Континуальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти трійкових цифр числа
Исследуется уравнение v₁(x) = x, содержащее функцию v₁(x) частоты 1 в троичном разложении x. Доказано, что оно имеет только один рациональный корень и континуальное множество иррациональных корней. Приведен алгоритм построения корней. Описаны тополого-метрические свойства множества всех корней. Изло...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164767 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Континуальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти трійкових цифр числа / О.В. Котова // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1414–1421. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164767 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1647672020-02-11T01:27:10Z Континуальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти трійкових цифр числа Котова, О.В. Короткі повідомлення Исследуется уравнение v₁(x) = x, содержащее функцию v₁(x) частоты 1 в троичном разложении x. Доказано, что оно имеет только один рациональный корень и континуальное множество иррациональных корней. Приведен алгоритм построения корней. Описаны тополого-метрические свойства множества всех корней. Изложены некоторые факты, касающиеся уравнений vi (x), i = 0,2. We study the equation ν₁(x) = x, where ν₁(x) is the function of frequency of the digit 1 in the ternary expansion of x. We prove that this equation has a unique rational root and a continuum set of irrational solutions. An algorithm for the construction of solutions is proposed. We also describe the topological and metric properties of the set of all solutions. Some additional facts about the equations ν i (x) = x, i = 0, 2, are given. 2008 Article Континуальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти трійкових цифр числа / О.В. Котова // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1414–1421. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164767 511.72 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Котова, О.В. Континуальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти трійкових цифр числа Український математичний журнал |
| description |
Исследуется уравнение v₁(x) = x, содержащее функцию v₁(x) частоты 1 в троичном разложении x. Доказано, что оно имеет только один рациональный корень и континуальное множество иррациональных корней. Приведен алгоритм построения корней. Описаны тополого-метрические свойства множества всех корней. Изложены некоторые факты, касающиеся уравнений vi (x), i = 0,2. |
| format |
Article |
| author |
Котова, О.В. |
| author_facet |
Котова, О.В. |
| author_sort |
Котова, О.В. |
| title |
Континуальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти трійкових цифр числа |
| title_short |
Континуальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти трійкових цифр числа |
| title_full |
Континуальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти трійкових цифр числа |
| title_fullStr |
Континуальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти трійкових цифр числа |
| title_full_unstemmed |
Континуальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти трійкових цифр числа |
| title_sort |
континуальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти трійкових цифр числа |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164767 |
| citation_txt |
Континуальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти трійкових цифр числа / О.В. Котова // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1414–1421. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kotovaov kontinualʹnístʹmnožinirozvâzkívodnogoklasurívnânʹâkímístâtʹfunkcíûčastotitríjkovihcifrčisla |
| first_indexed |
2025-07-14T17:21:18Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:21:18Z |
| _version_ |
1837643783724859392 |
| fulltext |
K O R O T K I P O V I D O M L E N N Q
UDK 511.72
O. V. Kotova (Nac. ped. un-t, Ky]v)
KONTYNUAL|NIST| MNOÛYNY ROZV’QZKIV ODNOHO
KLASU RIVNQN|, QKI MISTQT| FUNKCIG ÇASTOTY
TRIJKOVYX CYFR ÇYSLA
We study the equation ν1( ) =x x , where ν1( )x is the function of frequency of the digit 1 in ternary
expansion of x. We prove that this equation has a unique rational solution and a continuum set of
irrational solutions. An algorithm for the construction of solutions is proposed. We also describe the
topological and metric properties of the set of all solutions. Some additional facts about equations
νi x x( ) = , i = 0 2, , are also given.
Yssleduetsq uravnenye ν1( ) =x x , soderΩawee funkcyg ν1( )x çastot¥ 1 v troyçnom razlo-
Ωenyy x. Dokazano, çto ono ymeet tol\ko odyn racyonal\n¥j koren\ y kontynual\noe mnoΩe-
stvo yrracyonal\n¥x kornej. Pryveden alhorytm postroenyq kornej. Opysan¥ topoloho-
metryçeskye svojstva mnoΩestva vsex kornej. YzloΩen¥ nekotor¥e fakt¥, kasagwyesq urav-
nenyj νi x x( ) = , i = 0 2, .
Vstup. Nexaj 0 1 2,c c cm… … — formal\nyj (symvoliçnyj) zapys deqkoho çys-
la x ∈ [ 0, 1 ] v trijkovij systemi çyslennq, ci = c xi( ) ∈ { , , }0 1 2 , tobto
x ≡ 0 1 2,c c cm… … = 3
1
−
=
∞
∑ m
m
m
c . (1)
Vidomo, wo koΩne irracional\ne x ma[ [dynyj rozklad (1), a deqki racio-
nal\ni çysla magt\ ]x dva (taki nazyvagt\sq trijkovo-racional\nymy). Spravdi,
0 00 01 1,c c cm m… … …− = 0 1 22 21 1, ( )c c cm m… − … …− , de cm ≠ 0.
Domovymos\ dali dlq trijkovo-racional\noho çysla 0 0 01,c cm… … … vykorys-
tovuvaty zapys 0 1,c cm… .
Nexaj
N x ni( , ) = # : ( ) ,{ }k c x i k nk = ≤
oznaça[ kil\kist\ cyfr „i” u trijkovomu rozkladi çysla x do n -ho miscq
vklgçno. Qkwo isnu[ hranycq lim
( , )
n
iN x n
n→∞
, to ]] znaçennq νi x( ) nazyva[t\sq
çastotog (abo asymptotyçnog çastotog) cyfry „i” u trijkovomu zobra-
Ωenni çysla x, i = 0, 1, 2.
Lehko navesty pryklad çysla, u qkoho:
1) isnugt\ çastoty vsix trijkovyx cyfr [1],
2) ne isnu[ çastota prynajmni odni[] cyfry [2, 3],
3) Ωodna trijkova cyfra ne ma[ çastoty [4].
© O. V. KOTOVA, 2008
1414 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
KONTYNUAL|NIST| MNOÛYNY ROZV’QZKIV ODNOHO KLASU RIVNQN| … 1415
Lehko baçyty, wo isnuvannq i znaçennq funkci] νi x( ) ne zaleΩat\ vid do-
vil\no] skinçenno] kil\kosti perßyx trijkovyx cyfr x . Çyslo, vsi trijkovi
cyfry qkoho magt\ çastotu 1 / 3 , nazyvagt\ normal\nym za osnovogII3.
Vidomo [1, 5], wo mnoΩyna takyx çysel ma[ miru LebehaII1. Tomu çysla, wo ne [
normal\nymy za osnovogII3, utvorggt\ mnoΩynu nul\ovo] miry Lebeha.
Ponqttq çastoty ßyroko vykorystovu[t\sq v metryçnij teori] çysel [5, 6].
Funkciq çastoty cyfry vidnosno çasto fihuru[ v naukovyx doslidΩennqx
ostannix rokiv [1, 3 – 10], zokrema pry vyvçenni fraktal\nyx mnoΩyn [1, 6],
synhulqrnyx funkcij ta mir [1], rozpodiliv imovirnostej, zoseredΩenyx na
nul\-mnoΩynax Lebeha [5]. S\ohodni vidomo [1, 3], wo mnoΩyna çysel, dlq qkyx
ne isnu[ çastota prynajmni odni[] cyfry, [ superfraktal\nog. Bil\ß toho,
superfraktal\nog [ i mnoΩyna çysel, wo ne magt\ çastoty Ωodno] z cyfr [4,
8]. Razom z cym vlastyvosti çastoty cyfry çysla doslidΩeno we nedostatn\o, a
aktual\nist\ ]x vyvçennq neodnorazovo vidmiçalasq [1, 4, 8]. Zrozumilo, wo v
zaleΩnosti vid çysla x çastota νi x( ) moΩe ne isnuvaty i moΩe isnuvaty ta
nabuvaty riznyx znaçen\. Qki Ω vlastyvosti ma[ funkciq y = νi x( ) ?
V danij roboti my doslidΩu[mo mnoΩynu rozv’qzkiv rivnqnnq ν1( )x = x abo,
inßymy slovamy, mnoΩynu invariantnyx toçok vidobraΩennq y = ν1( )x .
1. Deqki vlastyvosti cilo] çastyny çysla. Dali budemo vykorystovuvaty
ponqttq cilo] çastyny çysla a (symvoliçno [a] ) . Tomu nahada[mo, wo cilog
çastynog çysla x (symvoliçno [x] ) nazyvagt\ najbil\ße cile çyslo, wo ne
perevywu[ x. Zhidno z cym oznaçennqm, rivnist\ [ x ] = n rivnosyl\na n ≤ x <
< n + 1, n ∈ Z .
Rozhlqnemo vlastyvosti cilo] çastyny çysla, qki my budemo vykorystovuvaty
dali.
Teorema41. Qkwo x ∈ [ 0, 1 ) , mx ∈ Z , k ∈ Z , to magt\ misce rivnosti:
1) [ x + k ] = [ x ] + k ;
2) r = [( ) ] [ ] { , }k x kx+ − ∈1 0 1 ;
3) [( ) ]m x− 1 = mx − 1.
Dovedennq. 1. Z oznaçennq cilo] çastyny çysla vyplyva[
[ x ] ≤ x < [ x ] + 1.
Dodavßy do vsix çastyn nerivnosti cile çyslo k , otryma[mo
[ x ] + k ≤ x + k < [ x ] + k + 1.
Oskil\ky çyslo [ x ] + k [ cilym, to za oznaçennqm cilo] çastyny [ x + k ] = [ x ] +
+ k .
2. Nexaj d — cila çastyna çysla kx , tobto d ≤ kx < d + 1. Dodavßy do
vsix çastyn nerivnostej x , otryma[mo
d + x ≤ ( )k x+ 1 < d + x + 1 < d + 2.
Ostannq nerivnist\ vyplyva[ z toho, wo x < 1. Krim toho, x ≥ 0, a tomu d + x ≥
≥ d. Takym çynom, d ≤ ( )k x+ 1 < d + 2.
MoΩlyvi dva vypadky: ( )k x+ 1 < d + 1 abo ( )k x+ 1 ≥ d + 1. V perßomu
vypadku d ≤ ( )k x+ 1 < d + 1. Tomu [( ) ]k x+ 1 = d i
r = [( ) ] [ ]k x kx+ −1 = d – d = 0.
U druhomu vypadku d + 1 ≤ ( )k x+ 1 < d + 2, tomu
r = [( ) ] [ ]k x kx+ −1 = d + 1 – d = 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1416 O. V. KOTOVA
OtΩe, r = 0 abo r = 1.
3. Spravdi, ( )m x− 1 = mx x− < mx , oskil\ky x > 0.
Z inßoho boku, oskil\ky ( )m x− 1 = mx x− i x < 1, to
mx x− > mx − 1.
OtΩe, mx − 1 < ( )m x− 1 < ( )mx − +1 1. Oskil\ky ( )mx − 1 — cile çyslo, to
[( ) ]m x− 1 = mx − 1.
Teoremu dovedeno.
2. Isnuvannq ta kil\kist\ rozv’qzkiv rivnqnnq.
Lema41. Rivnqnnq ν1( )x = x ne ma[ trijkovo-racional\nyx koreniv, krim
x = 0.
Spravdi, dlq dovil\noho trijkovo-racional\noho çysla x = 0 1,α α… k otry-
mu[mo ν1( )x = 0 ≠ x . Tomu pry x ≠ 0 ma[mo ν1( )x ≠ x .
Teorema42. Qkwo { }εn — dovil\na neskinçenna poslidovnist\ nuliv ta
odynyc\, to çyslo
x =
ε β
i
s
i j i
e
ij
s ii
j
j3 31 1 1=
∞
=
∞
=
+∑ ∑ ∑+ , (2)
de
x1 = 0 00 1, ε , (3)
βin = [( ) ] [( ) ]s i x s i xn n n n+ − + − 1 , (4)
xn =
ε βi
s
i
n
j
n
i
e
ij
s ii
j
j3 31 1
1
1= =
−
=
+∑ ∑ ∑+ , (5)
sn = ( )!n + +1 1, (6)
en = s sn n+ − −1 1 = ( )! ( )!n n+ − + −2 1 1, (7)
[ rozv’qzkom rivnqnnq ν1( )x = x .
Dovedennq. Nexaj { }εn — zadana neskinçenna poslidovnist\ nuliv ta ody-
nyc\. Çyslo x , vyznaçene rivnostqmy (2), [ hranyceg poslidovnosti trijkovo-
racional\nyx toçok xk , qka budu[t\sq takym çynom:
x1 = 0 00 1, ε .
Çyslo s1 trijkovyx cyfr çysla x1 dorivng[ 3 = 2! + 1 = s1.
x2 = 0 00 1 11 21 1 21
, ε β β β ε… e , de çyslo e1 = 3 vyznaça[t\sq rivnistg (7), s2 =
= s1 + e1 + 1 = 3! + 1 — kil\kist\ trijkovyx cyfr çysla x2 — vyznaça[t\sq
rivnistg (6) i
β11 = [( ) ] [ ]s x s x1 1 1 11+ − = [ ] [ ]4 31 1x x− ,
β21 = [( ) ] [( ) ]s x s x1 1 1 12 1+ − + = [ ] [ ]5 41 1x x− ,
β31 = [( ) ] [( ) ]s x s x1 1 1 13 2+ − + = [ ] [ ]6 51 1x x− .
Analohiçno vyznaçagt\sq trijkovo-racional\ni çysla x3 , x4 , … .
Qkwo çyslo xk = 0 1 2,γ γ γ… sk
, sk = ( )!k + +1 1, γ sk
= εk pobudovano ( vo-
no vyznaçeno çyslamy ek−1, sk , εk i β11 , … , βe kk − −1 1( ) ) , to nastupnyj çlen po-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
KONTYNUAL|NIST| MNOÛYNY ROZV’QZKIV ODNOHO KLASU RIVNQN| … 1417
slidovnosti xk+1 znaxodymo takym çynom.
Budu[mo çyslo xk+1 = 0 1 2 1 2 1,γ γ γ β β β ε… … +s k k e k kk k
, de sk+1 = s ek k+ + 1 =
= ( )!k + +2 1. Zvidsy znaxodymo ek = ( )!k sk+ −2 i
β1k = [( ) ] [ ]s x s xk k k k+ −1 ,
β2k = [( ) ] [( ) ]s x s xk k k k+ − +2 1 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
β jk = [( ) ] [( ) ]s j x s j xk k k k+ − + − 1 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
βe kk
= [( ) ] [( ) ]s e x s e xk k k k k k+ − + − 1 = [( ) ] [( ) ]s x s xk k k k+ +− − −1 11 2 .
1. Vyrazymo vidnoßennq
N x
s
k
k
1 1
1
( )+
+
.
Pidraxu[mo kil\kist\ odynyc\ u trijkovomu rozkladi çysla xk+1 .
Oskil\ky βij ∈{ , }0 1 , to kil\kist\ odynyc\ sered βij dorivng[ ]x sumi:
N xk1 1( )+ = N xk
j
e
jk k
k
1
1
1( ) + +
=
+∑ β ε = N x s x s xk k k k k k1 1 11( ) [( ) ] [ ]+ − − ++ +ε .
Vidnosna çastota odynyc\ u trijkovomu rozkladi çysla xk+1 dorivng[
N x
s
k
k
1 1
1
( )+
+
=
N x s x s x
s
k k k k k k
k
1 1 1
1
1( ) [( ) ] [ ]+ − − ++ +
+
ε
i t. d. Todi x = lim
k
kx
→∞
i αn x( ) = αn kx( ) pry n = 1, sk dlq vsix k .
2. Vyrazymo funkcig
N x
s
xk
k
k
1 1
1
( )+
+
− i ocinymo ]]:
N x
s
xk
k
k
1 1
1
( )+
+
− =
N x s x s x s x
s
k k k k k k k k
k
1 1 1 1
1
1( ) [( ) ] [ ]+ − − + −+ + +
+
ε
,
N x
s
xk
k
k
1 1
1
( )+
+
− =
N x s x s x s x
s
k k k k k k k k
k
1 1 1 1
1
1( ) [( ) ] [ ]+ − − + −+ + +
+
ε
≤
≤
N x
s
s x s x
s
s x
s
k
k
k k k k k
k
k k
k
1
1
1 1 1
1 1
1( ) [( ) ] [ ]
+
+ + +
+ +
+
− − +
+
ε
≤
≤
s
s s
s
s
k
k k
k
k+ + +
+ +
1 1 1
2 =
2 2
1
s
s
k
k
+
+
= 2 1 4
2 1
( )!
( )!
k
k
+ +
+ +
< 2
2
4
2k k+
+
+( )!
.
Takym çynom,
N x
s
xk
k
k
1 1
1
( )+
+
− < 2
2
4
2k k+
+
+( )!
.
Qkwo k → ∞ , to
2
2
4
2k k+
+
+( )!
→ 0 i
N x
s
k
k
1 1
1
( )+
+
→ xk .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1418 O. V. KOTOVA
3. Dovedemo, wo ν1( )x = lim
( )
k
k
k
N x
s→∞
+
+
1 1
1
= x .
Qkwo trijkovym rozkladom çysla x [ 0 1 2,γ γ γ… …n , to çerez un poznaçymo
çyslo, trijkovym rozkladom qkoho [ 0 1 2,γ γ γ… n . Todi x1 = us1
, x2 = us2
, …
… , xk = usk
, de sk = ( )!k + +1 1. Dlq dovil\noho n isnu[ take k , wo
xk+1 ≤ un < xk+2 , s n sk k+ +≤ <1 2,
i n = s jk+ +1 , de j — deqke natural\ne çyslo abo 0,
0 ≤ j ≤ ( )!k sk+ + − +3 1 1 = ( )! ( )!k k+ − +3 2 .
Za oznaçennqm çysla un ma[mo
N un1( ) = [( ) ] [ ] ( )s j x s x N xk k k k k+ + + + ++ − +1 1 1 1 1 1 . (8)
Perepyßemo N xk1 1( )+ u vyhlqdi
N xk1 1( )+ = [( ) ] [ ] ( )s x s x N xk k k k k k+ +− − + +1 1 11 ε . (9)
Todi z (8) i (9) otrymu[mo
N un1( ) = [( ) ] [ ] [( ) ] [ ] ( )s j x s x s x s x N xk k k k k k k k k k+ + + + + ++ − + − − + +1 1 1 1 1 1 11 ε .
Zobrazymo [ ]s xk k+ +1 1 u vyhlqdi
[ ]s xk k+ +1 1 = [ ] [ ( )]s x s x xk k k k k+ + ++ − +1 1 1 ε ,
de ε nabuva[ znaçennq 0 abo 1. Todi
N un1( ) = [( ) ] [ ] [ ( )]s j x s x s x xk k k k k k k+ + + + ++ − − −1 1 1 1 1 +
+ [( ) ] [ ] ( )s x s x N xk k k k k k+ +− − + + −1 1 11 ε ε
i vidnosna çastota odynyc\ u trijkovomu rozkladi çysla un dorivng[
N u
s j
n
k
1
1
( )
+ +
=
[( ) ] [ ] [ ( )]s j x
s j
s x
s j
s x x
s j
k k
k
k k
k
k k k
k
+ +
+
+
+
+ +
+
+
+
−
+
−
−
+
1 1
1
1
1
1 1
1
+
+
[( ) ] [ ] ( )s x
s j
s x
s j
N x
s j s j
k k
k
k k
k
k
k
k
k
+
+ + +
+
+
−
+
−
+
+
+
+
−
+
1
1 1
1
1
1
1
1 ε ε
,
N u
s j
xn
k
k
1
1
1
( )
+
++
− =
[( ) ] ( ) [ ]s j x s j x
s j
s x
s j
k k k k
k
k k
k
+ + + +
+
+
+
+ − +
+
−
+
1 1 1 1
1
1
1
–
–
[ ( )] [( ) ] [ ] ( )s x x
s j
s x
s j
s x
s j
N x
s j s j
k k k
k
k k
k
k k
k
k
k
k
k
+ +
+
+
+ + +
+
+
−
+
+
−
+
−
+
+
+
+
−
+
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
1 ε ε
.
Tomu
N u
s j
xn
k
k
1
1
1
( )
+
++
− ≤
[( ) ] ( ) [ ( )]s j x s j x
s j
s x x
s j
k k k k
k
k k k
k
+ + + +
+
+ +
+
+ − +
+
+
−
+
1 1 1 1
1
1 1
1
+
+
[( ) ] [ ] [ ] ( )s x s x
s j
s x
s j
N x
s j s j s j
k k k k
k
k k
k
k
k
k
k k
+ +
+ + +
+
+ +
− −
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1 1
1 1
1
1
1
1 1
1 ε ε <
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
KONTYNUAL|NIST| MNOÛYNY ROZV’QZKIV ODNOHO KLASU RIVNQN| … 1419
< 1 1 1 1
1
1 1
1 1 1 1 1 1s
s x x
s s
s
s
s
s s sk
k k k
k k
k
k
k
k k k+
+ +
+ + + + + +
+
−
+ + + + +
( )
=
=
2 4
1 1
1
s
s s
x xk
k k
k k
+ +
++ + −( ) .
Dlq k > 1 ma[mo
2 4
1 1
s
s s
k
k k+ +
+ <
3
1
s
s
k
k+
, tomu
N u
s j
xn
k
k
1
1
1
( )
+
++
− <
3
1
1
s
s
x xk
k
k k
+
++ −( ). (10)
Nexaj µ — dovil\ne dodatne çyslo. Oskil\ky lim
k
kx
→∞
= x , to isnu[ natu-
ral\ne çyslo N1 take, wo dlq n > N1 vykonu[t\sq nerivnist\
x xn − <
µ
10
. (11)
Todi dlq n > N1 i r > N1
x xn r− = x x x xn r− + − ≤ x x x xn r− + − <
µ µ
10 10
+ =
µ
5
,
x xn r− <
µ
5
. (12)
Oskil\ky
s
s
n
n+1
→ 0 pry n → ∞ , to isnu[ natural\ne çyslo N2 take, wo
s
s
n
n+1
<
µ
5
dlq vsix n > N2 .
Nexaj N = max{ , }N N1 2 . Dlq dovil\noho natural\noho n > s1 = 3 isnu[ k
take, wo sk+1 < n ≤ sk+2 . Todi z umovy n > sN +2 vyplyva[ k > N.
Vraxovugçy (10), (12), ma[mo
N u
s j
xn
k
k
1
1
1
( )
+
++
− <
3
1
1
s
s
x xk
k
k k
+
++ −( ) <
3
5 5
µ µ+ =
4
5
µ
.
Zvidsy, vykorystovugçy (11), otrymu[mo
N u
s j
xn
k
1
1
( )
+ +
− =
N u
s j
x x xn
k
k k
1
1
1 1
( )
+
+ ++
− + − ≤
≤
N u
s j
xn
k
k
1
1
1
( )
+
++
− + x xk+ −1 <
4
5 10
µ µ+ < µ .
OtΩe, dlq bud\-qkoho µ > 0 isnu[ natural\ne çyslo n ( )n sN> +2 take, wo
N u
s j
xn
k
1
1
( )
+ +
− < µ , tobto isnu[ lim
( )
n
n
k
N u
s j→∞ + +
1
1
i dorivng[ x .
Teoremu dovedeno.
Naslidok41. Rivnqnnq ν1( )x = x ma[ kontynual\nu mnoΩynu rozv’qzkiv.
Oskil\ky navedenyj u dovedenni teoremyI2 alhorytm dlq dovil\no] poslidov-
nosti { }εn nuliv ta odynyc\ dozvolq[ odnoznaçno vkazaty takyj x , wo ν1( )x =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1420 O. V. KOTOVA
= x , a takyx poslidovnostej isnu[ kontynuum, to i mnoΩyna rozv’qzkiv danoho
rivnqnnq [ kontynual\nog.
Naslidok42. Qkwo { }εn — dovil\na neskinçenna poslidovnist\ nuliv ta
odynyc\, to çyslo x =
ε βi
s
i j i
e
ij
s ii
j
j3
1
31 1 1=
∞
=
∞
=
+∑ ∑ ∑+
−
[ rozv’qzkom rivnqnnq ν0( )x = x ,
de xn =
ε βi
s
i
n
j
n
i
e
ij
s ii
j
j3
1
31 1
1
1= =
−
=
+∑ ∑ ∑+
−
, x1, βin , sn , en vyznaçagt\ rivnostqmy (3), (4),
(6), (7) vidpovidno.
Naslidok43. Qkwo { }εn — dovil\na neskinçenna poslidovnist\ nuliv ta
odynyc\, to çyslo x =
ε βi
s
i j i
e
ij
s ii
j
j3
2
31 1 1=
∞
=
∞
=
+∑ ∑ ∑+ [ rozv’qzkom rivnqnnq ν2( )x = x ,
de xn =
ε βi
s
i
n
j
n
i
e
ij
s ii
j
j3
2
31 1
1
1= =
−
=
+∑ ∑ ∑+ , x1, βin , sn , en vyznaçagt\ rivnostqmy (3), (4),
(6), (7) vidpovidno.
TeoremaI2 ma[ nastupne uzahal\nennq.
Teorema43. Qkwo { }εn — dovil\na neskinçenna poslidovnist\ nuliv ta ody-
nyc\, k — zadane natural\ne çyslo, to çyslo
x =
γ ε β
i
i
i
k
i
s
i j i
e
ij
s ii
j
j3 3 31
2
1 1 1=
+
=
∞
=
∞
=
+∑ ∑ ∑ ∑+ + ,
de
x1 = 0 1 2 2 1, γ γ γ ε… +k , k ∈ N , γ i ∈{ , , }0 1 2 , (13)
xn =
γ ε βi
i
i
k
i
s
i
n
j
n
i
e
ij
s ii
j
j3 3 31
2
1 1
1
1=
+
= =
−
=
+∑ ∑ ∑ ∑+ + , (14)
sn = k n+ + +( )!1 1, (15)
βin , en vyznaçagt\sq rivnostqmy (4), (7) vidpovidno, [ rozv’qzkom rivnqnnq
ν1( )x = x .
Dovedennq teoremyII3 [ analohiçnym do dovedennq teoremyII2.
Naslidok44. Qkwo { }εn — dovil\na neskinçenna poslidovnist\ nuliv ta
odynyc\, to çyslo
x = 1
3 3 31
2
1 1 1
− − −
=
+
=
∞
=
∞
=
+∑ ∑ ∑ ∑γ ε β
i
i
i
k
i
s
i j i
e
ij
s ii
j
j
,
de x1, βin , xn , sn , en vyznaçagt\ rivnostqmy (13), (4), (14), (15), (7) vid-
povidno, [ rozv’qzkom rivnqnnq ν1( )x = 1 – x .
3. Topoloho-metryçni vlastyvosti mnoΩyny rozv’qzkiv rivnqnnq.
Teorema44. MnoΩyna M çysel vidrizka [ 0, 1 ] , dlq qkyx vykonu[t\sq riv-
nist\ ν1( )x = x , [:
1) skriz\ wil\nog;
2) skriz\ rozryvnog;
3) nul\-mnoΩynog (v rozuminni miry Lebeha).
Dovedennq. TverdΩennqI1 i 2 vyplyvagt\ bezposeredn\o z toho faktu, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
KONTYNUAL|NIST| MNOÛYNY ROZV’QZKIV ODNOHO KLASU RIVNQN| … 1421
naleΩnist\ çysla x mnoΩyni M ne zaleΩyt\ vid bud\-qko] skinçenno] kil\kos-
ti trijkovyx znakiv.
Dlq dovedennq tverdΩennqI3 skorysta[mos\ tym, wo mira Lebeha mnoΩyny
normal\nyx çysel vidrizka [ 0, 1 ] dorivng[II1.
Oskil\ky dlq bud\-qkoho x , wo naleΩyt\ mnoΩyni M, ν1( )x ≠ 1 / 3 , to
mnoΩyna M ne mistyt\ Ωodnoho normal\noho za osnovogII3 çysla, tobto M [
pidmnoΩynog mnoΩyny W nenormal\nyx çysel, a otΩe, λ ( M ) = λ ( W ) = 0.
Teoremu dovedeno.
1. Prac\ovytyj M. V. Fraktal\nyj pidxid u doslidΩennqx synhulqrnyx rozpodiliv. – Ky]v:
Vyd-vo NPU im. M. P. Drahomanova, 1998. – 296 s.
2. Postnykov A. H. Aryfmetyçeskoe modelyrovanye sluçajn¥x processov // Tr. Mat. yn-ta
AN SSSR. – 1960. – 57. – 83Is.
3. Prac\ovytyj M. V., Torbin H. M. Superfraktal\nist\ mnoΩyny çysel, qki ne magt\ çasto-
ty n-adyçnyx znakiv, ta fraktal\ni rozpodily jmovirnostej // Ukr. mat. Ωurn. – 1995. – 47,
# 7. – S.I971 – 975.
4. Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Topological and fractal properties of real numbers which
are not normal // Bull. Sci. Math. – 2005. – 129, # 8. – P. 615 – 630.
5. Turbyn A. F., Pracevyt¥j N. V. Fraktal\n¥e mnoΩestva, funkcyy, raspredelenyq. – Kyev:
Nauk. dumka, 1992. – 208 s.
6. Byllynhslej P. ∏rhodyçeskaq teoryq y ynformacyq. – M.: Myr, 1969. – 238Is.
7. Torbin H. M. Çastotni xarakterystyky normal\nyx çysel v riznyx systemax zobraΩennq çy-
sel // Fraktal\nyj analiz ta sumiΩni pytannq. – 1998. – # 1. – S.I53 – 55.
8. Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Singular probability distributions and fractal properties of
sets of real numbers defined by the asymptotic frequencies of their s-adic digits // Ukr. mat. Ωurn.
– 2005. – 57, # 9. – S.I1163 – 1170.
9. Postnykov A. H. Veroqtnostnaq teoryq çysel. – M.: Znanye, 1974. – 62Is.
10. Olsen L. Applications of multifractal divergence points to sets of numbers defined by their N-adic
expansion // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. – 2004. – 136, # 1. – P. 139 – 165.
OderΩano 05.02.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
|