О наилучшем линейном методе приближения классов Гельдера
Знайдено точні значення одновимірних лінійних поперечників класів Гельдера у просторі неперервних функцій і величину найкращого наближення класів Гельдера широким класом лінійних додатних методів....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165852 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О наилучшем линейном методе приближения классов Гельдера / Д.С. Скороходов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 9. — С. 1265–1284. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165852 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658522020-02-17T01:27:42Z О наилучшем линейном методе приближения классов Гельдера Скороходов, Д.С. Статті Знайдено точні значення одновимірних лінійних поперечників класів Гельдера у просторі неперервних функцій і величину найкращого наближення класів Гельдера широким класом лінійних додатних методів. We find the exact values of one-dimensional linear widths for the Hölder classes of functions in the space C and the value of the best approximation of the Hölder classes of functions by a wide class of linear positive methods. 2015 Article О наилучшем линейном методе приближения классов Гельдера / Д.С. Скороходов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 9. — С. 1265–1284. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165852 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Скороходов, Д.С. О наилучшем линейном методе приближения классов Гельдера Український математичний журнал |
| description |
Знайдено точні значення одновимірних лінійних поперечників класів Гельдера у просторі неперервних функцій і величину найкращого наближення класів Гельдера широким класом лінійних додатних методів. |
| format |
Article |
| author |
Скороходов, Д.С. |
| author_facet |
Скороходов, Д.С. |
| author_sort |
Скороходов, Д.С. |
| title |
О наилучшем линейном методе приближения классов Гельдера |
| title_short |
О наилучшем линейном методе приближения классов Гельдера |
| title_full |
О наилучшем линейном методе приближения классов Гельдера |
| title_fullStr |
О наилучшем линейном методе приближения классов Гельдера |
| title_full_unstemmed |
О наилучшем линейном методе приближения классов Гельдера |
| title_sort |
о наилучшем линейном методе приближения классов гельдера |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165852 |
| citation_txt |
О наилучшем линейном методе приближения классов Гельдера / Д.С. Скороходов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 9. — С. 1265–1284. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT skorohodovds onailučšemlinejnommetodepribliženiâklassovgelʹdera |
| first_indexed |
2025-07-14T20:08:27Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:08:27Z |
| _version_ |
1837654308518100992 |
| fulltext |
УДК 517.5
Д. С. Скороходов (Днепропетр. нац. ун-т им. О. Гончара)
О НАИЛУЧШЕМ ЛИНЕЙНОМ МЕТОДЕ
ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА
We find the exact values of one-dimensional linear widths of the Hölder classes of functions in the space C and the quantity
of the best approximation of the Hölder classes of functions by a wide class of linear positive methods.
Знайдено точнi значення одновимiрних лiнiйних поперечникiв класiв Гельдера у просторi неперервних функцiй i
величину найкращого наближення класiв Гельдера широким класом лiнiйних додатних методiв.
1. Введение и постановка задачи. 1. Пусть X — линейное пространство с нормой ‖·‖X ,M —
фиксированное подмножество пространства X. Напомним определения некоторых аппрокси-
мативных характеристик множестваM (см., например, [7, 13]). ДляN ∈ N через LN обозначим
множество линейных многообразий пространства X, размерность которых не превышает N.
Колмогоровский N -поперечник множестваM в пространстве X определяется следующим об-
разом:
dN (M;X) := inf
F∈LN
sup
f∈M
inf
u∈F
‖f − u‖X . (1)
Через L (X;F ) , F ∈ LN , обозначим пространство линейных непрерывных операторов A :
X → F. Величина
λN (M;X) := inf
F∈LN
inf
A∈L(X;F )
sup
f∈M
‖f −Af‖X (2)
называется линейным N -поперечником множестваM в пространстве X.
В настоящее время точные значения поперечников dN и λN известны для ряда важных
классовM в различных пространствах X (см., например, [7 – 9, 14]). Данная статья посвящена
вопросу о точных значениях поперечников (1) и (2) для классов функций, заданных вогнутым
модулем непрерывности.
Пусть C — пространство непрерывных на [0, 1] функций, C̃ — пространство непрерывных
1-периодических функций. Оба пространства оснастим стандартной нормой
‖f‖ := max
x∈[0,1]
|f(x)|,
где либо f ∈ C, либо f ∈ C̃. Для δ > 0 модуль непрерывности функции f ∈ C определяется
следующим образом:
ωC(f, δ) := sup
{∣∣f(x′)− f(x′′)
∣∣ : x′, x′′ ∈ [0, 1], |x′ − x′′| ≤ δ
}
.
Модуль непрерывности периодической функции f ∈ C̃ определяется подобным образом:
ω
C̃
(f, δ) := sup
{∣∣f(x′)− f(x′′)
∣∣ : x′, x′′ ∈ R, |x′ − x′′| ≤ δ
}
.
Пусть ω — произвольный модуль непрерывности (см. [7], § 6.1). Рассмотрим класс функций
c© Д. С. СКОРОХОДОВ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 1265
1266 Д. С. СКОРОХОДОВ
Hω := {f ∈ C : ωC(f, δ) ≤ ω(δ) ∀δ ∈ [0, 1]}
и его 1-периодический аналог — класс H̃ω. В частном случае, когда ω(t) = tα, α ∈ (0, 1],
классы Hω и H̃ω обычно называются классами Гельдера порядка α и обозначаются через Hα и
H̃α соответственно. Точные значения колмогоровских N -поперечников этих классов известны
для всех N ∈ N:
dN (Hω;C) =
1
2
ω
(
1
N
)
(3)
и
dN
(
H̃ω; C̃
)
=
1
2
ω
(
1
2
[
N+1
2
]) , (4)
где [z] — целая часть числа z. Равенство (3) было установлено В. М. Тихомировым [13] и
Ю. И. Григоряном [1]. Соотношение (4) для нечетных N было получено Н. П. Корнейчуком [4]
(см. также [5]), а для четных N — В. И. Рубаном [12].
В то же время точные значения линейных поперечников λN (Hω;C) и λN
(
H̃ω; C̃
)
известны
лишь в тривиальном случае, когда ω линеен на отрезке
[
0,
1
2N
]
. Задача об их вычислении
неоднократно ставилась Н. П. Корнейчуком (см. [6, 8 – 10]). По-видимому, основная причина
сложности этой задачи состоит в отсутствии общих методов получения оценок снизу для
линейных поперечников, которые бы существенно использовали линейность приближающих
методов.
В данной работе вычислены одномерные линейные поперечники λ1(Hω;C) и λ1
(
H̃ω; C̃
)
.
В частности, для N = 1 подтверждена гипотеза Н. П. Корнейчука (см. [9], § 8.2.2) о том, что
λ2N−1
(
H̃ω; C̃
)
= 2N
1/2N∫
0
ω(t) dt.
2. Вместе с колмогоровскими и линейными поперечниками определенный интерес пред-
ставляет также изучение и других аппроксимативных характеристик класса Hω. Для F ∈ LN
через L+ (C;F ) обозначим множество положительных операторов A ∈ L (C;F ) , т. е. Af неот-
рицательна, если f неотрицательна. Также через L++ (C;F ) обозначим множество операторов
A ∈ L+ (C;F ) , представимых в виде
Af =
N∑
j=1
ϕj(f) · ej , f ∈ C,
для некоторых линейных ограниченных положительных функционалов ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN на C
и неотрицательных непрерывных функций e1, e2, . . . , eN . В дальнейшем будем называть опе-
раторы из множества L++(C;F ) положительными миниэдральными операторами, поскольку
множество значений оператора A — миниэдральный конус в пространстве C.
Отметим, что множество положительных миниэдральных операторов достаточно широко.
Действительно, каждый оператор A ∈ L (C;F ) , для которого supf∈Hω ‖f − Af‖ < ∞, инва-
риантен на константах. Поэтому он представим в виде разности A = A1−A2 двух операторов
A1, A2 ∈ L++ (C;F ) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
О НАИЛУЧШЕМ ЛИНЕЙНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА 1267
Рассмотрим следующие аналоги линейных поперечников:
λ+N (Hω;C) := inf
F∈LN
inf
A∈L+(C;F )
sup
f∈Hω
‖f −Af‖ ,
λ++
N (Hω;C) := inf
F∈LN
inf
A∈L++(C;F )
sup
f∈Hω
‖f −Af‖ .
В данной работе найдены величины λ+1 , λ
+
2 , а также величина λ++
N для всех N ≥ 1.
2. Основные результаты. Пусть ω — произвольный вогнутый модуль непрерывности.
Пусть также либо одновременно M = Hω и X = C, либо одновременно M = H̃ω и X = C̃.
Напомним, что одна из двух рассмотренных в данной работе задач состоит в вычислении
величины
λ1 (M;X) := inf
F⊂X
dimF=1
inf
A∈L(X;F )
sup
f∈M
‖f −Af‖.
Для одномерного подпространства F пространства X положим
E (M;F ) := inf
A∈L(X;F )
sup
f∈M
‖f −Af‖
и обозначим через K подпространство констант. Поскольку K ⊂ M, величина E (M;F )
конечна только в том случае, когда F = K. Следовательно,
λ1 (M;X) = inf
A∈L(X;K)
sup
f∈M
‖f −Af‖. (5)
Далее, пусть V — множество функций σ : [0, 1] → R, σ(0) = 0, ограниченной на отрезке
[0, 1] вариации и V1 — подпространство V, состоящее из функций σ ∈ V, для которых σ(1) = 1.
Применяя теорему Рисса о представлении линейного ограниченного функционала на C и C̃,
равенство (5) запишем в виде
λ1 (M;X) = inf
σ∈V1
sup
f∈M
∥∥∥∥∥∥f −
1∫
0
f(t) dσ(t)
∥∥∥∥∥∥ . (6)
Далее будем говорить, что функция σ∗ ∈ V1 порождает наилучший линейный метод прибли-
жения множестваM пространством констант, если
sup
f∈M
∥∥∥∥∥∥f −
1∫
0
f(t) dσ∗(t)
∥∥∥∥∥∥ = λ1 (M;X).
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть ω — вогнутый модуль непрерывности. Тогда
λ1
(
H̃ω; C̃
)
= 2
1/2∫
0
ω(t) dt
и наилучший линейный метод приближения класса H̃ω пространством констант порожда-
ется функцией σ(t) = t, t ∈ [0, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1268 Д. С. СКОРОХОДОВ
Теорема 2. Пусть ω — вогнутый модуль непрерывности. Тогда существует неубывающая
функция gω ∈ V1 такая, что gω(t) + gω(1− t) = 1 для всех t ∈ [0, 1], и
λ1(H
ω;C) =
1∫
0
ω(|x− t|) dgω(t) для всех x ∈ [0, 1]. (7)
Кроме того, функция gω порождает наилучший линейный метод приближения класса Hω
пространством констант.
Следующее утверждение легко выводится из теоремы 2.
Предложение 1. Пусть ω — вогнутый модуль непрерывности. Если существуют функция
g ∈ V1 и число λ ≥ 0 такие, что равенство
1∫
0
ω(|x− t|) dg(t) = λ (8)
выполнено для всех x ∈ [0, 1], то λ = λ1(H
ω;C).
Отметим, что теорема 2 устанавливает связь между линейным поперечником λ1(H
ω;C)
и функцией gω ∈ V1, порождающей наилучший линейный метод приближения класса Hω
пространством констант. Таким образом, соотношение (7) можно рассматривать как неяв-
ный ответ на вопрос о точном значении поперечника λ1(Hω;C). Более того, λ++
1 (Hω;C) =
= λ+1 (Hω;C) = λ1(H
ω;C), поскольку gω — неубывающая функция. Для классов Гельдера Hα,
α ∈ (0, 1), воспользуемся предложением 1, чтобы явно вычислить поперечник λ1 (Hα;C) .
Теорема 3. Если α ∈ (0, 1), то
λ1 (Hα;C) =
Γ(2− α)Γ
(
1
2
+
α
2
)
2Γ
(
3
2
− α
2
) . (9)
Кроме того, наилучший линейный метод приближения класса Hα пространством констант
порождается функцией
g(x) :=
Γ(1− α)
Γ2
(
1
2
− α
2
) x∫
0
dt
t1/2+α/2(1− t)1/2+α/2
, x ∈ [0, 1], (10)
где Γ(x) — гамма-функция Эйлера.
Теорема 2 также позволяет получить новые оценки сверху поперечника λN :
λN (Hω;C) ≤ λ1(HωN ;C),
где ωN (t) = ω(t/N), t ∈ [0, 1]. В частности, для α ∈ (0, 1),
λN (Hα;C) ≤
Γ(2− α)Γ
(
1
2
+
α
2
)
2NαΓ
(
3
2
− α
2
) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
О НАИЛУЧШЕМ ЛИНЕЙНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА 1269
Отметим, что полученные оценки точны, если сузить множество всех линейных операторов
L(C;F ) в определении (2) к множеству линейных положительных миниэдральных операто-
ров L++(C;F ). Для строгой формулировки соответствующего результата введем несколько
дополнительных определений.
Для ε ∈ (0, 1/2N) через χε1, χ
ε
2, . . . , χ
ε
N обозначим произвольный набор неотрицательных
непрерывных функций таких, что
1) χεk(t) = 1, t ∈
[
(k − 1)/N + ε, k/N − ε
]
, для всех k = 1, 2, . . . , N ;
2) suppχεk ⊂
[
(k − 1)/N − ε, k/N + ε
]
для всех k = 1, 2, . . . , N ;
3) χε1(t) + χε2(t) + . . .+ χεN (t) = 1 для всех t ∈ [0, 1].
Далее, для g ∈ V1 построим оператор Aεg : C → C следующим образом:
Aεgf =
N∑
k=1
χεk
k/N∫
(k−1)/N
f(t) dg(Nt− k + 1). (11)
Обозначив линейную оболочку системы функций {χεk}
N
k=1 через FN , несложно видеть, что
Aεg ∈ L (C;FN ) для всех g ∈ V1 и Aεg ∈ L++ (C;FN ) для неубывающих функций g ∈ V1.
Теорема 4. Пусть ω — вогнутый модуль непрерывности, N ∈ N и ωN (t) = ω(t/N),
t ∈ [0, 1]. Тогда
λ++
N (Hω;C) = λ1(H
ωN ;C).
Более того, если функция g ∈ V1 порождает наилучший линейный метод приближения класса
HωN пространством констант, то
λ++
N (Hω;C) = lim
ε→0+
sup
f∈Hω
∥∥f −Aεgf∥∥.
Объединяя теоремы 3 и 4, получаем следующее утверждение.
Следствие 1. Если α ∈ (0, 1) и N ∈ N, то
λ++
N (Hα;C) =
Γ(2− α)Γ
(
1
2
+
α
2
)
2NαΓ
(
3
2
− α
2
) .
Еще одним следствием теорем 2 и 4 является следующее утверждение.
Следствие 2. Пусть ω — вогнутый модуль непрерывности. Тогда
λ+2 (Hω;C) = λ++
2 (Hω;C).
Перейдем к доказательству основных результатов.
3. Линейный одномерный поперечник класса H̃ω. В этом пункте мы докажем теорему 1.
Для этого необходимо показать справедливость равенств
λ1
(
H̃ω; C̃
)
= sup
f∈H̃ω
∥∥∥∥∥∥f −
1∫
0
f(t) dt
∥∥∥∥∥∥ = 2
1/2∫
0
ω(t) dt. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1270 Д. С. СКОРОХОДОВ
Для a, t ∈ [0, 1] введем в рассмотрение функцию
ϕ̃ω(a; t) := min
{
ω(|a− t|); ω(|a− t+ 1|); ω(|a− t− 1|)
}
.
Очевидно, что ϕ̃ω(a; ·) принадлежит классу H̃ω для всех a ∈ [0, 1].
Начнем с доказательства справедливости второго знака равенства в (12).
Лемма 1. Пусть ω — вогнутый модуль непрерывности. Тогда для x ∈ [0, 1]
sup
f∈H̃ω
∣∣∣∣∣∣f(x)−
1∫
0
f(t) dt
∣∣∣∣∣∣ = 2
1/2∫
0
ω(t) dt.
Доказательство. Действительно, пусть x ∈ [0, 1] и f ∈ H̃ω. Тогда∣∣∣∣∣∣f(x)−
1∫
0
f(t) dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
1∫
0
|f(x)− f(t)| dt ≤
1∫
0
ϕ̃ω(x; t) dt = 2
1/2∫
0
ω(t) dt.
С другой стороны,
sup
f∈H̃ω
∣∣∣∣∣∣f(x)−
1∫
0
f(t) dt
∣∣∣∣∣∣ ≥ sup
a∈[0,1]
∣∣∣∣∣∣ϕ̃ω(a;x)−
1∫
0
ϕ̃ω(a; t) dt
∣∣∣∣∣∣ ≥
≥
∣∣∣∣∣∣ϕ̃ω(x;x)−
1∫
0
ϕ̃ω(x; t) dt
∣∣∣∣∣∣ = 2
1/2∫
0
ω(t) dt.
Лемма 1 доказана.
Теперь перейдем к доказательству справедливости первого знака равенства в (12). Для всех
σ ∈ V1 и x ∈ [0, 1] положим
M̃σ(x) := sup
f∈H̃ω
∣∣∣∣∣∣f(x)−
1∫
0
f(t) dσ(t)
∣∣∣∣∣∣ .
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть ω — вогнутый модуль непрерывности. Тогда для всех функций σ ∈ V1
существует такая точка x̃σ ∈ [0, 1], что
M̃σ (x̃σ) ≥ 2
1/2∫
0
ω(t) dt.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что для всех x ∈ [0, 1]
M̃σ (x) < 2
1/2∫
0
ω(t) dt
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
О НАИЛУЧШЕМ ЛИНЕЙНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА 1271
и, следовательно,
1∫
0
M̃σ (x) dx < 2
1/2∫
0
ω(t) dt. (13)
С другой стороны,
1∫
0
M̃σ (x) dx ≥
1∫
0
sup
a∈[0,1]
∣∣∣∣∣∣ϕ̃ω(a;x)−
1∫
0
ϕ̃ω(a; t) dσ(t)
∣∣∣∣∣∣ dx ≥
≥
1∫
0
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
ϕ̃ω(x; t) dσ(t)
∣∣∣∣∣∣ dx ≥
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
1∫
0
ϕ̃ω(x; t) dσ(t) dx
∣∣∣∣∣∣ .
Применяя теорему Фубини (см., например, [2], § 36) и лемму 1, получаем
1∫
0
M̃σ (x) dx ≥
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
1∫
0
ϕ̃ω(x; t) dx dσ(t)
∣∣∣∣∣∣ = 2
1/2∫
0
ω(t) dt.
Последнее неравенство противоречит неравенству (13).
Лемма 2 доказана.
Доказательство теоремы 1. Из леммы 2 и формулы (6) несложно видеть, что
λ1
(
H̃ω; C̃
)
= inf
σ∈V1
sup
x∈[0,1]
M̃σ(x) ≥ inf
σ∈V1
M̃σ (x̃σ) ≥ 2
1/2∫
0
ω(t) dt.
Объединяя последнее неравенство с леммой 1, устанавливаем справедливость первого равен-
ства в (12). Таким образом, теорема 1 доказана.
4. Линейный одномерный поперечник класса Hω. В данном пункте мы докажем тео-
рему 2. Для этого используем схему доказательства теоремы 1 с необходимыми изменениями
для непериодического случая. Нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 3. Пусть ω — вогнутый модуль непрерывности. Тогда существует такая неубы-
вающая функция gω ∈ V1, что gω(t) + gω(1 − t) = 1 для всех t ∈ [0, 1] и для всех x ∈ [0, 1]
имеет место равенство
1∫
0
ω(|x− t|) dgω(t) =
1∫
0
ω(t) dgω(t). (14)
Утверждение леммы 3, по-видимому, известно. Однако автору неизвестны ссылки на соот-
ветствующий результат. Поэтому для полноты изложения приведем доказательство леммы 3,
которое основано на следующем утверждении.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1272 Д. С. СКОРОХОДОВ
Лемма 4. Пусть n ∈ N и ω — вогнутый модуль непрерывности. Тогда существует такая
неубывающая функция gn ∈ V1, что для всех k = 1, 2, . . . , n
1∫
0
ω
(∣∣∣∣kn − t
∣∣∣∣) dgn(t) =
1∫
0
ω(t) dgn(t). (15)
Доказательство. Сначала рассмотрим случай строго вогнутого модуля непрерывности ω.
Зафиксируем n ∈ N и рассмотрим стандартный симплекс
Pn =
{
a = (a0, . . . , an) : a0 + . . .+ an = 1, aj ≥ 0, j = 0, . . . , n
}
.
С каждой точкой a ∈ Pn будем ассоциировать кусочно-постоянную функцию
za :=
n−1∑
j=0
ajχ(j/n,1] +
n−1∑
j=1
aj
2
χ{j/n} + anχ{1}, (16)
где χE — характеристическая функция множества E. Покажем существование такой точки
a ∈ Pn, что для функции gn = za выполнены равенства (15).
Отметим, что для всех a ∈ Pn функция za не убывает на отрезке [0, 1]. Более того, для всех
x ∈ [0, 1]
1∫
0
ω(|x− t|) dza(t) =
n∑
j=0
ajω
(∣∣∣∣x− j
n
∣∣∣∣). (17)
Следовательно, функция za удовлетворяет равенствам (15) тогда и только тогда, когда для всех
k = 1, 2, . . . , n
n∑
j=0
ajω
(
|k − j|
n
)
=
n∑
j=0
ajω
(
j
n
)
. (18)
Теперь рассмотрим функцию
F(a) :=
n∑
j=0
n∑
k=0
ajakω
(
|j − k|
n
)
, a ∈ Pn.
Обозначим через Ωn множество всех точек b ∈ Pn, для которых
F(b) = max
a∈Pn
F(a).
Очевидно, что Ωn 6= ∅. Докажем, что множество Ωn содержит только точки с положитель-
ными координатами. Действительно, выберем произвольную точку b = (b0, b1, . . . , bn) ∈ Ωn
и предположим противное: b0 = 0. Через s ∈ N, s ≤ n, обозначим индекс, для которого
b0 = b1 = . . . = bs−1 = 0 и bs > 0. Тогда для всех ε ∈ (0, bs) точка
bε := (ε, 0, . . . , bs − ε, bs+1, . . . , bn)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
О НАИЛУЧШЕМ ЛИНЕЙНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА 1273
принадлежит множеству Pn. Рассмотрим вспомогательную функцию G(ε) := F(bε), ε ∈ (0, bs).
Несложно видеть, что
G′(ε) = 2
{
−2εω
( s
n
)
+
n∑
k=s
bk
[
ω
(
k
n
)
− ω
(
k − s
n
)]}
≥
≥ 2ω
( s
n
)
(bs − 2ε) .
Поэтому G′(0) > 0 и F(bε) > F (b) для любого достаточно малого ε > 0. Последнее противо-
речит выбору точки b. Таким образом, b0 > 0. Аналогично можно показать, что bn > 0.
Далее предположим, что bs = 0 для некоторого s ∈ N, 1 ≤ s ≤ n − 1. Пусть s1 и s2 —
ближайшие к s слева и справа точки, для которых bs1 > 0 и bs2 > 0. Положим
p =
s2 − s
s2 − s1
и q =
s− s1
s2 − s1
.
Для каждого ε ∈
(
0,min {p−1bs1 ; q−1bs2}
)
рассмотрим точку
bε :=
(
b0, . . . , bs1−1, bs1 − pε, 0, . . . , 0, ε, 0, . . . , 0, bs2 − qε, bs2+1, . . . , bn
)
с координатой ε на позиции с индексом s. Очевидно, что bε ∈ Pn.
Из строгой вогнутости модуля непрерывности ω следует, что для всех j = 0, 1, . . . , s1
ω
(
s− j
n
)
> pω
(
s1 − j
n
)
+ q ω
(
s2 − j
n
)
(19)
и для всех j = s2, s2 + 1, . . . , n
ω
(
j − s
n
)
> pω
(
j − s1
n
)
+ q ω
(
j − s2
n
)
. (20)
Рассмотрим функцию G(ε) := F(bε), ε ∈
(
0,min {p−1bs1 ; q−1bs2}
)
. Очевидно, что
G′(ε) = 2
n∑
j=0
bεj
[
ω
(
|s− j|
n
)
− pω
(
|s1 − j|
n
)
− qω
(
|s2 − j|
n
)]
.
Применяя неравенства (19) и (20), получаем
G′(0) = 2
s1∑
j=0
bj
[
ω
(
s− j
n
)
− pω
(
s1 − j
n
)
− qω
(
s2 − j
n
)]
+
+
n∑
j=s2
bj
[
ω
(
j − s
n
)
− pω
(
j − s1
n
)
− qω
(
j − s2
n
)] ≥
≥ 2bs1
[
ω
(
s− s1
n
)
− qω
(
s2 − s1
n
)]
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1274 Д. С. СКОРОХОДОВ
+2bs2
[
ω
(
s2 − s
n
)
− pω
(
s2 − s1
n
)]
> 0.
Следовательно, F(bε) > F(b) для любого достаточно малого ε > 0. Последнее противоречит
выбору точки b.
Таким образом, множество Ωn содержит только точки с положительными координатами.
Пусть b ∈ Ωn — произвольная фиксированная точка. Отметим, что функция F непрерывно
дифференцируема на своей области определения и в точке b достигает своего максимума на
множестве Pn. Несложно видеть, что имеют место условия принципа множителей Лагранжа.
Согласно этому принципу существует такой множитель λ, λ 6= 0, что функция
L(a) := F(a) + λ
n∑
j=0
aj − 1
, a ∈ Pn,
удовлетворяет условиям стационарности в точке a = b:
∂L
∂ak
(b) = 2
n∑
j=0
bjω
(
|k − j|
n
)
+ λ = 0, k = 0, 1, . . . , n.
Последние соотношения влекут равенства (18) для точки b.
Теперь рассмотрим случай произвольного вогнутого модуля непрерывности ω. Для каждого
m ∈ N положим
ωm(t) := ω(t) +
√
t
m
, t ∈ [0, 1].
Очевидно, что ωm — строго вогнутый модуль непрерывности. Выше было доказано, что сущест-
вует точка bm ∈ Pn такая, что
n∑
j=0
bmj ωm
(
|k − j|
n
)
=
n∑
j=0
bmj ωm
(
j
n
)
, k = 1, 2, . . . , n. (21)
Поскольку множество Pn компактно, то без уменьшения общности можно предположить, что
последовательность {bm}∞m=1 сходится к некоторой точке b ∈ Pn. Устремляяm к бесконечности
в равенствах (21), получаем
n∑
j=0
bjω
(
|k − j|
n
)
=
n∑
j=0
bjω
(
j
n
)
, k = 1, 2, . . . , n.
Лемма 4 доказана.
Доказательство леммы 3. В силу леммы 4 для каждого n ∈ N существует неубывающая
функция gn ∈ V1, удовлетворяющая равенствам (15). Рассмотрим последовательность функций
{gn}∞n=1 . Отметим, что для всех n ∈ N gn ∈ V1 и gn не убывает на отрезке [0, 1]. Следова-
тельно, в силу теоремы Хелли (см. [2]) существует подпоследовательность {gnk}
∞
k=1 , которая
поточечно сходится к функции g : [0, 1]→ R. Более того, g ∈ V1, g не убывает на отрезке [0, 1]
и для всех f ∈ C имеет место предельное соотношение
lim
k→∞
1∫
0
f(t) dgnk(t) =
1∫
0
f(t) dg(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
О НАИЛУЧШЕМ ЛИНЕЙНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА 1275
В частности, для всех x ∈ [0, 1]
lim
k→∞
1∫
0
ω(|x− t|) dgnk(t) =
1∫
0
ω(|x− t|) dg(t).
Из последнего соотношения видно, что для любого ε > 0 существует такое число N ∈ N, что
для всех k > N выполнено неравенство∣∣∣∣∣∣
1∫
0
ω(|x− t|) dgnk(t)−
1∫
0
ω(|x− t|) dg(t)
∣∣∣∣∣∣ < ε. (22)
Теперь для всех k > N рассмотрим функцию
Tk(x) :=
1∫
0
ω(|x− t|) dgnk(t), x ∈ [0, 1].
Ясно, что Tk принадлежит классу Hω. Также в силу выбора последовательности {gn}∞n=1
функция Tk принимает равные значения в точках
j
nk
, j = 0, 1, . . . , nk. Применяя эти замечания
к неравенству (22), получаем∣∣∣∣∣∣
1∫
0
ω(t) dgnk(t)−
1∫
0
ω(|x− t|) dg(t)
∣∣∣∣∣∣ ≤ ε+ ω
(
1
2nk
)
.
Следовательно, для всех x ∈ [0, 1]
1∫
0
ω(|x− t|) dg(t) = lim
k→∞
1∫
0
ω(t) dgnk(t) =
1∫
0
ω(t) dg(t). (23)
Наконец, отметим, что если g̃(t) = 1− g(1− t), t ∈ [0, 1], то
1∫
0
ω(|x− t|) dg̃(t) =
1∫
0
ω(|1− x− t|) dg(t) =
1∫
0
ω(t) dg(t) =
=
1∫
0
ω(1− t) dg(t) =
1∫
0
ω(t) dg̃(t).
Таким образом, функция
gω(t) :=
g(t) + g̃(t)
2
, t ∈ [0, 1],
принадлежит множеству V1, не убывает на отрезке [0, 1] и удовлетворяет равенству (14). Кроме
того, равенство gω(t) + gω(1− t) = 1 выполнено для всех t ∈ [0, 1].
Лемма 3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1276 Д. С. СКОРОХОДОВ
Рассмотрим функцию
ϕω(a; t) := ω(|a− t|), a, t ∈ [0, 1].
Несложно видеть, что ϕω(a; ·) ∈ Hω и ϕω(a; a) = 0 для всех a ∈ [0, 1].
Лемма 5. Пусть ω — вогнутый модуль непрерывности. Тогда для x ∈ [0, 1]
sup
f∈Hω
∣∣∣∣∣∣f(x)−
1∫
0
f(t) dgω(t)
∣∣∣∣∣∣ =
1∫
0
ω(t) dgω(t), (24)
где функция gω определена в лемме 3.
Доказательство. Действительно, пусть x ∈ [0, 1] и f ∈ Hω. Из определения функции
gω ∈ V1 получаем ∣∣∣∣∣∣f(x)−
1∫
0
f(t) dgω(t)
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
[f(x)− f(t)] dgω(t)
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
1∫
0
ω(|x− t|) dgω(t) =
1∫
0
ω(t) dgω(t).
С другой стороны,
sup
f∈Hω
∣∣∣∣∣∣f(x)−
1∫
0
f(t) dgω(t)
∣∣∣∣∣∣ ≥ sup
a∈[0,1]
∣∣∣∣∣∣ϕω(a;x)−
1∫
0
ϕω(a; t) dgω(t)
∣∣∣∣∣∣ ≥
≥
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
ϕω(x; t) dgω(t)
∣∣∣∣∣∣ =
1∫
0
ω(t) dgω(t).
Лемма 5 доказана.
Для всех функций σ ∈ V1 и точек x ∈ [0, 1] положим
Mσ(x) := sup
f∈Hω
∣∣∣∣∣∣f(x)−
1∫
0
f(t) dσ(t)
∣∣∣∣∣∣ .
Лемма 6. Пусть ω — вогнутый модуль непрерывности. Тогда для всех σ ∈ V1 существует
такая точка xσ ∈ [0, 1], что
Mσ(xσ) ≥
1∫
0
ω(t) dgω(t).
Доказательство. Предположим противное, т. е. что для всех x ∈ [0, 1]
Mσ(x) <
1∫
0
ω(t) dgω(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
О НАИЛУЧШЕМ ЛИНЕЙНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА 1277
Тогда
1∫
0
Mσ(x) dgω(x) <
1∫
0
ω(t) dgω(t). (25)
С другой стороны, применяя теорему Фубини и лемму 3, получаем
1∫
0
Mσ(x) dgω(x) ≥
1∫
0
sup
a∈[0,1]
∣∣∣∣∣∣ϕω(a;x)−
1∫
0
ϕω(a; t) dσ(t)
∣∣∣∣∣∣ dgω(x) ≥
≥
1∫
0
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
ϕω(x; t) dσ(t)
∣∣∣∣∣∣ dgω(x) ≥
≥
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
1∫
0
ϕω(x; t) dσ(t)dgω(x)
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
1∫
0
ϕω(x; t) dgω(x)dσ(t)
∣∣∣∣∣∣ =
1∫
0
ω(x) dgω(x).
Последнее противоречит неравенству (25).
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2. Объединяя лемму 6 с формулой (6), имеем
λ1(H
ω;C) = inf
σ∈V1
sup
x∈[0,1]
Mσ(x) ≥ inf
σ∈V1
Mσ (xσ) ≥
1∫
0
ω(t) dgω(t).
Теорема 2 доказана.
Доказательство предложения 1. Предположим, что существуют функция g ∈ V1 и дейст-
вительное число λ такие, что для всех x ∈ [0, 1] выполнено равенство (8), т. е.
1∫
0
ω(|x− t|) dg(t) = λ.
Тогда
1∫
0
1∫
0
ω(|x− t|) dg(t) dgω(x) = λ,
где функция gω определена в лемме 3. Применяя теорему Фубини и теорему 2, можно доказать,
что
1∫
0
1∫
0
ω(|x− t|) dg(t) dgω(x) =
1∫
0
1∫
0
ω(|t− x|) dgω(x) dg(t) = λ1(H
ω;C).
Поэтому λ = λ1(H
ω;C), что и требовалось доказать.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1278 Д. С. СКОРОХОДОВ
5. Линейный одномерный поперечник классов Гельдера. Докажем в данном пункте
теорему 3, т. е. найдем точное значение поперечника λ1 (Hα;C) , α ∈ (0, 1), и явно построим
функцию, порождающую наилучший линейный метод приближения класса Hα пространством
констант.
Доказательство теоремы 3. Покажем, что функция g, определенная в (10), порождает
наилучший линейный метод приближения класса Hα пространством констант. Сначала отме-
тим, что g ∈ V1 и g(x) + g(1− x) = 1 для всех x ∈ [0, 1]. Далее, чтобы показать, что функция
g удовлетворяет равенствам (7), для всех x ∈ [0, 1] положим
I(x) :=
1∫
0
|x− t|α dg(t) =
Γ(1− α)
Γ2
(
1
2
− α
2
) 1∫
0
|x− t|α dt
t1/2+α/2(1− t)1/2+α/2
.
Покажем, что функция I постоянна. Действительно, для всех x ∈ (0, 1)
I ′(x) =
αΓ(1− α)
Γ2
(
1
2 −
α
2
)
x∫
0
(x− t)α−1 dt
t1/2+α/2(1− t)1/2+α/2
−
1∫
x
(t− x)α−1 dt
t1/2+α/2(1− t)1/2+α/2
.
Подставляя t =
x(1− u)
1− xu
в первый интеграл и t =
x
1− (1− x)u
во второй, получаем
x∫
0
(x− t)α−1 dt
t1/2+α/2(1− t)1/2+α/2
=
√
xα−1(1− x)α−1
1∫
0
uα−1(1− u)−α/2−1/2 du,
1∫
x
(t− x)α−1 dt
t1/2+α/2(1− t)1/2+α/2
=
√
xα−1(1− x)α−1
1∫
0
uα−1(1− u)−α/2−1/2 du.
Таким образом, I ′(x) = 0. Следовательно, в силу теоремы 2 функция g порождает наилучший
линейный метод приближения класса Hα пространством констант. Кроме того,
λ1 (Hα;C) =
1∫
0
tα dg(t) =
Γ (1− α)
Γ2
(
1
2
− α
2
) 1∫
0
tα/2−1/2 dt
(1− t)1/2+α/2
=
Γ (1− α)Γ
(
1
2
+
α
2
)
Γ
(
1
2
− α
2
) .
Теорема 3 доказана.
6. Наилучший линейный положительный метод приближения класса Hω. Перейдем
к доказательству теоремы 4. Сначала приведем две вспомогательные леммы.
Лемма 7. Пусть ω — вогнутый модуль непрерывности, N ∈ N и ωN (t) = ω(t/N),
t ∈ [0, 1]. Пусть также m ∈ N и {[αj , βj ]}mj=1 — произвольная система непересекающихся
отрезков, содержащихся на отрезке [0, 1], суммарной длины 1/N. Тогда существует неубыва-
ющая функция g ∈ V1, для которой
1∨
0
g =
m∑
j=1
βj∨
αj
g, (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
О НАИЛУЧШЕМ ЛИНЕЙНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА 1279
и для всех x ∈ [0, 1]
1∫
0
ω(|x− t|) dg(t) ≥ λ1(HωN ;C). (27)
Доказательство. В силу теоремы 2 существует неубывающая функция g ∈ V1 такая, что
для всех x ∈ [0, 1]
1∫
0
ωN (|x− t|) d g(t) = λ1(H
ωN ;C).
Введя в рассмотрение функцию
gN (x) :=
g (Nx) , x ∈ [0, 1/N ] ,
1, x ∈ [1/N, 1] ,
последнее соотношение запишем в виде
1∫
0
ω(|x− t|) dgN (t) = λ1(H
ωN ;C), x ∈ [0, 1/N ]. (28)
Более того, для всех x ∈ (1/N, 1]
1∫
0
ω(|x− t|) dgN (t) =
1/N∫
0
ω(|x− t|) dgN (t) ≥
≥
1/N∫
0
ω(|1/N − t|) dgN (t) = λ1(H
ωN ;C).
Далее, положим β0 = 0, αm+1 = 1, и пусть набор чисел 0 = γ0 < γ1 < . . . < γm = 1/N
таков, что γk − γk−1 = βk − αk для всех k = 1, 2, . . . ,m. Определим функцию g следующим
образом:
g(x) =
gN (x− αk + γk−1) , x ∈ [αk, βk] , k = 1, 2, . . . ,m,
gN (γk) , x ∈ [βk, αk+1] , k = 0, 1, . . . ,m.
Докажем, что функция g является требуемой. Действительно, в силу построения функция
g не убывает, принадлежит V1 и удовлетворяет равенству (26). Для доказательства неравен-
ства (27) предположим сначала, что x ∈ [αr, βr] для некоторого r = 1, 2, . . . ,m, и рассмотрим
y = x− αr + γr−1. Тогда для всех u ∈ [γk−1, γk] , k = 1, 2, . . . , r − 1, будем иметь
y ≥ γr−1 ≥ γk ≥ u,
αr − αk ≥
r−1∑
j=k
(βj − αj) = γr−1 − γk−1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1280 Д. С. СКОРОХОДОВ
и, следовательно,
(y + αr − γr−1)− (u+ αk − γk−1) ≥ y − u ≥ 0.
Аналогично, для всех u ∈ [γk−1, γk] , k = r + 1, . . . ,m,
y ≤ γr ≤ γk−1 ≤ u,
αr − αk ≤ −
k−1∑
j=r
(βj − αj) = γr−1 − γk−1,
и, как результат,
(y + αr − γr−1)− (u+ αk − γk−1) ≤ y − u ≤ 0.
Таким образом,
1∫
0
ω(|x− t|) dg(t) =
m∑
k=1
βk∫
αk
ω(|x− t|) dgN (t− αk + γk−1) =
=
m∑
k=1
γk∫
γk−1
ω (|(y − γr−1 + αr)− (u+ αk − γk−1)|) dgN (u) ≥
≥
m∑
k=1
γk∫
γk−1
ω(|y − u|) dgN (u) =
1∫
0
ω(|y − u|) dgN (u) ≥
≥ λ1(HωN ;C),
что доказывает неравенство (27) для всех x ∈ [αr, βr] , r = 1, 2, . . . ,m.
Для остальных точек x ∈ [0, 1] \
m⋃
j=1
[αj , βj ] неравенство (27) может быть доказано анало-
гичным образом. Следовательно, функция g удовлетворяет (26) и (27).
Лемма 7 доказана.
Лемма 8. Пусть ω — вогнутый модуль непрерывности, N ∈ N и ωN (t) = ω(t/N), t ∈
∈ [0, 1]. Тогда для каждой неубывающей функции g ∈ V1 мера Лебега точек x ∈ [0, 1], для
которых
1∫
0
ω(|x− t|) dg(t) < λ1(H
ωN ;C),
не превышает 1/N.
Доказательство. Пусть g ∈ V1 не убывает. Для x ∈ [0, 1] положим
Mg(x) :=
1∫
0
ω(|x− t|) dg(t).
Очевидно, что функция Mg непрерывна. Отсюда следует, что множество
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
О НАИЛУЧШЕМ ЛИНЕЙНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА 1281
V = {x ∈ [0, 1] : Mg(x) < λ1(H
ωN ;C)}
открыто. Предположим противное, т. е. что µV > 1/N. Тогда существует подмножество U ⊂ V,
состоящее из конечного числа непересекающихся отрезков [αj , βj ] , j = 1, 2, . . . ,m и m ∈ N,
суммарной длины µU = 1/N. Согласно лемме 7 существует неубывающая функция g̃ ∈ V1
такая, что
1∨
0
g̃ =
m∑
j=1
βj∨
αj
g̃,
и для всех x ∈ [0, 1]
1∫
0
ω(|x− t|) dg̃(t) ≥ λ1(HωN ;C).
Далее по теореме Фубини
1∫
0
Mg(x) dg̃(x) =
1∫
0
1∫
0
ω(|x− t|) dg̃(x) dg(t) ≥ λ1(HωN ;C)
1∫
0
dg(t) = λ1(H
ωN ;C).
С другой стороны, по предположению Mg(x) < λ1(H
ωN ;C) для всех x ∈ U. Следовательно,
1∫
0
Mg(x) dg̃(x) =
∫
U
Mg(x) dg̃(x) < λ1(H
ωN ;C)
∫
U
dg̃(x) = λ1(H
ωN ;C).
Полученное противоречие завершает доказательство леммы.
Доказательство теоремы 4. Пусть F ∈ LN и A ∈ L++ (C;F ) — произвольный оператор,
для которого supf∈Hω ‖f −Af‖ <∞. Согласно определению существуют неубывающие функ-
ции e1, e2, . . . , eN ∈ C и положительные линейные ограниченные функционалы ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN
на C такие, что
Af =
N∑
k=1
ϕk(f) · ek, f ∈ C.
Известно (см. [3], § 2.1), что каждый линейный ограниченный положительный оператор ϕk :
C → R представим в виде
ϕk(f) =
1∫
0
f(t) dgk(t)
с неубывающей функцией gk ∈ V. Без ограничения общности будем считать, что gk ∈ V1 для
всех k = 1, 2, . . . ,m. Следовательно, для всех f ∈ C и x ∈ [0, 1]
Af(x) =
N∑
k=1
ek(x)
1∫
0
f(t) dgk(t).
Поскольку класс Hω содержит пространство констант и supf∈Hω ‖f − Af‖ < ∞, то e1 +
+ e2 + . . .+ eN = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1282 Д. С. СКОРОХОДОВ
Теперь для всех x ∈ [0, 1] рассмотрим функцию ϕω(x; t) := ω(|x− t|), t ∈ [0, 1]. Очевидно,
что ω(|x− ·|) ∈ Hω и, следовательно,
sup
f∈Hω
‖f −Af‖ ≥ sup
x∈[0,1]
sup
t∈[0,1]
|ϕω(x; t)− (Aϕω(x; ·))(t)| ≥ sup
x∈[0,1]
(Aϕω(x; ·)) (x).
Для всех k = 1, 2, . . . , N и ε > 0 из леммы 7 получаем
µ
x ∈ [0, 1] :
1∫
0
ϕω(x; t) dgk(t) < λ1(H
ωN ;C)− ε
<
1
N
.
Поэтому существует точка xε ∈ [0, 1], для которой
1∫
0
ϕω(xε; t) dgk(t) ≥ λ1(HωN ;C)− ε
при всех k = 1, 2, . . . , N. Следовательно,
(Aϕω (xε; ·)) (xε) ≥ (λ1(H
ωN ;C)− ε)
N∑
k=1
ek (xε) = λ1(H
ωN ;C)− ε.
Переходя к пределу ε→ 0, имеем
sup
f∈Hω
‖f −Af‖C ≥ (Aϕω(x̄; ·)) (x̄) ≥ λ1(HωN ;C).
Таким образом,
λ++
N (Hω;C) = inf
F∈LN
inf
A∈L++(C;F )
sup
f∈Hω
‖f −Af‖ ≥ λ1(HωN ;C).
Остается доказать, что λ++
N (Hω;C) ≤ λ1(H
ωN ;C). Пусть ε ∈ (0, 1/2N) и функция g ∈ V1
порождает наилучший линейный метод приближения класса HωN пространством констант.
Пусть также набор неотрицательных непрерывных функций χε1, χ
ε
2, . . . , χ
ε
N имеет следующие
свойства:
1) χεk(t) = 1, t ∈ [(k − 1)/N + ε, k/N − ε] , для всех k = 1, 2, . . . , N ;
2) suppχεk ⊂ [(k − 1)/N − ε, k/N + ε] для всех k = 1, 2, . . . , N ;
3) χε1(t) + χε2(t) + . . .+ χεN (t) = 1 для всех t ∈ [0, 1].
Тогда для оператора Aεg, определенного в (11), получаем
λ++
N (Hω;C) ≤ sup
f∈Hω
∥∥f −Aεgf∥∥ ≤
≤
N∑
k=1
sup
x∈[0,1]
sup
f∈Hω
χεk(x)
∣∣∣∣∣∣∣f(x)−
k/N∫
(k−1)/N
f(t) dg(Nt− k + 1)
∣∣∣∣∣∣∣ . (29)
Покажем, что для всех k = 1, 2, . . . , N, f ∈ Hω и x ∈ [0, 1] имеет место неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
О НАИЛУЧШЕМ ЛИНЕЙНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА 1283
χεk(x)
∣∣∣∣∣∣∣f(x)−
k/N∫
(k−1)/N
f(t) dg(Nt− k + 1)
∣∣∣∣∣∣∣ ≤ χεk(x) (ω(ε) + λ1(H
ωN ;C)) . (30)
Действительно, пусть k ∈ {1, 2, . . . , N} . Рассмотрим отрезки Ik = [(k − 1)/N, k/N ] и Iεk =
= [0, 1]∩ [(k − 1)/N − ε, k/N + ε] . Поскольку suppχεk ⊂ Iεk, достаточно проверить выполнение
неравенства (30) для x ∈ Iεk.
Вначале, для всех x ∈ Ik полагая y = Nx − k + 1 и определяя функцию z(y) = f(x),
получаем ∣∣∣∣∣∣∣f(x)−
k/N∫
(k−1)/N
f(t) dg(Nt− k + 1)
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣z(y)−
1∫
0
z(u) dg(u)
∣∣∣∣∣∣ .
Ясно, что z ∈ HωN , так как f ∈ Hω. Сопоставив данный факт с определением функции g и
теоремой 2, будем иметь∣∣∣∣∣∣∣f(x)−
k/N∫
(k−1)/N
f(t) dg(Nt− k + 1)
∣∣∣∣∣∣∣ ≤ λ1(HωN ;C).
Последнее неравенство и неотрицательность функции χεk влекут выполнение неравенства (30)
для всех x ∈ Ik.
Далее, если x ∈ (k/N, k/N + ε], то∣∣∣∣∣∣∣f(x)−
k/N∫
(k−1)/N
f(t) dg(Nt− k + 1)
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ ω(ε) +
∣∣∣∣∣∣∣f(k/N)−
k/N∫
(k−1)/N
f(t) dg(Nt− k + 1)
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ ω(ε) + λ1(H
ωN ;C).
Используя подобные рассуждения, получаем такую же оценку сверху для x ∈
[
(k − 1)/N − ε,
(k − 1)/N
)
. Следовательно, неравенство (30) доказано.
Наконец, объединяя неравенства (29) и (30), имеем
λ++
N (Hω;C) ≤ (ω(ε) + λ1(H
ωN ;C))
N∑
k=1
χεk = ω(ε) + λ1(H
ωN ;C).
Переходя к пределу при ε→ 0, из последнего неравенства получаем λ++
N (Hω;C) ≤ λ1(HωN ;C).
Теорема 4 доказана.
Доказательство следствия 2. Рассмотрим произвольное двумерное многообразие F про-
странства C и произвольный оператор A ∈ L+(C;F ), для которого величина supf∈Hω ‖f−Af‖
конечна. Очевидно, что F содержит пространство констант и Ae = e, где e(x) = 1 для всех
x ∈ [0, 1]. Поэтому в силу ограниченности оператора A конус
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1284 Д. С. СКОРОХОДОВ
F+ = {Af : f ∈ C и f неотрицательна}
является телесным конусом (см. [3], § 2) в многообразии F. Известно, что каждый конус в
двумерном пространстве является миниэдральным (см., например, [3], § 6.1). Следовательно,
согласно теореме 6.7 в [3], существуют неубывающие функции e1, e2 ∈ C такие, что
F+ = {λ1e1 + λ2e2 : λ1 ≥ 0 и λ2 ≥ 0} .
Таким образом, оператор A представим в виде суммы
Af = ϕ1(f)e1 + ϕ2(f)e2,
где ϕ1, ϕ2 — линейные ограниченные положительные функционалы на C. Это значит, что
A ∈ L++ (C;F ) и, как следствие, λ+2 (Hω;C) = λ++
2 (Hω;C).
Следствие доказано.
Автор выражает благодарность профессору Владиславу Федоровичу Бабенко за интерес к
данной работе и ценные обсуждения.
1. Григорян Ю. И. Поперечники некоторых множеств в функциональных пространствах // Мат. заметки. – 1973. –
13, № 5. – С. 637 – 646.
2. Халмош П. Теория меры. – М.: Изд-во иностр. лит., 1953.
3. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные линейные системы: метод положительных
операторов. – М.: Наука, 1985.
4. Корнейчук Н. П. Точное значение наилучших приближений и поперечников некоторых классов функций //
Докл. АН СССР. – 1963. – 150, № 6. – С. 1218 – 1220.
5. Корнейчук Н. П. Экстремальные значения функционалов и наилучшее приближение на классах периодических
функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1971. – 5, № 1. – С. 93 – 124.
6. Корнейчук Н. П. О методах исследования экстремальных задач теории наилучшего приближения // Успехи
мат наук. – 1974. – 29, № 3. – С. 9 – 42.
7. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976.
8. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. – М.: Наука, 1984.
9. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987.
10. Корнейчук Н. П. О линейных поперечниках классов Hω // Укр. мат журн. – 1996. – 48, № 9. – С. 1255 – 1264.
11. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды: специальные функции. Дополнительные
главы. – М.: Физматлит, 2003.
12. Рубан В. И. Четные поперечники классов W (r)Hω в пространстве C2π // Мат. заметки. – 1974. – 15, № 3. –
С. 387 – 392.
13. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений
// Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 3. – С. 81 – 120.
14. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1976.
Получено 02.09.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
|