Групи періодично визначених лінійних перетворень нескінченновимірного векторного простору
Введены понятия периодически определенных и остаточно периодически определенных линейных преобразований бесконечномерного векторного пространства V над полем K. Изучены группа всех строго остаточно периодически определенных преобразований и ее подгруппы u-периодически определенных преобразований (u...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165873 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Групи періодично визначених лінійних перетворень нескінченновимірного векторного простору / О.О. Безущак, В.І. Сущанський // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1299–1308. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165873 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658732020-02-17T01:27:04Z Групи періодично визначених лінійних перетворень нескінченновимірного векторного простору Безущак, О.О. Сущанський, В.І. Статті Введены понятия периодически определенных и остаточно периодически определенных линейных преобразований бесконечномерного векторного пространства V над полем K. Изучены группа всех строго остаточно периодически определенных преобразований и ее подгруппы u-периодически определенных преобразований (u — супернатуральное число). Построено континуальное семейство простых групп, которые являются бесконечномерными аналогами PSLn(K). The notions of periodically defined and residual periodically defined linear transformations of an infinitedimensional vector space V over the field K are introduced. A group of all strictly residual periodically defined transformations and its subgroups of u-periodically defined transformations (where u is a supernatural number) are investigated. A continual family of simple groups obtained as infinite-dimensional analogs of PSL n (K) is constructed. 2015 Article Групи періодично визначених лінійних перетворень нескінченновимірного векторного простору / О.О. Безущак, В.І. Сущанський // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1299–1308. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165873 512.54 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Безущак, О.О. Сущанський, В.І. Групи періодично визначених лінійних перетворень нескінченновимірного векторного простору Український математичний журнал |
| description |
Введены понятия периодически определенных и остаточно периодически определенных линейных преобразований бесконечномерного векторного пространства V над полем K. Изучены группа всех строго остаточно периодически определенных преобразований и ее подгруппы u-периодически определенных преобразований (u — супернатуральное число). Построено континуальное семейство простых групп, которые являются бесконечномерными аналогами PSLn(K). |
| format |
Article |
| author |
Безущак, О.О. Сущанський, В.І. |
| author_facet |
Безущак, О.О. Сущанський, В.І. |
| author_sort |
Безущак, О.О. |
| title |
Групи періодично визначених лінійних перетворень нескінченновимірного векторного простору |
| title_short |
Групи періодично визначених лінійних перетворень нескінченновимірного векторного простору |
| title_full |
Групи періодично визначених лінійних перетворень нескінченновимірного векторного простору |
| title_fullStr |
Групи періодично визначених лінійних перетворень нескінченновимірного векторного простору |
| title_full_unstemmed |
Групи періодично визначених лінійних перетворень нескінченновимірного векторного простору |
| title_sort |
групи періодично визначених лінійних перетворень нескінченновимірного векторного простору |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165873 |
| citation_txt |
Групи періодично визначених лінійних перетворень нескінченновимірного векторного простору / О.О. Безущак, В.І. Сущанський // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1299–1308. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bezuŝakoo grupiperíodičnoviznačenihlíníjnihperetvorenʹneskínčennovimírnogovektornogoprostoru AT suŝansʹkijví grupiperíodičnoviznačenihlíníjnihperetvorenʹneskínčennovimírnogovektornogoprostoru |
| first_indexed |
2025-07-14T20:12:09Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:12:09Z |
| _version_ |
1837654534551240704 |
| fulltext |
УДК 512.54
О. О. Безущак (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
В. I. Сущанський (Сiлез. техн. ун-т, Глiвiце, Польща)
ГРУПИ ПЕРIОДИЧНО ВИЗНАЧЕНИХ ЛIНIЙНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ
НЕСКIНЧЕННОВИМIРНОГО ВЕКТОРНОГО ПРОСТОРУ
The notions of periodically defined and residual periodically defined linear transformations of an infinite-dimensional
vector space V over the field K are introduced. A group of all strictly residual periodically defined transformations and its
subgroups of u-periodically defined transformations (where u is a supernatural number) are investigated. An uncountable
family of simple groups obtained as infinite-dimensional analogs of PSLn(K) are constructed.
Введены понятия периодически определенных и остаточно периодически определенных линейных преобразований
бесконечномерного векторного пространства V над полем K. Изучены группа всех строго остаточно периодически
определенных преобразований и ее подгруппы u-периодически определенных преобразований (u — супернатураль-
ное число). Построено континуальное семейство простых групп, которые являются бесконечномерными аналогами
PSLn(K).
Вступ. Серед груп лiнiйних перетворень нескiнченновимiрних векторних просторiв над по-
лями найбiльш вивченою є група FGL(V ) фiнiтарних перетворень, тобто таких, що дiють
тотожно на деякому пiдпросторi скiнченної ковимiрностi [1 – 6]. Якщо основне поле є скiн-
ченним, ця група є локально скiнченною i вiдiграє важливу роль у загальнiй теорiї локально
скiнченних груп [7 – 9]. Поняття фiнiтарностi перетворення не залежить вiд вибору бази у
просторi V , тобто визначається самим простором. Визначення багатьох iнших груп лiнiйних
перетворень потребує фiксацiї бази. Такою є, зокрема, група стабiльностi бази B у просторi V,
яка визначається рiвнiстю
GLstab(V,B) = {g ∈ GL(V ) | gv = v для майже всiх елементiв v бази B}.
Група стабiльностi кожної бази є фiнiтарною групою, причому FGL(V ) породжується група-
ми стабiльностi найможливiших баз у просторi V. Якщо V — злiченний нескiнченновимiрний
простiр над злiченним полем K, то GLstab(V,B) — злiченна група, тодi як FGL(V ) — кон-
тинуальна група. Тому рiвнiсть GLstab(V,B) = FGL(V ) не може досягатися для жодної бази
B простору V. Зазначимо також, що групи стабiльностi, якi вiдповiдають рiзним базам, спря-
женi у групi GL(V ) всiх невироджених лiнiйних перетворень простору V та iзоморфнi групi
GLstab(K) невироджених фiнiтарних матриць над полем K. Для довiльної бази B = (ei)i∈N
злiченновимiрного простору V групу стабiльностi GLstab(V,B) можна зобразити у виглядi
iндуктивної границi
lim−→i (GL(Vi), ϕi)i∈N ,
де Vi = 〈e1, e2, . . . , ei〉, ϕi — природне занурення GL(Vi) у GL(Vi+1), яке вiдповiдає тотожному
зануренню Vi у Vi+1.
c© О. О. БЕЗУЩАК, В. I. СУЩАНСЬКИЙ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10 1299
1300 О. О. БЕЗУЩАК, В. I. СУЩАНСЬКИЙ
Група GL(V ) мiстить i iншi пiдгрупи, пов’язанi з вибором бази, якi природним чином
характеризуються в термiнах iндуктивних границь скiнченновимiрних лiнiйних груп, але досi
вони або зовсiм не вивчалися, або ж вивченi мало.
У данiй статтi ми розглядаємо континуальну сiм’ю таких пiдгруп, якi можна задати за допо-
могою поняття „перiодично визначених” перетворень простору V . Перiодичнiсть тут означає,
що простiр V розбивається на пряму суму пiдпросторiв фiксованої вимiрностi, на кожному
з яких перетворення дiє, з точнiстю до позначення бази пiдпростору, однаково. Перiодично
визначенi лiнiйнi перетворення можна задавати нескiнченновимiрними матрицями, якi мають
блоково-дiагональний вигляд, причому блоки по дiагоналi перiодично повторюються. Тому гру-
пи таких перетворень можна характеризувати також як iндуктивнi границi скiнченновимiрних
лiнiйних груп з дiагональними зануреннями, тобто зануреннями вигляду a→ a⊕a⊕ . . .⊕a, де
⊕ — знак кронекерiвської прямої суми матриць. Рiзним послiдовностям дiагональних занурень
можуть вiдповiдати однаковi граничнi групи вiдповiдних прямих спектрiв, а класифiкацiя гра-
ничних груп з точнiстю до iзоморфiзму здiйснюється за допомогою супернатуральних чисел,
якi природно пов’язуються з прямими спектрами.
У роботi описується конструкцiя дiагональних прямих спектрiв, вивчаються основнi вла-
стивостi граничних груп i доводиться класифiкацiйна теорема. Отриманi результати свiдчать
про певний „паралелiзм” теорiї груп перiодично визначених перетворень з теорiєю фiнiтно
апроксимовних C∗-алгебр [10, 11], класифiкацiєю дiагональних границь класичних алгебр Лi
[12, 13] або симетричних чи знакозмiнних груп [14, 15].
1. Подiльнi послiдовностi та супернатуральнi числа. Послiдовнiсть χ = (ni)i∈N на-
туральних чисел називається подiльною, якщо ni |ni+1 для довiльного i ∈ N. Нехай DS —
множина всiх подiльних послiдовностей. Будемо говорити, що послiдовнiсть χ = (ni)i∈N є
дiльником послiдовностi ψ = (mi)i∈N , якщо для довiльного i ∈ N iснує такий iндекс j ∈ N,
що ni |mj .
Послiдовностi χ та ψ назвемо рiвноподiльними, якщо кожна з них є дiльником iншої.
Той факт, що χ є дiльником ψ, позначатимемо символом χ |ψ, а рiвноподiльнiсть χ та ψ —
символом χ∼ψ. Зрозумiло, що вiдношення рiвноподiльностi є еквiвалентнiстю на DS, тобто
DS розбивається на класи рiвноподiльних послiдовностей.
Супернатуральним числом (або числом Стейнiца) називається формальний добуток вигляду∏
p∈P
pαp , αp ∈ N ∪ {0,∞},
де P — множина простих чисел. Множину всiх супернатуральних чисел позначатимемо як SN.
З означення випливає, що кожне натуральне число є супернатуральним, тобто N ⊂ SN. Числа
з SN\N називатимемо нескiнченними супернатуральними числами. Вiдношення подiльнос-
тi | на N природним чином поширюється на SN. А саме, для супернатуральних чисел u =
=
∏
p p
αp та v =
∏
p p
βp покладемо u | v тодi й лише тодi, коли для всiх p ∈ P виконується
нерiвнiсть αp ≤ βp (при цьому вважається, що ∞ є бiльшим за всi натуральнi числа i нуль).
Частково впорядкована множина (SN, | ) є ґраткою, причому ця ґратка буде повною, тобто
для довiльних двох елементiв iз SN iснують точна верхня i точна нижня гранi. Для наведених
вище супернатуральних чисел u, v точною верхньою гранню i точною нижньою гранню будуть,
вiдповiдно, числа
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
ГРУПИ ПЕРIОДИЧНО ВИЗНАЧЕНИХ ЛIНIЙНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ . . . 1301
u ∨ v =
∏
p∈P
pmax(αp,βp), u ∧ v =
∏
p∈P
pmin(αp,βp).
У ґратцi супернатуральних чисел iснують найбiльший елемент — супернатуральне число I =
=
∏
p p
∞ i найменший елемент — число 1. Кожна подiльна послiдовнiсть χ = (ni)i∈N однознач-
но визначає певне супернатуральне число u так, що:
а) всi члени послiдовностi χ є дiльниками числа u;
б) число u є найменшим у сенсi часткового порядку | на SN супернатуральним числом, яке
дiлиться на всi члени послiдовностi χ.
Називатимемо число u характеристикою послiдовностi χ i позначатимемо charχ.
Лема 1. Для довiльних послiдовностей χ, ψ ∈ DS спiввiдношення χ |ψ виконується тодi
й лише тодi, коли charχ | charψ. Зокрема, послiдовностi χ i ψ будуть рiвноподiльними тодi й
лише тодi, коли виконується рiвнiсть charχ = charψ.
Доведення — очевидна перевiрка.
2. Перiодично визначенi лiнiйнi перетворення. Нехай V — злiченновимiрний лiнiйний
простiр над основним полемK, B = (ei)i∈N — фiксована база простору V. Кожна послiдовнiсть
n1, n2, . . . натуральних чисел визначає розбиття бази на фрагменти
e1, e2, . . . , en1 | en1+1, . . . , en1+n2 | en1+n2+1, . . . , (1)
якi мiстять n1, n2, . . . векторiв вiдповiдно. Символом V (l) позначимо пiдпростiр просто-
ру V , натягнутий на вектори l-го фрагменту розбиття (1), тобто V (l) = 〈en1+...+nl−1+1, . . .
. . . , en1+...+nl−1+nl
〉. Прямий розклад
V =
∞⊕
l=1
V (l) (2)
назвемо розкладом, що визначається послiдовнiстю n1, n2, . . . .
Лiнiйне перетворення f : V → V назвемо узгодженим з розкладом (2), якщо для довiльного
l ∈ N має мiсце включення f(V (l)) ⊆ V (l). Рiвностi для всiх l ∈ N досягаються в тому i
лише в тому випадку, коли f — невироджене перетворення. Кожне узгоджене з розкладом (2)
лiнiйне перетворення f може бути задане в базi B своєю матрицею Af , яка є нескiнченнови-
мiрною блоково-дiагональною матрицею. Для фiксованої послiдовностi n1, n2, . . . група всiх
невироджених лiнiйних перетворень простору V , якi узгодженi з розкладом (2) (чи, що те са-
ме, з розбиттям (1)), iзоморфна (необмеженому) декартовому добутку повних матричних груп
GLnl
(K), l = 1, 2, . . . , вимiрностей n1, n2, . . . над полем K. Усi такi матричнi групи мiстяться
в групi GLrc(K) всiх нескiнченновимiрних матриць, у кожному рядку i стовпчику яких лише
скiнченна кiлькiсть елементiв, що вiдмiннi вiд нуля [16, 17]. Вiдповiдну їй (при фiксованiй базi)
групу оборотних лiнiйних перетворень простору V позначатимемо символом GLrc(V ). Групи
перiодично визначених перетворень простору V визначаються як пiдгрупи групи GLrc(V ).
Означення 1. Лiнiйне перетворення f : V → V називається перiодично визначеним щодо
бази B, якщо знайдеться таке число n ∈ N, що перетворення f узгоджене з розбиттям бази
B вигляду
e1, . . . , en | en+1, . . . , e2n | e2n+1, . . . , e3n |, . . . , (3)
причому матриця обмеження f на пiдпростiр V (l) = 〈e(l−1)n+1, . . . , eln〉 не залежить вiд
вибору числа l.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1302 О. О. БЕЗУЩАК, В. I. СУЩАНСЬКИЙ
Кожне число n, для якого iснує розбиття (3) зi вказаною властивiстю, називається перi-
одом визначеностi лiнiйного перетворення f.
Нехай a — матриця обмеження перiодично визначеного лiнiйного перетворення f на пiд-
простiр V (l) у базi e(l−1)n+1, . . . , eln. Тодi матриця af перетворення f у базi B має вигляд
af = a⊕ a⊕ a⊕ . . . = a⊕ω, (4)
де ⊕ — як i ранiше, знак кронекерiвської прямої суми матриць.
При фiксованому n група всiх перiодично визначених щодо бази B невироджених лiнiйних
перетворень простору V , якi мають перiод n, iзоморфна групi GLn(V ).
Означення 2. Перетворення f простору V назвемо залишково перiодично визначеним що-
до бази B, якщо воно є перiодично визначеним при деякому n0 ∈ N на пiдпросторi, натягнуто-
му на вектори en0+1, en0+2, . . . , причому пiдпростiр, натягнутий на вектори e1, e2, . . . . . . , en0 ,
є f -iнварiантним. Число n0 називатимемо передперiодом визначеностi перетворення f.
Кожне залишково перiодично визначене перетворення f : V → V з передперiодом n0 i
перiодом визначеностi n у базi B задається матрицею вигляду
af = b⊕ a⊕ a⊕ . . . = b⊕ a⊕ω, (5)
де b — деяка (n0×n0)-матриця над K. Зауважимо, що розклади (4) i (5) неоднозначнi, оскiльки
перiод i передперiод перiодично визначеного та залишково перiодично визначеного перетво-
рення визначаються неоднозначно. Розклади (4), (5) стають однозначними, якщо домовитися
передперiод n0 i перiод n вибирати узгоджено мiнiмально можливими (тодi будемо говорити
про мiнiмальний передперiод та мiнiмальний перiод).
Далi вважатимемо, що база B є фiксованою, а перетворення, перiодично визначенi щодо
бази B, називатимемо перiодично визначеними чи, вiдповiдно, залишково перiодично визначе-
ними перетвореннями простору V.
Зауважимо, що добуток залишково перiодично визначених перетворень може й не бути
залишково перiодично визначеним. Справдi, добуток пiдстановок α, β iз симетричної групи
S(N) натурального ряду, якi визначенi такими розкладами на цикли: α = (1, 2)(3, 4)(5, 6) . . . ,
β = (1)(2, 3)(4, 5)(6, 7) . . . , є нескiнченним циклом αβ = (1, 2, 3, 4, . . .).Це означає, що добуток
матриць a = t⊕ω i b = (1)⊕ t⊕ω, де t =
(
0 1
1 0
)
, є матрицею вигляду
1 1 0 0 . . .
0 1 1 0 . . .
0 0 1 1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
,
яка не є залишково перiодичною. Тому всi залишково перiодично визначенi невиродженi пе-
ретворення простору V не утворюють пiдгрупу в GL(V ). Пiдгрупу отримаємо, накладаючи
додаткове природне обмеження на такi перетворення.
Означення 3. Залишково перiодично визначене перетворення u ∈ GL(V ) називається
строго залишково перiодично визначеним, якщо його передперiод є кратним мiнiмальному
перiоду визначеностi.
СимволомGLp(V ) позначимо множину всiх перiодично визначених невироджених лiнiйних
перетворень простору V, а символом GLsp(V ) — множину всiх строго залишково перiодично
визначених невироджених лiнiйних перетворень V.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
ГРУПИ ПЕРIОДИЧНО ВИЗНАЧЕНИХ ЛIНIЙНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ . . . 1303
Лема 2. GLp(V ) i GLsp(V ) є пiдгрупами групи GLrc(V ).
Доведення. Включення GLp(V ) ⊂ GLrc(V ), GLsp(V ) ⊂ GLrc(V ) є очевидними. Для до-
вiльних залишково перiодично визначених перетворень f, g таких, що
af = b1 ⊕ a⊕ω1 , ag = b2 ⊕ a⊕ω2 , (6)
причому b1, b2 i, вiдповiдно, a1, a2 — матрицi однакових розмiрiв, маємо
afg = (b1 · b2)⊕ (a1 · a2)⊕ω, (af )−1 = b−11 ⊕ (a−11 )⊕ω. (7)
У загальному випадку розклади (6) для матриць af i ag виберемо таким чином. Нехай початково
b1, b2 — матрицi розмiрiв m1, m2, а a1, a2 — матрицi розмiрiв n1, n2 вiдповiдно. Оскiльки
f, g ∈ GLsp(V ), то n1 |m1, n2 |m2, звiдки n1n2 |m1m2. Побудуємо новий розклад вигляду (6),
в якому матрицi b1, b2 мають однаковий розмiр m1m2, а матрицi a1, a2 — розмiр n1n2. Оскiльки
виконується умова n1n2 |m1m2, то f · g ∈ GLsp(V ), тобто GLsp(V ) замкнена щодо множення
перетворень. З другої з рiвностей (7) випливає її замкненiсть щодо взяття оберненого. Тому
GLsp(V ) є пiдгрупою в GLrc(V ). Для GLp(V ) мiркування аналогiчнi.
Лему 2 доведено.
Зауваження 1. Групи GLp(V ) i GLsp(V ) мiстяться в деякiй власнiй пiдгрупi GLrc(V ) —
групi обмежених (щодо бази B) перетворень простору V [18]. До неї належать тi i тiльки тi
перетворення, якi разом з оберненими мають у базi B матрицi вигляду ||aij ||i,j∈N , aij = 0 при
|i− j| ≥ k, k ∈ N.
Якщо f мiститься в пiдгрупi GLstab(V ) (= GLstab(V,B)) стабiльних щодо бази B лiнiйних
перетворень простору V, то матриця af перетворення f у базi B має розклад (5) вигляду
af = c⊕ (1)⊕ω = c⊕ e, (8)
де c — деяка матриця над K, e — нескiнченновимiрна одинична матриця. Зрозумiло, що
GLstab(V ) < GLsp(V ).
Теорема 1. Для довiльного поля K i злiченновимiрного простору V над K група GLsp(V )
розкладається в напiвпрямий добуток своїх пiдгруп GLp(V ) i GLstab(V ) :
GLsp(V ) = GLp(V ) >�GLstab(V ).
Доведення. Для того щоб переконатися, що група GLsp(V ) розкладається в напiвпрямий
добуток своїх пiдгрупGLp(V ) iGLstab(V ), досить пересвiдчитися, що виконуються такi умови:
(i) GLp(V ) ∩GLstab(V ) = {e};
(ii) GLstab(V ) �GLsp(V );
(iii) довiльний елемент f ∈ GLsp(V ) розкладається в добуток елементiв цих пiдгруп.
Рiвнiсть (i) випливає з того, що в базi B матрицi перетворень iз GLp(V ) мають розклади
вигляду (4), а матрицi перетворень iз GLstab(V ) — розклади вигляду (8). Якщо перетворення
f має матрицю вигляду (5), а перетворення g — матрицю вигляду (8), то можна вважати, що
b i c — матрицi однакової вимiрностi. Тому f -трансформа gf = f−1 · g · f перетворення g має
матрицю вигляду (b−1 · c · b)⊕ (a−1 ·a)⊕ω = (b−1 · c · b)⊕ e, тобто gf ∈ GLstab(V ). Оскiльки f i
g вибрано довiльним чином, то це означає, що має мiсце спiввiдношення (ii). Нарештi, нехай f
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1304 О. О. БЕЗУЩАК, В. I. СУЩАНСЬКИЙ
— довiльний елемент з GLsp(V ), причому в базi B його матриця af має вигляд (5) для деяких
матриць a, b. Розглянемо перетворення g ∈ GLp(V ), яке задане в базi B матрицею ag = a⊕ω
для вибраної матрицi a. Оскiльки f ∈ GLsp(V ), то порядок a є дiльником порядку b, тобто
при деякому k матрицi b i b
′
= a⊕ . . .⊕ a︸ ︷︷ ︸
k разiв
мають однаковi порядки. Тодi матрицю ag можна
записати у виглядi ag = b
′⊕a⊕ω = (b
′⊕e) ·d, де d = e
′⊕a⊕ω, e′ — одинична матриця такого ж
порядку, як i матрицi b та b
′
. Звiдси дiстаємо af = (b⊕ e) · d = (b⊕ e) · (b′−1⊕ e) · ag. Оскiльки
(b⊕ e) · (b′−1 ⊕ e) ∈ GLstab(V ), ag ∈ GLp(V ), то отримуємо потрiбний розклад.
Теорему 1 доведено.
Зауважимо, що оскiльки лiнiйнi перетворення iз групи GLrc(V ) при фiксованiй базi за-
даються матрицями, то пiдгрупи цiєї групи мають (нескiнченновимiрнi) матричнi аналоги.
Матричний аналог пiдгрупи G(V ) позначатимемо символом G(K).
3. Групи перiодично визначених лiнiйних перетворень, що визначаються супернату-
ральними числами. Для лiнiйного перетворення f ∈ GLp(V ) символом mp(f) позначимо
мiнiмальну розмiрнiсть блокiв у розкладi (4) матрицi af на нескiнченну кронекерiвську суму
блоку a на себе, або, iнакше кажучи, мiнiмальний перiод визначеностi перетворення f .
Лема 3. Для довiльного супернатурального числа u ∈ SN множина перiодично визначених
невироджених лiнiйних перетворень f iз GLp(V ) таких, що mp(f) |u, утворює пiдгрупу групи
GLp(V ).
Доведення. Оскiльки mp(f) = mp(f−1), то ця множина замкнена вiдносно взяття обернених
перетворень. Нехай для перетворень f, g ∈ GLp(V ) маємо mp(f) = k, mp(g) = l. Тодi з
k |u, l |u випливає, що НСК(k, l) |u. Розглядатимемо матрицi af i ag як блоково-дiагональнi,
дiагональнi блоки a1 i a2 яких мають вимiрнiсть НСК(k, l) : af = a⊕ω1 , ag = a⊕ω2 . Тодi
afg = af ·ag = (a1 ·a2)⊕ω, тобто вимiрнiсть дiагональних блокiв afg є дiльником u. Отже, дана
множина замкнена вiдносно множення перетворень, а тому є пiдгрупою групи GLp(V ).
Лему 3 доведено.
Позначимо пiдгрупу з леми 3 символом GLpu(V ). Перетворення iз GLpu(V ) називатимемо
u-перiодично визначеними. Якщо число u є натуральним, то GLpu(V ) ' GLu(K).
Лема 4. Нехай χ = (ni)i∈N — подiльна послiдовнiсть натуральних чисел, u = charχ. Тодi
має мiсце рiвнiсть
GLpu(V ) =
∞⋃
i=1
GLpni
(V ). (9)
Доведення. Нескiнченновимiрна матрична група GLpn(V ) складається з блоково-дiагональ-
них матриць вигляду a⊕ω, a ∈ GLn(K) для деякого n ∈ N. Тому для довiльних натуральних
чисел n1, n2 включення GLpn1(V ) ⊆ GLpn2(V ) має мiсце тодi й лише тодi, коли n1 |n2. Звiдси,
переходячи до лiнiйних перетворень, дiстаємо, що група GLpu(V ) є об’єднанням своїх пiдгруп
GLpn(V ), n |u. Оскiльки charχ = u, то n |u тодi й лише тодi, коли n |ni для деякого i ∈ N. В
такому випадку GLpn(V ) ⊆ GLpni(V ). Звiдси отримуємо включення GLpu(V ) ⊆
⋃∞
i=1GL
p
ni(V ).
Крiм того, ni |u, тому обернене включення також є правильним.
Лему 4 доведено.
Теорема 2. Вiдображення ψ : u → GLpu(V ) є iзоморфним зануренням ґратки супернату-
ральних чисел вiдносно порядку | у ґратку пiдгруп групи GLrc(V ) за включенням.
Доведення. Якщо u, v ∈ SN — такi числа, що u | v, то будь-який натуральний дiльник u є
одночасно дiльником v. Отже, для довiльного n ∈ N, n |u, маємо GLpn(V ) ⊂ GLpu(V ). Звiдси
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
ГРУПИ ПЕРIОДИЧНО ВИЗНАЧЕНИХ ЛIНIЙНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ . . . 1305⋃
n |u
GLpn(V ) ⊆ GLpv(V ),
тобто GLpu(V ) ⊆ GLpv(V ). Отже, вiдображення ψ узгоджене з вiдношенням порядку | на SN i
⊆ на множинi пiдгруп групи GLrc(V ).
Залишилося перевiрити, що ψ є iн’єктивним вiдображенням, тобто для довiльних супер-
натуральних чисел u, v з того, що u 6= v, випливає GLpu(V ) 6= GLpv(V ). Припустимо, для
визначеностi, що u | v. Тодi iснують такi просте число p i натуральне число k, що pk | v, але
pk - u. Тому в другому з розкладiв
GLpu(V ) =
⋃
n |u
GLpn(V ), GLpv(V ) =
⋃
m | v
GLpm(V )
є доданки, яких немає в першому, але кожен доданок першого розкладу мiститься в другому.
Звiдси дiстаємо GLpu(V ) 6= GLpv(V ).
Теорему 2 доведено.
Наслiдок 1. Сiм’я пiдгруп GLpu(V ), u ∈ SN, групи GLrc(V ) щодо включення утворює пiд-
ґратку в ґратцi всiх пiдгруп групи GLrc(V ). Ця пiдґратка iзоморфна ґратцi супернатуральних
чисел, тобто є повною.
Зауваження 2. Пiдгрупи GLpu(V ), якi iндексуються нескiнченними супернатуральними
числами, утворюють верхню напiвґратку. Мiнiмальними елементами цiєї напiвґратки будуть
пiдгрупи вигляду GLpp∞(V ), де p — деяке просте число.
4. Групи GLp
u(K) як iндуктивнi границi. Для довiльного супернатурального числа u
група u-перiодично визначених невироджених лiнiйних перетворень простору V та її матрич-
ний аналог природним чином можуть бути сконструйованi за допомогою iндуктивних границь.
Опишемо цю конструкцiю для матричних груп. Нехай k, n — натуральнi числа.
Означення 4. Дiагональним зануренням кратностi k групи GLn(K) назвемо її занурення
dk у групу GLkn(K), визначене рiвнiстю
dk(a) = a⊕ . . .⊕ a︸ ︷︷ ︸
k
, a ∈ GLn(K). (10)
Безпосередньо перевiряється, що dk є мономорфiзмом GLn(K) в GLkn(K).
Нехай тепер χ = (ni)i∈N — подiльна послiдовнiсть натуральних чисел, s1 = n2/n1, s2 =
= n3/n2, . . . — послiдовнiсть факторiв для χ. Для довiльного i ∈ N визначимо занурення dsi
вигляду (10) групи GLni(K) в групу GLni+1(K). Таким чином, дiстаємо прямий спектр груп
D(χ) = 〈GLni(K), dsi〉i∈N . (11)
Означення 5. Граничну групу прямого спектра (11) назвемо граничною дiагональною лi-
нiйною групою iндексу χ.
Теорема 3. Гранична дiагональна лiнiйна група iндексу χ iзоморфна групi перiодично ви-
значених лiнiйних перетворень GLpu(K), яка задається супернатуральним числом u = charχ.
Доведення. Послiдовнiсть занурень ds1 , ds2 , . . . вигляду (10) однозначно визначає занурення
d : GLni(K)→ GLrc(K), причому має мiсце включення
d(GLni(K)) ⊂ GLpni+1
(K), i ∈ N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1306 О. О. БЕЗУЩАК, В. I. СУЩАНСЬКИЙ
При фiксованiй базi B простору V група d(GLni(K)) iзоморфна GLpni(K). Кожна нитка λ =
= a1a2 . . . граничної групи
G = lim−→i (GLni(K), dsi)i∈N
однозначно задає нескiнченну матрицю d(λ), тобто маємо вiдображення граничної групи G
в групу
⋃∞
i=1GL
p
ni(K). Очевидно, це вiдображення є бiєкцiєю, а узгодженiсть з груповими
операцiями в цих групах перевiряється безпосередньо. Отже, це вiдображення є iзоморфiзмом,
звiдки й дiстаємо потрiбне.
Теорему 3 доведено.
5. Нормальнi дiльники групи GLp
u(K), u ∈ SN\N . Для довiльних натуральних чисел
n, s iзоморфне занурення ds : GLn(K) → GLns(K) обмежується до занурення SLn(K) →
→ SLns(K), яке позначатимемо тим же символом. Тому для довiльної подiльної послiдовностi
χ = (ni)i∈N з послiдовнiстю факторiв (si)i∈N можна розглядати прямий спектр груп
S(χ) = 〈SLni(K), dsi〉i∈N . (12)
Означення 6. Граничну групу прямого спектра (12) називатимемо граничною спецiальною
дiагональною лiнiйною групою iндексу χ.
Зрозумiло, що групу lim−→i (SLni(K), dsi)i∈N можна розглядати як пiдгрупу граничної групи
прямого спектра D(χ), а отже, як пiдгрупу групи GLpu(K), де u = charχ. Вона складається
з блоково-дiагональних матриць a⊕ω, для яких det a = 1. Позначатимемо цю групу символом
SLpu(K).
Лема 5. Пiдгрупа SLpu(K) збiгається з комутантом групи GLpu(K).
Доведення. Для довiльного набору групових слiв V (елементiв вiльної групи злiченного
рангу) оператори взяття вербальної V-пiдгрупи i переходу до iндуктивної границi комутують,
тобто якщо G = lim−→iGi, то V(G) = lim−→i V(Gi). Застосовуючи цей факт до прямого спектра
D(χ), u = charχ, i набору слiв V = {[x1, x2]}, дiстаємо(
lim−→i 〈GLni(K), dsi〉i∈N
)′
= lim−→i 〈GL
′
ni
(K), dsi〉i∈N =
= lim−→i 〈SLni(K), dsi〉i∈N = SLpu(K).
Лему 5 доведено.
Нехай K∗ω — група нескiнченних послiдовностей над мультиплiкативною групою K∗ поля
K вiдносно дiї множення. Послiдовнiсть χ = (ki)i∈N назвемо u-видiленою, де u ∈ SN, якщо
iснує натуральне число n, n |u, таке, що послiдовнiсть χ має вигляд χ = (1, . . . , 1, a, 1, . . .
. . . , 1, a, . . .), де елемент a ∈ K∗, a 6= 1, зустрiчається на мiсцях з номерами ln, l ∈ N. Пiдгрупу
групи нескiнченновимiрних дiагональних матриць над K, породжену всiма матрицями, на
головнiй дiагоналi яких стоять деякi u-видiленi послiдовностi, позначимо D∗u(K).
Лема 6. Для довiльного супернатурального числа u фактор-група GLpu(K) / SLpu(K) iзо-
морфна групi D∗u(K).
Доведення. Кожну невироджену матрицю a ∈ GLn(K) можна розкласти на добуток двох
матриць
a = a′ · b, a′ ∈ SLn(K), b =
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . d
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
ГРУПИ ПЕРIОДИЧНО ВИЗНАЧЕНИХ ЛIНIЙНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ . . . 1307
де d = det a. Тому кожну нескiнченновимiрну клiтинно-дiагональну матрицю a ∈ GL(K) з
клiтинами вздовж дiагоналi того самого розмiру n можна розкласти на добуток двох клiтинно-
дiагональних матриць з клiтинами вздовж дiагоналi того ж розмiру n, причому клiтини першої
матрицi завжди належать до SLn(K), а другої мають вигляд
1
. . .
1
d
,
де d — визначник вiдповiдної клiтини першої матрицi. Звiдси випливає, що будь-яка матриця
вигляду a⊕ω, a ∈ GLn(K), n |u, є добутком матрицi з SLpu(K) на матрицю з D∗u(K). Вi-
дображення, яке матрицi a ставить у вiдповiднiсть множник iз D∗u(K) у такому розкладi, i буде
потрiбним iзоморфiзмом.
Лему 6 доведено.
Як вiдомо, центр спецiальної лiнiйної групи SLn(K) складається зi скалярних матриць
a ·E, де a — деякий корiнь n-го степеня з 1 у полi K. Для супернатурального числа u символом
Cu позначимо множину нескiнченновимiрних скалярних матриць a · e, для яких a — корiнь
n-го степеня з 1 при деякому n, n |u. Зафiксувавши подiльну послiдовнiсть χ = (ni)i∈N
таку, що charχ = u, запишемо групу GLpu(K) у виглядi об’єднання зростаючого ланцюга
пiдгруп GLn1(K) ⊂ GLn2(K) ⊂ . . . . Тодi Cn1 ⊂ Cn2 ⊂ . . . — зростаючий ланцюг вiдповiдних
нормальних пiдгруп скалярних матриць i Cu =
⋃
iCni є нормальною в GLpu(K).
Лема 7. Нормальна пiдгрупа Cu збiгається з центром групи SLpu(K).
Доведення. Кожна матриця зCu комутує з довiльною матрицею зGLpu(K), а отже, мiститься
в центрi SLpu(K). З iншого боку, центральнi елементи в дiагональному нескiнченновимiрно-
му зануреннi мають, як випливає з викладеного вище, необхiдний вигляд, звiдки й дiстаємо
потрiбне.
Лему 7 доведено.
Теорема 4. Для довiльного супернатурального числа u фактор-група SLpu(K) за центром
Cu є простою групою.
Доведення. При дiагональному зануреннi ds : SLn(K)→ SLns(K) центр SLn(K) вiдобра-
жається в центральну пiдгрупу SLns(K), причому занурення ds iндукує мономорфiзм d̂s :
PSLn(K)→ PSLns(K). Звiдси випливає, що фактор-група SLpu(K)/Cu iзоморфна граничнiй
групi прямого спектра спецiальних проективних лiнiйних груп. Оскiльки кожна з цих груп є
простою, то й гранична група цього прямого спектра є простою.
Теорему 4 доведено.
Зауваження 3. Фактор-групу SLpu(K) за центром Cu природно позначати символом
PSLpu(K) i називати граничною спецiальною проективною дiагональною лiнiйною групою,
яка визначається супернатуральним числом u.
Таким чином, отримуємо континуальну сiм’ю простих груп, якi параметризуються супер-
натуральними числами. Якщо поле K є локально скiнченним, то кожна група цiєї сiм’ї буде
локально скiнченною групою.
Використавши теорему 4, охарактеризуємо ґратку нормальних дiльникiв групи GLpu(K).
Для довiльних ґраток Γ1 i Γ2 символом Γ1 ◦ Γ2 позначимо їх з’єднання в такому ж порядку,
тобто ґратку, елементами якої є елементи Γ1 i Γ2, причому цi двi пiдмножини елементiв не
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1308 О. О. БЕЗУЩАК, В. I. СУЩАНСЬКИЙ
перетинаються i кожен елемент iз Γ1 є бiльшим за будь-який елемент з Γ2. Нехай Γu(K) —
ґратка пiдгруп групи D∗u(K), ∆u(K) — ґратка пiдгруп групи Cu, а Λ(K) — ґратка пiдгруп
мультиплiкативної групи K∗ поля K. Оскiльки група скалярних матриць iз GLpu(K) iзоморфна
K∗, ґратку ∆u(K) можна розглядати як пiдґратку ґратки Λ(K).
Теорема 5. Ґратка нормальних пiдгруп групи GLpu(K) iзоморфна ґратцi вигляду(
Γu(K) ◦ ∆u(K)
)⋃(
Λ(K) \ ∆u(K)
)
.
Доведення. З теореми 4 легко отримуємо, що кожен нормальний дiльник групи GLpu(K)
або мiститься в її центрi, або мiстить її комутант. При цьому тi елементи центра Z(GLpu(K)),
якi мiстяться в SLpu(K), належать пiдгрупi Cu. Кожна пiдгрупа A < D∗u(K) визначає певну
надгрупу комутанта SLpu(K) в GLpu(K) — повний прообраз A при природному гомоморфiзмi
GLpu(K) на GLpu(K) / SLpu(K). А ґратка всiх пiдгруп групи GLpu(K), якi мiстять SLpu(K),
як легко зрозумiти, iзоморфна ґратцi Γu(K). Тому тi нормальнi пiдгрупи групи GLpu(K), якi
або мiстять SLpu(K), або мiстяться в нiй, утворюють ґратку, яка iзоморфна з’єднанню ґраток
Γu(K) ◦ ∆u(K). Усi iншi нормальнi пiдгрупи GLpu(K) мiстяться в центрi Z(GLpu(K)), тобто
належать до множини пiдгруп Λ(K) \∆u(K).
Теорему 5 доведено.
Зауваження 4. За допомогою теорем 4 i 5 аналогiчно можна охарактеризувати ґратку нор-
мальних пiдгруп групи GLspu (K).
1. Phillips R. E. The structure of groups of finitary transformations // J. Algebra. – 1988. – 119. – P. 400 – 448.
2. Phillips R. E. Finitary linear groups: a survey // Finite and Locally Finite Groups. – Kluwer Acad. Publ., 1995. –
P. 111 – 146.
3. Hall J. I. Infinite alternating groups an finitary linear transformation groups // J. Algebra. – 1988. – 119. – P. 337 – 359.
4. Hall J.I. Locally finite simple groups of finitary linear transformations // Finite and Locally Finite Groups. – Kluwer
Acad. Publ., 1995. – P. 147 – 188.
5. Belyaev V. V. Structure of periodic finitary transformation groups // Algebra and Logic. – 1994. — 33. – P. 195 – 204.
6. Belyaev V. V. Semisimple periodic groups of finitary transformations // Algebra and Logic. – 1993. – 32. – P. 17 – 33.
7. Kegel O., Wehrfritr B. Locally finite groups. – Amsterdam: Noth-Holland, 1973. – 210 p.
8. Leinen F., Pugliri O. Cofined subgroups in periodic simple linear groups // Isr. J. Math. – 2002. – 128. – P. 285 – 324.
9. Hall J. I. Periodic simple groups of finitary linear transformations // Ann. Math. – 2006. – 163. – P. 445 – 498.
10. Glimm J. G. On sertain class of operator algebras // Trans. Amer. Math. Soc. – 1960. – 95. – P. 318 – 340.
11. Bratteli O. Inductive limits of finite dimentional algebras // Trans. Amer. Math. Soc. – 1972. – 171. – P. 195 – 234.
12. Baranov A. A. Simple diagonal locally finite Lie algebras // Proc. London Math. Soc. – 1998. – 77. – P. 362 – 386.
13. Baranov A. A., Zhylinskii A. G. Diagonal direct limits of simple Lie algebras // Communs Algebra. – 1999. – 27. –
P. 2749 – 2766.
14. Kroshko N., Sushchansky V. Direct limits of symmetric and alternating groups with strictly diagonal embeddings //
Arch. Math. – 1998. – 71. – P. 173 – 182.
15. Lavreniuk Ya., Nekrashevych V. On classification of inductive limits of direct products of alternating groups // J.
London Math. Soc. – 2007. – 75. – P. 146 – 162.
16. Vermes P. Multiplicative groups of row- and column-finite matrices // Ann. Univ. Sci. Budapest Eotuos. Sec. Math. –
1962. – 5. – P. 15 – 23.
17. Holubowski W. Groups of infinite matrices // Groups St. Andrews 2005. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2007. –
Vol. 2. – P. 491 – 496.
18. Голубовский В. Новая мера роста групп и алгебр // Алгебра и анализ. – 2007. – № 19. – С. 69 – 91.
Одержано 13.11.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
|