Аналоги леммы Икома - Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой
Отримано результати про локальну поведiнку вiдкритих дискретних вiдображень f:D→Rⁿ,n≥2,, що задовольняють певнi умови, пов’язанi зi спотворенням ємностей конденсаторiв. Показано, що у як завгодно малому околi нуля таке вiдображення зростає не швидше за iнтеграл спецiального типу, який вiдповiдає за...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166385 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аналоги леммы Икома - Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой / Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1368–1380. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166385 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1663852020-02-20T01:26:47Z Аналоги леммы Икома - Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. Статті Отримано результати про локальну поведiнку вiдкритих дискретних вiдображень f:D→Rⁿ,n≥2,, що задовольняють певнi умови, пов’язанi зi спотворенням ємностей конденсаторiв. Показано, що у як завгодно малому околi нуля таке вiдображення зростає не швидше за iнтеграл спецiального типу, який вiдповiдає за спотворення ємностi за вiдображенням, що є аналогом вiдомої оцiнки зростання К. Iкома щодо квазiконформних вiдображень одиничної кулi у себе, а також класичної леми К. Шварца для аналiтичних функцiй. Крiм того, для вiдображень вказаного вище типу отримано аналог вiдомої теореми Лiувiлля для аналiтичних функцiй. In the present paper, we obtain results on the local behavior of open discrete mappings f:D→Rⁿ,n≥2,, that satisfy certain conditions related to the distortion of capacities of condensers. It is shown that, in an infinitesimal neighborhood of zero, the indicated mapping cannot grow faster than an integral of a special type that corresponds to the distortion of the capacity under this mapping, which is an analog of the well-known growth estimate of Ikoma proved for quasiconformal mappings of the unit ball into itself and of the classical Schwartz lemma for analytic functions. For mappings of the indicated type, we also obtain an analogue of the well-known Liouville theorem for analytic functions. 2011 Article Аналоги леммы Икома - Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой / Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1368–1380. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166385 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. Аналоги леммы Икома - Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой Український математичний журнал |
| description |
Отримано результати про локальну поведiнку вiдкритих дискретних вiдображень f:D→Rⁿ,n≥2,, що задовольняють певнi умови, пов’язанi зi спотворенням ємностей конденсаторiв. Показано, що у як завгодно малому околi нуля таке вiдображення зростає не швидше за iнтеграл спецiального типу, який вiдповiдає за спотворення ємностi за вiдображенням, що є аналогом вiдомої оцiнки зростання К. Iкома щодо квазiконформних вiдображень одиничної кулi у себе, а також класичної леми К. Шварца для аналiтичних функцiй. Крiм того, для вiдображень вказаного вище типу отримано аналог вiдомої теореми Лiувiлля для аналiтичних функцiй. |
| format |
Article |
| author |
Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. |
| author_facet |
Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. |
| author_sort |
Салимов, Р.Р. |
| title |
Аналоги леммы Икома - Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой |
| title_short |
Аналоги леммы Икома - Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой |
| title_full |
Аналоги леммы Икома - Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой |
| title_fullStr |
Аналоги леммы Икома - Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой |
| title_full_unstemmed |
Аналоги леммы Икома - Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой |
| title_sort |
аналоги леммы икома - шварца и теоремы лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166385 |
| citation_txt |
Аналоги леммы Икома - Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой / Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1368–1380. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT salimovrr analogilemmyikomašvarcaiteoremyliuvillâdlâotobraženijsneograničennojharakteristikoj AT sevostʹânovea analogilemmyikomašvarcaiteoremyliuvillâdlâotobraženijsneograničennojharakteristikoj |
| first_indexed |
2025-07-14T21:20:44Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:20:44Z |
| _version_ |
1837658864170827776 |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов
(Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
АНАЛОГИ ЛЕММЫ ИКОМА – ШВАРЦА
И ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ
С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
In the present paper, we obtain results on the local behavior of open discrete mappings f : D → Rn, n ≥ 2,
that satisfy certain conditions related to the distortion of capacities of condensers. It is shown that, in an
infinitesimal neighborhood of zero, the indicated mapping cannot grow faster than an integral of a special type
that corresponds to the distortion of the capacity under this mapping, which is an analog of the well-known
growth estimate of Ikoma proved for quasiconformal mappings of the unit ball into itself and of the classical
Schwartz lemma for analytic functions. For mappings of the indicated type, we also obtain an analogue of the
well-known Liouville theorem for analytic functions.
Отримано результати про локальну поведiнку вiдкритих дискретних вiдображень f : D → Rn, n ≥ 2,
що задовольняють певнi умови, пов’язанi зi спотворенням ємностей конденсаторiв. Показано, що у
як завгодно малому околi нуля таке вiдображення зростає не швидше за iнтеграл спецiального типу,
який вiдповiдає за спотворення ємностi за вiдображенням, що є аналогом вiдомої оцiнки зростання
К. Iкома щодо квазiконформних вiдображень одиничної кулi у себе, а також класичної леми К. Шварца
для аналiтичних функцiй. Крiм того, для вiдображень вказаного вище типу отримано аналог вiдомої
теореми Лiувiлля для аналiтичних функцiй.
1. Введение. Пространственные отображения, аналогичные рассматриваемым в
настоящей работе, и известные, как отображения, квазиконформные в среднем,
по-видимому, впервые изучались в 1986 г. в одной из работ В. И. Кругликова (см.
[1]). Основная цель настоящей статьи заключается в установлении одного нера-
венства для открытых дискретных отображений с произвольной характеристикой
квазиконформности, определенных в единичном шаре Bn пространства Rn, n ≥ 2.
Одним из следствий, полученных в ходе проведенных рассуждений, является ана-
лог теоремы Лиувилля для аналитических функций. Определения и обозначения,
используемые в настоящей статье, могут быть найдены, например, в работах [2, 3].
В 1965 г. К. Икома получил следующий аналог леммы Шварца для аналити-
ческих функций, доказанный им для квазиконформных отображений трехмерного
пространства (см., например, теорему 2 в [4]).
Утверждение 1. Предположим, что f : B3 → B3 — квазиконформное ото-
бражение, удовлетворяющее условию f(0) = 0, преобразующее каждый радиус
единичного шара в кривую, ортогональную к образу сферы |x| = r при всех r > 0,
r < 1. Тогда
lim inf
x→0
|f(x)|
|x|(
1
K )
1/2
≤ 1, (1)
где K — постоянная квазиконформности, определяемая из неравенства
(1/K)M(Γ) ≤M(f(Γ)) ≤ KM(Γ). (2)
Пусть Q : D → [0,∞] — измеримая по Лебегу функция. В дальнейшем символ
qx0(r) обозначает среднее интегральное значение функции Q(x) над сферой |x −
− x0| = r,
qx0(r) :=
1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
Q(x) dS, (3)
c© Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2011
1368 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
АНАЛОГИ ЛЕММЫ ИКОМА – ШВАРЦА И ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ . . . 1369
где dS — элемент площади поверхности S, а ωn−1 обозначает площадь единичной
сферы Sn−1 := S(0, 1) в Rn.
Одним из основных результатов настоящей статьи является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть f : Bn → Bn, n ≥ 2, p ∈ (1, n], — открытое дискретное
кольцевое (p,Q)-отображение в точке x0 = 0, удовлетворяющее условию f(0) =
= 0. Тогда при любом p ∈ (1, n) имеет место оценка
lim inf
x→0
|f(x)|
1 +
n− p
p− 1
1∫
|x|
dt
t(n−1)/(p−1) q
1/(p−1)
0 (t)
(p−1)/(n−p)
≤ 1, (4)
а при p = n — оценка
lim inf
x→0
|f(x)| exp
1∫
|x|
dt
tq
1/(n−1)
0 (t)
≤ 1. (5)
Замечание 1. Заметим, что соотношение (5) влечет неравенство вида (1) при
n = 3 и α = K1/2, как только Q ≡ K = const в (5). Из изложенного выше следует,
что утверждение 1 вытекает из теоремы 1 как ее частный случай при p = n = 3.
Другим, не менее важным результатом настоящей статьи является аналог тео-
ремы Лиувилля для аналитических функций, заключающийся в следующем.
Теорема 2. Предположим, чтоQ(x), Q : Rn → [0,∞], — заданная измеримая
по Лебегу функция, x0 — произвольная фиксированная точка в Rn, r0 > 0 — про-
извольное фиксированное вещественное число и f : Rn → Rn, n ≥ 2, — открытое
дискретное кольцевое (n,Q)-отображение в точке x0. Тогда
lim sup
x→∞
|f(x)| exp
−
|x−x0|∫
r0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
= M > 0. (6)
В частности, f не может быть ограничено в Rn при условии, что расходится
интеграл от r0 до∞ вида
∞∫
r0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
=∞. (7)
Замечание 2. Если Q(x) ≤ K = const, то из (6) при r0 := 1 и x0 := 0 полу-
чаем известный результат О. Мартио, С. Рикмана, Ю. Вяйсяля для отображений с
ограниченным искажением (см. теорему 3.7 в [5]):
lim sup
x→∞
|f(x)||x|
(
− 1
K1/(n−1)
)
> 0. (8)
Пусть x0 ∈ D, r0 = dist (x0, ∂D), Q : D → [0,∞] — измеримая по Лебегу
функция,
A = A(r1, r2, x0) = {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2}, (9)
S i = S(x0, ri) = {x ∈ Rn : |x− x0| = ri}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1370 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Полагаем l (f ′(x)) := infh∈Rn:|h|=1 |f ′(x)h|,
KI(x, f) =
|J(x, f)|
l (f ′(x))
n , если J(x, f) 6= 0,
1, если f ′(x) = 0,
и KI(x, f) = ∞ в остальных точках. Учитывая, что любое отображение f с огра-
ниченным искажением при Q(x) = KI(x, f) и p = n удовлетворяет соотношениям
вида
Mp (f (Γ (S1, S2, A))) ≤
∫
A
Q(x)ηp(|x− x0|) dm(x) (10)
для любой неотрицательной измеримой функции η : (r1, r2)→ [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr ≥ 1 (11)
(см., например, теоремы 8.2 и 8.6 гл. VIII в [6]), можно показать, что в выраже-
нии (8) в качестве K можно взять K = KI(f) = ess sup KI(x, f). В силу результа-
тов той же работы [5], для отображений f с ограниченным искажением показатель
степени при |x| в левой части неравенства (8) является точным. Определение и
примеры этих отображений могут быть найдены, например, в монографиях [7, 8].
По поводу использования оценок вида (10) см., например, теорему 3 разд. D,
гл. I в [9], неравенство (6.6) разд. 6.3, гл. V в [10], а также [11, 12] и гл. VII в [6].
Отдельного внимания заслуживает работа Ф. Геринга [13].
2. Об интегральной характеристике кольцевых (p,Q)-отображений. Сле-
дующая лемма позволяет установить для отображения f выполнение свойств (10),
(11) в точке x0 без проверки бесконечного числа неравенств в (11). Ниже мы при-
держиваемся следующих стандартных соглашений: a/∞ = 0 для a 6=∞, a/0 =∞
для a > 0 и 0 · ∞ = 0.
Лемма 1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое (p,Q)-
отображение в точке x0 ∈ D, p ∈ (1, n], и E — конденсатор вида E =
(
B(x0, r2),
B(x0, r1)
)
, 0 < r1 < r2 < dist (x0, ∂D). Полагаем
I = I(x0, r1, r2) =
r2∫
r1
dr
r(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
x0 (r)
. (12)
Тогда для конденсатора f(E) =
(
f (B(x0, r2)) , f
(
B(x0, r1)
))
выполнено соот-
ношение
capp f(E) ≤ ωn−1
Ip−1
. (13)
Доказательство. Заметим, что пара f(E) =
(
f (B(x0, r2)) , f
(
B(x0, r1)
))
,
действительно, является конденсатором, ибо f открыто и непрерывно в D, сле-
довательно, f
(
B(x0, r1)
)
является компактным подмножеством f (B(x0, r2)). Не
ограничивая общности рассуждений, можно полагать, что I 6= 0, так как в про-
тивном случае соотношение (13), очевидно, выполнено. Можно также считать,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
АНАЛОГИ ЛЕММЫ ИКОМА – ШВАРЦА И ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ . . . 1371
что I 6= ∞, так как в противном случае в соотношении (13) можно рассмотреть
Q(x) + δ (со сколь угодно малым δ) вместо Q(x), а затем перейти к пределу при
δ → 0. Пусть I 6=∞. Тогда qx0
(r) 6= 0 почти всюду на (r1, r2). Полагаем
ψ(t) =
1/[t(n−1)/(p−1)q1/(p−1)
x0
(t)], t ∈ (r1, r2),
0, t /∈ (r1, r2).
Тогда ∫
A
Q(x)ψp(|x− x0|) dm(x) = ωn−1I, (14)
где A = A(r1, r2, x0) задано соотношением (9). Заметим, что функция η1(t) =
= ψ(t)/I, t ∈ (r1, r2), удовлетворяет соотношению вида (11), так как∫ r2
r1
η1(t)dt = 1. Поэтому согласно равенству (14) и определению кольцевого
(p,Q)-отображения (см. (10)),
Mp (f (Γ (S1, S2, A))) ≤
∫
A
Q(x)η1
p(|x− x0|) dm(x) =
ωn−1
Ip−1
, (15)
где Si = S(x0, ri). Пусть ΓE и Γf(E) — семейства кривых в смысле обозначений
леммы 1 в [3] (см. также предложение 10.2 гл. II в [8]). Согласно этому предложе-
нию (либо из леммы 1 в [3])
capp f(E) = capp
(
f (B (x0, r2)), f
(
B(x0, r1)
))
= Mp
(
Γf(E)
)
. (16)
Пусть Γ∗ — семейство максимальных поднятий Γf(E) с началом в B (x0, r1).
Тогда Γ∗ ⊂ ΓE (см., например, доказательство леммы 1 в [14]). Заметим, что
Γf(E) > f(Γ∗) и для достаточно малых δ > 0 ΓE > Γ
(
S(x0, r2− δ), S(x0, r1), D
)
.
Следовательно, в силу соотношения (15) и свойства минорирования
Γ1 > Γ2 ⇒ Mp(Γ1) ≤Mp(Γ2)
(см. теорему 6.4 разд. 6, гл. I в [2]), получаем
Mp
(
Γf(E)
)
≤Mp (f(Γ∗)) ≤Mp (f(ΓE)) ≤
≤Mp (f (Γ (S(x0, r1), S(x0, r2 − δ), A(r1, r2 − δ, x0)))) ≤
≤ ωn−1(∫ r2−δ
r1
dt
t(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
x0 (t)
)p−1 . (17)
Заметим, что функция ψ̃(t) := ψ|(r1,r2) =
1
t(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
x0 (t)
суммируема на
(r1, r2), так как по предположению I 6= ∞. Отсюда следствие абсолютной непре-
рывности интеграла имеем, что
r2−δ∫
r1
dt
t(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
x0 (t)
→
r2∫
r1
dt
t(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
x0 (t)
(18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1372 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
при δ → 0. Из (17) и (18) следует, что
Mp(Γf(E)) ≤
ωn−1(∫ r2
r1
dt
t(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
x0 (t)
)p−1 . (19)
Объединяя (16) и (19), получаем соотношение (13).
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть x0 ∈ Rn, 0 < r1 < r2 < dist (x0, ∂D). Полагаем
η0(r) =
1
Ir(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
x0 (r)
, (20)
где I — величина, определенная в (12). Тогда
ωn−1
Ip−1
=
∫
A
Q(x)ηp0(|x− x0|) dm(x) ≤
∫
A
Q(x)ηp(|x− x0|) dm(x) (21)
для фиксированной измеримой функции Q : Rn → [0,∞] и любой функции η :
(r1, r2)→ [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr = 1. (22)
В частности, из (21) следует, что для кольцевых (p,Q)-отображений в точке
x0 неравенство (13), вообще говоря, не может быть улучшено.
Доказательство. Если в левой части (21) имеет место условие I =∞, доказы-
вать нечего. Если I = 0, то qx0
(r) =∞ для почти всех r ∈ (r1, r2), и обе части нера-
венства в (21) равны бесконечности. Предположим, что 0 < I < ∞. Тогда из (12)
и (22), в частности, следует, что qx0
(r) 6= 0 и η(r) 6=∞ при почти всех r ∈ (r1, r2).
Полагаем α(r) = r(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
x0 (r)η(r), w(r) = 1/r(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
x0 (r).
При почти всех r ∈ (r1, r2) будем иметь η(r) = α(r)w(r) и
C :=
∫
A
Q(x)ηp(|x− x0|)dm(x) = ωn−1
r2∫
r1
αp(r)w(r)dr. (23)
Применяя неравенство Иенсена с весом к выпуклой функции ϕ(t) = tp, заданной в
интервале Ω = (r1, r2) , по отношению к вероятностной мере ν (E) =
1
I
∫
E
w(r)dr
(см. теорему 2.6.2 в [15]) и учитывая, что η(r) = α(r)ω(r) удовлетворяет соотно-
шению (22), получаем1
I
r2∫
r1
αp(r)w(r) dr
1/p
≥ 1
I
r2∫
r1
α(r)w(r)dr =
1
I
. (24)
Из (23) и (24) следует, что C ≥ ωn−1
Ip−1
, однако, это и доказывает (21).
Лемма 2 доказана.
Из лемм 1 и 2 получаем следующий критерий выполнения оценок вида (10).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
АНАЛОГИ ЛЕММЫ ИКОМА – ШВАРЦА И ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ . . . 1373
Теорема 3. Открытое дискретное отображение f : D → Rn является коль-
цевым (p,Q)-отображением в точке x0 ∈ D, p ∈ (1, n], тогда и только тогда,
когда для произвольных 0 < r1 < r2 < dist (x0, ∂D) и произвольного конденсатора
вида E =
(
B(x0, r2), B(x0, r1)
)
емкость конденсатора f(E) =
(
f (B(x0, r2)) ,
f
(
B(x0, r1)
))
порядка p, p ∈ (1, n], удовлетворяет условию
capp f(E) ≤ ωn−1
Ip−1
, (25)
где I = I(x0, r1, r2) задается соотношением (12).
Замечание 3. Для случая гомеоморфизмов и p = n леммы 1 и 2, а также
теорема 3 доказаны в [6] (см. леммы 7.3 и 7.4, а также теорему 7.2 там же). Более
того, для произвольных открытых дискретных отображений при p = n лемма 1 и
теорема 3 доказаны одним из авторов (см. лемму 1 и теорему 1 в [14]). Таким об-
разом, приведенные выше заключения являются принципиально содержательными
при p 6= n.
3. Лемма об искажении меры при отображении. Здесь и далее Ωn обозначает
объем единичного шара Bn в Rn, а q0(r) определяется из соотношения (3) при
x0 := 0.
Лемма 3. Пусть x0 ∈ D, n ≥ 2, p ∈ (1, n], f : D → Rn — открытое
дискретное кольцевое (p,Q)-отображение в точке x0 и R ≤ dist (x0, ∂D). Тогда
при 1 < p < n и любом r ∈ (0, R) имеет место оценка
m (f(B(x0, r))) ≤
≤
m (f(B(x0, R)))
(p−n)/(n(p−1))
+
+Ω(p−n)/(n(p−1))
n
n− p
p− 1
R∫
r
ds
s(n−1)/(p−1) q
1/(p−1)
x0 (s)
n(p−1)/(p−n)
, (26)
а при p = n — оценка
m (f (B(x0, r))) ≤ m (f (B(x0, R))) exp
−n
R∫
r
ds
sq
1/(n−1)
x0 (s)
. (27)
Доказательство. При фиксированных значениях t ∈ (0, R) и ∆t > 0 рассмот-
рим сферическое кольцо Rt+∆t := {x ∈ D : t < |x− x0| < t+ ∆t} и два концент-
рических шара At+∆t := B(x0, t+ ∆t) и Ct := B(x0, t). Пусть E — конденсатор
вида E := (At+∆t, Ct) . Поскольку отображение f, по условию, открыто, пара
f(E) = (f (At+∆t), f(Ct)) также является конденсатором в Rn.
Пусть
ψ(s) =
1/[s(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
x0 (s)], s ∈ [t, t+ ∆t],
0, s /∈ [t, t+ ∆t],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1374 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
и I =
∫ t+∆
t
ψ(r)dr. Заметим, что условие вида capp C = 0 влечет, что хаусдор-
фова размерность множества C удовлетворяет неравенству dimH C ≤ n − p (см.,
например, следствие 1.16 гл. VII в [8]). В частности, отсюда следует, что про-
извольные открытые отображения переводят открытые множества во множества
положительной p-емкости. Тогда, в силу теоремы 3, I 6=∞ и
capp f(E) ≤ ωn−1
Ip−1
. (28)
С другой стороны, применяя предложение 5 из работы [1], получаем
capp (f(E)) ≥ (inf mn−1 S)
p
m (f (At+∆t) \ f (Ct))
p−1 , (29)
где mn−1 S означает (n − 1)-мерную меру Лебега C∞-многообразия S, которое
является границей S = ∂U ограниченного открытого множества U, содержащего
f (At+∆t) и содержащегося вместе со своим замыканием U в f (Ct) , а точная
нижняя грань в (29) берется по всем таким S. Из соотношений (28) и (29) находим
(inf mn−1 S)
p
m (f (At+∆t) \ f (Ct))
p−1 ≤
ωn−1
Ip−1
, (30)
где значение величины S указано выше. По изопериметрическому неравенству
inf mn−1 S ≥ nΩ1/n
n (m(f (Ct)))
(n−1)/n
,
поэтому из (30) следует, что
nΩ1/n
n (m (f (Ct)))
(n−1)/n ≤ ω1/p
n−1
[m (f (At+∆t) \ f (Ct))]
(p−1)/p
I(p−1)/p
. (31)
Определим функцию Φ(t) соотношением Φ(t) := m (f (B(0, t))). Тогда из нера-
венства (31) следует, что
nΩ1/n
n Φ(n−1)/n(t) ≤
≤ ω1/p
n−1
(
Φ(t+ ∆t)− Φ(t)
∆t
)(p−1)/p
1
∆t
t+∆t∫
t
ψ(s) ds
(1−p)/p
. (32)
Далее, устремляя в неравенстве (32) ∆t к нулю и учитывая суммируемость функции
ψ(s) на интервале s ∈ [t, t+ ∆t] (см. теорему 3), монотонное неубывание функции
Φ по t ∈ (0, 1), а также, что ωn−1 = nΩn, для почти всех t имеем
nΩ(p−n)/(n(p−1))
n ψ(t) ≤ Φ ′(t)
Φp(n−1)/(n(p−1))(t)
. (33)
Рассмотрим неравенство (33) при 1 < p < n. Интегрируя обе части этого неравен-
ства по t ∈ [r,R] и учитывая, что
R∫
r
Φ ′(t)
Φ(p(n−1))/(n(p−1))(t)
dt ≤ n(p− 1)
p− n
(
Φ(p−n)/(n(p−1))(R)− Φ(p−n)/(n(p−1))(r)
)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
АНАЛОГИ ЛЕММЫ ИКОМА – ШВАРЦА И ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ . . . 1375
(см., например, теорему 7.4. гл. IV в [16]), получаем
R∫
r
dt
t(n−1)/(p−1) q
1/(p−1)
x0 (t)
≤
≤ 1
Ω
(p−n)/(n(p−1))
n
p− 1
p− n
(
Φ(p−n)/(n(p−1))(R)− Φ(p−n)/(n(p−1))(r)
)
. (34)
Из неравенства (34) следует, что
Φ(r) ≤
Φ(p−n)/(n(p−1))(R) +
+Ω(p−n)/(n(p−1))
n
n− p
p− 1
R∫
r
dt
t(n−1)/(p−1) q
1/(p−1)
x0 (t)
n(p−1)/(p−n)
,
откуда, учитывая обозначения, непосредственно получаем оценку
m (f (B(x0, r))) ≤
(m (f (B(x0, R))))
(p−n)/(n(p−1))
+
+Ω(p−n)/(n(p−1))
n
n− p
p− 1
R∫
r
dt
t(n−1)/(p−1) q
1/(p−1)
x0 (t)
n(p−1)/(p−n)
.
Таким образом, соотношение (26) доказано.
Рассмотрим случай p = n. Из соотношения (33) имеем
n
tq
1/(n−1)
x0 (t)
≤ Φ ′(t)
Φ(t)
. (35)
Интегрируя обе части (35) по t ∈ [r,R] и учитывая, что
R∫
r
Φ ′(t)
Φ(t)
dt ≤ log
Φ(R)
Φ(r)
(см., например, теорему 7.4. гл. IV в [16]), получаем
n
R∫
r
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
≤ log
Φ(R)
Φ(r)
,
откуда
exp
n
R∫
r
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
≤ Φ(R)
Φ(r)
и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1376 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Φ(r) ≤ Φ(R) exp
−n
R∫
r
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
,
что и доказывает справедливость соотношения (27).
Лемма 3 доказана.
Выбирая в лемме 3 D := Bn и x0 = 0, получаем следующее утверждение для
отображений f : Bn → Bn.
Лемма 4. Пусть n ≥ 2, p ∈ (1, n], f : Bn → Bn — открытое дискретное
кольцевое (p,Q)-отображение в точке x0 = 0. Тогда при 1 < p < n и r ∈ (0, 1)
имеет место оценка
m (f(B(0, r))) ≤ Ωn
1 +
n− p
p− 1
1∫
r
ds
s(n−1)/(p−1) q
1/(p−1)
0 (s)
n(p−1)/(p−n)
, (36)
а при p = n — оценка
m (f (B(0, r))) ≤ Ωn exp
−n
1∫
r
ds
sq
1/(n−1)
0 (s)
. (37)
4. Аналог леммы К. Икома – К. Шварца.
Лемма 5. Пусть f : Bn → Bn, n ≥ 2, — открытое отображение, удовлетво-
ряющее условию f(0) = 0. Предположим, что существует функция R : [0, 1] →
→ [0,∞) такая, что
m (f(B(0, r))) ≤ ΩnR
n(r). (38)
Тогда
lim inf
x→0
|f(x)|
R(|x|)
≤ 1. (39)
Доказательство. Полагаем min|x|=r |f(x)| = lf (r). Покажем, что
B (0, lf (r)) ⊂ f (B(0, r)) (40)
при каждом r ∈ (0, 1). Предположим противное. Заметим, что B (0, lf (r0)) ∩
∩ f (B(0, r0)) 6= ∅, так как соотношение B (0, lf (r0)) 6⊂ f (B(0, r0)) , в частности,
влечет, что lf (r0) > 0 и, кроме того, условие f(0) = 0 влечет, что 0 ∈ B (0, lf (r0))∩
∩ f (B(0, r0)). Тогда найдутся r0 ∈ (0, 1) и y0 ∈ Rn такие, что y0 ∈ B (0, lf (r0))
и y0 ∈ Rn \ f (B (0, r0)) , т. е. y0 ∈ B (0, lf (r0)) \ f (B (0, r0)) . Заметим также,
что шар B (0, lf (r0)) является связным множеством, при этом, согласно изложен-
ному выше, а также сделанному предположению, B (0, lf (r0)) ∩ f (B(0, r0)) 6=
6= ∅ 6= B (0, lf (r0)) \ f (B(0, r0)) . По теореме 1 § 46, гл. V в [17] существует
элемент z0 ∈ B (0, lf (r0)) ∩ ∂f (B(0, r0)). С другой стороны, согласно свойству
открытых отображений ∂f (B(0, r0)) ⊂ f (∂ (B(0, r0)). Поэтому найдется элемент
x0 ∈ S(0, r0) такой, что f(x0) = z0. Однако, последнее невозможно, так как в
этом случае f(x0) = z0 ∈ B (0, lf (r0)) и, значит, |f(x0)| < min|x|=r0 |f(x)| при
x0 ∈ S(0, r0). Полученное противоречие указывает на то, что предположение о
выполнении соотношения B (0, lf (r0)) 6⊂ f (B(0, r0)) было неверным, и, значит,
при всех r ∈ (0, 1) справедливо включение (40).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
АНАЛОГИ ЛЕММЫ ИКОМА – ШВАРЦА И ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ . . . 1377
Из соотношения (40) имеем
Ωn l
n
f (r) ≤ m(f(B(0, r)))
и, следовательно,
lf (r) ≤
(
m(f(B(0, r)))
Ωn
)1/n
. (41)
Таким образом, учитывая неравенства (38) и (41), получаем
lim inf
x→0
|f(x)|
R(|x|)
= lim inf
r→0
lf (r)
R(r)
≤ lim inf
r→0
(
m (f (B(0, r)))
Ωn
)1/n
1
R(r)
≤ 1.
Лемма 5 доказана.
Доказательство теоремы 1 непосредственно следует из лемм 4 и 5, в которых
необходимо выбрать
R(r) =
1 +
n− p
p− 1
1∫
r
dt
t(n−1)/(p−1) q
1/(p−1)
0 (t)
(p−1)/(p−n)
при 1 < p < n
и
R(r) = exp
−
1∫
r
dt
tq
1/(n−1)
0 (t)
при p = n.
Следующая теорема показывает, что при некоторых дополнительных услови-
ях на функцию Q оценки искажения, сформулированные в теореме 1, являются
точными.
Теорема 4. Предположим, что p ∈ (1, n], а Qp : Bn → [0,∞) — заданная
измеримая по Лебегу функция такая, что
Ip =
1∫
0
dt
t(n−1)/(p−1) q
1/(p−1)
0 (t)
=∞
и
1∫
r
dt
t(n−1)/(p−1) q
1/(p−1)
0 (t)
<∞
для любого r ∈ (0, 1). Тогда неравенства (4) и (36) превращаются в равенства при
p ∈ (0, n) для кольцевого (p,Qp)-гомеоморфизма
fp(x) =
x
|x|
1 +
n− p
p− 1
1∫
|x|
dt
t(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
0 (t)
(p−1)/(p−n)
(42)
в точке x0 = 0, кроме того, при p = n аналогичные оценки (5) и (37) также
превращаются в равенства для кольцевого (n,Qn)-гомеоморфизма
fn(x) =
x
|x|
exp
−
1∫
|x|
dt
tq
1/(n−1)
0 (t)
(43)
в точке x0 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1378 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Доказательство. Для удобства обозначим
ϕp(s) =
1 +
n− p
p− 1
1∫
s
dt
t(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
0 (t)
(p−1)/(p−n)
, p ∈ (0, n),
и
ϕn(s) = exp
−
1∫
s
dt
tq
1/(n−1)
0 (t)
, t ∈ (0, 1).
Заметим, что при каждом фиксированном значении p, 1 < p ≤ n, функции ϕp(t)
являются возрастающими по t. Заметим также, что отображения fp(x) являются
гомеоморфизмами класса C1 (Bn \ {0}) . Кроме того, в силу условия Ip =∞ каж-
дое fp(x) продолжается в точку x0 = 0 по непрерывности, при этом fp(0) = 0,
p ∈ (1, n], ϕp(0) = 0, ϕp(1) = 1, обратное отображение f−1
p (y) определено при
каждом y ∈ Bn, f−1
p (y) =
y
|y|
ϕ−1
p (|y|), fp(x) ∈ B (0, ϕp(R)) как только x ∈ B(0, R)
и f−1
p (y) ∈ Bn также при всех y ∈ B(0, ϕp(R)). Из изложенного выше следует, что
fp(Bn) = Bn, fp (B(0, R)) = B (0, ϕp(R)) и, значит,
m (fp (B(0, R))) = Ωnϕ
n
p (R), p ∈ (1, n]. (44)
На основании (42) – (44) знак равенства в соответствующих неравенствах (4) и
(36), а также в (5) и (37) следует непосредственно. Осталось показать, что опре-
деленные таким образом отображения fp, действительно, являются кольцевыми
(p,Qp)-отображениями в точке x0 = 0. Для этого при произвольных r1, r2 ∈ R,
0 < r1 < r2 < 1, рассмотрим конденсатор вида E = (B(0, r2), B(0, r1)). Заметим,
что в силу изложенного выше
fp(E) = (B(0, ϕp(r2)) , B(0, ϕp(r1))),
и p-емкость конденсатора fp(E) вычисляется в явном виде (см., например, соотно-
шение (2) в [13, с. 177]), а именно,
cap pfp(E) = ωn−1
(
p− 1
n− p
)1/(p−1)
×
×
(
ϕ(p−n)/(p−1)
p (r1)− ϕ(p−n)/(p−1)
p (r2)
)−(p−1)
, p ∈ (1, n), (45)
cap nfn(E) =
ωn−1(
log
ϕn(r2)
ϕn(r1)
)n−1 . (46)
Подставляя в (45) и (46) значения ϕp, определенные выше, как при p ∈ (1, n), так
и при p = n, получаем
cap pfp(E) = ωn−1/I
p−1,
где I определено соотношением вида (12) при x0 = 0. Следовательно, в силу
теоремы 3 гомеоморфизмы fp, определенные соотношениями (42) и (43), являются
кольцевыми (p,Qp)-отображениями в точке x0 = 0, что и требовалось доказать.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
АНАЛОГИ ЛЕММЫ ИКОМА – ШВАРЦА И ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ . . . 1379
5. Аналог теоремы Лиувилля. Всюду далее полагаем p = n. Обозначим
L(x0, f, R) = sup
|x−x0|≤R
|f(x)− f(x0)|. (47)
Теорема 5. Предположим, что f : Rn → Rn — открытое дискретное коль-
цевое (n,Q)-отображение в некоторой точке x0 ∈ Rn, r0 — произвольное фикси-
рованное вещественное число. Тогда
lim inf
R→∞
L(x0, f, R) exp
−
R∫
r0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
= M > 0, (48)
где L(x0, f, R) определено соотношением (47).
Доказательство. Оценим сверху неравенство (27). Заметим, что
m
(
f(B(x0, R))
)
≤ ΩnL
n(x0, f, R), поэтому из (27) получаем
m (f(B(x0, r0))) ≤ ΩnL
n(x0, f, R) exp
−n
R∫
r0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
. (49)
Очевидно, m (f(B(x0, r0))) = M1 > 0 и от R не зависит. Переходя к нижнему
пределу в (49) при R→∞ и обозначая M :=
(
M1
Ωn
)1/n
, получаем (48).
Теорема 5 доказана.
Доказательство теоремы 2. Поскольку L(x0, f, R) ≤ 2 sup
|x−x0|≤R
|f(x)|, из (48)
следует, что
N := lim sup
R→∞
sup
|x−x0|=R
|f(x)| exp
−
R∫
r0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
> 0. (50)
Обозначим
g(x) := |f(x)| exp
−
|x−x0|∫
r0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
> 0.
Заметим, что
lim sup
x→∞
|g(x)| = lim sup
R→∞
sup
|x−x0|=R
|g(x)|. (51)
Из соотношений (50) и (51) следует условие вида (6).
Теорема 2 доказана.
1. Кругликов В. И. Емкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные в
среднем // Мат. сб. – 1986. – 130, № 2. – С. 185 – 206.
2. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229.
3. Salimov R. R., Sevost’yanov E. A. ACL and differentiability of open discrete ring (p,Q)-mappings //
Мат. студ. – 2010. – 35, № 1. – С. 28 – 36.
4. Ikoma K. On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings in space // Nagoya
Math. J. – 1965. – 25. – P. 175 – 203.
5. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Distortion and singularities of quasiregular mappings // Ann. Acad.
Sci. Fenn. Ser. A1. – 1970. – 465. – P. 1 – 13.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1380 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
6. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer
Sci. + Business Media, LLC, 2009.
7. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск:
Наука, 1982.
8. Rickman S. Quasiregular mappings // Results Math. and Relat. Areas. – 1993. – 26, № 3.
9. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. – М.: Мир, 1969.
10. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal mappings in the plane. – New York etc.: Springer, 1973.
11. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math.
and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
12. Golberg A. Differential properties of (α,Q)-homeomorphisms // Further Progress in Analysis. – 2009.
– P. 218 – 228.
13. Gehring F. Lipschitz mappings and p-capacity of rings in n-space // Ann. Math. Stud. – 1971. – 66. –
P. 175 – 193.
14. Севостьянов Е. А. Об интегральной характеризации некоторых обобщений квазирегулярных отоб-
ражений и значении условия расходимости интеграла в геометрической теории функций // Укр.
мат. журн. – 2009. – 61, № 10. – С. 1367 – 1380.
15. Ransford Th. Potential theory in the complex plane. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.
16. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949.
17. Куратовский К. Топология: В 2 т. – М.: Мир, 1969. – Т. 2. – 624 с.
Получено 08.05.11,
после доработки — 27.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
|