T(q)-вірогідна оцінка в узагальненій лінійній структурній моделі регресії з похибками вимірювання
Изучается обобщенная линейная структурная модель регрессии с погрешностями измерения. Параметр рассеяния предполагается известным. Построена исправленная T(q) -правдоподобная оценка для коэффициентов регрессии. Получены достаточные условия строгой состоятельности и асимптотической нормальности оценк...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166127 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | T(q)-вірогідна оцінка в узагальненій лінійній структурній моделі регресії з похибками вимірювання / А.В. Савченко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 12. — С. 1623–1639. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166127 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661272020-02-19T01:28:55Z T(q)-вірогідна оцінка в узагальненій лінійній структурній моделі регресії з похибками вимірювання Савченко, А.В. Статті Изучается обобщенная линейная структурная модель регрессии с погрешностями измерения. Параметр рассеяния предполагается известным. Построена исправленная T(q) -правдоподобная оценка для коэффициентов регрессии. Получены достаточные условия строгой состоятельности и асимптотической нормальности оценки в случае, когда q зависит от объема выборки и стремится к 1 при неограниченном возрастании объема выборки. We study a generalized linear structural regression model with measurement errors. The dispersion parameter is assumed to be known. The corrected T (q) -likelihood estimator for the regression coefficients is constructed. In the case where q depends on the sample size and approaches 1 as the sample size infinitely increases, we establish sufficient conditions or the strong consistency and asymptotic normality of the estimator. 2014 Article T(q)-вірогідна оцінка в узагальненій лінійній структурній моделі регресії з похибками вимірювання / А.В. Савченко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 12. — С. 1623–1639. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166127 519.21 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Савченко, А.В. T(q)-вірогідна оцінка в узагальненій лінійній структурній моделі регресії з похибками вимірювання Український математичний журнал |
| description |
Изучается обобщенная линейная структурная модель регрессии с погрешностями измерения. Параметр рассеяния предполагается известным. Построена исправленная T(q) -правдоподобная оценка для коэффициентов регрессии. Получены достаточные условия строгой состоятельности и асимптотической нормальности оценки в случае, когда q зависит от объема выборки и стремится к 1 при неограниченном возрастании объема выборки. |
| format |
Article |
| author |
Савченко, А.В. |
| author_facet |
Савченко, А.В. |
| author_sort |
Савченко, А.В. |
| title |
T(q)-вірогідна оцінка в узагальненій лінійній структурній моделі регресії з похибками вимірювання |
| title_short |
T(q)-вірогідна оцінка в узагальненій лінійній структурній моделі регресії з похибками вимірювання |
| title_full |
T(q)-вірогідна оцінка в узагальненій лінійній структурній моделі регресії з похибками вимірювання |
| title_fullStr |
T(q)-вірогідна оцінка в узагальненій лінійній структурній моделі регресії з похибками вимірювання |
| title_full_unstemmed |
T(q)-вірогідна оцінка в узагальненій лінійній структурній моделі регресії з похибками вимірювання |
| title_sort |
t(q)-вірогідна оцінка в узагальненій лінійній структурній моделі регресії з похибками вимірювання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166127 |
| citation_txt |
T(q)-вірогідна оцінка в узагальненій лінійній структурній моделі регресії з похибками вимірювання / А.В. Савченко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 12. — С. 1623–1639. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT savčenkoav tqvírogídnaocínkavuzagalʹneníjlíníjníjstrukturníjmodelíregresíízpohibkamivimírûvannâ |
| first_indexed |
2025-07-14T20:47:35Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:47:35Z |
| _version_ |
1837656762337984512 |
| fulltext |
© А. В. САВЧЕНКО, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12 1623
УДК 519.21
А. В. Савченко (Ірпінь Київ. обл.)
ВИПРАВЛЕНА T(q) ˗ВІРОГІДНА ОЦІНКА В УЗАГАЛЬНЕНІЙ
ЛІНІЙНІЙ СТРУКТУРНІЙ МОДЕЛІ РЕГРЕСІЇ
З ПОХИБКАМИ ВИМІРЮВАННЯ
We study a generalized linear structural regression model with measurement errors. The dispersion parameter is assumed
to be known. The corrected T (q) -likelihood estimator for the regression coefficients is constructed. In the case where
q depends on the sample size and tends to 1 as the sample size infinitely increases, we establish a sufficient conditions of
strong consistency and asymptotic normality of the estimator.
Изучается обобщенная линейная структурная модель регрессии с погрешностями измерения. Параметр рассеяния
предполагается известным. Построена исправленная T (q) -правдоподобная оценка для коэффициентов регрессии.
Получены достаточные условия строгой состоятельности и асимптотической нормальности оценки в случае, когда
q зависит от объема выборки и стремится к 1 при неограниченном возрастании объема выборки.
1. Вступ. У статті вивчається загальна модель нелінійної регресії з похибками у змінних, де
відгук має умовний розподіл спеціального вигляду відносно прихованої змінної. За невідомого
розподілу прихованої змінної виправлена (Corrected Score, скорочено CS) оціночна процедура
дає консистентну оцінку [1, 2]. Але відомо, що CS оцінка має нестійку поведінку при малих і
середніх обсягах вибірки. У роботах [3, 4] побудовано модифікацію CS оцінки, що стійкіша
для малої й середньої вибірок і асимптотично еквівалентна CS оцінці, коли обсяг вибірки
прямує до нескінченності. У даній статті розвинено іншу ідею: модифікувати CS оцінку для
малих і середніх обсягів вибірки.
T (q) -вірогідній оцінці за відсутності похибок у змінних присвячено низку статей. У робо-
тах [5, 6] вивчаються властивості оцінки шляхом асимптотичного аналізу і комп’ютерних
моделювань. Показано, що для малих і середніх обсягів вибірки вибором q можна змінювати
зсув оцінки заради точності, що суттєво може зменшити середньо-квадратичне відхилення.
Встановлено необхідну і достатню умову асимптотичної нормальності й ефективності оцінки,
якщо q прямує до 1 та обсяг вибірки є великим.
Метою цієї статті є розгляд виправленої T (q) ˗вірогідної оцінки за наявності похибок ви-
мірювання. У статті [7] наведено виправлену T (q) ˗вірогідну оцінку у випадку показникової
структурної моделі регресії з похибками вимірювання. У даній роботі ми розглядаємо значно
ширший клас моделей, який включає, зокрема, лінійну, пуассонівську, гамма-модель. Пара-
метр розсіяння вважаємо відомим. Для лінійної моделі з похибками вимірювання було прове-
дено чисельне моделювання, результати якого тут не наводяться. Моделювання показало, що
T (q) ˗вірогідна оцінка дозволяє надійно оцінити параметри регресії для малої вибірки за на-
явності аномальних спостережень у регресорі.
Позначимо через E математичне сподівання випадкових величин, векторів або матриць,
через D дисперсію, а через Cov коваріаційну матрицю. Математичне сподівання Eb f бе-
реться за умови, що b — істинне значення параметра β. Верхній індекс T означає транспо-
нування. В евклідовому просторі розглядається норма, що дорівнює сумі модулів координат.
1624 А. В. САВЧЕНКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
Статтю побудовано таким чином. У пункті 2 описано загальну модель спостережень. У
пункті 3 наведено виправлену T (q) ˗вірогідну оцінку параметрів регресії. У пункті 4 доведено
асимптотичну нормальність оцінки, а також наведено приклади конкретних моделей. Пункт 5
містить висновки.
2. Модель спостережень. Припустимо, що відгук y при фіксованому неспостережува-
ному випадковому регресорі η має умовну щільність розподілу відносно деякої σ ˗скінчен-
ної міри νY на борельовій σ ˗алгебрі B(R) в R :
f (y η) = exp yη− C(η)
φ
+ c(y, φ)⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
.
Тут функція C(⋅) є двічі неперервно диференційовною, заданою на деякому відкритому
проміжку I ⊂ R, ′′C (η) > 0 , η ∈ I . Параметр розсіяння φ > 0 вважається відомим,
c(y, φ) — борельова функція, що не залежить від η. Припустимо, що η = r(β0 + β1ξ), де ξ
— випадковий скалярний регресор з невідомим розподілом, причому ξ ≤ const майже напев-
но (м. н.), β = β0; β1( )T — невипадковий вектор параметрів регресії, який потрібно оцінити.
Це відповідає так званій узагальненій лінійній моделі регресії [8, с. 162]. Випадковість ξ
означає, що розглядається структурна модель регресії. Замість ξ спостерігається сурогатна
змінна x = ξ + δ, де δ ~ N (0, σδ
2 ) , σδ
2 > 0 . Випадкова величина δ називається похибкою
вимірювання і припускається незалежною від ξ та y . Вважаємо дисперсію похибки σδ
2
відомою.
Спостерігаються незалежні копії моделі zi = yi , xi( ) , i = 1, n. Позначимо f (y, η, β) =
= f y η( ) . Далі ми будемо нехтувати аргументами функцій ′C та ′′C : ′C = ′C r(β0( +
+ β1ξ)) , ′′C = ′′C r(β0 + β1ξ)( ) .
Справджуються формули E(y/η) = ′C η( ) , D(y/η) = φ ′′C (η) [8, c. 162].
Для u > 0, q > 0 введемо перетворення Бокса –Кокса
T (q, u) =
u1−q − 1
1− q
, q ≠ 1,
ln u, q = 1.
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
T (q) -вірогідну оціночну функцію визначено так:
S(q)(y, η, β) = φ ∂
∂β
T q, f (y, η, β)( ) = φf −q ∂ f
∂β
= φf 1−q (y, η, β) ∂
∂β
ln f (y, η, β) =
= f 1−q (y, η, β)(y − ′C ) ′r (β0 + β1ξ) 1; ξ( )T .
Для q = 1 функція S(q) збігається з оціночною функцією методу максимальної вірогідності.
ВИПРАВЛЕНА T (q) -ВІРОГІДНА ОЦІНКА В УЗАГАЛЬНЕНІЙ ЛІНІЙНІЙ СТРУКТУРНІЙ МОДЕЛІ … 1625
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
За відсутності похибки вимірювання S(q) розглядалась у [5, 6]. Якщо параметр q = qn
залежить від n та n qn − 1( )→ 0 при n→ ∞, то T (q) ˗вірогідна оціночна функція дає
консистентну оцінку β з тією ж ефективністю, що й оцінка максимальної вірогідності
(ОМВ), але з кращою поведінкою для малих вибірок. За відсутності похибки вимірювання
ОМВ, позначена як
βn , задається рівністю
βn = arg max
β∈Θ
ln f (yi , ξi , β)( )
i=1
n
∑ ,
де параметрична множина Θ ⊂ R2 .
3. Виправлена T(q) -вірогідна оцінка та її консистентність. Розкладемо оціночну
функцію S(q)(y, η, β) в ряд за степенями (1− q) :
S(q)(y, η, β) = (1− q)n (ln f )n
n !n=0
∞
∑ (y − ′C ) ′r (β0 + β1ξ)
1
ξ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
=
(1− q)n
n !φnn=0
∞
∑ (y − ′C (η))
n1+n2+n3=n
ni≥0,i=1,2,3
∑ yη( )n1 (−1)n2Cn2 (η)
×
×
φc(y, φ)( )n3 Cnn1,n2 ,n3 ′r (β0 + β1ξ)
1
ξ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
.
Нижче будуть накладені умови, що гарантують збіжність цього степеневого ряду.
Нехай β = β0; β1( )T ∈Θ , b є істинним значенням β , Θ — компактна множина в R2 .
Адаптуємо оціночну функцію S(q) до похибок вимірювання, побудувавши виправлену
оціночну функцію SC
(q) так, що для всіх β з Θ виконується м. н.
Eb SC
(q)(y, x, β) y, ξ( ) = S(q)(y, η, β) . (3.1)
Ця задача зводиться до розв’язання базових рівнянь
E fk,l
(q)(x, β) ξ( ) = ηkCl (η) ′r (β0 + β1ξ) 1; ξ( )T , k ≥ 0 , l ≥ 0 , (3.2)
E gk,l
(q)(x, β) ξ( ) = ηkCl (η) ′C (η) ′r (β0 + β1ξ) 1; ξ( )T , k ≥ 0 , l ≥ 0 . (3.3)
Розв’язання рівнянь (3.2) та E hk,l
(q)(x, β) ξ( ) = ηkCl (η) еквівалентне розв’язуванню рів-
нянь (3.2) та (3.3), тому що перетвореннями отримаємо
1626 А. В. САВЧЕНКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
E
∂hk,l
(q)(x, β)
∂β
ξ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = kηk−1Cl (η) + ηkl Cl−1(η) ′C (η)( ) ′r (β0 + β1ξ) 1; ξ( )T ,
E
∂hk,l
(q)(x, β)
∂β
− kfk−1, l
(q) (x, β) ξ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = lηkCl−1(η) ′C (η) ′r (β0 + β1ξ) 1; ξ( )T .
Нехай кожне з рівнянь (3.2) та (3.3) має розв’язок, тоді розв’язок рівняння (3.1) зображується
у вигляді
SC
(q)(y, x, β) = (1− q)n
n !n=0
∞
∑ 1
φn
yn1+1 fn1,n2
(q) (x, β)
n1+n2+n3=n
ni≥0, i=1,2,3
∑ (−1)n2 φc(y, φ)( )n3 Cnn1,n2 ,n3 +
+ (1− q)n
n !n=0
∞
∑ 1
φn
yn1gn1,n2
(q) (x, β)
n1+n2+n3=n
ni≥0, i=1,2,3
∑ (−1)n2+1 φc(y, φ)( )n3 Cnn1,n2 ,n3 =
= un (y, x; β, q)
n=0
∞
∑ + vn (y, x; β, q)
n=0
∞
∑ (3.4)
за умови E un y, ξ( ) < ∞n=0
∞∑ , E vn y, ξ( ) < ∞n=0
∞∑ .
Виправлена T (q) ˗вірогідна оцінка
βn (q) визначається як вимірний розв’язок рівняння
SC
(q)(yi , xi , β)
i=1
n
∑ = 0 , β ∈Θ. (3.5)
Якщо розв’язок рівняння (3.5) не існує, то покладемо
βn (q) = 0.
Означення 3.1. Для послідовності випадкових величин Un : n ≥ 1{ } послідовність
тверджень An (Un ) виконується зрештою, якщо існує випадкова подія Ω0, P (Ω0 ) = 1 ,
така, що ∀ω ∈Ω0 ∃N = N (ω) ∀n ≥ N : An Un (ω)( ) виконується.
Нехай
h1(x, β)
h2(x, β)
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = h(x, β) = f0,0
(1) (x, β) ,
z1(x, β)
z2(x, β)
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = z(x, β) = g0,0
(1) (x, β)
— розв’язки рівнянь (3.2) та (3.3) при k = l = 0 ,
S1(yi , xi , β, qn )
S2(yi , xi , β, qn )
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = SC (yi , xi , β, qn ) : = SC
(qn )(yi , xi , β) ,
ВИПРАВЛЕНА T (q) -ВІРОГІДНА ОЦІНКА В УЗАГАЛЬНЕНІЙ ЛІНІЙНІЙ СТРУКТУРНІЙ МОДЕЛІ … 1627
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
SC
(1)(y, x, β) = yh(x, β) − z(x, β) , Sn (β) =
1
n
SC (yi , xi , β, 1)
i=1
n
∑ ,
Φn (β) =
1
n
SC (yi , xi , β, qn ) − SC (yi , xi , β, 1)( )
i=1
n
∑ , (3.6)
L2 Ω, P; u1)( = u{ — випадкова величина на Ω : Eu
2u1 < ∞} ,
де u1 = ′′C r(b0 + b1ξ)( ) ′r (b0 + b1ξ)( )2 ≥ 0 м. н.
Знайдемо
Ebyh(x, β) = EEb yh(x, β) x, ξ( ) = Eh(x, β) Eb y ξ( ) = Eh(x, β) ′C r(b0 + b1ξ)( ) =
= EE h(x, β) ′C r(b0 + b1ξ)( ) ξ( ) = E ′C r(b0 + b1ξ)( ) E h(x, β) ξ( ) =
= E ′C r(b0 + b1ξ)( ) ′r (β0 + β1ξ) 1; ξ( )T .
Лема 3.1 [11, с. 161]. Нехай Ω, ℑ, P( ) — імовірнісний простір, Θ — компактна під-
множина Rm . Спостерігаються незалежні однаково розподілені в Rk випадкові вектори
Zi , i = 1, n , розподіл яких залежить від β ∈Θ . Для заданої борельової функції q :
Θ × Rk → Rm розглянемо Sn (β) =
1
n
q β, Zi( )i=1
n∑ , β ∈Θ . Нехай істинне значення пара-
метра β дорівнює b , причому b є внутрішньою точкою Θ . Нехай виконуються такі
умови:
1) q ⋅, Z( )∈C1(Θ) м. н.; Eb q(β, Z ) < ∞ , β ∈Θ ;
2) функція S∞(β, b) : = Ebq β, Z( ) неперервна по β на Θ ;
3) Eb
∂q(β, Z )
∂βT
< ∞ , β ∈Θ ;
4) V : = ∂S∞(β, b)
∂βT β=b
— невироджена матриця; (3.7)
5) S∞(β, b) = 0 , β ∈Θ , тоді і тільки тоді, коли β = b .
Нехай випадкові вектор-функції Φn β( ) = Φn β, ω( ) , n ≥ 1 , із значеннями в Rm задо-
вольняють умови:
6) для всіх β ∈Θ : Φn (β)→ 0 м. н. при ∞→n , Φn ⋅( ) ∈C1 Θ( ) м. н.;
7) supn≥1 supβ∈Θ
∂Φn β( )
∂βT
< ∞ м. н.
Тоді справджуються такі твердження:
1628 А. В. САВЧЕНКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
а) зрештою існує розв’язок оціночного рівняння Sn β( ) + Φn β( ) = 0 , β ∈Θ ;
б) оцінка
βn параметра β , для якої зрештою виконується
Sn
⌢
βn( ) + Φn
⌢
βn( ) = 0 , є
строго консистентною.
Теорема 3.1. Нехай виконуються такі умови:
1) показник q залежить від обсягу вибірки, q = qn , причому 0 < qn ≤ 1 , n ≥ 1 , та
qn → 1 при n→ ∞ ;
2) параметрична множина Θ є компактною в R2 , а істинне значення b параметра
β є внутрішньою точкою Θ ;
3) hi (x, ⋅) ∈C1(Θ) , zi (x, ⋅) ∈C1(Θ) м. н. та при кожному β ∈Θ : Eb yhi (x, β) < ∞ ,
E zi (x, β) < ∞ , i = 1, 2 (тут і далі неперервна диференційовність функцій на Θ означає,
що функції визначені в деякому околі Θ і неперервно диференційовні);
4) Eb supβ∈Θ y ∂hi (x, β)
∂β j
< ∞ , E supβ∈Θ
∂zi (x, β)
∂β j
< ∞ , i = 1, 2 , j = 0, 1 ;
5) r(β0 + β1ξ) не є сталою на множині P -міри 1, а ξ не є сталою на множині
додатної міри P ;
6) радіус збіжності наступних степеневих рядів відносно λ є додатним:
λm
φm+1m!m=0
∞
∑ Cmm1,m2 ,m3φm3Eb sup
0≤λ≤ !δ, β∈Θ
fm1,m2
(q) (x, β) c(y, φ) m3 y m1+1
m1+m2+m3=m+1
mi≥0, i=1,2,3
∑ ,
λm
φm+1m!m=0
∞
∑ Cmm1,m2 ,m3φm3Eb sup
0≤λ≤ !δ, β∈Θ
gm1,m2
(q) (x, β) c(y, φ) m3 y m1
m1+m2+m3=m+1
mi≥0, i=1,2,3
∑ ,
λm
φmm !m=0
∞
∑ Cmm1,m2 ,m3φm3Eb sup
0≤λ≤ δ, β∈Θ
∂
∂β
fm1,m2
(q) (x, β) c(y, φ) m3
m1+m2+m3=m
mi≥0, i=1,2,3
∑ y m1+1 ,
λm
φmm !m=0
∞
∑ Cmm1,m2 ,m3φm3Eb sup
0≤λ≤ δ, β∈Θ
∂
∂β
gm1,m2
(q) (x, β) c(y, φ) m3
m1+m2+m3=m
mi≥0, i=1,2,3
∑ y m1 ,
де δ — деяке фіксоване число з проміжку (0,1) .
Тоді зрештою рівняння (3.5) має розв’язок.
Визначимо оцінку
βn (qn ) як розв’язок рівняння (3.5), якщо такий розв’язок існує; в про-
тилежному випадку покладемо
βn (qn ) = 0.
Теорема 3.2. За умов теореми 3.1 оцінка
βn (qn ) є строго консистентною, тобто
βn (qn )→ b з імовірністю 1 при n→ ∞, де b — істинне значення β.
ВИПРАВЛЕНА T (q) -ВІРОГІДНА ОЦІНКА В УЗАГАЛЬНЕНІЙ ЛІНІЙНІЙ СТРУКТУРНІЙ МОДЕЛІ … 1629
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
Доведення теорем 3.1 та 3.2. Перевіримо умови леми 3.1. Маємо оціночне рівнян-
ня (3.5), в якому q = qn → 1 при n→ ∞ . Запишемо це рівняння у вигляді Sn (β) + Φn (β) =
= 0, β ∈Θ . Позначимо
q(β, y, x) : = SC
(1)(y, x, β) =
yh1(x, β) − z1(x, β)
yh2(x, β) − z2(x, β)
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
Маємо q(⋅, y, x) ∈C1 Θ( ) м. н. та для всіх β ∈Θ
Eb q(β, y, x) ≤ E Eb yh1(x, β)( x, ξ ) +
+ E E z1(x, β) ξ )( + E Eb yh2(x, β) ξ( ) + E z2(x, β) ξ( ) < ∞ .
Враховуючи умови 2, 3 теореми 3.1, переконуємося, що умову 1 леми 3.1 виконано.
Далі, гранична оціночна функція
S∞(β, b) : = Ebq(β, y, x) = EEb
yh1(x, β) − z1(x, β)
yh2(x, β) − z2(x, β)
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ =
=
E ′r β0 + β1ξ( ) ′C r(b0 + b1ξ)( ) − ′C r(β0 + β1ξ)( )( )
Eξ ′r β0 + β1ξ( ) ′C r(b0 + b1ξ)( ) − ′C r(β0 + β1ξ)( )( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
неперервна по β на Θ , тому умову 2 леми 3.1 виконано.
Маємо
Eb sup
β∈Θ
∂q(β, y, x)
∂βT
=
= Eb sup
β∈Θ
∂
∂β0
yh1(x, β) − z1(x, β)( )⎛
⎝⎜
+ ∂
∂β1
yh1(x, β) − z1(x, β)( ) +
+ y ∂h2(x, β)
∂β0
− ∂z2(x, β)
∂β0
+ y ∂h2(x, β)
∂β1
− ∂z2(x, β)
∂β1
⎞
⎠⎟
< ∞ .
Тут використано умову 4 теореми 3.1, і тому умова 3 леми 3.1 виконується.
Далі, згідно з (3.7)
−V = − ∂S∞
∂βT
b, b( ) =
Eu1 Eξu1
Eξu1 Eξ2u1
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
= − ∂ESC
(1)
∂βT
,
де u1 = ′′C ⋅ ( ′r )2 , функція ′′C розглядається з аргументом r b0 + b1ξ( ) , функція r — з
1630 А. В. САВЧЕНКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
аргументом b0 + b1ξ . Згідно з постановкою задачі ′′C > 0 і умовою 5 теореми 3.1 r(β0 +
+ β1ξ) не є сталою на множині P -міри 1, тому Eu1 > 0 . З нерівності Коші випливає, що
Eξ u1 u1( )2 ≤ Eξ2u1 Eu1 , звідки
det
Eu1 Eξu1
Eξu1 Eξ2u1
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
≥ 0 .
Тут насправді виконується строга нерівність, бо ξ u1( ) u1 = ξ не є сталою величиною
внаслідок умови 5 теореми 3.1. Звідси, використовуючи критерій Сильвестра, отримуємо, що
матриця −V , визначена згідно з (3.7), є додатно визначеною, V — від’ємно визначеною і
невиродженою, тому умову 4 леми 3.1 виконано.
Якщо β = b , то S∞ b, b( ) = 0 . Для перевірки умови 5 леми 3.1 припустимо, що існує таке
β ≠ b , що S∞ β, b( ) = 0 , і позначимо f β( ) = S∞ β, b( ) , g(t) = f (tb + (1− t)β), b − β( ) . Тоді
за припущенням g(0) = g(1) = 0 . За теоремою Ролля існує таке τ ∈(0, 1) , що ′g (τ) = 0 і
b − β( )T ∂S∞(β, b)
∂βT β=β
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
b − β( ) = 0 , (3.8)
де точка β розташована на відрізку з кінцями b та β . Аналогічно, як і при перевірці умо-
ви 4 леми 3.1, приходимо до висновку, що матриця ∂S∞(β, b)
∂βT β=β
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
є від’ємно визначеною
для всіх b ∈Θ . Отримали суперечність з рівністю (3.8). Таким чином, рівняння S∞(β, b) = 0
має єдиний розв’язок на Θ . Крім того, S∞(β, b) = 0 тоді і тільки тоді, коли β = b .
Перевіримо умову 6 леми 3.1. Щоб обґрунтувати збіжність
sup
β∈Θ
Φn (β) → 0 з імовірністю 1,
оцінимо
Φn (β) ≤ 1
n
SC (yi , xi , β, qn ) − SC (yi , xi , β, 1)
i=1
n
∑ ≤
≤ 1
n
sup
qn≤γ n≤1, β∈Θ
∂Sk (yi , xi , β, γ n )
∂qk=1
2
∑
i=1
n
∑ qn − 1 .
Нехай n0 — такий номер, що при всіх n ≥ n0 виконується qn ≥ 1− δ , де
δ ∈(0, 1) вибе-
ремо пізніше. Для збіжності
ВИПРАВЛЕНА T (q) -ВІРОГІДНА ОЦІНКА В УЗАГАЛЬНЕНІЙ ЛІНІЙНІЙ СТРУКТУРНІЙ МОДЕЛІ … 1631
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
qn − 1
1
n
sup
qn≤γ n≤1, β∈Θ
∂Sk (yi , xi , β, γ n )
∂qk=1
2
∑
i=1
n
∑ → 0 , n→ ∞ ,
використаємо посилений закон великих чисел та умову 1 теореми 3.1. Потрібно, щоб для
кожного k = 1, 2
∃δ > 0 :
Eb sup
1− δ≤γ≤1, β∈Θ
∂Sk (yi , xi , β, γ )
∂q
< ∞ .
Оцінимо x ≤ x ≤ ξ + δ , β0 ≤ C0 , β1 ≤ C1 . Враховуючи зображення (3.4), приходимо
до умови 6 теореми 3.1.
Перевіримо умову 7 леми 3.1. Нехай n0 — такий номер, що при всіх n ≥ n0 виконується
qn ≥ 1− δ , де δ вибирається так, що задовольняє умову 6 леми 3.1. Нагадаємо, що Φn (β)
задається формулою (3.6). Маємо
sup
n≥1
sup
β∈Θ
∂Φn (β)
∂βT
≤
≤
sup
n≥n0
1
n
sup
β∈Θ, 1− δ≤q≤1i=1
n
∑ ∂
∂βT
SC (yi , xi , β, q) − SC (yi , xi , β, 1)( ) + sup
n<n0
sup
β∈Θ
∂Φn (β)
∂βT
.
Доданок supn<n0 supβ∈Θ
∂Φn (β)
∂βT
є скінченним м. н. Із збіжності за посиленим законом вели-
ких чисел (використовуємо умови 4, 6 теореми 3.1, щоб забезпечити скінченність математич-
ного сподівання від супремума)
1
n
sup
β∈Θ, 1− !δ≤q≤1i=1
n
∑ ∂
∂βT
SC (yi , xi , β, q) − SC (yi , xi , β, 1)( ) →
→
E sup
β∈Θ, 1− !δ≤q≤1
∂
∂βT
SC (yi , xi , β, q) − SC (yi , xi , β, 1)( ) , n→ ∞ м. н.
випливає обмеженість м. н. послідовності
1
n
sup
β∈Θ, 1− !δ≤q≤1
∂
∂βT
SC (yi , xi , β, q) − SC (yi , xi , β, 1)( ) : n ≥ 1
i=1
n
∑
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
.
Отже, всі умови леми 3.1 виконано, а отже, теореми 3.1 та 3.2 доведено.
4. Приклади моделей та асимптотична нормальність оцінки. Умови теорем 3.1 і 3.2
виконуються, зокрема, у показниковій структурній моделі з похибками вимірювання, для якої
1632 А. В. САВЧЕНКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
f (y η) = exp β0 + β1ξ − eβ0+β1ξy( ) , η = −eβ0+β1ξ ,
y ≥ 0 , φ = 1 , C(η) = −ln(−η) = −β0 − β1ξ , r(x) = −ex , c(y, φ) = 0 ,
u1 = ′′C r(b0 + b1ξ)( ) ′r (b0 + b1ξ)( )2 = 1 , h1(x, β) = −exp β0 + β1x −
β12σδ
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
,
h2(x, β) = − x − β1σδ
2( ) exp β0 + β1x −
β12σδ
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, z1(x, β) = −1 , z2(x, β) = −x .
Цей випадок розглянуто у [7].
Іншим прикладом є пуассонівська модель [8, c. 162], яка теж є узагальненою лінійною
моделлю з функціями
η = β0 + β1ξ , φ = 1 , C(η) = eη , r(x) = x , c(y, φ) = −ln y !( ) ,
u1 = ′′C r(b0 + b1ξ)( ) ′r (b0 + b1ξ)( )2 = eb0+b1ξ , h1(x, β) = 1 , h2(x, β) = x ,
z1(x, β) = exp β0 + β1x −
β12σδ
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, z2(x, β) = x − β1σδ
2( ) exp β0 + β1x −
β12σδ
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
.
Цей випадок розглянуто у [10].
Лінійна структурна модель з похибками вимірювання має вигляд
y = β0 + β1ξ + ε , x = ξ + δ ,
де змінна ε не залежить від ξ та δ і має нормальний розподіл ε ~ N 0, σε
2( ) , дисперсії
σε
2 та σδ
2 вважаємо відомими. Ця модель є частковим випадком узагальненої лінійної мо-
делі з функціями
f (y η) = 1
2πφ
exp yη− C(η)
φ
+ c(y, φ)⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
,
η = β0 + β1ξ , C(η) = η2
2
, r(x) = x , φ = σε
2 ,
c(y, φ) = − y
2
2φ
, u1 = ′′C r(b0 + b1ξ)( ) ′r (b0 + b1ξ)( )2 = 1 ,
h1(x, β) = 1 , h2(x, β) = x , z1 = β0 + β1x , z2 = β0x + β1x2 − β1σδ
2 .
Рівняння (3.2) і (3.3) набирають вигляду
ВИПРАВЛЕНА T (q) -ВІРОГІДНА ОЦІНКА В УЗАГАЛЬНЕНІЙ ЛІНІЙНІЙ СТРУКТУРНІЙ МОДЕЛІ … 1633
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
E fk, l
(q)(x, β) ξ( ) = β0 + β1ξ( )k 1
2l
β0 + β1ξ( )2l 1; ξ( )T ,
E gk, l
(q) (x, β) ξ( ) = β0 + β1ξ( )k 1
2l
β0 + β1ξ( )2l β0 + β1ξ( ) 1; ξ( )T ,
звідки знаходимо функції fk+1,l
(q) (x, β) = gk,l
(q)(x, β) . Маємо
E fk, l
(q)(x, β) ξ( ) = 1
2l
Ck+2li
i=0
k+2l
∑ β0k+2l−i β1ξ( )i 1; ξ( )T .
Відомо, що розв’язком рівняння
E t j (ξ + δ) ξ( ) = ξ j , j ≥ 0 ,
є функція
t j (x) = H j
x
σδ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
σδ
j ,
H j (z) = −1( ) j exp z2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
exp − z
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
( j )
— многочлен Ерміта [9, c. 169]. Тоді вектор-функція
fk,l
(q)(x, β) = 1
2l
Ck+2li β0k+2l−iβ1iσδ
i Hi
x
σδ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟i=0
k+2l
∑
Ck+2li β0k+2l−iβ1iσδ
i+1Hi+1
x
σδ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟i=0
k+2l
∑
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
складається з многочленів степеня k + 2l та k + 2l + 1 відповідно. Диференціюванням
E yn−1/ η( ) по η знаходимо
E yn/ η( ) і методом математичної індукції доводимо, що це
буде поліном n-го степеня відносно ξ . Для степеневого ряду zn
n !n=0
∞∑ un , щоб забезпечити
додатний радіус збіжності, вимагаємо виконання умови un ≤ Cn ⋅ n !. Теорему 3.1 для ліній-
ної моделі переформулюємо таким чином.
Теорема 4.1. Нехай у лінійній структурній моделі з похибками вимірювання виконують-
ся такі умови:
1) показник q залежить від обсягу вибірки, q = qn , причому 0 < qn ≤ 1 , n ≥ 1 , та
1634 А. В. САВЧЕНКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
qn → 1 при n→ ∞ ;
2) параметрична множина Θ є компактною в R2 , а істинне значення b параметра
β є внутрішньою точкою Θ ;
3) існує K > 0 таке, що ξ ≤ K м. н., де K — невідома стала; крім того, ξ не є
сталою;
4) β1 ≠ 0 .
Тоді зрештою рівняння (3.5) має розв’язок.
У гамма-моделі
f y/η( ) = 1
Γ(p)
p
ω
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
p
y p−1 exp − yp
ω
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ , y > 0 , ω = exp β0 + β1ξ( ) ,
значення p > 0 вважаємо відомим, x = ξ + δ . Гамма-модель є узагальненою лінійною мо-
деллю з функціями
η = −ω−1 , C(η) = −ln(−η) = ln ω ,
r(x) = −e−x , φ = 1
p
, c(y, φ) = 1
φ
ln y
φ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− ln yΓ 1
φ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
,
u1 = ′′C r(b0 + b1ξ)( ) ′r b0 + b1ξ( )( )2 = 1 , h1(x, β) = exp −β0 − β1x −
β12σδ
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
,
h2(x, β) = x + β1σδ
2( ) exp −β0 − β1x −
β12σδ
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, z1(x, β) = 1 , z2(x, β) = x .
Рівняння (3.2) і (3.3) набирають вигляду
E fk,l
(q)(x, β) ξ( ) = −1( )k e−(k+1)(β0+β1ξ) β0 + β1ξ( )l 1; ξ( )T ,
E gk,l
(q)(x, β) ξ( ) = −1( )k e−k(β0+β1ξ) β0 + β1ξ( )l 1; ξ( )T .
Розглянемо функцію fk,l
(q)(x, β) = −1( )k e−(k+1) β0+β1x( )Pl+1(x) , де Pl+1(x) — многочлен степеня
l + 1 . Підставляючи це зображення у щойно згадане рівняння та прирівнюючи коефіцієнти
при степенях ξ в лівій і правій частинах, отримуємо невідомі коефіцієнти у многочлені
Pl+1(x) . Аналогічно знаходимо gk,l
(q)(x, β) . Без жодних змін теорема 4.1 переноситься на ви-
падок гамма-моделі.
Означення 4.1. Послідовність випадкових величин ξn : n ≥ 1{ } на одному ймовірніс-
ному просторі називається стохастично обмеженою, якщо supn≥1 P ξn > C{ } → 0,
ВИПРАВЛЕНА T (q) -ВІРОГІДНА ОЦІНКА В УЗАГАЛЬНЕНІЙ ЛІНІЙНІЙ СТРУКТУРНІЙ МОДЕЛІ … 1635
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
C → +∞ , і позначається ξn = Op (1) . Позначимо ηn = op (1) , якщо ηn
P→ 0, n→ ∞ .
Зауваження 4.1. Умова ξn = Op (1) рівносильна такій:
lim
n→∞
P ξn > C{ } → 0 , C → +∞ .
Сформулюємо допоміжні твердження, що використовуються у доведенні теореми 4.2.
Лема 4.1. Якщо послідовність випадкових векторів збігається за розподілом, то вона
стохастично обмежена.
Лема 4.2. Має місце Op (1) op (1) = op (1) .
Лема 4.3 (лема Слуцького [12, c. 334]). Нехай ξn
d→ ξ , ηn
P→ 0, n→ ∞ . Тоді ξn +
+ ηn
d→ ξ , n→ ∞ .
Лема 4.4. Нехай ξn , ηn , n ≥ 1{ } — послідовності випадкових величин, такі, що
ηn P→ 1, n→ ∞ , ξn ≥ 0 м. н., ξnηn ≤ zn м. н., zn = Op (1) . Тоді має місце ξn = Op (1) .
Лема 4.5 (наслідок леми Слуцького). Нехай ξn
d→ ξ , ηn
P→ a , n→ ∞ . Тоді
ξnηn d→ aξ , n→ ∞ .
Теорема 4.2 (про асимптотичну нормальність). Нехай виконуються умови теореми 3.1 та
додатково виконуються такі умови:
1) n(1− qn )→ 0 , n→ ∞ ;
2) Eb supβ∈Θ y ∂2hi (x, β)
∂β j ∂βk
< ∞ , E supβ∈Θ
∂2 zi (x, β)
∂β j ∂βk
< ∞ , i = 1, 2 , j = 0, 1 , k = 0, 1 ;
3) E z(x, β) 2 < ∞ , E h(x, β) 2 < ∞ .
Тоді
n
βn (qn ) − b( ) d→ N 0, Σ( ) , де b є істинним значенням β ,
Σ = V −1BV −1 , V = −
Eu1 Eξu1
Eξu1 Eξ2u1
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
, u1 = ′′C ⋅ ( ′r )2 , B = Covb SC
(1)(y, x, b) .
Функція C та її похідні розглядаються з аргументом r(b0 + b1ξ) , ′r розглядається з
аргументом b0 + b1ξ , b = b0; b1( )T .
Зауваження 4.2. Асимптотична коваріаційна матриця оцінки
βn (qn ) збігається з
асимптотичною коваріаційною матрицею оцінки, побудованої методом виправленої оціночної
функції при q = 1 .
Доведення теореми 4.2. Маємо
SC (yi , xi ,
⌢
βn , qn )
i=1
n
∑ = 0 , (4.1)
1636 А. В. САВЧЕНКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
де qn → 1 при n→ ∞ (ця рівність виконується зрештою), оціночну функцію SC введено
перед формулюванням теореми 3.1. Помноживши на n , запишемо рівність (4.1) у вигляді
1
n
SC yi , xi ,
⌢
βn , 1( )
i=1
n
∑ + nΦn
⌢
βn( ) = 0 .
Згідно з теоремою 3.2
βn → b м. н. Оскільки b — внутрішня точка Θ , то
βn зрештою
стає також внутрішньою точкою Θ . Врахувавши EbSC yi , xi , b,( 1 ) = 0 , розкладемо
SC yi , xi ,
⌢
βn , 1( ) у ряд Тейлора за третім аргументом в околі b , тоді
1
n
SC yi , xi , b, 1( ) − EbSC yi , xi , b, 1( )( )
i=1
n
∑ +
+
1
n
∂
∂βTi=1
n
∑ SC yi , xi , b, 1( ) n
⌢
βn − b( ) +
nΦn
⌢
βn( ) + n rest = 0 , (4.2)
де rest = 1
n
Rii=1
n∑ , Ri — залишок розкладу
SC yi , xi ,
⌢
βn , 1( ) у ряд Тейлора за третім
аргументом в околі b . За центральною граничною теоремою
un : =
1
n
SC (yi , xi , b, 1) − EbSC (yi , xi , b, 1)( )
i=1
n
∑ →d N (0, B) (4.3)
при n→ ∞ , де B = Covb SC (y, x, b, 1)( ) . Згідно з (4.3) та лемою 4.1 послідовність
un : =
1
n
SC (yi , xi , b, 1) − EbSC (yi , xi , b, 1)( )
i=1
n
∑ = Op (1) .
За посиленим законом великих чисел з імовірністю 1
1
n
∂
∂βTi=1
n
∑ SC (yi , xi , b, 1) → E ∂
∂βT
SC (y, x, b, 1) : = −V
— невироджена матриця, як доведено в теоремі 3.1. Для матриць будемо використовувати
норму A = aiji, j=1
2∑ .
Далі встановимо, що
n rest →P 0. (4.4)
Зафіксуємо Δ > 0 так, що β : β − β0 ≤ Δ{ } ⊂ Θ . Тоді м. н. при всіх n ≥ nΔ (ω) викону-
ВИПРАВЛЕНА T (q) -ВІРОГІДНА ОЦІНКА В УЗАГАЛЬНЕНІЙ ЛІНІЙНІЙ СТРУКТУРНІЙ МОДЕЛІ … 1637
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ється
⌢
βn − b ≤ Δ . При n ≥ nΔ (ω) маємо
n rest ≤ 1
n
sup
β−b ≤Δ
1
2i=1
n
∑ ∂2
∂β2
SC (yi , xi , β, 1) n
⌢
βn − b
⌢
βn − b ≤
≤
1
n
sup
β−b ≤Δ
1
2i=1
n
∑ ∂2
∂β2
SC (yi , xi , β, 1) n
⌢
βn − b
⌢
βn − b .
Врахуємо стохастичну обмеженість
n
βn − b( ) , яку доведемо пізніше, та консистентність
оцінки
βn . Тоді з нерівності
n rest ≤ n
⌢
βn − b oP (1) та леми 4.2 отримаємо
n rest = oP (1) . Використаємо посилений закон великих чисел. Згідно з умовою 2 теоре-
ми 4.2 виконується
Eb sup
β−b ≤Δ
∂2
∂β2
SC (y, x, β, 1) < ∞ .
Множина β = β0, β1( ) : β0 − b0( )2 + β1 − b1( )2 ≤ Δ2{ } є підмножиною β = β0, β1( ) :{
β0 − b0 ≤ Δ , β1 − b1 ≤ Δ} . Оцінимо x ≤ x ≤ ξ + δ , β0 ≤ C0 , β1 ≤ C1 , де C0 =
= b0 + Δ , C1 = b1 + Δ .
Доведемо, що з імовірністю 1
n sup
βn−b ≤Δ
Φn
βn( ) → 0 . (4.5)
Для цього оцінимо
sup⌢
βn−b ≤Δ
Φn
⌢
βn( ) ≤
1
n
sup⌢
βn−b ≤Δ
SC (yi , xi ,
⌢
βn , qn ) − SC (yi , xi ,
⌢
βn , 1)
i=1
n
∑ ≤
≤
1
n
sup⌢
βn−b ≤Δk=1
2
∑
i=1
n
∑ sup
qn≤γ n≤1
∂Sk (yi , xi ,
⌢
βn , γ n )
∂q
qn − 1 .
Нехай n0 — такий номер, що при всіх n ≥ n0 виконується qn ≥ 1− δ . Зафіксуємо Δ > 0
таке, що β : β − b ≤ Δ{ } ⊂ Θ . Тоді м. н. при всіх n ≥ nΔ (ω) виконується
⌢
βn − b ≤ Δ .
При n ≥ nΔ (ω) та n ≥ n0 для збіжності
n qn − 1
1
n
sup
β−b ≤Δ, 1− !δ≤γ≤1k=1
2
∑
i=1
n
∑ ∂Sk (yi , xi , β, γ )
∂q
→ 0 , n→ ∞ ,
1638 А. В. САВЧЕНКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
використовуємо посилений закон великих чисел та умову 1 теореми 4.2. Потрібно, щоб для
кожного k = 1, 2
∃!δ > 0 ː
Eb sup
β−b ≤Δ, 1− !δ≤γ≤1
∂Sk (yi , xi , β, γ )
∂q
< ∞ .
Нагадаємо, що
un : =
1
n
SC (yi , xi , b, 1) − EbSC (yi , xi , b, 1)( )
i=1
n
∑ = Op (1) .
Із (4.5) випливає, що
n Φn
⌢
βn( ) = op (1) . Застосувавши леми 4.1 і 4.3, остаточно отримаємо
1
n
SC yi , xi , b, 1( ) − EbSC yi , xi , b, 1( )( )
i=1
n
∑ + nΦn
⌢
βn( ) = Op (1) .
Нагадаємо, що залишок rest уведено в (4.2). З міркувань, що доводять (4.4), зрозуміло, що
n rest =
n
⌢
βn − b op (1) .
Враховуючи (4.3) – (4.5) та лему 4.3, з рівності (4.2) при n→ ∞ отримуємо
Op (1) + −V + op (1)( ) n(
⌢
βn − b)( ) = 0 . (4.6)
Помножимо (4.6) на V −1 і одержимо
Op (1) + −I + op (1)( ) n (
⌢
βn − b)( ) = 0 ,
звідки випливає рівність
n(
⌢
βn − b) 1− op (1)( ) = Op (1) . (4.7)
Застосувавши до (4.7) лему 4.4, де
ξn = n(
⌢
βn − b) , ηn = op (1) , zn = Op (1) , отримаємо,
що ξn = Op (1) і (4.4) справджується. Згідно з формулами (4.2) – (4.5) та лемами 4.1 – 4.5
виконується
n
⌢
βn − b( ) = 1
n
∂
∂βT
SC (yi , xi , b, 1)
i=1
n
∑
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−1
−un − n rest − n Φn
⌢
βn( )( )
→d
→d
N 0, V −1ΣV −1( ) .
5. Висновки. Вивчається узагальнена лінійна модель регресії з нормально розподіленою
похибкою вимірювання. Припускається, що дисперсія σδ
2 похибки вимірювання і параметр
ВИПРАВЛЕНА T (q) -ВІРОГІДНА ОЦІНКА В УЗАГАЛЬНЕНІЙ ЛІНІЙНІЙ СТРУКТУРНІЙ МОДЕЛІ … 1639
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
розсіяння є відомими. Щоб оцінити невідомий параметр, побудовано виправлену T (q) -віро-
гідну оцінку. Наведено достатні умови її строгої консистентності та асимптотичної нормаль-
ності. T (q) -вірогідна оцінка має таку ж асимптотичну коваріаційну матрицю, як і оцінка,
побудована методом виправленої оціночної функції при q = 1 . Загальні теореми застосовано
до конкретних моделей: показникової, пуассонівської, лінійної, гамма-моделі. У подальшому
планується розглянути випадок, коли параметр розсіяння є невідомим, а також порахувати
функції впливу [9] (гл. 7), щоб обґрунтувати робастні властивості моделі за наявності
аномальних спостережень регресора.
1. Kukush A., Schneeweiss H. Comparing different estimators in a non-linear measurement error model. I // Math.
Meth. Statist. – 2005. – 14, № 1. – P. 53 – 79.
2. Schneeweiss H., Kukush A. Comparing the efficiency of structural and functional methods in measurement error
models // Теорія ймовірностей та мат. статистика. – 2009. – Вип. 80. – C. 119 – 129.
3. Cheng C.-L., Schneeweiss H. Polynomial regression with errors in the variables // J. R. Statist. Soc. B. – 1998. –
60. – P. 189 – 199.
4. Kukush A., Markovsky I., Van Huffel S. Consistent adjusted least squares estimator for errors-in-variables model
AXB = C // Metrika. – 2003. – 57, № 3. – P. 253 – 285.
5. Ferrari D., Yang Y. Maximum Lq -likelihood estimation // Ann. Statist. – 2010. – 38, № 2. – P. 753 – 783.
6. Kolev N. Maximum T (q) -likelihood estimation: a new method and its application in risk management //
Actuarial Sci. & Finance: Proc. 6th Conf. (Samos, Greece, June 3 – 6, 2010). – Samos, 2010. – P. 22.
7. Савченко А. В. Виправлення T (q) -вірогідної оцінки в показниковій структурній моделі з похибками вимі-
рювання // Теорія ймовірностей та мат. статистика. – 2012. – Вип. 86. – С. 172 – 181.
8. Carroll R. J., Ruppert D., Stefanski L. A., Crainiceanu C. Measurement error in nonlinear models: a modern
perspective. – 2 nd ed. – London; New York: Chapman & Hall, 2006. – 488 p.
9. Cheng C.-L., Van Ness J. W. Statistical regression with measurement error. – London: Arnold Publ., 1999. –
262 p.
10. Савченко А. Модифікована оцінка максимальної вірогідності в пуассонівській структурній моделі з по-
хибками вимірювання // Вісн. Київ. нац. ун-ту ім. Т. Шевченка. Сер. математика, механіка. – 2012. –
Вип. 28. – С. 26 – 31.
11. Усольцева О. С. Конзистентна оцінка в моделі тривалості життя з цензурованими спостереженнями за на-
явності похибок вимірювання // Теорія ймовірностей та мат. статистика. – 2010. – Вип. 82. – С. 156 – 162.
12. Ширяев А. Вероятность: В 2 кн. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: МЦНМО, 2004. – Кн. 1. – 520 с.
Одержано 05.01.14
|