О сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом

Розглядається будова гладкої кривої з точки зору поняття сплощення. Наведено умови, за яких r-геодезична крива базисного многовиду є проекцією r-геодезичної кривої в дотичному розшаруванні другого порядку. Встановлено необхідну i достатню умову, при якій 2-геодезичний диФєоморФізм афінно зв'язн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Зубрилин, К.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2013
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165763
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом / К.М. Зубрилин // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 11. — С. 1482–1497. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165763
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1657632020-02-17T01:26:33Z О сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом Зубрилин, К.М. Статті Розглядається будова гладкої кривої з точки зору поняття сплощення. Наведено умови, за яких r-геодезична крива базисного многовиду є проекцією r-геодезичної кривої в дотичному розшаруванні другого порядку. Встановлено необхідну i достатню умову, при якій 2-геодезичний диФєоморФізм афінно зв'язних просторів індукує 2-геодезичний диФєоморФізм дотичних розшарувань другого порядку. We consider the structure of a smooth curve from the viewpoint of the concept of flattening and establish conditions under which an r-geodesic curve of the base manifold is the projection of the r-geodesic curve in a tangent bundle of the second order. The necessary and sufficient condition under which a 2-geodesic diffeomorphism of affine-connected spaces induces a 2-geodesic diffeomorphism of tangent bundles of the second order is established. 2013 Article О сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом / К.М. Зубрилин // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 11. — С. 1482–1497. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165763 517.764 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Зубрилин, К.М. О сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом Український математичний журнал
description	Розглядається будова гладкої кривої з точки зору поняття сплощення. Наведено умови, за яких r-геодезична крива базисного многовиду є проекцією r-геодезичної кривої в дотичному розшаруванні другого порядку. Встановлено необхідну i достатню умову, при якій 2-геодезичний диФєоморФізм афінно зв'язних просторів індукує 2-геодезичний диФєоморФізм дотичних розшарувань другого порядку.
format	Article
author	Зубрилин, К.М.
author_facet	Зубрилин, К.М.
author_sort	Зубрилин, К.М.
title	О сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом
title_short	О сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом
title_full	О сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом
title_fullStr	О сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом
title_full_unstemmed	О сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом
title_sort	о сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165763
citation_txt	О сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом / К.М. Зубрилин // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 11. — С. 1482–1497. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT zubrilinkm osohraneniiporâdkauploŝeniâinducirovannymdiffeomorfizmom
first_indexed	2025-07-14T19:51:01Z
last_indexed	2025-07-14T19:51:01Z
_version_	1837653214758961152
fulltext	УДК 517.764 К. М. Зубрилин (Феодос. политехн. ин-т Нац. ун-та кораблестроения им. адм. Макарова) О СОХРАНЕНИИ ПОРЯДКА УПЛОЩЕНИЯ ИНДУЦИРОВАННЫМ ДИФФЕОМОРФИЗМОМ We consider the structure of a smooth curve from the viewpoint of the concept of flattening and establish conditions under which the r-geodesic curve of the basis manifold is the projection of the r-geodesic curve in a tangential bundle of the second order. The necessary and sufficient condition under which the 2-geodesic diffeomorphism of affine-connected spaces induces a 2-geodesic diffeomorphism of tangential bundles of the second order is established. Розглядається будова гладкої кривої з точки зору поняття сплощення. Наведено умови, за яких r-геодезична крива базисного многовиду є проекцiєю r-геодезичної кривої в дотичному розшаруваннi другого порядку. Встановлено необхiдну i достатню умову, при якiй 2-геодезичний дифеоморфiзм афiнно зв’язних просторiв iндукує 2-геодезичний дифеоморфiзм дотичних розшарувань другого порядку. Введение. Изучение индуцированных отображений касательных расслоений восходит к рабо- там К. Яно и Ш. Ишихара [1, 2]. При исследовании отображений касательных расслоений, ин- дуцированных геодезическими, ими установлено, что геодезический диффеоморфизм аффинно связных пространств индуцирует геодезический диффеоморфизм касательных расслоений то- гда и только тогда, когда базисное отображение будет аффинным. В целом геометрическая природа индуцированного отображения ими не установлена. В работах [3, 4] С. Г. Лейко рассматривал диффеоморфизмы, индуцированные геодезиче- скими диффеоморфизмами, в рамках теории уплощенных (p-геодезических) отображений. При этом касательные расслоения рассматривались как аффинно связные пространства относитель- но связности полного лифта и II-лифта. Случай связности горизонтального лифта рассмотрен в работе [5]. С другой стороны, как естественное обобщение случая геодезических отображений возни- кает задача поиска условий, при которых r-геодезический диффеоморфизм базисных много- образий индуцирует r-геодезический диффеоморфизм касательных расслоений. Случай r = 1, как отмечено выше, рассмотрен К. Яно и Ш. Ишихара; необходимым и достаточным услови- ем является аффинность базисного диффеоморфизма, что равносильно обращению в нуль его тензора аффинной деформации. В данной работе рассматривается строение гладкой кривой с точки зрения понятия уплоще- ния. Приведены условия, при которых r-геодезическая кривая базисного многообразия являет- ся проекцией r-геодезической кривой в касательном расслоении второго порядка. Установлено необходимое и достаточное условие, при котором 2-геодезический диффеоморфизм аффинно связных пространств индуцирует 2-геодезический диффеоморфизм касательных расслоений второго порядка. 1. Уплощенные (r -геодезические) отображения. Выберем в n-мерном дифференциру- емом многообразии M с аффинной связностью ∇ гладкую кривую C . Пусть ξ — поле каса- тельных векторов вдоль кривой C . Поле ξr векторов r-й кривизны кривой C определяется рекуррентно: ξr = ∇tξr−1, ξ0 = ξ. Определение 1.1 [4]. Говорят, что кривая C в точке p имеет уплощение m-го порядка, если в точке p векторы ξ, ξ1, . . . , ξm−1 линейно независимы, а векторы ξ, ξ1, . . . , ξm−1, ξm линейно зависимы. c© К. М. ЗУБРИЛИН, 2013 1482 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 О СОХРАНЕНИИ ПОРЯДКА УПЛОЩЕНИЯ ИНДУЦИРОВАННЫМ ДИФФЕОМОРФИЗМОМ 1483 Кривая, которая в каждой своей точке имеет уплощение m-го порядка, называется m-гео- дезической кривой. Из свойств линейной зависимости и линейной независимости векторов следует, что вдоль m-геодезической кривой C должно выполняться равенство ξm = α0 ξ + α1 ξ1 + . . .+ αm−1 ξm−1, (1.1) в котором α0, α1, . . . , αm−1 — некоторые функции, определeнные вдоль кривой C . Если рассматривать ξ, ξ1, . . . , ξm−1, ξm как дифференциальные операторы от параметра t, а функции α0, α1, . . . , αm−1 как функции от параметра t, то равенство (1.1) представляет собой дифференциальное уравнение m-геодезической кривой C . Если aι = 0 вдоль кривой C для всех ι = 0,m− 1, то параметр t, к которому отнесена данная кривая, называется абсолютно каноническим параметром. Дифференциальное уравне- ние m-геодезической кривой C , отнесенной к абсолютно каноническому параметру, имеет вид ξm = 0. По определению m-геодезической кривой вдоль кривой C порядок уплощения ра- вен m. Ослабим это требование, а именно, абсолютно канонической m-геодезической кривой будем называть кривую, вдоль которой вектор m-й кривизны равен нулю, а порядок уплощения не превышает m. Параметр этой кривой будем называть каноническим параметром. Определение 1.2 [4]. Точка p кривой C называется граничной точкой уплощения, если в каждой окрестности точки p есть хотя бы одна точка кривой C , в которой порядок уплощения отличается от порядка уплощения в точке p. Граничную точку уплощения p кривой C будем называть изолированной, если найдется такая ее окрестность, в пределах которой нет граничных точек уплощения кривой C , отличных от точки p. Примером изолированной граничной точки уплощения является точка перегиба. Граничную точку уплощения p кривой C будем называть предельной, если в любой ее окрестности есть хотя бы одна граничная точка уплощения кривой C , отличная от точки p. Точка x = 0 является предельной граничной точкой уплощения графика функции f (x) = { 0, x 6 0, e−1/x sin 1 x , x > 0. Дугой кривой C , представленной параметризацией γ : (a, b) → M, будем называть часть D кривой C , которая параметризуется сужением γ на некоторый интервал (α, β) ⊂ (a, b). Если концы α и/или β принадлежат области параметров (a, b), то точки γ(α) и/или γ(β) будем называть концами дуги D . Пусть вдоль кривой C с параметризацией γ : (a, b) → M задана целочисленная неотрица- тельная и ограниченная функция m : (a, b)→ Z. Точку γ(t), t ∈ (a, b), кривой C будем называть m-граничной, если в любой окрестности этой точки есть точка γ(τ), отличная от γ(t), в которой m(τ) 6= m(t). Лемма 1.1. Кривая C , вдоль которой задана целочисленная неотрицательная ограничен- ная функция m, состоит из m-граничных точек и попарно непересекающихся дуг, на кото- рых функция m постоянна. При этом, если концы дуг лежат на кривой, они являются m- граничными точками. Доказательство. Пусть γ : (a, b) → M — параметризация кривой C . На интервале (a, b) определим бинарное отношение R следующим образом. Для произвольных элементов t, t′ ∈ ∈ (a, b) верно tRt′ тогда и только тогда, когда либо t = t′, либо найдется такой интервал ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1484 К. М. ЗУБРИЛИН I = (α, β) ⊂ (a, b), на котором функция m постоянна и которому принадлежат точки t, t′. Нетрудно показать, что бинарное отношение R является отношением эквивалентности в мно- жестве (a, b). Это отношение эквивалентности определяет разбиение множества (a, b) на классы эквивалентности по R. Покажем, что каждый класс K эквивалентности по R есть либо одноточечное множество, либо интервал, на котором функция m постоянна. Действительно, если K не одноточечное множество, то найдется такой интервал I ⊂ (a, b), на котором функция m постоянна и I ⊂ K. Значит, K ⊂ (inf K, supK). Обратно, для произвольного s ∈ (inf K, supK) найдется такой интервал J ⊂ (a, b), на котором функция m постоянна и s ∈ J ⊂ K, т. е. (inf K, supK) ⊂ K. Таким образом, (inf K, supK) = K. Теперь допустим, что t∗ = inf K ∈ (a, b), т. е. γ (t∗) — левый конец дуги γK . Тогда найдется такой класс эквивалентности K ′, что t∗ ∈ K ′. Если бы {t∗} 6= K ′, то по доказанному K ′ — интервал, а значит, K ∩K ′ 6= ∅, что невозможно, так как K 6= K ′. Значит, {t∗} = K ′. Случай supK ∈ (a, b) рассматривается аналогично. Покажем, что каждый одноточечный класс эквивалентности K = {t∗} определяет m- граничную точку γ(t∗) кривой C . Для этого достаточно показать, что каждый интервал I ⊂ ⊂ (a, b), содержащий точку t∗, содержит, по крайней мере, одну такую точку s ∈ I, что m (t∗) 6= m(s). Допустим противное. Тогда найдется такой интервал I ⊂ (a, b), содержащий точку t∗, что функция m постоянна на I. По определению отношения R отсюда получаем I ⊂ K = {t∗}, что невозможно. Полученное противоречие и доказывает требуемое. Лемма доказана. Следует отметить, что функция m должна выражать определенные свойства кривой, чтобы разложение кривой на m-граничные точки и дуги было «интересным». Например, в качестве функции m можно было бы взять функцию Дирихле, которая не имеет никакого отношения к кривой, и убедиться, что любая кривая состоит из m-граничных точек. Дополним функцию m условием, которое позволит уточнить «разложение» кривой на гра- ничные точки и дуги. Замечание 1.1. Пусть функция m из леммы 1.1 удовлетворяет следующему условию: для любой точки t ∈ (a, b) найдется такой интервал t ∈ I ⊂ (a, b), что m(t)6 m(s) для произволь- ного s ∈ I. Тогда найдется, по крайней мере, одна дуга, на которой функция m постоянна и принимает наибольшее значение maxt∈(a,b) m(t). Пусть p = maxt∈(a,b) m(t) и t0 — такая произвольная точка, что p = m (t0) . По предполо- жению найдется такой интевал I ⊂ (a, b), что для всех t ∈ I верно m (t0)6 m(t), т. е. p6m(t). С другой стороны, m(t)6p. Следовательно, p = m(t); иначе говоря, функция m постоянна на интервале I. Значит, если K0 — класс эквивалентности, содержащий точку t0, то I ⊂ K0, и дуга γK0 является искомой. Теорема 1.1. Любая гладкая кривая C в M состоит из граничных точек уплощения и попарно непересекающихся дуг, являющихся q-геодезическими кривыми (q зависит от дуги), концы которых, лежащие на кривой C , являются граничными точками уплощения. Среди этих дуг есть, по крайней мере, одна, для которой q — наибольший из порядков уплощения точек данной кривой C . Доказательство. Пусть γ : (a, b)→M — параметризация кривой C в M. Для каждого t ∈ ∈ (a, b) порядок уплощения кривой C в точке γ(t) обозначим через qt. Понятно, что (t→ qt)- граничные точки — это граничные точки уплощения. С другой стороны, пусть t0 ∈ (a, b) — произвольная точка и p = qt0 . По определению в точке x = γ(t0) векторы ξx, ξ1x, . . . , ξp−1x ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 О СОХРАНЕНИИ ПОРЯДКА УПЛОЩЕНИЯ ИНДУЦИРОВАННЫМ ДИФФЕОМОРФИЗМОМ 1485 линейно независимы, т. е. ξx ∧ ξ1x ∧ . . .∧ ξp−1x 6= 0. Поскольку функция t→ ξγ(t) ∧ ξ1γ(t) ∧ . . . . . . ∧ ξp−1γ(t) непрерывна, найдется такой интервал I ⊂ (a, b), что для всех t ∈ I векторы ξγ(t), ξ1γ(t), . . . , ξp−1γ(t) линейно независимы. По определению точки уплощения qt>p для всех t ∈ I. Таким образом, теорема получается из леммы 1.1 и замечания 1.1. Теорема доказана. Определение 1.3 [4]. Диффеоморфизм µ : M → M̄ двух аффинно связных пространств (M,∇) и (M̄, ∇̄) называется r-геодезическим, если при этом диффеоморфизме все геодези- ческие кривые первого пространства переходят в кривые второго пространства, в точках которых наибольший из порядков уплощения равен r. r-Геодезический диффеоморфизм ρ : M → M аффинно связного пространства (M,∇) на себя называется r-геодезическим преобразованием аффинно связного пространства (M,∇) [4]. Из данного определения и теоремы 1.1 следует, что геометрически r-геодезические диффео- морфизмы характеризуются тем, что они геодезические кривые преобразуют в кривые, которые на отдельных участках (дугах) являются m-геодезическими кривыми, причем m6r. С. Г. Лейко найдены дифференциальные уравнения, описывающие r-геодезические диф- феоморфизмы. Именно, пусть ūh = ūh(u1, u2, . . . , un) — локальное представление диффеомор- физма µ : M → M̄. Для того чтобы диффеоморфизм µ был r-геодезическим, необходимо и достаточно, чтобы в общей по этому диффеоморфизму локальной системе координат выпол- нялись условия δ [h (iH h1 i1i2 . . . H hr−1 k1...kr H hr] j1...jr+1) = 0, δ [h (iH h1 i1i2 . . . H hr−1] k1...kr) 6= 0, (1.2) где H — тензор аффинной деформации диффеоморфизма µ, ∇̃ — смешанная ковариантная производная в смысле ван дер Вардена – Бортолотти относительно связностей ∇ и ∇̄, Hh ij = = ∇̃iδhj = Γ̄hij − Γhij , . . . , Hh j1...jmjm+1 = ∇̃(jm+1 Hh j1...jm). Соотношения (1.2) называются основ- ными уравнениями r-геодезического диффеоморфизма. Оказывается, что в случае диффеоморфизмов исследование порядков уплощения точек кривой-образа C̄ в многообразии M̄ с аффинной связностью ∇̄ можно свести к изучению порядков уплощения соответствующих точек геодезической кривой C в многообразии M от- носительно специальной связности на многообразии M — прообраза аффинной связности ∇̄ относительно диффеоморфизма. Это позволяет избежать применения аппарата смешанных тен- зоров и смешанной ковариантной производной ван дер Вардена – Бортолотти. Определение 1.4 [4]. Аффинная связность ∇̃ : X(M) × X(M) → X(M) на многообразии M, определяемая правилом ∇̃XY = ( µ−1 ) ∗ ( ∇̄µ∗Xµ∗Y ) для произвольных векторных полей X,Y ∈ X(M), называется прообразом аффинной связности ∇̄ относительно диффеоморфиз- ма µ. Теорема 1.2 [5]. Пусть µ : M → M̄ — диффеоморфизм многообразий, ∇̄ — аффинная связность на M̄, ∇̃ — прообраз ∇̄ при диффеоморфизме µ, C — гладкая кривая в многообразии M и C̄ = µ (C ) — кривая-образ на M̄. Для того чтобы в точке µ(p) ∈ C̄ , p ∈ C , кривая-образ C̄ имела уплощение k-го порядка относительно связности ∇̄, необходимо и достаточно, чтобы в точке p ∈ C кривая C имела уплощение k-го порядка относительно прообраза ∇̃. Для нахождения ковариантной производной произвольного векторного поля вдоль кривой относительно прообраза аффинной связности введем понятие тензора аффинной деформации диффеоморфизма. Легко проверить, что правило P (X,Y ) = ∇̃XY−∇XY определяет тензорное ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1486 К. М. ЗУБРИЛИН поле P ∈ T1 2(M), где X и Y — произвольные гладкие векторные поля на M. Тензорное поле P тесно связано с понятием тензора аффинной деформации H диффеоморфизма µ : M → M̄ аффинно связных пространств (см. [6, с. 153], пример 6) H(X,Y )p = µ∗(P (X,Y ))µ(p) для любых векторных полей X и Y на многообразии M и произвольной точки p ∈M. По этой причине тензорное поле P также будем называть тензором аффинной деформации диффеоморфизма µ. Лемма 1.2. Пусть вдоль кривой C , отнесенной к параметру t, задано векторное поле χ. Тогда ∇̃tχ = ∇tχ+ P (ξ, χ), где ξ — поле касательных векторов вдоль кривой C . Доказательство сводится к проверке данного равенства в произвольной координатной окрестности ( U ;uh ) многообразия M. Теорема 1.3. Пусть µ : M → M̄ — диффеоморфизм аффинно связных пространств (M,∇) и ( M̄, ∇̄ ) , ∇̃ — прообраз ∇̄ при диффеоморфизме µ, C — геодезическая кривая в многообразии M, отнесенная к каноническому параметру t. Тогда векторы кривизн ξ̃k кривой C относи- тельно связности прообраза ∇̃ имеют вид ξ̃k = Pk(ξ, . . . , ξ), где тензоры Pk ∈ T1 r+1 (M) определяются рекуррентно P1 = P, Pk = ∇Pk−1 + c2 1c 3 2 (P ⊗ δ ⊗ Pr−1) , а cij — свертка по j-му ковариантному и i-му контравариантному индексам. Доказательство основано на применении математической индукции. Пусть ξ — поле касательных векторов к кривой C . Тогда, согласно лемме 1.2, находим поле ξ̃1 векторов 1-й кривизны кривой C относительно прообраза ∇̃ ξ̃1 = ∇̃tξ = ∇tξ + P (ξ, ξ) = P (ξ, ξ) , так как ∇tξ = 0, ибо параметр t геодезической кривой C является каноническим. Пусть для поля ξ̃r−1 (r − 1)-й кривизны кривой C относительно прообраза ∇̃ имеется такое тензорное поле Pr−1 ∈ T1 r (M) , что ξ̃r−1 = Pr−1(ξ, . . . , ξ). Тогда, применяя лемму 1.2, получаем ξ̃r = ∇̃tξ̃r−1 = ∇tξ̃r−1 + P ( ξ, ξ̃r−1 ) = ∇t (Pr−1(ξ, . . . , ξ)) + P (ξ, Pr−1(ξ, . . . , ξ)) = = (∇Pr−1) (ξ, . . . , ξ, ξ) + P (ξ, Pr−1(ξ, . . . , ξ)) . Если ввести в рассмотрение тензор Pr = ∇Pr−1 + c2 1c 3 2 (P ⊗ δ ⊗ Pr−1) ∈ T1 r+1 (M) , то послед- нее равенство примет вид ξ̃r = Pr(ξ, . . . , ξ). Тензорное поле Pr будем называть r-м тензором аффинной деформации диффеоморфизма µ. Таким образом, 1-й тензор P1 аффинной деформации — это тензор P аффинной деформации диффеоморфизма µ. Если (r − 1)-й тензор Pr−1 аффинной деформации уже определен, то r-й тензор Pr определяется равенством Pr (X1, . . . , Xr, Xr+1) = ∇Pr−1 (X1, . . . , Xr, Xr+1) + P (Xr+1, Pr−1 (X1, . . . , Xr)) для произвольных векторных полей X1, . . . , Xr, Xr+1 на M. 2. Уплощенные (r-геодезические) кривые в касательном расслоении второго поряд- ка. Адаптированная система координат. Предположим, что на многообразии M задана аффинная связность∇.Пусть ( π−1 2 (U);χA ) , χA = ( xh, yh, zh ) — система координат в касатель- ном расслоении T2M, индуцированная системой координат ( U ;uh ) в M, и Γhαβ — компоненты аффинной связности ∇ в ( U ;uh ) . Систему координат ( π−1 2 (U); χ̆A ) , χ̆A = ( xh, yh, vh ) , где vh = zh+yαyβΓhαβ, будем называть адаптированной. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 О СОХРАНЕНИИ ПОРЯДКА УПЛОЩЕНИЯ ИНДУЦИРОВАННЫМ ДИФФЕОМОРФИЗМОМ 1487 Очевидно, якобиан ( ∂χ̆A ′ ∂χA ) преобразования χ̆A ′ = χ̆A ′ ( χA ) от индуцированной системы координат к адаптированной имеет вид ( ∂χ̆A ′ ∂χA ) =  δh ′ h 0 0 0 δh ′ h 0 yαyβ∂hΓh ′ αβ 2yαΓh ′ αh δh ′ h  . Обратное преобразование χA = χA ( χ̆A ′ ) имеет якобиан ( ∂χA ∂χ̆A′ ) ( ∂χA ∂χ̆A′ ) =  δhh′ 0 0 0 δhh′ 0 −yαyβ∂h′Γhαβ −2yαΓhαh′ δhh′  . Пусть векторное поле Y в индуцированной координатной окрестности ( π−1 2 (U) ;χA ) , χA = = ( xh, yh, zh ) , имеет компоненты ( Y A ) , а в адаптированной координатной окрестности( π−1 2 (U) ; χ̆A ) , χ̆A = ( xh, yh, vh ) , — компоненты ( Y̆ A ) . Тогда очевидно, что закон преоб- разования компонент векторного поля при переходе от индуцированной системы координат к адаптированной имеет вид Y̆ j′ = Y j′ , Y̆ j̄′ = Y j̄′ , Y̆ ¯̄j′ = yαyβ∂jΓ j′ αβY j + 2yαΓj ′ αjY j̄ + Y ¯̄j′ , (2.1) и закон обратного преобразования компонент векторного поля при переходе от адаптированной системы координат к индуцированной имеет вид Y i′ = Y̆ i′ , Y ī′ = Y̆ ī′ , Y ¯̄i′ = −yαyβ∂iΓi ′ αβY̆ i − 2yαΓi ′ αiY̆ ī + Y̆ ¯̄i′ . Пусть теперь ( U ;uh ) и ( U ′;u′h ′) — две произвольные координатные системы, а ( π−1 2 (U) ; χ̆A ) , χ̆A = ( xh, yh, vh ) и ( π−1 2 (u′) ; χ̆′A ′ ) , χ̆′A ′ = ( x′h ′ , y′h ′ , v′h ′ ) — соответствующие им адап- тированные индуцированные системы координат. Пусть преобразование координат в U ∩ U ′ выражается равенствами u′h ′ = u′h ′ ( uh ) ; тогда преобразование индуцированных координат в π−1 2 (U) ∩ π−1 2 (U ′) представляется равенствами [2] x′h ′ = u′ h′ ( xh ) , y′ h′ = ∂u′h ′ ∂uh yh, z′h ′ = ∂u′h ′ ∂uh zh + ∂2u′h ′ ∂uα∂uβ yαyβ. (2.2) Найдем выражения для преобразования адаптированных координат в π−1 2 (U) ∩ π−1 2 (U ′) . Для этого достаточно найти выражение для преобразования координаты vh. Из (2.2) получим v′h ′ = ∂u′h ′ ∂uh zh + ( ∂2u′h ′ ∂uα∂uβ + ∂u′α ′ ∂uα ∂u′β ′ ∂uβ Γ′ h′ α′β′ ) yαyβ = ∂u′h ′ ∂uh zh + ∂u′h ′ ∂uh Γhαβy αyβ = = ∂u′h ′ ∂uh ( zh + Γhαβy αyβ ) = ∂u′h ′ ∂uh vh. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1488 К. М. ЗУБРИЛИН Таким образом, преобразование адаптированных координат выражается равенствами x′h ′ = u′ h′ ( xh ) , y′ h′ = ∂u′h ′ ∂uh yh, v′h ′ = ∂u′h ′ ∂uh vh. Матрица Якоби ( ∂χ̆′A ′ ∂χ̆A ) данного преобразования имеет вид ( ∂χ̆′A ′ ∂χ̆A ) =  ∂u′h ′ ∂uh 0 0 ∂2u′h ′ ∂uh∂uα yα ∂u′h ′ ∂uh 0 ∂2u′h ′ ∂uh∂uα vα 0 ∂u′h ′ ∂uh  . Векторные поля Y •, Y •̄, Y ¯̄•. Пусть теперь на подмножестве Ê ⊂ T2M касательного рас- слоения T2 (M) задано векторное поле Y, т. е. p→ Yp, p ∈ Ê. На проекции E = π2 ( Ê ) ⊂ M определим три векторных поля Y •, Y •̄, Y ¯̄• следующим образом. Пусть ( U ;uh ) — такая коор- динатная окрестность в M, что U ∩ E 6= ∅. Предположим, что векторное поле Y в индуциро- ванной координатной окрестности ( π−1 2 (U) ;xh, yh, zh ) имеет компоненты ( Y h, Y h̄, Y ¯̄h ) , так что верно представление Y = Y h ∂ ∂xh + Y h̄ ∂ ∂yh Y ¯̄h ∂ ∂zh . Векторные поля Y •, Y •̄, Y ¯̄• в U ∩ E определяются равенствами Y •h = Y h, Y •̄h = Y h̄ + yαΓhαjY j , Y ¯̄•h = Y ¯̄h + 2yαΓhαjY j̄ + vαΓhαjY j + yαyβ∂jΓ h αβY j . Если векторное поле Y имеет компоненты ( Y̆ h, Y̆ h̄, Y̆ ¯̄h ) в адаптированной системе координат( π−1 2 (U) ;xh, yh, vh ) , то с учетом (2.1) координатные определения векторных полей Y •, Y •̄, Y ¯̄• примут вид Y •h = Y̆ h, Y •̄h = Y̆ h̄ + yαΓhαj Y̆ j , Y ¯̄•h = Y̆ ¯̄h + vαΓhαj Y̆ j . Нетрудно показать, что векторные поля Y •, Y •̄, Y ¯̄• определены корректно. Компоненты II-лифта аффинной связности в адаптированной системе координат. Лемма 2.1. Компоненты Γ̆ABC II-лифта ∇II аффинной связности ∇ без кручения в адап- тированной координатной окрестности ( π−1 2 (U) ; χ̆A ) имеют вид Γ̆hBC :  Γ̆hij = Γhij , Γ̆hi j̄ = 0, Γ̆h i¯̄j = 0, Γ̆hīj = 0, Γ̆hīj̄ = 0, Γ̆h ī¯̄j = 0, Γ̆h¯̄ij = 0, Γ̆h¯̄ij̄ = 0, Γ̆h¯̄i¯̄j = 0, Γ̆h̄BC :  Γ̆h̄ij = ∂Γhij , Γ̆h̄ij̄ = Γhij , Γ̆h̄ i¯̄j = 0, Γ̆h̄īj = Γhij , Γ̆h̄īj̄ = 0, Γ̆h̄ ī¯̄j = 0, Γ̆h̄¯̄ij = 0, Γ̆h̄¯̄ij̄ = 0, Γ̆h̄¯̄i¯̄j = 0, (2.3) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 О СОХРАНЕНИИ ПОРЯДКА УПЛОЩЕНИЯ ИНДУЦИРОВАННЫМ ДИФФЕОМОРФИЗМОМ 1489 Γ̆ ¯̄h BC :  Γ̆ ¯̄h ij = vs∂sΓ h ij + yαyβ ( ∇jRhβ,αi −∇αRhi,jβ + + 2Rhs,βiΓ s jα + 2Rhs,βjΓ s iα ) , Γ̆ ¯̄h ij̄ = 2yαRhj,αi, Γ̆ ¯̄h i¯̄j = Γhij , Γ̆ ¯̄h īj = 2yαRhi,α j , Γ̆ ¯̄h īj̄ = 0, Γ̆ ¯̄h ī¯̄j = 0, Γ̆ ¯̄h ¯̄ij = Γhij , Γ̆ ¯̄h ¯̄ij̄ = 0, Γ̆ ¯̄h ¯̄i¯̄j = 0. Доказательство. Закон преобразования компонент аффинной связности при переходе от индуцированной системы координат ( π−1 2 (U) ;χA ) к адаптированной ( π−1 2 (U) ; χ̆A ) имеет вид Γ̆A ′ B′C′ = ∂χ̆A ′ ∂χA ( ∂2χA ∂χ̆B′∂χ̆C′ + ∂χB ∂χ̆B′ ∂χC ∂χ̆C′ Γ̂ABC ) . Отсюда получаем Γ̆h ′ i′j′ = Γ̂h ′ i′j′︸︷︷︸ =Γh′ ij −yαyβ∂j′Γjαβ Γ̂h ′ i′¯̄j︸︷︷︸ =0 −yαyβ∂i′Γiαβ Γ̂h ′ ¯̄ij′︸︷︷︸ =0 + yαyβ∂i′Γ i αβy α′yβ ′ ∂j′Γ j α′β′ Γ̂h ′ ¯̄i¯̄j︸︷︷︸ =0 , что дает Γ̆h ′ i′j′ = Γh ′ i′j′ . Аналогично, из Γ̆h ′ i′j̄′ = Γ̂h ′ i′j̄′︸︷︷︸ =0 −2yαΓjαj′ Γ̂h ′ i′¯̄j︸︷︷︸ =0 −yαyβ∂i′Γiαβ Γ̂h ′ ¯̄ij̄′︸︷︷︸ =0 +2yαyβ∂i′Γ i αβy α′Γjα′j′ Γ̂h ′ ¯̄i¯̄j︸︷︷︸ =0 находим Γ̆h ′ i′j̄′ = 0, а из Γ̆h ′ i′ ¯̄j′ = Γ̂h ′ i′¯̄j′︸︷︷︸ =0 − yαyβ∂i′Γiαβ Γ̂h ′ ¯̄i¯̄j′︸︷︷︸ =0 будем иметь Γ̆h ′ i′ ¯̄j′ = 0. Из равенства Γ̆h ′ ī′j̄′ = Γ̂h ′ ī′j̄′︸︷︷︸ =0 −2yαΓjαj′ Γ̂h ′ ī′¯̄j︸︷︷︸ =0 − 2yαΓiαi′ Γ̂h ′ ¯̄ij̄′︸︷︷︸ =0 +4yαΓiαi′y α′Γjα′j′ Γ̂h ′ ¯̄i¯̄j︸︷︷︸ =0 получаем Γ̆h ′ ī′j̄′ = 0, а из Γ̆h ′ ī′ ¯̄j′ = Γ̂h ′ ī′¯̄j′︸︷︷︸ =0 −2yαΓiαi′ Γ̂h ′ ¯̄i¯̄j′︸︷︷︸ =0 имеем Γ̆h ′ ī′ ¯̄j′ = 0. Кроме того, Γ̆h ′ ¯̄i′ ¯̄j′ = Γ̂h ′ ¯̄i′¯̄j′︸︷︷︸ =0 = 0. Из равенства Γ̆h ′ ī′j′ = Γ̂h ′ ī′j′︸︷︷︸ =0 −yαyβ∂j′Γjαβ Γ̂h ′ ī′¯̄j︸︷︷︸ =0 − 2yαΓiαi′ Γ̂h ′ ¯̄ij′︸︷︷︸ =0 + 2yα ′ Γiα′i′y αyβ∂j′Γ j αβ Γ̂h ′ ¯̄i¯̄j︸︷︷︸ =0 следует Γ̆h ′ ī′j′ = 0, из Γ̆h ′ ¯̄i′j′ = Γ̂h ′ ¯̄i′j′︸︷︷︸ =0 − yαyβ∂j′Γjαβ Γ̂h ′ ¯̄i′¯̄j︸︷︷︸ =0 получим Γ̆h ′ ¯̄i′j′ = 0. Понятно, что Γ̆h ′ ¯̄i′j̄′ = = Γ̂h ′ ¯̄i′j̄′︸︷︷︸ =0 −2yαΓjαj′ Γ̂h ′ ¯̄i′¯̄j︸︷︷︸ =0 = 0. Таким образом получаем первую часть равенств (2.3). Аналогичным образом находим остальные равенства. Лемма доказана. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1490 К. М. ЗУБРИЛИН Структура векторов кривизн. Пусть Ĉ — такая кривая в касательном расслоении T2M, что ее проекция C = π2 ( Ĉ ) является кривой в базисном многообразии M. Если γ̂ : I → Ĉ , I = (a, b) — параметризация кривой Ĉ , то γ = π2 ◦ γ̂ : I → C — параметризация ее проекции C = π2 ( Ĉ ) . Произвольно выберем координатную окрестность ( U ;uh ) . Если параметрические уравне- ния кривой Ĉ в индуцированной координатной окрестности ( π−1 2 (U) ;xh, yh, zh ) имеют вид xh = xh (t) , yh = yh (t) , zh = zh (t) , t ∈ I, I = (a, b) , (2.4) то ее проекция C = π2 ( Ĉ ) будет иметь параметрические уравнения uh = uh (t) , причем uh (t) = xh (t) для t ∈ I. При этом вектор-функции yh (t) и zh (t) можно рассматривать как векторные поля вдоль кривой C . Обратно, если вдоль кривой C с параметрическими уравнени- ями uh = xh (t) заданы векторные поля yh (t) и zh (t) , то равенства (2.4) представляют собой параметрические уравнения кривой Ĉ в T2M, проекцией которой является исходная кривая C . Пусть вдоль кривой Ĉ задано векторное поле Y. Тогда вдоль ее проекции C = π2 ( Ĉ ) определены три векторных поля Y •, Y •̄, Y ¯̄•. Лемма 2.2. Если векторное поле Y, заданное вдоль кривой Ĉ ∈ T2M, имеет в индуциро- ванной координатной окрестности ( π−1 2 (U) ;xh, yh, zh ) компоненты Y h, Y h̄, Y ¯̄h, то ковари- антная производная ∇II t Y в адаптированной координатной окрестности имеет компоненты ∇tIIY h =∇tY •h, ∇II t Y h̄ =∇tY •̄h − yαΓhαj∇tY •j + yαRhj,αi dxi dt Y •j , ∇II t Y ¯̄h =∇tY ¯̄•h − vαΓhαs∇tY •s + 2yαRhj,αiY •i∇tyj + 2yαRhi,αjY •̄idx j dt + + ( vαRhi,αj + yαyβ ( ∇jRhβ,αi −∇αRhi,jβ )) Y •i dxj dt . Доказательство. Пусть Y̆ h, Y̆ h̄, Y̆ ¯̄h — компоненты векторного поля Y в адаптированной системе координат. Найдем выражение для компонент ∇II t Y h: ∇II t Y h = dY̆ h dt + Γ̆hBC Y̆ B dχ̆ C dt = dY̆ h dt + Γhij Y̆ idx j dt = dY •h dt + ΓhijY •idx j dt = ∇tY •h. Теперь найдем выражение для компонент ∇II t Y h̄: ∇II t Y h̄ = dY̆ h̄ dt + Γ̆h̄BC Y̆ B dχ̆ C dt = dY̆ h̄ dt + yα∂αΓhij Y̆ idx j dt + Γhij Y̆ idy j dt + Γhij Y̆ īdx j dt . Согласно определению Y •̄h ковариантной производной и выражению для компонент тензо- ра кривизны находим ∇II t Y h̄ = ∇tY •̄h − yαΓhαj∇tY •j + yαRhj,αi dxi dt Y̆ j . Подобным образом получаем выражение для компонент ∇II t Y ¯̄h. Лемма доказана. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 О СОХРАНЕНИИ ПОРЯДКА УПЛОЩЕНИЯ ИНДУЦИРОВАННЫМ ДИФФЕОМОРФИЗМОМ 1491 Векторы кривизн вдоль кривой в касательном расслоении T2M . Пусть ξ̂ (соответствен- но ξ) — поле касательных векторов вдоль кривой Ĉ (соответственно C ). Тогда очевидно, что в координатной окрестности ( U ;uh ) имеем ξh = duh dt , а в индуцированной (адаптирован- ной) координатной окрестности ( π−1 2 (U) ;xh, yh, zh ( vh )) ξ̂h = dxh dt , ξ̂h̄ = dyh dt , ξ̂ ¯̄h = dzh dt( ξ̂ ¯̄h = dvh dt ) . Очевидно ξ̂• = ξ, ибо ξ̂•h = ξ̂h = dxh dt = duh dt = ξh. Следующая теорема выражает строение векторов кривизн произвольной кривой в T2M. Теорема 2.1. Если ξ̂r (соответственно ξr) — поле векторов r-й кривизны вдоль кривой Ĉ (соответственно C ), то в адаптированной системе координат ξ̂hr = ξhr , ξ̂h̄r = ∇tξ̂•̄r−1 h − yαΓhαjξ j r + yαRhj,αiξ iξjr−1, ξ̂ ¯̄h r = ∇tξ̂ ¯̄• r−1 h − vαΓhαsξ s r + 2yαRhj,αiξ i r−1∇tyj + 2yαRhi,αj ξ̂ •̄ r−1 iξj+ + ( vαRhi,αj + yαyβ ( ∇jRhβ,αi −∇αRhi,jβ )) ξir−1ξ j . Доказательство. Индукцией по r легко показать, что ξ̂•r = ξr. Действительно, при r = 0 это очевидно. Предположим, что равенство ξ̂•r = ξr справедливо. Тогда ξ̂•r+1 h = ξ̂hr+1 = ∇II t ξ̂ h r = ∇tξ̂•r h = ∇tξhr = ξhr+1, т. е. ξ̂•r+1 = ξr+1. В таком случае равенства получаются из леммы 2.2. Замечание 2.1. По определению ξ̂•̄h = ξ̂h̄ + yαΓhαjξ j . С учетом равенств ξ̂h̄ = dyh dt , ξ̂h = duh dt будем иметь ξ̂•̄ = ∇ty. Далее, используя второе равенство из теоремы 2.1, на- ходим ξ̂•̄1 h = ∇2 t y h + yαRhj,αiξ iξj . Аналогично ξ̂¯̄• = ∇tv. С учетом теоремы 2.1 имеем ξ̂ ¯̄• 1 h = ∇2 t v h + 4yαRhj,αiξ i∇tyj + ( vαRhi,αj + yαyβ ( ∇jRhβ,αi −∇αRhi,jβ )) ξiξj . Следствие 2.1. Если проекция C кривой Ĉ ⊂ T2M, π2 ( Ĉ ) = C , имеет в точке p ∈ C уплощение r-го порядка, то кривая Ĉ в точке p̂ ∈ Ĉ , π2 (p̂) = p, имеет уплощение порядка m > r. Действительно, по условию векторы кривизн ξ, ξ1, . . . , ξr−1 в точке p ∈ C линейно неза- висимы. Но тогда и векторы ξ̂, ξ̂1, . . . , ξ̂r−1 также линейно независимы в точке p̂ ∈ Ĉ . Теорема 2.2. Если кривая C является r-геодезической с дифференциальным уравнением ξr = a0ξ + ∑r−1 ι=1 aιξι, а векторные поля y и v удовлетворяют уравнениям ∇tξ̂•̄hr−1 − ( a0ξ̂ •̄h + r−1∑ ι=1 aι∇tξ̂•̄hι−1 ) + yαRhj,αiξ i ( ξjr−1 − r−1∑ ι=1 aιξ j ι−1 ) = 0, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1492 К. М. ЗУБРИЛИН ∇tξ̂ ¯̄•h r−1 − ( a0ξ̂ ¯̄•h + r−1∑ ι=1 aι∇tξ̂ ¯̄•h ι−1 ) + 2yαRhj,αi ( ξir−1 − r−1∑ ι=1 aιξ i ι−1 ) ∇tyj+ + 2yαRhi,αj ( ξ̂•̄r−1 i − r−1∑ ι=1 aιξ̂ •̄ ι−1 i ) ξj+ + ( vαRhi,αj + yαyβ ( ∇jRhβ,αi −∇αRhi,jβ ))( ξir−1 − r−1∑ ι=1 aιξ i ι−1 ) ξj = 0, то кривая Ĉ является r-геодезической с уравнением ξ̂r = a0ξ̂ + ∑r−1 ι=1 aιξ̂ι. Доказательство получается из теоремы 2.1. Следствие 2.2. Если кривая C является абсолютно канонической r-геодезической с диф- ференциальным уравнением ξr = 0, а векторные поля y и v удовлетворяют уравнениям ∇tξ̂•̄hr−1 + yαRhj,αiξ iξjr−1 = 0, (2.5) ∇tξ̂ ¯̄•h r−1 + 2yαRhj,αiξ i r−1∇tyj + 2yαRhi,αj ξ̂ •̄ r−1 iξj + ( vαRhi,αj+ +yαyβ ( ∇jRhβ,αi −∇αRhi,jβ )) ξir−1ξ j = 0, (2.6) то кривая Ĉ является абсолютно канонической r-геодезической с дифференциальным уравне- нием ξ̂r = 0. При r = 1 равенства (2.5) и (2.6) с учетом замечания принимают вид ∇2 t y h + yαRhj,αiξ iξj = 0, (2.7) ∇2 t v h + 4yαRhj,αiξ i∇tyj + ( vαRhi,αj + yαyβ ( ∇jRhβ,αi −∇αRhi,jβ )) ξiξj = 0. (2.8) Таким образом, для того чтобы кривая Ĉ в T2M была геодезической кривой, отнесенной к каноническому параметру, необходимо и достаточно, чтобы ее проекция C в M была геодезической кривой, отнесенной к каноническому параметру, а векторные поля y и v вдоль этой кривой удовлетворяли уравнениям (2.7) и (2.8). Этот результат принадлежит К. Яно и Ш. Ишихара [2]. 3. Уплощенные (r-геодезические) диффеоморфизмы касательных расслоений второго порядка. Теорема 3.1. II-лифт r-го тензора Pr аффинной деформации диффеоморфизма µ : M → → M̄ аффинно связных пространств (M,∇) и ( M̄, ∇̄ ) совпадает с r-м тензором P̂r аффин- ной деформации индуцированного диффеоморфизма µ∗ : T2M → T2M̄ касательных рассло- ений второго порядка, рассматриваемых как аффинно связные пространства ( T2M,∇II ) и( T2M̄, ∇̄II ) , т. е. P̂r = P II r . Доказательство проводится индукцией по порядку r тензора Pr. Как показано в [8], тен- зор P̂ аффинной деформации индуцированного диффеоморфизма µ∗ : T2M → T2M̄ касатель- ных расслоений второго порядка равен II-лифту тензора P аффинной деформации базисного диффеоморфизма µ : M → M̄, т. е. P̂ = P II. Это показывает, что при r = 1 утверждение ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 О СОХРАНЕНИИ ПОРЯДКА УПЛОЩЕНИЯ ИНДУЦИРОВАННЫМ ДИФФЕОМОРФИЗМОМ 1493 верно. Предположим теперь, что утверждение верно для r − 1, т. е. P̂r−1 = P II r−1. Учитывая определение тензора r-й аффинной деформации и свойства лифтов [2], получаем P̂ II r ( XII 1 , . . . , X II r , X II r+1 ) = ∇IIP II r−1 ( XII 1 , . . . , X II r , X II r+1 ) +P II ( XII r+1, P II r−1 ( XII 1 , . . . , X II r )) = = (∇Pr−1) (X1, . . . , Xr, Xr+1)II + P (Xr+1, Pr−1 (X1, . . . , Xr)) II = = Pr (X1, . . . , Xr, Xr+1)II = P II r ( XII 1 , . . . , X II r , X II r+1 ) для произвольных векторных полей X1, . . . , Xr, Xr+1 на M. Отсюда имеем P̂r = P II r . Лемма 3.1. Для произвольных тензорных полей Tj , j = 1,m, имеют место формулы (T1 ⊗ . . .⊗ Tm)0 = T 0 1 ⊗ . . .⊗ T 0 m, (T1 ⊗ . . .⊗ Tm)I = m∑ i=1 T 0 1 ⊗ . . .⊗ T I i ⊗ . . .⊗ T 0 m, (T1 ⊗ . . .⊗ Tm)II = = m∑ i=1 T 0 1 ⊗ . . .⊗ T II i ⊗ . . .⊗ T 0 m + 2 m∑ i,j=1, i<j T 0 1 ⊗ . . .⊗ T I i ⊗ . . .⊗ T I j ⊗ . . .⊗ T 0 m. Доказательство проводится индукцией по числу m. Лемма 3.2. Пусть Pm (соответственно P̂m) — m-й тензор аффинной деформации диф- феоморфизма µ : M → M̄ (соответственно индуцированного диффеоморфизма µ∗ : T2M → → T2M̄), ξ̂ (соответственно ξ) — поле касательных векторов вдоль кривой Ĉ ( соответствен- но вдоль ее проекции C = π2 ( Ĉ )) в касательном расслоении T2M (в M). Тогда векторное поле P̂m ( ξ̂, . . . , ξ̂ ) , заданное вдоль кривой Ĉ , в индуцированной координатной окрестности имеет компоненты P̂m ( ξ̂, . . . , ξ̂ )h =Pm (ξ, . . . , ξ)h , P̂m ( ξ̂, . . . , ξ̂ )h̄ =∂Pm (ξ, . . . , ξ, ξ)h + (m+ 1)S (Pm) ( ξ̄, ξ, . . . , ξ )h , P̂m ( ξ̂, . . . , ξ̂ )¯̄h =∂2Pm (ξ, . . . , ξ)h + 2(m+ 1)S (∂Pm) ( ξ̄, ξ, . . . , ξ )h + +(m+ 1)S (Pm) ( ¯̄ξ, ξ, . . . , ξ )h + (m+ 1)m 2 S (Pm) ( ξ̄, ξ̄, ξ, . . . , ξ )h , где S — операция симметрирования, ξ̄ = ( ξ̂h̄ ) h=1,n , ¯̄ξ = ( ξ̂ ¯̄h ) h=1,n . Доказательство. Достаточно применить теорему 3.1 и лемму 3.1. Теорема 3.2. r-Геодезический диффеоморфизм µ : M → M̄ аффинно связных пространств (M,∇) и ( M̄, ∇̄ ) индуцирует диффеоморфизм µ∗ : T2M → T2M̄ касательных расслоений второго порядка, рассматриваемых как аффинно связные пространства ( T2M,∇II ) и( T 2M̄, ∇̄II ) , порядок уплощения которого m не меньше r, т. е. m > r. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1494 К. М. ЗУБРИЛИН Доказательство. Произвольным образом выберем геодезическую кривую Ĉ в касательном расслоении T2M, отнесенную к каноническому параметру t. Согласно замечанию к следствию 2.2, ее проекция C = π2 ( Ĉ ) является геодезической кривой вM (t — канонический параметр). Пусть ∇̃ — прообраз аффинной связности ∇̄ при диффеоморфизме µ. Как показано в [4], прообраз ˜̄∇II II-лифта ∇̄II совпадает с II-лифтом прообраза ∇̃II. Пусть ξ̂m (соответственно ξm) — поле векторовm-й кривизны вдоль геодезической кривой Ĉ (соответственно C ) относительно прообраза ∇̃II (соответственно ∇̃). Поскольку µ : M → M̄ — r-геодезический диффеоморфизм, относительно связности ∇̃ кривая C в каждой своей точке p ∈ C имеет уплощение порядка mp,C 6 r, причем maxC ,p∈C mp,C = r. Согласно следствию 2.1, кривая Ĉ в соответствующей точке p̂ ∈ Ĉ , π2 (p̂) = p, имеет уплощение порядка kp̂,Ĉ > mp,C . Поэтому maxĈ ,p̂∈Ĉ kp̂,Ĉ > > maxC ,p∈C mp,C = r, что и требовалось доказать. Теорема 3.3. Для того чтобы r-геодезический диффеоморфизм µ : M → M̄ аффинно связ- ных пространств (M,∇) и ( M̄, ∇̄ ) индуцировал r-геодезический диффеоморфизм касательных расслоений второго порядка µ∗ : T2M → T2M̄, достаточно, чтобы выполнялось равенство S (Pr) = 0. Доказательство. Пусть Ĉ — произвольная геодезическая кривая в касательном расслоении T2M, ξ̂ — поле касательных векторов вдоль кривой Ĉ , ˆ̃ ξm — поле векторов m-й кривизны вдоль геодезической кривой Ĉ относительно захвата ∇̃II и P̂m — тензор m-й аффинной деформации диффеоморфизма µ∗. Согласно теореме 1.3, справедливо равенство ˆ̃ ξm = P̂m ( ξ̂, . . . , ξ̂ ) . Беря II-лифт от равенства S (Pr) = 0, получаем S ( P II r ) = 0. В силу теоремы 3.1 имеем S ( P̂r ) = 0. Тогда справедливо равенство ˆ̃ ξr = P̂r ( ξ̂, . . . , ξ̂ ) = 0. Последнее показывает, что для индуци- рованного диффеоморфизма µ∗ : T2M → T2M̄ порядок уплощения m 6 r. С другой стороны, в силу теоремы 3.2 m > r. Значит, m = r. Теорема доказана. Теорема 3.4. Для того чтобы 2-геодезический диффеоморфизм µ : M → M̄ аффинно связных пространств (M,∇) и ( M̄, ∇̄ ) индуцировал 2-геодезический диффеоморфизм каса- тельных расслоений второго порядка µ∗ : T2M → T2M̄, рассматриваемых как аффинно связные пространства ( T2M,∇II ) и ( T2M̄, ∇̄II ) , необходимо и достаточно, чтобы тензор P2 2-й аффинной деформации диффеоморфизма µ удовлетворял условию S (P2) = 0. Доказательство. Необходимость. Произвольным образом выберем точку p ∈M и вектор X ∈ TpM. Проведем через точку p в направлении вектораX геодезическую кривую C , которая в координатной окрестности ( U ;uh ) описывается параметрическими уравнениями uh = uh (t) (t — натуральный параметр). Произвольно выберем y0 ∈ Rn, Y ∈ Rn и рассмотрим якобиево поле y вдоль кривой C (см. (2.7)) с начальными условиями y (t0) = y0, dy dt (t0) = Y (t0 — значение параметра t, соответствующее точке p). Аналогично возьмем z0 ∈ Rn, Z ∈ Rn и рассмотрим векторное поле z вдоль кривой C , которое удовлетворяет уравнению (2.8) с начальными условиями z (t0) = z0, dz dt (t0) = Z (где vh (t) = zh (t)− yα (t) yβ (t) Γhαβ ( ui (t) ) ). Тогда, согласно замечанию к следствию 2.2, равенства xh = uh (t) , yh = yh (t) , zh = zh (t) представляют собой в индуцированной координатной окрестности π2 (U) параметрические уравнения геодезической кривой Ĉ ⊂ T2M, проекцией которой является кривая C . При этом геодезическая Ĉ проходит через точку p̂ = (p, y0, z0) в направлении вектора X̂ = (X,Y, Z) . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 О СОХРАНЕНИИ ПОРЯДКА УПЛОЩЕНИЯ ИНДУЦИРОВАННЫМ ДИФФЕОМОРФИЗМОМ 1495 Пусть ξ̂ (соответственно ξ) — поле касательных векторов вдоль кривой Ĉ (соответственно C ), ˆ̃ ξm (соответственно ξ̃m) — поле векторов m-й кривизны вдоль геодезической кривой Ĉ (соответственно C ) относительно прообраза ∇̃ (соответственно ∇̃II) и P̂m (соответственно Pm) — тензор m-й аффинной деформации диффеоморфизма µ∗ (соответственно µ). Согласно теореме 1.3, справедливо равенство ˆ̃ ξm = P̂m ( ξ̂, . . . , ξ̂ ) (соответственно ξ̃m = Pm (ξ, . . . , ξ)). В частности, ξ̃1 = P (ξ, ξ) , ˆ̃ ξ1 = P̂ ( ξ̂, ξ̂ ) , ξ̃2 = P2 (ξ, ξ, ξ) , ˆ̃ ξ2 = P̂2 ( ξ̂, ξ̂, ξ̂ ) . С учетом леммы 3.2 и симметричности тензора P аффинной деформации получим P̂ ( ξ̂, ξ̂ )h = P (ξ, ξ)h , P̂ ( ξ̂, ξ̂ )h̄ = ∂P (ξ, ξ)h + 2S (P ) ( ξ̄, ξ )h , P̂ ( ξ̂, ξ̂ )¯̄h = ∂2P (ξ, ξ)h + 4S (∂P ) ( ξ̄, ξ )h + 2S (P ) ( ¯̄ξ, ξ )h + S (P ) ( ξ̄, ξ̄ )h . Аналогичным образом с учетом леммы 3.2 будем иметь P̂2 ( ξ̂, ξ̂, ξ̂ )h =P2 (ξ, ξ, ξ)h , P̂2 ( ξ̂, ξ̂, ξ̂ )h̄ = ∂P2 (ξ, ξ, ξ)h + 3S (P2) ( ξ̄, ξ, ξ )h , P̂2 ( ξ̂, ξ̂, ξ̂ )¯̄h =∂2P2 (ξ, ξ, ξ)h + 6S (∂P2) ( ξ̄, ξ, ξ )h + 3S (P2) ( ¯̄ξ, ξ, ξ )h + 3S (P2) ( ξ̄, ξ̄, ξ )h . Для точки p получим ξ\|p = X, ξ̃1 ∣∣∣ p = P \|p (X,X) , ξ̃2 ∣∣∣ p = P2\|p (X,X,X) , а для точки p̂ = = (p, y0, z0) ξ̂ ∣∣∣ p̂ =  X Y Z  , ˆ̃ ξ1 ∣∣∣ p̂ =  P \|p (X,X)h ∂ P \|p (X,X)h + 2 P \|p (Y,X)h ∂2 P \|p (X,X)h + 4∂ P \|p (Y,X)h + 2 P \|p (Z,X)h + P \|p (Y, Y )h  , (3.1) ˆ̃ ξ2 ∣∣∣ p̂ =  P2\|p (X,X,X)h ∂ P2\|p (X,X,X)h + 3S ( P2\|p ) (Y,X,X)h ∂2 P2\|p (X,X,X)h + 6S ( ∂ P2\|p ) (Y,X,X)h + +3S ( P2\|p ) (Z,X,X)h + 3S ( P2\|p ) (Y, Y,X)h  . (3.2) Поскольку диффеоморфизм µ : M → M̄ является 2-геодезическим, кривая C в точке p имеет порядок уплощениеm 6 2. По предположению индуцированный диффеоморфизм µ∗ : T2M → → T2M̄ также является 2-геодезическим, поэтому кривая Ĉ в точке p̂ = (p, y0, z0) имеет уплощение порядка k 6 2. Случай 1: m = 2. Поскольку кривая C в точке p имеет уплощение порядка 2, векторы ξ\|p и ξ̃1 ∣∣∣ p линейно независимы, а вектор ξ̃2 ∣∣∣ p линейно выражается через ξ\|p и ξ̃1 ∣∣∣ p . Пусть ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1496 К. М. ЗУБРИЛИН ξ̃2 ∣∣∣ p = α ξ̃1 ∣∣∣ p + β ξ\|p , т. е. P2\|p (X,X,X) = α P \|p (X,X) + βX. (3.3) Из линейной независимости векторов ξ\|p , ξ̃1 ∣∣∣ p следует линейная независимость векторов ξ̂ ∣∣∣ p̂ и ˆ̃ ξ ∣∣∣ p̂ для любых y0, Y и z0, Z. Но тогда кривая Ĉ в точке p̂ = (p, y0, z0) имеет уплощение 2-го порядка. В таком случае ˆ̃ ξ2 ∣∣∣ p̂ = α̂ ˆ̃ ξ1 ∣∣∣ p̂ + β̂ ξ̂ ∣∣∣ p̂ . (3.4) Отсюда будем иметь P2\|p (X,X,X) = α̂ P \|p (X,X) + β̂X. Сопоставляя полученный результат с (3.3), находим α̂ = α и β̂ = β. В таком случае из (3.4), (3.1) и (3.2) находим ∂ P2\|p (X,X,X)h + 3S ( P2\|p ) (Y,X,X)h = α∂ P \|p (X,X)h + α2 P \|p (Y,X)h + βY h. Возьмем слоевые координаты y0 = z0 = 0 и Y = Z = X. Тогда последние равенства примут вид 3 P2\|p (X,X,X) = 2α P \|p (X,X) + βX. Отсюда P2\|p (X,X,X) = 2 3 α P \|p (X,X) + 1 3 βX. (3.5) Вычитая из (3.3) равенство (3.5), получаем 1 3 α P \|p (X,X) + 2 3 βX = 0. Поскольку векторы X и P \|p (X,X) линейно независимы, то α = β = 0, что с учетом (3.3) дает P2\|p (X,X,X) = 0. (3.6) Случай 2: m = 1. Поскольку кривая C в точке p имеет уплощение порядка 1, векторы ξ\|p и ξ̃1 ∣∣∣ p коллинеарны, тогда ξ̃1 ∣∣∣ p = λ ξ\|p , ибо ξ\|p 6= 0. Итак, P \|p (X,X) = λX. Возьмем слоевые координаты y0 = z0 = 0 и Y = Z = X , тогда ξ̂ ∣∣∣ p̂ =  X X X  , ˆ̃ ξ1 ∣∣∣ p̂ =  P \|p (X,X) 2 P \|p (X,X) 3 P \|p (X,X)  = λ  X 2X 3X  , ˆ̃ ξ2 ∣∣∣ p̂ =  P2\|p (X,X,X) 3 P2\|p (X,X,X) 6 P2\|p (X,X,X)  . При λ 6= 0 векторы ξ̂ ∣∣∣ p̂ и ˆ̃ ξ1 ∣∣∣ p̂ линейно независимы, а потому кривая Ĉ в точке p̂ имеет уплощение порядка 2. Значит, выполняется равенство (3.4), из которого следует P2\|p (X,X,X) = α̂ P \|p (X,X) + β̂X, 3 P2\|p (X,X,X) = 2α̂ P \|p (X,X) + β̂X, 6 P2\|p (X,X,X) = 3α̂ P \|p (X,X) + β̂X. Вычитая из второго и третьего равенств первое, получаем 2 P2\|p (X,X,X) = α̂ P \|p (X,X) , 5 P2\|p (X,X,X) = 2α̂ P \|p (X,X) . Отсюда, так как P \|p (X,X) 6= 0, получаем α̂ = 0. Учитывая это, находим β̂ = 0, и тогда опять-таки приходим к равенству (3.6). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 О СОХРАНЕНИИ ПОРЯДКА УПЛОЩЕНИЯ ИНДУЦИРОВАННЫМ ДИФФЕОМОРФИЗМОМ 1497 Пусть теперь λ = 0. Если p — граничная точка уплощения, то найдется такая последо- вательность точек (pn)n∈N , pn → p, в которых кривая C имеет уплощение порядка 2. Тогда для этих точек, как доказано, справедливо равенство P2\|pn ( ξ\|pn , ξ\|pn , ξ\|pn ) = 0. Переходя к пределу при n → ∞ и учитывая при этом непрерывность, получаем равенство (3.6). Поэтому будем считать, что p — не граничная точка уплощения. В таком случае найдется такой интервал I = (a, b) точки t0, в пределах которого кривая C имеет уплощение первого порядка. Тогда справедливо равенство ξ̃1 = λξ, где λ — функция t ∈ I, причем по предположению λ (t0) = 0. Если в любой окрестности точки t0 найдется такая точка t′ ∈ I, что λ (t′) 6= 0, то можно построить последовательность точек tn ∈ I такую, что tn → t0 при n → ∞ и λ (tn) 6= 0. Как показано выше, для таких точек равенство (3.6) выполняется. Переходя к пределу при n → ∞ и учитывая непрерывность, получаем равенство (3.6) и для точки t0. В таком слу- чае, без ограничения общности, можно считать, что λ = 0 всюду в интервале I. Но тогда ξ̃2 = ∇̃tξ̃1 = ∇̃t (λξ) = λ′ξ + λ∇̃tξ = λ′ξ + λξ̃1 = 0, что влечет равенство P2 (ξ, ξ, ξ) = 0 вдоль I. Из произвольности точки p ∈M и вектора X ∈ TpM получаем требуемое. Достаточность получается из теоремы 3.3. Теорема доказана. Замечание 3.1. Из теорем 1.2 и 1.3 следует, что r-геодезический диффеоморфизм µ : M → → M̄, удовлетворяющий условию S (Pr) = 0, геометрически характеризуется тем, что каждая геодезическая кривая, отнесенная к каноническому параметру, переходит в абсолютно кано- ническую r-геодезическую кривую, отнесенную к каноническому параметру. Здесь просле- живается аналогия с аффинным диффеоморфизмом, который геометрически характеризуется тем, что каждая геодезическая кривая, отнесенная к каноническому параметру, переходит в геодезическую кривую, также отнесенную к каноническому параметру. 1. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. Differential geometry. – New York: Marcel Dekker, 1973. – 434 p. 2. Yano K., Ishihara S. Differential geometry of tangent bundles of order 2 // Kodai Math. Semin. Repts. – 1968. – 20, № 3. – P. 318 – 354. 3. Лейко С. Г. Линейные р-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений высших порядков и высших степеней // Тр. Геометрич. сем. – 1982. – Вып. 14. – C. 34 – 46. 4. Лейко С. Г. P-геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях, индуцированные геоде- зическими преобразованиями базисного многообразия // Изв. вузов. Математика. – 1992. – № 2. – C. 62 – 71. 5. Зубрiлiн К. М. P-геодезичнi дифеоморфiзми дотичних розшарувань iз зв’язнiстю горизонтального лiфта, iнду- кованi геодезичними (проективними) дифеоморфiзмами баз // Прикл. пробл. механiки i математики. – 2008. – Вип. 6. – C. 48 – 60. 6. Лейко С. Г. Рiманова геометрiя: навч. пос. – Одеса: Астропринт, 2000. – 212 c. 7. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. – М.: Наука, 1978. – 344 c. 8. Зубрилин К. М. р-Геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях второго порядка, индуцированные конциркулярными преобразованиями баз // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 3. – C. 346 – 364. Получено 12.10.12, после доработки — 17.12.12 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11

О сохранении порядка уплощения индуцированным диффеоморфизмом

Репозитарії

Схожі ресурси