Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фіксованими полюсами на колі
Дана робота присвячена дослідженню однієї екстремальної задачі з фіксованими полюсами. Це задача про добуток внутрішніх радіусів взаємно неперетинних симетричних областей відносно точок на одиничному колі на деяку додатну степінь внутрішнього радіуса області відносно початку координат....
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169120 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фіксованими полюсами на колі / Л.В. Вигівська // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 10-17. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-169120 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1691202020-06-07T01:26:10Z Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фіксованими полюсами на колі Вигівська, Л.В. Дана робота присвячена дослідженню однієї екстремальної задачі з фіксованими полюсами. Це задача про добуток внутрішніх радіусів взаємно неперетинних симетричних областей відносно точок на одиничному колі на деяку додатну степінь внутрішнього радіуса області відносно початку координат. Данная работа посвящена исследованию одной экстремальной задачи с фиксированными полюсами. Это задача о произведении внутренних радиусов взаимно неналегающих симметричных областей относительно точек на единичной окружности на некоторую положительную степень внутреннего радиуса области относительно начала координат. The paper describes the problem of finding the maximum of the product of inner radii of mutually non-overlapping symmetric domains with respect to points on a unit circle multiply by a certain positive degree γ of the inner radius of the domain with respect to the zero. The problem was studied using the method of separating transformation. 2018 Article Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фіксованими полюсами на колі / Л.В. Вигівська // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 10-17. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1683-4720 MSC: 30C75 DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-2 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169120 517.5 uk Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Дана робота присвячена дослідженню однієї екстремальної задачі з фіксованими полюсами. Це задача про добуток внутрішніх радіусів взаємно неперетинних симетричних областей відносно точок на одиничному колі на деяку додатну степінь внутрішнього радіуса області відносно початку координат. |
| format |
Article |
| author |
Вигівська, Л.В. |
| spellingShingle |
Вигівська, Л.В. Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фіксованими полюсами на колі Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| author_facet |
Вигівська, Л.В. |
| author_sort |
Вигівська, Л.В. |
| title |
Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фіксованими полюсами на колі |
| title_short |
Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фіксованими полюсами на колі |
| title_full |
Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фіксованими полюсами на колі |
| title_fullStr |
Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фіксованими полюсами на колі |
| title_full_unstemmed |
Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фіксованими полюсами на колі |
| title_sort |
задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фіксованими полюсами на колі |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169120 |
| citation_txt |
Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фіксованими полюсами на колі / Л.В. Вигівська // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 10-17. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT vigívsʹkalv zadačaproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝinizfíksovanimipolûsaminakolí |
| first_indexed |
2025-07-15T03:50:43Z |
| last_indexed |
2025-07-15T03:50:43Z |
| _version_ |
1837683383705010176 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Працi IПММ НАН України. 2018. Том 32
УДК 517.5
DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-2
c⃝2018. Л.В. Вигiвська
ЗАДАЧА ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ
ПЛОЩИНИ З ФIКСОВАНИМИ ПОЛЮСАМИ НА КОЛI
Дана робота присвячена дослiдженню однiєї екстремальної задачi з фiксованими полюсами. Це
задача про добуток внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних симетричних областей вiдносно
точок на одиничному колi на деяку додатну степiнь внутрiшнього радiуса областi вiдносно по-
чатку координат.
MSC: 30C75.
Ключовi слова: внутрiшнiй радiус областi, неперетиннi областi, фiксована система точок,
роздiляюче перетворення, квадратичний диференцiал, функцiя Грiна.
1. Вступ.
Задачi про екстремальне розбиття почали свiй розвиток з роботи М.О. Лав-
рентьєва [1], який поставив та розв’язав задачу про добуток конформних радiусiв
двох взаємно неперетинних областей. Екстремальними задачами для неперетин-
них областей з фiксованими полюсами в рiзнi роки займались такi вiдомi матема-
тики як М.О. Лаврентьєв, Г. Грьотш, Г.М. Голузiн, М.А. Лєбєдєв, П.П. Куфарев,
А.Е. Фалес, Г.В. Кузьмiна, В.М. Дубiнiн, Л.I. Колбiна, I.П. Мiтюк, Ю.Є. Алєнiцин,
Дж.А. Дженкiнс, М. Шиффер, П. Дюрен, З. Нехарi та iн.
2. Позначення та означення.
Нехай N – множина натуральних чисел, C – комплексна площина, C = C
∪
{∞}
— сфера Рiмана. Нехай r(B, a) — внутрiшнiй радiус областi B ⊂ C, вiдносно точки
a ∈ B. Внутрiшнiй радiус областi B пов’язаний з узагальненою функцiєю Грiна
gB(z, a) областi B наступними спiввiдношеннями
gB(z, a) = − ln |z − a|+ ln r(B, a) + o(1), z → a,
gB(z,∞) = ln |z|+ ln r(B,∞) + o(1), z → ∞.
Набiр точок An = {ak}nk=1, k = 1, n будемо називати n− променевою систе-
мою точок. В роботi будемо розглядати такi ak, що |ak| = 1, k = 1, n.
Нехай Pk = Pk(An) := {w : arg ak < argw < arg ak+1}, an+1 := a1, αk :=
1
π
arg
ak+1
ak
, αn+1 := α1, k = 1, n,
n∑
k=1
αk = 2.
Системою неперетинних областей називається скiнченний набiр довiльних по-
парно неперетинних областей {Bk}nk=1, n ∈ N, n > 2 таких, що Bk ⊂ C, Bk∩Bm = ∅,
k ̸= m, k,m = 1, n.
Автор висловлює подяку професору О.К. Бахтiну за постановку задачi та цiннi зауваження
при написаннi роботи.
10
Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фiксованими полюсами на колi
3. Постановка задачi.
Розглянемо наступну екстремальну задачу.
Нехай {Bk}nk=0 — довiльна система взаємно неперетинних областей така, що
a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n, |ak| = |e
2πki
n | = 1, k = 1, n, причому областi
{Bk}nk=1 — симетричнi вiдносно одиничного кола.
Довести, що максимум функцiонала
Jn(γ) = rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) ,
де γ > 1, досягається для областей, якi володiють n− кратною симетрiєю.
4. Основний результат.
Теорема 1. Нехай n ∈ N, n > 2. Тодi для довiльного γ ∈ (1; 0, 5n2] та до-
вiльного набора взаємно неперетинних областей Bk таких, що a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C,
ak = exp(2πkin ) ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n, причому областi Bk, k = 1, n — симетричнi
вiдносно одиничного кола, справедлива нерiвнiсть
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6
(
4
n
)n (
2γ
n2
) γ
n∣∣∣1− 2γ
n2
∣∣∣n2+ γ
n
∣∣∣∣n−
√
2γ
n+
√
2γ
∣∣∣∣
√
2γ
, (1)
знак рiвностi досягається коли B(0)
k , k = 0, n є круговими областями квадратич-
ного диференцiала
Q(w)dw2 = −γw
2n + 2(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2. (2)
Доведення. Зробимо роздiляюче перетворення системи областей Bk за допомо-
гою функцiй ζ = {πk(w)}nk=1 =
(
e−
2πki
n w
)n
2
, де вибрана така вiтка цiєї багатознач-
ної функцiї, яка реалiзує однолисте вiдображення кута Pk на верхню пiвплощину.
Нехай D
(1)
k , k = 1, n, позначає область площини Cz, отриману в результатi
об’єднання зв’язної компоненти множини πk(Bk
∩
P k), яка мiстить точку πk(ak) =
1, зi своїм симетричним вiдображенням вiдносно уявної осi. Позначимо через D(2)
k ,
k = 1, n, таку область площини Cz, яка отримана в результатi об’єднання зв’язної
компоненти множини πk(Bk+1
∩
P k), яка мiстить точку πk(ak+1) = −1, зi своїм
симетричним вiдображенням вiдносно уявної осi, Bn+1 := B1, πn(an+1) := πn(a1).
Крiм того, позначимо через D(0)
k таку область площини Cz, отриману в результатi
об’єднання зв’язної компоненти множини πk(B0
∩
P k), яка мiстить точку z = 0, зi
своїм симетричним вiдображенням вiдносно уявної осi. З визначення функцiй πk,
випливає, що
|πk(w)| ∼ |wk|
n
2 , w → 0, w ∈ Pk,
11
Л.В. Вигiвська
|πk(w)− πk(e
2πki
n )| ∼ n
2
· |w − e
2πki
n |, w → e
2πki
n , w ∈ Pk,
|πk(w)− πk(e
2π(k+1)i
n )| ∼ n
2
· |w − e
2π(k+1)i
n |, w → e
2π(k+1)i
n , w ∈ Pk.
Далi, використовуючи результати робiт [5,6] та симетрiю структури траєкторiй
квадратичного диференцiала, отримаємо нерiвностi
r (B0, 0) 6
[
n∏
k=1
r
4
n2
(
D
(0)
k , 0
)] 1
2
,
r (Bk, ak) 6
[
4
n2
r
(
D
(1)
k , 1
)
r
(
D
(2)
k−1,−1
)] 1
2
, k = 1, n.
Отже, обчислюючи значення функцiоналу Jn(γ), отримаємо наступну оцiнку
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6
6
[
4
n2
]n
2
[
n∏
k=1
rγ
4
n2
(
D
(0)
k , 0
)
r
(
D
(1)
k , 1
)
r
(
D
(2)
k ,−1
)] 1
2
, (3)
де D(0)
k , D
(1)
k , D
(2)
k — довiльнi неперетиннi областi такi, що 0 ∈ D
(0)
k ⊂ C, 1 ∈
D
(1)
k ⊂ C,−1 ∈ D
(2)
k ⊂ C.
Нехай
Tk := {z : (−1)k+1Imz > 0}, k ∈ {1, 2},
G1 = T1 ∩ U1, G2 = C\U1 ∩ T1, G3 = T2 ∩ U1, G4 = C\U1 ∩ T2,
ζ = β(z) =
2z
1 + z2
.
З визначення функцiй β(z) слiдує, що
|β(z)| ∼ 2|z|, z → 0, z ∈ Tk,
|β(z)− 1| ∼ 1
2
|z − 1|2 , z → 1, z ∈ Tk,
|β(z) + 1| ∼ 1
2
|z + 1|2 , z → −1, z ∈ Tk.
Знову застосуємо роздiляюче перетворення до областей D0, D1, D2 вiдносно
функцiї β(z) та системи областей {Gk}4k=1 позначимо через Ω
(k)
0 , k = 1, 4; позначи-
мо результат роздiляючого перетворення областей Dj , j ∈ {1, 2}, вiдносно функцiї
β(z) та системи областей {Gk}4k=1 через областi Ω(k)
1 ,Ω
(k)
2 , k = 1, 4.
12
Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фiксованими полюсами на колi
Використовуючи результати робiт [5, 6] та симетрiю областей D0, D1, D2, спра-
ведливi спiввiдношення
r (D0, 0) 6
[
1
22
r
(
Ω
(1)
0 , 0
)
· r
(
Ω
(3)
0 , 0
)] 1
2
,
r (D1, 1) 6
[
24r
(
Ω
(1)
1 , 1
)
r
(
Ω
(2)
1 , 1
)
r
(
Ω
(3)
1 , 1
)
r
(
Ω
(4)
1 , 1
)] 1
8
,
r (D2,−1) 6
[
24r
(
Ω
(1)
2 ,−1
)
r
(
Ω
(2)
2 ,−1
)
r
(
Ω
(3)
2 ,−1
)
r
(
Ω
(4)
2 ,−1
)] 1
8
.
Звiдси маємо
rγ
4
n2 (D0, 0) r (D1, 1) r (D2,−1) 6
6
((1
2
)2
r
(
Ω
(1)
0 , 0
)
· r
(
Ω
(3)
0 , 0
)) 4γ
n2
1
2
×
×
[
24r
(
Ω
(1)
1 , 1
)
r
(
Ω
(2)
1 , 1
)
r
(
Ω
(3)
1 , 1
)
r
(
Ω
(4)
1 , 1
)] 1
8 ×
×
[
24r
(
Ω
(1)
2 ,−1
)
r
(
Ω
(2)
2 ,−1
)
r
(
Ω
(3)
2 ,−1
)
r
(
Ω
(4)
2 ,−1
)] 1
8
.
Так як областi Ω1
j , симетричнi вiдносно одиничного кола областям Ω2
j , а областi
Ω3
j симетричнi Ω4
j , j ∈ {1, 2} то одержимо
rγ
4
n2 (D0, 0) r (D1, 1) r (D2,−1) 6
[
1
2
r
(
Ω
(1)
0 , 0
)
· 1
2
r
(
Ω
(3)
0 , 0
)] 2γ
n2
×
×
[(
2r
(
Ω
(1)
1 , 1
))2 (
2r
(
Ω
(3)
1 , 1
))2] 1
8
×
[(
2r
(
Ω
(1)
2 ,−1
))2 (
2r
(
Ω
(3)
2 ,−1
))2] 1
8
.
Остаточно одержимо таку нерiвнiсть
rγ
4
n2 (D0, 0) r (D1, 1) r (D2,−1) 6
6 21−
4γ
n2
{[
r
8γ
n2
(
Ω
(1)
0 , 0
)
r
(
Ω
(1)
1 , 1
)
r
(
Ω
(1)
2 ,−1
)] 1
4
}
× (4)
×
{[
r
8γ
n2
(
Ω
(3)
0 , 0
)
r
(
Ω
(3)
1 , 1
)
r
(
Ω
(3)
2 ,−1
)] 1
4
}
.
13
Л.В. Вигiвська
Переходячи до максимуму правої частини нерiвностi (4) отримаємо, що
r
8γ
n2
(
Ω
(3)
0 , 0
)
r
(
Ω
(3)
1 , 1
)
r
(
Ω
(3)
2 ,−1
)
6
r
8γ
n2 (E0, 0) r (E1, 1) r (E2,−1) ,
де E0, E1, E2 — круговi областi квадратичного диференцiала
−(n2 − 2γ)z2 + 2γ
z2(z2 − 1)2
dz2,
причому 0 ∈ E0, 1 ∈ E1, −1 ∈ E2.
Оскiльки величина 8γ
n2 6 4 при всiх γ ∈ (1, n
2
2 ], то використовуючи результат
роботи [6], справедлива рiвнiсть
r
8γ
n2 (E0, 0) r (E1,−1) r (E2, 1) =
= 2
8γ
n2
+6 · (2
√
2γ
n
)
8γ
n2 · (2− 2
√
2γ
n
)−
1
2
(2− 2
√
2γ
n
)2 · (2 + 2
√
2γ
n
)−
1
2
(2+ 2
√
2γ
n
)2 =
= 22 · (2
√
2γ
n
)
8γ
n2 · (1− 2γ
n2
)−2− 4γ
n2
[
1−
√
2γ
n
1 +
√
2γ
n
] 4
n
√
2γ
.
Пiдставимо одержану величину в (4), маємо
rγ
4
n2 (Ω0, 0) r (Ω1, 1) r (Ω2,−1) 6
6 22−
4γ
n2 (
2
√
2γ
n
)
4γ
n2 · (1− 2γ
n2
)−1− 2γ
n2
[
1−
√
2γ
n
1 +
√
2γ
n
] 2
n
√
2γ
.
Тепер залишилось пiдставити праву частину останньої рiвностi в (3), маємо
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6
6
[
4
n2
]n
2
22− 4γ
n2 (
2
√
2γ
n
)
4γ
n2 · (1− 2γ
n2
)−1− 2γ
n2
[
1−
√
2γ
n
1 +
√
2γ
n
] 2
n
√
2γ
n
2
=
=
(
4
n
)n
·
(
2γ
n2
) γ
n(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
·
(
1−
√
2γ
n
1 +
√
2γ
n
)√
2γ
, (5)
де B(0)
k , ak, k = 0, n, a0 = 0, — круговi областi та полюси квадратичного диферен-
цiала (2), вiдповiдно. �
14
Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фiксованими полюсами на колi
5. Наслiдки з теореми 1.
Наслiдок 1. Нехай n ∈ N, n > 2. Тодi для довiльного γ ∈ (1; 0, 5n2] та до-
вiльного набора взаємно неперетинних областей Bk таких, що a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C,
ak = exp(2πkin ) ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n, причому областi Bk, k = 1, n — симетричнi
вiдносно одиничного кола, справедлива нерiвнiсть
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6 rγ
(
B
(0)
0 , 0
) n∏
k=1
r
(
B
(0)
k , ak
)
,
де B(0)
k , k = 0, n є круговими областями квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = −γw
2n + 2(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2.
Наслiдок 2. Нехай n ∈ N, n > 2. Тодi для довiльного γ ∈ (1; 0, 5n2] та до-
вiльного набора взаємно неперетинних областей Bk таких, що a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C,
ak = R · exp(2πkin ) ∈ Bk ⊂ C, R > 0, k = 0, n, причому областi Bk, k = 1, n —
симетричнi вiдносно кола радiуса R, справедлива нерiвнiсть
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6
(
4
n
)n (
2γ
n2
) γ
n∣∣∣1− 2γ
n2
∣∣∣n2+ γ
n
∣∣∣∣n−
√
2γ
n+
√
2γ
∣∣∣∣
√
2γ
·Rγ+n,
знак рiвностi досягається коли B(0)
k , k = 0, n є круговими областями квадратичного
диференцiала
Q(w)dw2 = −γw
2n + 2(n2 − γ)Rnwn +R2nγ
w2(wn −Rn)2
dw2.
Наслiдок 3. Нехай n ∈ N, n > 2. Тодi для довiльного γ ∈ (1; 0, 5n2] та до-
вiльного набора взаємно неперетинних областей Bk таких, що a0 = 0 ∈ B0 ⊂ U ,
ak = exp(2πkin ) ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n, причому областi Bk, k = 1, n — симетричнi
вiдносно одиничного кола, справедлива нерiвнiсть
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6
(
4
n
)n (
2γ
n2
) γ
n∣∣∣1− 2γ
n2
∣∣∣n2+ γ
n
∣∣∣∣n−
√
2γ
n+
√
2γ
∣∣∣∣
√
2γ
,
знак рiвностi досягається коли B(0)
k , k = 0, n є круговими областями квадратичного
диференцiала
Q(w)dw2 = −γw
2n + 2(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2.
15
Л.В. Вигiвська
Цитована лiтература
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений// Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. –
1934. – 5. – С. 159–245.
2. Тамразов П.М. Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных диффе-
ренциалов // Известия АН СССР, серия мат. – 1968. – 32, № 5. – С. 1033–1043.
3. Бахтин A., Бахтина Г., Зелинский Ю. Тополого-алгебраические структуры и методы в ком-
плексном анализе// Працi iн-ту мат-ки НАН України. – 2008. – 308 с.
4. Выговская Л.В. О проблемме В.Н. Дубинина для симметричных многосвязных областей//
Український математичний вiсник. – 2017. – Т. 14, № 2. – C. 295–302.
5. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении//
Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48–66.
6. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного пере-
менного// Успехи мат. наук. – 1994. – 49 (295), № 1. – С. 3–76.
References
1. Lavrent’ev, M.A (1934). On the theory of conformal mappings. Travaux Inst. Physico-Math. Stekloff
Acad. Sci. USSR, 5, 159-245.
2. Tamrazov, P.M. (1968). Extreme conformal mappings and poles quadratic differentials. Izv. Akad.
Nauk SSSR Ser. Mat., 32 (5), 1033-1043 (in Russian). Translation in (1968) Math. USSR-Izv.,
2 (5), 987-996.
3. Bakhtin, A.K., Bakhtina, G.P., Zelinskii, Yu.B. (2008). Topological-algebraic structures and geo-
metric methods in complex analysis. Proceedings of the Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
(in Russian).
4. Vyhivska, L. (2018). On the problem of V.N. Dubinin for symmetric multiply connected domains.
J. Math. Sci., 229 (1), 108-113.
5. Dubinin, V.N. (1988). The separating transformation of domains and problems on the extremal
partition. Analytical theory of numbers and theory of functions. Part 9, Zap. Nauchn. Sem. LOMI,
168, 48-46 (in Russian). Translation in (1991) J. Soviet Math., 53(3), 252-263.
6. Dubinin, V.N. (1994). Symmetrization in the geometric theory of functions of a complex variable.
Uspekhi Mat. Nauk, 49 (1), 3-76 (in Russian). Translation in (1994) Russian Math. Survey, 49(1),
1-79.
L.V. Vyhivska
The problem of extreme decomposition of a complex plane with fixed poles on a circle.
The problem of extreme decomposition of a complex plane with fixed poles on a circle. Investigation
on geometric function theory has been conducted by several researchers, however, few studies have
reported on the problem considering extremal configurations the product of inner radii of non-overlap-
ping domains with respect to fixed poles. The paper describes the problem of finding the maximum of
the product of inner radii of mutually non-overlapping symmetric domains with respect to points on a
unit circle multiply by a certain positive degree γ of the inner radius of the domain with respect to the
zero. The problem was studied using the method of separating transformation. Proving the theorem
shows that the maximum is obtained if γ ∈ (1, n2] and for all n > 2. Its results and the method for
the obtaining of these results can be used in the theory of potential, approximations, holomorphic
dynamics, estimation of the distortion problems in conformal mapping, and complex analysis.
Keywords: inner radius of domain, non-overlapping domains, fixed system of points, separating
transformation, quadratic differential, Green’s function.
16
Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з фiксованими полюсами на колi
Л.В. Выговская
Задача об экстремальном разбиении комплексной плоскости с фиксированными по-
люсами на окружности.
Данная работа посвящена исследованию одной экстремальной задачи с фиксированными полю-
сами. Это задача о произведении внутренних радиусов взаимно неналегающих симметричных
областей относительно точек на единичной окружности на некоторую положительную степень
внутреннего радиуса области относительно начала координат.
Ключевые слова: внутренний радиус области, неналегающие области, фиксированная систе-
ма точек, разделяющее преобразование, квадратичный дифференциал, функция Грина.
Iнститут математики НАН України, Київ
lyudmilavygivska@ukr.net
Отримано 19.05.18
17
|