Наближення операторами Валле Пуссена на класах функцій, локально інтегровних на дійсній осі
Для точных верхних граней отклонений операторов Валле Пуссена на классах Lˆψβ определяемых быстро убывающими к нулю функциями в метрике пространств Lˆp,1≤p≤∞, установлены оценки сверху, которые на некоторых подмножествах функций из Lˆp являются точными....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166184 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближення операторами Валле Пуссена на класах функцій, локально інтегровних на дійсній осі / В.І. Рукасов, С.О. Чайченко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 968–978. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166184 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661842020-02-19T01:26:21Z Наближення операторами Валле Пуссена на класах функцій, локально інтегровних на дійсній осі Рукасов, В.І. Чайченко, С.О. Статті Для точных верхних граней отклонений операторов Валле Пуссена на классах Lˆψβ определяемых быстро убывающими к нулю функциями в метрике пространств Lˆp,1≤p≤∞, установлены оценки сверху, которые на некоторых подмножествах функций из Lˆp являются точными. For the least upper bounds of deviations of the de la Vallée-Poussin operators on the classes L^ψβ of rapidly vanishing functions ψ in the metric of the spaces L^p, 1 ≤ p ≤ ∞, we establish upper estimates that are exact on some subsets of functions from L^p. 2010 Article Наближення операторами Валле Пуссена на класах функцій, локально інтегровних на дійсній осі / В.І. Рукасов, С.О. Чайченко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 968–978. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166184 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Рукасов, В.І. Чайченко, С.О. Наближення операторами Валле Пуссена на класах функцій, локально інтегровних на дійсній осі Український математичний журнал |
| description |
Для точных верхних граней отклонений операторов Валле Пуссена на классах Lˆψβ определяемых быстро убывающими к нулю функциями в метрике пространств Lˆp,1≤p≤∞, установлены оценки сверху, которые на некоторых подмножествах функций из Lˆp являются точными. |
| format |
Article |
| author |
Рукасов, В.І. Чайченко, С.О. |
| author_facet |
Рукасов, В.І. Чайченко, С.О. |
| author_sort |
Рукасов, В.І. |
| title |
Наближення операторами Валле Пуссена на класах функцій, локально інтегровних на дійсній осі |
| title_short |
Наближення операторами Валле Пуссена на класах функцій, локально інтегровних на дійсній осі |
| title_full |
Наближення операторами Валле Пуссена на класах функцій, локально інтегровних на дійсній осі |
| title_fullStr |
Наближення операторами Валле Пуссена на класах функцій, локально інтегровних на дійсній осі |
| title_full_unstemmed |
Наближення операторами Валле Пуссена на класах функцій, локально інтегровних на дійсній осі |
| title_sort |
наближення операторами валле пуссена на класах функцій, локально інтегровних на дійсній осі |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166184 |
| citation_txt |
Наближення операторами Валле Пуссена на класах функцій, локально інтегровних на дійсній осі / В.І. Рукасов, С.О. Чайченко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 968–978. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT rukasovví nabližennâoperatoramivallepussenanaklasahfunkcíjlokalʹnoíntegrovnihnadíjsníjosí AT čajčenkoso nabližennâoperatoramivallepussenanaklasahfunkcíjlokalʹnoíntegrovnihnadíjsníjosí |
| first_indexed |
2025-07-14T20:56:30Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:56:30Z |
| _version_ |
1837657328292200448 |
| fulltext |
УДК 517.5
В. И. Рукасов , С. О. Чайченко (Слов’ян. держ. пед. ун-т)
НАБЛИЖЕННЯ ОПЕРАТОРАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА
НА КЛАСАХ ФУНКЦIЙ, ЛОКАЛЬНО IНТЕГРОВНИХ
НА ДIЙСНIЙ ОСI*
For least upper bounds of deviations of the Vallée Poussin operators on the classes L̂ψβ , which are defined
by functions ψ rapidly decreasing to zero, in metric of spaces L̂p, 1 ≤ p ≤ ∞, we establish estimates from
above that are exact on some subsets of functions from L̂p.
Для точных верхних граней отклонений операторов Валле Пуссена на классах L̂ψβ , определяемых
быстро убывающими к нулю функциями ψ, в метрике пространств L̂p, 1 ≤ p ≤ ∞, установлены
оценки сверху, которые на некоторых подмножествах функций из L̂p являются точными.
Нехай L̂p, 1 ≤ p ≤ ∞, — множина функцiй ϕ, заданих на дiйснiй осi R (i не
обов’язково перiодичних), якi мають скiнченну норму
‖ϕ‖p̂ =
sup
a∈R
a+2π∫
a
|ϕ(t)|p dt
1/p
, p ∈ [1;∞),
ess sup
t∈R
|ϕ(t)|, p =∞.
Нехай, далi, ψ(v) — неперервна при всiх v ≥ 0 функцiя, для якої майже при всiх
t ∈ R iснує перетворення
ψ̂β(t) =
1
π
∞∫
0
ψ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv, (1)
в якому β — фiксоване дiйсне число.
Тодi, наслiдуючи О. I. Степанця [1, c. 168], через L̂ψβ будемо позначати множину
функцiй f ∈ L̂1, якi майже при всiх x ∈ R задаються згорткою
f(x) = A0 +
∞∫
−∞
ϕ(x− t)ψ̂β(t) dt, (2)
де A0 — деяка стала, ϕ ∈ L̂1, a iнтеграл розумiється як границя iнтегралiв по си-
метричних промiжках, що розширюються. Якщо f ∈ L̂ψβ i при цьому ϕ ∈ N, де
N — деяка пiдмножина з L̂1, то покладають f ∈ L̂ψβN. Функцiю ϕ(·) у зображен-
нi (2) називають (ψ, β)-похiдною функцiї f(·) i для неї використовують позначення
ϕ(·) = fψβ (·). Водночас функцiю f(·) називають (ψ, β)-iнтегралом функцiї ϕ(·) i
позначають J ψβ (ϕ; ·).
У роботi [1, c. 169] встановлено зв’язок мiж множинами L̂ψβ i вiдповiдними
множинами 2π-перiодичних функцiй Lψβ , ранiше введеними О. I. Степанцем (див.,
*Виконано за часткової пiдтримки Нiмецького фонду наукових дослiджень (DFG) у рамках проекту
436 UKR 113/103/0-1.
c© В. I. РУКАСОВ , С. О. ЧАЙЧЕНКО, 2010
968 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ОПЕРАТОРАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА КЛАСАХ ФУНКЦIЙ . . . 969
наприклад, [2, c. 131]). Зокрема, показано, що якщо функцiя ψ(v) неперервна при
всiх v ≥ 0, β ∈ R i перетворення ψ̂β(t) вигляду (1) є сумовним на всiй дiйснiй осi,
то
L̂ψβL
0
1 = Lψβ , L̂ψβN = LψβN, N ⊂ L0
1.
Тут L0
1 — множина 2π-перiодичних сумовних на перiодi функцiй ϕ, для яких∫ π
−π
ϕ(t) dt = 0.
Функцiї f ∈ L̂ψβN будемо наближати за допомогою агрегатiв, якi були введенi
О. I. Степанцем [1, c.176] таким чином:
Vσ,c(f ;x) = A0 +
∞∫
−∞
fψβ (x− t)(ψ̂λσ,c)β(t) dt, (3)
де (ψ̂λσ,c)β(t) — перетворення вигляду (1) добутку ψ(v)λσ,c(v), в якому
λσ,c(v) =
1, 0 ≤ v ≤ c,
σ − v
σ − c
, c < v < σ,
0, σ ≤ v.
(4)
Тут i в подальшому c — деяке число з промiжку [0;σ).
Вiдомо (див., наприклад, твердження IX.3.3 з монографiї [1]), що якщо f ∈
∈ CψβN, де CψβN — пiдмножина неперервних 2π-перiодичних функцiй з класу
L̂ψβN, а ψ(v) — функцiя, неперервна при всiх v ≥ 0, i її перетворення ψ̂β(t) є
сумовним на R, то для довiльних c < σ
Vσ,c(f ;x) =
a0
2
+
∑
k<σ
λσ,c(k)(ak cos kx+ bk sin kx). (5)
Тут a0, ak i bk, k = 1, 2, . . . , — коефiцiєнти Фур’є функцiї f(·).
Оператори Vσ,c(f ;x) ми називаємо операторами Валле Пуссена функцiї f(x),
оскiльки зi спiввiдношень (4) i (5) випливає, що в перiодичному випадку при
σ = n ∈ N i c = n − m, m ∈ N, m < n, цi оператори збiгаються з вiдомими
сумами Валле Пуссена
Vn,m(f ;x) =
1
m
n−1∑
k=n−m
Sk(f ;x),
де Sk(f ;x), k = 0, 1, . . . , — частиннi суми порядку k ряду Фур’є функцiї f(x).
У цiй роботi викладено результати щодо оцiнок норм величин
ρσ,c(f ;x) = f(x)− Vσ,c(f ;x), f ∈ L̂ψβ , (6)
у просторах L̂p, 1 ≤ p ≤ ∞, у випадку, коли функцiї ψ належать до множини Dα,
яка означається таким чином [3].
Наслiдуючи О. I. Степанця (див., наприклад, [1, c. 193]), позначимо через M
множину неперервних опуклих донизу при всiх v ≥ 1 функцiй ψ(v), для яких
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
970 В. И. РУКАСОВ , С. О. ЧАЙЧЕНКО
lim
v→∞
ψ(v) = 0. Кожну функцiю ψ ∈ M продовжимо на промiжок [0; 1) так, щоб
отримана функцiя
(
яку, як i ранiше, будемо позначати через ψ(·)
)
була неперервною
при всiх v ≥ 0, ψ(0) = 0 i її похiдна ψ′(v) = ψ′(v + 0) мала обмежену варiацiю
на промiжку [0;∞). Множину таких функцiй позначимо через A. Нехай, далi, A∗
— пiдмножина функцiй ψ ∈ A, у яких, починаючи з деякого v0, iснує скiнченна
похiдна другого порядку ψ′′(v). Тодi покладемо
Dα =
{
ψ ∈ A∗ : lim
v→∞
ψ′′(v)
ψ′(v)
= −α, α > 0
}
.
Зазначимо, що якщо ψ ∈ Dα, то за правилом Лопiталя
lim
v→∞
ψ′(v)
ψ(v)
= lim
v→∞
ψ′′(v)
ψ′(v)
= −α, α > 0. (7)
Крiм того, якщо ψ ∈ Dα, то послiдовнiсть ψ(k), k = 1, 2, . . . , є елементом множини
Dq з роботи [4]:
Dq =
{
ψ(k) : lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q, q = e−α, α > 0
}
.
Дiйсно, використовуючи теорему про граничний перехiд пiд знаком iнтеграла i
враховуючи спiввiдношення (7), знаходимо
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= lim
k→∞
eln
ψ(k+1)
ψ(k) = e
lim
k→∞
∫ k+1
k
ψ′(v)
ψ(v)
dv
=
= e
lim
k→∞
∫ 1
0
ψ′(v+k)
ψ(v+k)
dv
= e−α = q.
Дослiдження апроксимацiйних властивостей класiв перiодичних функцiй та
класiв функцiй, заданих i локально iнтегровних на дiйснiй осi, мають багату iсто-
рiю, з основними вiхами якої та останнiми результатами у цьому напрямi можна
ознайомитись, наприклад, у книгах [1, 2, 5]. Зокрема, в монографiях [1, 5] викладе-
но результати щодо наближень операторами вигляду (3) класiв L̂ψβN i ĈψβN. Щодо
дослiджень, пов’язаних з випадком, який розглядається у цiй роботi, зазначимо
наступне.
У роботi [4] дослiджувалась асимптотична поведiнка при n→∞ точних верх-
нiх меж
E(LψβN;Sn)p = sup
f∈LψβN
‖f(·)− Sn(f ; ·)‖p, 1 ≤ p ≤ ∞, (8)
‖ϕ‖p =
2π∫
0
|ϕ(t)|p dt
1/p
, 1 ≤ p <∞,
ess sup
t∈[0;2π]
|ϕ(t)|, p =∞,
вiдхилень сум Фур’є на класах функцiй LψβN, ψ ∈ Dq. Зауважимо, що у цьому
випадку елементами множин LψβN є 2π-перiодичнi функцiї, якi можна регуляр-
но продовжити у смугу комплексної площини |Im z| ≤ ln 1/q (див., наприклад,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ОПЕРАТОРАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА КЛАСАХ ФУНКЦIЙ . . . 971
[2, c. 351], а також роботу [6], в якiй у термiнах (ψ;β)-похiдних встановлено но-
вi критерiї аналiтичностi перiодичних функцiй). У роботi [4], зокрема, показано,
що задачi про отримання асимптотичних рiвностей для величин (8) можна звести
до аналогiчних задач для точних верхнiх меж E(LqβN;Sn)p вiдхилень сум Фур’є
на класах iнтегралiв Пуассона (означення яких наведене, наприклад, у книзi [2,
c. 301]). Це дало можливiсть скористатись вiдомими результатами для величин то-
чних верхнiх меж вiдхилень сум Фур’є на класах iнтегралiв Пуассона [7, 8] i в низцi
важливих випадкiв для величини (8) знайти асимптотичнi рiвностi. У подальшому
результати роботи [4] було поширено на випадок наближення сумами Валле Пуссе-
на на класах аналiтичних функцiй [9], а також на випадок наближення у просторах
функцiй, локально iнтегровних на дiйснiй осi (i не обов’язково перiодичних), за
допомогою операторiв Фур’є [3].
У цiй роботi ми встановимо результат, аналогiчний до результату роботи [9], у
випадку наближення операторами Vσ,c(f ;x) на класах L̂ψβ . Доведення проводить-
ся за схемою, запропонованою у роботi [4]. При цьому для отримання основних
тверджень використаємо вiдповiднi результати роботи [10], де вивчались апрокси-
мацiйнi властивостi операторiв Vσ,c(f ;x) на класах L̂ψβ у випадку, коли
ψ(v) =
ψ1(v), v ∈ [0; 1),
e−αv, v ≥ 1.
Тут α > 0 — довiльне дiйсне число, ψ1(v) — деяка абсолютно неперервна функцiя,
що має похiдну ψ′1(v) обмеженої варiацiї на вiдрiзку [0; 1] i така, що ψ1(0) sin
βπ
2
=
= 0 i ψ1(1) = e−α. В цьому випадку множини L̂ψβ позначають через L̂αβ , а (ψ;β)-
похiдну i (ψ;β)-iнтеграл — через fαβ i J αβ вiдповiдно.
Нехай
Eσ(ϕ)p̂ = inf
u∈W 2
σ
‖ϕ(·)− u(·)‖p̂, W 2
σ =
{
u ∈ Eσ :
∞∫
−∞
u2(t)
1 + t2
dt <∞
}
,
де Eσ — множина цiлих функцiй експоненцiального типу, що не перевищує σ.
Основним результатом роботи є таке твердження.
Теорема 1. Якщо ψ ∈ Dα i β ∈ R, то для довiльної функцiї f ∈ L̂ψβ L̂p,
1 ≤ p ≤ ∞, при c→∞
‖ρσ,c(f ; ·)‖p̂ = ψ(c)
[
eαc‖ρσ,c(J αβ (f
ψ
β ); ·)‖p̂ +O(1)
(α2 + 1)εc
α3(σ − c)
Ec(f
ψ
β )p̂
]
, (9)
де
εc = max
{
ε(1)c , ε(2)c
}
, ε(1)c = sup
t≥c
∣∣∣∣ψ′(t)ψ(t)
+ α
∣∣∣∣ , ε(2)c = sup
t≥c
∣∣∣∣ψ′′(t)ψ(t)
− α2
∣∣∣∣ ,
(10)
а O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно параметрiв σ, c, p, α, ψ, β i f.
Теорема 1 встановлює зв’язок мiж нормами у просторах L̂p величин ρσ,c(f ; ·),
f ∈ L̂ψβ L̂p, ψ ∈ Dα, означених у спiввiдношеннi (6), та величин ρσ,c(J αβ (f
ψ
β ); ·) i є
неперiодичним аналогом теореми 1 з роботи [9]. Дiйсно, якщо f ∈ Cψβ , σ = n ∈ N,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
972 В. И. РУКАСОВ , С. О. ЧАЙЧЕНКО
c = n−m ∈ N i p =∞, то теорема 1 мiститься у твердженнi теореми 1 роботи [9].
Якщо до того ж m = 1, то теорема 1 випливає з теореми 1 роботи [4]. При цьому
слiд зазначити, що форма залишкового члена формули (9) вiдрiзняється вiд форми
залишкових членiв вiдповiдних спiввiдношень iз робiт [4, 9]. Зазначимо також, що
на множинах L̂ψβ L̂p аналогiчнi дослiдження проводились у роботi [3], але там роль
наближаючих агрегатiв вiдiгравали оператори iншого вигляду.
Доведення теореми 1 суттєво базується на наступнiй лемi, яка є неперервним
аналогом леми 1 з роботи [9].
Лема 1. Нехай ψ ∈ Dα, β ∈ R i λσ,c(v) — функцiя, визначена у спiввiдношен-
нi (4). Тодi для довiльних чисел σ > 0 i c ∈ [0;σ) виконується рiвнiсть
∞∫
c
(1− λσ,c(v))ψ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
= ψ(c)
[
eαc
∞∫
c
(1− λσ,c(v))e−αv cos
(
vt+
βπ
2
)
dv + rσ,c(t)
]
, (11)
до того ж для величини rσ,c(t) = rσ,c(ψ;α;β; t), починаючи з деякого c0, справ-
джуються оцiнки
|rσ,c(t)| ≤
2εc
α(α− εc)2(σ − c)
∀t ∈ R, (12)
|rσ,c(t)| ≤
1
t2
(6α+ 1)εc
(α− εc)2(σ − c)
, |t| > 0, (13)
де величина εc означена у спiввiдношеннях (10).
Доведення. Маємо
∞∫
c
[1− λσ,c(v)]ψ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
=
∞∫
0
[1− λσ,c(v + c)]ψ(v + c) cos
(
(v + c)t+
βπ
2
)
dv =
= ψ(c)
∞∫
0
[1− λσ,c(v + c)]e−αv cos
(
(v + c)t+
βπ
2
)
dv + rσ,c(t)
,
де
rσ,c(t) =
∞∫
0
[1− λσ,c(v + c)]
(
ψ(v + c)
ψ(c)
− e−αv
)
cos
(
(v + c)t+
βπ
2
)
dv. (14)
Покажемо тепер, що має мiсце оцiнка (12). Оскiльки для довiльного v ≥ 0
виконується нерiвнiсть
0 ≤
[
1− λσ,c(v + c)
]
≤ v
σ − c
, 0 < c < σ, (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ОПЕРАТОРАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА КЛАСАХ ФУНКЦIЙ . . . 973
то
|rσ,c(t)| ≤
1
σ − c
∞∫
0
v
∣∣∣∣ψ(v + c)
ψ(c)
− e−αv
∣∣∣∣ dv. (16)
Якщо
ψ(v + c)
ψ(c)
− e−αv ≥ 0, то
∣∣∣∣ψ(v + c)
ψ(c)
− e−αv
∣∣∣∣ = ψ(v + c)
ψ(c)
− e−αv = e
∫ c+v
c
ψ′(x)
ψ(x)
dx − e−αv ≤ e(−α+ε
(1)
c )v − e−αv.
Якщо ж
ψ(v + c)
ψ(c)
− e−αv < 0, то, зважаючи на опуклiсть функцiї eλt, отримуємо
∣∣∣∣ψ(v + c)
ψ(c)
− e−αv
∣∣∣∣ = e−αv − ψ(v + c)
ψ(c)
= e−αv − e
∫ c+v
c
ψ′(x)
ψ(x)
dx ≤
≤ e−αv − e(−α−ε
(1)
c )v ≤ e(−α+ε
(1)
c )v − e−αv.
Отже, ∣∣∣∣ψ(v + c)
ψ(c)
− e−αv
∣∣∣∣ ≤ e(−α+ε(1)c )v − e−αv, v ≥ 0. (17)
Внаслiдок спiввiдношень (7) i (10) величина ε(1)c > 0 монотонно прямує до
нуля при c→∞. Звiдси випливає, що, починаючи з деякого c0, буде виконуватися
нерiвнiсть −α+ ε
(1)
c < 0. Тому, враховуючи оцiнки (16) i (17), знаходимо
|rσ,c(t)| ≤
1
σ − c
∞∫
0
v(e(−α+ε
(1)
c )v − e−αv)dv =
=
1
σ − c
(
1
(α− ε(1)c )2
− 1
α2
)
≤ 2ε
(1)
c
α(α− ε(1)c )2(σ − c)
,
i, оскiльки ε(1)c < εc, то нерiвнiсть (12) виконується.
Переконаємося нарештi у виконаннi нерiвностi (13). Двiчi iнтегруючи частина-
ми i виконуючи елементарнi перетворення, одержуємо
rσ,c(t) =
1
(σ − c)t2
[(
ψ(σ)
ψ(c)
− e−α(σ−c)
)
cos
(
σt+
βπ
2
)
−
−2
σ−c∫
0
(
ψ′(v + c)
ψ(c)
+ αe−αv
)
cos
(
(v + c)t+
βπ
2
)
dv
]
−
− 1
t2
∞∫
0
[1− λ(v + c)]
(
ψ′′(v + c)
ψ(c)
− α2e−αv
)
cos
(
(v + c)t+
βπ
2
)
dv. (18)
Беручи до уваги нерiвнiсть (15) i спiввiдношення∣∣∣∣∣
(
ψ(σ)
ψ(c)
− e−α(σ−c)
)
cos
(
σt+
βπ
2
)∣∣∣∣∣ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
974 В. И. РУКАСОВ , С. О. ЧАЙЧЕНКО
=
∣∣∣∣∣− cos
(
σt+
βπ
2
) ∞∫
σ−c
(
ψ′(v + c)
ψ(c)
+ αe−αv
)
dv
∣∣∣∣∣ ≤
≤
∞∫
σ−c
∣∣∣ψ′(v + c)
ψ(c)
+ αe−αv
∣∣∣dv,
з (18) отримуємо
|rσ,c(t)| ≤
2
(σ − c)t2
∞∫
0
∣∣∣ψ′(v + c)
ψ(c)
+ αe−αv
∣∣∣dv+
+
1
(σ − c)t2
∞∫
0
v
∣∣∣ψ′′(v + c)
ψ(c)
− α2e−αv
∣∣∣dv. (19)
Встановимо оцiнки для iнтегралiв з правої частини спiввiдношення (19). Якщо
ψ′(v + c)
ψ(c)
+ αe−αv ≥ 0, то, враховуючи (10) i опуклiсть функцiї eλt, одержуємо
∣∣∣∣ψ′(v + c)
ψ(c)
+ αe−αv
∣∣∣∣ = ψ′(v + c)
ψ(c)
+ αe−αv =
= αe−αv +
ψ′(v + c)
ψ(v + c)
e
∫ c+v
c
ψ′(x)
ψ(x)
dx ≤ αe−αv − (α− ε(1)c )e−(α+ε
(1)
c )v ≤
≤ (α+ ε(1)c )e−(α−ε
(1)
c )v − αe−αv.
Якщо ж
ψ′(v + c)
ψ(c)
+ αe−αv < 0, то, мiркуючи аналогiчно, маємо
∣∣∣∣ψ′(v + c)
ψ(c)
+ αe−αv
∣∣∣∣ = −ψ′(v + c)
ψ(c)
− αe−αv =
= −ψ
′(v + c)
ψ(v + c)
e
∫ c+v
c
ψ′(x)
ψ(x)
dx − αe−αv ≤ (α+ ε(1)c )e−(α−ε
(1)
c )v − αe−αv.
Як вже зазначалося ранiше, починаючи з деякого c0, буде виконуватися нерiв-
нiсть −α+ ε
(1)
c < 0. Отже,
∞∫
0
∣∣∣∣ψ′(v + c)
ψ(c)
+ αe−αv
∣∣∣∣ dv ≤
∞∫
0
[(α+ ε(1)c )e−(α−ε
(1)
c )v −αe−αv]dv =
2ε
(1)
c
α− ε(1)c
, (20)
i необхiдну оцiнку для першого доданка з правої частини спiввiдношення (19)
встановлено.
Розглянемо тепер другий доданок iз правої частини спiввiдношення (19). Оскiль-
ки ψ ∈ Dα, то lim
t→∞
ψ′′(t)
ψ(t)
= α2. Дiйсно, враховуючи (7), знаходимо
lim
t→∞
ψ′′(t)
ψ(t)
= lim
t→∞
ψ′′(t)
ψ′(t)
ψ′(t)
ψ(t)
= α2. (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ОПЕРАТОРАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА КЛАСАХ ФУНКЦIЙ . . . 975
Тепер якщо
ψ′′(v + c)
ψ(c)
− α2e−αv ≥ 0, то, зважаючи на (10), одержуємо
∣∣∣∣ψ′′(v + c)
ψ(c)
− α2e−αv
∣∣∣∣ = ψ′′(v + c)
ψ(c)
− α2e−αv =
=
ψ′′(v + c)
ψ(v + c)
e
∫ v+c
c
ψ′(x)
ψ(x)
dx − α2e−αv ≤ (α2 + ε(2)c )e(−α+ε
(1)
c )v − α2e−αv ≤
≤ (α2 + εc)e
(−α+εc)v − α2e−αv.
Якщо ж
ψ′′(v + c)
ψ(c)
− α2e−αv < 0, то з огляду на опуклiсть функцiї eλt отримуємо
∣∣∣∣ψ′′(v + c)
ψ(c)
− α2e−αv
∣∣∣∣ = α2e−αv − ψ′′(v + c)
ψ(c)
=
= α2e−αv − ψ′′(v + c)
ψ(v + c)
e
∫ v+c
σ
ψ′(x)
ψ(x)
dx≤ α2e−αv − (α2 − ε(2)c )e(−α−ε
(1)
c )v=
= α2(e−αv− e(−α−ε
(1)
c )v) + ε(2)c e(−α−ε
(1)
c )v≤ (α2 + εc)e
(−α+εc)v− α2e−αv.
Отже,∣∣∣∣ψ′′(v + c)
ψ(c)
− α2e−αv
∣∣∣∣ ≤ (α2 + εc)e
(−α+εc)v − α2e−αv, v ≥ 0. (22)
Внаслiдок спiввiдношень (7), (10) i (21) величина εc > 0 монотонно прямує до
нуля при c→∞. Звiдси випливає, що, починаючи з деякого c0, буде виконуватися
нерiвнiсть −α+ εc < 0. Беручи до уваги спiввiдношення (22), знаходимо
∞∫
0
v
∣∣∣∣ψ′′(v + c)
ψ(c)
− α2e−αv
∣∣∣∣ dv ≤
∞∫
0
v
[
(α2 + εc)e
(−α+εc)v − α2e−αv
]
dv =
=
α2 + εc
(α− εc)2
− 1 =
(2α+ 1)εc − ε2c
(α− εc)2
. (23)
Зiставляючи спiввiдношення (19), (20) i (23), переконуємося, що, починаючи з
деякого c0, виконується оцiнка (13).
Лему доведено.
Перейдемо тепер до доведення теореми 1. Нехай f ∈ L̂ψβ L̂p, 1 ≤ p ≤ ∞. Зi
спiввiдношень (2) i (3) випливає, що майже скрiзь
ρσ(f ;x) = f(x)− Vσ,c(f ;x) =
∞∫
−∞
fψβ (x− t)d̂σ,c(t) dt, (24)
де
d̂σ,c(t) =
1
π
∞∫
0
dσ,c(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
976 В. И. РУКАСОВ , С. О. ЧАЙЧЕНКО
dσ,c(v) = (1− λσ,c(v))ψ(v) =
0, 0 ≤ v ≤ c,
v − c
σ − c
ψ(v), c < v < σ,
ψ(v), σ ≤ v.
Оскiльки для довiльної функцiї ϕ ∈ W 2
τ , τ ≤ c, виконується спiввiдношення
(див. [1, c. 186])
∞∫
−∞
ϕ(x− t)d̂σ,c(t) ≡ 0,
то, покладаючи h(x− t) = fψβ (x− t)− ϕ(x− t) ∀ϕ ∈W 2
τ , τ ≤ c, зображення (24)
записуємо у виглядi
ρσ,c(f ; ·) = f(x)− Vσ,c(f ;x) =
∞∫
−∞
h(x− t)d̂σ,c(t) dt. (25)
Нехай тепер
q̂α,σ,c(t) =
1
π
∞∫
0
qα,σ,c(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv,
qα,σ,c(v) = (1− λσ,c(v)) e−αv =
0, 0 ≤ v ≤ c,
v − c
σ − c
e−αv, c < v < σ,
e−αv, σ ≤ v.
На пiдставi спiввiдношень (11) i (25) отримуємо, що майже для всiх x
ρσ,c(f ;x) =
∞∫
−∞
ψ(c)
[
eαcq̂α,σ,c(t) +
1
π
rσ,c(t)
]
h(x− t) dt =
= ψ(c)
eαc ∞∫
−∞
h(x− t)q̂α,σ,c(t) dt+Rσ,c(f ;x)
=
= ψ(c)
(
eαcρσ,c(J αβ ;x) +Rσ,c(f ;x)
)
, (26)
де
Rσ,c(f ;x) =
1
π
∞∫
−∞
h(x− t)rσ,c(t) dt,
а функцiя rσ,c(t) визначається формулою (14).
Застосовуючи нерiвнiсть Мiнковського, отримуємо
‖Rσ,c(f ;x)‖p̂ = sup
a∈R
a+2π∫
a
∣∣∣∣∣∣ 1π
∞∫
−∞
h(x− t)rσ,c(t)dt
∣∣∣∣∣∣
p
dx
1/p
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ОПЕРАТОРАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА КЛАСАХ ФУНКЦIЙ . . . 977
≤ 1
π
∞∫
−∞
∣∣rσ,c(t)∣∣ sup
a∈R
π∫
−π
|h(x+ a− t)|pdx
1/p
dt =
1
π
‖h‖p̂‖rσ,c‖1.
Тут
‖h‖p̂ = ‖fψβ − ϕ‖p̂, ‖rσ,c‖1 =
∞∫
−∞
|rσ,c(t)| dt.
Розглядаючи тепер нижню межу при ϕ ∈W 2
c , одержуємо∥∥Rσ,c(f ;x)∥∥p̂ ≤ 1
π
Ec(f
ψ
β )p̂‖rσ,c‖1. (27)
Використовуючи спiввiдношення (12) i (13), знаходимо
‖rσ,c‖1 =
∫
|t|≤1
|rσ,c(t)| dt+
∫
|t|≥1
|rσ,c(t)| dt ≤
≤ 4εc
α(α− εc)2(σ − c)
+
(12α+ 2)εc
(α− εc)2(σ − c)
=
12α2 + 2α+ 4
α(α− εc)2(σ − c)
εc, (28)
де величина εc визначається в (10).
Зi спiввiдношень (26) – (28) з урахуванням очевидної рiвностi
1
α− εc
= O(1)
1
α
, c→∞,
отримуємо формулу (9).
Теорему доведено.
Нехай 1 ≤ p ≤ ∞ i
Ŝp =
{
f ∈ L̂p : ‖f‖p̂ ≤ 1
}
, L̂ψβ Ŝp = L̂ψβ,p.
Розглядаючи точнi верхнi межi обох частин формули (9) по класах L̂ψβ,p i вра-
ховуючи, що
E(L̂ψβ,p;Vσ,c)p̂
df
= sup
f∈L̂ψβ,p
‖ρσ,c(f ; ·)‖p̂ = sup
‖ϕ‖p̂≤1
‖ρσ,c(J ψβ (ϕ); ·)‖p̂,
одержуємо таке твердження.
Теорема 2. Якщо ψ ∈ Dα, 1 ≤ p ≤ ∞ i β ∈ R, то при c → ∞ має мiсце
асимптотична формула
E(L̂ψβ,p;Vσ,c)p̂ = ψ(c)
(
eαcE(L̂αβ,p;Vσ,c)p̂ +O(1)
α2 + 1
α3(σ − c)
εc
)
,
де величина εc означена у спiввiдношеннях (10), а O(1) — величина, рiвномiрно
обмежена вiдносно параметрiв σ, c, p, α, ψ i β.
У перiодичному випадку аналог теореми 2 встановлено у роботi [9].
Одержимо деякi наслiдки з встановлених у цiй роботi результатiв. Використо-
вуючи теорему 1 з роботи [10], з теореми 1 отримуємо таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
978 В. И. РУКАСОВ , С. О. ЧАЙЧЕНКО
Наслiдок 1. За виконання умов теореми 1 для довiльної функцiї f ∈ L̂ψβ L̂p,
1 ≤ p ≤ ∞, при c→∞
‖ρσ,c(f ;x)‖p̂ ≤
ψ(c)
σ − c
[
4
π2
∞∫
0
√
1− 2e−α(σ−c) cos(σ − c)t+ e−2α(σ−c)
α2 + t2
dt+
+O(1)
(
α+ 1
α2 c
+
α2 + 1
α3
εc
)]
Ec(f
ψ
β )p̂,
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно параметрiв σ, c, p, α, ψ, β i f.
Використовуючи наслiдок 1 iз роботи [10], з теореми 2 одержуємо таке тверд-
ження.
Наслiдок 2. За виконання умов теореми 2 при c→∞ виконується спiввiдно-
шення
E(L̂ψβ,p;Vσ,c)p̂ ≤
ψ(c)
σ − c
[
4
π2
∞∫
0
√
1− 2e−α(σ−c) cos(σ − c)t+ e−2α(σ−c)
α2 + t2
dt+
+O(1)
(
α+ 1
α2 c
+
α2 + 1
α3
εc
)]
,
яке при p = ∞ перетворюється у рiвнiсть. Символ O(1) означає величину, яка є
рiвномiрно обмеженою вiдносно параметрiв σ, c, p, α, ψ i β.
1. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины,
2002. – Ч. 2. – 468 c.
2. Степанец А. И. Методы теории приближений. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. –
Ч.I. – 427 с.
3. Рукасов В. I., Чайченко С. О. Наближення операторами Фур’є на класах функцiй, локально iнтегров-
них на дiйснiй осi // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2008. – 5, № 1. – С. 297 – 308.
4. Степанец А. И., Сердюк А. С. Приближения суммами Фурье и наилучшие приближения на классах
аналитических функций // Укр. мат. журн. — 2000. – 52, № 3. – С. 375 – 395.
5. Степанец А. И., Рукасов В. И., Чайченко С. О. Приближения суммами Валле Пуссена: — Киев:
Ин-т математики НАН Украины, 2007. – 386 с.
6. Степанец А. И., Сердюк А. С., Шидлич А. Л. Классификация бесконечно дифференцируемых
периодических функций // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 12. – С. 1686 – 1708.
7. Никольский С. М. Приближение периодических функций тригонометрическими полиномами в
среднем // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1946. – 10, № 3. – С. 207 – 256.
8. Стечкин С. Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1980. — 145. – С. 126 – 151.
9. Рукасов В. И. Приближение суммами Валле Пуссена классов аналитических функций // Укр. мат.
журн. – 2003. – 55, № 6. – С. 806 – 816.
10. Рукасов В. I., Чайченко С. О. Аппроксимационные свойства операторов Валле Пуссена на классах
L̂αβ // Проблеми теорiї наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2007. – 4, № 1. – С. 284 – 301.
Одержано 27.04.09,
пiсля доопрацювання — 06.04.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
|