Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності
В пространствах Соболева с переменным показателем рассмотрена задача для полулинейного гиперболического вариационного неравенства третьего порядка. Установлены условия существования решения u указанной задачи такого, что u ∈ L∞((0, T); V1,0(Ω)),ut ∈ L∞((0, T); V1,0(Ω)) ∩ Lp(x)(QT),andutt ∈ L∞((0, T)...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166061 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності / О.Т. Холявка // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 4. — С. 518–530. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166061 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660612020-02-20T21:57:24Z Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності Холявка, О.Т. Статті В пространствах Соболева с переменным показателем рассмотрена задача для полулинейного гиперболического вариационного неравенства третьего порядка. Установлены условия существования решения u указанной задачи такого, что u ∈ L∞((0, T); V1,0(Ω)),ut ∈ L∞((0, T); V1,0(Ω)) ∩ Lp(x)(QT),andutt ∈ L∞((0, T); L2(Ω)),гдеV_{1,0}(Ω) ⊂ H^1(Ω)$. In Sobolev spaces with variable exponent, we consider the problem for a semilinear hyperbolic variational inequality of the third order. We establish conditions for the existence of a solution u of this problem such that u ∈ L ∞((0, T); V 1,0(Ω)), u t ∈ L ∞((0, T); V 1,0(Ω)) ∩ L p(x)(Q T ), and u tt ∈ L ∞((0, T); L 2(Ω)), where V 1,0(Ω) ⊂ H 1(Ω). 2014 Article Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності / О.Т. Холявка // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 4. — С. 518–530. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166061 517.95 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Холявка, О.Т. Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності Український математичний журнал |
| description |
В пространствах Соболева с переменным показателем рассмотрена задача для полулинейного гиперболического вариационного неравенства третьего порядка. Установлены условия существования решения u указанной задачи такого, что u ∈ L∞((0, T); V1,0(Ω)),ut ∈ L∞((0, T); V1,0(Ω)) ∩ Lp(x)(QT),andutt ∈ L∞((0, T); L2(Ω)),гдеV_{1,0}(Ω) ⊂ H^1(Ω)$. |
| format |
Article |
| author |
Холявка, О.Т. |
| author_facet |
Холявка, О.Т. |
| author_sort |
Холявка, О.Т. |
| title |
Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності |
| title_short |
Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності |
| title_full |
Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності |
| title_fullStr |
Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності |
| title_full_unstemmed |
Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності |
| title_sort |
гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166061 |
| citation_txt |
Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності / О.Т. Холявка // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 4. — С. 518–530. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT holâvkaot gíperbolíčnavaríacíjnanerívnístʹtretʹogoporâdkuzízmínnimstepenemnelíníjností |
| first_indexed |
2025-07-14T20:41:28Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:41:28Z |
| _version_ |
1837656380927901696 |
| fulltext |
УДК 517.95
О. Т. Холявка (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ
ЗI ЗМIННИМ СТЕПЕНЕМ НЕЛIНIЙНОСТI
In Sobolev spaces with variable exponent, we consider the problem for a semilinear hyperbolic variational inequality
of the third order. We establish some conditions for the existence of the solution u of this problem such that u ∈
∈ L∞(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ut ∈ L∞(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ), utt ∈ L∞(
(0, T );L2(Ω)
)
, where V1,0(Ω) ⊂ H1(Ω).
В пространствах Соболева с переменным показателем рассмотрена задача для полулинейного гиперболического
вариационного неравенства третьего порядка. Установлены условия существования решения u указанной задачи
такого, что u ∈ L∞(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ut ∈ L∞(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩Lp(x)(QT ), utt ∈ L∞(
(0, T );L2(Ω)
)
, где V1,0(Ω) ⊂
⊂ H1(Ω).
Вступ. С. М. Глазатов [1] розглянув рiвняння третього порядку, яке у модельному випадку має
вигляд
utt − α∆u− β∆ut + γ|ut|p(x)−2ut = f(x, t), (1)
де α > 0, β > 0, γ = 0. Це рiвняння прийнято називати гiперболiчним рiвнянням зi збуренням
або гiперболiчним рiвнянням третього порядку (див. [1], а також наведену там бiблiографiю).
Рiвняння такого типу виникають при описi процесiв, якi вiдбуваються у в’язких середови-
щах, зокрема моделюють крутильнi коливання металевого кругового цилiндра з внутрiшнiм
тертям, поширення збурень у в’язко-пружному матерiалi, розповсюдження звуку у в’язкому газi
в трубi, а також деякi iншi процеси. Задачi для таких рiвнянь та деяких їх узагальнень активно
вивчаються останнiм часом. У випадку γ 6= 0 рiвняння (1) має змiнний показник нелiнiйностi
— функцiю p(x). Задачi для рiвнянь зi змiнними показниками нелiнiйностi моделюють багато
явищ, зокрема фiзичнi процеси, що лежать в основi функцiонування термiстора (див. [2]).
Мiшанi задачi з крайовими умовами Дiрiхле для таких рiвнянь вивчалися, зокрема, у працях
[2, 3].
Якщо крайовi умови для рiвняння (1) мають загальнiший вигляд, наприклад є односторон-
нiми умовами (див. [4, 5]), то узагальнений розв’язок вiдповiдної мiшаної задачi задовольняє
не рiвняння, а деяку варiацiйну нерiвнiсть. Варiацiйнi нерiвностi параболiчного типу зi змiнни-
ми показниками нелiнiйностi дослiджено у працях [6 – 11]. Гiперболiчнi варiацiйнi нерiвностi
другого порядку зi сталими показниками нелiнiйностi у необмежених областях вивчено у [12],
а зi змiнними показниками в обмежених областях — у роботi [13]. У працях [1, 14] доведено
теореми iснування та єдиностi розв’язкiв нелiнiйних варiацiйних нерiвностей третього порядку
зi сталими показниками нелiнiйностi в обмежених областях.
У цiй працi продовжується дослiдження задачi, розглянутої автором i С. П. Лавренюком у
[15]. У роботi [15] знайдено умови єдиностi розв’язку гiперболiчної варiацiйної нерiвностi тре-
тього порядку зi змiнним показником нелiнiйностi в необмежених за просторовими змiнними
областях. У цiй статтi вивчається питання про iснування розв’язку вiдповiдної варiацiйної
нерiвностi в обмежених областях. Як вiдомо автору, питання про iснування розв’язку таких
задач ранiше не розглядалося.
c© О. Т. ХОЛЯВКА, 2014
518 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ . . . 519
Формулювання задачi. Нехай Ω ⊂ Rn — обмежена область з гладкою межею ∂Ω = Γ1tΓ2,
mes Γ1 > 0,mes Γ2 > 0;Qτ = Ω×(0, τ), Ωτ = QT∩{t = τ}, Qt1,t2 = Ω×(t1, t2), τ, t1, t2 ∈ [0, T ];
p ∈ L∞(Ω), 1 < p0 ≤ p(x) ≤ p0 < +∞, де p0 = ess infx∈Ω p(x), p0 = ess supx∈Ω p(x).
Введемо функцiонал ρp(v,Ω) =
∫
Ω
|v(x)|p(x) dx, де v = v(x) — деяка функцiя. Нагадаємо,
що простором Лебега зi змiнним показником називають множину функцiй
Lp(x)(Ω) =
{
v : Ω→ R1
∣∣ v — вимiрна, ρp(v,Ω) < +∞
}
.
Цi простори були введенi у 1931 р. B. Орлiчем [16] i вивчалися, зокрема, у роботах [7, 16 – 19].
У працi [18] доведено, що Lp(x)(Ω) є сепарабельним, рефлексивним та банаховим простором,
якщо на ньому ввести норму за правилом
||v;Lp(x)(Ω)|| = inf
λ > 0:
∫
Ω
|v/λ|p(x) dx ≤ 1
.
Введемо також простори: H1
0,Γ1
(Ω) =
{
z ∈ H1(Ω): z|Γ1 = 0
}
, V1(Ω) — гiльбертiв простiр
такий, що H1
0,Γ1
(Ω) ⊂ V1(Ω) ⊂ H1(Ω), V1,0(Ω) = {z ∈ V1(Ω): z|Γ2 = 0} . Нехай K ⊂ V1(Ω)
— опуклий замкнений конус такий, що 0 ∈ K i ϕK ⊂ K для довiльної функцiї ϕ ∈ C1(Rn),
ϕ(x) ≥ 0, x ∈ Rn, 〈 ·, ·〉 — скалярний добуток мiж просторами V ∗1 (Ω)
df
=
[
V1(Ω)
]∗
i V1(Ω).
В областi QT розглянемо варiацiйну нерiвнiсть для функцiї u∫
Qτ
[
utt(w − ut)ψ(x) +
n∑
i,j=1
aij(x)uxit
(
(w − ut)ψ(x)
)
xj
+
+
n∑
i,j=1
bij(x)uxi
(
(w − ut)ψ(x)
)
xj
+ c(x)|ut|p(x)−2ut(w − ut)ψ(x)−
−f(x, t)(w − ut)ψ(x)
]
dxdt ≥ 0, v, ψ — пробнi функцiї, τ ∈ (0, T ], (2)
з початковими умовами
u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), x ∈ Ω. (3)
Означення 1. Функцiю u, що задовольняє включення
u ∈ L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ut ∈ L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ),
utt ∈ L∞
(
(0, T );L2(Ω)
)
, ut(t) ∈ K
для майже всiх t ∈ [0, T ], умови (3) та варiацiйну нерiвнiсть (2) для кожного τ ∈ (0, T ],
всiх w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ), w(t) ∈ K майже для всiх t ∈ [0, T ] та довiльних
ψ ∈ C1
0 (Rn), ψ(x) ≥ 0, x ∈ Rn, називаємо сильним розв’язком задачi (2), (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
520 О. Т. ХОЛЯВКА
Говоритимемо, що виконуються умови (A), (B), (C), (U), (W), якщо:
(A) aij , aij,xj ∈ L∞(Ω), aij(x) = aj i(x) для майже всiх x ∈ Ω, i, j = 1, n,
a0|ξ|2 ≤
∑n
i,j=1 aij(x)ξiξj ≤ a0|ξ|2 для всiх ξ ∈ Rn та майже всiх x ∈ Ω, де a0 > 0;
(B) bij , bij,xj ∈ L∞(Ω), bij(x) = bj i(x) для майже всiх x ∈ Ω, i, j = 1, n,
b0|ξ|2 ≤
∑n
i,j=1 bij(x)ξiξj ≤ b0|ξ|2 для всiх ξ ∈ Rn i майже всiх x ∈ Ω, де b0 > 0;
(C) c ∈ L∞(Ω), 0 < c0 ≤ c(x) ≤ c0 < +∞ для майже всiх x ∈ Ω;
(U) u0 ∈ V1,0(Ω) ∩H2(Ω), u1 ∈ V1,0(Ω) ∩ L2p(x)−2(Ω) ∩H2(Ω), u1 ∈ intK або u1 ≡ 0;
(W) iснує монотонний, обмежений, семiнеперервний оператор β : V1(Ω) → V ∗1 (Ω) такий,
що K = {v : v ∈ V1(Ω), β(v) = 0} i, крiм того,
τ∫
0
〈β(w)− β(v), (w − v)ψ〉 dt ≥ 0
∀ τ ∈ (0, T ] ∀w, v ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∀ψ ∈ C1(Rn), ψ(x) > 0;
τ∫
0
〈
(
β(w)
)
t
, wt〉 dt ≥ 0 ∀w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, wt ∈ L2(QT ), τ ∈ (0, T ].
Розв’язок задачi (2), (3) ми отримаємо як границю розв’язкiв мiшаних задач для вiдповiдних
рiвнянь зi штрафом. Сформулюємо згаданi тут задачi.
Допомiжна задача зi штрафом. Нехай ε > 0 — деяке число. В областi QT розглянемо
допомiжну задачу про знаходження розв’язку рiвняння зi штрафом
ũtt −
n∑
i,j=1
(
aij(x)ũxit
)
xj
−
n∑
i,j=1
(
bij(x)ũxi
)
xj
+ c(x)|ũt|p(x)−2ũt +
1
ε
β(ũt) = f(x, t), (4)
який задовольняє умови
ũ|∂Ω×(0,T ) = 0, (5)
ũ(x, 0) = u0(x), ũt(x, 0) = u1(x), x ∈ Ω. (6)
Означення 2. Пiд узагальненим розв’язком задачi (4) – (6) розумiємо функцiю ũ, яка за-
довольняє включення ũ ∈ L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ũt ∈ Lp(x)(QT ) ∩ L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ũtt ∈
∈ L∞
(
(0, T );L2(Ω)
)
, умови (5), (6), а також iнтегральну тотожнiсть∫
Qτ
[
ũttv +
n∑
i,j=1
aij(x)ũxitvxj +
n∑
i,j=1
bij(x)ũxivxj+
+c(x)|ũt|p(x)−2ũtv − f(x, t)v
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈β(ũt), v〉 dt = 0 (7)
∀ τ ∈ (0, T ] ∀ v ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ . . . 521
Теорема 1 (про розв’язнiсть допомiжної задачi). Якщо виконуються умови (A), (B), (C),
(U), (W), p0 > 2, f ∈ L2(QT ), ft ∈ L2(QT ), то задача (4) – (6) має узагальнений розв’язок ũ
такий, що ũ, ũt ∈ C([0, T ];V1,0(Ω)), ũtt ∈ L2((0, T );V1,0(Ω)).
Доведення. Використаємо метод Фаедо – Гальоркiна. Нехай {ϕk} — лiнiйно незалежна
повна система функцiй у просторi V1,0(Ω) ∩ L2p(x)−2(Ω) ∩ H2(Ω), ортонормована в L2(Ω).
Розглянемо послiдовнiсть функцiй
ũN (x, t) =
N∑
k=1
cNk (t)ϕk(x), N ∈ N, (x, t) ∈ QT ,
де cN1 , . . . , c
N
N — розв’язок задачi Кошi∫
Ωt
[
ũNttϕ
k +
n∑
i,j=1
aij(x)ũNxitϕ
k
xj +
n∑
i,j=1
bij(x)ũNxiϕ
k
xj + c(x)|ũNt |p(x)−2ũNt ϕ
k−
−f(x, t)ϕk
]
dx+
1
ε
〈
β
(
ũNt (t)
)
, ϕk
〉
= 0, t ∈ (0, T ), (8)
cNk (0) = ũN0,k, cNkt(0) = ũN1,k, k = 1, N, (9)
причому ∥∥ũN0 − u0
∥∥
H1(Ω)
−→
N→∞
0,
∥∥ũN1 − u1
∥∥
L2(Ω)
−→
N→∞
0,
де
ũN0 (x) =
N∑
k=1
ũN0,kϕ
k(x), ũN1 (x) =
N∑
k=1
ũN1,kϕ
k(x), x ∈ Ω.
З умови на u1 випливає, що починаючи з деякого номера N0 (нехай, для зручностi, N0 = 1)
ũN1 належить K для всiх N ≥ 1. Зрозумiло, що
ũN (0) = ũN0 , ũNt (0) = ũN1 . (10)
На пiдставi теореми Каратеодорi (див. [20, c. 54]) iснує диференцiйовний розв’язок цiєї
задачi, який має абсолютно неперервнi похiднi cN1,t, . . . , c
N
N,t, визначений на деякому промiжку
[0, tN ], tN 6 T . З оцiнок, отриманих нижче, буде випливати, що tN = T .
Домножимо кожну рiвнiсть системи (8), вiдповiдно, на функцiю cNk,t(t), пiдсумуємо всi
рiвняння по k вiд 1 до N i зiнтегруємо по промiжку [0, τ ], τ ∈ (0, T ]. Пiсля цього отримаємо
рiвнiсть ∫
Qτ
[
ũNtt ũ
N
t +
n∑
i,j=1
aij ũ
N
xitũ
N
xjt +
n∑
i,j=1
bij ũ
N
xi ũ
N
txj + c|ũNt |p(x)−
−fũNt
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈β(ũNt ), ũNt 〉 dt = 0. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
522 О. Т. ХОЛЯВКА
Зрозумiло, що для δ0 > 0 має мiсце оцiнка
αβ ≤ δ0|α|p(x) + Yp(δ0)|β|p′(x), (12)
де α, β ∈ R1,
1
p(x)
+
1
p′(x)
= 1, Yp(δ0) =
p0 − 1
p0(δ0p0)1/(p0−1)
при δ0p0 ≤ 1 та Yp(δ0) =
=
p0 − 1
p0(δ0p0)1/(p0−1)
при δ0p0 > 1. Враховуючи умови теореми та нерiвнiсть (12), рiвнiсть (11)
записуємо у виглядi
1
2
∫
Ωτ
[∣∣ũNt ∣∣2 + b0
∣∣∇ũN ∣∣2] dx+
(
c0 − δ0
) ∫
Qτ
|ũNt |p(x) dxdt+ a0
∫
Qτ
|∇ũNt |2 dxdt+
+
1
ε
τ∫
0
〈β(ũNt ), ũNt 〉 dt ≤
1
2
∫
Ω0
[∣∣ũN1 ∣∣2 + b0
∣∣∇ũN0 ∣∣2]dx+ Yp(δ0)
∫
Qτ
|f |p ′(x) dxdt. (13)
Поклавши δ0 =
c0
2
, з (13) легко отримати оцiнки
T∫
0
〈β(ũNt ), ũNt 〉 dt ≤ C2ε, (14)
∫
Ωτ
[∣∣ũNt ∣∣2 +
∣∣∇ũN ∣∣2]dx+
∫
Qτ
[
|ũNt |p(x) + |∇ũNt |2
]
dxdt ≤ C2, τ ∈ [0, T ], (15)
де стала C2 не залежить вiд N, ε та τ ∈ (0, T ]. Оскiльки за умовою (W) оператор β : V1(Ω)→
→ V ∗1 (Ω) обмежений, то
||β(ũNt );L2
(
(0, T );V ∗1 (Ω)
)
|| ≤ C3 (16)
i стала C3 не залежить вiд N, ε.
Здиференцiюємо (8) по t. Пiсля цього помножимо кожну рiвнiсть отриманої системи, вiдпо-
вiдно, на функцiю cNk,tt(t), пiдсумуємо всi рiвняння по k вiд 1 до N та зiнтегруємо по промiжку
[0, τ ], τ ∈ (0, T ]:∫
Qτ
[
ũNtttũ
N
tt +
n∑
i,j=1
aij(x)ũNxittũ
N
xjtt +
n∑
i,j=1
bij(x)ũNxitũ
N
xjtt + c(x)(p(x)− 1)|ũNt |p(x)−2|ũNtt |2−
−ft(x, t)ũNtt
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈
(
β(ũNt )
)
t
, ũNtt 〉 dt = 0.
На пiдставi умов (A), (B), (C) з останньої рiвностi отримуємо оцiнку∫
Ωτ
[∣∣ũNtt ∣∣2 +
∣∣∇ũNt ∣∣2]dx+
∫
Qτ
|∇ũNtt |2 dxdt+
∫
Qτ
|ũNt |p(x)−2|ũNtt |2 dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈
(
β(ũNt )
)
t
, ũNtt 〉 dt ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ . . . 523
≤ C4
[ ∫
Qτ
|ũNtt |2 dxdt+
∫
Ω0
∣∣ũNtt (0)
∣∣2 dx+
∫
Ω0
∣∣∇ũN1 ∣∣2 dx+
∫
Qτ
|ft|2 dxdt
]
, (17)
де стала C4 не залежить вiд N, ε та τ ∈ (0, T ].
Можна показати, що виконується нерiвнiсть∫
Ω0
∣∣ũNtt (0)
∣∣2 dx ≤ C5
i стала C5 не залежить вiд N та ε.
Крiм того, для будь-якого τ ∈ (0, T ]
1
ε
τ∫
0
〈
(
β(ũNt )
)
t
, ũNtt 〉 dt ≥ 0.
Тодi з (17) на пiдставi одержаних оцiнок, леми Гронуолла – Беллмана та певних перетворень
матимемо нерiвнiсть∫
Ωτ
[∣∣ũNtt ∣∣2 +
∣∣∇ũNt ∣∣2]dx+
∫
Qτ
[ ∣∣∇ũNtt ∣∣2 +
∣∣ũNtt ∣∣2 + |ũNt |p(x)−2|ũNtt |2
]
dxdt ≤ C6, (18)
де стала C6 не залежить вiд N, ε та τ ∈ (0, T ]. Можна отримати оцiнку∫
Ωτ
∣∣ũN ∣∣2 dx+
∫
Qτ
∣∣∇ũN ∣∣2 dxdt ≤ C7, (19)
де стала C7 не залежить вiд N, ε, τ.
Згiдно з (15), (16), (18), (19) iснує пiдпослiдовнiсть {ũNk}Nk∈N послiдовностi {ũk}k∈N та
iснують функцiї ũ, z̃ такi, що
ũNk → ũ ∗-слабко в L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ũNk → ũ слабко в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
,
ũNkt → ũt ∗-слабко в L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ũNkt → ũt слабко в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ),
β(ũNkt )→ z̃ слабко в L2
(
(0, T );V ∗1 (Ω)
)
, ũNktt → ũtt ∗-слабко в L∞
(
(0, T );L2(Ω)
)
, (20)
ũNktt → ũtt слабко в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ũNk → ũ слабко в H1(QT ),
ũNkt → ũt слабко в H1(QT ) при Nk →∞.
З останнiх двох збiжностей випливає (див. [4, c. 25]), що
ũNk −→
Nk→∞
ũ, ũNkt −→
Nk→∞
ũt сильно в L2(QT ) i майже скрiзь в QT .
Зазначимо також, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
524 О. Т. ХОЛЯВКА∫
QT
∣∣∣|ũNkt |p(x)−2ũNkt
∣∣∣p ′(x)
dx dt ≤
∫
QT
|ũNkt |p(x) dx dt ≤ C7
i тому (див. [21]) |ũNkt |p(x)−2ũNkt → |ũt|p(x)−2ũt слабко в Lp
′(x)(QT ).
На пiдставi збiжностей (20) та леми 1.2 (див. [4, с. 20]) отримуємо, що ũ ∈ C
(
[0, T ];V1,0(Ω)
)
.
Маємо ũNk(0) → ũ(0) слабко в V1,0(Ω), ũNk(0) = ũNk0 → ũ0 сильно в H1(Ω). Тому ũ(0) =
= ũ0. Аналогiчно переконуємося, що ũt ∈ C
(
[0, T ];V1,0(Ω)
)
, ũNkt (0)→ ũt(0) слабко в V1,0(Ω),
ũNkt (0) = ũNk1 → ũ1 сильно в L2(Ω). Тому ũt(0) = ũ1.
Нехай l — довiльне натуральне число iN > l. Вiзьмемо довiльнi гладкi функцiї µ1, µ2, . . . , µl.
Домножимо перше рiвняння системи (8) на функцiю µ1(t), друге — на µ2(t) i т. д. до l-го рiв-
няння. Пiдсумуємо одержанi рiвностi та зiнтегруємо по t вiд 0 до τ, τ ∈ (0, T ]. В результатi
будемо мати ∫
Qτ
[
ũNtt v̂ +
n∑
i,j=1
aij ũ
N
xitv̂xj +
n∑
i,j=1
bij ũ
N
xi v̂xj + c|ũNt |p(x)−2ũNt v̂−
−fv̂
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈β(ũNt ), v̂〉 dt = 0, (21)
де v̂(x, t) =
∑l
i=1
µi(t)ϕi(x), x ∈ Ω, t ∈ (0, τ). Перейдемо в (21) при N = Nk до границi при
k → ∞. Згiдно з попереднiми зауваженнями щодо збiжностi послiдовностi {ũNk}Nk∈N, для
довiльних τ ∈ (0, T ] та всiх v ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ) пiсля ще одного граничного
переходу при l→∞ правильною є рiвнiсть
∫
QT
[
ũttv+
n∑
i,j=1
aij ũxitvxj +
n∑
i,j=1
bij ũxivxj + c|ũt|p(x)−2ũtv−fv
]
dxdt+
1
ε
T∫
0
〈z̃, v〉 dt = 0. (22)
Отже, ũ — розв’язок задачi (4) – (6), якщо z̃ = β(ũt). Покажемо це.
Взявши в (22) замiсть v добуток функцiї ũt на характеристичну функцiю вiдрiзка [t1, t2] ⊂
⊂ [0, T ], одержимо
∫
Qt1,t2
[
ũttũt+
n∑
i,j=1
aij ũxitũxjt+
n∑
i,j=1
bij ũxi ũxjt+c|ũt|p(x)−fũt
]
dxdt+
1
ε
t2∫
t1
〈z̃, ũt〉 dt = 0. (23)
Взявши тут t2 = τ, t1 = 0 та зiнтегрувавши частинами, отримаємо
1
2
∫
Ωτ
n∑
i,j=1
bij ũxi ũxj dx+
∫
Qτ
[
ũttũt +
n∑
i,j=1
aij ũxitũxjt + c|ũt|p(x)−
−fũt
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈z̃, ũt〉 dt =
1
2
∫
Ω0
n∑
i,j=1
bij ũ0xi ũ0,xj dx. (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ . . . 525
Розглянемо послiдовнiсть
ηk =
1
ε
τ∫
0
〈β(ũNkt )− β(w), ũNkt − w〉 dt, w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, k ∈ N.
Використавши монотоннiсть оператора β та формулу (21) з ṽ = ũNt , N = Nk, матимемо
0 ≤ lim
k→∞
sup ηk =
= lim
k→∞
sup
1
ε
τ∫
0
〈β(ũNkt ), ũNkt 〉 dt−
1
ε
τ∫
0
〈β(ũNkt ), w〉 dt− 1
ε
τ∫
0
〈β(w), ũNkt − w〉 dt
=
= lim
k→∞
sup
∫
Qτ
[
fũNkt − ũ
Nk
tt ũ
Nk
t −
n∑
i,j=1
aij ũ
Nk
xit
ũNkxjt −
n∑
i,j=1
bij ũ
Nk
xi ũ
Nk
txj
−
−c|ũNkt |p(x)
]
dxdt− 1
ε
τ∫
0
〈β(ũNkt ), w〉 dt− 1
ε
τ∫
0
〈β(w), ũNkt − w〉 dt
=
= lim
k→∞
sup
−1
2
∫
Ωτ
n∑
i,j=1
bij ũ
Nk
xi ũ
Nk
xj dx+
1
2
∫
Ω0
n∑
i,j=1
bij ũ
Nk
0xi
ũNk0,xj
dx+
+
∫
Qτ
[
fũNkt − ũ
Nk
tt ũ
Nk
t −
n∑
i,j=1
aij ũ
Nk
xit
ũNkxjt − c|ũ
Nk
t |p(x)
]
dxdt−
− 1
ε
τ∫
0
〈β(ũNkt ), w〉 dt− 1
ε
τ∫
0
〈β(w), ũNkt − w〉 dt
≤
≤ −1
2
∫
Ωτ
n∑
i,j=1
bij ũxi ũxj dx+
1
2
∫
Ω0
n∑
i,j=1
bij ũ0xi ũ0,xj dx+
+
∫
Qτ
[
fũt − ũNktt ũ
Nk
t −
n∑
i,j=1
aij ũxitũxjt − c|ũt|p(x)
]
dxdt−
−1
ε
τ∫
0
〈z̃, w〉 dt− 1
ε
τ∫
0
〈β(w), ũt − w〉 dt. (25)
Додамо формули (24) та (25). Тодi для всiх τ ∈ (0, T ] та довiльного w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
отримаємо оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
526 О. Т. ХОЛЯВКА
1
ε
τ∫
0
〈z̃ − β(w), ũt − w〉 dt ≥ 0,
яка i гарантує рiвнiсть z̃ = β(ũt). Отже, ũ — узагальнений розв’язок задачi (4) – (6).
Теорему доведено.
Доведення основного результату.
Теорема 2 (про iснування розв’язку задачi (2), (3)). Нехай виконуються умови (A), (B),
(C), (U), (W), p0 > 2 i, крiм того, f ∈ L2(QT ), ft ∈ L2(QT ). Тодi задача (2), (3) має сильний
розв’язок.
Доведення. Для кожного ε = 1,
1
2
,
1
3
, . . . розглянемо задачу (4) – (6). Згiдно з теоремою 1,
для кожного ε iснує розв’язок uε задачi (4) – (6). Так само, як i в доведеннi теореми 1, для
послiдовностi {uε} одержуємо аналоги оцiнок (14), (15), (18), (19). Тому iснують послiдовнiсть
чисел {εk}k∈N, limk→∞ εk = 0, та функцiя u такi, що
uεk → u ∗-слабко в L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, uεk → u ∗-слабко в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
,
uεkt → ut ∗-слабко в L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, uεkt → ut слабко в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ),
uεktt → utt ∗-слабко в L∞
(
(0, T );L2(Ω)
)
, uεktt → utt слабко в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
,
uεk → u слабко в H1(QT ), uεkt → ut слабко в H1(QT ), (26)
T∫
0
〈β(uεkt ), uεkt 〉 dt ≤ C2εk → 0 при k →∞,
uεk → u, uεkt → ut сильно в L2(QT ) та майже скрiзь на QT ,
|uεkt |
p(x)−2 uεkt → |ut|p(x)−2ut слабко в Lp
′(x)(QT ) при εk → + 0.
Тодi на пiдставi аналога рiвностi (21)
T∫
0
〈β(uεkt ), w〉 dt → 0 для всiх w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ). (27)
Розглянемо послiдовнiсть
0 ≤ yk =
T∫
0
〈β(uεkt )− β(w), uεkt − w〉 dt, w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
.
Згiдно з (26), (27) отримуємо
yk −→
k→∞
−
T∫
0
〈β(w), ut − w〉 dt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ . . . 527
а тому
∫ T
0
〈β(w), ut − w〉 dt ≤ 0. Нехай w = ut − λz, z ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, λ > 0. Тодi
T∫
0
〈β(ut − λz), z〉 dt ≤ 0.
Оскiльки оператор β є семiнеперервним, то
∫ T
0
〈β(ut), z〉 dt ≤ 0. Звiдси робимо висновок про
те, що β(ut) = 0, а отже, ut(t) ∈ K майже для всiх t ∈ (0, T ).
Запишемо аналог рiвностi (22) з ũ = uεk , v = (w − uεkt )ψ, де w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩
∩ Lp(x)(QT ), w(t) ∈ K для майже всiх t ∈ (0, T ), ψ ∈ C1(Rn), ψ(x) ≥ 0 в Rn :∫
Qτ
[
uεktt (w − uεkt )ψ +
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(
(w − uεkt )ψ
)
xj
+
+
n∑
i,j=1
biju
εk
xi
(
(w − uεkt )ψ
)
xj
+ c|ut|p(x)−2uεkt (w − uεkt )ψ−
− f(x, t)(w − uεkt )ψ
]
dxdt = − 1
εk
τ∫
0
〈β(uεkt ), (w − uεkt )ψ〉. (28)
Оскiльки w(t) ∈ K для майже всiх t ∈ (0, T ), то β(w) = 0 i тому внаслiдок монотонностi β
−
τ∫
0
〈β(uεkt ), (w − uεkt )ψ〉 dt =
τ∫
0
〈β(w)− β(uεkt ), (w − uεkt )ψ〉 dt ≥ 0.
Тодi з (28) отримуємо нерiвнiсть∫
Qτ
[
uεktt (w − uεkt )ψ +
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(
(w − uεkt )ψ
)
xj
+
n∑
i,j=1
biju
εk
xi
(
(w − uεkt )ψ
)
xj
+
+ c|uεkt |p(x)−2uεkt (w − uεkt )ψ − f(w − uεkt )ψ
]
dxdt ≥ 0, (29)
що виконується для кожного τ ∈ (0, T ], всiх w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ), w(t) ∈ K,
майже для всiх t ∈ [0, T ] та довiльних ψ ∈ C1(Rn), ψ ≥ 0, x ∈ Rn.
Покажемо виконання додаткових сильних збiжностей послiдовностi {uεk}k∈N до функцiї u.
Для цього запишемо (29) для w = ut:∫
Qτ
[
uεktt (ut − uεkt )ψ +
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(
(ut − uεkt )ψ
)
xj
+
n∑
i,j=1
biju
εk
xi
(
(ut − uεkt )ψ
)
xj
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
528 О. Т. ХОЛЯВКА
+ c|uεkt |p(x)−2uεkt (ut − uεkt )ψ − f(ut − uεkt )ψ
]
dxdt ≥ 0. (30)
Виконаємо перетворення:
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(
(ut − uεkt )ψ
)
xj
=
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
[
(uxjt − u
εk
xjt
)ψ + (ut − uεkt )ψxj
]
=
= −
n∑
i,j=1
aij(uxit − u
εk
xit
)(uxjt − u
εk
xjt
)ψ +
n∑
i,j=1
aijuxit(uxjt − u
εk
xjt
)ψ+
+
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(ut − uεkt )ψxj ,
n∑
i,j=1
biju
εk
xi
(
(ut − uεkt )ψ
)
xj
= −
n∑
i,j=1
bij(uxi − uεkxi )(uxjt − u
εk
xjt
)ψ+
+
n∑
i,j=1
bijuxi(uxjt − u
εk
xjt
)ψ +
n∑
i,j=1
biju
εk
xi (ut − u
εk
t )ψxj ,
c|uεkt |p(x)−2uεkt (ut − uεkt )ψ = −c
(
|ut|p(x)−2ut − |uεkt |p(x)−2uεkt
)
(ut − uεkt )ψ+
+c|ut|p(x)−2ut(ut − uεkt )ψ.
Враховуючи виконанi перетворення, записуємо (30) у виглядi∫
Qτ
[
uεktt (ut − uεkt )ψ +
n∑
i,j=1
aijuxit(uxjt − u
εk
xjt
)ψ +
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(ut − uεkt )ψxj+
+
n∑
i,j=1
bijuxi(uxjt − u
εk
xjt
)ψ +
n∑
i,j=1
biju
εk
xi (ut − u
εk
t )ψxj+
+c|ut|p(x)−2ut(ut − uεkt )ψ − f(ut − uεkt )ψ
]
dxdt ≥
∫
Qτ
[ n∑
i,j=1
aij(uxit − u
εk
xit
)(uxjt − u
εk
xjt
)ψ+
+
n∑
i,j=1
bij(uxi − uεkxi )(uxjt − u
εk
xjt
)ψ + c
(
|ut|p(x)−2ut − |uεkt |p(x)−2uεkt
)
(ut − uεkt )ψ
]
dxdt.
На пiдставi умов p0 > 2, (A), (B) та (C) з останньої нерiвностi легко отримати оцiнку∫
Qτ
[
a0
∣∣∇(ut − uεkt )
∣∣2ψ + c022−p(x)
∣∣ut − uεkt ∣∣p(x)
ψ
]
dxdt+
∫
Ωτ
b0
2
∣∣∇(u− uεk)
∣∣2ψ dx ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ . . . 529
≤
∫
Qτ
[
uεktt (ut − uεkt )ψ +
n∑
i,j=1
aijuxit(uxjt − u
εk
xjt
)ψ +
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(ut − uεkt )ψxj+
+
n∑
i,j=1
bijuxi(uxjt − u
εk
xjt
)ψ +
n∑
i,j=1
biju
εk
xi (ut − u
εk
t )ψxj+
+c|ut|p(x)−2ut(ut − uεkt )ψ − f(ut − uεkt )ψ
]
dxdt −→ 0 (31)
при εk → 0, звiдки
uεk → u сильно в C
(
[0, T ];V1,0(Ω)
)
∩ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
,
uεkt → ut сильно в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ).
На пiдставi цього в нерiвностi (29) переходимо до границi при εk → 0 i отримуємо, що функцiя
u — шуканий сильний розв’язок задачi (2), (3).
Теорему доведено.
Зауваження. Нехай тепер Ω — необмежена область. Можна показати, що при виконаннi,
зокрема, умов (A), (B), (C), p0 > 2 i, крiм того, p0 < 2 +
4
n− 2
при n ≥ 3, а також при деяких
додаткових обмеженнях на множину K задача (2), (3) має слабкий розв’язок. Єдинiсть такого
розв’язку встановлено в [15].
1. Глазатов С. Н. Некоторые задачи для нелинейных уравнений третьего порядка. – Новосибирск, 1992. – 22 c. –
(Препринт № 7).
2. Zhikov V. V. On variational problems and nonlinear elliptic equations with nonstandard growth conditions // J. Math.
Sci. – 2011. – 173, № 5. – P. 463 – 570.
3. Antontsev S., Shmarev S. Nonlinear PDEs in Sobolev spaces with variable exponents. – 2013. – Preprint CMAF
Pre-015.
4. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Изд-во иностр. лит., 1972. – 587 c.
5. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. – М.: Наука, 1990. – 536 с.
6. Бугрiй О. М., Лавренюк С. П. Параболiчна варiацiйна нерiвнiсть, що узагальнює рiвняння полiтропної фiль-
трацiї // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 7. – C. 867 – 878.
7. Buhrii O. M., Mashiyev R. A. Uniqueness of solutions of the parabolic variational inequality with variable exponent
of nonlinearity // Nonlinear Anal.: Theory, Methods and Appl. – 2009. – 70, № 6. – P. 2325 – 2331.
8. Mashiyev R. A., Buhrii O. M. Existence of solutions of the parabolic variational inequality with variable exponent of
nonlinearity // J. Math. Anal. and Appl. – 2011. – 377. – P. 450 – 463.
9. Mingqi Xiang, Youngiang Fu. Weak solutions for nonlocal evolution variational inequalities involving gradient
constraints and variable exponent // Electron. J. Different. Equat. – 2013. – 2013, № 100. – P. 1 – 17.
10. Mingqi Xiang. On nonlinear evolution variational inequalities involving variable exponent // Electron. J. Qual. Theory
Different. Equat. – 2013. – № 72. – P. 1 – 19.
11. Erhardt A. H. Existence and gradient estimates in parabolic obstacle problems with nonstandard growth: Dissertation.
– Nüruberg, 2013. – 189 p.
12. Lavrenyuk S., Pukach P. Variational hyperbolic inequality in the domain unbounded in spatial variables // Int. J.
Evolut. Equat. – 2007. – 3, № 1. – P. 103 – 122.
13. Бугрiй О., Гурняк I., Пукач П., Холявка О. Гiперболiчнi варiацiйнi нерiвностi другого порядку зi змiнним
показником нелiнiйностi // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2012. – Вип. 77. – С. 41 – 53.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
530 О. Т. ХОЛЯВКА
14. Глазатов С. Н. Нелинейные уравнения третьего порядка и вариационные неравенства // Неклассические
уравнения математической физики: междунар. сем., посвященный 60-летию со дня рождения проф. В. Н. Вра-
гова (3 – 5 окт. 2005 г.): труды сем. – 2005. – C. 80 – 93.
15. Лавренюк С. П., Панат О. Т. Деяка варiацiйна нерiвнiсть третього порядку зi змiнним степенем нелiнiйностi
у необмеженiй областi // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика, механiка. – 2008. – 13, вип. 18. – С. 55 – 61.
16. Orlicz W. Über konjugierte Exponentenfolden // Stud. Math. (Lwow). – 1931. – 3. – P. 200 – 211.
17. Шарапудинов И. И. О топологии пространства Lp(t)([0, 1]) // Мат. заметки. – 1979. – 26, № 4. – С. 613 – 632.
18. Kovacik O., Rakosnik J. On spaces Lp(x) and W 1,p(x) // Czechoslovak Math. J. – 1991. – 41 (116). – P. 592 – 618.
19. Бугрiй О. М., Лавренюк С. П. Мiшана задача для параболiчного рiвняння, яке узагальнює рiвняння полiтропної
фiльтрацiї // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2000. – Вип. 56. – С. 33 – 43.
20. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во иностр.
лит., 1958. – 475 с.
21. Бугрiй О., Доманська Г., Процах Н. Мiшана задача для нелiнiйного рiвняння третього порядку в узагальнених
просторах Соболєва // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 44 – 61.
Одержано 31.01.12,
пiсля доопрацювання — 23.02.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
|