Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II
Вивчаються уточнені шкали функціональних гільбертових просторів на Rn та гладких многовидах з краєм. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера-Волевіча-Панеяха. Розроблено теорію еліптичних крайових задач у цих просторах....
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164964 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 3. — С. 352–370. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164964 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649642020-02-12T01:28:46Z Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II Михайлец, В.А. Мурач, А.А. Статті Вивчаються уточнені шкали функціональних гільбертових просторів на Rn та гладких многовидах з краєм. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера-Волевіча-Панеяха. Розроблено теорію еліптичних крайових задач у цих просторах. We study improved scales of functional Hilbert spaces over Rn and smooth manifolds with boundary. The isotropic Hörmander-Volevich-Paneyakh spaces are elements of these scales. The theory of elliptic boundary-value problems in these spaces is developed. 2006 Article Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 3. — С. 352–370. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164964 517.944 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Михайлец, В.А. Мурач, А.А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II Український математичний журнал |
| description |
Вивчаються уточнені шкали функціональних гільбертових просторів на Rn та гладких многовидах з краєм. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера-Волевіча-Панеяха. Розроблено теорію еліптичних крайових задач у цих просторах. |
| format |
Article |
| author |
Михайлец, В.А. Мурач, А.А. |
| author_facet |
Михайлец, В.А. Мурач, А.А. |
| author_sort |
Михайлец, В.А. |
| title |
Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II |
| title_short |
Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II |
| title_full |
Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II |
| title_fullStr |
Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II |
| title_full_unstemmed |
Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II |
| title_sort |
уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. ii |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164964 |
| citation_txt |
Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 3. — С. 352–370. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT mihajlecva utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačiii AT muračaa utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačiii |
| first_indexed |
2025-07-14T17:42:51Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:42:51Z |
| _version_ |
1837645138902384640 |
| fulltext |
УДК 517.944
В. А. Михайлец (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
А. А. Мурач (Чернигов. технол. ун-т)
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ
И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. II
The refined scales of functional Hilbert spaces over Rn and smooth manifolds with a boundary are studied.
Elements of these scales are the isotropic spaces of Hörmander – Volevich – Paneyakh. Theory of elliptic
boundary-value problems in such spaces is developed.
Вивчаються уточненi шкали функцiональних гiльбертових просторiв на Rn та гладких многовидах
з краєм. Елементами цiєї шкали є iзотропнi простори Хермандера – Волевiча – Панеяха. Розроблено
теорiю елiптичних крайових задач у цих просторах.
Введение. В статье изучается уточненная шкала гильбертовых функциональных
пространств, введенная авторами в [1]. Гладкостные свойства функций из про-
странств этой шкалы определяются не числовым набором, а функциональным пара-
метром, который является правильно меняющейся функцией одной вещественной
переменной. Этот функциональный параметр позволяет более тонко характеризо-
вать гладкость функции по свойствам ее преобразования Фурье вблизи бесконеч-
ности.
Цель статьи — показать, что свойства уточненной шкалы и классической шка-
лы пространств бесселевых потенциалов во многом аналогичны, что позволяет
распространить теорию эллиптических краевых задач на уточненные шкалы. Эта
аналогия свойств является следствием того, что каждое пространство уточненной
шкалы может быть получено посредством интерполяции с подходящим функци-
ональным параметром пары пространств бесселевых потенциалов. В качестве
параметра здесь следует взять некоторую правильно меняющуюся на +∞ функ-
цию.
Статья состоит из четырех пунктов. В п. 1 рассмотрены некоторые необходи-
мые далее свойства медленно меняющихся функций. В п. 2 показано, что правиль-
но меняющаяся на +∞ функция порядка θ, где 0 < θ < 1, является интерполяци-
онным параметром, т. е. порождает интерполяционный функтор в категории пар
гильбертовых пространств. На основании этого результата в п. 3 изучены мето-
дом интерполяции уточненные шкалы на пространстве Rn, полупространстве Rn+
и компактном дифференцируемом многообразии класса C∞. В п. 4 также с помо-
щью интерполяции установлена теорема о нетеровости оператора эллиптической
краевой задачи в уточненной шкале пространств дифференцируемых функций на
многообразии. Пункты 1, 2 опубликованы в первой части работы (см. [2]).
Необходимо отметить, что пространства, гладкость в которых определяется
посредством функциональных параметров, были впервые введены и изучены в ра-
ботах [3, 4]. В настоящее время эти пространства являются предметом многих
исследований (см., например, [5, c. 381 – 415; 6] и приведенную в них библио-
графию). В частности, регулярные эллиптические граничные задачи в некоторых
таких пространствах на евклидовых областях изучались методом интерполяции
в [7].
3. Уточненные шкалы пространств. Рассмотрим сначала уточненные шка-
лы функциональных пространств на Rn, где n ≥ 1, и на полупространстве Rn+ =
c© В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ, 2006
352 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. II 353
= {(x′, xn) : x′ ∈ Rn−1, xn > 0} (в случае n = 1 имеем Rn+ = (0;+∞)). За-
тем из этих шкал с помощью стандартной процедуры локального распрямления
построим уточненные шкалы на гладких компактных многообразиях. Простран-
ства, образующие указанные шкалы, зависят от двух параметров — числового и
функционального. Последний пробегает некоторое множество M, с определения
которого мы и начнем.
Обозначим черезM совокупность всех таких положительных функций ϕ, опре-
деленных на [1;+∞), что: а) ϕ измерима по Борелю на [1;+∞); б) функции ϕ
и
1
ϕ
ограничены на каждом отрезке [1; b], где 1 < b < +∞; в) ϕ — медленно
меняющаяся на +∞ функция.
Пусть s ∈ R, ϕ ∈ M. Обозначим через Hs,ϕ(Rn) совокупность всех таких
распределений u медленного роста, заданных на Rn, что преобразование Фурье
û распределения u является локально суммируемой по Лебегу на Rn функцией,
удовлетворяющей условию∫
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉) |û(ξ)|2 dξ <∞. (3.1)
Здесь и далее интеграл, если не указано иное, берется по Rn, а 〈ξ〉 = (1 +
+ ξ21 + . . . + ξ2n)
1/2 — сглаженный модуль вектора ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn. В про-
странстве Hs,ϕ(Rn) в качестве скалярного произведения его элементов u, v возьмем
величину ∫
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉) û(ξ) v̂(ξ)dξ.
Она порождает норму, равную корню квадратному из левой части неравенства (3.1).
Замечание 3.1. Пространства Hs,ϕ(Rn) — частный случай пространств Хер-
мандера и Волевича – Панеяха. А именно, Hs,ϕ(Rn) = B2,k = Hµ, где k(ξ) =
= µ(ξ) = 〈ξ〉sϕ(〈ξ〉), B2,k — пространство, введенное Л. Хермандером [3, с. 54],
Hµ — пространство, введенное Л. Р. Волевичем и Б. П. Панеяхом [4, с. 14]. Отме-
тим, что пространства B2,k и Hµ определены в указанных работах для произволь-
ной положительной весовой функции k(ξ) = µ(ξ) аргумента ξ ∈ Rn. Последнее по
Волевича – Панеяху означает непрерывность µ и оценку µ(ξ)/µ(η) ≤ c(1+ |ξ−η|l),
ξ, η ∈ Rn, с постоянными c, l, не зависящими от ξ и η. (Л. Хермандер требует, что-
бы
k(ξ)
k(η)
≤ (1 + c|ξ − η|)l, но, как это следует из замечания [3, с. 54], функции k
приводят к тому же самому классу пространств, что и функции µ.) Для произволь-
ного ϕ ∈M, согласно предложению 1.3 а) и определению множества M, найдется
такая функция ϕ1 ∈ M, непрерывная на [1;+∞), что c1ϕ1(t) ≤ ϕ(t) ≤ c2ϕ1(t)
при t ≥ 1 с конечными положительными постоянными c1, c2, не зависящими от
t. Поэтому Hs,ϕ(Rn) = Hs,ϕ1(Rn) с эквивалентностью норм. Кроме того, в силу
леммы 1.1 функция µ1(ξ) = 〈ξ〉sϕ1(〈ξ〉) весовая:
µ1(ξ)/µ1(η) = (〈ξ〉/〈η〉)sϕ1(〈ξ〉)/ϕ1(〈η〉) ≤
≤ c(1 + |〈ξ〉 − 〈η〉||s|+1) ≤ c(1 + |ξ − η||s|+1).
Таким образом, все, что установлено Л. Хермандером [3, с. 54 – 67] для простран-
ства B2,k и Л. Р. Волевичем, Б. П. Панеяхом [4, с. 14 – 54] для пространства Hµ,
справедливо и для пространств Hs,ϕ(Rn), s ∈ R, ϕ ∈ M. Нас, в основном, будут
интересовать специфические свойства пространств Hs,ϕ(Rn), обусловленные тем,
что ϕ ∈ SV.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
354 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
В случае ϕ ≡ 1 пространство Hs,ϕ(Rn) будем также обозначать через Hs(Rn).
Это хорошо известное пространство бесселевых потенциалов на Rn порядка s.
Лемма 3.1. Для произвольных s ∈ R и ϕ,ϕ1 ∈ M справедливы непрерывные
вложения
Hs+ε(Rn) ↪→ Hs,ϕ(Rn) ↪→ Hs−ε(Rn), ε > 0, (3.2)
Hs+ε,ϕ1(Rn) ↪→ Hs,ϕ(Rn), ε > 0. (3.3)
Доказательство. Пусть ε > 0. Поскольку ϕ ∈ M ⊂ SV, в силу предложе-
ния 1.3 б) имеем t−ε ≤ ϕ(t) ≤ tε при t � 1. Отсюда и из п. б) определения
класса M вытекает существование таких положительных постоянных c0, c1, что
c0t
−ε ≤ ϕ(t) ≤ c1t
ε для всех t ≥ 1. Взяв здесь t = 〈ξ〉, ξ ∈ Rn, сразу же получим
непрерывные вложения (3.2). Они, очевидно, влекут (3.3).
Лемма 3.1 доказана.
Рассмотрим семейство
{Hs,ϕ(Rn) : s ∈ R, ϕ ∈M} (3.4)
пространств распределений на Rn. В нем, согласно лемме 3.1, числовой параметр s
задает основную гладкость пространства, а функциональный параметр ϕ определя-
ет подчиненную основной дополнительную гладкость. Короче говоря, ϕ уточняет
основную s-гладкость. Поэтому семейство (3.4) мы называем уточненной шка-
лой на Rn (по отношению к шкале {Hs(Rn) : s ∈ R} пространств бесселевых
потенциалов).
Существует тесная связь между этими шкалами, приводящая к тому, что их
свойства во многом аналогичны. Она состоит в том, что каждое пространство
Hs,ϕ(Rn) может быть получено интерполяцией с функциональным параметром в
шкале пространств бесселевых потенциалов. А именно, справедлива следующая
теорема.
Теорема 3.1. Пусть заданы функция ϕ ∈ M и положительные числа ε, δ.
Положим ψ(t) = tε/(ε+δ) ϕ(t1/(ε+δ)) при t ≥ 1 и ψ(t) = ϕ(1) при 0 < t < 1. Тогда:
а) функция ψ удовлетворяет всем условиям теоремы 2.1 и, следовательно,
является интерполяционным параметром;
б) для произвольного s ∈ R справедливо следующее равество пространств с
эквивалентностью норм в них:[
Hs−ε(Rn),Hs+δ(Rn)
]
ψ
= Hs,ϕ(Rn).
Доказательство. Поскольку ϕ ∈ M, то, очевидно, ψ удовлетворяет услови-
ям а), б) теоремы 2.1. Далее, из условия ϕ ∈ M ⊂ SV в силу предложения 1.3 г)
вытекает, что функция ϕ(t1/(ε+δ)) аргумента t ≥ 1 является медленно меняющей-
ся на +∞. Следовательно, ψ — функция, правильно меняющаяся на +∞ порядка
θ =
ε
ε+ δ
∈ (0; 1). Таким образом, ψ удовлетворяет всем условиям теоремы 2.1 и,
согласно этой теореме, является интерполяционным параметром. Пункт а) доказан.
Установим теперь п. б). Пусть s ∈ R. Из свойств гильбертовой шкалы про-
странств бесселевых потенциалов [8, с. 250 – 253; 9, с. 211 – 216] следует, что пара
[Hs−ε(Rn),Hs+δ(Rn)] допустимая, причем псевдодифференциальный оператор с
символом 〈ξ〉ε+δ является порождающим оператором A для этой пары. С помощью
преобразования Фурье F : Hs−ε(Rn) ↔ L2(Rn, 〈ξ〉2(s−ε)dξ) оператор A приводит-
ся к виду умножения на функцию 〈ξ〉ε+δ аргумента ξ ∈ Rn. Значит, поскольку
оператор ψ(A) приведен к виду умножения на функцию ψ(〈ξ〉ε+δ) = 〈ξ〉εϕ(〈ξ〉),
его область определения такова:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. II 355
[
Hs−ε(Rn),Hs+δ(Rn)
]
ψ
=
=
{
u ∈ Hs−ε(Rn) : 〈ξ〉εϕ(〈ξ〉) û(ξ) ∈ L2(Rn, 〈ξ〉2(s−ε)dξ)
}
=
=
{
u ∈ Hs−ε(Rn) :
∫
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉) |û(ξ)|2 dξ <∞
}
=
= Hs−ε(Rn) ∩Hs,ϕ(Rn) = Hs,ϕ(Rn),
причем последнее равенство справедливо в силу правого вложения (3.2). Кроме
того, квадрат нормы распределения u в пространстве [Hs−ε(Rn),Hs+δ(Rn)]ψ
‖u‖2Hs−ε(Rn) + ‖ψ(A)u‖2Hs−ε(Rn) = ‖u‖2Hs−ε(Rn) +
+
∫
|〈ξ〉εϕ(〈ξ〉) û(ξ)|2〈ξ〉2(s−ε) dξ = ‖u‖2Hs−ε(Rn) + ‖u‖2Hs,ϕ(Rn).
Отсюда вследствие правого непрерывного вложения (3.2) имеем сформулирован-
ную в п. б) эквивалентность норм. Этот пункт, а с ним и теорема 3.1 доказаны.
Замечание 3.2. В связи с последней теоремой отметим статью Г. Шлензак
[7, с. 54], в которой интерполяция с функциональным параметром была применена
к шкале пространств бесселевых потенциалов. В результате были получены неко-
торые гильбертовы пространства Хермандера – Волевича – Панеяха. Хотя шкала
таких пространств и названа уточненной, в ней нельзя выделить основную (сте-
пенную) и уточненную (функциональную) гладкость пространств, в отличие от
предложенной нами шкалы (3.4).
Установим теперь ряд свойств уточненной шкалы (3.4) на Rn. Напомним, что,
как обычно, C∞
0 (Rn) — множество всех бесконечно дифференцируемых на Rn
функций, имеющих компактный носитель. Обозначим через Cρ(Rn), ρ ≥ 0, про-
странства Гельдера на Rn (см., например, [9, с. 242 ]). Понятно, что в случае
целого ρ ≥ 0 функция u ∈ Cρ(Rn) непрерывна и ограничена на Rn вместе со
своими частными производными до порядка ρ включительно.
Теорема 3.2. Пусть s ∈ R и ϕ,ϕ1 ∈M. Тогда:
а) пространство Hs,ϕ(Rn) полное;
б) непрерывные вложения (3.2) и (3.3) плотны;
в) множество C∞
0 (Rn) плотно в Hs,ϕ(Rn);
г) если существует такая постоянная c > 0, что ϕ(t) ≤ cϕ1(t) при t� 1, то
справедливо непрерывное плотное вложение Hs,ϕ1(Rn) ↪→ Hs,ϕ(Rn);
д) если
+∞∫
1
dt
t ϕ2(t)
< +∞, (3.5)
то справедливо непрерывное вложение
Hρ+n/2, ϕ(Rn) ↪→ Cρ(Rn) при ρ ≥ 0; (3.6)
е) пространства Hs,ϕ(Rn) и H−s,1/ϕ(Rn) взаимно сопряжены относительно
расширения по непрерывности скалярного произведения в L2(Rn) = H0(Rn).
Доказательство. Хорошо известно, что пространства бесселевых потенциалов
полны. Поэтому в силу теоремы 3.1 пространство Hs,ϕ(Rn) полное как результат
(с точностью до эквивалентности норм) интерполяции двух гильбертовых про-
странств. Из этой же теоремы на основании леммы 2.1 следует, что непрерывное
вложение (3.2) плотно. Значит, и (3.3) плотно. Пункты а), б) доказаны. Левое вло-
жение (3.2) вместе с уже известной плотностью множества C∞
0 (Rn) в Hs+ε(Rn)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
356 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
влекут пункт в). Пункт г) очевиден, если учесть, что его условие для функций
ϕ,ϕ1 ∈ M означает следующее: ϕ(t) ≤ c1ϕ1(t) при t ≥ 1 для некоторой постоян-
ной c1 > 0. Докажем п. д). Переходя от декартовых координат к сферическим и
затем выполняя замену переменной t = (1 + r2)1/2, имеем∫
〈ξ〉−nϕ−2(〈ξ〉) dξ = c2
+∞∫
0
(1 + r2)−n/2 ϕ−2((1 + r2)1/2) rn−1dr =
= c2
+∞∫
1
t−nϕ−2(t) (t2 − 1)(n−1)/2 t dt
(t2 − 1)1/2
≤ c2
+∞∫
1
dt
ϕ2(t) (t2 − 1)1/2
;
здесь c2 — некоторая положительная постоянная. Поскольку функция
1
ϕ2(t)
огра-
ничена в окрестности точки t = 1, последний интеграл конечен в силу (3.5). Итак,
J =
∫
〈ξ〉−nϕ−2(〈ξ〉) dξ < ∞. Дальнейшие рассуждения аналогичны доказатель-
ству теоремы 9.1 статьи [4, с. 52, 53]. (Непосредственно использовать эту теорему
нельзя, поскольку в ней фигурируют анизотропные пространства Гельдера, такие,
что Cρ(Rn) не является их частным случаем.) Представим число ρ ≥ 0 в ви-
де ρ = ρ0 + ρ1, где ρ0 — целая часть ρ и 0 ≤ ρ1 < 1. Пусть неотрицательные
целые числа r1, . . . , rn удовлетворяют неравенству r1 + . . . + rn ≤ ρ0. Тогда для
произвольных u ∈ C∞(Rn), x ∈ Rn имеем∣∣ ∂r1x1
. . . ∂rn
xn
u(x)
∣∣ = 1
(2π)n
∣∣∣∣∫ ξr11 . . . ξrn
n û(ξ) e−ixξ dξ
∣∣∣∣ ≤
≤ 1
(2π)n
∫
〈ξ〉ρ |û(ξ)|dξ ≤ J1/2
(2π)n
‖u‖H ;
в этом доказательстве мы обозначаем через ‖u‖H и ‖u‖C нормы распределения
u в Hρ+n/2, ϕ(Rn) и в Cρ(Rn) соответственно. Кроме того, для произвольного
h ∈ Rn, h 6= 0 запишем
|h|−ρ1
∣∣∂r1x1
. . . ∂rn
xn
(u(x+ h)− u(x))
∣∣ =
= |h|−ρ1(2π)−n
∣∣∣∣∫ ξr11 . . . ξrn
n (û(ξ)e−ihξ − û(ξ)) e−ixξ d ξ
∣∣∣∣ ≤
≤ |h|−ρ1(2π)−n
∫
〈ξ〉ρ0 |û(ξ)|
∣∣e−ihξ − 1
∣∣ dξ ≤
≤ |h|−ρ1 (2π)−n ‖u‖H
(∫ 〈ξ〉2ρ0
∣∣e−ihξ − 1
∣∣2
〈ξ〉2ρ+n ϕ2(〈ξ〉)
dξ
)1/2
=
= (2π)−n ‖u‖H
(∫
〈ξ〉−n ϕ−2(〈ξ〉)
4 sin2
(
1
2 ξ η
)
(〈ξ〉 |h|)2ρ1
dξ
)1/2
≤ 2(2π)−n‖u‖HJ1/2.
Здесь последнее неравенство вытекает из того, что, поскольку 0 ≤ ρ1 < 1, дробь
под знаком последнего интеграла, очевидно, не превышает 4. Таким образом,
‖u‖C ≤ const ‖u‖H , u ∈ C∞
0 (Rn. Отсюда в силу п. в) следует непрерывное
вложение (3.6). Пункт д) доказан. Последний п. е) является частным случаем
утверждения о сопряженном пространстве из работ [3, с. 61] (теорема 2.2.9) и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. II 357
[4, с. 15] (формула (2.3)). Отметим, что в силу предложения 1.3 в) справедливо
ϕ ∈M⇔ 1
ϕ
∈M. Значит, пространство H−s,1/ϕ(Rn) определено.
Теорема 3.2 доказана.
Замечание 3.3. Пусть целое ρ ≥ 0. Согласно известной теореме вложения
С. Л. Соболева, Hs(Rn) ↪→ Cρ(Rn) при s > ρ+
n
2
. Однако Hρ+n/2(Rn) * Cρ(Rn).
Теорема 3.2 д) позволяет с помощью параметра ϕ так уточнить основную глад-
кость пространства, чтобы имело место вложение (3.6). Таким образом, шкала
пространств Hs,ϕ(Rn) дает возможность точнее характеризовать гладкость рас-
пределения по свойствам его преобразования Фурье. Отметим, что утверждения,
аналогичные п. д) теоремы 3.2, устанавливались для пространств Хермандера и
Волевича – Панеяха в работах [3, с. 59; 4, с. 33, 52]. Из этих работ, в частности, сле-
дует, что условие (3.5) является необходимым и достаточным для включения (3.6)
при целом ρ ≥ 0.
Определим далее уточненную шкалу на полупространстве Rn+. Пусть s ∈ R,
ϕ ∈ M. Обозначим через Hs,ϕ(Rn+) фактор-пространство гильбертова простран-
ства Hs,ϕ(Rn) по подпространству{
w ∈ Hs,ϕ(Rn) : supp w ⊆ Rn\Rn+
}
. (3.7)
Это подпространство замкнуто, поскольку непрерывно вложено в топологическое
пространство D′(Rn) распределений на Rn. (Последнее вытекает из (3.2) и извест-
ного непрерывного вложения Hs−ε(Rn) ↪→ D′(Rn).) Следовательно, Hs,ϕ(Rn+)
— гильбертово пространство. В нем скалярное произведение классов смежности
распределений u1, u2 ∈ Hs,ϕ(Rn) равно скалярному произведению в Hs,ϕ(Rn)
распределений u1−Πu1, u2−Πu2; здесь Π — ортопроектор в Hs,ϕ(Rn) на подпро-
странство (3.7). Заметим, что Hs,ϕ(Rn+) естественно трактовать как пространство
сужений на Rn+ всех распределений из Hs,ϕ(Rn). При этом норма в Hs,ϕ(Rn+)
такого сужения v равна
inf
{
‖u‖Hs,ϕ(Rn) : u ∈ Hs,ϕ(Rn), u = v на Rn+
}
.
В частном случае ϕ ≡ 1 пространство Hs,ϕ(Rn+) обозначаем также через
Hs(Rn+). Это известное (см., например, [9, c. 265]) пространство бесселевых по-
тенциалов на Rn+.
Семейство
{
Hs,ϕ(Rn+) : s ∈ R, ϕ ∈M
}
мы называем уточненной шкалой на
Rn+. Для нее справедливы аналоги теорем 3.1 б) и 3.2, которые мы сейчас и
рассмотрим.
Теорема 3.3. Пусть заданы функция ϕ ∈ M и положительные числа ε, δ.
Тогда для произвольного s ∈ R справедливо следующее равенство пространств с
эквивалентностью норм в них:[
Hs−ε(Rn+),Hs+δ(Rn+)
]
ψ
= Hs,ϕ(Rn+). (3.8)
Здесь ψ — интерполяционный параметр из теоремы 3.1.
Доказательство. Содержащаяся в левой части (3.8) пара пространств, очевид-
но, допустима. Рассмотрим оператор R+ сужения распределения u ∈ D′(Rn) на
Rn+. Имеем линейные ограниченные сюръективные операторы
R+ : Hs−ε(Rn) → Hs−ε(Rn+), R+ : Hs+δ(Rn) → Hs+δ(Rn+),
R+ : Hs,ϕ(Rn) → Hs,ϕ(Rn+). (3.9)
Поскольку, согласно теореме 3.1 а), ψ — интерполяционный параметр, два первых
оператора влекут ограниченность оператора
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
358 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
R+ :
[
Hs−ε(Rn),Hs+δ(Rn)
]
ψ
→
[
Hs−ε(Rn+),Hs+δ(Rn+)
]
ψ
,
который в силу теоремы 3.1 б) принимает вид
R+ : Hs,ϕ(Rn) →
[
Hs−ε(Rn+),Hs+δ(Rn+)
]
ψ
.
Отсюда вследствие сюръективности оператора (3.9) получаем
Hs,ϕ(Rn+) ⊆
[
Hs−ε(Rn+),Hs+δ(Rn+)
]
ψ
. (3.10)
Докажем обратное непрерывное вложение. В монографии [9, c. 265, 266] для
произвольного номера k построен линейный ограниченный оператор
Tk : Hσ(Rn+) → Hσ(Rn), |σ| < k, (3.11)
продолжающий распределение с Rn+ на Rn. Последнее означает, что R+Tk — тож-
дественный оператор. Возьмем такой номер k, чтобы |s − ε| < k и |s + δ| < k, и
рассмотрим ограниченные операторы (3.11) для σ = s− ε и σ = s+ δ. Поскольку
ψ — интерполяционный параметр, они влекут ограниченность оператора
Tk :
[
Hs−ε(Rn+),Hs+δ(Rn+)
]
ψ
→
[
Hs−ε(Rn),Hs+δ(Rn)
]
ψ
,
откуда, согласно теореме 3.1 б),
Tk :
[
Hs−ε(Rn+),Hs+δ(Rn+)
]
ψ
→ Hs,ϕ(Rn).
Отсюда и на основании (3.9) получаем ограниченность тождественного оператора
I = R+Tk :
[
Hs−ε(Rn+),Hs+δ(Rn+)
]
ψ
→ Hs,ϕ(Rn+).
Таким образом, наряду с включением (3.10) имеет место обратное ему непрерывное
вложение. Следовательно, справедливо равенство пространств (3.8), причем, по
теореме Банаха об обратном операторе, нормы в этих пространствах эквивалентны.
Теорема 3.3 доказана.
Пусть Rn+ — замыкание полупространства Rn+. Обозначим через C∞
0 (Rn+) и
Cρ(Rn+), ρ ≥ 0, пространства сужений на Rn+ всех функций из C∞
0 (Rn) и Cρ(Rn)
соответственно. Пространство Cρ(Rn+) банахово относительно нормы
‖v‖Cρ(Rn
+) = inf
{
‖u‖Cρ(Rn) : u ∈ Cρ(Rn), u = v на Rn+
}
.
Теорема 3.4. Пункты а) – д) теоремы 3.2 остаются в силе, если в ее формули-
ровке и в формулах (3.2) и (3.3) заменить Rn на Rn+ в обозначениях пространств
уточненной шкалы, а также C∞
0 (Rn) на C∞
0 (Rn+) и Cρ(Rn) на Cρ(Rn+).
Теорема 3.4 тривиально следует из теоремы 3.2 и определения уточненной
шкалы на Rn+.
Теперь перейдем к построению уточненной шкалы на многообразии. Итак,
пусть M — бесконечно гладкое компактное многообразие размерности n ≥ 1 с
краем ∂M. Положим M = M \ ∂M. Отметим, что мы допускаем случай ∂M = ∅,
т. е. когда M = M — замкнутое многообразие. Следуя [10, c. 636], обозначим
через D ′(M) пространство продолжаемых распределений вM. (ЕслиM замкнуто,
то D ′(M) — это пространство D′(M) всех распределений на M.)
Возьмем какой-либо конечный атлас αj : Πj ↔ Uj , j = 1, . . . , r, из C∞-
структуры на M. Здесь Uj , j = 1, . . . , r, — открытые (в топологии пространства
M ) множества, образующие конечное покрытие многообразия M. Здесь также
Πj обозначает либо Rn либо Rn+, а Πj — замыкание множества Πj в Rn (т. е.
Πj — либо Rn либо Rn+ соответственно). (В случае замкнутого многообразия
M все Πj = Πj = Rn.) Возьмем, кроме того, какое-либо разбиение единицы χj ∈
∈ C∞(M), j = 1, . . . , r, наM, удовлетворяющее условию suppχj ⊆ Uj .Обозначим
через A пару, состоящую из взятых нами атласа и разбиения единицы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. II 359
Пусть, как и прежде, s ∈ R, ϕ ∈M. Обозначим черезHs,ϕ(M,A) пространство
всех таких f ∈ D ′(M), что (χjf) ◦ αj ∈ Hs,ϕ(Πj) для каждого j = 1, . . . , r. Здесь
(χjf)◦αj — представление распределения χjf в локальной карте αj . ВHs,ϕ(M,A)
введем скалярное произведение по формуле
(f, g)Hs,ϕ(M,A) =
r∑
j=1
((χjf) ◦ αj , (χj g) ◦ αj)Hs,ϕ(Πj).
Оно порождает норму
‖f‖Hs,ϕ(M,A) =
r∑
j=1
‖(χjf) ◦ αj‖2Hs,ϕ(Πj)
1/2
.
Семейство {Hs,ϕ(M,A) : s ∈ R, ϕ ∈ M} назовем уточненной шкалой на M,
соответствующей паре A.
В случае ϕ ≡ 1 пространство Hs,ϕ(M,A) также будем обозначать через Hs(M,
A). Hs(M,A) — это пространство бесселевых потенциалов на M порядка s. Из-
вестно, что оно гильбертово и с точностью до эквивалентности норм не зависит от
выбора пары A.
Покажем, что любое пространство Hs,ϕ(M,A), s ∈ R, ϕ ∈ M, получается
интерполяцией в шкале пространств бесселевых потенциалов на M. Отсюда будет
следовать, что Hs,ϕ(M,A) также не зависит от A.
Теорема 3.5. Пусть заданы функция ϕ ∈ M и положительные числа ε, δ.
Тогда для произвольного s ∈ R справедливо следующее равенство пространств с
эквивалентностью норм в них:[
Hs−ε(M,A), Hs+δ(M,A)
]
ψ
= Hs,ϕ(M,A). (3.12)
Здесь ψ — интерполяционный параметр из формулировки теоремы 3.1.
Доказательство. Известно, что содержащаяся в левой части (3.12) пара про-
странств бесселевых потенциалов допустима. Равенство (3.12) выведем из тео-
рем 3.1 и 3.3 с помощью стандартного приема „распрямления многообразия M”.
В силу определения уточненной шкалы на M линейное отображение „распрям-
ления”
T : f 7→ ((χ1f) ◦ α1, . . . , (χrf) ◦ αr , f ∈ D ′(M),
задает изометрические операторы
T : Hσ(M,A) →
r∏
j=1
Hσ(Πj), σ ∈ R, (3.13)
T : Hs,ϕ(M,A) →
r∏
j=1
Hs,ϕ(Πj). (3.14)
Поскольку параметр ψ интерполяционный, из (3.13) для σ = s − ε и σ = s + δ
следует ограниченный оператор
T :
[
Hs−ε(M,A), Hs+δ(M,A)
]
ψ
→
r∏
j=1
Hs−ε(Πj),
r∏
j=1
Hs+δ(Πj)
ψ
.
Но в силу предложения 2.1 и теорем 3.1 (для Πj = Rn) и 3.3 (для Πj = Rn+)
справедливо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
360 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ r∏
j=1
Hs−ε(Πj),
r∏
j=1
Hs+δ(Πj)
ψ
=
=
r∏
j=1
[
Hs−ε(Πj), Hs+δ(Πj)
]
ψ
=
r∏
j=1
Hs,ϕ(Πj) (3.15)
с эквивалентностью норм. Значит, последний ограниченный оператор принимает
вид
T :
[
Hs−ε(M,A), Hs+δ(M,A)
]
ψ
→
r∏
j=1
Hs,ϕ(Πj). (3.16)
Построим для T левый обратный операторK. Для каждого j = 1, . . . , r возьмем
такую функцию ηj ∈ C∞
0 (Πj), что ηj = 1 на множестве α−1
j (supp χj). Рассмотрим
линейное отображение
K : (h1, . . . , hr) 7→
r∑
j=1
Θj
(
(ηjhj) ◦ α−1
j
)
,
заданное на векторах (h1, . . . , hr), компоненты hj которых являются распреде-
лениями на Πj . Здесь (ηjhj) ◦ α−1
j — такое распределение на Uj ∩ M, что его
представитель в локальной карте αj имеет вид ηjhj . Кроме того, Θj — опера-
тор продолжения нулем с Uj ∩M на M. Очевидно, Θj корректно определен на
распределениях вида (ηjhj) ◦ α−1
j . В силу выбора функций χj , ηj имеем
KTf =
r∑
j=1
Θj
(
(ηj ((χjf) ◦ αj)) ◦ α−1
j
)
=
=
r∑
j=1
Θj
(
(χjf) ◦ αj ◦ α−1
j
)
=
r∑
j=1
χjf = f,
т. е.
KTf = f,′ f ∈ D′
(M). (3.17)
Покажем теперь, что сужение отображения K является ограниченным операто-
ром
K :
r∏
j=1
Hs,ϕ(Πj) → Hs,ϕ(M,A). (3.18)
Для произвольного вектора (h1, . . . , hr) из левого пространства в (3.18) запишем∥∥K(h1, . . . , hr)
∥∥2
Hs, ϕ(M,A)
=
r∑
l=1
∥∥(χlK(h1, . . . , hr)) ◦ αl
∥∥2
Hs, ϕ(Πl)
=
=
r∑
l=1
∥∥∥∥∥∥
χl r∑
j=1
Θj
(
(ηjhj) ◦ α−1
j
) ◦ αl
∥∥∥∥∥∥
2
Hs,ϕ(Πl)
=
=
r∑
l=1
∥∥∥∥∥∥
r∑
j=1
(ηj,l hj) ◦ βj,l
∥∥∥∥∥∥
2
Hs,ϕ(Πl)
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. II 361
≤
r∑
l=1
r∑
j=1
∥∥(ηj,l hj) ◦ βj,l ∥∥Hs,ϕ(Πl)
2
. (3.19)
Здесь ηj,l = (χl ◦ αj) ηj ∈ C∞
0 (Πj), причем если supp ηj,l ⊆ Rn+ = Πj , то функция
ηj,l продолжается нулем на Rn и тогда ηj,l ∈ C∞
0 (Rn). Здесь также βj,l : Rn ↔ Rn
— такой C∞-диффеоморфизм, что βj,l = α−1
j ◦ αl в окрестности (в топологии
пространства Πj) множества supp ηj,l и, кроме того, βj,l(x) = x для всех x ∈ Rn,
достаточно больших по модулю. Как известно [5, c. 247; 11, c. 46], оператор умно-
жения на функцию класса C∞
0 (Rn) и оператор замены переменных u 7→ u ◦ βj,l
ограничены в каждом пространстве Hσ(Rn), где σ ∈ R. Поэтому линейный опе-
ратор u 7→ (ηj,l u) ◦ βj,l ограничен как оператор из Hσ(Πj) в Hσ(Πl). Взяв здесь
сначала σ = s − ε, а затем σ = s + δ и воспользовавшись интерполяционны-
ми теоремами 3.1, 3.3, получим, что отображение hj 7→ (ηj,l hj) ◦ βj,l является
ограниченным оператором, действующим из Hs,ϕ(Πj) в Hs,ϕ(Πl). Следовательно,
соотношения (3.19) влекут оценку∥∥K(h1, . . . , hr)
∥∥2
Hs,ϕ(M,A)
≤ c
r∑
j=1
∥∥hj∥∥2
Hs,ϕ(Πj)
с постоянной c, не зависящей от (h1, . . . , hr). Это и означает ограниченность опе-
ратора (3.18) для любых s ∈ R, ϕ ∈ M. Отсюда как частный случай имеем огра-
ниченность операторов
K :
r∏
j=1
Hσ(Πj) → Hσ(M,A), σ ∈ R.
Возьмем их для σ = s− ε и σ = s+ δ и применим интерполяцию с параметром ϕ.
В силу (3.15) получим ограниченный оператор
K :
r∏
j=1
Hs,ϕ(Πj) →
[
Hs−ε(M,A), Hs+δ(M,A)
]
ψ
. (3.20)
Теперь из (3.14), (3.20) и (3.17) следует непрерывность вложения
I = KT : Hs,ϕ(M,A) →
[
Hs−ε(M,A), Hs+δ(M,A)
]
ψ
.
Обратное ему непрерывное вложение вытекает из (3.16) – (3.18). Тем самым спра-
ведливо равенство пространств (3.12) с эквивалентностью норм в них.
Теорема 3.5 доказана.
Следствие 3.1. Для произвольных s ∈ R, ϕ ∈ M пространство Hs,ϕ(M,A) с
точностью до эквивалентности норм не зависит от выбора пары A.
Доказательство. Известно [3, c. 82], что пространство бесселевых потенци-
алов на M не зависит (с точностью до эквивалентности норм) от выбора пары
A. Поэтому, взяв наряду с A еще одну пару A1 (того же типа, что и A), полу-
чим, что тождественный оператор I осуществляет топологические изоморфизмы
I : Hs∓ε(M,A) ↔ Hs∓ε(M,A1), ε > 0. Пусть теперь ψ — интерполяцион-
ный параметр из формулировки теоремы 3.1, в которой ε = δ > 0. Применив
интерполяцию с параметром ψ к этим изоморфизмам, получим топологический
изоморфизм
I :
[
Hs−ε(M,A), Hs+δ(M,A)
]
ψ
↔
[
Hs−ε(M,A1), Hs+δ(M,A1)
]
ψ
,
который в силу теоремы 3.5 таков, что I : Hs,ϕ(M,A) ↔ Hs,ϕ(M,A1), что и
требовалось доказать.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
362 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Следствие 3.1 позволяет в дальнейшем обозначать пространство Hs,ϕ(M,A)
через Hs,ϕ(M). При этом скалярное произведение в Hs,ϕ(M) будем вычислять с
помощью какой-либо фиксированной пары A.
Свойства уточненных шкал на M и Rn (или Rn+) аналогичны. Кроме того,
поскольку многообразие M компактно, для M некоторые вложения пространств
будут компактными.
Теорема 3.6. Пусть s ∈ R и ϕ,ϕ1 ∈M. Тогда:
а) пространство Hs,ϕ(M) полное;
б) справедливы компактные плотные вложения
Hs+ε(M) ↪→ Hs,ϕ(M) ↪→ Hs−ε(M), ε > 0, (3.21)
Hs+ε,ϕ1(M) ↪→ Hs,ϕ(M), ε > 0; (3.22)
в) множество C∞(M) плотно в Hs,ϕ(M);
г) если существует такая постоянная c > 0, что ϕ(t) ≤ c ϕ1(t) при t � 1,
то справедливо непрерывное плотное вложение
Hs, ϕ1(M) ↪→ Hs, ϕ(M); (3.23)
это вложение компактно, если ϕ(t)/ϕ1(t) → 0 при t→ +∞;
д) если выполняется (3.5), то справедливо компактное вложение
Hρ+n/2, ϕ(M) ↪→ Cρ(M ) при ρ ≥ 0; (3.24)
здесь Cρ(M ) — пространство Гельдера на M порядка ρ;
е) если многообразие M замкнуто, то пространства Hs,ϕ(M) и H−s,1/ϕ(M)
взаимно сопряжены относительно расширения по непрерывности скалярного про-
изведения в H0(M).
Доказательство. В силу теоремы 3.5 пространство Hs,ϕ(M) полное как
результат интерполяции двух гильбертовых пространств бесселевых потенциа-
лов. Непрерывные вложения (3.21) – (3.24) являются очевидными следствиями
теорем 3.2 б), г), д) и 3.4. В силу теоремы 3.5 и леммы 2.1 вложения (3.21) плот-
ные. Отсюда и из известной плотности множества C∞(M ) в Hs+ε(M) следует
плотность C∞(M ) в Hs,ϕ(M). Поэтому вложения (3.22), (3.23) также плотные.
Установим теперь компактность вложений. Начнем с (3.23). Предположим, что
ϕ(t)
ϕ1(t)
→ 0 при t → +∞. Тогда, согласно теореме 2.2.3 из монографии [3, c. 56]
или теореме 8.1 из обзора [4, c. 48], для произвольного компакта E ⊆ Rn справед-
ливо компактное вложение
{u ∈ Hs,ϕ1(Rn) : suppu ⊆ E } ↪→ Hs,ϕ(Rn). (3.25)
Воспользуемся операторoм „распрямления” T и левым обратным к нему операто-
ром K из доказательства теоремы 3.5. Это ограниченные операторы вида
T : Hs,ϕ1(M) →
r∏
j=1
{u ∈ Hs,ϕ1(Πj) : suppu ⊆ Ej }
и (3.18). Здесь Ej = α−1(suppχj) — компакт в Rn. Компактное вложение (3.25)
влечет компактный оператор вложения
I :
r∏
j=1
{u ∈ Hs,ϕ1(Πj) : suppu ⊆ Ej } →
r∏
j=1
Hs,ϕ(Πj).
Следовательно, оператор вложения (3.23) компактен, поскольку он равен KIT. От-
сюда вытекает компактность вложения (3.22) для произвольных ϕ,ϕ1 ∈M, так как
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. II 363
оно является композицией компактного и непрерывного вложений Hs+ε, ϕ1(M) ↪→
↪→ Hs+ε, ϕ2(M) ↪→ Hs, ϕ(M), где функцию ϕ2 ∈M выбираем, например, так, что-
бы ϕ2(t) =
ϕ1(t)
ln t
при t� 1. Теперь вложения (3.21) также компактны как частные
случаи (3.22). Докажем компактность последнего вложения (3.24). Пусть выпол-
няется (3.5). Как отмечалось в замечании 3.1, без ограничения общности можно
считать функцию ϕ ∈ M непрерывной. Тогда в силу предложения 1.3 г) функция
ψ1 = ϕ2 удовлетворяет условию леммы 1.2. Пусть ψ0 — функция из формулиров-
ки этой леммы. Тогда ϕ0 =
√
ψ0 ∈ M удовлетворяет условию
ϕ0(t)
ϕ(t)
→ 0 при
t→ +∞ и неравенству (3.5) с ϕ0 вместо ϕ. Следовательно, согласно доказанному,
Hρ+n/2, ϕ(M) ↪→ Hρ+n/2, ϕ0(M) ↪→ Cρ(M ), ρ ≥ 0,
причем первое вложение компактно, а второе непрерывно. Тем самым установлена
компактность вложения (3.24). Пункты а) – д) теоремы доказаны. Последний п. е)
выводится из теоремы 3.2 е) аналогично частному случаю ϕ ≡ 1 пространств
бесселевых потенциалов.
Теорема доказана.
Отметим важный частный случай, когда M — открытое множество в Rn. Тогда
Hs,ϕ(M) можно определить с помощью глобальных координат в Rn аналогично
пространству Hs,ϕ(Rn+). А именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 3.7. Пусть компактное многообразие M класса C∞ с непустым
краем ∂M такое, что M = M \ ∂M является открытым множеством в Rn.
Тогда Hs,ϕ(M), s ∈ R, ϕ ∈ M, состоит из сужений на M всех распределений из
Hs,ϕ(Rn). При этом норма распределения g в Hs,ϕ(M) эквивалентна норме
inf
{∥∥f∥∥
Hs,ϕ(Rn)
: f ∈ Hs,ϕ(Rn), f = g на M
}
.
Доказательство. В случае ϕ ≡ 1 эта теорема хорошо известна (см., на-
пример, [5, с. 273 – 275], предложение 3.2.3). Для произвольного ϕ ∈ M она
доказывается аналогично. Впрочем ее легко вывести из случая ϕ ≡ 1 интерполя-
цией. Действительно, в этом случае существует линейный ограниченный оператор
RM : Hσ(Rn) → Hσ(M), σ ∈ R, сужения распределения с Rn на M. Известно [9,
c. 386], что для любого целого k > 0 оператор RM имеет линейный ограниченный
правый обратный оператор TM,k : Hσ(M) → Hσ(Rn), |σ| < k, продолжающий
распределение с M на Rn. Пусть теперь s ∈ R, ϕ ∈ M, ε > 0. Возьмем такое
целое k, чтобы |s∓ ε| < k. Пусть ψ — интерполяционный параметр из теорем 3.1
и 3.5 для ε = δ. Применим эти теоремы к пространствам, в которых действуют
операторы RM и TM,k, рассмотренные для σ = s ∓ ε. Получим ограниченные
операторы RM : Hs,ϕ(Rn) → Hs,ϕ(M) и TM,k : Hs,ϕ(M) → Hs,ϕ(Rn). Отсюда
непосредственно следует утверждение теоремы.
В заключение этого пункта докажем для уточненной шкалы теорему о следах
распределений на краю многообразия. Предположим далее, что Ω — бесконеч-
но гладкое компактное многообразие размерности n ≥ 2 с непустым краем Γ.
Поскольку Γ — замкнутое многообразие размерности n − 1, то на Γ, как и на
Ω = Ω \Γ, определены уточненные шкалы.
Теорема 3.8. Рассмотрим линейное отображение
f → f � Γ — след функции f на Γ (f ∈ C∞(Ω)). (3.26)
Тогда:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
364 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
а) отображение (3.26) продолжается по непрерывности до ограниченного
оператора
RΓ : Hs+1/2, ϕ(Ω) → Hs,ϕ(Γ), s > 0, ϕ ∈M, (3.27)
который имеет ограниченный правый обратный оператор
SΓ : Hs,ϕ(Γ) → Hs+1/2, ϕ(Ω), s > 0, ϕ ∈M, (3.28)
такой, что SΓ не зависит от s, ϕ;
б) если ϕ ∈ M удовлетворяет условию (3.5), то отображение (3.26) продол-
жается по непрерывности до ограниченного оператора
RΓ : H1/2, ϕ(Ω) → H0, ϕ0(Γ), (3.29)
где функция ϕ0 ∈M определяется по формуле
ϕ0(τ) =
+∞∫
τ
d t
t ϕ2(t)
−1/2
, τ ≥ 1; (3.30)
этот оператор имеет ограниченный правый обратный
SΓ, ϕ : H0, ϕ0(Γ) → H1/2, ϕ(Ω), (3.31)
зависящий от ϕ.
Доказательство. Установим сначала п. а). Мы выведем его из аналогичной
теоремы о следах для пространств бесселевых потенциалов на Rn+. Рассмотрим
линейное отображение R+
0 : v(x′, xn) 7→ v(x′, 0), v ∈ C∞
0 (Rn+), сопоставляющее
функции v(x′, xn) аргументов x′ ∈ Rn−1, xn ∈ R ее след v(x′, 0) на гиперплоскос-
ти xn = 0. Известно [9, c. 267], что это отображение продолжается по непрерыв-
ности до ограниченного оператора R+
0 : Hσ+1/2(Rn+) → Hσ(Rn−1), σ > 0, кото-
рый имеет линейный ограниченный правый обратный оператор S+
0 : Hσ(Rn−1) →
→ Hσ+1/2(Rn+), σ > 0, не зависящий от σ. Пусть s > 0, ϕ ∈ M. Применим ин-
терполяционные теоремы 3.1 и 3.3 к операторам R+
0 и S+
0 , рассмотренным для
σ = s∓ ε, где ε =
s
2
> 0. Получим ограниченные операторы
R+
0 : Hs+1/2, ϕ(Rn+) → Hs, ϕ(Rn−1), (3.32)
S+
0 : Hs, ϕ(Rn−1) → Hs+1/2, ϕ(Rn+). (3.33)
Из них легко „склеить” операторы RΓ и SΓ с помощью оператора T и левого
обратного к нему оператора K из доказательства теоремы 3.5. Действительно,
положим RΓ f = KR+
0 Tf, f ∈ Hs+1/2, ϕ(Ω), и SΓg = KS+
0 Tg, g ∈ Hs, ϕ(Γ).
Здесь операторы R+
0 и S+
0 действуют на векторах
Tf ∈
r∏
j=1
Hs+1/2, ϕ(Πj) и Tg ∈
(
Hs, ϕ(Rn−1)
)r
покомпонентно, причем если Γ ∩ suppχj = ∅, то значение R+
0 на j-й компо-
ненте вектора Tf, а также j-ю компоненту вектора Tg полагаем равными нулю.
Теперь ограниченные операторы (3.32), (3.33) и (3.13), (3.14) (два последних мы
рассматриваем как для M = Ω, так и для M = Γ) влекут ограниченность опера-
торов (3.27), (3.28). При этом ясно, что (3.27) продолжает отображение (3.26), т.
е. RΓ — оператор следа на Γ. Остается показать, что RΓ SΓ = I — тождественный
оператор. Для этого воспользуемся равенством
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. II 365
RΓKh = KR+
0 h, h ∈
r∏
j=1
Hs+1/2, ϕ(Πj).
Оно очевидно на векторах класса C∞ и затем продолжается по непрерывности
на указанные векторы h. Имеем RΓ SΓ = RΓKS
+
0 T = KR+
0 S
+
0 T = K T = I.
Пункт а) доказан.
Докажем п. б). Мы выведем его из теоремы о следах для пространств Во-
левича – Панеяха [4, с. 36 – 39] (теоремы 6.1, 6.2). Пусть ϕ ∈ M удовлетворяет
(3.5). Как отмечено в замечании 3.1, мы можем считать, без ограничения общно-
сти, что функция ϕ непрерывна на [1;+∞). Тогда H1/2,ϕ(Rn) совпадает с про-
странством Волевича – Панеяха Hµ = Hµ(Rn), где µ(ξ) = 〈ξ〉1/2ϕ(〈ξ〉) — весовая
функция аргумента ξ ∈ Rn. В силу упомянутых теорем линейное отображение
R0 : u(x′, xn) 7→ u(x′, 0), u ∈ C∞
0 (Rn), прoдолжается по непрерывности до огра-
ниченного оператора
R0 : Hµ(Rn) → Hν(Rn−1) (3.34)
тогда и только тогда, когда
ν−2(ξ′) =
+∞∫
−∞
µ−2(ξ′, ξn) d ξn < +∞, ξ′ ∈ Rn−1. (3.35)
Здесь Hν(Rn−1) — пространство Волевича – Панеяха на Rn−1. Кроме того, если
выполняется последнее условие, то оператор (3.34) имеет линейный ограниченный
правый обратный
S0, ϕ : Hν(Rn−1) → Hµ(Rn), (3.36)
причем S0, ϕ зависит от µ, т. е. от ϕ. Перейдем от пространств Волевича – Панеяха
к соответствующим пространствам уточненных шкал. Имеем
ν−2(ξ′ ) =
+∞∫
−∞
µ−2(ξ′, ξn) d ξn = 2
+∞∫
0
d ξn
〈ξ〉ϕ2(〈ξ〉)
= 2
+∞∫
〈ξ′〉
d t
(t2 − 〈ξ′〉2)1/2 ϕ2(t)
при любом ξ′ ∈ Rn−1 (последнее равенство пoлучено заменой переменной t =
= 〈ξ〉 = (〈ξ′〉2 + ξ2n)
1/2). Отсюда и из леммы 1.3 для ψ1 = ϕ2, τ = 〈ξ′〉 выте-
кает неравенство ϕ−2
0 (τ) ≤ (1/2) ν−2(ξ′ ) ≤ c ϕ−2
0 (τ), ξ′ ∈ Rn−1, τ = 〈ξ′〉, где
функция ϕ0 определена по формуле (3.30). Следовательно, условия (3.5) и (3.35)
равносильны и Hν(Rn−1) = H0,ϕ0(Rn−1) с эквивалентностью норм. Заметим
здесь, что ϕ0 ∈ M. Это вытекает из того, что, как показано при доказательстве
леммы 1.2, ϕ−2
0 ∈ SV. Таким образом, операторы (3.34), (3.36) существуют и
R0 : H1/2, ϕ(Rn) → H0,ϕ0(Rn−1), S0,ϕ : H0,ϕ0(Rn−1) → H1/2, ϕ(Rn). Перейдем
от них к аналогичным операторам для Rn+. Для этого нам понадобится оператор
R+ сужения распределения с Rn на Rn+ и оператор Tn+1, правый обратный к R+,
из доказательства теоремы 3.3. Эти операторы линейны и ограничены в таких
парах пространств:
R+ : H1/2, ϕ(Rn) → H1/2, ϕ(Rn+),
(3.37)
Tn+1 : Hσ(Rn+) → Hσ(Rn), |σ| < n+ 1.
Ограниченность (3.37) в силу интерполяционных теорем 3.1 и 3.3 влечет ограни-
ченность оператора Tn+1 : H1/2, ϕ(Rn+) → H1/2, ϕ(Rn). Отсюда вытекает ограни-
ченность операторов
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
366 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
R+
0 = R0Tn+1 : H1/2, ϕ(Rn+) → H0, ϕ0(Rn−1), (3.38)
S+
0,ϕ = R+S0,ϕ : H0, ϕ0(Rn−1) → H1/2, ϕ(Rn+). (3.39)
При этом R+
0 сопоставляет функции v(x′, xn) класса C∞
0 (Rn+) ее след v(x′, 0)
на гиперплоскости xn = 0. Действительно, в силу теоремы вложения Соболе-
ва оператор (3.37) влечет Tn+1 v ∈ Hn(Rn) ↪→ C(Rn). Следовательно, R+
0 v =
= R0Tn+1v = v(x′, 0). Кроме того, оператор S+
0,ϕ является правым обратным
к R+
0 . Действительно, для произвольного u ∈ C∞
0 (Rn) справедливо Tn+1R+u ∈
∈ Hn(Rn) ↪→ C(Rn). Поэтому функцияR0Tn+1R+u вычисляется поточечно и рав-
на R0u. Отсюда предельным переходом получаем равенство R0Tn+1R+u = R0u,
u ∈ H1/2, ϕ(Rn). Положив в нем u = S0,ϕ ω, где ω ∈ H0, ϕ0(Rn−1), запишем
R+
0 S
+
0 ω = R0Tn+1R+ S0,ϕ ω = R0 S0,ϕ ω = ω. Таким образом, мы имеем опера-
тор следа (3.38) и правый обратный к нему оператор продолжения (3.39). Отсюда,
как и при доказательстве п. а), следует, что RΓ = KR+
0 T и SΓ,ϕ = KS+
0,ϕ T —
искомые операторы (3.29) и (3.31). Пункт б), а с ним и теорема 3.8 доказаны.
Замечание 3.4. Из уже упомянутой теоремы 6.1 [4, c. 36] следует, что усло-
вие (3.5) является необходимым и достаточным для того , чтобы отображение (3.26)
продолжалось до непрерывного оператора следа R0 : H1/2, ϕ(Ω) → D′(Γ).
В завершение этого пункта приведем описание некоторых пространств уточ-
ненной шкалы на Γ, вытекающее из теоремы 3.8.
Следствие 3.2. 1. Для произвольных s > 0, ϕ ∈ M справедливо Hs,ϕ(Γ) =
= {RΓf : f ∈ Hs+1/2, ϕ(Ω)}, причем норма распределения h в Hs, ϕ(Γ) эквива-
лентна норме
inf
{∥∥f∥∥
Hs+1/2, ϕ(Ω)
: RΓf = h
}
. (3.40)
2. Если ϕ ∈M удовлетворяет условию (3.5), то для функции ϕ0 ∈M, опреде-
ленной по формуле (3.30), справедливо H0, ϕ0(Γ) =
{
RΓf : f ∈ H1/2, ϕ(Ω)
}
, при
этом норма распределения h в H0, ϕ0(Γ) эквивалентна норме (3.40), где s = 0.
Данное описание некоторых („позитивных”) пространств уточненной шкалы
на Γ как пространств следов особенно важно, когда Ω — открытое множество в
Rn. В этом случае в силу теоремы 3.7 такие пространства допускают определение
с помощью глобальных координат в Rn согласно следствию 3.2. При этом в
последнем утверждении вместо Ω можно взять Rn.
4. Эллиптическая краевая задача в уточненной шкале пространств. Пред-
полагаем, как и ранее, что Ω — бесконечно гладкое компактное многообразие
размерности n ≥ 2 с непустым краем Γ. Положим Ω = Ω \ Γ. Из этого пред-
положения следует, что Γ — бесконечно гладкое замкнутое многообразие размер-
ности n − 1. Зафиксируем какую-либо пару A, состоящую из конечного атла-
са из C∞-структуры на Ω и подчиненного ему C∞-разбиения единицы на Ω.
Пусть AΓ — пара, образованная сужениями на Γ этих атласа и разбиения едини-
цы. Рассмотрим на Ω и на Γ уточненные шкалы {Hs, ϕ(Ω) : s ∈ R, ϕ ∈ M} и
{Hs, ϕ(Γ) : s ∈ R, ϕ ∈ M}, построенные с помощью пар A и AΓ соответственно.
Если ϕ ≡ 1, то Hs, ϕ(Ω) = Hs(Ω) и Hs, ϕ(Γ) = Hs(Γ) — это пространства бес-
селевых потенциалов на Ω и Γ. Отметим, что H0(Ω) = L2(Ω) и H0(Γ) = L2(Γ)
— гильбертовы пространства функций, квадраты которых суммируемы на Ω и Γ
относительно C∞-плотностей, определяемых парами A и AΓ. Обозначим через
(·, ·)Ω и (·, ·)Γ скалярные произведения в L2(Ω) и L2(Γ) соответственно.
Рассмотрим на Ω следующую краевую задачу:
Lu = f на Ω, Bj u = gj на Γ, j = 1, . . . , k. (4.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. II 367
Здесь L — линейный дифференциальный оператор на Ω с бесконечно гладкими
коэффициентами; порядок оператора L четный и равен 2k ≥ 2. Здесь, кроме
того, Bj , j = 1, . . . , k, — краевые линейные дифференциальные операторы на Γ
с бесконечно гладкими коэффициентами; порядок оператора Bj равен mj < 2k.
Положим m = max{m1, . . . ,mk}.
Всюду далее будем предполагать, что задача (4.1) эллиптическая. Это означает
(см., например, [12, c. 6, 7]), что оператор L эллиптический на Ω и правильно
эллиптический на Γ, а система {B1, . . . , Bk} удовлетворяет на Γ условию Шапиро –
Лопатинского по отношению к L.
Для эллиптических краевых задач известны теоремы о разрешимости и оцен-
ки решений в различных классах функциональных пространств (см. [2, 4, 8 – 11,
13 – 15] и обзор [12]). Нам понадобится следующее утверждение о разрешимости
эллиптической краевой задачи (4.1) в пространствах бесселевых потенциалов (см.
[14, c. 128 – 130]). Предварительно напомним, что линейный ограниченный опера-
тор T : X → Y, где X, Y — банаховы пространства, называется нетеровым, если
его ядро и коядро (т. е. ядро сопряженного оператора) конечномерны и, кроме
того, область значений оператора T замкнута в Y.
Предложение 4.1. Пусть σ > m+
1
2
. Тогда линейное отображение
u 7→ Λu = (Lu,B1 u, . . . , Bk u), u ∈ C∞( Ω), (4.2)
продолжается по непрерывности до ограниченного нетерова оператора
Λ : Hσ(Ω) → Hσ = Hσ−2k(Ω)×
k∏
j=1
Hσ−mj−1/2(Γ). (4.3)
При этом ядро N и коядро N∗ этого оператора не зависят от σ и состоят из
бесконечно гладких элементов:
N ⊂ C∞( Ω ), N∗ ⊂ C∞( Ω )× (C∞(Γ) )k. (4.4)
Замечание 4.1. Последнее включение нуждается в пояснении. Оно означа-
ет, что функционалы из N∗ — ядра оператора, сопряженного к (4.3), имеют вид
(·, w0)Ω + (·, w1)Γ + . . . + (·, wk)Γ для некоторых функций w0 ∈ C∞(Ω ), w1, . . .
. . . , wk ∈ C∞(Γ). Следовательно, область значений оператора (4.3) состоит из всех
таких векторов (f, g1, . . . , gk) ∈ Hσ, что (f, w0)Ω + (g1, w1)Γ + . . .+ (gk, wk)Γ = 0
для любого (w0, w1, . . . , wk) ∈ N∗. Здесь необходимо иметь в виду следующее. По-
скольку σ > m+
1
2
, то gj ∈ L2(Γ) и скалярное произведение (gj , wj)Γ определено
для j = 1, . . . , k. Далее, если σ ≥ 2k, то f ∈ L2(Ω) и (f, w0)Ω также опреде-
лено. Остается случай m +
1
2
< σ < 2k; тогда, вообще говоря, f /∈ L2(Ω), но
форма (·, w0)Ω продолжается по непрерывности на Hσ−2k(Ω). Значит, в этом слу-
чае (f, w0)Ω обозначает продолжение по непрерывности скалярного произведения
в L2(Ω).
Отметим, что в предложении 4.1 в полной мере используется теорема о следах
для пространств бесселевых потенциалов. Так, если σ = m + 1/2, то оператор
следа Bj не определен на Hσ(Ω) для всех j таких, что mj = m (см. теорему 3.8 и
замечание 3.4 в случае ϕ ≡ 1).
Всюду далее N и N∗ будут обозначать ядро и коядро оператора Λ, фигуриру-
ющие в предложении 4.1. Поскольку N и N∗ являются конечномерными и беско-
нечно гладкими, в уточненных шкалах существуют проекторы на подпространства,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
368 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
ортогональные соответственно N и N∗ относительно скалярных произведений в
L2(Ω) и L2(Ω)× (L2(Γ))k. А именно, справедливы следующие две леммы.
Лемма 4.1. Пусть s > 0, ϕ ∈M. Тогда для произвольного u ∈ Hs, ϕ(Ω) суще-
ствует единственный элемент u0 ∈ N такой, что (u − u0, v)Ω = 0 для любого
v ∈ N. При этом отображение P : u 7→ u1 = u − u0 является линейным огра-
ниченным оператором проектирования пространства Hs, ϕ(Ω) на его замкнутое
подпространство
{u1 ∈ Hs, ϕ(Ω) : (u1, v)Ω = 0 для любого v ∈ N} , (4.5)
причем Pu не зависит от s и ϕ.
Доказательство. Сначала отметим, что, поскольку Hs, ϕ(Ω) ↪→ L2(Ω) (усло-
вие s > 0) и N ⊂ C∞( Ω ) (предложение 4.1), скалярное произведение (u, v)Ω
определено для любых u ∈ Hs, ϕ(Ω), v ∈ N. Поэтому можно отождествить эле-
мент v ∈ N с линейным функционалом (·, v)Ω на Hs, ϕ(Ω). Этот функционал
ограничен:∣∣ (u, v)Ω ∣∣ ≤ ∥∥u ∥∥L2(Ω)
∥∥ v ∥∥
L2(Ω)
≤ const
∥∥u ∥∥
Hs, ϕ(Ω)
∥∥ v ∥∥
L2(Ω)
, u ∈ Hs, ϕ(Ω).
Отсюда вытекает, что подпространство (4.5) замкнуто в Hs, ϕ(Ω). Далее, соглас-
но предложению 4.1 N — конечномерное подпространство в Hs, ϕ(Ω). Ясно, что
dimN совпадает с коразмерностью подпространства (4.5), причем N и (4.5) имеют
тривиальное пересечение. Следовательно, Hs, ϕ(Ω) разлагается в прямую сумму
замкнутых подпространств N и (4.5) с ограниченным проектором P на (4.5), кото-
рый, очевидно, не зависит от s и ϕ.
Лемма 4.2. Пусть s > m+
1
2
, ϕ ∈M. Положим
Hs, ϕ = Hs−2k, ϕ(Ω)×
k∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ). (4.6)
Обозначим через (·, ·)Ω,Γ скалярное произведение в L2(Ω) × (L2(Γ) )k, а также
его расширение по непрерывности. Тогда для произвольного F ∈ Hs, ϕ существу-
ет такой единственный вектор F0 ∈ N∗, что (F − F0, W )Ω,Γ = 0 для любого
W ∈ N∗. При этом отображение Q : F 7→ F1 = F − F0 является линейным
ограниченным оператором проектирования пространства (4.6) на его замкнутое
подпространство {
F1 = (f, g1, . . . , gk) ∈ Hs, ϕ : (F1,W )Ω,Γ ≡
≡ (f, w0)Ω + (g1, w1)Γ + . . .+ (gk, wk)Γ = 0
для любого W = (w0, w1, . . . , wk) ∈ N∗
}
, (4.7)
причем QF не зависит от s и ϕ.
Доказательство. Пусть W ∈ N∗. Согласно предложению 4.1 (см. также за-
мечание 4.1), форма (·,W )Ω,Γ определяет линейный ограниченный функционал
на пространстве Hσ при любом σ > m +
1
2
. В силу интерполяционной теоре-
мы 3.5 для ε = δ > 0 и предложения 2.1 справедливо Hs, ϕ = [Hs−ε,Hs+ε]ψ с
эквивалентностью норм. Отсюда вытекает, что (·,W )Ω,Γ — линейный ограничен-
ный функционал на Hs, ϕ. Поэтому подпространство (4.7) замкнуто в Hs, ϕ. Далее
рассуждаем, как и при доказательстве предыдущей леммы. А именно, согласно
предложению 4.1, N∗ — конечномерное подпространство в Hs, ϕ. При этом dimN∗
равно коразмерности подпространства (4.7) и, кроме того, N∗ и (4.7) имеют триви-
альное пересечение. Следовательно, Hs, ϕ разлагается в прямую сумму замкнутых
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. II 369
подпространств N∗ и (4.7) с ограниченным проектором Q на (4.7), который не
зависит от s и ϕ, что и требовалось доказать.
Установим теперь основной результат этого пункта — теорему о свойствах опе-
ратора эллиптической краевой задачи (4.1) в уточненной шкале пространств.
Теорема 4.1. Пусть s > m+
1
2
, ϕ ∈M. Тогда отображение (4.2) продолжа-
ется по непрерывности до ограниченного нетерового оператора
Λ : Hs, ϕ(Ω) → Hs, ϕ = Hs−2k, ϕ(Ω)×
k∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ) (4.8)
с ядром N и коядром N∗ (которые в силу предложения 4.1 не зависят от s, ϕ и
удовлетворяют (4.4)). Сужение оператора (4.8) на подпространство (4.5) осуще-
ствляет топологический изоморфизм
Λ : P (Hs, ϕ(Ω) ) ↔ Q(Hs, ϕ ) (4.9)
между пространствами (4.5) и (4.7). Кроме того, справедлива оценка∥∥u ∥∥
Hs, ϕ(Ω)
≤ c
(∥∥Λu
∥∥
Hs, ϕ
+
∥∥u ∥∥
L2(Ω)
)
, u ∈ Hs, ϕ(Ω), (4.10)
в которой постоянная c не зависит от u.
Как видим, оператор (4.8) эллиптической краевой задачи оставляет инвари-
антным индекс ϕ, уточняющий основную s-гладкость пространства. При этом
свойства оператора аналогичны частному случаю ϕ ≡ 1 пространств бесселевых
потенциалов.
Мы выведем теорему 4.1 из предложения 4.1 с помощью интерполяции с функ-
циональным параметром. При этом используем один результат Жеймона [16, c. 280,
281] (предложение 5.2) об интерполяции операторов с конечными индексами.
Применительно к данному случаю этот результат переформулируем следующим
образом.
Предложение 4.2. Пусть заданы две допустимые пары [X0, X1] и [Y0, Y1] гиль-
бертовых пространств, а также на X0 линейное отображение T, для которого
справедливы ограниченные нетеровы операторы T : Xj → Yj , j = 0; 1, имеющие
общее ядро N и общее коядро N∗. Тогда для произвольного интерполяционного
параметра ψ ограниченный оператор T : [X0, X1]ψ → [Y0, Y1]ψ нетеров с ядром
N и коядром N∗.
Доказательство теоремы 4.1. Возьмем такое число ε > 0, чтобы s−ε > m+
1
2
.
Согласно предложению 4.1, имеют место нетеровы операторы (4.3) для σ = s ∓ ε
с общим ядром N и общим коядром N∗. Применим к этим операторам интер-
поляцию с параметром ψ из теоремы 3.5, в которой примем ε = δ, M = Ω и
затем M = Γ. В силу предложения 4.2 получаем ограниченный нетеров оператор,
имеющий ядро N, коядро N∗ и совпадающий с (4.8) на основании теоремы 3.5
и предложения 2.1. (Поскольку C∞( Ω ) плотно в Hs, ϕ(Ω), этот оператор явля-
ется продолжением по непрерывности отображения (4.2).) Теперь из лемм 4.1,
4.2 непосредственно вытекает алгебраический изоморфизм (4.9). Так как опера-
тор (4.9) ограничен, этот изоморфизм является топологическим в силу теоремы
Банаха об обратном операторе. Осталось доказать оценку (4.10). Воспользуем-
ся леммой 4.1 и запишем распределение u ∈ Hs, ϕ(Ω) в виде u = u0 + u1, где
u0 = (1− P )u ∈ N, u1 = P u ∈ P (Hs, ϕ(Ω)). В силу (4.9)∥∥u1
∥∥
Hs, ϕ(Ω)
≤ c1
∥∥Λu1
∥∥
Hs, ϕ
= c1
∥∥Λu
∥∥
Hs, ϕ
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
370 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Кроме того, поскольку N конечномерно и 1− P — ортопроектор на N в L2(Ω), то∥∥u0
∥∥
Hs, ϕ(Ω)
≤ c0
∥∥u0
∥∥
L2(Ω)
≤ c0
∥∥u ∥∥
L2(Ω)
.
Здесь постоянные c0 и c1 не зависят от u. Сложив эти неравенства, получим (4.10).
Теорема 4.1 доказана.
Замечание 4.2. В связи с последней теоремой отметим еще раз статью Г. Шлен-
зак [7]. В этой работе с помощью интерполяции с функциональным параметром
доказана теорема об изоморфизме для оператора регулярной эллиптической крае-
вой задачи, который действует в некоторых пространствах Хермандера – Волевича –
Панеяха, заданных в бесконечно гладкой области. Эти пространства отличны от
рассматриваемых нами (см. замечание 3.2).
Замечание 4.3. Если сравнить теорему 4.1 и п. б) теоремы 3.8, то возникает
вопрос: можно ли распространить теорему 4.1 на предельный случай s = m +
1
2
для ϕ ∈ M, удовлетворяющего условию (3.5)? При этом в (4.8) для всех j
таких, что mj = m, вместо Hs−mj−1/2, ϕ(Γ) будем использовать пространство
Hs−mj−1/2, ϕ0(Γ), где ϕ0 определено по формуле (3.30). Ответ на сформулирован-
ный вопрос отрицательный.
1. Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных
пространств // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 5. – С. 689 – 696.
2. Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. I
// Там же. – 2006. – 58, № 2. – С. 217 – 235.
3. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.:
Мир, 1965. – 380 с.
4. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложе-
ния // Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
5. Трибель Х. Теория функциональных пространств. – М.: Мир, 1986. – 447 с.
6. Edmunds D. E., Triebel H. Function spaces, entropy numbers, differential operators // Cambridge
Tracts Math. – 1999. – № 120. – 252 p.
7. Шлензак Г. Эллиптические задачи в уточненной шкале пространств // Вестн. Моск. ун-та. –
1974. – № 4. – С. 48 – 58.
8. Функциональный анализ / Под общ. ред. С. Г. Крейна. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
9. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные опера-
торы. – М.: Мир, 1980. – 664 с.
10. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными:
В 4 т. – Т. 3. Псевдодифференциальные операторы. – М.: Мир, 1987. – 696 с.
11. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир,
1971. – 372 с.
12. Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci., 79. Part. Different. Equat. –
Berlin: Springer, 1997. – P. 1 – 144.
13. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений
в частных производных при общих граничных условиях. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. –
Т. 1. – 206 с.
14. Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. – М.: Наука, 1984. –
360 с.
15. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer
Acad. Publ., 1996. – 427 p.
16. Geymonat G. Sui problemi ai limiti per i sistemi lineari ellittici // Ann. mat. pura ed appl. Ser. 4. –
1965. – 69 – P. 207 – 284.
Получено 11.10.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
|