Две теоремы комплексного анализа
Доведено дві фундаментальні теореми багатовимiрного комплексного аналiзу на основі самого цього аналiзу — без застосування теорії субгармонічних функцій. Єдине порушення — формула Гріна....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165686 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Две теоремы комплексного анализа / Ю.Ю. Трохимчук // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 973–980. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165686 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656862020-02-16T01:26:31Z Две теоремы комплексного анализа Трохимчук, Ю.Ю. Статті Доведено дві фундаментальні теореми багатовимiрного комплексного аналiзу на основі самого цього аналiзу — без застосування теорії субгармонічних функцій. Єдине порушення — формула Гріна. We prove two fundamental theorems of multidimensional complex analysis by the methods of this analysis without using the theory of subharmonic functions. As a single violation, we can mention the use of Green’s formula. 2015 Article Две теоремы комплексного анализа / Ю.Ю. Трохимчук // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 973–980. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165686 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Трохимчук, Ю.Ю. Две теоремы комплексного анализа Український математичний журнал |
| description |
Доведено дві фундаментальні теореми багатовимiрного комплексного аналiзу на основі самого цього аналiзу — без застосування теорії субгармонічних функцій. Єдине порушення — формула Гріна. |
| format |
Article |
| author |
Трохимчук, Ю.Ю. |
| author_facet |
Трохимчук, Ю.Ю. |
| author_sort |
Трохимчук, Ю.Ю. |
| title |
Две теоремы комплексного анализа |
| title_short |
Две теоремы комплексного анализа |
| title_full |
Две теоремы комплексного анализа |
| title_fullStr |
Две теоремы комплексного анализа |
| title_full_unstemmed |
Две теоремы комплексного анализа |
| title_sort |
две теоремы комплексного анализа |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165686 |
| citation_txt |
Две теоремы комплексного анализа / Ю.Ю. Трохимчук // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 973–980. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT trohimčukûû dveteoremykompleksnogoanaliza |
| first_indexed |
2025-07-14T19:31:57Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:31:57Z |
| _version_ |
1837652003113664512 |
| fulltext |
УДК 517.9
Ю. Ю. Трохимчук (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ДВЕ ТЕОРЕМЫ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА
We prove two fundamental theorems from multidimensional complex analysis by the methods of this analysis without using
the theory of subharmonic functions. As a single violation, we can mention Green’s formula.
Доведено двi фундаментальнi теореми багатовимiрного комплексного аналiзу на основi самого цього аналiзу — без
застосування теорiї субгармонiчних функцiй. Єдине порушення — формула Грiна.
Теоремы Хартогса и Радо считаются знаковыми утверждениями в многомерном комплексном
анализе. Сразу после первых публикаций самих авторов возникло много новых доказательств,
дальнейших обобщений. Первые доказательства стали образцом для этих обобщений, получа-
емых на основе различных тонких результатов действительного анализа.
В настоящей статье предлагается чисто „комплексный” подход к этим теоремам — не без
применения элементарной теоретико-множественной топологии.
Теорема Хартогса. Первой теоремой для нас, конечно, будет знаменитая теорема Хартогса
в следующей формулировке:
Если функция f(z1, z2, . . . , zn) голоморфна в любой точке области D ⊂ Cn по каждой
переменной zν , то она голоморфна в D.
Грубо говоря: если функция разлагается в одномерные степенные ряды, то она разлагается
и в кратные.
В начале нам потребуются некоторые утверждения о последовательностях множеств в ев-
клидовом пространстве. Именно, пусть {Am} — последовательность множеств в некоторой
ограниченной области D евклидова пространства Rn, n ≥ 1. Множество A ⊂ D называется
пределом этой последовательности: A = limmAm, если: 1) в каждой окрестности произволь-
ной его точки находятся точки всех Am, начиная с некоторого номера m, и 2) A состоит из
всех таких точек. При этом сама последовательность называется сходящейся к множеству A.
В известной теореме [1] утверждается, что из любой последовательности произвольных
множеств можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Нам потребуется сначала случай компактных Am, когда и пределы окажутся компакта-
ми. Именно, пусть в ограниченной области D ⊂ Rn задана последовательность {Bm} от-
крытых множеств. Возьмем их замыкания Bm и будем предполагать, что возникающая по-
следовательность компактов сходится (иначе выделили бы сходящуюся подпоследователь-
ность: limmBm = B̃). Ядром последовательности открытых множеств Bm назовем множество
B = Int B̃ внутренних точек компакта B̃; ядро может оказаться и пустым, т. е. когда компакт
B̃ нигде не плотен в Rn. Но если B 6= ∅, то будем говорить, что последовательность открытых
множеств {Bm} сходится к B как к ядру: limmBm = B.
Легко видеть, что в этом случае ядро B характеризуется двумя свойствами:
1) каждое компактное подмножество K ⊂ B принадлежит всем (открытым) множествам
Bm, начиная с некоторого номера m;
2) B — максимальное открытое множество с этим свойством.
c© Ю. Ю. ТРОХИМЧУК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7 973
974 Ю. Ю. ТРОХИМЧУК
Иногда ядром называют любое открытое множество со свойством 1, но без условия мак-
симальности. Нам удобнее рассматривать случаи сходящихся (к ядру) последовательностей
открытых множеств, хотя во многих случаях это и связано с выбором соответствующих под-
последовательностей.
Далее потребуются определенные утверждения, связанные с понятием ядра последова-
тельности римановых поверхностей, возникающих как образы ограниченных аналитических
отображений (в данном случае — плоских односвязных областей).
Рассмотрим произвольную последовательность римановых поверхностей Fn, n = 1, 2, . . . ,
расположенных над плоскостью ζ. Скажем, что поверхности Fn имеют общий кругQ : |ζ−ζ0| <
< ρ, если на каждой поверхности Fn зафиксирован однолистный круг Q(n), расположенный
над кругом Q плоскости ζ.
Исключим из каждой Fn все точки ветвления и полученную последовательность, очевидно,
с тем же кругом Q запишем как {F ′n}.
Определим теперь риманову поверхность F ′, содержащую круг Q, ядром последовательно-
сти {F ′n}, если: 1) каждая компактная подобласть ее принадлежит всем F ′n, начиная с некоторого
значения n, и 2) каждое расширение F ∗ этой поверхности, F ∗ ⊃ F ′, не имеет этого свойства.
А теперь, присоединив к F ′ все „внутренние” возникающие точки ветвления, получим
поверхность F, которую назовем ядром первоначальной последовательности {F ′n}.
Если поверхности последовательности {Fn} имеют общей вместо круга Q единственную
точку ζ0, то эту точку мы и назовем ядром этой последовательности.
Основным здесь для нас результатом является следующее утверждение [2 – 5].
Пусть в связных областях Gn, расположенных на одной и той же ограниченной римано-
вой поверхности R над плоскостью z, заданы аналитические функции fn(z), ограниченные в
совокупности и отображающие соответствующие Gn на некоторую риманову поверхность Fn
над плоскостью ζ. Тогда для каждой области G0 их равномерной сходимости с предельной
функцией f(z) 6≡ const на всех поверхностях Fn, начиная с некоторого, можно зафиксировать
общий однолистный круг Q так, что функция f(z) отображает область G0 на ядро F последо-
вательности {Fn}, однозначно определенное кругомQ. При этом для сходимости поверхностей
{Fn} к ядру F необходимо и достаточно, чтобы для любой подпоследовательности {fnk
(z)}
последовательности {fn(z)} область их равномерной сходимости совпадала с G0.
Если же ядро F вырождается в единственную точку ζ0, то fn(z) равномерно сходятся
именно к константе ζ0.
Из этой теоремы можно вывести, что в случае f(z) 6≡ const функции ϕn(w), обратные к
fn(z), сходятся равномерно в области F ′ ⊂ F (т. е. вне точек ветвления F ), а изолированность
точек ветвления позволяет утверждать, что здесь мы имеем равномерную сходимость функций
ϕn(w) на всем ядре F : точки ветвления F сами являются предельными для точек ветвления
Fn (и того же порядка).
Ниже нам необходимо будет рассматривать последовательность произвольных открытых
множеств (но с конечным числом компонент), для которых и соответствующие им ядра ока-
жутся несвязными множествами. Но, очевидно, что и в этом случае сформулированные утвер-
ждения будут справедливы (так сказать, покомпонентно).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДВЕ ТЕОРЕМЫ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА 975
Напомним, далее, нужную нам в дальнейшем классическую теорему Витали:
Если последовательность ограниченных в совокупности аналитических функций в обла-
сти G сходится на множестве точек, содержащем предельную точку в этой области, то она
равномерно сходится внутри области G и, следовательно, предельная функция f(z) является
аналитической в области G.
В дальнейших условиях сходимость указанной здесь последовательности функций будет
всюду в области G, которая в общем случае может быть далеко не равномерной.
Приведем один необходимый для нас критерий открытости множества в евклидовом про-
странстве.
Пусть G ⊂ Rk+l = Rk × Rl(x, y), k, l > 0, — некоторое открытое множество. Рассмотрим
его l-сечения {Gx, x ∈ Rk}. Конечно, каждое Gx открыто в Rlx и все их можно считать
принадлежащими одному „экземпляру” — пространству Rl. Если задано фиксированное x0 ∈
∈ Rk, то будем брать сходящиеся к ядру последовательности {Gxn} при xn → x0. Скажем,
что семейство {Gx} полунепрерывно снизу в точке x0, если каждое такое ядро содержит все
l-сечения Gx0 .
Если это имеет место в каждой точке x ∈ Rk, назовем все семейство {Gx} полунепрерыв-
ным снизу. Это согласуется с общим понятием полунепрерывности [1], мы лишь переформу-
лировали его в нужном для нас конкретном случае.
Теперь легко доказываемый критерий звучит так:
Для того чтобы множество G ⊂ Rk × Rl(x, y) было открытым, необходимо и достаточ-
но, чтобы все l-сечения его были открыты (в Rl), а все их семейство {Gx, x ∈ Rk} было
полунепрерывно снизу.
Наконец, пусть в бикруге радиуса r > 0 задана комплексная функция f(z, w), голоморфная
по каждой переменной в отдельности. Возьмем замкнутый бикруг D(z)×D(w) радиуса r0 < r
и в нем отображения ζ = f(z, w) : D ×D → Cζ .
На каждом сечении z = z0 мы имеем аналитическое отображение ζ = f(z0, w) замкну-
того круга Dz0 . Если f(z0, w) 6≡ const, то образ границы ∂Dz0 представляет в плоскости ζ
аналитическую кривую с конечным числом самопересечений, которая разбивает плоскость на
конечное число жордановых односвязных областей g1, g2, . . . , gm, в каждой из которых сте-
пень γ(g) отображения ∂Dz0 → f(∂Dz0) постоянна и неотрицательна при обычном выборе
положительной ориентации на плоскости Cζ и на окружности ∂Dz0 . Это следует из принципа
аргумента.
Образ круга Dz0 содержит лишь те компоненты gj , j = 1, 2, . . . ,m, в которых эта сте-
пень положительна. В целом же образ замкнутого круга Dz0 в плоскости ζ представляет собой
конечносвязную область, граничные контуры которой — замкнутые жордановые кривые, и каж-
дая из них принадлежит полному образу границы ∂Dz0 круга Dz0 . При этом образы некоторых
граничных дуг из ∂Dz0 могут принадлежать и внутренности f(Dz0). Конечно, в случае, когда
f(z0, w) ≡ ζ0, образом всего круга Dz0 является одна точка ζ0.
Наша цель — доказать непрерывность по совокупности переменных функции ζ = f(z, w) в
открытом бикруге D ×D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
976 Ю. Ю. ТРОХИМЧУК
Выберем произвольный круг d(ζ0, ρ), ζ0 ∈ f(D×D), ρ > 0. Докажем, что полный прообраз
G = f−1(d) ⊂ D ×D является открытым множеством.
Прежде всего в каждом (круговом) сечении Dz множества G „вертикальное” отображение
ζ = f(z, w) аналитично, а значит, и непрерывно (если взять плоскую координатную схему:
с „горизонтальной” осью z и „вертикальной” w), поэтому Gz, как прообраз круга d на этом
сечении, является открытым множеством. Если f(z, w) ≡ const, то множество Gz совпадает с
(открытым кругом) Dz.
В случае f(z, w) 6≡ const множество Gz ⊂ Dz состоит из конечного числа открытых
жордановых односвязных компонент, часть из которых „приклеены” к границе ∂Dz, а часть
компактны. Граничные же их дуги, лежащие внутри Dz, соответствуют определенным дугам
на окружности ∂D. Образ каждой компоненты представляет собой некоторую риманову по-
верхность над соответствующей частью d ∩ gj круга d, которую она накрывает с одинаковой
кратностью. При этом образ компактной компоненты совпадает со всем кругом d.
Все изложенное — из того же принципа аргумента.
Итак, каждое сечение Gz множества G = f−1(d) ⊂ D×D является открытым множеством
в круге Dz. Докажем, что семейство {Gz, z ∈ D} полунепрерывно снизу.
Выберем произвольную точку z0 ∈ D и последовательность zn → z0 со сходящейся к яд-
ру G0, последовательностью {Gzn}. Ядро D0 либо является точкой, либо, как и каждое Gzn ,
состоит из конечного числа жордановых компонент в круге D. Это следует из приведенного
выше основного утверждения о сходимости к ядру, из того, что в данном случае предель-
ной функцией является f(z0, w) (в силу равномерной сходимости f(zn, w) (теорема Витали!)
внутри ядра G0 ) и в силу аналитичности этой функции во всем круге D. Части граничных
контуров указанных жордановых компонент, расположенные внутри круга D, и только они,
соответствуют при отображении ζ = f(zn, w) дугам граничной окружности ∂d.
Снова, как это было и для Gz0 , образ ядра G0 состоит из конечного числа односвязных
римановых поверхностей, являющихся однородными (возможно, разветвленными) накрытия-
ми над своими проекциями в плоскости Cζ . И, опять-таки, если G0 содержит компактную
компоненту, то образ ее совпадает со всем кругом d.
Образ Gz0 мы также можем описать: это, как и ранее, римановы поверхности над компо-
нентами дополнения к f(∂Dz0), принадлежащими кругу d.
А теперь сравним G0 и Gz0 . Отображающая функция у них та же: ζ = f(z0, w) и они
принадлежат одному кругу. Поэтому будем сравнивать их с помощью их образов в круге d.
Возьмем произвольную точку w0 ∈ Gz0 . Обозначим ζ0 = f(z0, w0). Это — некоторая точка
на одной из рассматриваемых римановых поверхностей. Пусть V (ζ0) — (возможно, многолист-
ная) замкнутая окрестность точки ζ0 на этой поверхности.
Поскольку („горизонтальная”) функция f(z, w0) аналитична в круге D(w0) и f(zn, w0) →
→ f(z0, w0), существует последовательность („горизонтальных”) замкнутых окрестностей
U(zn, w0), образы которых совпадают с V (ζ0). Но внутрь V (ζ0) попадут и образы „верти-
кальных” окрестностей точек (zn, w0) : U(zn, w).
Отсюда пока следует, что, начиная с некоторого n, точка w0 принадлежит Gzn . Это означает
также, что w0 лежит внутри D. Если бы некоторая окрестность w0 не принадлежала всем Gzn ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДВЕ ТЕОРЕМЫ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА 977
начиная с некоторого n, то граничные контуры их внутри D стремились бы к точке w0. Но это
означало бы, что ей соответствует граничная точка из ∂d, а это не так.
Из изложенного следует, что точка w0 должна принадлежать ядру G0 последовательности
{Gzn}. Точка z0 была выбрана произвольной. Тем самым мы доказали полунепрерывность
снизу семейства {Gz, z ∈ D} для круга d(ζ0) ⊂ Cζ , а значит, и открытость полного прообраза
f−1(d) {Gz, z ∈ D} для этого круга. Но так как и круг d был взят произвольно, окончательно
заключаем, что произвольная функция f(z, w) в бикруге D × D, голоморфная по каждой
переменной в отдельности, непрерывна по совокупности переменных, что, как известно, в
этих условиях, равносильно и голоморфности по совокупности этих переменных.
Докажем теперь теорему Хартогса для случая функций любого числа переменных; т. е.
докажем следующее утверждение.
Теорема 1. Если функция f любого числа переменных голоморфна по каждой из них в
отдельности всюду в области D ⊂ Cn, то она голоморфна в D.
Эту теорему мы легко сможем доказать индукцией по числу переменных. Предположим, что
она верна для функций (n− 1)-й переменной, и рассмотрим функцию f(z1, z2, . . . , zn−1, w) =
= f(′z, w) в полукруге D(′z)×D(w) радиуса r > 0.
Теперь мы можем повторить все наши прежние построения с функциями двух переменных
f(z, w), только параметризация и сечений Gz, и связанных с ними римановых поверхностей
достигается не одним комплексным z, а несколькими: ′z. Преимущество нашего подхода за-
ключается в том, что в обоих случаях достаточно ограничиться введением лишь одномерных
аналитических многообразий, т. е. римановых поверхностей.
Теорема Радо. Приведем классическую формулировку теоремы:
Непрерывная функция f(z) в области D ⊂ Cn, голоморфная вне множества {f(z) = 0},
голоморфна всюду в этой области.
Простота этой формулировки привлекла очень многих математиков, которые приводили все
более простые доказательства этой теоремы, связанные с самыми неожиданными подходами к
ней [8].
В настоящей статье предлагается определенное обобщение теоремы Радо. Доказательство
основано на одной топологической теореме о продолжении внутренних отображений только
плоских областей, а также доказанной выше теореме Хартогса [6].
Функция f, заданная на некотором плоском множестве E, называется моногенной в точке
z0 ∈ E по множеству E, или относительно E, если существует конечный предел
lim
∆z→0
f(z0 + ∆z)− f(z0)
∆z
= f ′E(z0), z0 + ∆z ∈ E,
который называется производной функции f по множеству E.
Скажем, что f имеет в области D неполную моногенность, если
D =
⋃
k
Ek, k = 1, 2, . . . ,
причем Ei ∩ Ej = ∅ при i 6= j и f моногенна на каждом Ek (относительно Ek).
Помпейю сформулировал без доказательства следующую теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
978 Ю. Ю. ТРОХИМЧУК
Теорема 2. Если непрерывная функция f имеет неполную моногенность в области D, то
она является аналитической всюду в D.
Для доказательства этой теоремы необходимы некоторые леммы.
Лемма 1. Пусть непрерывная в области D функция f имеет полный дифференциал в
некоторой точке z ∈ D относительно множества E, контингенция которого в этой точке
содержит по крайней мере два луча, расположенные на различных прямых. Если функция f
имеет обычный полный дифференциал в этой же точке, то он совпадает с относительным
дифференциалом.
Доказательство. По условию леммы имеем одновременно
∆f = f̃z∆z + f̃z̄∆z̄ + o(∆z),
где f̃z, f̃z̄ — коэффициенты относительного дифференциала (z + ∆z ∈ E) и
∆f = fz∆z + fz̄∆z̄ + o(∆z)
для любых z + ∆z ∈ D.
Выберем две последовательности значений ∆z = |∆z|eiα так, чтобы точки z + ∆z ∈ E
сходились к z по двум путям с двумя полукасательными α = α1 и α = α2 в точке z. Из
приведенных равенств получим одновременно
∆f
∆z
→ f̃z + f̃z̄e
−2iα, α = α1, α2,
и
∆f
∆z
→ fz + fz̄e
−2iα, α = α1, α2.
Поскольку α1 6= α2 ( mod π), отсюда легко следует, что f̃z = fz и f̃z̄ = fz̄.
Лемма 1 доказана.
В силу теоремы о точках плотности произвольное плоское множество E в каждой своей
точке, за исключением множества плоской меры нуль, имеет контингенцию — полную плос-
кость, поэтому из леммы 1 следует такая лемма.
Лемма 2. Если функция f дифференцируема относительно множества E ⊂ D в каждой
его точке и имеет почти всюду на E обычный полный дифференциал, то он совпадает с
относительным полным дифференциалом почти всюду на E.
Заметим еще, что множество E может оказаться неизмеримым, но термин „почти всюду”,
очевидно, имеет смысл для произвольных множеств.
Лемма 3. Пусть непрерывная в области D функция f является аналитической вне неко-
торого совершенного и нигде не плотного множества P ⊂ D, причем
|f(z2)− f(z1)| ≤ n|z2 − z1|
для любых z1, z2 ∈ P (n — постоянная). Если функция f имеет неполную моногенность в D,
то f является аналитической функцией всюду внутри области D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДВЕ ТЕОРЕМЫ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА 979
Прежде всего, для вспомогательной функции f1(z) = f(z) + 2nz отображение f1 : D → C
является гомеоморфизмом на P, поэтому, в силу теоремы о продолжении внутренних отображе-
ний [6], оно является внутренним. В данном условиях это означает локальную суммируемость
производных f ′(z) и f ′1(z) с квадратом, а это, в свою очередь, в силу N -свойства по всем ко-
ординатным линиям дает абсолютную непрерывность для почти всех таких линий и, наконец,
законность применения формулы Грина∫
∂d
f(z)dz = 2i
∫
d
∫
fzdz ∧ dz.
Из теоремы Меньшова [6] следует, что почти всюду на P (и, конечно, в D) имеем (обычный)
полный дифференциал
∆f = fz∆z + fz∆z + 0(∆z).
Из моногенности f в точке z ∈ Ek (относительно Ek) следует, что
∆f = f ′Ek
(z)∆z + o(∆z).
Поскольку совокупность всех Ek не более чем счетна и
⋃
k
Ek = D, в силу леммы 2 от-
носительный полный дифференциал функции f совпадает с обычным дифференциалом почти
всюду в D. В частности, почти для всех z ∈ P имеем
∆f = f ′(z)∆z + o(∆z),
где f ′(z) = f ′Ek
(z) для z ∈ Ek ∩ P, k = 1, 2, . . . . Это означает, что f моногенна почти всюду в
D, что и завершает доказательство леммы 3.
Теперь перейдем к доказательству теоремы 2. 1. Покажем сначала, что в условиях тео-
ремы существует всюду плотное открытое множество O точек аналитичности функции f.
Положим
E
(n)
k = Ek
{∣∣∣∣f(z′)− f(z)
z′ − z
∣∣∣∣ ≤ n, |z′ − z| < 1
n
; z′ ∈ Ek
}
.
Поскольку, очевидно, Ek =
⋃
k
E
(n)
k , то
D =
⋃
k,n
E
(n)
k , k, n = 1, 2, . . . .
Возьмем произвольную область d̄ ⊂ D. Вводя обозначения d(n)
k = d ∩ E(n)
k , получаем
d =
⋃
k,n
d
(n)
k .
Поскольку d— второй категории (в себе и на плоскости), найдется круг d′, d′ ⊂ d, на котором
одно из множеств d(n)
k окажется всюду плотным. Будем считать, что диаметр d′ меньше
1
n
.
Из непрерывности f в d′ легко следует, что для произвольных точек z, z′ ∈ d′ выполняется
условие
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
980 Ю. Ю. ТРОХИМЧУК∣∣∣∣f(z′)− f(z)
z′ − z
∣∣∣∣ ≤ n.
В силу леммы 3 функция f аналитична внутри d′ ⊂ d. Из произвольности области d ⊂ D и
следует доказываемое.
2. Предположим теперь, что теорема неверна. Тогда совершенное множество P всех точек
D, где f не является аналитической, не пусто и, согласно доказанному, нигде не плотно в D.
Вводя обозначение P (n)
k = P ∩ E(n)
k , имеем
P =
⋃
k,n
P
(n)
k .
Обычным путем находим порцию P ′ = P ∩ D′ (D
′ ⊂ Q — круг), на которой одно из
множеств P (n)
k всюду плотно. Взяв диаметр D′ меньшим
1
n
, как и выше, получим
|f(z′)− f(z)| ≤ n|z′ − z|
для любых z, z′ ∈ P.
В силу леммы 3 функция f аналитична всюду в D′ ⊃ P ′, что противоречит определению
множества P.
Теорема 2 доказана.
Введем следующее определение.
Определение. Функция f в области D ⊂ Cn называется кусочно-голоморфной, если:
1) D =
⋃
k
Ek, k = 1, 2, . . . ;
2) f |Ek
= fk |Ek
, где fk — голоморфная функция в окрестности множества Ek.
Очевидным следствием теоремы 2 является следующее утверждение.
Теорема 3. Непрерывная функция f, кусочно-голоморфная в области D ⊂ Cn, является
голоморфной в этой области.
Это, конечно, обобщает теорему Радо.
1. Куратовский К. К. Топология. – М.: Мир, 1966. – Т. 1. – 606 с.
2. Carathedory C. Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veranderlichen Gebieten // Math.
Ann. – 1912. – 72. – S. 107 – 144.
3. Bieberbach L. Über einen Satz des Herru Caratheodory // Nachr. Ges. Wis. Göttingen. Math.-phys. Kl. – 1913.
4. Волковыский Л. И. Сходящиеся последовательности римановых поверхностей // Мат. сб. – 1948. – 23(65). –
С. 361 – 382.
5. Трохимчук Ю. Ю. О последовательностях аналитических функций и римановых поверхностей // Укр. мат.
журн. – 1952. – 4, № 4. – С. 431 – 446.
6. Трохимчук Ю. Ю. Дифференцирование, внутренние отображения и критерии аналитичности. – Киев: Ин-т
математики НАН Украины, 2007. – 539 с.
7. Сакс С. Теория интеграла. – М., 1949. – 412 с.
8. Heinz E. Ein elementares Beweis des Satzes von Rado – Behnke – Stein – Cartan über analitische Funktionen // Math.
Ann. – 1956. – 131. – S. 258 – 259.
Получено 23.05.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
|