Применение исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике. Часть 1. Основные положения термодинамики и теория потенциалов в представлении исчисления внешних дифференциальных форм

Представлен обзор основных положений исчисления внешних дифференциальных форм, дано приложение математического аппарата к дифференциальным формам в термодинамике. Используемый математический язык является развитием стандартного векторного анализа. В работе показано, что аппарат исчисления внешних ди...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автори:	Шелест, В.В., Христов, А.В., Червинский, Д.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України 2017
Назва видання:	Физика и техника высоких давлений
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/168165
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Применение исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике. Часть 1. Основные положения термодинамики и теория потенциалов в представлении исчисления внешних дифференциальных форм / В.В. Шелест, А.В. Христов, Д.А. Червинский // Физика и техника высоких давлений. — 2017. — Т. 27, № 4. — С. 5-49. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-168165
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1681652020-04-24T01:25:41Z Применение исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике. Часть 1. Основные положения термодинамики и теория потенциалов в представлении исчисления внешних дифференциальных форм Шелест, В.В. Христов, А.В. Червинский, Д.А. Представлен обзор основных положений исчисления внешних дифференциальных форм, дано приложение математического аппарата к дифференциальным формам в термодинамике. Используемый математический язык является развитием стандартного векторного анализа. В работе показано, что аппарат исчисления внешних дифференциальных форм позволяет физическим представлениям более адекватно описывать реальность природных явлений, в частности термодинамические свойства вещества. A review of the basic principles of calculation of exterior differential forms is presented in the paper. Application of mathematical apparatus to the thermodynamic differential forms is demonstrated. The used mathematical language is a result of evolution of standard vector analysis. It is shown in the paper that calculation of exterior differential forms allows physical concepts to describe physical phenomena more adequately (e.g., thermodynamic properties of a substance). 2017 Article Применение исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике. Часть 1. Основные положения термодинамики и теория потенциалов в представлении исчисления внешних дифференциальных форм / В.В. Шелест, А.В. Христов, Д.А. Червинский // Физика и техника высоких давлений. — 2017. — Т. 27, № 4. — С. 5-49. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 65.40.gd, 65.40.Ba, 65.40.G–, 65.40.De, 65.60.+a, 65.90.+i http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/168165 ru Физика и техника высоких давлений Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Представлен обзор основных положений исчисления внешних дифференциальных форм, дано приложение математического аппарата к дифференциальным формам в термодинамике. Используемый математический язык является развитием стандартного векторного анализа. В работе показано, что аппарат исчисления внешних дифференциальных форм позволяет физическим представлениям более адекватно описывать реальность природных явлений, в частности термодинамические свойства вещества.
format	Article
author	Шелест, В.В. Христов, А.В. Червинский, Д.А.
spellingShingle	Шелест, В.В. Христов, А.В. Червинский, Д.А. Применение исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике. Часть 1. Основные положения термодинамики и теория потенциалов в представлении исчисления внешних дифференциальных форм Физика и техника высоких давлений
author_facet	Шелест, В.В. Христов, А.В. Червинский, Д.А.
author_sort	Шелест, В.В.
title	Применение исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике. Часть 1. Основные положения термодинамики и теория потенциалов в представлении исчисления внешних дифференциальных форм
title_short	Применение исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике. Часть 1. Основные положения термодинамики и теория потенциалов в представлении исчисления внешних дифференциальных форм
title_full	Применение исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике. Часть 1. Основные положения термодинамики и теория потенциалов в представлении исчисления внешних дифференциальных форм
title_fullStr	Применение исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике. Часть 1. Основные положения термодинамики и теория потенциалов в представлении исчисления внешних дифференциальных форм
title_full_unstemmed	Применение исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике. Часть 1. Основные положения термодинамики и теория потенциалов в представлении исчисления внешних дифференциальных форм
title_sort	применение исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике. часть 1. основные положения термодинамики и теория потенциалов в представлении исчисления внешних дифференциальных форм
publisher	Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
publishDate	2017
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/168165
citation_txt	Применение исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике. Часть 1. Основные положения термодинамики и теория потенциалов в представлении исчисления внешних дифференциальных форм / В.В. Шелест, А.В. Христов, Д.А. Червинский // Физика и техника высоких давлений. — 2017. — Т. 27, № 4. — С. 5-49. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.
series	Физика и техника высоких давлений
work_keys_str_mv	AT šelestvv primenenieisčisleniâvnešnihdifferencialʹnyhformvtermodinamikečastʹ1osnovnyepoloženiâtermodinamikiiteoriâpotencialovvpredstavleniiisčisleniâvnešnihdifferencialʹnyhform AT hristovav primenenieisčisleniâvnešnihdifferencialʹnyhformvtermodinamikečastʹ1osnovnyepoloženiâtermodinamikiiteoriâpotencialovvpredstavleniiisčisleniâvnešnihdifferencialʹnyhform AT červinskijda primenenieisčisleniâvnešnihdifferencialʹnyhformvtermodinamikečastʹ1osnovnyepoloženiâtermodinamikiiteoriâpotencialovvpredstavleniiisčisleniâvnešnihdifferencialʹnyhform
first_indexed	2025-07-15T02:46:20Z
last_indexed	2025-07-15T02:46:20Z
_version_	1837679347777929216
fulltext	Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 © В.В. Шелест, А.В. Христов, Д.А. Червинский, 2017 PACS: 65.40.gd, 65.40.Ba, 65.40.G–, 65.40.De, 65.60.+a, 65.90.+i В.В. Шелест, А.В. Христов, Д.А. Червинский ПРИМЕНЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВНЕШНИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ В ТЕРМОДИНАМИКЕ. ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛОВ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ИСЧИСЛЕНИЯ ВНЕШНИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина Статья поступила в редакцию 28 августа 2017 года Представлен обзор основных положений исчисления внешних дифференциальных форм, дано приложение математического аппарата к дифференциальным фор- мам в термодинамике. Используемый математический язык является развитием стандартного векторного анализа. В работе показано, что аппарат исчисления внешних дифференциальных форм позволяет физическим представлениям более адекватно описывать реальность природных явлений, в частности термодинами- ческие свойства вещества. На примере такой дисциплины, как термодинамика, продемонстрированы принципы и эффективность применения исчисления внешних дифференциальных форм. Показаны перспектива использования данного матема- тического аппарата и его более широкие возможности по сравнению с другими методами математической физики, используемыми при описании физических за- кономерностей. Отражены универсальный характер исчисления дифференциаль- ных форм и особенности внешнего умножения и дифференцирования. Решен ряд стандартных задач термодинамики в новой интерпретации. В частности, полу- чены простые, взаимодополняющие дифференциальные 2-формы фундаментально- го характера, демонстрирующие математическую компактность и физическую взаимообусловленность термодинамических переменных, описывающих тепловые, механические и другие свойства моно- и поливариантных систем. Даны способы решения полученных уравнений. На основе пфаффовых форм характеристических термодинамических функций (называемых потенциалами) в терминологии внешних дифференциальных форм описаны некоторые макроскопические свойства однородно- го вещества. Показано, что сочетание исчисления дифференциальных форм и метода якобианов способствует более глубокому пониманию сути решаемой проблемы. Ключевые слова: внешние дифференциальные формы, термодинамические потен- циалы, внешнее произведение, соотношения Максвелла Введение Исчисление внешних дифференциальных форм было создано в начале XX века Э. Картаном [1–3]. Данный аппарат – один из наиболее фундамен- тальных и вместе с тем простых математических методов. Универсальность Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 6 понятий и методологическая простота являются факторами, подтверждаю- щими фундаментальность теории внешних дифференциальных форм [1–10]. Базовый характер операций внешнего умножения и дифференцирования обу- словлен абстрактностью понятия линейного пространства [1–4]. Элемент указанного пространства, называемый вектором, – понятие более широкое, чем традиционное определение вектора как направленной величины. В этом контексте исчисление дифференциальных форм может быть применено в са- мых разных областях математики и физики. Унификация научной мысли привела к простоте физических понятий, об- ладающих линейной структурой, которой с помощью математики была при- дана фундаментальность операторной символики [1–4]. В исчислении диф- ференциальных форм особенно явной оказывается связь между алгеброй и геометрией. Универсализация таких понятий, как векторное пространство и линейное преобразование, в конце концов и способствовала созданию внешней (альтернированной) дифференциальной формы. Многие тепловые, механические, магнитные и электрические свойства веществ, имеющих моно- или поливариантную структуру, могут быть удов- летворительно описаны на языке термодинамики. Этим путем были объяс- нены многие макроскопические свойства вещества. Термодинамический под- ход оказался успешен как с фундаментальной, так и с прикладной точки зре- ния. На общем фоне стандартного термодинамического языка широко ис- пользовалась методология термодинамических потенциалов, называемых так- же характеристическими функциями [11–18]. В то же время многие фундаментальные проблемы не находят должного объяснения из-за ограничений, заложенных в традиционном математиче- ском аппарате. По нашему мнению, применение исчисления внешних диф- ференциальных форм позволяет расширить сферу применения термодинами- ческого языка, дает возможность по-новому взглянуть на стандартные соот- ношения и рассматривать их на более глубоком научном уровне. Нам представляется, что применение используемого в статье математиче- ского аппарата в термодинамике приобретет более конкретный смысл и бу- дет восприниматься более адекватно после параллельного рассмотрения ак- сиоматики и начал (законов) термодинамики, когда используется прямое дифференциальное исчисление [11–18], с одной стороны, (прил. 1) и основ- ных положений исчисления внешних дифференциальных форм – с другой (прил. 2). Данный подход позволяет более глубоко взглянуть на законы термо- динамики с точки зрения абстрактного векторного анализа, его геометрических положений и образов, раскрывающих природу физической реальности с еще одной фундаментальной стороны, которую математическая физика описывает такими понятиями, как внешнее умножение и внешнее дифференцирование. В представленной работе, опираясь на термодинамические принципы, на- чала и стандартные положения обычных дифференциальных форм, авторы продемонстрировали универсальность и простоту аппарата исчисления внеш- Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 7 них дифференциальных форм. Наряду с получением известных результатов другим способом описаны концептуальные схемы нахождения новых. 1. Начала термодинамики с позиций исчисления внешних дифференциальных форм При изучении свойств систем в рамках термодинамики на основе исчис- ления внешних дифференциальных форм следует переформатировать ис- ходные начала традиционных положений теории (прил. 1, 2). Запишем ос- новные законы термодинамики посредством простой замены прямых диф- ференциальных операторов d и  на операторы внешнего дифференциро- вания d и  . В результате первый закон термодинамики приобретает вид dU Q A      . (1.1) Аналогичным образом второй закон запишем в форме dQ T S   . (1.2) Детализируя правую часть уравнения (1.1), элемент работы можно предста- вить в виде 1 1 ( ,..., )d m i m i i A A a a a      . (1.3) Очевидно, операторы  и  не связаны с температурой, т.е. действуют на другие переменные. В этом состоит их основное отличие от операторов d и d . Сама температура, определяемая в термодинамике как некая обобщенная сила, параметрически явно входит в уравнение (1.1), а именно в первое сла- гаемое правой части. В контексте термодинамических принципов внутрен- няя энергия может быть представлена в качестве функции определенных пе- ременных ( , )iU U S a . Традиционно из множества обобщенных координат  ia выделяют объем. В термодинамике (прил. 1) из аргументов характеристических функций выделяют тепловые ( , )T S и механические ( , )P V переменные, которые вы- ступают в роли обобщенных сил ( , )T P и обобщенных координат ( , )S V . При этом подразумевается, что первые (силы) являются неаддитивными (интенсивными), а вторые (координаты) – аддитивными (экстенсивными). В стандартном представлении внутренняя энергия как функция незави- симых переменных имеет вид ( , , )iU U S V a , а ее внешний дифференциал (по форме совпадающий с прямым дифференциалом) – 2 d d d d m i i i U T S P V A a         . (1.4) Здесь, как и в прямом дифференциальном исчислении, коэффициенты пфаф- фовой формы, выраженные через соответствующие частные производные, равны Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 8 , iV a U T S       , , iS a U P V        , , , i j j j S V a U A a          . (1.5) Очевидным приложением исчисления внешних дифференциальных форм является уравнение, получаемое из (1.4) при действии на него слева опера- тором внешнего дифференцирования Λ. Поскольку функция U обладает свойством полноты и в прямом, и во внешнем дифференциальном исчисле- нии (равенство смешанных производных), то 2d 0U  . Таким образом, дей- ствуя слева на (1.4) оператором d , получим основное уравнение термодина- мики в представлении внешних дифференциальных форм 2 d d d d d d 0 m i i i T S P V A a             . (1.6) 2. Метод термодинамических потенциалов в представлении внешних дифференциальных форм По аналогии с внешним дифференциалом внутренней энергии (1.4) легко получить внешние дифференциалы остальных характеристических функций. Так, используя пфаффовы формы для дифференциалов свободной энергии, энтальпии, энергии Гиббса и энтропии (прил. 1), можно записать соответст- вующие внешние дифференциальные формы: 1 2 d d d d d d d d d m m i i i i i i F U S T T S S T A a S T P V A a                      , (2.1) 1 2 d d d d d d m m i i i i i i W T S a A T S V P a A              , (2.2) 1 2 d d d d d d m m i i i i i i G S T a A S T V P a A                . (2.3) Энтропию также можно рассмотреть как термодинамический потенциал с аргументами , iU a и температурой в качестве параметра (прил. 1). Тогда ее внешний дифференциал будет иметь вид 1 1 1 d d d m i i i S U A a T T       . (2.4) Опираясь на условие полноты дифференциальных пфаффовых форм, из (2.1)–(2.3) найдем то же самое основное уравнение термодинамики в пред- ставлении внешних дифференциальных форм, которое получается из внеш- него дифференциала внутренней энергии, а именно (1.6). Для этого, как и в проведенных ранее рассуждениях, используем свойство оператора внешнего дифференцирования d и операции внешнего умножения  (прил. 2). Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 9 «Симметричность» уравнения (1.6) относительно дифференциалов со- пряженных переменных позволяет говорить об универсальном характере применяемого аппарата, явно выявляющем фундаментальность законов тер- модинамики. Отметим, что само основное уравнение инвариантно относи- тельно замены переменных, что также подчеркивает его фундаментальность. Представляет интерес и рассмотрение внешнего дифференциала энтро- пии. Базируясь на свойствах внешних дифференциальных форм (прил. 2), запишем: 2 1 1 1 d 0 d d d d m i i i S U A a T T                     . (2.5) Выполним стандартные преобразования этого выражения в соответствии с правилами исчисления внешних дифференциальных форм: 2 2 21 1 1 1 1 d 0 d d d d d d d di i i i i i i i i S U U A a A a A a T T T T T                                = = 2 2 d d 1 1 d d d di i i i i i T U A T a A a TT T              = = d 1 1 1 d d d di i i i i i T U A a A a T T T T                   . (2.6) Умножая это уравнение на ( )T и учитывая определение внешнего диффе- ренциала энтропии dS (2.4), в результате имеем полученное ранее уравне- ние (1.6) (в нераскрытой форме), связывающее 2-формы соответствующих термодинамических переменных: 1 d d d d 0 m i i i T S A a         . (2.7) Основываясь на термодинамических принципах, рассмотрим систему, яв- ляющуюся диэлектриком или магнетиком и находящуюся во внешнем электро- магнитном поле. Для простоты электрическое и магнитное поля будем ис- следовать отдельно. Демонстрируя возможности исчисления внешних дифференциальных форм, вначале рассмотрим случай одновременного влияния на вещество электрического и магнитного полей. Следуя [15,17], в качестве параметров, характеризующих внешнее поле, возьмем совокупность проекций векторов индукции электрического и магнитного полей:  , ,x y zD D DD ,  , ,x y zB B BB . В этом случае внешние координаты обозначим как  ( , , ) , , ; , ,i x y z x y za x y z D D D B B B . (2.8) Тогда сопряженные этим координатам обобщенные силы имеют вид Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 10  1 , , ; , , 4 i x y z x y zA E E E H H H   . (2.9) Запишем известные соотношения, связывающие поляризационные свойства системы с внешними полями: D = εE = E + 4πP , B = μH = H + 4πM. (2.10) Согласно исчислению внешних дифференциальных форм (прил. 2), выраже- ния (2.10) представляют собой 0-формы. После действия оператора внешне- го дифференцирования d на 0-формы получаем соответствующие 1-формы. Если полагать диэлектрическую и магнитную проницаемости (ε и μ) функ- циями координат, то будем иметь соотношения d d( ) d d d 4 d ,        D E E E E     PP , (2.11) d d( ) d d d 4 d .        B H H H H M      Следуя терминологии прил. 1, раскроем смысл элементарной работы:   3 1 1 d d d 4 i i j j j j i j A A a E D H B            . (2.12) С одной стороны, работа может быть определена как      3 1 1 d d 4 j j j j j A E E H H            . (2.13) В упрощенном случае, когда диэлектрическая и магнитная проницаемости постоянны, это выражение приобретает вид        3 1 1 1 d d d d 4 8 j j j j j A E E H H                E D H B    . (2.14) В случае сонаправленности векторов напряженности и индукции электриче- ского и магнитного полей оно выглядит таким образом:     1 δ d d 8 A      E D H B   . (2.15) С другой стороны, согласно (2.10) элементарную работу можно записать в форме  3 1 1 δ d 4 d d 4 d 4 j j j j j j j A E E H H M              Pj   δ d 4 d d 4 dj j j j j jA E E H H M          P . (2.16) Данную дифференциальную форму легко привести к виду  2 21 d d d 8 i i i iA E H E H M          Pi d d di i i iA E H E H M       P = Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 11 =  2 2 d d d d d 8 E H            E H M    P   d d d d d      E H M    P Pi d d d d di i i iE M H          P . (2.17) Если подействовать на выражение (2.17) оператором внешнего дифферен- цирования, то в соответствии с прил. 2 получим 2-форму, определяющую работу электромагнитного поля над системой:  d d d d dA         P d d d d d    E M H    P . (2.18) Аналогично 2-форма, характеризующая тепловые свойства системы, имеет вид  d d dQ T S     . (2.19) В общем случае 2-форма внутренней энергии является линейной комбина- цией соответствующих форм:    2d d d δU Q A      . (2.20) Отметим, что, вообще говоря,  d d di i i A A a     , где  ,...ia V . Более то- го, левая часть (2.20) в силу свойств функции U (см. прил. 1, 2) будет равна нулю. Это позволяет связать 2-формы, характеризующие свойства системы, единым соотношением (1.6). 3. Примеры применения внешних дифференциальных форм при исследовании термодинамических свойств простых систем, находящихся во внешних электромагнитных полях Изучение методами термодинамики систем, находящихся во внешнем по- ле (в частности, электромагнитном), требует обоснования выбора перемен- ных (прил. 1). В контексте вышеизложенного определим основное соотно- шение для 2-форм, характеризующих состояние системы, исходя из внеш- них дифференциалов термодинамических потенциалов. В этом смысле пе- реформатируем дифференциальные формы прямого исчисления, приведен- ные в прил. 2. Тогда 2 d d d d m i i i U T S P V A a         , (3.1)  d dF U TS   , (3.2) 1 d d m i i i W U A a            , (3.3) 1 d d m i i i G F A a            . (3.4) Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 12 Если (3.2)–(3.4) привести к виду, аналогичному (3.1), то из этих выраже- ний повторным действием оператора внешнего дифференцирования также можно получить основное уравнение термодинамики (1.6), связывающее со- ответствующие 2-формы сопряженных переменных. При этом, если не рас- крывать внешние дифференциалы в правых частях, то с помощью правил ан- тикоммутации внешнего умножения получаем просто тождества, например:    2 2 2d d d 0 d d dF U TS S T T S          = = d d d d d d d d 0S T T S S T S T                 . 4. Простейшие примеры применения исчисления внешних дифференциальных форм в термодинамике Рассмотрим систему, описываемую только тепловыми и механическими переменными. Тогда согласно (1.6) имеем d d d d 0T S P V       . (4.1) Будем считать, что ( , )S S T V , ( , )P P T V , т.е. они, будучи функциями, с точки зрения исчисления внешних дифференциальных форм являются 0-фор- мами. Действуя на них оператором внешнего дифференцирования, получим 1-формы вида d d d , d d d . V T V T S S S T V T V P P P T V T V                                     (4.2) Подставляя (4.2) в (4.1) и учитывая правила внешнего умножения и внешне- го дифференцирования (прил. 2), приходим к такому уравнению: d d d d 0 T V S P T V T V V T                      . (4.3) Из (4.3) очевидным образом следует равенство T V S P V T               . (4.4) Данное соотношение – это не что иное, как известное соотношение Мак- свелла. С помощью метода якобианов его можно переписать в виде         , , , , S T P V V T T V      и далее привести к калибровочному соотношению     , 1 , T S P V    . (4.5) Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 13 Аналогично можно рассмотреть и другие варианты выбора независимых пе- ременных, например переменные T, P и соответственно функции от них  ,S S T P ,  ,V V T P и т.п. [5–7]. Для этих случаев в соответствии со стандартной теорией термодинамических потенциалов имеем следующие соотношения Максвелла [11,12,16,18]: S V T P V S                , S P T V P S               , T P S V P T                , T V S P V T               , каждое из которых методом якобианов может быть приведено к калибровке (4.5). Как показано выше, эти соотношения так же просто получаются в рам- ках исчисления внешних дифференциальных форм. Отметим небольшой нюанс. При стандартном подходе при решении задач работают с одним из четырех потенциалов и соответственно выбирают одну из четырех пар независимых переменных. Если же применять внешние дифференциальные формы, то понятие потенциала не вводится, а значит, можно выбрать любую из шести в принципе возможных пар переменных, т.е. свобода выбора расширяется. Наиболее общий подход при рассмотрении влияния электромагнитного поля на систему подразумевает работу в пространстве 16R переменных  , ; , ; , ; ,T S P V P, , ; , ; , ; ,E M HP . Для однородной изотропной среды количество пе- ременных сокращается до восьми:  , ; , ; , ; ,T S P V P , ; , ; , ; ,E M HP . С целью упрощения задачи будем работать отдельно с электрическим и магнитным полями, влияющими либо на тепловые, либо на механические свойства системы, т.е. будем работать в пространстве 4R . Например, рас- смотрим влияние магнитного поля на механические свойства магнетика, ко- гда M H . Тогда, очевидно, в (1.6) A  H , a  M , и можно записать: d d d d 0P V   M H    . (4.6) Пусть независимыми переменными являются H и V . Тогда в роли функ- ций (0-форм) выступают ( , )M M H V и ( , )P P H V . Подействуем на эти 0-формы оператором внешнего дифференцирования. Получаем d d d , d d d . V H V H M M M H V H V P P P H V H V                                     (4.7) Подставляя 1-формы (4.7) в уравнение (4.6) и, как и ранее, учитывая свойст- ва операции внешнего умножения, имеем: d d d d 0 V H P M H V V H H V                      , Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 14 откуда получаем соотношение V H P M H V               . (4.8) Формулу (4.8) согласно методологии якобианов [11,12,16] можно перепи- сать в виде         , , , , P V M H H V V H      . (4.9) Последнее выражение стандартным образом приводится к калибровке     , 1 , P V H M    . (4.10) Если за независимые переменные выбрать пару (P,H), то функциями (0-фор- мами) окажутся объем ( , )V V P H и магнитная поляризация ( , )M M P H . Следуя стандартной схеме, имеем 1-формы dV и dM . Подставляем их развернутый вид в уравнение (4.6) и после преобразований получаем P H V M H P                . (4.11) Данное равенство, так же, как предыдущее соотношение (4.8), легко сводит- ся к той же калибровке (4.10). Иными словами, равенства (4.8) и (4.11) свя- заны простым преобразованием, осуществляющим переход от переменных ( , )V H к ( , )P H . Поскольку             , , , , , , P H P V P V H P V P H V H P H V H V                       , а             , , , , , , H H M H M H H P M P V H H P V H P V                       , то из равенства якобианов (4.9) следует равенство производных (4.11). Таким образом, используя исчисление внешних дифференциальных форм, получаем соотношения, описывающие магнитоупругие свойства вещества. Аналогично можно определить электроупругие, термоэлектрические и тер- момагнитные свойства [5–7,11,12]. В принципе исчисление внешних диффе- ренциальных форм позволяет описывать свойства системы и в пространстве переменных с размерностью 4n  . Выводы Показано, что применение формализма исчисления дифференциальных форм дает возможность подойти к рассмотрению физической реальности на более глубоком, фундаментальном уровне, поскольку этот формализм осно- Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 15 ван на базовых физико-математических принципах, которые затрагивают фундаментальную связь алгебры, геометрии и абстрактного линейного век- торного пространства. На примере термодинамики продемонстрирована пер- спектива применения используемого в настоящей работе математического аппарата как в данном физическом направлении, так и в других физических дисциплинах. ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 Основные положения термодинамики и статистической физики 1.1. Некоторые аспекты аксиоматики термодинамики В целях более объективного подхода к аспектам термодинамики с пози- ций внешних дифференциальных форм вначале выделим основополагающие принципы (постулаты) термодинамики, рассматриваемые в стандартной тер- минологии. Одно из исходных положений, являющееся обобщением опыта, относится к понятию изолированной системы, находящейся в предполагае- мом равновесном состоянии. Считается, что подобное состояние макроско- пически устойчиво [11]. Данное макросостояние системы характеризуется механическим поведе- нием бесконечно большого числа непрерывно двигающихся частиц, что яв- ляется характерной особенностью теплового движения. Такое поведение макросистемы хорошо описывается методами статистической физики, кото- рая во многом объясняет и дополняет феноменологические термодинамичес- кие положения и выводы, являясь обоснованием реальности существования вероятностных законов поведения макросистем. Статистическая механика показывает, что термодинамика опирается на мир средних величин, где не последнюю роль играют флуктуации как от- клонения макровеличин от их средних значений. Флуктуации подчеркивают ограниченность термодинамического языка. Их малостью обусловлена це- лесообразность термодинамики. В этом контексте ограниченность и относи- тельность первого исходного положения, его приближенный характер обу- словливают и одновременно объясняют нетождественность некоторых вы- водов термодинамики и статистической физики [11,16,17]. Подчеркнем, что термодинамика также ограничена условием замкнутости системы, необходимым для выполнения закона сохранения энергии, когда флуктуации ограничены. В то же время для условно замкнутых систем мо- гут существовать условия, когда развитые большие флуктуации на доста- точно большом промежутке времени могут поддерживать друг друга [11]. Более того, реально существует квазизамкнутость системы, поскольку взаи- модействие подсистем существует всегда. В этом аспекте термодинамиче- ская фаза как гомогенная часть гетерогенного состояния системы является условным, но весьма плодотворным понятием в рамках термодинамических концепций. Во многих случаях понятие фазы требует доопределения [19]. Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 16 Второе, не менее важное, исходное положение термодинамики, которое также накладывает принципиальные ограничения на ее применение к реаль- ным системам, состоит в следующем. Постулируется, что состояние термо- динамического равновесия системы определяется не только так называемы- ми внешними параметрами ai, но и величиной, характеризующей ее внут- реннее состояние, которую называют температурой T. Согласно молекуляр- но-кинетической теории температура – это мера средней кинетической энер- гии хаотически двигающихся невзаимодействующих компонент системы, которые в простейшем случае представляют собой атомы или молекулы. Та- ким образом, второй постулат подчеркивает, что из внутренних параметров, являющихся функциями внешних, один из основных – это температура. Подчеркнем, что температура – термодинамически равновесный внутренний параметр, поскольку существует только у термодинамически равновесных систем, взаимодействием между которыми пренебрегают. Наряду с температурой в термодинамике вводится понятие внутренней энергии, которая функционально зависит от внешних параметров и темпера- туры: 1( ,..., , )nU U a a T . Согласно термодинамическим концепциям второе основополагающее положение можно сформулировать несколько иначе: внут- реннее термодинамически равновесное состояние системы характеризуется внешними параметрами и внутренней энергией. Температуру же можно оп- ределить, зная внутреннюю энергию. 1.2. Начала термодинамики Чтобы выразить начала термодинамики в терминах исчисления внешних дифференциальных форм, необходимо прежде всего сформулировать их с позиций методологии прямого дифференциального исчисления. Следует оп- ределить такие термодинамические понятия, как внутренняя энергия U, ра- бота A, теплота Q, и связать их дифференциалы с точки зрения стандартного дифференциального исчисления. Это в дальнейшем упростит переход к ис- числению внешних дифференциальных форм. Внутренняя энергия системы представляет собой часть полной энергии, характеризующую механическое движение ее составляющих. Движение системы как целого в термодинамике не рассматривается. При этом внут- ренняя энергия зависит от внутренних координат и температуры, которые, в свою очередь, зависят от внешних координат. По характеру зависимости от переменных (аргументов) внутренняя энергия является функцией. Работа A и количество теплоты Q, которые имеют размерность энергии, по своей сути не являются ее видами. Они олицетворяют собой два различ- ных способа передачи энергии и характеризуют в термодинамике процессы энергообмена между системами, системой и термостатом, системой и сре- дой. С позиций [17], среда включает термостат и окружение системы. Работа и количество теплоты отличны от нуля только в результате физи- ческого процесса, в котором участвует система. Они зависят от пути пере- Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 17 хода системы из одного состояния в другое. В отличие от внутренней энер- гии, которая является функцией, работа и теплота, будучи результатами про- цессов, представляют собой функционалы. Это принципиальное различие проявляет себя соответствующим образом в стандартном дифференциаль- ном исчислении, а именно внутренняя энергия при изменении аргументов изменяется как полный дифференциал. Иными словами, внутренняя энергия удовлетворяет условию полноты – равенству смешанных производных. Это соответствует понятию точности формы в исчислении внешних дифферен- циальных форм (прил. 2). В то же время работа и теплота не удовлетворяют условию полноты, т.е. при дифференцировании они не являются полными дифференциалами. По- этому с точки зрения исчисления внешних дифференциальных форм внутрен- няя энергия есть 0-форма, которая при повторном действии оператора d об- ращается в нуль. В то же время вторые внешние дифференциалы форм A и Q нуль не дают (прил. 2). Таким образом, с точки зрения термодинамики состояние системы харак- теризуется соответствующей внутренней энергией, но этому состоянию нельзя приписать какое-либо определенное значение работы или теплоты. Следовательно, говорить о некотором запасе в системе теплоты или работы бессмысленно. Однако говорить о запасах внутренней энергии имеет смысл. В данном аспекте нелишне повторить, что особенности стандартной диффе- ренциальной формы первого начала термодинамики (обычно называемого термодинамическим законом сохранения энергии) как раз и отражают то положение, что величины A и Q (в отличие от U) не являются функциями состояния. Другими словами, эти величины есть функции от пути («траекто- рии») перехода системы из одного состояния в другое или, говоря языком математики, функционалы [11–18]. С точки зрения прямого дифференциального исчисления для равновесных систем с участием тепловых процессов первое начало определяется формулой dQ U A    . (1) Уравнение (1) определяет баланс между теплом, полученным системой от термостата ( 0Q  ), изменением ее внутренней энергии ( d 0U  ) и работой, совершаемой системой над внешними телами ( 0A  ). В уравнении (1) оператор внутреннего дифференцирования d применяют к функции 1( ,..., , )nU U a a T , подчеркивая тем самым ее полноту. Действие d на U определяется стандартной формулой , ,..., 1 , d d d n k i n i ia a i a T U U U T a T a                 . (2) В то же время оператор δ, являясь в определенном смысле усеченным оператором дифференцирования, не обладает полнотой обычного прямого Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 18 дифференциала, поскольку не содержит оператора дифференцирования по температуре. В этом контексте 1 1 ( ,..., , ) d n n i i i A a a T A a     . (3) Из уравнений (1)–(3), характеризующих первое начало термодинамики (закон сохранения энергии), видно, что изменение количества теплоты Q , с одной стороны, представляет собой форму Пфаффа – линейную форму диф- ференциалов независимых переменных 1, ,..., nT a a , а с другой – равно сумме полного дифференциала dU и неполного A . Поэтому форма Пфаффа для Q , будучи неполным дифференциалом, не может быть сведена к какой- либо одной функции параметров 1, ,..., nT a a , от которых зависит состояние системы. Однако неполный дифференциал Q , умноженный на интегральный множитель, позволяет ввести соответствующую функцию 1( ,.., , )nS S a a T от искомых обобщенных координат ka , дающую полный дифференциал, кото- рую называют энтропией [11–21]. В этом контексте энтропия, являясь полноценной функцией, зависящей от обобщенных координат и выделенной обобщенной силы T, может самостоя- тельно выступать и как термодинамический потенциал наряду с известными потенциалами (свободная и внутренняя энергии и т.д.) [11,15,17,20,21]. Введение энтропии позволяет сформулировать второе начало термодина- мики для равновесных тепловых процессов, которое может быть записано в виде dQ T S  . С позиций обобщенных термодинамических сил и координат температура определяет термодинамическую силу, характеризующую меру средней ки- нетической энергии частиц системы, тогда как сопряженная ей термодина- мическая координата (энтропия) – меру хаоса этого свободного движения. С точки зрения математической статистики энтропия соответствует числу спо- собов распределения частиц по энергетическим уровням, каждому из кото- рых можно приписать локальную температуру. Статистическое усреднение приводит к температуре в среднем. Введение энтропии как термодинамичес- кой координаты обусловлено аналогией между Q и A . Объединяя первое и второе начала термодинамики, получаем уравнение d dT S U A   , (5) которое традиционно используется для анализа состояния системы, находя- щейся в тех или иных условиях. Подчеркнем еще раз, что в (5) оператор  не действует на переменную T, поскольку, как было отмечено выше, A не включает дифференциала тем- пературы (см. (3)). В этом контексте правую часть выражения (5) в развер- нутом виде можно представить как Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 19 1,..., 1 , d d d n k i n i i ia a i a T U U T S T A a T a                     . (6) Из уравнения (6) можно определить в общем виде как первые производные от энтропии по соответствующим переменным, так и смешанные вторые производные. Равенство последних диктуется условием полноты дифферен- циала энтропии. В соответствии с принципами термодинамики данная дисциплина описы- вает идеализацию равновесных состояний системы. Другими словами, клас- сическая термодинамика не рассматривает неравновесные состояния. В то же время в реальности мы сталкиваемся и с такими состояниями, которые могут быть близкими к равновесным. Их принято называть квазиравновес- ными. Существуют статические, квазистатические и динамические состоя- ния. Предельным случаем последних, очевидно, являются статические со- стояния различной степени устойчивости, т.е. устойчивость характеризуется как динамическая или статическая. При этом взаимосвязь статической и ди- намической устойчивостей удобно рассматривать как предельный переход. Кроме того, согласно принципу относительности в зависимости от системы отсчета состояние системы предстает для наблюдателя или в статической, или в динамической форме. Особо отметим, что принцип относительности выполняется не всегда по той причине, что системы отсчета далеко не всегда являются инерциальными и замкнутыми. Квазистатическая устойчивость – это квазиравновесное состояние с ма- лыми флуктуациями, а статическая устойчивость – это отсутствие флуктуа- ций. Термодинамика и квантовая механика подчеркивают, что флуктуации присутствуют всегда в силу принципа неопределенности [11,12,16,17]. Та- ким образом, традиционно термодинамическое состояние является синони- мом равновесного (квазистатического), когда внутренние параметры системы не меняются со временем и внутри системы как бы не наблюдается никаких макроскопических движений. Понятно, что правомерность такого подхода за- висит от масштабов системы, т.е. от числа частиц и времени измерения. Термодинамика работает исключительно со средними величинами, кото- рые служат основными характеристиками системы. Если некоторые пара- метры (обобщенные координаты) системы изменяются со временем, то го- ворят о процессе непосредственного изменения параметров. Под процесса- ми [11] понимаются виды выхода системы из состояния равновесия. Под- черкнем еще раз, что термодинамика изучает равновесные и квазиравновес- ные состояния, когда процессы являются условно квазистатическими [11]. Физическое условие квазиравновесного изменения какого-либо параметра a определяется неравенством /a a T  . При такой формулировке T – это время перехода из одного состояния в другое. Имеется в виду, что мгновенная скорость изменения параметра мно- го меньше, чем средняя скорость такого изменения за достаточно длинный Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 20 отрезок времени. Другими словами, с точки зрения корпускулярной концеп- ции траектория системы в фазовом пространстве непрерывна и плавна. Определение интервала времени (периода) усреднения T имеет свои осо- бенности, обусловленные поведением фазовых траекторий и соотношением данного интервала с временем наблюдения t и релаксации τ [17]. Понятия времени усреднения, наблюдения и релаксации зависят от условий решае- мой задачи, предопределяющих и область дисциплин, используемых для ее решения. Вследствие этого возникают вопросы: когда следует применять термодинамику, статистическую физику или кинетику; какие состояния равновесия считать стабильными, а какие – метастабильными [17]? Многие нетривиальные вопросы, характеризующие среду, не могут быть однозначно решены методами термодинамики или статистической физики, поскольку часто решение лежит в области глубокого понимания физических процес- сов, обусловленных корреляционной связью микро- и макроскопики. Подобная корреляция всегда существует. Вместе с тем термодинамика подразумевает от- сутствие корреляции между подсистемами, составляющими изучаемую систе- му. Это приводит к принципу аддитивности термодинамических величин. В контексте вышеизложенного смысл изучения простых равновесных со- стояний и квазистатических процессов состоит в том, что для них важные характеристики системы имеют значения, близкие к средним. Это может рассматриваться как точка отсчета, нулевое приближение для исследования более сложных систем, для которых понятие средних термодинамических величин (в частности, температуры) не имеет настолько определяющего значения, как для простой системы [12]. В этом аспекте изучение вещества, находящегося в равновесном состоянии, играет роль своего рода предельной теории, которая определяет степень устойчивости системы по отношению к возмущениям. 1.3. Статистический подход в термодинамике В целях адекватного понимания исчисления внешних дифференциальных форм кратко сформулируем некоторые существенные замечания, раскры- вающие к тому же фактический смысл термодинамического подхода, при- держиваясь положений статистической физики, изложенных в [17]. Принято считать очевидным, что как время релаксации τ (вопрос опреде- ления которого, являясь одним из самых сложных в статистической физике, не может быть решен в общем виде), так и все прочие свойства системы (в скрытом виде) содержатся в ее гамильтониане (... ,..., ...)i iH p q , где ,i ip q – импульсы и координаты частиц системы. Стандартный подход состоит в рассмотрении системы, погруженной в термостат с гамильтонианом (... ,..., ...)j jH p q   , число степеней свободы которого много больше числа сте- пеней свободы системы. Система и термостат окружены средой (телами, воздействующими на них механическим или полевым способом). Принято Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 21 считать, что система много меньше термостата и ее средняя энергия много меньше энергии термостата: H H  . Как известно, термодинамика оперирует средними величинами, которые могут быть вычислены в статистической физике на основе канонического или микроканонического распределения. По определению, среднее значение величины ( , )A p q вычисляется по формуле ... ( , )dA WA p q   . (7) Здесь W – плотность вероятности распределения величины A, 3 ( ) ( ) 1 1 d d d n l l i i i l p q      – физически бесконечно малый элемент фазового про- странства. Несколько новые нюансы смысла, связанные с более глубоким пониманием фазового пространства [12,16,17], данное выражение приобре- тет в исчислении внешних дифференциальных форм. В статистической физике считается целесообразным использовать два класса распределений. Во-первых, это каноническое распределение (или распределение Гиббса): canon ( ) exp exp H F H W H C                , (8) где 1 exp F C Z         – нормировочная константа, exp d H Z          – ста- тистическая сумма, lnF Z  – свободная энергия системы, H – гамильто- ниан системы, θ – модуль канонического распределения. Во-вторых, это микроканоническое распределение micro ( ) ( )W H C H E   , (9) где нормировочная константа 1 ( )C E  , а ( ) d dE E   . Подчеркнем, что для эргодических систем необходимым и достаточным условием равенства средних по времени и по ансамблю ( t sA A ) является именно микроканоническое распределение, тогда как каноническое исполь- зуется шире в силу своей простоты для вычислений. Расчеты [17] показывают, что основная часть фазового пространства, дос- тупного системе при взаимодействии с термостатом, соответствует энергии системы, близкой к экстремальной (наивероятнейшей, 0H H E F     d dH H E F     ). Можно показать [17], что свободная энергия системы F H H    0 0ln ( )F H H    , где величина 0ln ( )H с точностью до множителя пред- ставляет собой энтропию системы. В термодинамике постулируется, а в ста- тистической физике обосновывается, что перераспределение энергии между системой и термостатом осуществляется крайне редко – когда 0H H . Не- смотря на то, что базовые концепции канонического и микроканонического Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 22 распределений отличаются, их применение дает практически одни и те же результаты. Удивительным фактом является то, что к эквивалентным ре- зультатам приводит использование понятий как изолированной системы, ис- ключающей взаимодействие с окружением, так и системы, свободно обмени- вающейся энергией с термостатом. При этом отражаются крайние абстракт- ные положения, которые удовлетворяют требованиям соответственно мик- роканонического и канонического распределений. Это позволяет предполо- жить, что получаемые результаты будут справедливы и в промежуточных случаях, соответствующих реальным системам, которые в действительности не полностью изолированы, но их обмен энергией с окружением затруднен. Вопрос о внешних параметрах и выполняемой системой работы в термо- динамике требует дополнительного пояснения. В реальности система не изолирована, а взаимодействует как с термостатом, так и с внешними тела- ми. Взаимодействие может осуществляться механическим (например, газ, находясь под поршнем, может сжиматься и, наоборот, газ, расширяясь, дей- ствует на поршень) и полевым (внешнее электромагнитное поле) способами. Во всех случаях, когда изменяются внешние условия, система может дейст- вовать на окружающие тела (термостат и среду) с некоторыми силами и со- вершать над ними работу. В соответствии с этим в целях статистического упорядочения вводятся координаты внешних по отношению к системе макро- тел 1 2, ,..., ma a a . При этом гамильтониан системы считается зависящим от этих внешних координат. В таком случае сила, с которой система действует на i-е тело, записывается как i iA H a    . Элемент работы, совершаемой системой над внешними телами, равен   1 1 d d d m m i i i i i i A H a a A a        . При этом под H надо понимать кинетическую энергию системы и общую потен- циальную энергию системы и внешних тел. Поэтому сила iA зависит не только от ia , но и от всех ,i ip q системы. Последние быстро меняются со временем. Предполагается, что все макротела обладают инерцией, поэтому воспринимают только средние по времени силы t iA . Вводимый принцип эр- годичности позволяет перейти от средних по времени к средним по совокупности (по ансамблю) [17]. В результате имеем , ,k i k i t s i i i ia a H F A A a a                      . Выделим очевидное неравенство i i HH a a     . Кроме этого, подчеркнем следующее. Принципы термоди- намики в завуалированной форме как бы исключают взаимодействие под- систем. В то же время эргодичность существует только при наличии взаи- модействия как такового [17]. Следовательно, в статистической физике, а Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 23 значит, и в термодинамике под элементом работы, совершаемой системой, понимается величина 1 d d ( d ) m i i i A A a F      . Подчеркнем еще один нюанс. Очевидно, вывод формулы i iA F a      , / k i i i a A F a      предполагает, что плотность канонического распределе- ния canonW инвариантна по отношению к изменению внешних параметров (координат среды), что не соответствует действительности, но может быть принято как хорошее приближение. Нарушаемое равновесное состояние системы можно считать равновесным или квазиравновесным только при бесконечно медленном (как говорят, адиабатическом) изменении внешних параметров ia . Для этого необходимо, чтобы за время T, в течение которого фазовая траектория системы покрывает плотной сетью главную часть дос- тупного для системы фазового объема, внешние параметры существенно не изменились, т.е. i ia T a [17]. Именно такие процессы изменения внеш- них условий называют квазистатическими или равновесными. Иногда гово- рят об адиабатических процессах, подразумевая очень медленное изменение внешних параметров ia , когда система все-таки успевает приспособиться к новым условиям. По сути равновесное состояние остается квазиравновес- ным, когда со временем изменяются средние энергия и объем системы. Таким образом, только для квазистатических или квазиравновесных про- цессов при усреднении можно пользоваться соответствующими равновес- ными функциями распределения. В этом случае мы имеем дело с равновес- ным (термодинамическим) состоянием системы, когда величина 0 1 d ln ( ) d H H H H          является мерой средней кинетической энергии систе- мы; 0ln ( )H S  – энтропия (мера хаоса) системы. При этом именно для простых систем (однокомпонентных газов и т.д.) данные понятия имеют тот же смысл, что и в термодинамике. Для многокомпонентных систем опреде- ление этих понятий не столь тривиально [12]. Чтобы качественно понимать законы термодинамики отметим следую- щее. Правильное понимание первого начала термодинамики основывается на осмыслении таких понятий, как теплота и работа. Понятие теплоты под- разумевает взаимодействие только между системой и термостатом, но не с внешними телами, в отличие от понятия работы. Поэтому, вводя изменение энергии термостата  d ia H Q   , говорят, что некоторое количество теп- лоты перешло от термостата к системе. Описывая взаимодействие системы, термостата и внешних тел, говорят, что количество теплоты, полученное системой от термостата, идет на увеличение внутренней энергии системы и на работу, произведенную этой же системой над внешними телами. Именно Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 24 это и есть первое начало (закон) термодинамики, запись которого в виде формулы отражает соответствующий энергетический баланс: 1 δ d d d m i i i Q U A a U A       . (10) Если представить этот баланс в форме dA Q U    , то становится очевид- ным, что  /i iA U a    . Данная формула энергетического баланса подра- зумевает, что работа совершается как за счет уменьшения внутренней энер- гии, так и вследствие получения системой тепла. Очевидно, только в случае отсутствия теплообмена ( 0Q  ), означающего, что система помещена в адиабатическую оболочку или теплоизолирована, имеем dA U   или   0 /i i Q A U a       . Еще раз подчеркнем различие между работой и количеством теплоты. Очевидно, согласно термодинамическим принципам A и Q определяют количество энергии, отданной системой соответственно внешним телам и термостату. В то же время если внешняя работа зависит от взаимодействия системы с небольшим числом макроскопических тел, характеризуемых обобщенными координатами ia (например, 1a V и т.д.), то теплота Q означает отдачу соответствующей энергии термостату, который обладает огромным числом степеней свободы порядка числа частиц. Подразумевает- ся, что энергия Q в простом варианте перераспределяется между боль- шим числом частиц хаотическим образом. При этом если движение макро- тел можно контролировать (например, изменяя объем системы), то следить за изменением всех внутренних координат термостата ,i ip q  и непосредст- венно знать и использовать в расчетах энергию каждой частицы невозмож- но. Поэтому мы и прибегаем к статистике. Таким образом, очевидно, 0( )i QA dF     не является полным диффе- ренциалом функции ( , )iF F a  , а только его частью. Следовательно, ко- нечная работа, произведенная системой при переходе ее из состояния 1 в состояние 2, определяется интегралом 2 12 1 A A  , величина которого зависит от способа перехода («траектории») из состояния 1 в состояние 2. В отно- шении изменения переданного тепла отметим, что в соответствии с форму- лой dQ H    (когда гамильтониан термостата зависит только от перемен- ных ,i ip q  , а не от  и ia ) величина Q зависит только от переменных тер- мостата, а не от характеристик системы. То обстоятельство, что в соответст- вии с принятой формулировкой 0d dQ H H A      теплота оказывается выраженной через переменные системы, связано только с тем фактом, что полная энергия (системы, термостата и внешних тел) сохраняется. Поэтому Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 25 не существует ни функции состояния Q , ни функции состояния A , вариа- ции которых A и Q были бы стандартными полными дифференциалами. В результате A и Q представляют собой некоторые линейные дифферен- циальные формы переменных  и ia , и интеграл от данных форм зависит от пути интегрирования. Иными словами, Q и A есть функционалы, а не функции. В то же время внутренняя энергия U H является функцией от этих же переменных  и ia , а dU – полный дифференциал, который может быть выражен разностью вариаций A и Q . В такой транскрипции под первым началом термодинамики понимается следующее утверждение: из- менение внутренней энергии представляет собой полный дифференциал: dU Q A    . Принимается, что 0A  , когда система совершает работу, и 0Q  , когда она же получает тепло от термостата. При этом, как считается [17], теплота и работа – первичные понятия, а внутренняя энергия – вторичное. 1.4. Метод термодинамических потенциалов в традиционном изложении Термодинамика раскрывает свое академическое значение как адекватная наука посредством статистической теории, которая удобной стандартизаци- ей дает возможность получать простые термодинамические характеристиче- ские функции (потенциалы), позволяющие исследовать свойства различных равновесных систем. Так, вычислением статистической суммы или интегра- ла /e dHZ    легко находится свободная энергия Гельмгольца lnF Z  , которая своим построением подчеркивает аддитивные принци- пы термодинамики. Наряду со свободной энергией столь же легко опреде- ляют и другие термодинамические потенциалы, используя которые простым дифференцированием получают соответствующие параметры системы, характеризующие ее свойства. В частности, зная соответствующую харак- теристическую функцию, можно получить внутреннюю энергию  2 /U T F T T    , энтропию  / V S F T    , давление  / T P F V    и т.д. В общем случае, определяя функцию Гельмгольца как F U TS  , легко найдем дифференциал свободной энергии 1 2 d d d d d d d d d m m i i i i i i F U S T T S S T A a S T P V A a              . (11) Очевидно, свободная энергия Гельмгольца является функцией независимых переменных , , iT V a . Решая уравнение (5) относительно dS , для дифференциала энтропии как термодинамического потенциала получаем Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 26     1 d 1/ d 1/ d m i i i S T U T A a     . (12) В форме термодинамического потенциала энтропия предстает как функция соответствующих независимых обобщенных переменных ( , , )iS S U V a , дифференциал которой зависит от температуры как от параметра, вычисляемо- го стандартным образом как   , 1/ / jV a T S U   ,   , , / / j i i iU V a S a A T     . Если рассматривать энтальпию (тепловую функцию), то легко получить термодинамический потенциал тепловой функции в переменных , , iS P A . В этом случае энтальпия есть величина 1 m i i i W U A a     , а ее дифференциал имеет вид 1 2 d d d d d d m m i i i i i i W T S a A T S V P a A         . (13) Очевидно, здесь   , , / j i i i S P A a W A     ,   , / iP A T W S   . Наконец, термодинамический потенциал Гиббса, имеющий вид 1 m i i i G F A a     и являющийся функцией независимых переменных , , iT P A , дает дифференциал в такой форме: 1 2 d d d d d d m m i i i i i i G S T a A S T V P a A           . (14) Из выражения (14) следует:   , / iP A S G T    ,   , / iT A V G P   ,   , , / i j j i T P A a G A     . Важные дополнительные термодинамические соотно- шения между характеристическими величинами, определяющими свойства системы, можно получить из дифференциальных соотношений, основываясь на условии полноты термодинамических потенциалов как функций незави- симых переменных. То есть на основе равенства смешанных вторых произ- водных получаются так называемые соотношения Максвелла [11,12,14,18]. Очевидно, для определения термодинамических свойств системы, находя- щейся в тех или иных заданных условиях, когда некоторые параметры можно считать фиксированными, целесообразно использовать тот или иной потенциал. 1.5. Особенности взаимодействия внешнего электромагнитного поля с термодинамической системой в элементарном изложении Включение в термодинамику внешнего поля (в частности, электромаг- нитного), действующего на систему, требует дополнительного пояснения [11,17,20,21]. Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 27 Получим выражения для основных характеристических функций и их дифференциалов в традиционном подходе для систем, находящихся в стати- ческих электрическом и магнитном полях. Для этого необходимо опреде- литься с выбором обобщенных внешних координат и соответствующих им обобщенных внешних сил. Как увидим впоследствии, поведение физических систем, на которые, кроме механических, действуют и другие силы, не зави- сит от выбора выражений для внутренней энергии и работы, обусловленных поляризацией. Особенно наглядно это проявляется в исчислении внешних дифференциальных форм. Как показывают излагаемая теория и выводы из нее, вопрос о выборе таких выражений не является существенным – при лю- бом выборе получается один и тот же результат, определяющий свойства диэлектрика или магнетика в электромагнитном поле. Внешнее поле, прони- кая в диэлектрическую среду, вызывает поляризацию ее структурных эле- ментов, обусловленную смещением зарядов, которое может быть описано как механическое смещение, а с квантовых позиций – как деформация элек- тронных оболочек. В результате внешнее поле генерирует внутреннее поле, которое в электростатике (длинноволновой предел) характеризуется выра- жением  D E , связывающим вектор смещения (индукции) и внешнее электрическое поле через диэлектрическую проницаемость. Последняя в общем случае является тензором. В то же время индукция – это поле, обусловленное электронной плотно- стью вещества, которое приближенно можно представить состоящим из по- ля свободных и связанных зарядов (за вычетом зарядов ядер). Например, в металлах учитывается поле только свободных зарядов, а в кристаллах инертных газов – только связанных. Диэлектрик представляет собой проме- жуточный случай, когда учитывается и то, и другое. Это отражается в фор- муле div 4 D [16,17]. Если рассматривать систему как дискретный объ- ект, индукция может быть выражена в виде 4  D E P . Здесь P – поляри- зация (поляризованность). При более детальном подходе внешнее поле, дей- ствующее на единицу объема системы, отличается от локального поля, ре- ально обусловливающего поведение заряда в данной точке: loc    E E (4 / 3)   E E P . Для сферической или кубической симметрии 1  , а при дру- гом типе симметрии 1  . Последний случай реализуется, например, в сег- нетоэлектрике для некоторых типов ионов [23,29]. Согласно физике твердого тела и теории электричества [11,16,17,21,23] опи- сание поляризационных свойств системы основано на следующих положениях. Известно, что элементарная работа, которая совершается при движении зарядов, создающих поле в диэлектрике, и отнесена к объему последнего, равна [20,21]:   1 d 4 A     E D . (15) В изотропном случае она соответствует Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 28 1 d 4 A E D    . (16) Однако величина индукции D, выступающая в данном случае в качестве внешнего параметра, не является таковым для самой системы (диэлектрика). Поэтому удельная работа A не является совершаемой при поляризации ди- электрика реальной работой, как говорят, в собственном смысле [11]. То есть это не та работа, которая идет на создание поляризации вещества, обу- словленной смещением зарядов в диэлектрике, и на образование преимуще- ственной ориентации диполей. Чтобы определить реальную работу по поля- ризации диэлектрика (в собственном смысле, по терминологии [11]), следует преобразовать выражение (16) к виду, в котором независимой переменной (координатой) служит внешний параметр диэлектрика – напряженность электрического поля E. Особенностью термодинамического описания влияния внешнего поля на вещество является то обстоятельство, что внешнему параметру (напряжен- ности поля) E соответствуют два внутренних параметра (обобщенные силы) – поляризация P и вектор смещения (индукция) D. Поэтому подчеркнем еще раз, что подобное описание больше соответствует реальности, чем фор- мулы (15), (16) [15,16]. Таким образом, при расчете работы в собственном смысле требуется исходить из того, что внешнему параметру E соответст- вуют сопряженные ему величины P и D. Следуя общепринятым положениям [11], необходимо учитывать, что по- ляризация диэлектрика в поле связана с появлением дополнительной потен- циальной энергии – (P·Е), поэтому за работу по поляризации диэлектрика в собственном смысле обычно принимается величина cA E E E A E         P dE – d(P E) = – EdP = δA + d(E 2/8π). (17) В этих равенствах учитывается, что D = E + 4πP , а также формула (16). Стандартный подход к рассмотрению влияния на вещество (систему) внешних статических (или медленно меняющихся) силовых полей E, H ос- новывается на том, что эти поля генерируются внешними зарядами или маг- нитами. Их пространственные координаты принимаются за обобщенные внешние координаты. Термодинамические величины системы определяются этими полями [11,17,21]. При рассмотрении влияния внешнего электростатического поля на систе- му предполагается [17], что заряды, создающие это поле, распределены в пространстве с плотностью ( , , )x y z   . Они связаны с вектором индукции уравнением div 4 D . Электронная плотность  создает потенциал ( , , )x y z , который связан с напряженностью электрического поля соотно- шением   E  . Согласно [17] гипотетически допускается, что в каждый элемент объема dV из бесконечности вносится элементарный заряд dV . При этом совершается работа против электростатических сил, которая идет Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 29 на увеличение энергии системы и на работу, совершаемую системой (с об- ратным знаком). Такая работа записывается в стандартном виде dA V    . (18) Путем хорошо известных преобразований данное выражение приводится к виду 1 d 4 A V     E D . (19) Отметим, что эта формула фактически совпадает с формулой (16). Если следовать схеме [17], то в целях удобства в качестве внешних параметров (обобщенных координат) ia можно взять компоненты вектора индукции ( , , )iD x y z , , ,i x y z . Тогда величины 1 ( , , ) 4 iE x y z  есть обобщенные силы iA . Определение зависимости свободной энергии системы от внешних пара- метров проводится стандартными термодинамическими методами. В част- ности, в простейшем случае изотропной системы, когда D E  (  – диэлек- трическая проницаемость),  /i iA f a    , где f – плотность свободной энергии. Таким образом, на основании известных положений 4 4 i i i i E Df A D         . Интегрирование дает 223 0 0 1 d ( , ) ( , ) 8 8 i i i i Df f D f T V f T V D            D . (20) Аналогичные рассуждения можно провести для магнитного поля, заме- нив напряженность электрического поля E на напряженность магнитного поля H, а электрическую индукцию D – на магнитную B. В общем изотроп- ном случае, вводя магнитную проницаемость  , плотность свободной энер- гии можно записать в виде 2 2 0 1 ( , ) 8 f f T V           D B . (21) Поскольку полная свободная энергия системы dF f V  , в принципе не- обходимо знать зависимость от координат x, y, z индукций D и B, а при бо- лее детальном подходе – еще и диэлектрической, и магнитной проницаемо- стей. Стандартные определения энтропии и средней внутренней энергии вещества (системы) таковы: 2 2 0 2 2 1 8 ff D B s T T T T                   , 2 2 0 0 1 1 1 8 f D T B T u f Ts f T T T T                                 = (22) Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 30 =   2 2 0 1 1 8 8 u ED HB E T H T T T              . Из формулы (22) следует, что обычное для электростатики понимание электри- ческого поля [17,22] применимо только в случае пренебрежения температур- ной зависимостью диэлектрической и магнитной проницаемостей вещества. Как показывает термодинамика, в более общем случае величина u в (22) не является внутренней энергией, а соответствует свободной энергии системы. Согласно [21] удельная работа в расчете на единицу объема диэлектрика определяется как vA  PP (E)dE, (23) где dE – изменение среднего поля в данной точке диэлектрика при его сме- щении на величину R . С другой стороны, элементарная работа, учиты- вающая поляризацию диэлектрика во внешнем поле, равна vA  E(P)dP . (24) Определим эту работу с той точки зрения, что внешнее поле, в которое по- мещен диэлектрик, создается внешними зарядами. Для простоты предполо- жим, что диэлектрик окружен проводником с зарядом e, создающим потен- циал  и поле E. Работа по переносу единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника (в точку с координатами x, y, z) описывается формулой ( , , ) ( , , ) ( , , )dA x y z e x y z x y z V       . (25) Преобразование (25) к виду, содержащему величины, характеризующие по- ле вокруг проводника (в диэлектрике), приводит к выражению для удельной работы [21]: 1 4 vA    E D . (26) Отсюда следует, что полная работа по переносу единичного заряда 1 d 4 A V    E D . (27) Поскольку вектор электрической индукции 4  D E P , уравнение (27) лег- ко преобразуется к виду 2 d d 8 8 v v v E A A A                    ED . (28) Данное выражение включает известное из электродинамики слагаемое – плотность энергии электрического поля. Аналогично магнитное поле ( )H r вне своих источников (токов, постоян- ных магнитов и т.д.), как считается, ведет себя подобно электростатическо- му. Поэтому для описания работы магнитного поля над единицей объема Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 31 изотропного магнетика обычно используются выражения, аналогичные при- веденным выше: ( )dvA  M H H , (29) ( )dvA   H M M , (30) 21 d d d 4 8 v H A           H B H M . (31) Здесь ( )M H – вектор намагниченности, B – вектор магнитной индукции. Связь между ними и напряженностью внешнего магнитного поля описыва- ется соотношением 4  B H M . Подводя итог беглому обзору основ термодинамики, подкрепленных вы- водами статистической физики, еще раз подчеркнем ее методологическую простоту и вместе с тем глубокое содержание, затрагивающее фундамен- тальные положения физической науки [11,12,16,17,20,21]. Статистическая физика раскрывает универсальность термодинамики [12]. Так, чтобы рассчи- тать свойства равновесного состояния системы, основываясь на положениях термодинамики и статистической физики, удобно первоначально определить статистическую сумму (интеграл) ( ,..., ,...)iZ Z a  и свободную энергию системы ( ,..., ,...)iF F a  . Затем можно найти все прочие величины, харак- теризующие состояние системы, начиная, например, с внутренней энергии 2( ,..., ,...) i i a F U U a             . Здесь Bk T  , Bk – постоянная Больцмана. Если следовать традициям прямого дифференциального исчисления, то пфаффовы формы характеристических функций в общем случае определены в пространстве n взаимозависимых переменных nR . При этом соотношения между термодинамическими коэффициентами, проверяемые в эксперименте и определяющие свойства системы, традиционно рассматриваются в простран- стве 4R . Внешние дифференциальные формы демонстрируют эту взаимоза- висимость более наглядно. В рамках такой демонстрации исследуем вопрос о влиянии внешнего ста- тического электромагнитного поля на систему в представлении [15,16]. В этом случае пфаффовы формы дифференциалов термодинамических харак- теристических функций будут иметь вид d ( , , , ) d d d dU S V T S P V   E H E M H P dE – MdH , (32) d d( ) d d d dF U TS S T P V       P dE – MdH , (33) d d( ) d d d dW U PV T S V P      P dE – MdH , (34) d d( ) d d d dG F PV S T V P       P dE – MdH . (35) Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 32 Условие полноты характеристических функций позволяет установить связь между различными термодинамическими коэффициентами, характеризую- щими свойства системы. То есть, например, из равенства ... 22                     SV U VS U , 2 2 ... ... F F V V                  E E , ... 22                     SP W PS W (36) и других подобных ему получаем так называемые соотношения Максвелла. Отметим, что первые производные от термодинамических потенциалов являются коэффициентами соответствующих пфаффовых форм (обобщен- ные координаты и силы), а вторые – тепловыми и механическими характе- ристиками вещества. Для наглядности исследуем поочередно влияние магнитного поля на маг- нетики и электрического поля – на диэлектрики. Тогда, например, исходя из дифференциала внутренней энергии вида d d dU P V   M H (37) (когда constS  , constE ), имеем, по определению, U P V        H , V U        M H . (38) Следовательно, 2 V U P V              H H , 2U V V               H M H . (39) В простейшем случае M H , приравнивая согласно вышесказанному сме- шанные производные, получаем равенство V H P M H V               . (40) Применяя теорию якобианов, можно переписать это соотношение в виде ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) P V M H H V V H      . (41) Отсюда следует калибровочное соотношение ( , ) 1 ( , ) M H V P    . (42) Очевидно, если векторы намагниченности и магнитного поля будут антипа- раллельны, то якобиан в последнем равенстве изменит знак. Понятно, что подобные калибровочные соотношения получаются и в слу- чае действия на диэлектрик только электростатического поля. Для их полу- чения достаточно сделать замены M P и H E . Результат (для изо- тропного случая) будет таким: Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 33 ∂(P ,E)/ ∂(V,P) = 1. (43) Символично, что в калибровке соответствующие сопряженные обобщен- ные координаты и силы располагаются друг под другом. Аналогичные рассуждения можно провести, используя вместо внутрен- ней энергии иные термодинамические потенциалы. Например, в случае маг- нетика во внешнем магнитном поле для производных энтальпии и потен- циала Гиббса имеем W G V P P               H H , P P W G                M H H . (44) Отсюда следует то же калибровочное соотношение (43), которое было полу- чено выше. Применение обычного дифференциального исчисления теряет свою про- стоту с увеличением количества переменных, тогда как исчисление внешних дифференциальных форм свободно от этого недостатка. Приложение 2 Формализм исчисления внешних дифференциальных форм 2.1. Вводные определения, обозначения, символика, терминология Будем придерживаться методологии [1–3]. Термин «векторное поле» означает правило, задающее вектор в каждой точке P многообразия M, принадлежащего пространству U размерности n. Если в окрестности произвольной точки пространства U задана система координат    1 2, ,...,i nx x x x , то тем самым определен и координатный ба- зис касательных векторов: 1 2 , ,..., i nx x x x                   . Каждая точка имеет свое касательное пространство. Векторное поле «выбирает» по одному век- тору из каждого такого касательного пространства. По заданному полю можно найти интегральные кривые векторного поля (например, силовые ли- нии для магнитного поля). Система координат  ix наряду с базисом векторных полей  ix  оп- ределяет и семейство 1-форм, состоящее из «градиентов»  d ix . В отличие от векторов 1-формы обозначаются тильдой над буквой. Они образуют ба- зис, дуальный координатному базису векторов: d i i i jj j x x x x            . (1) Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 34 Приняты следующие соглашения по индексным обозначениям: компо- ненты векторов нумеруются верхними индексами ( iV ), компоненты 1-форм – нижними ( j ); базисные векторы нумеруются нижними индексами ( ie ), базисные 1-формы – верхними ( j ). Свертка определяется как j jV   либо d j j x    (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Заметим, что в пространстве с евклидовой геометрией в декартовом бази- се между компонентами вектора и ассоциированной с ним 1-формой не су- ществует принципиального различия. Поэтому в элементарных курсах век- торной алгебры векторы и 1-формы не различают. В других случаях, отме- ченных ниже, различие проявляется явно. В контексте самых общих построений 1-формы и векторы – это примеры вырожденных тензоров типа  N N  в точке P, которые определяются как линейные функции, аргументами которых служат N 1-форм и N′ векторов, а значениями являются вещественные числа. Таким образом, тензорное поле определяется правилом, согласно которо- му каждая точка соотносится с тензором типа  N N  . В этом контексте скалярная функция (0-форма) соответствует тензору типа 0 0       , вектор – тензору типа 1 0       , 1-форма – тензору типа 0 1       . В руководствах по тензор- ной алгебре векторы часто называют «контравариантными векторами», а 1-формы – «ковариантными векторами». Эти названия указывают на то, как ведут себя компоненты соответствующих объектов при замене базиса. Наглядным примером 1-форм является градиент функции. В матричной алгебре, если считать «векторами» столбцы (вектор-столбцы), то вектор- строки – это 1-формы. В квантовой механике аналогами векторов служат кет-векторы  , а 1-формы – это бра-векторы  . Сверткой является вели- чина   . В исчислении дифференциальных форм буква с тильдой (например, , p  и т.д.) всегда означает антисимметричный тензор. В этом контексте 1-формы , ,      и др. можно рассматривать как частный случай «вырож- дения» антисимметричных тензоров. По определению, дифференциальная форма степени p  2 или просто p-форма – это антисимметричный тензор типа 0 p       . Построение форм осуществляется простым способом: 2-формы можно строить из 1-форм при помощи операции взятия внешнего произведения Λ. Данное построение аналогично получению из тензора типа 0 2       тензоров Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 35 типа 0 1       при помощи операции тензорного умножения  . Так, если p и q – 1-формы, то внешнее произведение – это 2-форма  , определяемая форму- лой p q p q q p q p                  . Имеет место очевидное соотношение 0p p   . В принципе, произвольную p-форму можно записать в виде ли- нейной комбинации внешних произведений p базисных 1-форм (т.е. произ- вести «разложение» p-формы по базису 1-форм) [2]. 2.2. Основные положения В целях детализации используемого материала рассмотрим упорядочен- ный набор 1 2( , ,..., )p   из p векторов, следуя терминологии [3]. Пусть су- ществует функция 1 2( , ,..., )pa    , сопоставляющая такому набору векторов вещественное число. Эту функцию называют полилинейной формой степени p (или p-формой), если она является линейной формой по каждому аргумен- ту при фиксированных значениях остальных. Искомую полилинейную форму называют знакопеременной (антисим- метричной, кососимметричной, косой, внешней), если при переста- новке любых двух аргументов она меняет знак: 1 1( ,..., ,... ,..., ) ( ,..., ,... ,..., )i j p j i pa a         1 1( ,..., ,... ,..., ) ( ,..., ,... ,..., )i j p j i pa a         . Представление произвольной полилинейной формы 1 2( , ,..., )pa    в произвольном ортонормированном базисе  ie , 1,...,i n некоторого век- торного пространства V размерности n определяется как   1 1 1 1 2 ... 1 1 1 1 , ,..., ... ... p p p n n ii p i i i i a a         где 1 1 1... ... ( ,..., ) p p pi i i i i ia a e e – некоторые числа,  1 1 ,..., pii p  – компоненты векторов  в этом базисе: 1 ξ n i k k i i   e , 1,...,k p . Частный случай – это полилинейные знакопеременные p-формы, которые могут быть представлены в виде разложения по указанному базису:   1 1 1 1 2 ... 1 1 1 1 , ,..., ... ... p p p n n ii p i i i i            . В таком варианте числа 1 1 1... ... ( ,..., ) p p pi i i i i i   e e меняют знак при пере- становке двух индексов. Основная операция в теории знакопеременных форм – это операция внешнего умножения, которая требует пояснения. Если рассмотреть полилинейную форму, представляющую собой простое произведение двух знакопеременных форм размерностей p и q: Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 36 1 1 1( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., )p q p q p p p qa           , то, вообще говоря, форма не является чисто знакопеременной, поскольку при перестановке аргументов i и j (где 1 i p  , 1p j p q    ) резуль- тирующая форма в принципе может изменить свое значение и по модулю, а не просто поменять знак (т.е. не быть знакопеременной). Именно данное об- стоятельство и обусловило необходимость введения внешнего произведения. Это понятие непосредственно связано с теорией перестановок [3]. Пусть σ(k) – некоторая перестановка набора чисел  1,...,k m . Множество всех m! таких перестановок обозначают m . Для двух различных перестановок из этого множества σ и τ существует их суперпозиция m . Для каждой перестановки σ существует обратная перестановка σ –1 , такая, что 1 1      , где ε – тождественная перестановка. Перестановка только двух чисел из набора, оставляющая остальные числа на своих местах, назы- вается транспозицией. Для транспозиции 1   . Любую перестановку можно разложить на транспозиции, при этом их число в разложении не за- висит от способа разложения. Четность числа транспозиций в разложении перестановки называется четностью этой перестановки. Таким образом, внешним произведением p q    форм ω p и ω q на- зывается форма 1( ,..., ) sgn( )p q p q a          . Здесь σa – функция ( )p q -векторов, получаемая из функции a тех же векторов (определенной выше) путем перестановки σ аргументов функции; sgn(σ) = 1, если переста- новка четная, и sgn(σ) = –1, если нечетная. Суммирование ведется по всем перестановкам. В качестве простых примеров внешнего произведения можно рассмотреть произведение двух линейных 1-форм, которое дает билинейную форму: 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( ) sgn( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g f g f g f g               . Внешнее произведение 1-формы и q-формы при q > 1 будет формой сте- пени 1q  вида 0 1 0 1 0 1( , ,..., ) ( ) ( ,..., ) sgn( ) ( ) ( ,..., )q q qf g f g                = = 0 1 1 0 ( 1) ( ) ( ,..., , ,..., ) q i i i i q i f g          . Итак, по определению, p-линейная форма  есть линейная функция от p- векторов. Число p – это порядок формы, а сама φ – это полилинейная форма порядка p. Если сама полилинейная форма является знакопеременной, то φ – это внешняя p-форма. Каждая линейная 1-форма (p = 1) является внеш- ней; внешние 0-формы (p = 0) – это, по определению, действительные числа. Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 37 Схематически в большинстве случаев физика и математика оперируют буквой T, обозначающей некоторое действительное пространство касатель- ных векторов. Символом pT обозначают p-кратное декартово произведение пространства T на себя – множество всех p-наборов векторов пространства T 1( ,..., )p  . Символом T  обозначается сопряженное пространство (аналог прямого и обратного пространства в физике твердого тела) или векторное пространство линейных форм в пространстве T [1–8]. Для каждого p внешние p-формы образуют действительное векторное пространство pE , называемое p-кратным грассмановым произведением над пространством T. При этом 0E – это R, а 1E – это T  . Подчеркнем, что внешнее умножение отображает декартово произведение p qE E в простран- ство p qE  , т.е. внешнее произведение форм ( ) ( )p q  , представляя собой внешнюю ( p q )-форму, при p > 0 и q > 0 не лежит в пространствах pE и qE . 2.3. Конкретизация и приложения С методологической точки зрения формализм обращения с символикой внешних дифференциальных форм [1–10] много проще языка векторного исчисления. По определению, дифференциальной формой степени p евклидового про- странства размерности n называют дифференцируемую бесконечное число раз векторную функцию  ,dx x [3]. Координаты точек этого пространства обозначаются как 1 2( , ,..., )nx x x x , векторами являются дифференциальные символы  1 2d d ,d ,...,d nx x x x . При каждом фиксированном x данная функ- ция представляет собой знакопеременную p-форму [1–3]:   1 1 1 ... ... , d ( )d ... d p p i i i i i x x x x x        Λ ,d ( )d ... dix x x x x     Λ,d ( )d ... d pix x x x x     , (2) где 1... pi i – индексы «упорядочения». Чтобы подчеркнуть отличие дифференциальных форм и внешнего диф- ференцирования от стандартного дифференциального исчисления, иногда формы и их производные обозначают как φ, ψ или α, β, а внешние диффе- ренциалы обозначают дифференциальным оператором с тильдой d , тогда d , d – стандартные обозначения внешних дифференциалов от форм φ и α. Алгебра дифференциальных форм формализована правилами обращения с операциями внешнего дифференцирования d и внешнего (антикоммута- ционного) умножения Λ. Она более проста, но в то же время более эффек- тивна и фундаментальна, чем векторное исчисление [1–10]. Множество всех форм любой степени, снабженных операцией антикоммутационного внеш- него умножения, определяется как алгебра Грассмана [1–3]. Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 38 Правило коммутации форм состоит в выполнении для форм φ(p) и ψ(q) степеней p и q соотношения ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )p q q p       Λ ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )pqp q q p       Λ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )p q q p        . (3) Действие оператора d на формы высших степеней определяется по ана- логии с его действием на 0-формы: при внешнем дифференцировании сте- пень формы повышается на единицу (если φ есть p-форма, то d есть ( 1p  )-форма). При этом если d – точная форма [1,2] (в обычном диффе- ренциальном исчислении d является полным дифференциалом), то опера- ция повторного внешнего дифференцирования приводит к обращению фор- мы в нуль: d(d ) 0   . Правила внешнего дифференцирования аналогичны правилам обычного с учетом антикоммутационных свойств операции Λ, для которой выполняется правило d d 1 d di j ij j ix x x x   Λ  d d 1 d di j ij j ix x x x       Λd d 1 d di j ij j ix x x x        , (4) где ij – символ Кронекера. Линейность внешних дифференциальных форм следует из соотношений     1 2 1 2d ( ) ( ) d ( ) d ( ),p q p q              )(d ~ )()1()()(d ~ ))()((d ~ 2121 qpqpqp p  , (5) где 1 2,  – вещественные числа. Итак, последовательное рассмотрение дифференциальных форм опирает- ся на следующие положения. Дифференциальная форма характеризуется размерностью формы или ее степенью p и размерностью (степенью) R n евкли- дового пространства n. Число измерений пространства соответствует поряд- ку или числу переменных многообразия, на котором определена форма. Вы- полняется очевидное соотношение n p . Нулевая дифференциальная форма (форма степени p = 0) представляет собой любую бесконечное число раз дифференцируемую функцию          1 2 0,d ,0 , ,..., nx x x x f x f x x x       . (6) Очевидно, в случае одномерного пространства ( ) ( )x f x  , в случае двух измерений 1 2( ) ( , ) ( , ) ( , )x x x x y f x y      . Аналогично представляется 0-форма любой размерности пространства. Дифференциальная форма первой степени (p = 1), или 1-форма, имеет вид   1 ,d ( )d n j j j x x x x      . (7) Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 39 В частности, когда n = 1, имеем линейную дифференциальную форму вида  ,d ( )dx x f x x   . (8) Дифференциальная форма второй степени (p = 2), или 2-форма, имеет вид  1 2,d ,d ( )d dik i k i k x x x x x x         Λ ,d ,d ( )d dik i kx x x x x x       . (9) В частности, для минимальной размерности пространства n = p = 2 имеем     1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 d d ( ,d ) ,d ,d d d x x x x x x x f x x x             , (10) где 1 2 1 2 1 2( , ),d d d (d ,d ),d (d ,d )x x x x x x x x x x x  1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2( , ),d d d (d ,d ),d (d ,d )x x x x x x x x x x         , определитель 1 2 2 1 1 2 1 2d d d dx x x x    равен элементу площади, соответствующему векторам 1 2d ,dx x  . Вариант, когда n = p = 3, координата  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( , , ),d d d (d ,d ,d ),d (d ,d ,d ),d (d ,d ,d )x x x x x x x x x x x x x x x x x x x               приводит нас к элементу объема, соответствующему векторам 1 2 3d ,d ,dx x x   , выраженному через детерминант, который умножается на соответствующую функцию от координат:     1 2 3 1 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 2 1 2 3 3 3 3 d d d ( ,d ) ,d ,d ,d d d d d d d x x x x x x x x x f x x x x x x x                   . (11) Конкретизируем формализм дифференциальных форм для векторного поля. В связи с этим напомним, что внешним дифференциалом линейной дифференциальной формы ω степени p является дифференциал формы d , определяемый соотношением 1 1 1, ... ..., d d d ... d p p p i i i i i i         Λ 1 1 d d d ... d p pi i i ix x        Λ d d d ... d p pi i i ix x         Λ d d d ... d p pi i i ix x         , (12) где 1 1 ... ... 1 d d p p n i i i i kk k x x       . (13) Действие оператора d на дифференцируемую форму нулевой степени, когда ( ) ( )x f x  , формально совпадает с обычным дифференцированием: 1 d ( ) d ( ) d n kk k f x f x x x         . (14) Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 40 Вычисление внешнего дифференциала от линейной формы (p = 1) при n > 1 приводит нас к форме вида   1 d ,d d ( )d d d n i k i i k ik i i k i x x x x x x x x                           Λd ,d d ( )d d di i k ix x x x x x           . (15) В частности, когда n = 2, для 1-формы  ( , ),d ,d ( , )d ( , )dx y x y P x y x Q x y y      ( , ),d ,d ( , )d ( , )dx y x y P x y x Q x y y      получим d d d Q P x y x y              Λd d dx y      . (16) Выделим правила, определяющие действие оператора внешнего диффе- ренцирования на дифференциальные формы в контексте соответствующей привязки к размерности пространства n и формы p. Действие оператора d на 0-форму (p = 0), определенную в одномерном пространстве R 1 , превращает 0-форму в 1-форму (p = 1). То есть в простран- стве R 1 оператор d повышает степень формы при инвариантной размерно- сти пространства, на котором она определена: d d ( ) d ( ) d d f x f x x x      . (17) Действие оператора d на 0-форму, определенную на n-мерном многооб- разии (в пространстве n переменных R n ), также превращает ее в 1-форму. Результат такого действия – линейная комбинация n дифференциальных слагаемых: 1 1 d ( ) d ( ,..., ) d n n ii i f x f x x x x         . (18) Дифференциальные формы более высоких степеней (p > 1) порождаются либо внешним перемножением форм низших степеней, либо действием опе- ратора внешнего дифференцирования на соответствующую форму степени, меньшей на единицу. Например, если рассмотреть 1-форму в R 3 вида  1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ),d ,d ,d d d da a a x x x a x a x a x           (19) (где 1 2 3( , , )i ia a x x x – компоненты векторного поля a, являющиеся функ- циями переменных пространства R 3 ), то действие оператора d переводит данную 1-форму в 2-форму в R 3 : Λ 1 2 3 2 3 1 3 1 2d d d d d d dc x x c x x c x x            Λ1 2 3 2 3 1 3 1 2d d d d d d dc x x c x x c x x            Λ1 2 3 2 3 1 3 1 2d d d d d d dc x x c x x c x x            Λ1 2 3 2 3 1 3 1 2d d d d d d dc x x c x x c x x             . (20) Здесь 1 2 3, ,c c c – компоненты вектора c, которые определяются как Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 41 3 2 1 2 3 a a c x x       , 31 2 3 1 aa c x x      , 2 1 3 1 2 a a c x x       . (21) В традиционном векторном исчислении эти компоненты определяют ротор: rotc a . Если рассмотреть 2-форму в R 3  1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2( , , ),d ,d ,d d d d d db b b x x x b x x b x x b x dx                Λ1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2( , , ),d ,d ,d d d d d db b b x x x b x x b x x b x dx                Λ1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2( , , ),d ,d ,d d d d d db b b x x x b x x b x x b x dx                Λ1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2b b b x x x b x x b x x b x dx                 (22) (где ib – зависящие от 1 2 3, ,x x x компоненты некоторого вектора), то дейст- вие оператора внешнего дифференцирования на такую форму переводит ее в 3-форму в R 3 : 1 2 3d d d dc x x x       Λ 1 2 3d d d dc x x x       Λ 1 2 3d d d dc x x x       . (23) Эта 3-форма характеризуется величиной 31 2 1 2 3 bb b c x x x         , (24) которая в векторном анализе аналогична скаляру (дивергенции) divc  b . 2.4. Формализм интегрирования Формы связаны с элементом объема на n-мерном многообразии. В качестве формы объема можно выбрать любую n-форму. Выбор диктуется условиями задачи. Двумерная площадь – вырожденный объем трехмерного пространства. Интегрирование функции на многообразии сводится по существу к ум- ножению значения функции на объем малого координатного элемента, а за- тем – к суммированию полученных чисел. Если  – это n-форма в области U n-мерного многообразия M с коорди- натами  1 2, ,..., nx x x , то существует такая функция 1 2( , ,..., )nf x x x , что 1d ... df x x     Λ … Λd ... d nf x x     , а интеграл  по U, по определению, есть величина 1 1 1 1( ,..., )d ...d ( ,..., )d ... dn n n nf x x x x f x x x x         Λ … Λ( ,..., )d ...d ( ,..., )d ... dn n n nf x x x x f x x x x      . (25) В случае двух измерений на двумерном многообразии переменных ,  на языке дифференциальных форм интеграл будет иметь вид ( , )d d ( , )d df f                Λ( , )d d ( , )d d             . (26) Замена переменных, или переход к новым координатам x, y, осуществля- ется по правилам внешнего дифференцирования сложных функций d d ( , ) d dx y x y x y              , d d ( , ) d dx y x y x y              . (27) Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 42 Учитывая антисимметричность оператора внешнего умножения Λ: d d d dx y y x       , d d d d 0x x y y       , получаем переход от «площадки» d d   к d dx y  . В результате преобразований имеем ( , ) d d d d d d d d ( , ) x y x y x y x y x y x y                                      . (28) Таким образом, в исчислении дифференциальных форм интегралы от функции f по переменным ,  и x, y связаны традиционным способом – по- средством якобиана перехода ( , ) ( , )x y     . В то же время применение аппарата исчисления дифференциальных форм является чувствительным к выбору системы координат. Знак   , или знак якобиана, определяется базисом, который обусловлен исходной координат- ной системой. Другими словами, интеграл от формы  зависит только от ориентации системы координат, а именно согласно общепринятому подходу следует опираться на один из двух базисов: «правый» или «левый». Интегральные формулы традиционного векторного исчисления равно- сильны аналогичным интегральным формулировкам исчисления внешних дифференциальных форм. Так, соотношение из векторного анализа ( d ) rot d F F    a l a S (29а) соответствует d F F      , (29б) а формула 1 2 3( d ) div d d d G G x x x    b S b (30а) аналогична d G G      . (30б) В приведенных формулах традиционные векторы в (29а) и (30а) соответст- вуют векторам исчисления форм в (29б) и (30б). Компоненты последних есть функции трех переменных (определенные в R 3 ). 2.5. Аспекты стандартного векторного и внешнего дифференциального исчислений в контексте теории поля С целью более глубокого понимания фундаментальных основ такой ма- тематической дисциплины, как аппарат исчисления дифференциальных форм, коснемся формальных принципов стандартного векторного исчисле- ния Гамильтона (ввел термины «скаляр», «вектор», «скалярное произведе- Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 43 ние», «внешнее произведение»), которые тесно связаны с математическим язы- ком элементарных геометрических образов Грассмана (оперировал понятиями «линейный элемент», «плоскостной элемент», «внутреннее произведение», «внешнее произведение»). Эти принципы нашли применение в теории поля [4]. В стандартной теории поля понятия скаляра и вектора связывают с точ- ками пространства, определяя тем самым скалярное и векторное поля. В ча- стности, каждой точке 1 2 3, ,x x x трехмерного пространства R 3 соотносят оп- ределенный скаляр (функцию) 1 2 3( , , )f x x x , о которой говорят как о скаляр- ном поле. Если же в этой точке прикладывается вектор a с компонентами, зависящими от координат: 1 2 3( , , )ia x x x , i = 1, 2, 3, то о совокупности этих векторов, характеризуемых полярной или аксиальной симметрией, говорят как о векторном поле. Гамильтон показал, как проще всего описывать подобные полевые струк- туры методами стандартного дифференциального и интегрального исчисле- ния. Основное положение подхода Гамильтона заключалось в том, что как дифференциалы 1 2 3{d ,d ,d }x x x , определяющие бесконечно малое перемеще- ние точки в пространстве, так и дифференциальные символы 1 2 3 , , x x x           имеют характер компонент свободного вектора. То есть при переходе к новой системе координат старые компоненты переводятся в но- вые стандартным линейным преобразованием. Другими словами, с вектор- ными символами 1 2 3 , , x x x           можно оперировать как с компонентами обычного вектора. Путем символического «умножения» этого векторного символа Гамиль- тона на функцию 1 2 3( , , )f x x x , характеризующую скалярное поле, получаем вектор с компонентами 1 2 3 , , f f f x x x           , который является векторным полем – градиентом исходного скалярного поля. Изменение векторного поля a в заданной точке пространства находится по правилам скалярного произведения, изначально называемого внутренним. Эта процедура определяет новое скалярное поле, называемое дивергенцией: 31 2 1 2 3 div aa a x x x         a . Стандартное векторное произведение двух векторов, определенное мат- ричным способом, выражается, по терминологии Грассмана, через компо- ненты «плоскостного элемента». Векторное произведение сопоставляется с внешним умножением. По аналогии с обычным векторным исчислением внешнее умножение задает матрицу Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 44 1 2 3 1 2 3 x x x a a a               , из которой путем вычеркивания одного из столбцов можно составить три детерминанта: 32 3 2 aa x x     , 31 3 1 aa x x     , 2 1 1 2 a a x x      . Согласно геометрическим представлениям Грассмана они определяют неко- торый «плоскостной элемент», другими словами, с позиции векторного ис- числения Гамильтона, являются компонентами аксиального вектора. Этот вектор соответствует векторному полю аксиальной симметрии, называемо- му в традиционном векторном исчислении ротором (обозначается rota). Таким образом, в упрощенном представлении формализация перехода от стандартного векторного исчисления к теории дифференциальных форм со- стоит в замене обычного дифференцирования d на внешнее дифференциро- вание d и введении операции Λ, аналогичной векторному умножению. Каж- дая из этих операций обладает своими свойствами. 2.6. Особенности дифференциальных форм Пфаффовы формы в пространстве R 2 применялись в термодинамике дав- но [1,2,11–18]. При этом использовалось стандартное дифференциальное ис- числение. Основные свойства внешних дифференциальных форм отражены в прил. 1, 2. Отличие внешнего дифференциального исчисления от внутренне- го, которое можно заметить во многих областях математики и физики [1–22], носит принципиальный характер. Наиболее наглядно это проявляется в дифференциальном, интегральном, векторном исчислениях, а наиболее эф- фективное применение находит в термодинамике. Рассмотрим в пространстве R 2 переменных x, y пфаффову форму стан- дартного вида ( , ) ( , )d ( , )dx y A x y x B x y y     , которая в исчислении внешних дифференциальных форм согласно [1–3] трансформируется в ( , ) ( , )d ( , )dx y A x y x B x y y       . Здесь коэффициенты ( , )A x y и ( , )B x y – по крайней мере дважды дифференцируемые функции; символы d и d – опера- торы внутреннего и внешнего дифференцирования соответственно (прил. 1, 2). Сравнивая внешнее дифференцирование с внутренним, отметим следую- щий существенный фактор. Если рассматривать дифференциальное уравне- ние типа d / d ( , )y x f x y с непрерывной правой частью, то ему можно по- ставить в соответствие непрерывную пфаффову форму вида d ( , )dy f x y x   d ( , )dy f x y x   (т.е. ( , ) 1A x y  , ( , ) ( , )B x y f x y  ). Данная дифференциальная форма имеет те же решения (множество точек x, y, в которых форма обра- щается в нуль), что и исходное дифференциальное уравнение (интегральные кривые). При этом решения пфаффовой формы могут и не являться инте- Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 45 гральными кривыми какого-либо дифференциального уравнения. То есть если дифференциальному уравнению всегда отвечает некая пфаффова фор- ма, то обратное может быть неверным. Так, например, решениями пфаффо- вой формы ( , ) d dx y x x y y   служит семейство концентрических окружнос- тей с центром в начале координат. Эти окружности не являются графиками никакой однозначной функции, способной служить решением дифференци- ального уравнения. Аналогичные утверждения верны и для внешнего диф- ференцирования. Важными понятиями теории стандартных дифференциальных форм, которые в определенной мере переносятся на внешние дифференциальные формы, а в термодинамике играют первостепенную роль, являются такие понятия, как регу- лярность формы, ее полнота (иначе называемая точностью) и замкнутость [1–3]. Стандартная непрерывная пфаффова форма в R 2 регулярна в точке 2 0 0( , )x y G R  , если хотя бы один из коэффициентов A или B отличен от нуля в этой точке. Особой называют точку, в которой форма α нерегулярна, т.е. A = B = 0. В стандартном исчислении непрерывная пфаффова форма называется полной или точной, если существует такая дифференцируемая функция ( , )g g x y , что α = dg. В этом случае / xA g x g    и / yB g y g    . Не- обходимым и достаточным условием полноты формы (которое называется также условием интегрируемости) является равенство смешанных произ- водных xy yxg g ( y xA B ). Если дифференциальная форма  является не- полной, то ее можно сделать полной с помощью преобразования Эйлера. Для этого ее умножают на непрерывную функцию ( , )h h x y , называемую множителем Эйлера (интегрирующим множителем), который удовлетворяет соответствующему дифференциальному уравнению [1–3]. В результате дифференциальная форма h   становится полной. В качестве примера рассмотрим второе начало термодинамики, где фигу- рирует неполный дифференциал (пфаффова форма) тепловой функции δQ, характеризующей теплообмен системы с термостатом. После умножения ее на интегрирующий множитель (обратную температуру T –1 ) получаем пол- ный дифференциал энтропии dS Q T  , который удовлетворяет условию полноты пфаффовой формы: 2 2S S x y y x        (x, y – некоторые термодинамиче- ские переменные). Здесь Q   , 1h T  . В данном примере неполная пфаффова форма есть Q   , а полная – (1/ ) dT Q S    . В исчислении внешних дифференциальных форм оперируют понятиями замкнутости и точности форм. Они заключаются в следующем. Если d 0   , то внешнюю дифференциальную форму  называют замкнутой (в локаль- ном смысле, т.е. в точке). Форма  называется точной, если для нее сущест- Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 46 вует такая дифференцируемая форма  , что d     . Из свойств оператора внешнего дифференцирования d как оператора, переводящего одну форму в другую по формуле d    , следует d 0   (если этот дифференциал суще- ствует) (прил. 1, 2). Рассмотрим случай, когда внешняя дифференциальная форма в простран- стве R n (n = 2, 3) является замкнутой или точной. В случае плоскости (n = 2) можно рассмотреть 1-форму (степени p = 1) вида d dA x B y    . Если существует такая дважды дифференцируемая функция ( , )f x y , что /A f x   , /B f y   , то эта форма является точной. Из определения замкнутости d 0   , антикоммутационных свойств опера- ции внешнего умножения и свойств повторного применения оператора d (см. прил. 1, 2) после простых преобразований получим условие замкнуто- сти формы 0 A B y x       или 2 2f f x y y x        . По сути это известное условие интегрируемости дифференциальных урав- нений в частных производных. Так, рассматривая систему дифференциаль- ных уравнений в частных производных ( , ) f A x y x    , ( , ) f B x y y    , перепишем ее в компактном виде i i f a x    , где  ,ix x y ,  ,ia A B , i = 1, 2. В свою очередь, это уравнение можно за- писать в свернутом виде df a  , где d dx ya a x a y   – это 1-форма с соответствующими компонентами. Если f является решением последнего уравнения, то эта функция должна удовлетворять соотношению, которое получается из данного уравнения в результате повторного действия оператора d : d(d ) df a   . Левая часть этого выражения равна нулю в силу свойств внешнего диф- ференцирования (прил. 1, 2). Таким образом, мы имеем необходимое усло- вие существования уравнения d 0a  , которое в компонентах согласно символике [2] имеет вид [ , ] , , 0i j i j j ia a a   , Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 47 т.е. 2 2 0 yx aa f f y x y x x y              . Каждая 2-форма (p = 2) на двумерном многообразии (n = 2), т.е. в R 2 , яв- ляется замкнутой, поскольку ее внешний дифференциал, будучи 3-формой (p = 3), равен нулю в силу свойств внешнего дифференцирования. Другими словами, если 2-форма d dA x y    такова, что d    , то автоматически d 0   , так как  d d d d d d d d 0 A A A x y x y x y x y                        . Положив d da x b y    , из уравнения d    получим дифференциальное уравнение в частных производных для коэффициентов ( , )a x y и ( , )b x y вида b a A x y       . В соответствии с вышеприведенным определением пфаффова 1-форма общего вида 1 d n i i i x      является точной, если существует дважды диффе- ренцируемая функция f, для которой df   и /i if x    . Когда n = 3, p = 1, к рассматриваемым формам можно применить язык традиционного вектор- ного исчисления. На этом языке точная форма  соответствует потен- циальному векторному полю, т.е. градиенту скалярного поля: f f f x y z             ,; ; f f f x y z             ,; ; f f f f x y z              . Таким образом, чтобы 1-форма  была точной (на фи- зическом языке – чтобы векторное поле  было потенциальным), должно выполняться равенство d 0   , или dd 0f   . На языке прямого векторного анализа это условие потенциальности поля записывается в виде     rot 0     или в компонентах: 3 31 2 2 1 2 1 3 2 1 3 0 x x x x x x                  . В случае трехмерного пространства R 3 (n = 3) 2-форма (p = 2) общего вида 1 2 3 2 3 1 3 1 2d d d d d dx x x x x x               с коэффициентами 1 2 3( , , )i i x x x   является внешним дифференциалом пфаффовой формы 1 1 2 2 3 3d d dx x x         с коэффициентами 1 2 3( , , )i i x x x   в том, и только в том случае, если из d    следует 3 2 1 2 3x x        , 31 2 3 1x x       , 2 1 3 1 2x x        . На языке стандартного векторного анализа это означает, что вектор  является векторным потенциалом поля  , который выражается формулой  rot        . Условие интегрируемости (существования решения соответствующих дифференциальных уравнений), записываемое на языке внешних дифферен- циальных форм в виде d 0   , приводит к соотношению Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 48 31 2 1 2 3 div 0 x x x           . Вариант n = 3, p = 3 соответствует следующему. Условие d    соеди- няет 2-форму (n = 3, p = 2) 1 2 3 2 3 1 3 1 2d d d d d dx x x x x x               с 3-фор- мой 1 2 3d d da x x x      , которая возникает в результате внешнего дифферен- цирования. В результате получается уравнение в частных производных вида 31 2 1 2 3 a x x x         , которое на стандартном языке теории поля имеет вид div a . 1. Г. Грауэрт, И. Либ, В. Фишер, Дифференциальное и интегральное исчисление, Мир, Москва (1971). 2. Б. Шутц, Геометрические методы математической физики, Мир, Москва (1984). 3. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Основы математического анализа, Т. 2, Наука, Москва (1973). 4. Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей, Т. 2. Геометрия, Наука, Москва (1987). 5. V.V. Shelest, A.V. Hristov, D.A. Chervinskii, V.V. Rumyantsev, Journal of Photonic Materials and Technology 3, № 2, 6 (2017). 6. В.В. Шелест, Д.А. Червинский, Вестник Луганского национального университе- та им. В. Даля № 2(4), часть 1, 125 (2017). 7. Д.А. Червинский, В.В. Шелест, Матер. Междунар. научн. конфер. студентов и мо- лодых ученых «Донецкие чтения 2017», Изд-во ДНУ, Донецк (2017), с. 183–185. 8. С.К. Водопьянов, Д.В. Исангулова, Исчисление внешних дифференциальных форм: Сборник задач и упражнений, Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск (2012). 9. А.А. Виткин, Фундаментальные исследования № 8 (часть 7), 1571 (2014). 10. Н.С. Гусев, В.Л. Чернышев, Производная Ли, теорема Фробениуса, дифферен- циальные формы. Электронное учебное издание, МВТУ им. Н.Э. Баумана, Москва (2011). 11. И.П. Базаров, Термодинамика, Высшая школа, Москва (1991). 12. Ю.Б. Румер, М.Ш. Рывкин, Термодинамика, статистическая физика и кинетика, Наука, Москва (1972). 13. В.К. Семенченко, Избранные главы теоретической физики, Просвещение, Мо- сква (1966). 14. Задачи по термодинамике и статистической физике, П. Ландсберг (ред.), Мир, Москва (1974). 15. А.М. Федорченко, Введение к курсу статистической физики и термодинамики, Высшая школа, Киев (1973). 16. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Статистическая физика, Наука, Москва (1964). 17. К.Б. Толпыго, Термодинамика и статистическая физика, Изд-во Киевского ун-та, Киев (1966). 18. Г. Стенли, Фазовые переходы и критические явления, Мир, Москва (1973). 19. Б.Ф. Ормонт, Введение в физическую химию и кристаллохимию полупровод- ников, Высшая школа, Москва (1973). Физика и техника высоких давлений 2017, том 27, № 4 49 20. М.А. Леонтович, Введение в термодинамику. Статистическая физика, Наука, Москва (1983). 21. А.И. Ансельм, Основы статистической физики и термодинамики, Наука, Москва (1973). 22. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, Наука, Москва (1982). 23. Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Наука, Москва (1978). 24. К.Б. Толпыго, ЖЭТФ 20, 497 (1950); Труды Ин-та физики АН УССР 5, 28 (1954); УФЖ 2, 242 (1957); УФЖ 4, 72 (1959); ФТТ 3, 943 (1961). 25. Г.А. Зарецкий, Т.И. Кучер, К.Б. Толпыго, УФЖ 20, 924 (1975). 26. W. Cochran, Proc. Roy. Soc. A253, 260 (1959). 27. B.G. Dick, A.W. Overhauser, Phys. Rev. 112, 90 (1958). 28. Дж. Слэтер, Методы самосогласованного поля для молекул и твердых тел, Мир, Москва (1978). 29. Ф. Иона, Д. Ширане, Сегнетоэлектрические кристаллы, Мир, Москва (1965). V.V. Shelest, A.V. Khristov, D.A. Chervinskii APPLICATION OF CALCULATION OF EXTERIOR DIFFERENTIAL FORMS TO THERMODYNAMICS. I. BASIC FRAMEWORKS OF THERMODYNAMICS AND THEORY OF POTENTIALS IN TERMS OF CALCULATION OF EXTERIOR DIFFERENTIAL FORMS A review of the basic principles of calculation of exterior differential forms is presented in the paper. Application of mathematical apparatus to the thermodynamic differential forms is demonstrated. The used mathematical language is a result of evolution of stan- dard vector analysis. It is shown in the paper that calculation of exterior differential forms allows physical concepts to describe physical phenomena more adequately (e.g., thermo- dynamic properties of a substance). By the example of thermodynamics, principles and effectiveness of calculation of exterior differential forms are illustrated. Possible use of the described mathematical apparatus is outlined, including wider abilities as compared to other mathematical physics methods applied to description of physical regularities. Gen- erality of calculation of exterior differential forms, especially exterior multiplication and differentiation peculiarities are depicted. A series of standard thermodynamic problems is solved in new interpretation. In particular, simple complementary differential 2-forms of fundamental nature are obtained, which demonstrate mathematical compactness and physical interdetermination of thermodynamic variables describing thermal, mechanical and other properties of mono- and polyvariant systems. The methods of solution of the received equations are given. With basing on Pfaffian forms of the characteristic thermo- dynamic functions (i.e. potentials) in terms of exterior differential forms, some macro- scopic properties of a homogeneous substance are described. It is shown that combination of calculation of differential forms and Jacobians method provides enhanced understand- ing of a problem to be solved. Keywords: exterior differential forms, thermodynamic potentials, exterior multiplication, Maxwell’s relations PACS: 65.40.gd, 65.40.Ba, 65.40.G–, 65.40.De, 65.60.+a, 65.90.+i В.В. Шелест, А.В. Христов, Д.А. Червинский Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина Введение Выводы

Репозитарії

Схожі ресурси