Узгоджено бігамільтонові суперконформні аналоги інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем
За допомогою співвідношення для функціоналів Казіміра центральних розширень алгебри Лі суперконформних парних векторних полів та її приєднаної напівпрямої суми отримано узгоджено бігамільтонові супераналоги відомих інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем....
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165148 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Узгоджено бігамільтонові суперконформні аналоги інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем / О.Є. Гентош // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 7. — С. 887–900. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165148 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1651482020-02-13T01:27:29Z Узгоджено бігамільтонові суперконформні аналоги інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем Гентош, О.Є. Статті За допомогою співвідношення для функціоналів Казіміра центральних розширень алгебри Лі суперконформних парних векторних полів та її приєднаної напівпрямої суми отримано узгоджено бігамільтонові супераналоги відомих інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем. Compatibly bi-Hamiltonian superanalogs of the known Lax-integrable nonlinear dynamical systems are obtained by using a relation for the Casimir functionals of central extensions of the Lie algebra of superconformal even vector fields and its adjoint semidirect sum. 2006 Article Узгоджено бігамільтонові суперконформні аналоги інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем / О.Є. Гентош // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 7. — С. 887–900. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165148 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Гентош, О.Є. Узгоджено бігамільтонові суперконформні аналоги інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем Український математичний журнал |
| description |
За допомогою співвідношення для функціоналів Казіміра центральних розширень алгебри Лі суперконформних парних векторних полів та її приєднаної напівпрямої суми отримано узгоджено бігамільтонові супераналоги відомих інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем. |
| format |
Article |
| author |
Гентош, О.Є. |
| author_facet |
Гентош, О.Є. |
| author_sort |
Гентош, О.Є. |
| title |
Узгоджено бігамільтонові суперконформні аналоги інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем |
| title_short |
Узгоджено бігамільтонові суперконформні аналоги інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем |
| title_full |
Узгоджено бігамільтонові суперконформні аналоги інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем |
| title_fullStr |
Узгоджено бігамільтонові суперконформні аналоги інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем |
| title_full_unstemmed |
Узгоджено бігамільтонові суперконформні аналоги інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем |
| title_sort |
узгоджено бігамільтонові суперконформні аналоги інтегровних за лаксом нелінійних динамічних систем |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165148 |
| citation_txt |
Узгоджено бігамільтонові суперконформні аналоги інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем / О.Є. Гентош // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 7. — С. 887–900. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT gentošoê uzgodženobígamílʹtonovísuperkonformníanalogiíntegrovnihzalaksomnelíníjnihdinamíčnihsistem |
| first_indexed |
2025-07-14T17:58:46Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:58:46Z |
| _version_ |
1837646145515421696 |
| fulltext |
UDK 517.9
O. {. Hentoß (In-t prykl. probl. mexaniky i matematyky NAN Ukra]ny, L\viv)
UZHODÛENO BIHAMIL|TONOVI SUPERKONFORMNI
ANALOHY INTEHROVNYX ZA LAKSOM
NELINIJNYX DYNAMIÇNYX SYSTEM
Compatibly bi-Hamiltonian superanalogs of the known Lax-integrable nonlinear dynamical systems are
obtained by using the relationship for the Casimir functionals of central extensions of the Lie algebra of
superconformal even vector fields and its joint semidirect sum.
Za dopomohog spivvidnoßennq dlq funkcionaliv Kazimira central\nyx rozßyren\ alhebry Li
superkonformnyx parnyx vektornyx poliv ta ]] pry[dnano] napivprqmo] sumy otrymano uzhodΩe-
no bihamil\tonovi superanalohy vidomyx intehrovnyx za Laksom nelinijnyx dynamiçnyx system.
1. Vstup. V. H. Drinfel\d ta V. V. Sokolov [1] doslidΩuvaly zv’qzok uzhodΩe-
no bihamil\tonovo] ta intehrovno] za Laksom i[rarxi] rivnqn\ Korteveha – de Fri-
za na 2 π-periodyçnomu funkcional\nomu mnohovydi M ⊂ C∞( )R Z R2π ; z al-
hebrog Virasoro qk [dynym (z toçnistg do izomorfizmu) netryvial\nym cent-
ral\nym rozßyrennqm 2-kocyklom Hel\fanda – Fuksa alhebry Li V e c t ( S )
hladkyx vektornyx poliv na koli S. Zokrema, vony vstanovyly, wo kopry[dnana
diq alhebry Virasoro na ]] sprqΩenomu prostori heneru[ druhu hamil\tonovu
strukturu dlq i[rarxi] Korteveha – de Friza.
D. A. Lejtes ta B. L. Fejhin [2] dovely, wo isnugt\ try superanalohy alheb-
ry Virasoro u vyhlqdi netryvial\nyx central\nyx rozßyren\ alhebry Li super-
konformnyx vektornyx poliv na superkoli S
1|N � S ×( )�
Λ1
N
, qke [ supermnoho-
vydom z parnog koordynatog x ∈ S ta neparnymy koordynatamy θ1, θ2, … , θN,
pry N = 1, 2, 3.
Vykorystovugçy central\ne rozßyrennq alhebry Li g : = Vect S
1 1|( ) super-
konformnyx vektornyx poliv na superkoli S
1 1|
, P. P. Kuliß [3] otrymav uzhod-
Ωeno bihamil\tonovyj superanaloh i[rarxi] Korteveha – de Friza na 2π-perio-
dyçnomu funkcional\nomu supermnohovydi M1 1| ⊂ C∞ |( )R Z R2 1 1π ; .
U p. 2 v meΩax R-operatornoho metodu [4, 5] pokazano, wo rivnqnnq dlq
funkcionaliv Kazimira central\noho rozßyrennq 2-kocyklom Hel\fanda –
Fuksa alhebry Li g̃ : = g ⊗ C ( λ, λ– 1 ) na orbitax polinomial\noho typu vidpo-
vidno] kopry[dnano] di] [ ekvivalentnym rivnqnng, qke porodΩu[ neskinçennu
poslidovnist\ hradi[ntiv parnyx zakoniv zbereΩennq dlq superkonformno]
i[rarxi] Korteveha – de Friza [3] ta ]] uzahal\nen\ za dopomohog pary uzhodΩe-
nyx superimplektyçnyx operatoriv.
V. Ovsi[nko ta S. RoΩe [6] pobuduvaly tryvymirne central\ne rozßyrennq
dlq pry[dnano] napivprqmo] sumy Vect ( S ) |× C∞( )R Z R2π ; alhebry Li vek-
tornyx poliv, zadanyx na koli S, za dopomohog deqkoho uzahal\nennq 2-kocyk-
lu Hel\fanda – Fuksa [2]. NevaΩko dovesty, wo kopry[dnana diq alhebry Li
Vect ( S ) |× C∞( )R Z R2π ; na ]] sprqΩenomu prostori heneru[ druhu hamil\to-
novu strukturu dlq i[rarxi] Kaupa – Broera [7 – 9].
U p. 3 za dopomohog R-operatornoho metodu pokazano, wo rivnqnnq dlq
funkcionaliv Kazimira dlq tryvymirnoho central\noho rozßyrennq superana-
lohom 2-kocyklu Ovsi[nka – RoΩe alhebry Li Ũ : = U ⊗ C ( λ, λ– 1 ), de U : =
© O. {. HENTOÍ, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7 887
888 O. {. HENTOÍ
: = Vect S
1 1|( ) |× C∞ |( )R Z R2 1 1π ; — pry[dnana napivprqma suma superkon-
formno] alhebry Li, na deqkij orbiti polinomial\noho typu vidpovidno] kopry-
[dnano] di] [ ekvivalentnym rivnqnng, qke porodΩu[ neskinçennu poslidovnist\
hradi[ntiv parnyx zakoniv zbereΩennq dlq superkonformno] i[rarxi] Kaupa –
Broera za dopomohog pary uzhodΩenyx superimplektyçnyx operatoriv.
2. Superkonformna alhebra Li ta superanalohy i[rarxij Korteveha –
de Friza ta Benni – Kaupa. Superkonformnu hrupu Li utvorggt\ hladki pe-
retvorennq superkola S
1 1| � S
1
1×( )�
Λ
S
1 1| � ( x, θ ) � x, θ( ) ,
qki zadovol\nqgt\ umovu
Dθ x = θ θθD( ) abo Dθ = D Dθ θθ( ) ,
de Dθ : = ∂ / ∂ θ + θ ∂ / ∂x — neparna superpoxidna, taka, wo Dθ
2 = ∂ / ∂ x, a vidpo-
vidnu superkonformnu alhebru Li G zadagt\ parni vektorni polq na S
1 1|
u
vyhlqdi
G : = {KF = F
x
∂
∂
+
1
2
( )D F Dθ θ :
F : = F ( x, θ ) = f ( x ) + θ α ( x ), π ( f ) = 0, π ( α ) = 1 },
komutator qkyx vyznaçagt\ za pravylom
[ KF , KQ
] = K F Q,[ ], KF , KQ ∈ G,
(1)
[ F , Q ] = F
Q
x
∂
∂
– Q
F
x
∂
∂
+
1
2
( Dθ
F ) ( Dθ
Q ).
Tobto superkonformna alhebra Li G izomorfna prostoru parnyx 2 π-perio-
dyçnyx funkcij C∞ ×( )|
R Z R2 1
1 0π
�
Λ ; z komutatorom (1), a sprqΩenyj pros-
tir G *
alhebry Li G vidnosno skalqrnoho dobutku na C
∞ ×( )|R Z R2 1
1 1π
�
Λ ;
〈 l, F 〉 =
0
2π
θ∫ ∫d x d lF ,
de l ∈ G *
, F ∈ G, izomorfnyj prostoru neparnyx 2 π-periodyçnyx funkcij
C
∞ ×( )|R Z R2 1
0 1π
�
Λ ; .
Alhebra Li G̃ rozklada[t\sq u prqmu sumu dvox pidalhebr Li G̃ : = G̃+ ⊕
⊕ ̃G− , de
̃G+ : =
˜ ( , ; ) ( , ) : ,F x F x F
k
k
k
kθ λ θ λ λ= ∈ ∈
≥
<<∞
∑
0
G C ,
G̃− : = ˜ ( , ; ) ( , ) : ,Q x Q x Q
j
j
j
jθ λ θ λ λ= ∈ ∈
∈
−∑
N
CG ,
a tomu krim komutatora (1) na nij moΩna vvesty we odyn komutator u vyhlqdi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
UZHODÛENO BIHAMIL|TONOVI SUPERKONFORMNI ANALOHY INTEHROVNYX … 889
˜ , ˜F Q[ ]R =
R ˜ , ˜F Q[ ] +
˜ , ˜F QR[ ], F̃ , Q̃ ∈ ̃G ,
de R =
1
2
( )P P+ −− , P+
, P– — proektory vidpovidno na pidalhebry Li ̃G+ ta ̃G− .
Isnu[ neskinçenna mnoΩyna spargvan\
˜, ˜l F
p( ) = resλ ∈ C
λ
p ˜, ˜l F , p ∈ Z, (2)
na ̃
*G0 × ̃G , de ̃
*G0 — sprqΩenyj prostir do alhebry Li ̃G vidnosno ( ⋅, ⋅ )0
,
koΩne z qkyx porodΩu[ superkososymetryçnu bilinijnu formu
ω p F Q˜ , ˜( ) : = ˜ , ˜F D Q
pθ
5( ) , (3)
de ω0
( ⋅, ⋅ ) — 2-kocykl Hel\fanda – Fuksa. Za dopomohog 2-kocykliv (3) pobu-
du[mo central\ni rozßyrennq alhebry Li ̃G do prostoriv Ĝ p : = ̃G ⊕p R � ̂G0
z vidpovidnymy komutatoramy [4]:
ad p F Qˆ ˆ( ) : = ˆ, ˆF Q
p[ ] =
˜ , ˜
˜ , ˜
F Q
F Qp
[ ]
( )
ω
, (4)
de F̂ : = ˜ ,F a( )τ , Q̂ : = ˜ ,Q b( )τ ∈ ̂G0 , a, b ∈ R. Komutatory, deformovani opera-
torom R , nabyragt\ vyhlqdu
ad p F Q,
ˆ ˆ
R ( ) : =
ˆ, ˆ
,
F Q
p[ ] R
=
˜ , ˜
˜ , ˜
,
F Q
F Qp
[ ]
( )
R
Rω
, (5)
de ω p F Q,
˜ , ˜
R ( ) = ω p F QR ˜ , ˜( ) + ω p F Q˜ , ˜R( ) dlq bud\-qkoho p ∈ Z. Na sprqΩe-
nomu prostori ˆ*G0 alhebry Li Ĝ0 za dopomohog spargvan\ [4]
ˆ, ˆl F
p( ) = ˜, ˜l F
p( ) + c a, c, a ∈ R,
de l̂ =
˜,l c( ) ∈ ̂
*G0 , l̃ ∈ ̃
*G0 , komutatory (5) henerugt\ i[rarxig duΩok Li –
Puassona
γ µ, ˜{ } ( )p l =
˜, ˜ , ˜
, ,l l ll p r p
p
∇ ( ) ∇ ( )[ ]( )γ µ
R
+ cωp ∇ ( ) ∇ ( )( )l p r pl l, ,
˜ , ˜γ µ = :
= : ∇ ( ) ∇ ( )( )l p rl l, ,
˜ , ˜
0 0 0
γ ϑ µ , (6)
de µ, γ ∈
D ˜*G0( ) , ∇l,p ta ∇r,p — operatory livoho ta pravoho hradi[nta vidnosno
spargvannq (2) dlq koΩnoho p ∈ Z, a ϑ p : OG̃ → ˜*G0 — superimplektyçni ope-
ratory na ̃
*G0 .
Zhidno z doslidΩennqmy, provedenymy u robotax [4, 5], funkcionaly Kazimi-
ra γ ∈
I G0
*( ) , qki dlq elementa l̂ ∈ G0
*
zadovol\nqgt\ rivnqnnq
ad0
*
,
˜ , ˆ∇ ( )( )( )l p l a lγ = 0, p ∈ Z, a ∈ R, (7)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
890 O. {. HENTOÍ
de ad0
*
— operator kopry[dnano] di] alhebry Li ̂G0 z komutatorom (4) vidnosno
spargvannq ( ⋅, ⋅ )0
na ̂
*G0 × ̂G0 , perebuvagt\ v involgci] wodo duΩok Li –
Puassona (6) i zadagt\ hamil\tonovi potoky
dl
d p
ˆ
τ
=
ad0
*
,
˜ , ˆR∇ ( )( )( )l p l a lγ =
˜, ˜ ,l l
p
γ{ } ( )( )0
dlq bud\-qkyx p ∈ Z j a ∈ R. U vypadku p = – 1 ta c = – 1 / 2 rivnqnnq (7)
ekvivalentne spivvidnoßenng
1
2
5Dθ Φ –
∂
∂ ( )
x
l̃ Φ –
1
2
l̃
x
∂
∂
Φ –
1
2
D l Dθ θ
˜ ( )( ) Φ = 0, (8)
de Φ l̃( ) : = ∇ ( )−l l,
˜
1 γ ∈ λG̃− .
Reduku[mo spivvidnoßennq (8) na orbity polinomial\noho typu kopry[dnano]
di] ad−1,
*
R alhebry ̂G0 .
Qkwo l̃ : =
˜( ; )l x λ = ξO+Oθ ( uO–Oλ ), de ( u, ξ )
τ ∈ M 11|
⊂ C∞ |( )R Z R2 11π ; , to
spivvidnoßennq, qki zadagt\ zv’qzok livoho hradi[nta funkcionala γ ∈ I G0
*( )
vidnosno spargvannq ( ⋅, ⋅ )–
1 z livym hradi[ntom funkcionala
γ : = γ
M 1 1| =
0
2π
θγ ξ λ∫ ∫ [ ]dx d u, ; ,
nabyragt\ vyhlqdu
δ γ l̃( ) : = δ ˜, ˜l lΦ( )( )−1
= ( δ ξ + θ δ u , Φ0 + θ Φ1 ) =
= ( , ) , ( ; )δ δξ ϕ λτu x( ) ,
de Φ ( x, θ; λ ) = Φ0 ( x; λ ) + θ Φ1 ( x; λ ), π ( Φ0 ) = 0, π ( Φ1 ) = 1, a ϕ ( x; λ ) : =
: = ∇ [ ]l uγ ξ λ, ; = ( Φ0 , – Φ1 )
τ ∈ T M* 11|( ) zadovol\nq[ rivnqnnq
ϑϕ ( x; λ ) = λ ηϕ ( x; λ ), (9)
de ϕ ( x; λ ) �
j j
j
∈
−
+
∑ Z
ϕ λ , pry | λ | → ∞ , ϕ j = ∇ [ ]l j uγ ξ, , j ∈ Z + , ta
ϕ0 ∈ Ker η , z uzhodΩenog parog superimplektyçnyx operatoriv η , ϑ :
T M* 11|( ) → T M 11|( ) :
η =
−
2 0
0
1
2
∂
, ϑ =
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
∂ − ∂ + ∂ − ∂ + ∂
− ∂ + ∂
− ∂
( )
( )
u u
u
ξ ξ
ξ ξ
. (10)
Z rivnqnnq (9) otrymu[mo neskinçennu mnoΩynu hradi[ntiv funkcionaliv
γ j ∈ D M 11|( ), j ∈ Z+ :
ϕ0 = (1, 0)
τ
, ϕ1 =
1
2
2u x, −
ξ
τ
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
UZHODÛENO BIHAMIL|TONOVI SUPERKONFORMNI ANALOHY INTEHROVNYX … 891
ϕ2 =
3
8
1
8
3
2
3
3
2
22u u u uxx x x x xxx− − − − +
ξξ ξ ξ ξ
τ
, ,
… … … … … … … … … … … … .
Vidpovidna poslidovnist\ parnyx lokal\nyx funkcionaliv
γ 0 =
0
2π
∫ udx , γ1 =
0
2
21
4
π
ξξ∫ −
u dxx ,
(11)
γ 2 =
0
2
3 21
8
1
16
3
2
π
ξξ ξ ξ∫ + − −
u u u dxx x x x x ,
… … … … … … … … … … … …
za dopomohog pary superimplektyçnyx operatoriv (10) porodΩu[ neskinçennu
i[rarxig uzhodΩeno bihamil\tonovyx nelinijnyx dynamiçnyx system na 2π -peri-
odyçnomu funkcional\nomu supermnohovydi M 11|
:
du
dt
d
dtj j
,
ξ
τ
= – η γ ξ∇ [ ]+l j u1 , = –ϑ γ ξ∇ [ ]l j u, , j ∈ Z+ , (12)
de ∇l : M 11| → T M* 11|( ) — operator livoho hradi[nta na supermnohovydi M 11|
.
Pry j = 1 spivvidnoßennq (12) zada[ superanaloh rivnqnnq Korteveha – de Friza
[1]
du
dt1
= –
1
4
ux x x +
3
2
uux – 3 ξ ξx x ,
d
dt
ξ
1
= – ξ x x x +
3
2
u xξ +
3
4
ux ξ .
Takym çynom, dovedeno taku teoremu.
Teorema 1. Superkonformna i[rarxiq nelinijnyx dynamiçnyx system Korte-
veha – de Friza (12) na 2 π -periodyçnomu funkcional\nomu supermnohovydi
M 11|
⊂ C∞ |( )R Z R2 11π ; ma[ neskinçennu poslidovnist\ parnyx zakoniv zbere-
Ωennq (11), involgtyvnyx wodo duΩok Li – Puassona ⋅ ⋅{ }, η ta ⋅ ⋅{ }, ϑ , po-
rodΩenyx uzhodΩenymy superimplektyçnymy operatoramy η = ϑ0 1 1M | ta
ϑ = ϑ− |1 1 1M
.
Dlq elementa l̃ : =
˜( ; )l x λ = ( ξO+Oλ ζ ) + θ ( uO+Oλ v – λ 2
), de ( u, v, ξ , ζ )
τ ∈
∈
�
M 2 2|
⊂ C∞ |( )R Z R2 2 2π ; , zv’qzok livoho hradi[nta funkcionala γ ∈
I G0
*( )
vidnosno spargvannq ( ⋅, ⋅ )–
1 z livym hradi[ntom funkcionala
�γ : = γ
�
M 2 2| =
0
2π
θγ ξ ζ λ∫ ∫ [ ]dx d u
�
, , , ;v
zada[t\sq spivvidnoßennqm
δ γ l̃( ) : = δ ˜, ˜l lΦ( )( )−1
= ( δ ( ξO+Oλ ζ ) + θ δ ( u + λ v ), Φ0 + θ Φ1 ) =
=
( , , , ) , ( ; )δ δ δξ δζ ϕ λτu xv( ),
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
892 O. {. HENTOÍ
de Φ ( x, θ; λ ) = Φ0 ( x; λ ) + θ Φ1 ( x; λ ), π ( Φ0 ) = 0, π ( Φ1 ) = 1, a takoΩ ϕ ( x; λ ) : =
: = ∇ [ ]l u
�γ ξ ζ λ, , , ;v = ( Φ0 , λΦ0 , – Φ1 , – λ Φ1 )
τ ∈ T M*
� 2 2|( ) zadovol\nq[ rivnqnnq
(9) z uzhodΩenog parog superimplektyçnyx operatoriv
�η,
�
ϑ : O T M*
� 2 2|( ) →
→ T M
� 2 2|( ) :
�η =
v v
v
∂ ζ∂ ζ
ζ ζ
+ ∂ − ∂ + ∂
− ∂
∂ + ∂ −
2
1
2
0
2 0 0 0
1
2
0
1
2
1
2
0 0
1
2
0
,
(13)
�
ϑ =
1
2
0
1
2
0
0 2 0 0
1
2
0
1
2
0
0 0 0
1
2
3
2
∂ ξ ξ
ξ ξ
− ∂ + ∂ − ∂ + ∂
− ∂
− ∂ + ∂
− − ∂
( )
( )
u u
u
.
Vraxovugçy, wo
ϕ ( x; λ ) �
j
j
j
∈
−
+
∑
Z
ϕ λ , ϕj = ∇ [ ]l j u
�γ ξ ζ, , ,v ,
pry | λ | → ∞, z rivnqnnq (9) znaxodymo neskinçennu mnoΩynu hradi[ntiv funk-
cionaliv
�γ j ∈ D M
� 2 2|( ), j ∈ Z+ :
ϕ0 = (0, 1, 0, 0)
τ
, ϕ1 =
1
1
2
0 2, , ,v −
ζ
τ
x ,
ϕ2 =
1
2
1
2
3
8
3
2
2 3
3
2
22v v v v, , ,u x x x x x+ − − − − −
ζζ ζ ζ ζ ξ
τ
,
… … … … … … … … … … … …
z vidpovidnog poslidovnistg parnyx lokal\nyx funkcionaliv
�γ 0 =
0
2π
∫ vdx ,
�γ1 =
0
2
21
4
π
ζζ∫ + −
u dxxv ,
�γ 2 =
0
2
31
2
1
8
3
2
π
ζζ ξζ ξ ζ∫ + − − +( )u dxx x xv v v , (14)
… … … … … … … … … … … … ,
qka za dopomohog pary superimplektyçnyx operatoriv (13) porodΩu[ neskinçen-
nu i[rarxig uzhodΩeno bihamil\tonovyx nelinijnyx dynamiçnyx system na 2π-
periodyçnomu funkcional\nomu supermnohovydi
�
M 2 2|
:
du
dt
d
dt
d
dt
d
dtj j j j
, , ,
v ξ ζ
τ
= –
� �η γ ξ ζ∇ [ ]+l j u1 , , ,v = –
� �ϑ γ ξ ζ∇ [ ]l j u, , ,v , j ∈ Z+ , (15)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
UZHODÛENO BIHAMIL|TONOVI SUPERKONFORMNI ANALOHY INTEHROVNYX … 893
de ∇l : O
�
M 2 2| → T M*
� 2 2|( ) — operator livoho hradi[nta na supermnohovydi
�
M 2 2|
. Pry j = 2 ma[mo superanaloh nelinijno] dynamiçno] systemy Benni –
Kaupa [7]
du
dt2
= –
1
4
vx x x +
1
2
ux v + u xv – 3 ξ ζ x x – ξ x ζ x ,
d
dt
v
2
= ux +
3
2
vvx – 3 ζ ζ x x ,
d
dt
ξ
2
= – ζ x x x + u ζ x +
3
4
vx ξ +
1
2
vξx ,
d
dt
ζ
2
= ξ x +
3
2
vζx +
3
4
vx ζ .
OtΩe, ma[ misce taka teorema.
Teorema 2. Superkonformna i[rarxiq nelinijnyx dynamiçnyx system Benni –
Kaupa (15) na 2 π-periodyçnomu funkcional\nomu supermnohovydi
�
M 2 2|
⊂
⊂O C∞ |( )R Z R2 2 2π ; ma[ neskinçennu poslidovnist\ parnyx zakoniv zbereΩennq
(14), involgtyvnyx wodo duΩok Li – Puassona ⋅ ⋅{ }, �η ta ⋅ ⋅{ }, �
ϑ , porodΩenyx
uzhodΩenymy superimplektyçnymy operatoramy
�η = ϑ0 2 2�
M | ta
�
ϑ =
= ϑ− |1 2 2�
M
.
Takym çynom, vstanovleno, wo neskinçenni poslidovnosti involgtyvnyx par-
nyx lokal\nyx zakoniv zbereΩennq dlq superanalohiv i[rarxij nelinijnyx dyna-
miçnyx system Korteveha – de Friza (11) ta Benni – Kaupa (14) [ redukciqmy na
orbity kopry[dnano] di] alhebry Li superkonformnyx vektornyx poliv na super-
koli S
1 1|
vidpovidnyx funkcionaliv Kazimira ta perebuvagt\ v involgci] wodo
redukovanyx na ci orbity duΩok Li – Puassona (6).
Zhidno z hradi[ntno-holonomnym metodom [7], naslidkom z teorem 1, 2 [ isnu-
vannq zobraΩennq Laksa dlq superkonformnyx i[rarxij Korteveha – de Friza
(12) ta Benni – Kaupa (15). U roboti [3] pokazano, wo spektral\na zadaça z inva-
riantnym vidnosno i[rarxi] Korteveha – de Friza (12) parametrom λ ∈ R u
prostori funkcij y ∈ L∞ ×( )|R Z C2 1 1 1π
�
Λ ; nabyra[ vyhlqdu
− +( )D l yθ
3 ˜ = 0, (16)
de y : = y x( , )θ = f ( x ) + θ ψ ( x ).
Slid zaznaçyty, wo spektral\nyj parametr λ ∈ C u zadaçi (16) [ invariant-
nym vidnosno usix superkonformnyx i[rarxij dynamiçnyx system, asocijovanyx z
elementamy l̃ ∈ ̃
*G vyhlqdu
l̃ = ξ ξ λ+
=
−
∑
k
N
k
k
1
1
+ θ u u
k
N
k
k N+ −
=
−
∑
1
1
λ λ ,
de ( u, uk , ξ, ξk )
τ ∈ M N N|
⊂ C N N∞ |( )R Z R2π ; , zokrema superkonformno] i[-
rarxi] Benni – Kaupa (15).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
894 O. {. HENTOÍ
3. Superanaloh i[rarxi] Kaupa – Broera, asocijovano] z pry[dnanog na-
pivprqmog sumog superkonformno] alhebry Li. Alhebru Li U zadagt\ pary
vyhlqdu ( K ( F ), A )
τ ∈ U , de K ( F ) ∈ Vect (S
1 1| ) — parne superkonformne
vektorneOOpole na S
1 1|
dlq bud\-qkyx F ∈ C
∞ ×( )|
R Z R2 1
1 0π
�
Λ ; ta A ∈
∈ C∞ ×( )|
R Z R2 1
1 0π
�
Λ ; , komutator qkyx vyznaçagt\ za pravylom
K F
A
K Q
B
( )
,
( )
=
K F Q
K F B K Q A
,
( ) ( )
[ ]( )
−
,
[ F, Q ] = F
Q
x
∂
∂
– Q
F
x
∂
∂
+
1
2
( )( )D F D Qθ θ ,
K ( F ) B – K ( Q ) A = F
B
x
∂
∂
– Q
A
x
∂
∂
+
1
2
( )( )D F D Bθ θ –
1
2
( )( )D Q D Aθ θ ,
de KF
, KQ ∈ Vect (S
1 1| ), A, B ∈ C
∞ ×( )|
R Z R2 1
1 0π
�
Λ ; . Tobto superkonformna
alhebra Li U izomorfna prostoru parnyx 2π -periodyçnyx funkcij
C∞ ×( )|
R Z R2 1
2 0π
�
Λ ; z komutatorom
F Q,[ ] =
F Q
K F B K Q A
,
( ) ( )
[ ]
−
, (17)
de F : = ( F , A )
τ
, Q : = ( Q , A )
τ ∈ U, a ]] sprqΩenyj prostir U
*
vidnosno skalqr-
noho dobutku na C
∞ ×( )|
R Z R2 1
2 2π
�
Λ ; :
L F, = 〈 � , F 〉 + 〈 m, A 〉, (18)
de L : = ( � , m ) ∈ U
*
, F ∈ U, izomorfnyj prostoru neparnyx 2π-periodyçnyx
funkcij C∞ ×( )|
R Z R2 1
0 2π
�
Λ ; .
Alhebra Li Ũ rozklada[t\sq u prqmu sumu dvox pidalhebr Li Ũ : = Ũ+ ⊕
⊕ Ũ− , de
Ũ+ : =
˜ ( , ; ) ( , ) : ,F F F Ux x
k
k
k
kθ λ θ λ λ= ∈ ∈
≥
<<∞
∑
0
C ,
Ũ− : =
˜ ( , ; ) ( , ) : ,Q Q Q Ux x
j
j
j
jθ λ θ λ λ= ∈ ∈
∈
−∑
N
C ,
a otΩe, krim komutatora (17) na nij moΩna vvesty we odyn komutator u vyhlqdi
˜ ˜,F Q
R[ ] =
R F Q˜ ˜,[ ] +
˜ ˜,F R Q[ ],
de R =
1
2
( )P P+ −− , P+
, P– — proektory vidpovidno na pidalhebry Li Ũ+ ta
Ũ− . Isnu[ neskinçenna mnoΩyna spargvan\
˜ ˜,L F( )
p
= resλ λ∈C
p
˜ ˜,L F , p ∈ Z,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
UZHODÛENO BIHAMIL|TONOVI SUPERKONFORMNI ANALOHY INTEHROVNYX … 895
na
˜ *U0 × Ũ , de
˜ *U0 — sprqΩenyj prostir do alhebry Li Ũ vidnosno ( ⋅, ⋅ )0
,
koΩne z qkyx porodΩu[ superkososymetryçnu bilinijnu formu
ω p
˜ ˜,F Q( ) :
= resλ λ ω∈ ( )C
p
0
˜ , ˜F Q , (19)
de ω0 :
= ω ω ω τ
0 1 0 2 0 3, , ,, ,( ) — superanaloh tryvymirnoho 2-kocyklu Ovsi[nka –
RoΩe [6]:
ω0 1,
˜ ˜,F Q( ) :
= ω ˜, ˜F Q( ) ,
ω0 2,
˜ ˜,F Q( ) :
= ˜, ˜F D Bθ
3 –
˜ , ˜Q D Aθ
3
,
ω0 3,
˜ ˜,F Q( ) :
= 2 ˜, ˜A D Bθ .
Pobudu[mo central\ni rozßyrennq alhebry Li Ũ do prostoriv
Ûp : = Ũ ⊕p R
3 � Û0
z vidpovidnymy komutatoramy [4]
ad p
ˆ ˆF Q( ) : = ˆ ˆ,F Q[ ]p
=
˜ ˜
˜ ˜
,
,
F Q
F Q
[ ]
( )
ω p
, (20)
de F̂ : = ˜ ,F a( )τ , Q̂ : =
˜ ,Q b( )τ ∈ Û0 , a, b ∈ R
3
, za dopomohog tryvymirnyx 2-
kocykliv (19). Na alhebri Li Û0 komutatory, deformovani operatorom R , na-
byragt\ vyhlqdu
ad p,
ˆ ˆR F Q( ) : =
ˆ ˆ,
,
F Q
R[ ]p
=
˜ ˜
˜ ˜
,
,,
F Q
F Q
R
R
[ ]
( )
ω p
, p ∈ Z, (21)
de ω p,
˜ ˜,R F Q( ) = ω p R F Q˜ ˜,( ) + ω p
˜ ˜,F R Q( ) dlq bud\-qkoho p ∈ Z. Na sprq-
Ωenomu prostori
ˆ *U0 alhebry Li Û0 za dopomohog spargvan\
ˆ ˆ,L F( )
p
= ˜ ˜,L F( )
p
+ c
τ
a, c, a ∈ R
3
,
de ̂L =
˜ ,L cτ( ) ∈
ˆ *U0 , ̃L ∈
˜ *U0 , komutatory (21) henerugt\ i[rarxig duΩok Li –
Puassona
γ µ, ˜{ } ( )p L =
˜ ˜ ˜, ,, ,L L L
R
∇ ( ) ∇ ( )[ ]( )l p r p
p
γ µ +
c p l p r p
τ ω γ µ∇ ( ) ∇ ( )( ), ,
˜ ˜,L L = :
= :
∇ ( ) ∇ ( )( )l p r, ,
˜ ˜,0 0 0
γ ϑL L , (22)
de γ, µ ∈
D ˜ *U0( ), ∇ l, p , ∇ r, p — operatory livoho ta pravoho hradi[nta vidnosno
spargvannq (18) dlq koΩnoho p ∈ Z , a ϑp : Ũ → ˜ *U0 — superimplektyçni
operatory na
˜ *U0 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
896 O. {. HENTOÍ
Za dopomohog pidxodu, rozvynenoho u robotax [4, 5], moΩna dovesty, wo
funkcionaly Kazimira γ ∈
I U0
*( ), qki dlq elementa L ∈ U0
*
zadovol\nqgt\
rivnqnnq
ad0
* ∇ ( )( )( )l p a,
˜ ˆ,γ L L = 0, p ∈ Z, a ∈ R
3
, (23)
de ad0
*
— operator kopry[dnano] di] alhebry Li Û0 z komutatorom (20) vidnos-
no spargvannq ( ⋅, ⋅ )0 na
ˆ *U0 × Û0 , perebuvagt\ v involgci] wodo duΩok Li –
Puassona (22) i zadagt\ hamil\tonovi potoky
d
d p
L̂
τ
=
ad0
* R L L∇ ( )( )( )l p a,
˜ ˆ,γ =
˜, , ˜ , ,˜ ˜� γ γ
ϑ ϑ{ } ( ) { } ( )
p p
mL L 0
dlq bud\-qkyx p ∈ Z i a ∈ R
3
. U vypadku p = – 1 ta c = (0, – 2, 1)
τ
rivnqnnq
(23) ekvivalentne spivvidnoßennqm
–
∂
∂ ( )
x
˜ ˜�Φ –
1
2
˜ ˜� ∂
∂x
Φ –
1
2
D Dθ θ
˜ ˜�( )( )Φ + 2 D Aθ
3 ˜ –
–
1
2
˜ ˜m
x
A
∂
∂
–
1
2
D m D Aθ θ˜ ˜( )( ) = 0,
(24)
– 2 3Dθ Φ̃ –
∂
∂x
m̃ Φ̃( ) +
1
2
˜ ˜m
x
∂
∂
Φ –
1
2
D m Dθ θ˜ ˜( )( )Φ – 2 D Aθ
˜ = 0,
de
˜ , ˜˜ ˜Φ L L( ) ( )( )A
τ
:
= ∇ ( )−l,
˜
1 γ L ∈ λ Ũ− .
PokaΩemo, wo na orbiti polinomial\noho typu kopry[dnano] di] ad*
−1,R spiv-
vidnoßennq (24) redukugt\sq do rivnqnnq (9) dlq superanaloha i[rarxi] neli-
nijno] dynamiçno] systemy Kaupa – Broera.
Qkwo l̃ :
= ˜( ; )l x λ = ζ + θ v ta m̃ :
= ˜ ( ; )m x λ = ξ + θ ( u – λ ), de (
v, u , ζ,
ξ
)
τ ∈ M̃ 2 2| ⊂ C∞ / |( )R Z R2 2 2π ; , to spivvidnoßennq, qki zadagt\ zv’qzok livoho
hradi[nta funkcionala γ ∈ I U0
*( ) vidnosno spargvannq ( ⋅, ⋅ )–
1 z livym hradi-
[ntom funkcionala
γ̃ :
= γ
M̃ 2 2| =
0
2π
θγ ζ ξ λ∫ ∫ [ ]dx d u˜ , , , ;v ,
nabyragt\ vyhlqdu
δγ L̃( ) :
=
δ δ
τ˜, ˜ , ,˜ ˜� m A( ) ( ) ( )( )( )Φ L L =
= ( ( δ ( ζO+Oθ v ), δ ( ξ + θ u ) ), ( Φ0 + θ Φ1 , A0 + θ A1 )
τ
) =
=
( , , , ) , ( ; )δ δ δζ δξ ϕ λτv u x( ),
de Φ ( x, θ; λ ) = Φ0 ( x; λ ) + θ Φ1 ( x; λ ), A ( x, θ; λ ) = A0 ( x; λ ) + θ A1 ( x; λ ), π ( Φ0 ) =
=O0, π ( Φ1 ) = 1, π ( A0 ) = 0, π ( A1 ) = 1, a takoΩ ϕ ( x; λ ) : = ∇ [ ]l u˜ , , , ;γ ζ ξ λv =
= ( Φ0 , A0 , – Φ1 , – A1 )
τ ∈ T M* ˜ 2 2|( ) zadovol\nq[ rivnqnnq (9) z uzhodΩenog pa-
rog superimplektyçnyx operatoriv η̃, ϑ̃ : OT M* ˜ 2 2|( ) → T M̃ 2 2|( ) :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
UZHODÛENO BIHAMIL|TONOVI SUPERKONFORMNI ANALOHY INTEHROVNYX … 897
η̃ =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1
2
0 0
1
2
0
−∂
−∂
,
(25)
ϑ̃ =
− ∂ + ∂ − ∂ + ∂ − ∂ + ∂
∂ − ∂
−∂ − ∂ − ∂ − ∂
− ∂ + ∂
− ∂ − ∂
∂ − ∂ + ∂( )
( )
( )
v v
v
u
u
u
u
2
1
2
1
2
2 2
1
2
0
1
2
1
2
1
2
1
2
4
1
2
0
1
2
4 2
2
2
ζ ζ ξ ξ
ξ
ζ ζ ξ
ξ ξ
.
Oskil\ky ma[ misce rozklad
ϕ ( x; λ ) �
j
j
j
∈
−
+
∑
Z
ϕ λ , ϕj = ∇ [ ]l j u˜ , , ,γ ζ ξv ,
pry | λ | → ∞, z rivnqnnq (9) otrymu[mo neskinçennu mnoΩynu hradi[ntiv funk-
cionaliv γ̃ j ∈ D M̃ 2 2|( ), j ∈ Z+ :
ϕ0 = 0
1
4
0 0, , ,
τ
, ϕ1 =
1
2
0 0 0, , ,
τ
,
ϕ2 =
1
2
1
2
u x x, , ,v − −
ξ ζ
τ
,
ϕ3 =
1
2
( u
2 + 2 ux + 2 v – ξ ξx , 2 u v – 2 vx + 3 ξx ζ – ζ ξx ,
– 4 u ξx – ux ξ – 8 ζx – 8 ξx x , – 4 u ζx – 3 ux ξ – vx ξ – 2 v ξx + 8 ζx x )
τ
,
……………………………….
Vidpovidna poslidovnist\ parnyx lokal\nyx funkcionaliv
γ̃ 0 =
1
4
0
2π
∫ udx , γ̃1 =
1
2
0
2π
∫ vdx , γ̃ 2 =
1
2
3
0
2π
ξ ζ ξζ∫ + −( )u dxx xv ,
γ̃ 3 =
1
2
0
2π
∫ ( u
2
v + ux v – u vx + v
2 – v ξ ξx +
7
3
u xξ ζ –
–
5
3
u xξζ –
2
3
uxξζ + 4 ξx x ζ + 4 ξ ζx x – 4 ζ ζx )dx , (26)
………………………………
za dopomohog pary superimplektyçnyx operatoriv (25) porodΩu[ neskinçennu
i[rarxig uzhodΩeno bihamil\tonovyx nelinijnyx dynamiçnyx system na 2π -peri-
odyçnomu funkcional\nomu supermnohovydi M̃ 2 2|
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
898 O. {. HENTOÍ
d
dt
du
dt
d
dt
d
dtj j j j
v
, , ,
ζ ξ
τ
= –
˜ ˜ , , ,η γ ζ ξ∇ [ ]+l j u1 v = –
˜ ˜ , , ,ϑ γ ζ ξ∇ [ ]l j uv , j ∈ Z+,
(27)
de ∇l : O M̃ 2 2| → T M* ˜ 2 2|( ) — operator livoho hradi[nta na supermnohovydi
M̃ 2 2|
. Pry j = 2 ma[mo superanaloh rivnqnnq Kaupa – Broera
d
dt
v
2
= – vx x + ( u v ) x +
3
2
ξ ζx x + ξx ζ x –
1
2
ξζx x ,
du
dt2
= ux x + u u x + vx –
1
2
ξξx x ,
d
dt
ζ
2
= – 2 ζ x x + u ζ x +
3
4
ux ζ +
1
4
vx ξ +
1
2
vξx ,
d
dt
ξ
2
= 2 ξ x x + u ξ x +
1
4
ux ξ + 2 ζ x .
Takym çynom, dovedeno taku teoremu.
Teorema 3. Superkonformna i[rarxiq nelinijnyx dynamiçnyx system Kaupa –
Broera (27) na 2 π-periodyçnomu funkcional\nomu supermnohovydi M̃ 2 2| ⊂
⊂ C∞ / |( )R Z R2 2 2π ; ma[ neskinçennu poslidovnist\ zakoniv zbereΩennq (26),
involgtyvnyx wodo duΩok Li – Puassona ⋅ ⋅{ }, η̃ ta ⋅ ⋅{ }, ϑ̃ , porodΩenyx uzhod-
Ωenymy superimplektyçnymy operatoramy η̃ = ϑ0 2 2M̃ | ta ϑ̃ = ϑ− |1 2 2M̃
.
Pry peretvorenni Li – Beklunda [7]
l̃ = –
1
4
�̃ –
1
4
m̃x +
1
16
˜ ˜m D mθ( ) ∈ ̃
*G , (28)
de
˜, ˜� m( ) ∈ ˜ *U , rivnqnnq (9) dlq superanaloha i[rarxi] Kaupa – Broera (27) [
rivnosyl\nym takomu Ω spivvidnoßenng dlq superkonformno] i[rarxi]
Korteveha – de Friza (12). Tomu parametr λ ∈ C u spektral\nij zadaçi (16) z
potencialom vyhlqdu (28) invariantnyj wodo superkonformno] i[rarxi] Kaupa –
Broera (27). OtΩe, koΩna systema otrymano] superkonformno] i[rarxi] Kaupa –
Broera ma[ zobraΩennq Laksa u vyhlqdi umovy sumisnosti dvox linijnyx
matryçnyx dyferencial\nyx rivnqn\ perßoho porqdku
dY
d x
= A Y, (29)
A : =
− −
− + −
−
1
4
1
1
4
1
4
1
8
1
4
1
4
1
4
1
4
0
( )
( )
u
u
λ ξ
ξζ λ ζ
ζ ξ
v ,
de Y : = ( f, g, φ
)
τ ∈ L∞ / |( )R Z C2 2 1π ; , λ ∈ C, φ = ψ +
1
4
ξ f , ta
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
UZHODÛENO BIHAMIL|TONOVI SUPERKONFORMNI ANALOHY INTEHROVNYX … 899
dY
dt j
= ( λ
j
+
1S )+ , (30)
de j ∈ Z+ , S : = S ( x; λ ) �
j j
jS∈
−
+
∑ Z
λ — asymptotyçnyj rozklad supermatryci
monodromi] rivnqnnq (29),
S0 =
1
8
1 0 0
0 1 0
0 0 0
−
, (31)
a nyΩnij indeks „+” u formuli (31) poznaça[ polinomial\nu çastynu. Tobto ma[
misce taka teorema.
Teorema 4. Superkonformna i[rarxiq Kaupa – Broera (27) dopuska[ mat-
ryçnu linearyzacig typu Laksa u vyhlqdi linijnyx dyferencial\nyx rivnqn\ per-
ßoho porqdku (29) ta (30) dlq koΩnoho j ∈ Z+ .
Spektral\nyj parametr λ ∈ C u zadaçi (29) [ invariantnym vidnosno usix su-
perkonformnyx i[rarxij nelinijnyx dynamiçnyx system, asocijovanyx z elemen-
tamy ̃L ∈ ˜ *U , dlq qkyx
�̃ : = ζ ζ λ+
=
−
∑
k
N
k
k
1
1
+ θ λv v+
=
−
∑
k
N
k
k
1
1
,
m̃ : = ξ ξ λ+
=
−
∑
k
N
k
k
1
1
+ θ λ λu u
k
N
k
k N+ −
=
−
∑
1
1
,
de ( v, vk , u, uk , ζ, ζk , ξ, ξk
)
τ ∈ M N N2 |( ) ⊂ C N N∞ |( )/( )R Z R2 2π ; .
4. Vysnovky. U statti zaproponovano opys dvox klasiv uzhodΩeno bihamil\-
tonovyx ta intehrovnyx za Laksom nelinijnyx dynamiçnyx system na 2π-perio-
dyçnyx funkcional\nyx supermnohovydax na osnovi procedury redukuvannq na
vidpovidni orbity polinomial\noho typu kopry[dnano] di] alhebry Li superkon-
formnyx vektornyx poliv rivnqnnq dlq funkcionaliv Kazimira ta za dopomohog
vstanovlenoho peretvorennq Li – Beklunda dovedeno ]x ekvivalentnist\.
Naqvnist\ matryçnyx zobraΩen\ Laksa z invariantnym wodo evolgcij spek-
tral\nym parametrom dozvolyt\ rozvynuty dlq otrymanyx system metod redu-
kuvannq na nelokal\ni invariantni skinçennovymirni superpidprostory roz-
v’qzkiv typu Nejmana ta Barhmana [9 – 11] i zvesty poßuk ]x çastynnyx
rozv’qzkiv do intehruvannq v kvadraturax dynamiçnyx system na skinçennovymir-
nyx supermnohovydax.
Avtor vdqçna prof. A. K. Prykarpats\komu za uvahu do statti.
1. Drynfel\d V. H., Sokolov V. V. Alhebra Ly y uravnenyq typa Korteveha – de Fryza // Ytohy
nauky y texnyky. Ser. Sovr. probl. matematyky. Novejßye dostyΩenyq. – M.: VYNYTY,
1984. – 15. – S. 81 – 180.
2. Lejtes D. A., Fejhyn B. L. Nov¥e superalhebr¥ Ly strunn¥x teoryj // Teoretyko-hruppo-
v¥e metod¥ v fyzyke. – M.: Nauka, 1983. – 1. – S. 269 – 278.
3. Kulyß P. P. Analoh uravnenyq Korteveha – de Fryza dlq superkonformnoj alhebr¥ //
Zap. nauç. sem. Lenynhr. otd-nyq Mat. yn-ta AN SSSR. – 1986. – 155. – S.O142 – 148.
4. TaxtadΩqn L. A., Faddeev L. D. Hamyl\tonov podxod v teoryy solytonov. – M.: Nauka,
1986. – 527 s.
5. Kulyß P. P., Rejman A. H. Hamyl\tonova struktura polynomyal\n¥x puçkov // Zap. nauç.
sem. Lenynhr. otd-nyq Mat. yn-ta AN SSSR. – 1987. – 161. – S.O54 – 71.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
900 O. {. HENTOÍ
6. Ovsyenko V., RoΩe S. Rasßyrenye hrupp¥ Vyrasoro y alhebr¥ Vyrasoro s pomow\g modu-
lej tenzorn¥x plotnostej na S
1
// Funkcyon. analyz y eho pryl. – 1986. – 30, # 2. –
S.O86 – 88.
7. Prykarpatskyj A. K., Mykytgk Y. V. Alhebrayçeskye aspekt¥ yntehryruemosty nelynej-
n¥x dynamyçeskyx system na mnohoobrazyqx. – Kyev: Nauk. dumka, 1991. – 260 s.
8. Blaszak M. Multi-Hamiltonian theory of dynamical systems. – New York: Springer, 1998. – 350 p.
9. Prykarpats\kyj Q. A., Prytula M. M., Hentoß O. {. Skinçennovymirni redukci] uzahal\ne-
no] dynamiçno] systemy Bgrhersa ta ]x intehrovnist\ // Nelinijni kolyvannq. – 2000. – 3, # 1.
– S. 95 – 102.
10. Prykarpatsky A., Hentosh O., Kopych M., Samuliak R. Neumann – Bogoliubov – Rosochatius
oscillatory dynamical systems and their integrability via dual moment maps. I // J. Nonlinear Math.
Phys. – 1995. – 2, # 2. – P. 98 – 113.
11. Prykarpatsky A. K., Hentosh O. E., Blackmore D. L. The finite-dimensional Moser type reductions
of modified Boussinesq and super-Korteweg – de Vris Hamiltonian systems via the gradient-
holonomic algorithm and the dual moment maps. I // Ibid. – 1997. – 4, # 3 – 4. – P. 455 – 469.
OderΩano 04.05.2005,
pislq doopracgvannq — 13.09. 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
|