Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості
Найдены порядковые оценки для наилучших равномерных ортогональных тригонометрических приближений на классах 2π-периодических функций таких, что их (ψ,β)-производные принадлежат единичным шарам пространств Lp,1 ≤ p < ∞....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165683 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості / А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 916–936. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165683 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656832020-02-22T00:07:51Z Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. Статті Найдены порядковые оценки для наилучших равномерных ортогональных тригонометрических приближений на классах 2π-периодических функций таких, что их (ψ,β)-производные принадлежат единичным шарам пространств Lp,1 ≤ p < ∞. We obtain order estimates for the best uniform orthogonal trigonometric approximations of 2π-periodic functions whose (ψ, β)-derivatives belong to unit balls in the spaces Lp, 1 ≤ p < ∞ 2015 Article Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості / А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 916–936. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165683 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості Український математичний журнал |
| description |
Найдены порядковые оценки для наилучших равномерных ортогональных тригонометрических приближений на классах 2π-периодических функций таких, что их (ψ,β)-производные принадлежат единичным шарам пространств Lp,1 ≤ p < ∞. |
| format |
Article |
| author |
Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. |
| author_facet |
Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. |
| author_sort |
Сердюк, А.С. |
| title |
Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості |
| title_short |
Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості |
| title_full |
Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості |
| title_fullStr |
Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості |
| title_full_unstemmed |
Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості |
| title_sort |
порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165683 |
| citation_txt |
Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості / А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 916–936. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT serdûkas porâdkovíocínkinajkraŝihortogonalʹnihtrigonometričnihnabliženʹklasívzgortokperíodičnihfunkcíjnevelikoígladkostí AT stepanûkta porâdkovíocínkinajkraŝihortogonalʹnihtrigonometričnihnabliženʹklasívzgortokperíodičnihfunkcíjnevelikoígladkostí |
| first_indexed |
2025-07-14T19:30:57Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:30:57Z |
| _version_ |
1837651950292697088 |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ),
Т. А. Степанюк (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк)
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ ЗГОРТОК
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ НЕВЕЛИКОЇ ГЛАДКОСТI
We obtain order estimates for the best uniform orthogonal trigonometric approximations of 2π-periodic functions whose
(ψ, β)-derivatives belong to unit balls in the spaces Lp, 1 ≤ p <∞, in case where the sequence ψ(k) is such that product
ψ(n)n1/p may tend to zero slower than any power function and
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞ for 1 < p <∞,
1
p
+
1
p′
= 1
or
∑∞
k=1
ψ(k) < ∞ for p = 1. Similar estimates are also established in the Ls-metric, 1 < s ≤ ∞, for the classes of
summable (ψ, β)-differentiable functions such that ‖ fψβ ‖1≤ 1.
Найдены порядковые оценки для наилучших равномерных ортогональных тригонометрических приближений на
классах 2π-периодических функций таких, что их (ψ, β)-производные принадлежат единичным шарам пространств
Lp, 1 ≤ p < ∞, в случае, когда последовательность ψ такова, что произведение ψ(n)n1/p, 1 ≤ p < ∞, может
стремиться к нулю медленнее любой степенной функции и
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞ при 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1
или
∑∞
k=1
ψ(k) < ∞ при p = 1. Аналогичные оценки получены для приближений в Ls-метриках, 1 < s ≤ ∞,
для классов (ψ, β)-дифференцируемых функций таких, что ‖fψβ ‖1 ≤ 1.
Позначимо через Lp, 1 ≤ p < ∞, простiр 2π-перiодичних сумовних в p-му степенi на [0, 2π)
функцiй f : R→ C з нормою
‖f‖p :=
2π∫
0
|f(t)|pdt
1/p
,
а через L∞ простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених функцiй f : R→ C з нормою
‖f‖∞ := ess sup
t
|f(t)|.
Розглянемо множини 2π-перiодичних дiйснозначних функцiй Lψβ , якi означаються таким
чином.
Нехай f : R→ R — функцiя iз L1, ряд Фур’є якої має вигляд
∞∑
k=−∞
f̂(k)eikx,
де
f̂(k) =
1
2π
π∫
−π
f(t)e−iktdt. (1)
Нехай, далi, ψ(k) — довiльна фiксована послiдовнiсть дiйсних чисел i β — фiксоване дiйсне
число. Тодi якщо ряд
c© А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК, 2015
916 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 917
∑
k∈Z/{0}
f̂(k)
ψ(|k|)
ei(kx+
βπ
2
sign k)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї ϕ iз L1, то цю функцiю називають (див., наприклад,
[1, с. 132]) (ψ, β)-похiдною функцiї f i позначають через fψβ . Множину функцiй f, якi мають
(ψ, β)-похiдну, позначають через Lψβ .
Розглянемо одиничну кулю Bp у просторi дiйснозначних функцiй з Lp, тобто множину
функцiй ϕ : R → R таких, що ‖ϕ‖p ≤ 1, 1 ≤ p ≤ ∞. Якщо f ∈ Lψβ i водночас fψβ ∈ Bp, то
будемо записувати f ∈ Lψβ,p.
Як показано в [1, с. 136], якщо послiдовнiсть ψ(k) монотонно прямує до нуля при k →∞
i
∑∞
k=1
ψ(k)
k
< ∞, то елементи f(x) множини Lψβ,p, β ∈ R, майже при всiх x ∈ R можна
зобразити у виглядi згортки
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
Ψβ(x− t)ϕ(t)dt, a0 ∈ R, ϕ ∈ Bp, ϕ ⊥ 1, (2)
з сумовним ядром Ψβ, ряд Фур’є якого має вигляд
1
2
∑
Z/{0}
ψ(|k|)e−i(kt+
βπ
2
sign k) =
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
.
При цьому функцiя ϕ майже скрiзь збiгається з fψβ .
Якщо послiдовнiсть ψ(k) монотонно спадає i
∞∑
k=1
ψq(k)kq−2 <∞, 1 < q <∞,
то, згiдно з лемою 12.6.6 з монографiї [2, с. 193], має мiсце включення Ψβ ∈ Lq′ ,
1
q
+
1
q′
= 1.
З твердження 3.8.1 iз [1, с. 137] i твердження 1.5.5 з [3, с. 43] випливає, що при
ψ(k) ↓ 0,
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞
справедливi вкладення Lψβ,p ⊂ L∞, L
ψ
β,1 ⊂ Lp′ , 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, а з твердження 3.8.1 iз
[1, с. 137] випливає, що при ψ(k) > 0 i
∑∞
k=1
ψ(k) <∞ виконується вкладення Lψβ,1 ⊂ L∞.
Будемо вважати, що послiдовностi ψ(k), k ∈ N, якi задають класи Lψβ,p, є звуженнями
на множину натуральних чисел деяких додатних, неперервних, опуклих донизу функцiй ψ(t),
заданих на [1,∞), що задовольняють умову limt→∞ ψ(t) = 0. Множину всiх таких функцiй ψ
позначатимемо через M.
Для класифiкацiї функцiй ψ iз M за їхньою швидкiстю спадання до нуля важливу роль
вiдiграє характеристика
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
918 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
α(ψ; t) :=
ψ(t)
t|ψ′(t)|
, ψ′(t) := ψ′(t+ 0). (3)
З її допомогою з множини M видiляють такi пiдмножини (див., наприклад, [1, с. 160, 161]):
M0 := {ψ ∈M : ∃K > 0 ∀t ≥ 1 0 < K ≤ α(ψ; t)} , (4)
MC := {ψ ∈M : ∃K1,K2 > 0 ∀t ≥ 1 K1 ≤ α(ψ; t) ≤ K2 <∞} . (5)
В (4) i (5) величини K, K1, K2 можуть залежати вiд ψ. Очевидно, що MC ⊂M0.
Через γm, m ∈ N, будемо позначати довiльнi набори iз m цiлих чисел. Покладемо
Sγm(f ;x) =
∑
k∈γm
f̂(k)eikx,
де f̂(k) — коефiцiєнти Фур’є функцiї f вигляду (1).
Величину
e⊥m(f)s = inf
γm
‖f(·)− Sγm(f ; ·)‖s, 1 ≤ s ≤ ∞, (6)
називають найкращим ортогональним тригонометричним наближенням функцiї f ∈ Ls у мет-
рицi простору Ls, а величину
e⊥m(Lψβ,p)s = sup
f∈Lψβ,p
e⊥m(f)s, 1 ≤ p, s ≤ ∞, (7)
— найкращим ортогональним тригонометричним наближенням класу Lψβ,p у метрицi просто-
ру Ls.
Метою даної роботи є знаходження точних порядкових оцiнок величин e⊥n (Lψβ,p)s, β ∈ R,
при 1 ≤ p <∞ i s =∞, а також при p = 1 i 1 < s ≤ ∞.
У випадку, коли ψ(k) = k−r, r > 0, класи Lψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, β ∈ R, є вiдомими класами
Вейля – Надя W r
β,p. Для цих класiв порядковi оцiнки величин (7) при 1 < p, s <∞, є вiдомими
(див. [4, 5]). Точнi порядки величин e⊥n (W r
β,p)s, β ∈ R, встановлено також при 1 < p < ∞,
s = ∞ для всiх r >
1
p
, при p = 1, 1 < s < ∞ для всiх r >
1
s′
та при s = ∞, p = 1, r > 1 i
β = 2l + 1, l ∈ N (див. [6; 5, с. 137, 140]).
У випадку, коли ψ ∈ B ∩Θ∗p, де B — множина незростаючих додатних функцiй ψ(t), t ≥ 1,
для кожної з яких можна вказати додатну сталу K таку, що
ψ(t)
ψ(2t)
≤ K, t ≥ 1, а Θ∗q — множина
незростаючих додатних функцiй ψ(t), для яких iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(k)k1/q+ε
не зростає, в [7] знайдено точнi порядковi оцiнки величин e⊥n (Lψβ,p)∞, 1 < p < ∞, β ∈ R.
Якщо ж ψ ∈ B∩Θ∗s′ i
1
ψ(t)
опукла, то в роботi [8] встановлено точнi порядковi оцiнки величин
e⊥n (Lψβ,1)s, 1 < s <∞, для довiльних β ∈ R.
Зазначимо, що при довiльних 1 < p, s <∞ i β ∈ R точнi порядки величин e⊥n (Lψβ,p)s також
є вiдомими (див., наприклад, [9, 10]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 919
У данiй роботi знайдено двостороннi оцiнки для величин e⊥n (Lψβ,p)∞, 1 ≤ p <∞, у випадку,
коли функцiя gp(t) = ψ(t)t1/p належить до множини M0 i
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞ при 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1,
∞∑
k=1
ψ(k) <∞ при p = 1.
Крiм того, знайдено двостороннi оцiнки для величин e⊥n (Lψβ,1)s у випадку, коли gs′ ∈ M0 i∑∞
k=1
ψs(k)ks−2 < ∞, 1 < s < ∞, 1
s
+
1
s′
= 1. При цьому константи в отриманих оцiнках
будуть вираженi через параметри класiв у явному виглядi.
Позначимо через En(Lψβ,p)s точнi верхнi межi наближень сумами Фур’є функцiй iз класiв
Lψβ,p у метриках просторiв Ls, тобто величини вигляду
En(Lψβ,p)s = sup
f∈Lψβ,p
‖f(·)− Sn−1(f ; ·)‖s, 1 ≤ p, s ≤ ∞, (8)
де Sn−1(f ; ·) — частиннi суми Фур’є порядку n− 1 функцiї f.
З означень величин (7) i (8) випливає очевидна нерiвнiсть
e⊥2n−1(L
ψ
β,p)s ≤ En(Lψβ,p)s, 1 ≤ p, s ≤ ∞. (9)
Тому величини En(Lψβ,p)s природно використовувати для оцiнки зверху найкращих ортого-
нальних тригонометричних наближень вигляду (7). Встановленню точних порядкових оцiнок
величин En(Lψβ,p)s при 1 ≤ p <∞ i s =∞ та p = 1 i 1 < s ≤ ∞ присвячено роботи [11 – 16].
Щоб сформулювати основнi результати роботи, введемо наступнi позначення. Для кожного
1 < s <∞ покладемо
ξ(s) := max
{
4
(
π
s− 1
)1/s
, 14(8π)1/ss
}
, (10)
а для будь-якої функцiї ψ ∈M через αn(ψ) i αn(ψ), n ∈ N, будемо позначати величини
αn(ψ) := inf
t≥n
α(ψ; t), (11)
αn(ψ) := sup
t≥n
α(ψ; t), (12)
де характеристику α(ψ; t) означено формулою (3). У прийнятих позначеннях має мiсце наступне
твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
920 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Теорема 1. Нехай 1 < p < ∞,
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 < ∞, 1
p
+
1
p′
= 1, а функцiя gp(t) =
= ψ(t)t1/p така, що gp ∈M0 i α1(gp) = inft≥1 α(gp; t) > p′. Тодi для довiльних n ∈ N i β ∈ R
мають мiсце спiввiдношення
K
(1)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
≤ e⊥2n(Lψβ,p)∞ ≤
≤ e⊥2n−1(L
ψ
β,p)∞ ≤ K
(2)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (13)
в яких
K
(1)
ψ,p =
1
3ξ(p)
(
α1(gp)
p′ + α1(gp)
)1/p(
1− p′
α1(gp)
)
, (14)
K
(2)
ψ,p =
1
π
ξ(p′)
(
p′ + α1(gp)
α1(gp)
)1/p′
. (15)
Доведення. Згiдно з теоремою 1 з роботи [12] при виконаннi умов ψ(t)t1/p ∈M0 i∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, n ∈ N, β ∈ R, справджується оцiнка
En(Lψβ,p)∞ ≤ K
(2)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (16)
в якiй величини K(2)
ψ,p означено формулою (15). Враховуючи нерiвностi (9) i (16), отримуємо
e⊥2n(Lψβ,p)∞ ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,p)∞ ≤ K
(2)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
. (17)
Встановимо оцiнку знизу величини e⊥2n(Lψβ,p)∞. Розглянемо функцiю
f∗p (t) = f∗p (ψ;n; t) :=
λ(∑∞
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 cos kt, (18)
де
λ = λ(ψ; p;n) :=
1
ξ(p)
(
αn(gp)
p′ + αn(gp)
)1/p
, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1. (19)
У статтi [12] було показано, що при виконаннi умови gp ∈M0 функцiя f∗p належить до Lψβ,p,
1 < p <∞. Покажемо, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 921
e⊥2n(f∗p )∞ ≥ K(1)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
. (20)
Нехай
Φs(x) :=
∞∫
x
ψs(t)ts−2dt (21)
i
As(l;n) = As(ψ; l;n) :=
[
Φ−1s
(
1
2l
Φs(n)
)]
+ 2n, l ∈ N, (22)
де [α] — цiла частина дiйсного числа α, Φ−1s — функцiя, обернена до Φs.
Розглянемо величину
I1 := inf
γ2n
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
(f∗p (t)− Sγ2n(f∗p ; t))VAp′ (l;n)(t)dt
∣∣∣∣∣∣ , (23)
де VAp′ (l;n) — ядра Валле Пуссена Vm (див., наприклад, [1, с. 31]),
Vm(t) =
1
2
+
m∑
k=1
cos kt+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k
2m
)
cos kt, m ∈ N, (24)
при m = Ap′(l;n).
Згiдно з твердженням Д.1.1 з [3, с. 391],
I1 ≤ inf
γ2n
‖f∗p (t)− Sγ2n(f∗p ; t)‖∞‖VAp′ (l;n)‖1 = e⊥2n(f∗p )∞‖VAp′ (l;n)‖1. (25)
Оскiльки (див., наприклад, [13, с. 247])
‖Vm‖1 ≤ 3π, m ∈ N, (26)
то з (25) i (26) випливає оцiнка
e⊥2n(f∗p )∞ ≥
1
3π
I1. (27)
Ядра Vm вигляду (24) можна записати у виглядi
Vm(t) =
1
2
(
1 +
m∑
k=1
eikt +
−1∑
k=−m
eikt + 2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k
2m
)
eikt +
+ 2
−m−1∑
k=−2m+1
(
1− |k|
2m
)
eikt
)
. (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
922 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Крiм того,
f∗p (t)− Sγ2n(f∗p ; t) =
λ
2 (
∑∞
k=n ψ
p′(k)kp′−2)
1/p
∑
|k|≥n
k/∈γ2n
ψp
′
(|k|)|k|p′−2eikt. (29)
Оскiльки
π∫
−π
eikteimtdt =
0, k +m 6= 0,
2π, k +m = 0,
k,m ∈ Z, (30)
то з урахуванням (28) маємо
π∫
−π
∑
|k|≥n
k/∈γ2n
ψp
′
(|k|)|k|p′−2eiktVAp′ (l;n)(t)dt =
=
1
2
π∫
−π
∑
k≥n
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2eikt +
∑
k≤−n
k/∈γ2n
ψp
′
(|k|)|k|p′−2eikt
×
×
1 +
Ap′ (l;n)∑
k=1
eikt +
−1∑
k=−Ap′ (l;n)
eikt + 2
2Ap′ (l;n)−1∑
k=Ap′ (l;n)+1
(
1− k
2Ap′(l;n)
)
eikt +
+2
−Ap′ (l;n)−1∑
k=−2Ap′ (l;n)+1
(
1− |k|
2Ap′(l;n)
eikt
) dt =
= π
∑
n≤k≤Ap′ (l;n)
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2 +
∑
−Ap′ (l;n)≤k≤−n
k/∈γ2n
ψp
′
(|k|)|k|p′−2 +
+2
∑
Ap′ (l;n)+1≤k≤2Ap′ (l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2Ap′(l;n)
)
ψp
′
(k)kp
′−2+
+ 2
∑
−2Ap′ (l;n)+1≤k≤−Ap′ (l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2Ap′(l;n)
)
ψp
′
(|k|)|k|p′−2
>
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 923
> π
∑
n≤k≤Ap′ (l;n)
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2 +
∑
−Ap′ (l;n)≤k≤−n
k/∈γ2n
ψp
′
(|k|)|k|p′−2
=
= π
∑
n≤|k|≤Ap′ (l;n)
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2. (31)
Згiдно з (23), (29) i (31)
I1 >
πλ
2 (
∑∞
k=n ψ
p′(k)kp′−2)
1/p
inf
γ2n
∑
n≤|k|≤Ap′ (l;n)
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2. (32)
Оскiльки при gp ∈M0 функцiя ψp
′
(t)tp
′−2 монотонно спадає, то
inf
γ2n
∑
n≤|k|≤Ap′ (l;n)
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2 =
∑
2n≤|k|≤Ap′ (l;n)
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2 = 2
Ap′ (l;n)∑
k=2n
ψp
′
(k)kp
′−2. (33)
Покажемо, що за умови, коли функцiя gs′(t) = ψ(t)t1/s
′
, 1 < s < ∞, 1
s
+
1
s′
= 1, така, що
gs′ ∈M0, для довiльних l, n ∈ N
As(l;n)∑
k=2n
ψs(k)ks−2 >
(
1− 1
2l
− s
αn(gs′)
) ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2. (34)
Запишемо
∑As(l;n)
k=2n
ψs(k)ks−2 у виглядi
As(l;n)∑
k=2n
ψs(k)ks−2 =
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2 −
2n−1∑
k=n
ψs(k)ks−2 −
∞∑
k=As(l;n)+1
ψs(k)ks−2. (35)
З (22) та властивостi спадання функцiї Φs(·) вигляду (21) випливає оцiнка
∞∑
k=As(l;n)+1
ψs(k)ks−2 ≤
∞∫
As(l;n)
ψs(t)ts−2dt =
= Φs(As(l;n)) <
1
2l
Φs(n) ≤ 1
2l
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2. (36)
Встановимо оцiнку зверху для суми
∑2n−1
k=n
ψs(k)ks−2. Для цього скористаємось лемою 3
з роботи [12].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
924 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Лема 1. Нехай
∑∞
k=1
ψs(k)ks−2 < ∞, 1 < s < ∞, n ∈ N. Тодi якщо функцiя gs′ :=
:= ψ(t)t1/s
′ ∈M0,
1
p
+
1
p′
= 1, така, що gs′ ∈M0, то виконується нерiвнiсть
ψs(n)ns−1 ≤ s
αn(gs′)
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2, (37)
якщо ж gs′ ∈MC , то має мiсце спiввiдношення
s
αn(gs′)
nαn(gs′)
s+ nαn(gs′)
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2 ≤ ψs(n)ns−1 ≤ s
αn(gs′)
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2. (38)
Враховуючи, що при gs′ ∈M0 функцiя ψs(t)ts−2 спадає, тa використовуючи нерiвнiсть (37),
одержуємо
2n−1∑
k=n
ψs(k)ks−2 ≤ ψs(n)ns−1 ≤ s
αn(gs′)
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2. (39)
Iз (35), (36) i (39) отримуємо нерiвнiсть (34).
Застосовуючи нерiвнiсть (34) при s = p′, на пiдставi формул (27), (32) i (33) для довiльних
l ∈ N одержуємо оцiнку
e⊥2n(f∗)∞ ≥
λ
3
(
1− 1
2l
− p′
αn(gp)
)( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
=
=
1
3ξ(p)
(
αn(gp)
p′ + αn(gp)
)1/p(
1− 1
2l
− p′
αn(gp)
)( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
. (40)
Переходячи до границi в нерiвностi (40) при l→∞, отримуємо (20). Iз (17) i (20) випливає (13).
Теорему 1 доведено.
Неважко переконатись, що умови теореми 1 задовольняють, наприклад, функцiї
ψ(t) = t−r,
1
p
< r < 1, (41)
ψ(t) = t
− 1
p ln−γ(t+K), γ >
1
p′
, K ≥ eγp′ − 1, (42)
ψ(t) = t−1/p ln−γ(t+K1)(ln ln(t+K2))
−δ, γ ≥ 1
p′
, δ >
1
p′
, K2 ≥ K1e
max{(γ+δ)p′,e} − 1.
(43)
Теорема 2. Нехай 1 < s < ∞,
∑∞
k=1
ψs(k)ks−2 < ∞, 1
s
+
1
s′
= 1, a функцiя gp(t) =
= ψ(t)t1/p така, що gs′ ∈M0 i α1(gs′) = inft≥1 α(gs′ ; t) > s. Тодi для довiльних n ∈ N i β ∈ R
мають мiсце спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 925
4
3
K
(1)
ψ,s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s
≤ e⊥2n(Lψβ,1)s ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,1)s ≤ K
(2)
ψ,s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s
, (44)
де K(1)
ψ,s′ i K(2)
ψ,s′ означено формулами (14) i (15) вiдповiдно.
Згiдно з теоремою 1 з роботи [13, с. 245], при виконаннi умов gs′ ∈M0 i
∑∞
k=1
ψs(k)ks−2 <
<∞, 1 < s <∞, 1
s
+
1
s′
= 1, n ∈ N, β ∈ R, має мiсце нерiвнiсть
En(Lψβ,1)s ≤ K
(2)
ψ,s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s
. (45)
Тому, враховуючи (9) i (45), отримуємо оцiнку
e⊥2n(Lψβ,1)s ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,1)s ≤ K
(2)
ψ,s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s
. (46)
Залишилось показати, що
e⊥2n(Lψβ,1)s ≥
4
3
K
(1)
ψ,s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s
. (47)
При довiльному m ∈ N покладемо
fm(t) = fm(ψ;β; t) :=
:=
1
4π
(
m∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k
2m
)
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
))
=
=
1
8π
(
e−i
βπ
2
m∑
k=1
ψ(k)eikt + ei
βπ
2
−1∑
k=−m
ψ(|k|)eikt +
+ 2e−i
βπ
2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k
2m
)
ψ(k)eikt + 2ei
βπ
2
m−1∑
k=−2m+1
(
1− |k|
2m
)
ψ(|k|)eikt
)
. (48)
У статтi [13, с. 246, 247] було встановлено, що fm ∈ Lψβ,1 при будь-яких m ∈ N.
Покажемо, що при m = As(l;n), де As(l;n) означено рiвнiстю (22), має мiсце нерiвнiсть
e⊥2n(fAs(l;n))s ≥
≥ 1
4ξ(s′)
(
αn(gs′)
s+ αn(gs′)
)1/s′(
1− 1
2l
− s
αn(gs′)
)( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s
, l, n ∈ N. (49)
Покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
926 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
I2 := inf
γ2n
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
(fAs(l;n)(t)− Sγ2n(fAs(l;n); t))
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)
dt
∣∣∣∣∣∣ . (50)
Використавши твердження 3.8.1 з роботи [1, с. 137], запишемо
I2 ≤ inf
γ2n
‖fAs(l;n)(t)− Sγ2n(fAs(l;n); t)‖s
∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)∥∥∥∥∥
s′
=
= e⊥2n(fAs(l;n))s
∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)∥∥∥∥∥
s′
, 1 < s <∞. (51)
Згiдно з формулою (25) з роботи [13, с. 249],∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)∥∥∥∥∥
s′
≤
≤ ξ(s′)
(
1 +
s
αn(gs′)
)1/s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s′
, 1 < s <∞. (52)
З урахуванням (48) має мiсце рiвнiсть
fAs(l;n)(t)− Sγ2n(fAs(l;n); t) =
=
1
8π
e−iβπ2 ∑
1≤k≤As(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k)eikt + ei
βπ
2
∑
−As(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|)eikt +
+2e−i
βπ
2
∑
As(l;n)+1≤k≤2As(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2As(l;n)
)
ψ(k)eikt+
+ 2ei
βπ
2
∑
−2As(l;n)+1≤k≤As(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2As(l;n)
)
ψ(|k|)eikt
. (53)
Крiм того,
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)
=
=
1
2
(
e−i
βπ
2
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2eikt + ei
βπ
2
−n∑
k=−∞
ψs−1(|k|)|k|s−2eikt
)
. (54)
Використовуючи (30), (53) i (54), одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 927
π∫
−π
(fAs(l;n)(t)− Sγ2n(fAs(l;n); t))
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)
dt =
=
1
8
∑
n≤k≤As(l;n)
k/∈γ2n
ψs(k)ks−2 +
∑
−As(l;n)≤k≤−n
k/∈γ2n
ψs(|k|)|k|s−2 +
+2
∑
As(l;n)+1≤k≤2As(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2As(l;n)
)
ψs(k)ks−2+
+ 2
∑
−2As(l;n)+1≤k≤−As(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2As(l;n)
)
ψs(|k|)|k|s−2
>
>
1
8
∑
n≤k≤As(l;n)
k/∈γ2n
ψs(k)ks−2 +
∑
−As(l;n)≤k≤−n
k/∈γ2n
ψs(|k|)|k|s−2
=
=
1
8
∑
n≤|k|≤As(l;n)
k/∈γ2n
ψs(k)ks−2. (55)
Отже, згiдно з (50) i (55)
I2 >
1
8
inf
γ2n
∑
n≤|k|≤As(l;n)
k/∈γ2n
ψs(k)ks−2. (56)
Враховуючи, що при gs′ ∈M0 функцiя ψs(t)ts−2 спадає, маємо
inf
γ2n
∑
n≤|k|≤As(l;n)
k/∈γ2n
ψs(k)ks−2 = 2
As(l;n)∑
k=2n
ψs(k)ks−2. (57)
З (34), (56) i (57) випливає нерiвнiсть
I2 >
1
4
(
1− 1
2l
− s
αn(gs′)
) ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2. (58)
На пiдставi формул (51), (52) i (58) отримуємо (49).
З того, що fAs(l;n) ∈ L
ψ
β,1, випливає
e⊥2n(fAs(l;n))s ≥ e
⊥
2n(Lψβ,1)s, l ∈ N.
Тодi при l→∞ з останньої нерiвностi i нерiвностi (49) отримуємо (47).
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
928 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Оскiльки, згiдно зi спiввiдношенням (38),
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 � ψp′(n)np
′−1 при gp ∈MC ,
то з теорем 1 i 2 випливає наступне твердження.
Наслiдок 1. Нехай
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞ i
α1(gp) = inf
t≥1
α(gp; t) > p′,
де gp(t) = ψ(t)(t)t1/p, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1. Тодi якщо gp ∈M0, то для довiльного β ∈ R
e⊥n (Lψβ,p)∞ � e
⊥
n (Lψβ,1)p′ �
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (59)
якщо ж gp ∈MC , то для довiльного β ∈ R
e⊥n (Lψβ,p)∞ � e
⊥
n (Lψβ,1)p′ � ψ(n)n1/p. (60)
Зауважимо, що коли gp ∈M0 i
lim
t→∞
α(gp; t) =∞, (61)
то порядковi рiвностi (60) не справджуються, оскiльки в цьому випадку виконується оцiнка
ψ(n)n1/p = o
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, n→∞,
яка є наслiдком нерiвностi (37). Прикладом функцiй ψ, якi задовольняють умови наслiдку 1 i
для яких виконується умова (61), є функцiї вигляду (42) i (43).
Застосувавши наслiдок 1 до функцiй ψ вигляду (42) i (43), отримаємо наступне твердження.
Наслiдок 2. Нехай ψ(t) = t−1/p ln−γ(t+K), γ >
1
p′
, K ≥ eγp′−1, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1
i β ∈ R. Тодi
e⊥n (Lψβ,p)∞ � e
⊥
n (Lψβ,1)p′ � ψ(n)n1/p ln1/p′ n, n ∈ N \ {1}.
Наслiдок 3. Нехай ψ(t) = t−1/p ln−1/p
′
(t + K1)(ln ln(t + K2))
−δ, δ >
1
p′
, K2 ≥ K1 ≥
≥ emax{(γ+δ)p′,e} − 1, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, β ∈ R i n ∈ N. Тодi
e⊥n (Lψβ,p)∞ � e
⊥
n (Lψβ,1)p′ � ψ(n)n1/p(lnn)1/p
′
(ln lnn)1/p
′
, n ∈ N \ {1, 2}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 929
Теорема 3. Нехай
∑∞
k=1
ψ(k) < ∞, а функцiя g(t) = ψ(t)t така, що g ∈ M0 i α1(g) =
= inft≥1 α(g; t) > 1. Тодi якщо cos
βπ
2
6= 0, β ∈ R, то для довiльного n ∈ N
1
12π
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ (1− 1
α1(g)
) ∞∑
k=n
ψ(k) ≤ e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,1)∞ ≤
1
π
∞∑
k=n
ψ(k). (62)
Доведення. Згiдно з теоремою 2 з роботи [13, с. 255], за умови
∑∞
k=1
ψ(k) <∞ справджу-
ється нерiвнiсть
En(Lψβ,1)∞ ≤
1
π
∞∑
k=n
ψ(k). (63)
Iз (9) i (63) маємо
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,1)∞ ≤
1
π
∞∑
k=n
ψ(k). (64)
Встановимо оцiнку знизу величини e⊥2n(Lψβ,1)∞. Покладемо
Ψ(x) :=
∞∫
x
ψ(t)dt,
D(l;n) = D(ψ; l;n) :=
[
Ψ−1
(
1
2l
Ψ(n)
)]
+ 2n, l, n ∈ N, (65)
i
I3 := inf
γ2n
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
(fD(l;n)(t)− Sγ2n(fD(l;n); t))VD(l;n)(t)dt
∣∣∣∣∣∣ , (66)
де функцiю fD(l;n)(t) означено формулою (48) при m = D(l;n).
Використовуючи твердження Д.1.1 з [3, с. 391] та формулу (26), можемо записати оцiнку
I3 ≤ inf
γ2n
‖fD(l;n)(t)− Sγ2n(fD(l;n); t)‖∞‖VD(l;n)‖1 =
= e⊥2n(fD(l;n))∞‖VD(l;n)‖1 ≤ 3πe⊥2n(fD(l;n))∞. (67)
Згiдно з (48)
fD(l;n)(t)− Sγ2n(fD(l;n); t) =
=
1
8π
e−iβπ2 ∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k)eikt + ei
βπ
2
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|)eikt +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
930 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
+2e−i
βπ
2
∑
D(l;n)+1≤k≤2D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2D(l;n)
)
ψ(k)eikt+
+ 2ei
βπ
2
∑
−2D(l;n)+1≤k≤−D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2D(l;n)
)
ψ(|k|)eikt
. (68)
Iз (28) при m = D(l;n) маємо
VD(l;n)(t) =
1
2
1 +
D(l;n)∑
k=1
eikt +
∑
−D(l;n)≤k≤−1
eikt + 2
2D(l;n)−1∑
k=D(l;n)
(
1− k
2D(l;n)
)
eikt +
+ 2
−D(l;n)−1∑
k=−2D(l;n)+1
(
1− |k|
2D(l;n)
)
eikt
. (69)
Iз (30), (68) i (69) випливає∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
(fD(l;n)(t)− Sγ2n(fD(l;n); t))VD(l;n)(t)dt
∣∣∣∣∣∣ =
=
1
8
∣∣∣∣∣∣∣ e−i
βπ
2
∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) + ei
βπ
2
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|) +
+2e−i
βπ
2
∑
D(l;n)+1≤k≤2D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2D(l;n)
)2
ψ(k)+
+ 2ei
βπ
2
∑
−2D(l;n)+1≤k≤−D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2D(l;n)
)2
ψ(|k|)
∣∣∣∣∣∣∣ =
=
1
8
∣∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣∣
∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) +
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|) +
+2
∑
D(l;n)+1≤k≤2D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2D(l;n)
)2
ψ(k)+
+ 2
∑
−2D(l;n)+1≤k≤−D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2D(l;n)
)2
ψ(|k|)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 931
+i sin
βπ
2
− ∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) +
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|) −
−2
∑
D(l;n)+1≤k≤2D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2D(l;n)
)2
ψ(k)+
+ 2
∑
−2D(l;n)+1≤k≤−D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2D(l;n)
)2
ψ(|k|)
∣∣∣∣∣∣∣ ≥
≥ 1
8
∣∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣∣
∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) +
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|) +
+2
∑
D(l;n)+1≤k≤2D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2D(l;n)
)2
ψ(k)+
+ 2
∑
−2D(l;n)+1≤k≤−D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2D(l;n)
)2
ψ(|k|)
>
>
1
8
∣∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣∣
∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) +
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|)
. (70)
На пiдставi (66) i (70) отримуємо оцiнку
I3 >
1
8
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ inf
γ2n
∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) +
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|)
=
=
1
8
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ inf
γ2n
∑
1≤|k|≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) =
1
4
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ D(l;n)∑
k=n+1
ψ(k) =
=
1
4
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣
∞∑
k=n
ψ(k)− ψ(n)−
∞∑
k=D(l;n)+1
ψ(k)
. (71)
З (65) випливає, що для довiльних l ∈ N
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
932 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
∞∑
k=D(l;n)+1
ψ(k) ≤
∞∫
D(l;n)
ψ(t)dt = Ψ(D(l;n)) <
1
2l
Ψ(n) ≤ 1
2l
∞∑
k=n
ψ(k). (72)
Далi нам буде корисним наступне твердження з роботи [13, с. 259].
Лема 2. Нехай
∑∞
k=1
ψ(k) < ∞. Тодi якщо функцiя g(t) = ψ(t)t така, що g ∈ M0, то
для довiльних n ∈ N
ψ(n)n ≤ 1
αn(g)
∞∑
k=n
ψ(k). (73)
Якщо ж g ∈MC , то
1
αn(g)
nαn(g)
1 + nαn(g)
∞∑
k=n
ψ(k) ≤ ψ(n)n ≤ 1
αn(g)
∞∑
k=n
ψ(k). (74)
З урахуванням формул (71) – (73) маємо
I3 >
1
4
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ (1− 1
αn(g)n
− 1
2l
) ∞∑
k=n
ψ(k), l ∈ N. (75)
З (67) та (75) за умови cos
βπ
2
6= 0 отримуємо
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≥ e
⊥
2n(fD(l;n))∞ ≥
1
3π
I3 >
>
1
12π
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ (1− 1
α1(g)n
− 1
2l
) ∞∑
k=n
ψ(k). (76)
Переходячи у формулi (76) до границi при l→∞, одержуємо
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≥
1
12π
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ (1− 1
α1(g)n
) ∞∑
k=n
ψ(k). (77)
Oб’єднуючи (64) i (77), отримуємо (62).
Теорему 3 доведено.
Теорема 4. Нехай
∑∞
k=1
ψ(k) <∞, а функцiя g(t) = ψ(t)t така, що g ∈M0 i
α1(g) = inf
t≥1
α(g; t) > 1. (78)
Тодi якщо cos
βπ
2
= 0, β ∈ R, то для довiльних n ∈ N виконуються нерiвностi
1
60π
(
1− 1
α1(g)
)
ψ(n)n ≤ e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,1)∞ ≤
(
1 +
2
π
)
ψ(n)n. (79)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 933
Доведення. Згiдно з теоремою 4 з [13, с. 262], при виконаннi умов
∑∞
k=1
ψ(k) < ∞,
g ∈M0, cos
βπ
2
= 0, β ∈ R, справджується оцiнка
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,1)∞ ≤ En(Lψβ,1)∞ ≤
(
1 +
2
π
)
ψ(n)n. (80)
Встановимо оцiнку знизу величини e⊥2n(Lψβ,1)∞. Розглянемо функцiю
f∗n(t) = f∗n(ψ; t) :=
1
5πn
(
n∑
k=1
kψ(k) cos kt+
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k)ψ(k) cos kt
)
. (81)
У статтi [13, с. 263 – 265] показано, що f∗n належить класу Lψβ,1. Доведемо, що
e⊥2n(f∗n)∞ ≥
1
60π
(
1− 1
α1(g)
)
ψ(n)n. (82)
Покладемо
I4 := inf
γ2n
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
(f∗n(t)− Sγ2n(f∗n; t))V2n(t)dt
∣∣∣∣∣∣ , (83)
де Vm — суми Валле Пуссена вигляду (24).
Використавши твердження Д.1.1 з [3, с. 391] та нерiвнiсть (26), отримаємо
I4 ≤ inf
γ2n
‖f∗n(t)− Sγ2n(f∗n; t)‖∞‖V2n‖1 ≤ 3π e⊥2n(f∗n)∞. (84)
Оскiльки згiдно з формулою (81) має мiсце рiвнiсть
f∗n(t)− Sγ2n(f∗n; t) =
1
10πn
∑
1≤k≤n
k/∈γ2n
kψ(k)eikt +
∑
−n≤k≤−1
k/∈γ2n
|k|ψ(|k|)eikt +
+
∑
n+1≤k≤2n
k/∈γ2n
(2n+ 1− k)ψ(k)eikt +
∑
−2n≤k≤−n−1
k/∈γ2n
(2n+ 1− k)ψ(|k|)eikt
,
а згiдно з (28) — рiвнiсть
V2n(t) =
1
2
(
1 +
2n∑
k=1
eikt +
−1∑
k=−2n
eikt + 2
4n−1∑
k=2n+1
(
1− k
2n
)
eikt + 2
−2n−1∑
k=−4n+1
(
1− |k|
2n
)
eikt
)
,
то, застосовуючи формули (30), знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
934 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
π∫
−π
(f∗n(t)− Sγ2n(f∗n; t))V2n(t)dt =
1
10n
∑
1≤k≤n
k/∈γ2n
kψ(k) +
∑
−n≤k≤−1
k/∈γ2n
|k|ψ(|k|)+
+
∑
n+1≤k≤2n
k/∈γ2n
(2n+ 1− k)ψ(k) +
∑
−2n≤k≤−n−1
k/∈γ2n
(2n+ 1− |k|)ψ(|k|)
. (85)
Враховуючи формули (83) i (85), монотонне спадання функцiї g та виконуючи елементарнi
перетворення, записуємо оцiнку величини I4:
I4 =
1
10n
inf
γ2n
∑
1≤k≤n
k/∈γ2n
kψ(k) +
∑
−n≤k≤−1
k/∈γ2n
|k|ψ(|k|) +
+
∑
n+1≤k≤2n
k/∈γ2n
(2n+ 1− k)ψ(k) +
∑
−2n≤k≤−n−1
k/∈γ2n
(2n+ 1− |k|)ψ(|k|)
>
>
1
5n
2n∑
k=n+1
ψ(k)(2n+ 1− k) ≥ ψ(2n)
5n
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k) =
= ψ(2n)
n+ 1
10
>
1
10
ψ(2n)n. (86)
Використовуючи спiввiдношення (84) i (86), отримуємо
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≥ e
⊥
2n(f∗n)∞ ≥
1
3π
I4 ≥
1
30π
ψ(n)n
ψ(2n)
ψ(n)
=
1
60π
ψ(n)n
g(2n)
g(n)
. (87)
Оскiльки, як показано в [13, с. 266], за умови (78) виконується нерiвнiсть
g(2n)
g(n)
> 1− 1
α1(g)
,
то з (87) випливає оцiнка (82). Iз (80) i (82) випливає (79).
Теорему 4 доведено.
Оскiльки g ∈M0, де g(t) = ψ(t)t, то згiдно з [1, с. 175] виконується нерiвнiсть
g(2n)
g(n)
> K1.
Тодi з (87) отримуємо оцiнку
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≥ K2ψ(n)n, cos
βπ
2
= 0, β ∈ R. (88)
Крiм того, очевидно, що при достатньо великих n справджується нерiвнiсть α1(g)n > K3 > 1.
Тодi з (77) маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 935
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≥ K4
∞∑
k=n
ψ(k), cos
βπ
2
6= 0, β ∈ R. (89)
Згiдно зi спiввiдношенням (74), якщо g ∈MC , то
∞∑
k=n
ψ(k) � ψ(n)n. (90)
Iз (64), (80), (88) – (90) випливає наступне твердження.
Теорема 5. Нехай
∑∞
k=1
ψ(k) < ∞ i β ∈ R. Тодi якщо функцiя g(t) = ψ(t)t така, що
g ∈M0, то
e⊥n (Lψβ,1)∞ �
∑∞
k=n
ψ(k), cos
βπ
2
6= 0,
ψ(n)n, cos
βπ
2
= 0,
якщо ж g ∈MC , то
e⊥n (Lψβ,1)∞ � ψ(n)n.
Неважко переконатись, що умови теореми 5 задовольняють, наприклад, функцiї
ψ(t) = t−r, r > 1, (91)
ψ(t) = t−1 ln−γ(t+K), K > 0, γ > 1, (92)
ψ(t) = t−1 ln−γ(t+K1)(ln ln(t+K2))
−δ, γ ≥ 1, δ > 1, K1 > 0, K2 > e− 1. (93)
Зауважимо, що коли g ∈M0, g(t) = ψ(t)t i
lim
t→∞
α(g; t) =∞, (94)
то виконується оцiнка
ψ(n)n = o
( ∞∑
k=n
ψ(k)
)
, n→∞,
яка є наслiдком нерiвностi (73).
Прикладом функцiй ψ(t), якi задовольняють умови теореми 5 i для яких виконується умова
(94), є функцiї вигляду (92) та (93).
Наведемо порядковi оцiнки величин e⊥n (Lψβ,1)∞ для функцiй вигляду (91) – (93).
Наслiдок 4. Нехай ψ(t) = t−r, r > 1 i β ∈ R. Тодi
e⊥n (W r
β,1)∞ � n−r+1. (95)
При β = 2l + 1, l ∈ Z, порядкову рiвнiсть (95) знайдено в [6, с. 260].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
936 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Наслiдок 5. Нехай ψ(t) = t−1 ln−γ(t+K), γ > 1, K > 0, β ∈ R i n ∈ N \ {1}. Тодi
e⊥n (Lψβ,1)∞ �
ψ(n)n lnn, cos
βπ
2
6= 0,
ψ(n)n, cos
βπ
2
= 0.
Наслiдок 6. Нехай ψ(t) = t−1 ln−1(t+K1)(ln ln(t+K2))
−δ, δ > 1, K1 > 0, K2 > e − 1,
β ∈ R i n ∈ N \ {1, 2}. Тодi
e⊥n (Lψβ,1)∞ �
ψ(n)n lnn ln(lnn), cos
βπ
2
6= 0,
ψ(n)n, cos
βπ
2
= 0.
1. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40. –
Ч. I. – 427 с.
2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 538 с.
3. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
4. Романюк А. С. Приближение классов периодических функций многих переменных // Мат. заметки. – 2002. –
71, №1. – С. 109 – 121.
5. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Працi Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 c.
6. Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций многих пере-
менных в равномерной метрике // Мат. заметки. – 2007. – 81, № 2. – С. 247 – 261.
7. Шкапа В. В. Оцiнки найкращих M -членних та ортогональних тригонометричних наближень функцiй iз класiв
Lψβ,p у рiвномiрнiй метрицi // Диференцiальнi рiвняння та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2014. – 11, № 2. – С. 305 – 317.
8. Шкапа В. В. Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення функцiй iз класiв Lψβ,1 // Теорiя наближення
функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11, № 3. – С. 315 – 329.
9. Федоренко А. С. Про найкращim-членнi тригонометричнi та ортогональнi тригонометричнi наближення функ-
цiй класiв Lψβ,p // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 12. – С. 1719 – 1721.
10. Федоренко О. С. Наближення (ψ, β)-диференцiйовних функцiй тригонометричними полiномами: Автореф.
дис. ... канд. фiз.-мат. наук. – Київ, 2001. – 16 с.
11. Грабова У. З., Сердюк А. С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв (ψ, β)-
диференцiйовних функцiй // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 9. – С. 1186 – 1197.
12. Сердюк А. С., Степанюк Т. А. Порядковi оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є в рiвно-
мiрнiй метрицi класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 12. –
С. 1658 – 1675.
13. Степанюк Т. А. Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є класiв згорток перiодичних функцiй
невеликої гладкостi в iнтегральних метриках // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2014. – 11, № 3. – С. 241 – 269.
14. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40. –
Ч. II. – 468 с.
15. Романюк В. С. Дополнения к оценкам приближения суммами Фурье классов бесконечно дифференцируемых
функций // Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Працi Iн-ту математики НАН України. –
2003. – 46. – С. 131 – 135.
16. Сердюк А. С., Степанюк Т. А. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв
нескiнченно диференцiйовних функцiй// Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2013. – 10, № 1. – С. 255 – 282.
17. Temlyakov V. N. Approximation of periodic function. – New York: Nova Sci. Publ., 1993. – 419 p.
Одержано 09.10.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
|