на інверсній напівгрупі скінченного рангу з нулем
Рассматриваются максимальные стабильные порядки на полугруппах, принадлежащих некоторому классу инверсных полугрупп конечного ранга.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164707 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про максимальні стабільні порядки на інверсній напівгрупі скінченного рангу з нулем / В.Д. Дереч // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 8. — С. 1035–1041. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164707 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1647072020-02-11T01:27:11Z Про максимальні стабільні порядки на інверсній напівгрупі скінченного рангу з нулем Дереч, В.Д. Статті Рассматриваются максимальные стабильные порядки на полугруппах, принадлежащих некоторому классу инверсных полугрупп конечного ранга. Maximal stable orders on semigroups from a class of inverse semigroups of finite rank are considered. 2008 Article Про максимальні стабільні порядки на інверсній напівгрупі скінченного рангу з нулем / В.Д. Дереч // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 8. — С. 1035–1041. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164707 512.534.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Дереч, В.Д. Про максимальні стабільні порядки на інверсній напівгрупі скінченного рангу з нулем Український математичний журнал |
| description |
Рассматриваются максимальные стабильные порядки на полугруппах, принадлежащих некоторому классу инверсных полугрупп конечного ранга. |
| format |
Article |
| author |
Дереч, В.Д. |
| author_facet |
Дереч, В.Д. |
| author_sort |
Дереч, В.Д. |
| title |
Про максимальні стабільні порядки на інверсній напівгрупі скінченного рангу з нулем |
| title_short |
Про максимальні стабільні порядки на інверсній напівгрупі скінченного рангу з нулем |
| title_full |
Про максимальні стабільні порядки на інверсній напівгрупі скінченного рангу з нулем |
| title_fullStr |
Про максимальні стабільні порядки на інверсній напівгрупі скінченного рангу з нулем |
| title_full_unstemmed |
Про максимальні стабільні порядки на інверсній напівгрупі скінченного рангу з нулем |
| title_sort |
про максимальні стабільні порядки на інверсній напівгрупі скінченного рангу з нулем |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164707 |
| citation_txt |
Про максимальні стабільні порядки на інверсній напівгрупі скінченного рангу з нулем / В.Д. Дереч // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 8. — С. 1035–1041. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT derečvd promaksimalʹnístabílʹníporâdkinaínversníjnapívgrupískínčennogoranguznulem |
| first_indexed |
2025-07-14T17:18:31Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:18:31Z |
| _version_ |
1837643608081039360 |
| fulltext |
UDK 512.534.5
V. D. Dereç (Vinnyc. nac. texn. un-t)
PRO MAKSYMAL|NI STABIL|NI PORQDKY
NA INVERSNIJ NAPIVHRUPI SKINÇENNOHO RANHU
Z NULEM
Maximal stable orders on semigroups from a class of inverse semigroups of finite rank are considered.
Rassmatryvagtsq maksymal\n¥e stabyl\n¥e porqdky na poluhruppax, prynadleΩawyx nekoto-
romu klassu ynversn¥x poluhrupp koneçnoho ranha.
Vstup. Nexaj A — dovil\na mnoΩyna, S — dovil\na napivhrupa binarnyx vid-
noßen\ na mnoΩyni A iz zvyçajnog operaci[g kompozyci]. Lehko pereviryty,
wo vidnoßennq vklgçennq na napivhrupi S [ stabil\nym porqdkom (tobto po-
rqdkom, wo uzhodΩu[t\sq z operaci[g kompozyci]). Ce spostereΩennq lqhlo v
osnovu statti {. S. Lqpina [1], qkyj doviv takyj rezul\tat.
Nexaj W ( A ) — napivhrupa vsix çastkovyx peretvoren\ dovil\no] mnoΩyny
A . Napivhrupu vsix peretvoren\ vydu
a
b
( de a ∈ A i b ∈ A ) razom z poroΩnim
peretvorennqm poznaçymo çerez K . Qkwo napivhrupa çastkovyx peretvoren\ S
taka, wo K ⊆ S ⊆ W ( A ) , to dlq bud\-qkoho stabil\noho porqdku ρ na
napivhrupi S ma[ misce ρ ⊆ Ω abo ρ ⊆ −Ω 1, de Ω — vidnoßennq vklgçennq
miΩ peretvorennqmy.
V statti [2] oderΩano bil\ß zahal\nyj rezul\tat. Sformulg[mo joho.
Nexaj ( )Ai i I∈ — sim’q rivnopotuΩnyx mnoΩyn, qki mistqt\ spil\nyj ele-
ment::0, do toho Ω A Ai j∩ = 0, qkwo i ≠ j . Poznaçymo çerez I inversnu na-
pivhrupu çastkovyx vza[mno odnoznaçnyx peretvoren\ mnoΩyny A = ∪ Ai , qka
ma[ taki vlastyvosti:
a) dlq bud\-qkoho f ∈ I af = 0 todi i til\ky todi, koly a = 0;
b) qkwo f ∈ I , to f I− ∈1 ;
v) qkwo f ∈ I , to abo dom ( f ) i ran ( f ) ( dom ( f ) i ran ( f ) — vidpovidno ob-
last\ vyznaçennq i mnoΩyna znaçen\ peretvorennq f ) naleΩat\ sim’] ( )Ai i I∈ ,
abo f =
0
0
;
h) qkwo mnoΩyny Ak i Am naleΩat\ sim’] ( )Ai i I∈ , to isnu[ peretvorennq
ϕ ∈ I take, wo dom ( ϕ ) = Ak i ran ( ϕ ) = Am .
Napivhrupa [ inversnog napivhrupog Brandta i bud\-qku napivhrupu Brandta
z toçnistg do izomorfizmu moΩna podaty v takomu vyhlqdi.
Teper sformulg[mo osnovnyj rezul\tat iz statti [2].
Teorema$$[2, c. 15]. Nexaj S — napivhrupa binarnyx vidnoßen\ na mnoΩyni
A = ∪ Ai taka, wo napivhrupa Brandta I ( ]] oznaçeno vywe ) [ biidealom u nij.
Krim toho, budemo vymahaty, wob stabil\ni porqdky strukturno] hrupy napiv-
hrupy I vyçerpuvalys\ tryvial\nym porqdkom.
Todi qkwo ρ — stabil\ne vidnoßennq porqdku na napivhrupi S, to ρ ⊆ Ω
abo ρ ⊆ −Ω 1
( de çerez Ω poznaçeno vidnoßennq vklgçennq ) .
V danij statti prodovΩugt\sq doslidΩennq na cg temu. Osnovnym rezul\-
tatom statti [ teorema:3.
© V. D. DEREÇ, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8 1035
1036 V. D. DEREÇ
1. Osnovna terminolohiq i poznaçennq. Napivreßitka E nazyva[t\sq na-
pivreßitkog skinçenno] dovΩyny, qkwo isnu[ natural\ne çyslo n take, wo dov-
Ωyna bud\-qkoho lancgΩka z E ne perevywu[ n . Oçevydno, wo napivreßitka
skinçenno] dovΩyny ma[ najmenßyj element — nul\.
Nexaj S — dovil\na napivhrupa, a N0 — mnoΩyna vsix nevid’[mnyx cilyx çy-
sel. Funkcig rank : S N→ 0 nazyvagt\ ranhovog na napivhrupi S , qkwo dlq
bud\-qkyx elementiv a i b ∈ S vykonu[t\sq nerivnist\
rank ( ab ) ≤ min { rank ( a ), rank ( b ) } .
Çyslo rank ( a ) nazyva[t\sq ranhom elementa a .
Nexaj S — inversna napivhrupa, napivreßitka idempotentiv qko] ma[ skinçen-
nu dovΩynu. Funkciq rank ( a ) = h aa( )−1 , de h aa( )−1
— vysota idempotenta
aa−1
v napivreßitci idempotentiv napivhrupy S , [ ranhovog funkci[g (dyv. [3,
c. 470]). Budemo hovoryty, wo inversna napivhrupa [ inversnog napivhrupog
skinçennoho ranhu, qkwo napivreßitka ]] idempotentiv ma[ skinçennu dovΩynu.
Napivhrupa nazyva[t\sq ∆ -napivhrupog, qkwo ]] konhruenci] utvorggt\ lan-
cgΩok vidnosno vklgçennq.
Napivhrupa nazyva[t\sq perestavnog, qkwo bud\-qki dvi ]] konhruenci] komu-
tugt\ vidnosno zvyçajno] operaci] kompozyci] binarnyx vidnoßen\.
Netryvial\na inversna napivhrupa z nulem nazyva[t\sq prymityvnog, qkwo
bud\-qkyj ]] nenul\ovyj idempotent [ prymityvnym.
Vsi inßi neobxidni oznaçennq moΩna znajty v [4].
2. Homomorfizm inversno] napivhrupy skinçennoho ranhu z nulem v hlo-
bal\nu nadnapivhrupu prymityvno] inversno] napivhrupy. Nexaj S — in-
versna napivhrupa skinçennoho ranhu z nulem. Lehko pereviryty, wo I1 =
= x S x∈ ≤{ }rank( ) 1 [ prymityvnog inversnog napivhrupog. Poznaçymo çerez
P I( )1 hlobal\nu nadnapivhrupu napivhrupy I1, tobto napivhrupu vsix neporoΩ-
nix pidmnoΩyn mnoΩyny I1 vidnosno zvyçajno] operaci] hlobal\noho mnoΩen-
nq. Dali, nexaj b ∈ S — dovil\nyj element napivhrupy S . Poznaçymo çerez
R b1( ) mnoΩynu x S x b x∈ ≤ ∧ ≤{ }rank( ) 1 .
Teorema$1. Nexaj S — inversna napivhrupa skinçennoho ranhu z nulem.
Funkciq F b R b: ( )� 1 [ homomorfizmom napivhrupy v hlobal\nu nadnapivhru-
pu:: P I( )1 .
Dovedennq. Dlq bud\-qkyx b i c ∈ S potribno dovesty rivnist\ R b c1( )⋅ =
= R b R c1 1( ) ( )⋅ .
PokaΩemo spoçatku, wo R b c1( )⋅ ⊆ R b R c1 1( ) ( )⋅ . Nexaj a R b c∈ ⋅1( ).
Qkwo a = 0, to nema[ wo dovodyty. Nexaj teper a ≠ 0, tobto rank ( a ) = 1
i a ≤ bc . PomnoΩymo ostanng nerivnist\ zliva na aa−1
. OderΩymo a ≤
≤ aa bc−1 . Otrymanu nerivnist\ sprava pomnoΩymo na a a−1
. Todi
a ≤ aa bca a− −1 1 . (1)
Dali,
1 = rank ( a ) ≤ rank( )aa bca a− −1 1 ≤ rank( )aa−1 = 1.
OtΩe, rank( )aa bca a− −1 1 = 1. Zvidsy, vraxovugçy nerivnist\ (1), oderΩu[mo
a = aa bca a− −1 1 . (2)
Dali, rank( )aa b−1 ≤ rank( )aa−1 = 1. Qkwo prypustyty, wo rank( )aa b−1 = 0,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
PRO MAKSYMAL|NI STABIL|NI PORQDKY NA INVERSNIJ NAPIVHRUPI … 1037
to rank ( a ) = 0. Supereçnist\. OtΩe, rank( )aa b−1 = 1. Analohiçno
rank( )ca a−1 = 1. Dali, oskil\ky aa b−1 ≤ b i ca a−1 ≤ c, to, vraxovugçy riv-
nist\ (2), robymo vysnovok, wo a R b R c∈ ⋅1 1( ) ( ) , tobto R b c1( )⋅ ⊆ R b R c1 1( ) ( )⋅ .
Teper pokaΩemo, wo vykonu[t\sq vklgçennq R b R c1 1( ) ( )⋅ ⊆ R b c1( )⋅ . Nexaj
a R b R c∈ ⋅1 1( ) ( ) , todi a = a a1 2⋅ dlq deqkyx a R b1 1∈ ( ) i a R c2 1∈ ( ) . Oskil\ky
a1 ≤ b i a2 ≤ c, to ma[ misce nerivnist\ a a1 2⋅ ≤ b c⋅ . OtΩe, a R b c∈ ⋅1( ).
Takym çynom, R b c1( )⋅ = R b R c1 1( ) ( )⋅ . Tobto funkciq F b R b: ( )� 1 [ homomor-
fizmom z inversno] napivhrupy S v hlobal\nu nadnapivhrupu P I( )1 .
Zakonomirno postavyty pytannq: koly homomorfizm F b R b: ( )� 1 bude
in’[ktyvnym? Pered tym qk sformulgvaty teoremu, qka da[ vidpovid\ na
postavlene pytannq, nahada[mo oznaçennq wil\noho idealu (dyv. [5, c. 48]).
Ideal I napivhrupy S nazyva[t\sq wil\nym, qkwo bud\-qkyj homomorfizm
napivhrupy S , in’[ktyvnyj na ideali I , [ in’[ktyvnym na S .
Teorema$2. Nexaj S — inversna napivhrupa skinçennoho ranhu z nulem. Ho-
momorfizm F b R b: ( )� 1 [ izomorfizmom todi i til\ky todi, koly ideal
I1 = x S x∈ ≤{ }rank( ) 1 [ wil\nym.
Dovedennq. Nexaj ideal I1 [ wil\nym. Oçevydno, wo homomorfizm F [
in’[ktyvnym na I1, tomu z oznaçennq wil\nosti vyplyva[, wo F — in’[ktyvnyj
homomorfizm.
Nexaj teper homomorfizm F [ in’[ktyvnym. PokaΩemo, wo ideal I1 [ wil\-
nym.
OtΩe, nexaj Φ — homomorfizm napivhrupy S , in’[ktyvnyj na I1. PokaΩe-
mo, wo Φ [ in’[ktyvnym na S . Nexaj Φ ( b ) = Φ ( c ) . Potribno dovesty, wo b =
= c . Vyberemo dovil\nyj element a R b∈ 1( ), todi Φ Φ( ) ( )aa b−1 =
= Φ Φ( ) ( )aa c−1 , zvidky Φ( )aa b−1 = Φ( )aa c−1 . Oskil\ky a R b∈ 1( ) , to a ≤ b,
a otΩe, aa b−1 = a. Takym çynom, Φ ( a ) = Φ( )aa c−1 . Oskil\ky a I∈ 1 i
aa c I− ∈1
1, to aa c−1 = a. Zvidsy a c−1 = a a−1 , tobto a ≤ c, a otΩe, a R c∈ 1( ).
Takym çynom, R b1( ) ⊆ R c1( ) . Analohiçno moΩna pokazaty, wo R c1( ) ⊆ R b1( ).
OtΩe, R c1( ) = R b1( ). Pozaqk za umovog homomorfizm F b R b: ( )� 1 [ in’[k-
tyvnym, to b = c.
Teoremu dovedeno.
Lema$1. Nexaj S — inversna napivhrupa skinçennoho ranhu z nulem. Qkwo
ideal I1 napivhrupy S [ wil\nym, to ma[ misce ekvivalentnist\ R b1( ) ⊆
⊆ R c1( ) ⇔ b ≤ c .
Dovedennq. Implikaciq b ≤ c ⇒ R b1( ) ⊆ R c1( ) [ oçevydnog. Dovedemo
zvorotnu implikacig, tobto R b1( ) ⊆ R c1( ) ⇒ b ≤ c . V statti [6] dovedeno taku
teoremu (tverdΩennq:2.18):
dlq idealu I inversno] napivhrupy S nastupni vlastyvosti [ ekvivalentnymy:
1) I — wil\nyj ideal;
2) I — ∨ -bazysnyj ideal;
3) I — reduktyvnyj ideal.
Druha vlastyvist\ oznaça[, wo koΩnyj element b ∈ S moΩna podaty u vy-
hlqdi b = sup A, de A ⊆ I.
Teper perejdemo do dovedennq lemy. Oskil\ky za umovog ideal I1 [ wil\-
nym, to b = sup A dlq deqko] mnoΩyny A, qka vklgça[t\sq v I1. OtΩe, A ⊆
⊆ R b1( ). Zvidsy b = sup A ≤ sup ( )R b1 ≤ b, todi sup ( )R b1 = b. OtΩe, qkwo
R b1( ) ⊆ R c1( ) , to b = sup ( )R b1 ≤ sup ( )R c1 = c, tobto b ≤ c .
Lemu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1038 V. D. DEREÇ
3. Stabil\ni porqdky na inversnij napivhrupi skinçennoho ranhu z
nulem. Nexaj S — inversna napivhrupa skinçennoho ranhu z nulem, idealy qko]
linijno vporqdkovani vidnosno vklgçennq. Nexaj Σ — stabil\nyj kvaziporqdok
na S . Lehko pereviryty, wo Il = x S x∈ 〈 〉 ∈{ }, 0 Σ i Ir = x S x∈ 〈 〉 ∈{ }0, Σ
[ idealamy napivhrupy S . OtΩe, stabil\nomu kvaziporqdku Σ vidpovida[ vpo-
rqdkovana para idealiv 〈 〉I Il r, . Lehko pokazaty, wo I Il r× ⊆ Σ . Zhidno z teo-
remog:2 (dyv. [3]) koΩnyj ideal napivhrupy S [ ranhovym, otΩe, isnugt\ ne-
vid’[mni cili çysla k i m taki, wo
Il = x S x k∈ ≤{ }rank( ) i Ir = x S x m∈ ≤{ }rank( ) .
Paru çysel 〈 〉k m, nazvemo indeksom stabil\noho kvaziporqdku Σ i poznaçymo
çerez ind( )Σ .
Lema$2. Nexaj S — inversna napivhrupa skinçennoho ranhu z nulem, idealy
qko] linijno vporqdkovani vidnosno vklgçennq.
Qkwo τ [ stabil\nym porqdkom na napivhrupi S i ind( )τ = 〈 〉k m, , to k =
= 0 abo m = 0.
Dovedennq. Prypustymo protyleΩne, tobto k ≠ 0 i m ≠ 0. Dlq konkret-
nosti nexaj k ≤ m. Todi Il ⊆ Ir . Oskil\ky k ≠ 0, to isnu[ element a Il∈
takyj, wo a ≠ 0 i 〈 〉 ∈a, 0 τ . Oskil\ky Il ⊆ Ir , to a Ir∈ , tobto 〈 〉 ∈0, a τ .
Pozaqk τ — antysymetryçne binarne vidnoßennq, to a = 0. Supereçnist\.
Lemu dovedeno.
Teper sformulg[mo i dovedemo osnovnu teoremu statti.
Teorema$3. Nexaj S — inversna napivhrupa skinçennoho ranhu z nulem, idealy
qko] linijno vporqdkovani vidnosno vklgçennq. Nexaj ideal I1 = x S x∈{ rank( ) ≤
≤ }1 [ napivhrupog Brandta, pryçomu stabil\ni porqdky strukturno] hrupy ide-
alu I1 vyçerpugt\sq tryvial\nym porqdkom. Krim toho, ideal I1 [ wil\nym.
Qkwo binarne vidnoßennq Σ [ stabil\nym porqdkom na napivhrupi S, do
toho Ω ind( )Σ = 〈 〉0, m , to Σ ⊆ ω ( de ω — kanoniçnyj porqdok na invers-
nij napivhrupi S ) .
Dovedennq. Nexaj 〈 〉 ∈b c, Σ . PokaΩemo, wo b ≤ c ( de ≤ — inße pozna-
çennq kanoniçnoho porqdku ω ) . Z ohlqdu na lemu:1 nam potribno dovesty, wo
R b1( ) ⊆ R c1( ) . Prypustymo protyleΩne, tobto isnu[ element a takyj, wo
a R b∈ 1( ) i a R c∉ 1( ). Todi a ≠ 0, a otΩe, rank ( a ) = 1. Oskil\ky a R b∈ 1( ), to
a ≤ b . Zvidsy aa b−1 = a . Pozaqk 〈 〉 ∈b c, Σ , to 〈 〉− − ∈aa b aa c1 1, Σ , tobto
〈 〉− ∈a aa c, 1 Σ . Z ostann\oho spivvidnoßennq vyplyva[
〈 〉− −a aa ca a, 1 1 ∈ Σ . (3)
Rozhlqnemo element aa ca a− −1 1
. MoΩlyvi dva vypadky:
1) aa ca a− −1 1 = 0;
2) rank( )aa ca a− −1 1 = 1.
Qkwo aa ca a− −1 1 = 0, to 〈 〉 ∈a, 0 Σ . Krim toho, vywe zaznaçalosq, wo a ≠ 0.
Prote za umovog ind( )Σ = 〈 〉0, m . OtΩe, pryjßly do supereçnosti. Qkwo Ω
rank( )aa ca a− −1 1 = 1, to rank aa ca a aa ca a− − − − −( )1 1 1 1 1( ) = 1. Krim toho, ma[ misce
nerivnist\ aa ca a aa ca a− − − − −1 1 1 1 1( ) ≤ aa−1. Oskil\ky
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
PRO MAKSYMAL|NI STABIL|NI PORQDKY NA INVERSNIJ NAPIVHRUPI … 1039
rank aa ca a aa ca a− − − − −( )1 1 1 1 1( ) = rank( )aa−1 = rank( )a = 1,
to
aa ca a aa ca a− − − − −1 1 1 1 1( ) = aa−1. (4)
Analohiçno
( )aa ca a aa ca a− − − − −1 1 1 1 1 = a a−1 . (5)
Iz spivvidnoßen\ (3) – (5), a takoΩ z umovy, wo strukturna hrupa idealu I1 do-
puska[ lyße tryvial\nyj stabil\nyj porqdok, vyplyva[ rivnist\ aa ca a− −1 1 = a.
Ale aa ca a− −1 1 ≤ c , tobto a ≤ c . OtΩe, a R c∈ 1( ). Supereçnist\. Takym çy-
nom, R b1( ) ⊆ R c1( ) . Z ostann\oho vklgçennq za lemog:1 vyplyva[ b ≤ c , tob-
to 〈 〉 ∈b c, ω .
Teoremu dovedeno.
4. Naslidky i pryklady. V c\omu punkti sformulg[mo deqki naslidky teo-
remy:3.
Naslidok 1. Maksymal\ni stabil\ni porqdky inversno] napivhrupy S , wo
zadovol\nq[ umovy teoremy33, vyçerpugt\sq vidnoßennqmy ω i ω−1, de ω —
kanoniçnyj porqdok na inversnij napivhrupi S .
Naslidok 2. Nexaj S — skinçenna inversna ∆ -napivhrupa ( oznaçennq dyv.
v p.:1 ) z nulem. Todi dlq bud\-qkoho stabil\noho porqdku Σ n a S ma[ misce
Σ ⊆ ω abo Σ ⊆ −ω 1, de ω — kanoniçnyj porqdok.
Dovedennq. Oçevydno, wo idealy ∆ -napivhrupy vporqdkovani vidnosno
vklgçennq. Krim toho, za umovog napivhrupa S [ skinçennog. Z cyx dvox za-
uvaΩen\ lehko vyplyva[, wo ideal I1 = x S x∈ ≤{ }rank( ) 1 [ napihrupog
Brandta. Lehko pokazaty (i ce zaznaçeno, napryklad, v statti [7]), wo bud\-qkyj
nenul\ovyj ideal napihrupy S [ wil\nym, krim toho, vidomo (dyv., napryklad,
[8, c. 297]), wo na skinçennij hrupi isnu[ lyße tryvial\nyj stabil\nyj porqdok.
Takym çynom, za teoremog:3 (a takoΩ lemog:2) robymo vysnovok, wo Σ ⊆ ω
abo Σ ⊆ −ω 1
.
Naslidok dovedeno.
Dali, nexaj E — napivreßitka skinçenno] dovΩyny. Poznaçymo çerez TE
napivhrupu Manna, tobto napivhrupu vsix izomorfizmiv miΩ holovnymy idealamy
napivreßitky E vidnosno zvyçajno] operaci] superpozyci].
Naslidok 3. Qkwo Σ — stabil\nyj porqdok na perestavnij napivhrupi
Manna TE
, to Σ ⊆ ω abo Σ ⊆ −ω 1
, de ω — kanoniçnyj porqdok.
Dovedennq. Oçevydno, wo inversna napivhrupa TE mistyt\ nul\. Oskil\ky
za umovog vona [ perestavnog, to ]] idealy utvorggt\ lancgΩok vidnosno
vklgçennq ( dyv. [9], teoremu:4). Krim toho, bud\-qkyj idempotent idealu I1 =
= x S x∈ ≤{ }rank( ) 1 [ prymityvnym. Z cyx zauvaΩen\ lehko vyplyva[, wo
ideal I1 [ napivhrupog Brandta. V statti [10] dovedeno, wo bud\-qkyj nenul\o-
vyj ideal napivhrupy TE [ wil\nym. Krim toho, oçevydno, wo strukturna hrupa
idealu I1 [ odnoelementnog. OtΩe, vsi umovy teoremy:3 dlq napivhrupy TE
vykonugt\sq. Takym çynom, Σ ⊆ ω abo Σ ⊆ −ω 1
.
Naslidok dovedeno.
Stabil\nyj porqdok ρ na napivhrupi S nazyva[t\sq fundamental\nym ( dyv.
[11]), qkwo vporqdkovana napivhrupa 〈 〉S, ρ O -izomorfna deqkij napivhrupi
peretvoren\, qka vporqdkovana vidnoßennqm vklgçennq.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1040 V. D. DEREÇ
Qkwo ρ — fundamental\nyj stabil\nyj porqdok na napivhrupi S , to ρ−1
nazyvagt\ antyfundamental\nym stabil\nym porqdkom. Vidomo ( dyv. [12,
c. 303]), wo vidnoßennq stabil\noho porqdku τ na inversnij napivhrupi [ funda-
mental\nym todi i til\ky todi, koly τ ⊆ ω (de ω — kanoniçnyj porqdok).
Naslidok 4. Nexaj S — inversna napivhrupa, wo zadovol\nq[ umovy teore-
my:3. Todi bud\-qkyj stabil\nyj porqdok na S [ fundamental\nym abo anty-
fundamental\nym.
Nexaj V — skinçennovymirnyj vektornyj prostir nad skinçennym polem.
Poznaçymo çerez Aut p V( ) inversnu napivhrupu vsix çastkovyx avtomorfizmiv
miΩ pidprostoramy vektornoho prostoru V. Lehko pereviryty, wo vsi umovy
teoremy:3 dlq inversno] napivhrupy Aut p V( ) vykonugt\sq.
Naslidok 5. Dlq bud\-qkoho stabil\noho porqdku Σ na inversnij napivhrupi
Aut p V( ) ma[ misce Σ ⊆ ω abo Σ ⊆ −ω 1
, de ω — kanoniçnyj porqdok.
( Zaznaçymo, wo cej naslidok takoΩ vyplyva[ z osnovno] teoremy statti [2].)
5. Wil\nist\ idealu i perestavymist\ konhruencij. Qk bulo zaznaçeno
vywe, bud\-qkyj nenul\ovyj ideal ∆ -napivhrupy [ wil\nym. Oçevydno, wo ∆ -
napivhrupa [ perestavnog. Pry dovedenni naslidku:2 bulo zaznaçeno, wo bud\-
qkyj nenul\ovyj ideal perestavno] inversno] napivhrupy Manna TE (de E — na-
pivreßitka skinçenno] dovΩyny) [ wil\nym. Do perestavnyx inversnyx napiv-
hrup, u qkyx bud\-qkyj nenul\ovyj ideal [ wil\nym, takoΩ naleΩat\ skinçenni
symetryçni inversni napivhrupy ta napivhrupy çastkovyx avtomorfizmiv skinçen-
novymirnoho vektornoho prostoru. Zakonomirno vynyka[ pytannq: qkwo S [
perestavnog inversnog napivhrupog skinçennoho ranhu z nulem, çy bude ]] koΩ-
nyj netryvial\nyj ideal wil\nym? Vidpovid\ — ni. PokaΩemo ce na prykladi.
Pryklad. Na mnoΩyni { 1, 2, 3, 4 } rozhlqnemo mnoΩynu peretvoren\
S = ∅
, , , , , ,
1
1
1
2
2
2
2
1
1234
1234
1234
1243
.
Lehko pereviryty, wo S [ inversnog napivhrupog, qka ma[ rivno try linijno
vporqdkovani idealy, a same: ∅ ⊂ S S
1
1
⊂ S . Krim toho, oçevydno, vykonu[t\-
sq umova:2 teoremy:1 (dyv. [13]). Takym çynom, za teoremog:1 (dyv. [13]) napiv-
hrupa S [ perestavnog. Teper pokaΩemo, wo ideal S S
1
1
ne [ wil\nym. Po-
znaçymo çerez G hrupu oborotnyx elementiv napivhrupy S. Oçevydno,
G =
1234
1234
1234
1243
, .
Oskil\ky
S S
1
1
= ∅
, , , ,
1
1
1
2
2
2
2
1
,
to
S S
1
1
= x S x∈ ≤{ }rank( ) 1 .
Ostannij ideal, qk i raniße, poznaçymo çerez I1. Rozhlqnemo binarne vidnoßen-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
PRO MAKSYMAL|NI STABIL|NI PORQDKY NA INVERSNIJ NAPIVHRUPI … 1041
nq Σ = G G I× ∪ ∆
1
, de ∆ I1
— totoΩne peretvorennq na ideali I1. Lehko pere-
viryty, wo Σ — konhruenciq, qka do toho Ω totoΩna na I1. Ale vona ne totoΩ-
na na vsij napivhrupi S. OtΩe, ideal I1 ne [ wil\nym.
1. Lqpyn E. S. O maksymal\n¥x dvustoronne stabyl\n¥x uporqdoçennostqx v poluhruppax //
Yzv. vuzov. Matematyka. – 1963. – 34, # 3. – S.:88 – 94.
2. Dereç V. D. O maksymal\n¥x stabyl\n¥x porqdkax na nekotor¥x byydeal\n¥x rasßyreny-
qx poluhrupp¥ Brandta // Poluhrupp¥ y yx homomorfyzm¥. – Lenynhrad, 1991. – S.:12 – 18.
3. Dereç V. D. Konhruenci] perestavno] inversno] napivhrupy skinçennoho ranhu // Ukr. mat.
Ωurn. – 2005. – 57, # 4. – S.:469 – 473.
4. Klyfford A., Preston H. Alhebrayçeskaq teoryq poluhrupp: V 2:t. – M.: Myr, 1972. –
T.:1. – 286:s.
5. Petrich M. Inverse semigroups. – New York etc.: John Wiley and Sons, 1984. – 674 p.
6. Schein B. M. Completions, translational hulls and ideal extensions of inverse semigroups // Czech.
Math. J. – 1973. – 23. – P. 575 – 610.
7. Nagy A., Jones Peter R. Permutative semigroups whose congruences form a chain // Semigroup
Forum. – 2004. – 69, # 3. – P. 446 – 456.
8. Kuroß A. H. Lekcyy po obwej alhebre. – M.: Nauka, 1973. – 399 s.
9. Hamilton H. Permutability of congruences on commutative semigroups // Semigroup Forum. –
1975. – 10. – P. 55 – 66.
10. Dereç V. D. Struktura perestavno] napivhrupy Manna skinçennoho ranhu // Ukr. mat. Ωurn.
– 2006. – 58, # 6. – S.:742 – 746.
11. Íajn B. M. Predstavlenye uporqdoçenn¥x poluhrupp // Mat. sb. – 1964. – 65 , # 2. –
S.:188 – 197.
12. Goberstein S. M. Fundamental order relations on inverse semigroups and on their generalizations //
Semigroup Forum. – 1980. – 21. – P. 285 – 328.
13. Derech V. On permutable inverse semigroups of finite rank // 5th Int. Algebr. Conf. in Ukraine:
Abstrs (Odessa, July 20 - 27, 2005). – P. 57.
OderΩano 20.09.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
|