Про генератриси екстремумів та їх доповнень для майже напівнеперервних цілочислових пуассонівських процесів на ланцюгах Mаркова
Для целочисленного сложного пуассоновского процесса с геометрически распределенными скачками одного знака (такие процессы называются почти полунепрерывными сверху или снизу), заданного на конечной регулярной цепи Маркова, установлены соотношения без проектирования для генератрис экстремумов и их доп...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165756 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про генератриси екстремумів та їх доповнень для майже напівнеперервних цілочислових пуассонівських процесів на ланцюгах Mаркова / М.С. Герич, Д.В. Гусак // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 8. — С. 1034–1049. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165756 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1657562020-02-17T01:26:21Z Про генератриси екстремумів та їх доповнень для майже напівнеперервних цілочислових пуассонівських процесів на ланцюгах Mаркова Герич, М.С. Гусак, Д.В. Статті Для целочисленного сложного пуассоновского процесса с геометрически распределенными скачками одного знака (такие процессы называются почти полунепрерывными сверху или снизу), заданного на конечной регулярной цепи Маркова, установлены соотношения без проектирования для генератрис экстремумов и их дополнений. В отличие от ранее полученных соотношений в терминах проекций, новые соотношения для генератрис определяются через обращение возмущенной матричной кумулянты. Эти матричные соотношения устанавливаются в терминах генератрис распределения соответствующих скачков. For an integer-valued compound Poisson process with geometrically distributed jumps of a certain sign [these processes are called almost upper (lower) semicontinuous] defined on a finite regular Markov chain, we establish relations (without projections) for the moment-generating functions of extrema and their complements. Unlike the relations obtained earlier in terms of projections, the proposed new relations for the moment-generating functions are determined by the inversion of the perturbed matrix cumulant function. These matrix relations are expressed via the moment-generating functions for the distributions of the corresponding jumps. 2015 Article Про генератриси екстремумів та їх доповнень для майже напівнеперервних цілочислових пуассонівських процесів на ланцюгах Mаркова / М.С. Герич, Д.В. Гусак // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 8. — С. 1034–1049. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165756 519.21 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Герич, М.С. Гусак, Д.В. Про генератриси екстремумів та їх доповнень для майже напівнеперервних цілочислових пуассонівських процесів на ланцюгах Mаркова Український математичний журнал |
| description |
Для целочисленного сложного пуассоновского процесса с геометрически распределенными скачками одного знака (такие процессы называются почти полунепрерывными сверху или снизу), заданного на конечной регулярной цепи Маркова, установлены соотношения без проектирования для генератрис экстремумов и их дополнений. В отличие от ранее полученных соотношений в терминах проекций, новые соотношения для генератрис определяются через обращение возмущенной матричной кумулянты. Эти матричные соотношения устанавливаются в терминах генератрис распределения соответствующих скачков. |
| format |
Article |
| author |
Герич, М.С. Гусак, Д.В. |
| author_facet |
Герич, М.С. Гусак, Д.В. |
| author_sort |
Герич, М.С. |
| title |
Про генератриси екстремумів та їх доповнень для майже напівнеперервних цілочислових пуассонівських процесів на ланцюгах Mаркова |
| title_short |
Про генератриси екстремумів та їх доповнень для майже напівнеперервних цілочислових пуассонівських процесів на ланцюгах Mаркова |
| title_full |
Про генератриси екстремумів та їх доповнень для майже напівнеперервних цілочислових пуассонівських процесів на ланцюгах Mаркова |
| title_fullStr |
Про генератриси екстремумів та їх доповнень для майже напівнеперервних цілочислових пуассонівських процесів на ланцюгах Mаркова |
| title_full_unstemmed |
Про генератриси екстремумів та їх доповнень для майже напівнеперервних цілочислових пуассонівських процесів на ланцюгах Mаркова |
| title_sort |
про генератриси екстремумів та їх доповнень для майже напівнеперервних цілочислових пуассонівських процесів на ланцюгах mаркова |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165756 |
| citation_txt |
Про генератриси екстремумів та їх доповнень для майже напівнеперервних цілочислових пуассонівських процесів на ланцюгах Mаркова / М.С. Герич, Д.В. Гусак // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 8. — С. 1034–1049. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT geričms progeneratrisiekstremumívtaíhdopovnenʹdlâmajženapívneperervnihcíločislovihpuassonívsʹkihprocesívnalancûgahmarkova AT gusakdv progeneratrisiekstremumívtaíhdopovnenʹdlâmajženapívneperervnihcíločislovihpuassonívsʹkihprocesívnalancûgahmarkova |
| first_indexed |
2025-07-14T19:49:48Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:49:48Z |
| _version_ |
1837653141985689600 |
| fulltext |
УДК 519.21
М. С. Герич (Ужгород. нац. ун-т),
Д. В. Гусак (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ГЕНЕРАТРИСИ ЕКСТРЕМУМIВ ТА ЇХ ДОПОВНЕНЬ
ДЛЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ ЦIЛОЧИСЛОВИХ
ПУАССОНIВСЬКИХ ПРОЦЕСIВ НА ЛАНЦЮГАХ МАРКОВА
For an integer-valued compound Poisson process with geometrically distributed jumps of a certain sign (these processes
are called lattice almost upper (or lower) semicontinuous) defined on a finite regular Markov chain, we establish relations
(without projections) for the moment generating functions of extrema and their complements. Unlike the relations obtained
earlier in terms of projections, the proposed new relations for the moment generating functions are determined by the
inversion of the perturbed matrix cumulant function. These matrix relations are expressed via the moment generating
functions for the distributions of the corresponding jumps.
Для целочисленного сложного пуассоновского процесса с геометрически распределенными скачками одного знака
(такие процессы называются почти полунепрерывными сверху или снизу), заданного на конечной регулярной
цепи Маркова, установлены соотношения без проектирования для генератрис экстремумов и их дополнений. В
отличие от ранее полученных соотношений в терминах проекций, новые соотношения для генератрис определяются
через обращение возмущенной матричной кумулянты. Эти матричные соотношения устанавливаются в терминах
генератрис распределения соответствующих скачков.
Вступ. У теорiї процесiв Левi крiм процесiв з неперервним розподiлом стрибкiв розгляда-
ються моделi процесiв iз дискретним розподiлом (бiномiальним та iншими) стрибкiв, якi часто
використовуються в теорiї масового обслуговування та в теорiї ризику (див. [1 – 3]). Одержанi
результати для ризикових характеристик цих моделей використовуються для апроксимацiї вiд-
повiдних характеристик пуассонiвських (класичних) процесiв ризику. Опису процесiв, заданих
на ланцюгах Маркова (ЛМ) або керованих ланцюгами Маркова, присвячено роботи [4 – 6], в
[5] їх називають напiвмарковськими, в [4 – 6] — однорiдними за другою компонентою, а в [7]
— процесами в марковському середовищi. Граничнi задачi для процесiв Левi на ЛМ вивчались
у [7 – 9]. У [8, 9] встановлено матричнi аналоги основної факторизацiйної тотожностi (о. ф. т.),
компоненти якої визначають генератриси розподiлу граничних функцiоналiв (екстремуми, абсо-
лютнi екстремуми, перестрибковi функцiонали, що мають теоретико-ризикову iнтерпретацiю).
Встановленi в [10] (див. роздiл 7) спiввiдношення для генератрис функцiоналiв звичайного
цiлочислового процесу узагальнюються в матричнiй формi в [11 – 14] для вiдповiдних функ-
цiоналiв процесу, заданого на ЛМ. У [12] уточнено ймовiрнiсний сенс компонент право- та
лiвосторонньої факторизацiй, а в [13] конкретизовано зображення всiх компонент о. ф. т., що
визначають генератриси екстремумiв та їх доповнень, для майже напiвнеперервних процесiв.
Зокрема, в [14] для напiвнеперервних зверху процесiв одержано спiввiдношення для генератрис
вказаних функцiоналiв у термiнах хвостiв розподiлу вiд’ємних стрибкiв.
У данiй роботi для цiлочислового майже напiвнеперервного зверху процесу встановлюються
узагальнення спiввiдношень для генератрис розподiлу мiнiмуму (в тому числi й абсолютного)
та доповнення до максимуму безпосередньо через генератрису хвоста розподiлу вiд’ємних (не
геометрично розподiлених) стрибкiв процесу. У випадку ґратчастого майже напiвнеперервного
знизу процесу визначаються спiввiдношення для генератрис розподiлу максимуму (в тому
c© М. С. ГЕРИЧ, Д. В. ГУСАК, 2015
1034 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ГЕНЕРАТРИСИ ЕКСТРЕМУМIВ ТА ЇХ ДОПОВНЕНЬ ДЛЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ . . . 1035
числi й абсолютного) та доповнення до мiнiмуму безпосередньо через генератрису розподiлу
додатних (не геометрично розподiлених) стрибкiв процесу.
Зауважимо, що скалярнi значення ξ(t) залежать вiд значення „керуючого” ЛМ x(·) у почат-
ковий момент 0 та змiнного додатного моменту t > 0. Тому вiдповiднi розподiли i усереднення
(математичне сподiвання) є матричними характеристиками, що далi будемо позначати жирним
шрифтом: P{·},E[·]. Наприклад, P
{
ξ(t) = l
}
= P
{
ξ(t) = l, x(t) = r|x(0) = k
}
= ‖pkr(l)‖.
1. Майже напiвнеперервнi цiлочисловi пуассонiвськi процеси на ланцюгах Маркова.
Нехай Y(t) = {ξ(t), x(t)} — двовимiрний марковський процес зi значеннями в фазовому прос-
торi {Z×E}, заданий на повному ймовiрнiсному просторi {Ω, F ,P}, на якому визначено потiк
σ-алгебр {Ft}t>0 (Fs ⊂ Ft ⊂ F , 0 6 s 6 t). Компонента x(t) — скiнченний ергодичний ЛМ iз
значеннями в E = {1, . . . ,m}, матрицею перехiдних iмовiрностей
P(t) =
∥∥P{x(t) = r|x(0) = k}
∥∥
k,r∈E = eQt
i твiрною матрицею Q (див. (14) [17, с. 372]). Для детальнiшого опису ξ(t) — „керованого ЛМ
x(t)” з m станами в E — слiд задати набiр пуассонiвських процесiв
{
ξk(t)
}m
k=1
iз довiльним
розподiлом стрибкiв у Z\{0} та послiдовнiсть незалежних сукупностей однаково розподiлених
цiлочислових випадкових величин
{
χ
(n)
kr
}
n>1
, k, r ∈ E. Як i для випадку дiйснозначного ξ(t)
(див. [4, 8, 9], Y(t) є марковським адитивним процесом вiдносно {Ft}— σ-алгебри подiй, пород-
жених {Y(s), 0 6 s 6 t}, а компонента ξ(t) — процесом з умовно незалежними приростами.
В [4] Y(t) було названо марковським процесом, „однорiдним за компонентою ξ(t)”.
Позначимо Λ = ‖δkrλk‖k,r∈E, δkr = I{k=r}, λk — iнтенсивностi стрибкiв пуассонiвських
процесiв {ξk(t)}mk=1 iз розподiлом стрибкiв p(x) =
∥∥δkrP{ξ(1)
k = x}
∥∥
k,r∈E, N =
∥∥δkrnk∥∥k,r∈E,
де
{
nk > 0, k ∈ E
}
— параметри показниково розподiлених випадкових величин ζ
(·)
k — часiв
перебування x(t) в станi k.Матриця перехiдних iмовiрностей вкладеного ЛМ yn = x(σn+0), де
σn — момент n-ї змiни станiв x(t) : P = ‖pkr‖k,r∈E, f(x) = ‖pkrP{χ
(·)
kr = x}‖k,r∈E — розподiл
стрибкiв χ(·)
kr на переходах ЛМ x(t), незалежний вiд верхнього iндексу, f̃(z) =
∥∥pkrEzχ(·)
kr
∥∥,
f̃(z) = P, якщо P{χ(·)
kr = x} = 0 при x 6= 0, тобто при вiдсутностi стрибкiв χ
(·)
kr . Твiрна
матриця Q має вигляд Q = N(P − I). Крiм того, позначимо розподiл 1-го сумарного стрибка
ξ(t) на ЛМ через Π0(x) = Λp(x) + Nf(x), що є дискретним аналогом стрибкової мiри Левi
Π(dx) = λdF (x) для числового складного пуассонiвського процесу (див. (1.7) в [10]).
Якщо ξ(0) = 0, то значення ξ(t) можна описати таким чином:
ξ(t) = ξk(t), 0 6 t < ζ
(1)
k = σ1, P
{
ζ
(1)
k > t
}
= e−nkt (nk > 0, k = 1,m),
ξ(σ1) = ξk(σ1 − 0) + χ
(1)
kr , якщо σ1 — момент 1-го переходу ЛМ iз k в r,
ξ(t) = ξ(σ1) + ξr(t)− ξr(σ1), σ1 6 t < σ1 + ζ
(2)
r = σ2, якщо x(t) перебуває в станi r,
ξ(σ2) = ξl(σ2 − 0) + χ
(2)
rl , якщо x(t) переходить iз r в l,
ξ(t) = ξ(σ2) + ξl(t)− ξl(σ2), σ2 6 t < σ2 + ζ
(3)
l = σ3,
де ξr(t)−ξr(σ1)
.
= ξr(t−σ1), ξl(t)−ξl(σ2)
.
= ξl(t−σ2), . . . ; σ1, σ2, σ3, . . . — вiдповiдно моменти
1-, 2-, 3-ї, . . . змiни станiв ЛМ x(t), послiдовнiсть яких позначимо {σn}n>1.
Розглянемо стохастичнi спiввiдношення, що використовувались у [8] при виведеннi обер-
неного рiвняння Колмогорова для розподiлу дiйснозначного процесу Левi на ЛМ ξ(t) або ξ(θs)(
P{θs > t} = e−st, s > 0, t > 0
)
:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1036 М. С. ГЕРИЧ, Д. В. ГУСАК
[ξ(t)]kr
.
=
0, ζ
(1)
k > t, η
(1)
k > t,
ξ
(1)
k + [ξ(t− η(1)
k )]kr, η
(1)
k < t, η
(1)
k < ζ
(1)
k ,
χ
(1)
kj + [ξ(t− ζ(1)
k )]jr, ζ
(1)
k < t, ζ
(1)
k < η
(1)
k ,
(1)
де η(1)
k — момент першого стрибка ξk(t)
(
P{η(1)
k > t} = e−λkt, t > 0
)
.
Шляхом усереднення по розподiлу перших стрибкiв ξ(1)
k та χ(1)
kr на основi (1) визначається
розподiл ξ(t) :
Pt(x) =
∥∥Pkr{ξ(t) = x)}
∥∥ = I{x=0}e
−(Λ+N)t +
t∫
0
∑
y
e−(Λ+N)uΠ0(y)Pt−u(x− y)du. (2)
Пiсля перетворення Лапласа – Карсона по t з (2) випливає матрично-операторне рiвняння
для P(s, x) =
∥∥Pkr{ξ(θs) = x}
∥∥ :
LsP(s, x) = sI{x=0}, x ∈ Z, Ls = sI− L. (3)
Твiрний оператор L визначається ядром Π0(x) на класi обмежених вимiрних в {Z×E} матрич-
них функцiй F(x) :
LF(x) =
∑
x
Π0(y)
[
F(x− y)−F(x)
]
+ QF , x ∈ Z.
Пiсля твiрного перетворення по x з рiвняння (3) генератриса g(s, z) = E[zξ(θs)] визначається
через дiагональну кумулянту Kd(z) = Λ(p̃(z)− I) та генератрису f̃(z):
g(s, z) = s
(
sI−K(z)
)−1
,
K(z) = Kd(z) + N
(
f̃(z)−P
)
+ Q =
∑
x∈Z,x 6=0
(zx − 1)Π0(x) + Q. (4)
Як i у [8], K(z) можна назвати символом вiдповiдного оператора L (у [8] кумулянта дiйсно-
значного процесу ξ(t) на ЛМ x(t) K(z) = lnE
[
e−zξ(1)
]
є символом вiдповiдного складнiшого
iнтегро-диференцiального оператора L0). При вiдсутностi стрибкiв χkr на ЛМ ξI(t) — „чистий”
пуассонiвський процес на x(t) gI(s, z) = E
[
zξI(θs)
]
= s(sI −Kd(z) −Q)−1. При вiдсутностi
пуассонiвських процесiв ξk(t), k ∈ E, g2(s, z) = s(sI−N(f̃(z)−P)−Q)−1 визначає генератрису
блукання, що описується сумами стрибкiв {χ(n)
kr } на переходах x(t) :
[Sn(t)]kr =
n(t)∑
i=1
χ
(i)
ji−1ji
, j0 = k, jn(t) = r,
де n(t) — число стрибкiв x(t) на [0, t], P{n(t) = k} = P{σk < t, σk+1 > t}.
Еволюцiя цiлозначного пуассонiвського процесу ξ(t) на ЛМ з довiльним розподiлом стриб-
кiв у Z\{0} описується матричною генератрисою
gt(z) =
∥∥E[zξ(t), x(t) = r|x(0) = k]
∥∥ = Ezξ(t) = etK(z), (5)
де згiдно з другим спiввiдношенням у (4) матрична кумулянта K(z) має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ГЕНЕРАТРИСИ ЕКСТРЕМУМIВ ТА ЇХ ДОПОВНЕНЬ ДЛЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ . . . 1037
K(z) =
∑
x 6=0
(zx − 1)Π0(x) + Q, Π0(x) = Λp(x) + Nf(x), (6)
Ps = s
+∞∫
0
e−stP(t)dt = g(s, 1) = s(sI−Q)−1. (7)
Для екстремумiв процесу та їх доповнень, а також для функцiоналiв перетину додатного
(вiд’ємного) рiвня введемо наступнi позначення:
ξ±(t) = sup
06t′6t
(inf)ξ(t
′
), ξ± = sup
06t6∞
(inf)ξ(t), ξ(t) = ξ(t)− ξ+(t), ξ̌(t) = ξ(t)− ξ−(t),
τ+(x) = inf{t > 0, ξ(t) > x}, x > 0, τ−(x) = inf{t > 0, ξ(t) < x}, x 6 0,
γ+(x) = ξ(τ+(x))− x, γ+(x) = x− ξ(τ+(x)− 0),
g±(s, z) = Ezξ
±(θs) =
∥∥E[zξ
±(θs), x(θs) = r|x(0) = k]
∥∥, k, r = 1,m,
g−(s, z) = Ezξ(θs), g+(s, z) = Ezξ̌(θs).
Вiдповiднi перетворення генератрис цих функцiоналiв описуються рiвняннями типу (3)
з тим же оператором Ls = sI − L з вiдповiдно складнiшими правими частинами. Симво-
лом Ls є матриця sI − K(z), обернення якої визначає в (4) генератрису g(s, z). Тому при
знаходженнi генератрис вказаних функцiоналiв важливу роль вiдiграє матрична факторизацiя
g(s, z) та уточнення зображення її компонент для майже напiвнеперервних процесiв. У [12]
одержано матричний аналог о. ф. т., що встановлює зв’язок мiж g(s, z) та g+(s, z), g−(s, z),(
g−(s, z),g+(s, z)
)
:
g(s, z) = E zξ(θs) =
g+(s, z)P−1
s g−(s, z),
g−(s, z)P−1
s g+(s, z).
(8)
Зауважимо, що всi наступнi ймовiрностi є строго додатними:
p±(s) = P{ξ±(θs) = 0} =
∥∥P{ξ±(θs) = 0, x(θs) = r|x(0) = k}
∥∥,
q±(s) = P{±ξ±(θs) > 0} =
∥∥P{±ξ±(θs) > 0, x(θs) = r|x(0) = k}
∥∥ = Ps − p±(s),
(9)
p+(s) = P
{
ξ̌(θs) = 0
}
, p−(s) = P
{
ξ̄(θs) = 0
}
,
q+(s) = P
{
ξ̌(θs) > 0
}
= Ps − p+(s), q−(s) = P
{
ξ̄(θs) < 0
}
= Ps − p−(s).
У статтi [13] показано, що одна з пари компонент о. ф. т. (8) є матричною дробово-лiнiйною
функцiєю вiдносно z, а iнша визначається застосуванням операцiї проектування до генератриси
розподiлу самого процесу. Наше завдання полягає в тому, щоб iз пар
{
g+(s, z), g−(s, z)
}
i
{
g−(s, z), g+(s, z)
}
виразити „непростi” генератриси розподiлiв без застосування операцiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1038 М. С. ГЕРИЧ, Д. В. ГУСАК
проектування. Для цього наведемо поняття зворотного ЛМ (див. [15]) i використаємо допомiж-
нi твердження про обернення сингулярно збурених матриць, наведенi в [14, 16, 17].
Якщо x(t) — однорiдний регулярний ЛМ з твiрною матрицею Q i матрицею P(t), то згiдно
з (7) її перетворення Лапласа – Карсона є оберненням сингулярно збуреної матрицi (sI−Q)−1(
|sI−Q| 6= 0 при достатньо малих s > 0
)
.
Для x(t) iснує стацiонарний розподiл limt→+∞P(t) = P0 = ‖p0
kr‖, p0
kr = πr ∀ k, що
визначається як границя обернення (7) при s→ 0:
P0 = lim
s→0
s(sI−Q)−1. (10)
При цьому мають мiсце спiввiдношення
QP0 = 0, P0Q = 0. (11)
Перше з них є очевидним, а друге визначає єдиний розв’язок вiдповiдної системи лiнiйних
рiвнянь для значень стацiонарних iмовiрностей {πk} (див. [17]).
Позначимо для процесу ξ(t) з кумулянтою (6) M0
1 = Eξ(1) =
∑
x 6=0
xΠ0(x), D0 =
= Dξ(1) =
∑
x 6=0
x2Π0(x), якi далi вважаємо обмеженими. Крiм того, позначимо K̃(z) =
=
∑
x 6=0
(zx − 1)Π0(x) i вiдмiтимо, що при z = 1 + ε, ε → 0 K̃(1 + ε) ≈ εK̃
′
(1) +
ε2
2
K̃
′′
(1),
де K̃
′
(1) = Eξ(1) = M0
1, K̃
′′
(1) = Dξ(1) = D0.
Тодi при z = 1 + ε має мiсце наближення
−K(z) = (1− z)M0
1 −
1
2
(1− z)2D0 −Q + o(ε2). (12)
Вiдповiдно усередненi по стацiонарному розподiлу P0 моменти позначимо так:
m0
1 =
m∑
k=1
πk
m∑
r=1
δkrEξk(1) +
m∑
r 6=k
nkpkrEχkr
, (13)
σ2
0 =
m∑
k=1
πk
m∑
r=1
δkrDξk(1) +
m∑
r 6=k
nkpkrDχkr
. (14)
Для ергодичних ЛМ x(t) в [15] введено поняття зворотного ЛМ x̂(t).
Означення. Якщо x(t) — ергодичний ЛМ з твiрною матрицею Q = N(P−I) з дiагонально
записаним стацiонарним розподiлом R = ‖δkrπr‖, то зворотним до ЛМ x(t) називається ЛМ
x̂(t), який визначається твiрною матрицею Q̂ = SQTS−1 = N(P̂− I), де S = NR−1.
Зворотний процес ξ̂(t)(t > 0) на ЛМ x̂(t) визначається кумулянтою i генератрисою ξ̂(θs) :
K̂(z) = SKT (z)S−1, ĝ(s, z) = Ezξ̂(θs) = s
(
sI− K̂(z)
)−1
.
О. ф. т. (8) у термiнах генератрис екстремумiв зворотного процесу ĝ±(s, z) = Ezξ̂
±(θs) на-
бирає вигляду
g(s, z) =
g+(s, z)P−1
s S ĝT−(s, z)S−1,
g−(s, z)P−1
s S ĝT+(s, z)S−1.
(15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ГЕНЕРАТРИСИ ЕКСТРЕМУМIВ ТА ЇХ ДОПОВНЕНЬ ДЛЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ . . . 1039
З (8) та (15) випливають наступнi спiввiдношення зв’язку мiж розподiлами екстремумiв зви-
чайного та зворотного процесiв:
g±(s, z) = S ĝT±(s, z)S−1, Ps = S (P̂s)
TS−1; q+(s) = S q̂T+(s)S−1, q−(s) = S q̂T−(s)S−1.
Мають мiсце наступнi зображення матриць p±∗ (s) та p∗±(s) (див. [14]):
p∗±(s) = p±(s)P−1
s = I−E
[
e−sτ
±(0), τ±(0) <∞
]
= I−T±∗ (s, 0), (16)
p±∗ (s) = P−1
s p±(s) = I− S
(
E[e−sτ̂
±(0), τ̂±(0) <∞]
)T
S−1 = I− S
(
T̂±∗ (s, 0)
)T
S−1, (17)
T±∗ (s, 0) = q±(s)P−1
s , T̂±∗ (s, 0) = q̂±(s)P̂−1
s .
2. Узагальнення спiввiдношень для генератрис розподiлу екстремальних значень та їх
доповнень у випадку майже напiвнеперервностi зверху. Розглянемо майже напiвнеперервний
зверху цiлочисловий пуассонiвський процес ξ(t) на ЛМ x(t) з кумулянтою:
K(z) = Λ1(z − 1)(I−Cz)−1 +
∑
x<0
(zx − 1)(Λ2p2(x) + Nf(x)) + Q, 0 < C < I. (18)
Для нього згiдно з [13] „нескладнi” компоненти о. ф. т. у (8) мають вигляд
g+(s, z) = (I−Cz)(I− Z−1
s z)−1p+(s),
p+(s) = (I− Z−1
s )(I−C)−1Ps, (19)
Z−1
s = q+(s)P−1
s + p+(s)P−1
s C,
g+(s, z) = p+(s)(I−R−1
s z)−1(I−Cz),
p+(s) = Ps(I−C)−1(I−R−1
s ), (20)
R−1
s = P−1
s q+(s) + CP−1
s p+(s).
Розглянемо вкладений ЛМ (y1
∗ = x(τ+(0)), y0
∗ = x(0)) з матрицею перехiдних iмовiрностей
P∗ =
∥∥P{y1
∗ = r|y0
∗ = k}
∥∥ та твiрною матрицею Q∗ = P∗−I, де P{τ+(0) <∞} =
∥∥P{τ+(0) <
<∞, y1
∗ = r|y0
∗ = k}
∥∥, T+
∗ (s, 0) =
∥∥E[e−sτ
+(0), y1
∗ = r|y0
∗ = k]
∥∥.
Аналогiчно введемо поняття зворотного ЛМ до вкладеного з твiрною матрицею
Q̂∗ = SQT
∗ S−1, Q̂∗ = P̂∗ − I,
P
{
τ̂+(0) <∞
}
=
∥∥P{τ̂+(0) <∞, ŷ 1
∗ = r|ŷ 0
∗ = k}
∥∥ = P̂∗,
T̂+
∗ (s, 0) =
∥∥E[e−sτ̂
+(0), ŷ 1
∗ = r|ŷ 0
∗ = k]
∥∥; P̂∗ =
∥∥P{ŷ 1
∗ = r|ŷ 0
∗ = k}
∥∥, k, r = 1,m.
Введемо позначення P̂∗S = S(P̂∗)
TS−1, Q̂∗S = S(Q̂∗)
TS−1, M̂∗S = S
(
E
[
τ̂+(0)
])T
S−1,
T̂+
∗S(s, 0) = S
(
T̂+
∗ (s, 0)
)T
S−1.
Згiдно з (16), (17), (19), (20), введеними поняттями та позначеннями, значення Z−1
s , R−1
s
виражаються через T+
∗ (s, 0), T̂+
∗S(s, 0) :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1040 М. С. ГЕРИЧ, Д. В. ГУСАК
Z−1
s = T+
∗ (s, 0) +
(
I−T+
∗ (s, 0)
)
C, (21)
R−1
s = T̂+
∗S(s, 0) + C
(
I− T̂+
∗S(s, 0)
)
. (22)
Розглянемо такi можливi випадки:
1. Якщо m0
1 > 0, то T+
∗ (0, 0) = P∗, T̂+
∗S(0, 0) = P̂∗S i генератриса τ+(0) при s → 0
задовольняє наближення
I−T+
∗ (s, 0) = −Q∗ + sM∗ + o(s), M∗ = Eτ+(0) > 0. (23)
Позначимо стацiонарний розподiл вкладеного ЛМ iз твiрною матрицею Q∗ через Π∗ =
= lims→0 s(sI−Q∗)
−1 = ‖π∗kr‖, π∗kr = ρ∗r, k, r = 1,m, а усереднення M∗ по ρ∗r
µ+
∗ =
m∑
k=1
ρ∗k
m∑
r=1
E
[
τ+(0), y1
∗ = r|y0
∗ = k
]
.
Генератриса τ̂+(0) при s→ 0 задовольняє наближення
I− T̂+
∗ (s, 0) = −Q̂∗ + sM̂∗ + o(s), M̂∗ = Eτ̂+(0) > 0. (24)
Запишемо (24) у виглядi
I− T̂+
∗S(s, 0) = −Q̂∗S + sM̂∗S + o(s). (25)
Вiдповiдно стацiонарний розподiл зворотного ЛМ з твiрною матрицею Q̂∗ позначимо через
Π̂∗ = lims→0 s(sI− Q̂∗)
−1 = ‖π̂∗kr‖, π̂∗kr = ρ̂∗r, k, r = 1,m, а усереднення M̂∗ по ρ̂∗r — через
µ̂+
∗ =
m∑
k=1
ρ̂∗k
m∑
r=1
E
[
τ̂+(0), ŷ 1
∗ = r|ŷ 0
∗ = k
]
.
При s→ 0 граничнi спiввiдношення (21) та (22) наберуть вигляду
Z−1
0 = P∗ + (I−P∗)C, q∗+(0) = P∗, p∗+(0) = I−P∗,
R−1
0 = P̂∗S + C(I− P̂∗S), q+
∗ (0) = P̂∗S, p+
∗ (0) = I− P̂∗S.
2. Якщо m0
1 < 0, то T+
∗ (0, 0) < P∗, T̂+
∗S(0, 0) < P̂∗S. З (21) та (22) при s→ 0 випливає
Z−1
0 = q∗+(0) + p∗+(0)C, q∗+(0) < P∗, p∗+(0) = I− q∗+(0),
R−1
0 = q+
∗ (0) + Cp+
∗ (0), q+
∗ (0) < P̂∗S, p+
∗ (0) = I− q+
∗ (0).
3. Якщо m0
1 = 0, то T+
∗ (0, 0) = P∗, T̂+
∗S(0, 0) = P̂∗S.
Iз лем 1, 2 з [14] i спiввiдношень (21) – (23) та (25) випливає таке твердження.
Лема 1. Якщо ξ(t) — майже напiвнеперервний зверху процес, то при 0 < m0
1 <∞ мають
мiсце спiввiдношення
lim
s→0
s(I−T+
∗ (s, 0))−1 = lim
s→0
s(sM∗ −Q∗)
−1 =
1
µ+
∗
Π∗,
(26)
lim
s→0
s(I− Z−1
s )−1 =
1
µ+
∗
(I−C)−1Π∗,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ГЕНЕРАТРИСИ ЕКСТРЕМУМIВ ТА ЇХ ДОПОВНЕНЬ ДЛЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ . . . 1041
lim
s→0
s(I− T̂+
∗S(s, 0))−1 = lim
s→0
s(sM̂∗ − Q̂∗)
−1 =
1
µ̂+
∗
Π̂∗S,
(27)
lim
s→0
s(I−R−1
s )−1 =
1
µ̂+
∗
Π̂∗S(I−C)−1,
а при −∞ < m0
1 < 0 — спiввiдношення
lim
s→0
s(I− Z−1
s )−1 = 0, (28)
lim
s→0
s(I−R−1
s )−1 = 0. (29)
Зауважимо, що Π∗P∗ = Π∗, P∗Π∗ = Π∗, Π̂∗S = Π∗.
Кумулянту (18) зведемо до вигляду
K(z) = (z − 1)
[
Λ1(I−Cz)−1 − z−1
(
Λ2F̃2(z) + NF̃−(z)
)]
+ Q, (30)
де
F̃2(z) =
∑
x60
zxP
{
ξ
(1)
k < x
}
, |z| > 1, F̃−(z) =
∑
x60
zx
∥∥pkrP{χ(1)
kr < x
}∥∥, |z| > 1,
K(1) = Q, K(∞) = −Λ1C
−1 −Λ2 −N.
Теорема 1. Якщо ξ(t) — майже напiвнеперервний зверху процес на ЛМ x(t), то при |z| > 1
генератриса ξ−(θs) має вигляд
g−(s, z) = s
(
sI−K(z)
)−1
(I−Cz)−1(I−R−1
s z)(I−R−1
s )−1(I−C) =
= s(sI−K(z))−1(I−Cz)−1
[
I + (1− z)(Rs − I)−1
]
(I−C), (31)
p−(s) = s
(
sC + Λ1 + C(Λ2 + N)
)−1
(Rs − I)−1(I−C), (32)
g−(s, 1) = Ps. (33)
Якщо 0 < m0
1 < ∞, то розподiл абсолютного мiнiмуму ξ− невироджений i згiдно з (27)
справджуються граничнi спiввiдношення
g−(z) = Ezξ
−
= lim
s→0
g−(s, z) =
m0
1
ν +
0
(1− z)
(
−K(z)
)−1
(I−Cz)−1P0 =
=
m0
1
ν +
0
[
Λ1 + (z−1I−C)
(
Q(1− z−1)−1 −Λ2F̃2(z)−NF̃−(z)
)]−1
P0, (34)
g−(1) =
1
µ̂+
∗m0
1
P0(I−C)−1Π̂∗S =
1
µ̂+
∗m0
1
P0(I−C)−1Π∗ =
ν +
0
µ̂+
∗m0
1
Π∗ = P0, (35)
Π̂∗S = Π∗ = P0,
1
µ̂+
∗
=
m0
1
ν +
0
, (36)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1042 М. С. ГЕРИЧ, Д. В. ГУСАК
де ν +
0 =
∑m
k=1
πkν
+
k , ν
+
k = (1− ck)−1,
p− = P{ξ− = 0} =
m0
1
ν +
0
(
Λ1 + C(Λ2 + N)
)−1
P0, (37)
E
[
τ̂ +(0)
]
= (I−C)−1(R−1
0 )′, (38)
а ξ̌ має вироджений розподiл.
Якщо −∞ < m0
1 < 0, то розподiл ξ− вироджений, а розподiл ξ̌ невироджений i визнача-
ється наступними граничними спiввiдношеннями при s→ 0:
g+(z) = p+[I−R−1
0 z]−1(I−Cz), (39)
p+ = P{ξ̌ = 0} = P0p
+
∗ (0). (40)
Якщо m0
1 = 0, то розподiли ξ−, ξ̌ виродженi.
Доведення. З другої рiвностi у (8) згiдно з (4), (7) i (20) отримаємо перше спiввiдношення
у (31) g−(s, z) = s
(
sI − K(z)
)−1
(I − Cz)−1(I − R−1
s z)(I − R−1
s )−1(I − C). Для доведення
другого спiввiдношення в (31) множники (I−R−1
s z)(I−R−1
s )−1 зведемо до вигляду
(I−R−1
s z)(I−R−1
s )−1 = (Rs − Iz)(Rs − I)−1 =
= (Rs − I)(Rs − I)−1 + (1− z)(Rs − I)−1 =
[
I + (1− z)(Rs − I)−1
]
.
Формули (32) i (33) отримаємо iз першого спiввiдношення в (31) пiсля граничного переходу
вiдповiдно при z →∞ та z → 1 з урахуванням (30) та (7).
У випадку 0 < m0
1 < ∞ генератриса абсолютного мiнiмуму згiдно з (27) визначається iз
(31) при s→ 0 пiсля врахування (30) та попереднiх зауважень:
g−(z) = lim
s→0
g−(s, z) = lim
s→0
s
(
sI−K(z)
)−1
(I−Cz)−1
[
I + (1− z)(Rs − I)−1
]
(I−C) =
= (1− z)
(
−K(z)
)−1
(I−Cz)−1(I− P̂∗Sz)
1
µ̂+
∗
Π̂∗S =
=
1
µ̂+
∗
[
Λ1 + (z−1I−C)
(
Q(1− z−1)−1 −Λ2F̃2(z)−NF̃−(z)
)]−1
Π∗. (41)
Першу рiвнiсть у (35) отримуємо iз g−(z) пiсля граничного переходу при z → 1 у другому
рядку (41) та врахування умови леми 2 ( див. [14]). Оскiльки Π̂∗S = Π∗, то отримаємо другу
рiвнiсть у (35). Перетворивши добуток P0(I − C)−1Π∗ = ν +
0 Π∗, запишемо третю рiвнiсть у
(35). Виконуючи граничний перехiд у (33) при s → 0, отримуємо g−(1) = P0. Таким чином,
спiввiдношення (35) i (36) встановлено.
Врахувавши умови (36) у спiввiдношеннi (41), отримаємо (34). Спiввiдношення (37) ви-
значаємо iз (32) при z → ∞. Iз спiввiдношення (R−1
0 )′ = lims→0
1
s
(I −R−1
s ) = lims→0
1
s
(I −
−C)(I− T̂+
∗S(s, 0)) = (I−C)E
[
τ̂+(0)
]
випливає (38).
Останнi частини в (34) та (41), вираженi через F̃2(z), F̃−(z) ∈ L0
−, згiдно з одержаними
граничними значеннями g−(s, 1) та g−(1), g−(s,∞), g−(∞) (якi не дорiвнюють 0 та∞), дають
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ГЕНЕРАТРИСИ ЕКСТРЕМУМIВ ТА ЇХ ДОПОВНЕНЬ ДЛЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ . . . 1043
пiдставу стверджувати, що вони належать до класу L0
−, визначеного у [13], i тому операцiя
проектування [·]0− не впливає на них.
Легко довести, що ξ̌ має вироджений розподiл. З (20) при s → 0, врахувавши умову (11),
отримаємо lims→0 p+(s) = P0(I−C)−1(I−R−1
0 ) = P0(I−P∗) = 0, отже, g+(s, z) → 0 при
s→ 0.
При −∞ < m0
1 < 0 (39) i (40) випливають вiдповiдно iз першого та другого спiввiдношень
у (20) при s→ 0 з урахуванням всiх викладок та позначень.
Якщо m0
1 = 0, то p+(s) = 0, p+(s) = 0 згiдно з (19), (20) та умовами (11), а отже,
g+(s, z) = 0, g+(s, z) = 0 при s→ 0. Таким чином, ξ+, ξ мають виродженi розподiли.
Майже аналогiчно встановлюється наступна теорема.
Теорема 2. Якщо ξ(t) — майже напiвнеперервний зверху процес на ЛМ x(t), то при |z| > 1
генератриса ξ(θs) задовольняє спiввiдношення
g−(s, z) = (I−C)(I− Z−1
s )−1(I− Z−1
s z)(I−Cz)−1s(sI−K(z))−1 =
= (I−C)[I + (1− z)(Zs − I)−1](I−Cz)−1s(sI−K(z))−1, (42)
p−(s) = (I−C)(Zs − I)−1s(sC + Λ1 + (Λ2 + N)C)−1, (43)
g−(s, 1) = Ps. (44)
Якщо 0 < m0
1 < ∞, то розподiл ξ = lims→0
(
ξ(θs) − ξ+(θs)
)
невироджений i згiдно з (26)
генератриса визначається граничним спiввiдношенням при s→ 0
g−(z) = Ezξ = lim
s→0
g−(s, z) =
m0
1
ν+
0
P0(1− z)(I−Cz)−1
(
−K(z)
)−1
=
=
m0
1
ν+
0
P0
[
Λ1 + (Q(1− z−1)−1 −Λ2F̃2(z)−NF̃−(z))(z−1I−C)
]−1
, (45)
g−(1) =
1
µ+
∗
Π∗(I−C)−1 1
m0
1
P0 =
ν+
0
µ+
∗m0
1
P0 = P0, (46)
1
µ+
∗
=
m0
1
ν+
0
, (47)
p− = P{ξ = 0} =
m0
1
ν+
0
P0(Λ1 + (Λ2 + N)C)−1, (48)
E[τ+(0)] = (Z−1
0 )′(I−C)−1, (49)
а ξ+ має вироджений розподiл.
Якщо−∞ < m0
1 < 0, то розподiл ξ вироджений, а розподiл ξ+ невироджений i визначаєть-
ся спiввiдношеннями
g+(z) = (I−Cz)[I− Z−1
0 z]−1p+, (50)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1044 М. С. ГЕРИЧ, Д. В. ГУСАК
p+ = P{ξ+ = 0} = p∗+(0)P0. (51)
Якщо m0
1 = 0, то розподiли ξ, ξ+ виродженi.
Доведення. З першої рiвностi у (8) отримаємо g−(s, z) = Ps((g+(s, z))−1g(s, z). Тодi згiд-
но з (4) i (19) g−(s, z) = (I − C)(I − Z−1
s )−1(I − Z−1
s z)(I − Cz)−1s(sI − K(z))−1. Отже,
перше спiввiдношення в (42) доведено. Для доведення другого спiввiдношення в (42) перетво-
римо множники (I − Z−1
s )−1(I − Z−1
s z) так само, як i в теоремi 1. Спiввiдношення (43) i (44)
отримуються iз (42) шляхом граничного переходу при z →∞ i z → 1 пiсля врахування (30).
У випадку 0 < m0
1 < ∞ генератриса g−(z) згiдно з (26) визначається iз (42) при s → 0 та
врахування попереднiх викладок:
g−(z) = lim
s→0
g−(s, z) = (I−C) lim
s→0
s(I− Z−1
s )−1(I− Z−1
s z)(I−Cz)−1(sI−K(z))−1 =
=
1
µ+
∗
Π∗(I− Z−1
0 z)(I−Cz)−1(−K(z))−1 =
1
µ+
∗
Π∗(1− z)(I−Cz)−1(−K(z))−1. (52)
Першу рiвнiсть у (46) отримуємо iз (52) при z → 1 та леми 2 (див. [14]). Добуток Π∗(I −
− C)−1P0 = ν+
0 P0, де (I − C)−1 = ‖Eξ+
1 ‖ = ‖δkrν+
k ‖, дає другу рiвнiсть у (46). Остання
рiвнiсть у (46) випливає з (44) пiсля граничного переходу при s → 0, а рiвнiсть (47) — iз
(46). Спiввiдношення (45) отримуємо iз (52), попередньо пiдставивши (36) та (47). Друге спiв-
вiдношення у (45) випливає iз першого пiсля пiдстановки замiсть K(z) (30). З граничного
спiввiдношення
(Z−1
0 )′ = lim
s→0
1
s
(I− Z−1
s ) = lim
s→0
1
s
(I−T+
∗ (s, 0))(I−C) = E[τ+(0)](I−C)
пiсля врахування (21) випливає (49).
Останнi частини в (42) та (45), вираженi через F̃2(z), F̃−(z) ∈ L0
−, згiдно з одержаними
граничними значеннями g−(s, 1) та g−(1), g−(s,∞), g−(∞) (якi не дорiвнюють 0 та∞), дають
пiдставу стверджувати, що вони належать до класу L0
− i тому операцiя проектування [·]0− не
впливає на них.
ξ+ має вироджений розподiл, оскiльки, здiйснивши граничний перехiд при s → 0 у (19) i
врахувавши (11) та попереднi викладки, отримаємо lims→0 p+(s) = (I − Z−1
0 )(I −C)−1P0 =
= (I−P∗)P0 = 0, отже, g+(s, z)→ 0 при s→ 0.
Розглянемо випадок −∞ < m0
1 < 0. Спiввiдношення (50) i (51) випливають вiдповiдно iз
першого та другого спiввiдношень в (19) при s→ 0 з урахуванням всiх викладок та позначень.
Якщо m0
1 = 0, то p+(s) = 0, p+(s) = 0 згiдно з (19), (20) та умовою (11), а отже,
g+(s, z) = 0, g+(s, z) = 0 при s→ 0. Таким чином ξ+, ξ мають виродженi розподiли.
3. Аналоги спiввiдношень для генератрис екстремальних значень та їх доповнень
у випадку майже напiвнеперервностi знизу. У даному пунктi наведемо коротко отриманi
результати для майже напiвнеперервних знизу процесiв, оскiльки їх справедливiсть встанов-
люється аналогiчно до спiввiдношень, отриманих у випадку майже напiвнеперервних зверху
процесiв.
Розглянемо майже напiвнеперервний знизу цiлочисловий процес ξ(t) на ЛМ з кумулянтою:
K(z) = Λ2(1− z)(zI−B)−1 +
∑
x>0
(zx − 1)(Λ1p1(x) + Nf(x)) + Q, 0 < B < I. (53)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ГЕНЕРАТРИСИ ЕКСТРЕМУМIВ ТА ЇХ ДОПОВНЕНЬ ДЛЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ . . . 1045
Згiдно з [13] деякi „нескладнi” компоненти о. ф. т. у (8) є матричними дробово-лiнiйними
функцiями
g−(s, z) = (zI−B)(zI− Z(s))−1p−(s),
p−(s) = (I− Z(s))(I−B)−1Ps, (54)
Z(s) = q−(s)P−1
s + p−(s)P−1
s B,
g−(s, z) = p−(s)(zI−R(s))−1(zI−B),
p−(s) = Ps(I−B)−1(I−R(s)), (55)
R(s) = P−1
s q−(s) + BP−1
s p−(s).
Як i у випадку майже напiвнеперервних процесiв, розглянемо вкладений ЛМ (y∗1 = x(τ−(0)),
y∗0 = x(0)) з матрицею перехiдних iмовiрностей P∗ = ‖P{y∗1 = r|y∗0 = k}‖ та твiрною мат-
рицею Q∗ = P∗ − I, де P{τ−(0) < ∞} = ‖P{τ−(0) < ∞, y1
∗ = r|y0
∗ = k}‖, T−∗ (s, 0) =
=
∥∥E[e−sτ
−(0), y∗1 = r|y∗0 = k]
∥∥, а також зворотний ЛМ до вкладеного з твiрною матрицею
Q̂∗ = S(Q∗)TS−1, Q̂∗ = P̂ ∗ − I, P{τ̂−(0) < ∞} = ‖P{τ̂−(0) < ∞, ŷ ∗1 = r|ŷ ∗0 = k}‖ = P̂∗,
T̂−∗ (s, 0) =
∥∥E[e−sτ̂
−(0), ŷ ∗1 = r|ŷ ∗0 = k]
∥∥, P̂∗ =
∥∥P{ŷ ∗1 = r|ŷ ∗0 = k}
∥∥, k, r = 1,m, P̂∗S =
= S(P̂∗)TS−1, Q̂∗S = S(Q̂∗)TS−1, M̂∗
S = S(E[τ̂−(0)])TS−1, T̂−∗S(s, 0) = S(T̂−∗ (s, 0))TS−1.
Для процесу ξ(t) значення Z(s), R(s) виражаються через T−∗ (s, 0), T̂−∗S(s, 0) :
Z(s) = T−∗ (s, 0) + (I−T−∗ (s, 0))B, (56)
R(s) = T̂−∗S(s, 0) + B(I− T̂−∗S(s, 0)). (57)
Стацiонарний розподiл вкладеного ЛМ з твiрною матрицею Q∗ позначимо Π∗ = lims→0 s(sI−
−Q∗)−1 = ‖π∗kr‖, π∗kr = ρ∗r , k, r = 1,m, а усереднення M∗ по ρ∗r
µ−∗ =
m∑
k=1
ρ∗k
m∑
r=1
E[τ−(0), y ∗1 = r|y ∗0 = k].
Вiдповiдно для зворотного ЛМ з матрицею Q̂ ∗ : Π̂ ∗ = lims→0 s(sI−Q̂ ∗)−1 = ‖π̂∗kr‖, π̂ ∗kr = ρ̂ ∗r ,
k, r = 1,m, а усереднення M̂ ∗ по ρ̂ ∗r
µ̂−∗ =
m∑
k=1
ρ̂ ∗k
m∑
r=1
E[τ̂ −(0), ŷ ∗1 = r|ŷ ∗0 = k].
Як i в п. 2, мають мiсце такi випадки:
1. Якщо m0
1 < 0, то при s→ 0 спiввiдношення (56) та (57) набирають вигляду
Z(0) = P∗ + (I−P∗)B, q∗−(0) = P∗, p∗−(0) = I−P∗,
R(0) = P̂∗S + B(I− P̂∗S), q−∗ (0) = P̂∗S, p−∗ (0) = I− P̂∗S.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1046 М. С. ГЕРИЧ, Д. В. ГУСАК
2. Якщо m0
1 > 0, то T−∗ (0, 0) < P∗, T̂−∗ (0, 0) < P̂∗. З (56), (57) при s→ 0 маємо
Z(0) = q∗−(0) + p∗−(0)B, q∗−(0) < P∗, p∗−(0) = I− q∗−(0),
R(0) = q−∗ (0) + Bp−∗ (0), q−∗ (0) < P̂∗S, p−∗ (0) = I− q−∗ (0).
3. Якщо m0
1 = 0, то T−∗ (0, 0) = P∗, P̂∗ = T̂−∗ (0, 0).
Iз лем 1, 2 в [14] та попереднiх спiввiдношень випливає таке твердження.
Лема 2. Якщо ξ(t) — майже напiвнеперервний знизу процес, то при −∞ < m0
1 < 0 мають
мiсце спiввiдношення
lim
s→0
s
(
I−T−∗ (s, 0)
)−1
= lim
s→0
s
(
sM∗ −Q∗
)−1
=
1
µ−∗
Π∗,
(58)
lim
s→0
s
(
I− Z(s)
)−1
=
1
µ−∗
(I−B)−1Π∗,
lim
s→0
s(I− T̂−∗S(s, 0))−1 = lim
s→0
s
(
sM̂∗
S − Q̂∗S
)−1
=
1
µ̂−∗
Π̂∗S,
(59)
lim
s→0
s
(
I−R(s)
)−1
=
1
µ̂−∗
Π̂∗S(I−B)−1,
а при 0 < m0
1 <∞ — спiввiдношення
lim
s→0
s
(
I− Z(s)
)−1
= 0, lim
s→0
s
(
I−R(s)
)−1
= 0.
Зауважимо, що Π̂∗S = Π∗, P∗Π∗ = Π∗, Π∗P∗ = Π∗.
Кумулянта (53) записується у виглядi
K(z) = (1− z)
[
Λ2(zI−B)−1 −
(
Λ1F̃1(z) + NF̃+(z)
)]
+ Q, (60)
де F̃1(z) =
∑
x>0
zxP{ξ(1)
k > x}, |z| 6 1, F̃+(z) =
∑
x>0
zx
∥∥ pkrP{χ(1)
kr > x}
∥∥, |z| 6 1, до
того ж
K(1) = Q, K(0) = −Λ2B
−1 −Λ1 −N.
Мають мiсце аналогiчнi теореми, якi наведемо без доведення.
Теорема 3. Якщо ξ(t) майже напiвнеперервний знизу процес на ЛМ x(t), то при |z| 6 1
генератриса ξ+(θs) має вигляд
g+(s, z) = s(sI−K(z))−1(zI−B)−1(zI−R(s))(I−R(s))−1(I−B) =
= s(sI−K(z))−1(zI−B)−1[I + (z − 1)(I−R(s))−1](I−B),
p+(s) = s(sB + Λ2 + B(Λ1 + N))−1(R(s)− I)−1(I−B), g+(s, 1) = Ps.
Якщо −∞ < m0
1 < 0, то розподiл абсолютного максимуму ξ+ невироджений i згiдно з (59)
справджуються граничнi спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ГЕНЕРАТРИСИ ЕКСТРЕМУМIВ ТА ЇХ ДОПОВНЕНЬ ДЛЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ . . . 1047
g+(z) = Ezξ
+
= lim
s→0
g+(s, z) =
|m0
1|
ν −0
(1− z)
(
K(z)
)−1
(zI−B)−1P0 =
=
|m0
1|
ν −0
[
Λ2 + (I−Bz−1)
(
Q(z−1 − 1)−1 − z
(
Λ1F̃1(z) + NF̃+(z)
))]−1
P0,
(61)
g+(1) =
1
µ̂−∗ |m0
1|
P0(I−B)−1Π̂∗S =
1
µ̂−∗ |m0
1|
P0(I−B)−1Π∗ =
ν −0
µ̂−∗ |m0
1|
Π∗ = P0,
Π̂∗S = Π∗ = P0,
1
µ̂−∗
=
|m0
1|
ν −0
, ν −0 =
m∑
k=1
πkν
−
k , ν
−
k = (1− bk)−1,
p+ = P{ξ+ = 0} =
|m0
1|
ν −0
(Λ2 + B(Λ1 + N))−1P0, E[τ̂ −(0)] = (I−B)−1(R(0))′,
а ξ має вироджений розподiл.
Якщо 0 < m0
1 <∞, то розподiл ξ+ вироджений, а розподiл ξ невироджений i визначається
спiввiдношеннями
g−(z) = p−(zI−R(0))−1(zI−B), p− = P{ξ = 0} = P0p
−
∗ (0).
Якщо m0
1 = 0, то розподiли ξ+, ξ виродженi.
Теорема 4. Якщо ξ(t) — майже напiвнеперервний знизу процес на ЛМ x(t), то при |z| 6 1
генератриса ξ̌(θs) задовольняє спiввiдношення
g+(s, z) = (I−B)
(
I− Z(s)
)−1(
zI− Z(s)
)
(zI−B)−1s
(
sI−K(z)
)−1
=
= (I−B)[I + (z − 1)(I− Z(s))−1](zI−B)−1s
(
sI−K(z)
)−1
,
p+(s) = (I−B)
(
(Z(s))−1 − I
)−1
s
(
sB + Λ2 + (Λ1 + N)B
)−1
, g+(s, 1) = Ps.
Якщо −∞ < m0
1 < 0, то розподiл ξ̌ = lims→0
(
ξ(θs)− ξ−(θs)
)
невироджений i згiдно з (58)
його генератриса визначається спiввiдношенням при s→ 0
g+(z) = Ezξ̌ = lim
s→0
g+(s, z) =
|m0
1|
ν−0
P0(1− z)(zI−B)−1
(
K(z)
)−1
=
=
|m0
1|
ν−0
P0
[
Λ2 +
(
Q(z−1 − 1)−1 − z
(
Λ1F̃1(z) + NF̃+(z)
))
(I−Bz−1)
]−1
, (62)
g+(1) =
1
µ−∗
Π∗(I−B)−1 1
|m0
1|
P0 =
ν−0
µ−∗ |m0
1|
P0 = P0,
1
µ−∗
=
|m0
1|
ν−0
,
p+ = P{ξ̌ = 0} =
|m0
1|
ν−0
P0(Λ2 + (Λ1 + N)B)−1, E[τ−(0)] = (Z(0))′(I−B)−1,
а ξ− має вироджений розподiл.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1048 М. С. ГЕРИЧ, Д. В. ГУСАК
Якщо 0 < m0
1 <∞, то розподiл ξ̌ вироджений, а розподiл ξ− невироджений i визначається
спiввiдношеннями
g−(z) = (zI−B)[zI− Z(0)]−1p−, p− = P{ξ− = 0} = p∗−(0)P0.
Якщо m0
1 = 0, тодi розподiли ξ̌, ξ− виродженi.
Зауваження 1. Матричнi спiввiдношення в теоремах 1 – 4 для g±(s, z) та g±(s, z) мають
складнiший вигляд, нiж у випадку звичайних цiлочислових пуассонiвських процесiв. Це усклад-
нення обумовлене тим, що в даному випадку виникає потреба в розглядi зворотного процесу на
ЛМ та його вiдповiдних характеристик, необхiдних для вияснення двоїстостi о. ф. т. (8) i (15)
та ймовiрнiсної iнтерпретацiї компонент о. ф. т. Крiм того, деякi з характеристик зворотного
процесу вимагають додаткового вивчення (леми 1, 2) з метою встановлення вiдповiдних гранич-
них спiввiдношень (34), (61) та (45), (62) для g∓(z) = lims→0 g∓(s, z), g∓(z) = lims→0 g∓(s, z)
при ±m0
1 > 0.
У скалярному випадку вiдповiднi скорочення для майже напiвнеперервного зверху цiлочис-
лового процесу ξ(t) (C = c) випливають з того, що Z−1
s = R−1
s = q+(s) + cp+(s), оскiльки
p+(s) = p+(s), Ps = P0 = 1, ξ+(θs)
.
= ξ(θs), ξ
−(θs)
.
= ξ̌(θs). Для майже напiвнеперервного
знизу цiлочислового процесу ξ(t) (B = b) мають мiсце аналогiчнi спрощення. Оскiльки p−(s) =
= p−(s), то Z(s) = R(s) = q−(s) + bp−(s).
Зауваження 2. Одержанi в теоремах 1 – 4 компоненти факторизацiї g±(s, z) та g±(s, z),
що визначають генератриси розподiлiв екстремумiв та їх доповнень, необхiднi для знаходження
генератрис перестрибкових функцiоналiв γ1(x) = γ+(x), γ2(x) = γ+(x) :
E
[
e−sτ
+(x)zγi(x), τ+(x) <∞
]
, i = 1, 2.
Цi генератриси визначають першу та другу дисконтну (при s > 0) функцiї банкрутства (при
s → 0 i m0
1 < 0 вiдповiднi граничнi функцiї банкрутства). Генератриси ξ±(θs), що виража-
ються матричними дробово-лiнiйними функцiями (див. (19) та (54)), визначають геометричний
розподiл екстремумiв (а також i генератрис τ±(x)), на пiдставi якого обчислюються дисконтнi
функцiї банкрутства. Крiм того, при ±m0
1 < 0 генератриси g±(z) (див. (34) i (61)) визначають
розподiли ξ± :
p+
k = P{ξ± = k}, ±k > 0.
Для процесу ризику з дискретним розподiлом вимог та з геометрично розподiленими премiями
хвiст розподiлу ξ+ визначає функцiю банкрутства
Ψ(u) = P{ξ+ > u} =
∑
k>u
p+
k , (Ψ(0) = q+ < P0), u > 0.
У випадку напiвнеперервностi (зверху C = 0, знизу B = 0) спiввiдношення (34), (45) та
(61), (62) нагадують класичну формулу Полячека – Хiнчина для скалярного випадку. Крiм того,
з теореми 4 випливає таке твердження.
Наслiдок. Якщо для напiвнеперервного знизу процесу ризику ξ(t) на ЛМ вимоги ξ
′
k мають
бiномiальний розподiл з матричним параметром P
′
=‖ δkrp
′
k ‖k,r∈E i
p1(n) =
∥∥δkrP{ξ′k = n}
∥∥ = Cnm(P
′
)n(I−P
′
)m−n, 0 6 n 6 m,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ГЕНЕРАТРИСИ ЕКСТРЕМУМIВ ТА ЇХ ДОПОВНЕНЬ ДЛЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ . . . 1049
то при вiдсутностi стрибкiв {χkr}, f(x) = 0, x > 0, F̃+(z) = 0, за умови m0
1 =
= m
∑m
k=1
πkλ
(1)
k p
′
k −
∑m
k=1
πkλ
(2)
k < 0 генератриса ξ+ згiдно з (61) має вигляд
g+(z) = |m0
1|
[
Λ2 + Q
z
1− z
−Λ1
z
1− z
m∑
k=1
(1− zk)p1(k)
]−1
P0, ν −0 = 1,
p+ = |m0
1|Λ−1
2 P0, Ψ(0) = q+ =
(
I− |m0
1|Λ−1
2
)
P0.
Аналогiчне твердження має мiсце для випадку, коли всi вимоги ξ′k мають бiномiальний
розподiл зi спiльним скалярним параметром 0 < p
′
< 1
p1(k) = Ckn(p
′
)k(I− p
′
)n−k, p′ = p
′
I,
за умови m0
1 = np
′∑m
k=1
πkλ
(1)
k −
∑m
k=1
πkλ
(2)
k < 0.
1. Dickson D. C. M. Some comments on the compound binomial model // Astin Bull. – 1994. – 24, № 1. – P. 33 – 45.
2. Willmot G. E. Ruin probabilities in the compound binomial model // Insurance: Math and Econ. – 1992. – 12. –
P. 133 – 142.
3. Cheng S., Gerber H. U., Shiu E. S. W. Discounted probabilities and ruin theory in the compound binomial model //
Insurance: Math and Econ. – 2000. – 26. – P. 239 – 250.
4. Ежов И. И., Скороход А. В. Марковские процессы, однородные по второй компоненте // Теория вероятностей
и ее применения. – 1969. – 14, № 1. – С. 3 – 14.
5. Arjas E. On a fundamental identity in the theory of semi-Markov processes // Adv. Appl. Probab. – 1972. – 4, № 2. –
P. 258 – 270.
6. Могульський А. А. Факторизационные тождества для процессов с независимыми приращениями, заданных на
конечной цепи Маркова, однородные по второй компоненте // Теория вероятностей и мат. статистика. – 1974. –
11. – С. 86 – 96.
7. Asmussen S., Albrecher H. Ruin probabilities. – Hackensack: World Sci., 2010. – 602 p.
8. Гусак Д. В. Граничнi задачi для процесiв з незалежними приростами на скiнченних ЛМ та для напiвмарковських
процесiв. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1998. – 320 с.
9. Карнаух Є. В. Граничнi задачi для одного класу процесiв на ланцюгу Маркова: Автореф. дис. . . . канд. фiз.-мат.
наук. – Київ, 2007. – 18 с.
10. Гусак Д. В. Процеси з незалежними приростами в теорiї ризику. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2011. –
544 с.
11. Гусак Д. В., Турениязова А. И. О решетчатых полунепрерывных пуассоновских процессах на цепи Маркова //
Укр. мат. журн. – 1987. – 39, № 6. – С. 707 – 711.
12. Гусак Д. В., Герич М. С. Уточнення компонент основної факторизацiйної тотожностi для гратчастих пуассо-
нiвських процесiв на ланцюгу Маркова // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. Сер. мат. i iнформ. – 2011. – 22, № 2. –
С. 54 – 63.
13. Герич М. С. Уточнення основної факторизацiйної тотожностi для майже напiвнеперервних гратчастих пуас-
сонiвських процесiв на ланцюгу Маркова // Карпат. мат. публ. – 2012. – 4, № 2. – С. 229 – 240.
14. Герич М. С. Генератриси розподiлу екстремумiв та їх доповнень для напiвнеперервних зверху гратчастих
пуассонiвських процесiв на ланцюгу Маркова // Вiсн. Київ. нац. ун-ту iм. Т. Шевченка. Фiз.-мат. науки. – 2013.
– Вип. 1. – С. 21 – 27.
15. Кемени Дж., Снелл Дж., Кнепп А. Счетные цепи Маркова. – М.: Наука, 1987. – 416 с.
16. Королюк В. С., Турбин А. Ф. Полумарковские процессы и их применение. – Киев: Наук. думка, 1976. – 182 с.
17. Боровков А. А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1986. – 432 с.
Одержано 11.09.13,
пiсля доопрацювання — 16.06.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
|