Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах периодических дифференцируемых функций
Работа касается вопросов приближения в равномерной метрике периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами, которые порождаются линейными методами суммирования рядов Фурье....
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169128 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах периодических дифференцируемых функций / О.А. Новиков, О.Г. Ровенская // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 92-103. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-169128 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1691282020-06-07T01:26:13Z Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах периодических дифференцируемых функций Новиков, О.А. Ровенская, О.Г. Работа касается вопросов приближения в равномерной метрике периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами, которые порождаются линейными методами суммирования рядов Фурье. Робота стосується питань наближення у рівномірній метриці періодичних функцій багатьох змінних тригонометричними поліномами, що породжуються прямокутними лінійними методами підсумовування рядів Фур’є. The paper deals with the problems of approximation in a uniform metric of periodic functions of many variables by trigonometric polynomials, which are generated by linear methods of summation of Fourier series. 2018 Article Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах периодических дифференцируемых функций / О.А. Новиков, О.Г. Ровенская // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 92-103. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-10 MSC: 42A10 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169128 517.5 ru Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Работа касается вопросов приближения в равномерной метрике периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами, которые порождаются линейными методами суммирования рядов Фурье. |
| format |
Article |
| author |
Новиков, О.А. Ровенская, О.Г. |
| spellingShingle |
Новиков, О.А. Ровенская, О.Г. Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах периодических дифференцируемых функций Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| author_facet |
Новиков, О.А. Ровенская, О.Г. |
| author_sort |
Новиков, О.А. |
| title |
Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах периодических дифференцируемых функций |
| title_short |
Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах периодических дифференцируемых функций |
| title_full |
Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах периодических дифференцируемых функций |
| title_fullStr |
Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах периодических дифференцируемых функций |
| title_full_unstemmed |
Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах периодических дифференцируемых функций |
| title_sort |
интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов фурье на классах периодических дифференцируемых функций |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169128 |
| citation_txt |
Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах периодических дифференцируемых функций / О.А. Новиков, О.Г. Ровенская // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 92-103. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT novikovoa integralʹnyepredstavleniâuklonenijprâmougolʹnyhlinejnyhsrednihrâdovfurʹenaklassahperiodičeskihdifferenciruemyhfunkcij AT rovenskaâog integralʹnyepredstavleniâuklonenijprâmougolʹnyhlinejnyhsrednihrâdovfurʹenaklassahperiodičeskihdifferenciruemyhfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-15T03:51:09Z |
| last_indexed |
2025-07-15T03:51:09Z |
| _version_ |
1837683409831329792 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Працi IПММ НАН України. 2018. Том 32
УДК 517.5
DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-10
c⃝2018. О.А. Новиков, О.Г. Ровенская
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ УКЛОНЕНИЙ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СРЕДНИХ РЯДОВ ФУРЬЕ
НА КЛАССАХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ
ФУНКЦИЙ
Работа касается вопросов приближения в равномерной метрике периодических функций мно-
гих переменных тригонометрическими полиномами, которые порождаются линейными метода-
ми суммирования рядов Фурье. Рассматриваются классы ψ–дифференцируемых периодических
функций многих переменных, которые позволяют по-отдельности учитывать свойства обычных и
смешанных частных производных, и задающиеся по аналогии с классами ψ–дифференцируемых
периодических функций одной переменной. Получены интегральные представления прямоуголь-
ных линейных средних рядов Фурье на классах ψ–дифференцируемых периодических функций
многих переменных. Полученные формулы могут быть полезными для дальнейшего исследо-
вания аппроксимативных свойств различных линейных прямоугольных методов на классах ψ–
дифференцируемых периодических функций многих переменных с целью получения решения
соответствующих задач Колмогорова–Никольского.
MSC: 42A10.
Ключевые слова: обобщенная производная, классы дифференцируемых функций, линейные пря-
моугольные методы.
1. Введение.
Наиболее простым и естественным примером линейного процесса аппрокси-
мации непрерывных периодических функций действительной переменной может
служить приближение этих функций элементами последовательностей частичных
сумм ряда Фурье. Вместе с тем, значительное число работ этого напрвления посвя-
щено изучению аппроксимативных свойств других методов приближения, которые
для функции f порождаются некоторыми преобразованиями частичных сумм ее
ряда Фурье. Методы исследования интегральных представлений уклонений при-
ближающих полиномов на классах периодических функций действительной пере-
менной возникли и получили свое развитие благодаря работам С. М. Никольского,
С. Б. Стечкина, С. А. Теляковского, А. И. Степанца и др. В работах [1, 2] можно
найти библиографию по вопросам этой тематики.
В тоже время вопросы приближения классов периодических дифференциру-
емых функций многих переменных изучены в меньшей степени. Формулы для
интегральных представлений уклонений прямоугольных линейных средних рядов
Фурье на классах периодических дифференцируемых функций многих перемен-
ных были опубликованы в работах [3, 4] без доказательств, а также в некоторых
других малодоступных источниках. Данная работа посвящена доказательству упо-
мянутых формул, которые приводятся здесь с некоторыми изменениями и допол-
92
Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье
нениями, необходимыми для дальнейшего изложения.
Классы ψ–дифференцируемых периодических функций многих переменных
будем определять следуя работе [3] (также [4]). Пусть Rm — евклидово простран-
ство с елементами x⃗ = (x1, x2, . . . , xm), T
m =
m∏
i=1
[−π;π] — m-мерный куб с ребром
2π. Введем обозначения подмножеств из Rm элементов с целочисленными компо-
нентами:
Nm =
{
x⃗ ∈ Rm|xi ∈ N, i = 1, 2, . . . ,m
}
,
Nm
∗ =
{
x⃗ ∈ Rm|xi ∈ N∗ = N ∪ {0}, i = 1, 2, . . . ,m
}
,
Nm
i =
{
x⃗ ∈ Rm|xi ∈ N, xj ∈ N∗, i ̸= j
}
,
Em =
{
x⃗ ∈ Rm|xi ∈ {0; 1}, i = 1, 2, . . . ,m
}
.
Пусть L(Tm) — множество 2π-периодических по каждой переменной суммируе-
мых на Tm функций f(x⃗) = f(x1, x2, . . . , xm) и f ∈ L(Tm). Каждой паре элементов
s⃗ ∈ Em, k⃗ ∈ Nm
∗ можно поставить в соответствие величину
as⃗
k⃗
(f) =
1
πm
∫
Tm
f(x⃗)
m∏
i=1
cos
(
kixi −
siπ
2
)
dxi.
Величины as⃗
k⃗
(f), s⃗ ∈ Em, k⃗ ∈ Nm
∗ являются коэффициентами Фурье функции
f ∈ L(Tm) [6].
Каждому вектору k⃗ ∈ Nm
∗ соответствует основная гармоника функции f(x⃗)
A
k⃗
(f ; x⃗) =
∑
s⃗∈Em
as⃗
k⃗
(f)
m∏
i=1
cos
(
kixi −
siπ
2
)
и гармоники, сопряженные по переменным xi, i = 1, 2...,m
Ae⃗i
k⃗
(f ; x⃗)=
∑
s⃗∈Em
as⃗
k⃗
(f)
∏
j∈m\{i}
cos
(
kjxj −
sjπ
2
)
cos
(
kixi −
(si + 1)π
2
)
.
Ряд Фурье функции f(x⃗) определяется следующим соотношением [6]
S[f ] =
∑
k⃗∈Nm
∗
1
2q(k⃗)
A
k⃗
(f ; x⃗),
в котором q(k⃗) — количество нулевых компонент вектора k⃗.
Пусть f ∈ L(Tm), ψij(k), Ψij(k), i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2 — фиксированные
наборы систем чисел, k ∈ N∗,
ψi(k) =
√
ψ2
i1(k) + ψ2
i2(k), Ψi(k) =
√
Ψ2
i1(k) + Ψ2
i2(k)
93
О.А. Новиков, О.Г. Ровенская
и выполнены условия ψi(k) ̸= 0, Ψi(k) ̸= 0, k ∈ N, ψi1(0) = 1, Ψi1(0) = 1, ψi2(0) = 0,
Ψi2(0) = 0, i = 1, 2, . . . ,m.
Если ряд ∑
k⃗∈Nm
i
1
2q(k⃗)ψ
2
i (ki)
[
ψi1(ki)Ak⃗(f ; x⃗)− ψi2(ki)A
e⃗i
k⃗
(f ; x⃗)
]
является рядом Фурье некоторой функции φ(x⃗) ∈ L(Tm), то эта функция обозна-
чается символом fψi(x⃗) = ∂ψif(x⃗)
∂xi
и называется ψi-производной функции f(x⃗) по
переменной xi, i = 1, 2, . . . ,m.
Пусть m = {1, 2, . . . ,m}. Для фиксированного r-элементного множества µ(r) ⊂
m, µ(r) = {i1, i2, . . . , ir}, смешанной Ψµ-производной по переменным xi, i ∈ µ(r),
по аналогии с определением обыкновенной смешанной частной производной, на-
зывается функция fΨµ(x⃗), которая задается соотношением
fΨµ(x⃗) =
∂Ψir∂Ψir−1 . . . ∂Ψi1f(x⃗)
∂xir∂xir−1 . . . ∂xi1
.
Множество непрерывных функций f ∈ L(Tm) таких, что для любого µ ⊆ m
существуют Ψµ-производные, обозначается символом Cmψ.
Классы ψ–дифференцируемых функций при m = 1 впервые были рассмотрены
в работах А.И. Степанца (см., напр., [1, 2]), а при m > 1 — в работах Р.А. Ласурии
[7] (также [6]). В одномерном случае при соответствующем выборе параметров,
классы Cmψ совпадают с известными классами Вейля, классами Соболева W l
p,
классами сверток с фиксированными ядрами.
Прямоугольные линейные средние рядов Фурье определяются
следующим образом. Пусть Λ = {Λ1,Λ2, . . . ,Λm} — фиксированный набор бес-
конечных треугольных числовых матриц Λi = {λ(ni)ki
}, i = 1, 2, . . . ,m, λ
(ni)
0 = 1,
λ
(ni)
ki
= 0 при ki ≥ ni. Обозначим λ
(n⃗)
k⃗
=
m∏
i=1
λ
(ni)
ki
и Gn⃗ =
m∏
i=1
[0;ni − 1] — прямо-
угольный параллелепипед, соответствующий вектору n⃗ ∈ Nm. Каждой функции
f ∈ L(Tm) можно поставить в соответствие многочлен
Un⃗(f ; x⃗; Λ) =
∑
k⃗∈Gn⃗
2−q(k⃗)λ
(n⃗)
k⃗
A
k⃗
(f ; x⃗).
При условии λ(n⃗)
k⃗
≡ 1, k⃗ ∈ Gn⃗, полиномы Un⃗(f ; x⃗; Λ) являются прямоугольными
суммами Фурье Sn⃗(f ; x⃗) порядка n⃗.
Пусть p⃗ = (p1, p2, ..., pm), pi ∈ N, pi ≤ ni, i = 1, 2, ...,m. Если элементы λ
(n⃗)
k⃗
,
n⃗ ∈ Nm, задаются соотношениями
λ
(ni)
ki
=
{
1, 0 ≤ ki ≤ ni − pi − 1,
1− ki−ni+pi
pi
, ni − pi ≤ ki ≤ ni − 1, i = 1, 2, . . . ,m,
94
Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье
то полиномы Un⃗(f ; x⃗; Λ) называются прямоугольными суммами Валле Пуссена и
обозначаются Vn⃗,p⃗(f ; x⃗) .
В виде полиномов Un⃗(f ; x⃗; Λ) также задаются прямоугольные методы Фавара
(λ(ni)ki
= kiπ
2ni
ctg kiπ2ni
, i = 1, 2, ...,m), Рогозинского (λ(ni)ki
= cos kiπ2ni
, i = 1, 2, ...,m) и др.
Величины
δn⃗(f ; x⃗; Λ) = f(x⃗)− Un⃗(f ; x⃗; Λ)
определяют уклонения прямоугольных линейных средних рядов Фурье от функ-
ции f ∈ L(Tm).
Интегральные представления для величин δn⃗(f ; x⃗; Λ) в одномерном случае бы-
ли получены А.И. Степанцом (см., напр., [2]). В настоящей работе доказаны форму-
лы для интегральных представлений величин δn⃗(f ; x⃗; Λ) при произвольном m ≥ 1.
2. Результат.
Для i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2 обозначим
τ
(ni)
k,j =
{
(1− λ
(ni)
k )ψij(k), 1 ≤ k ≤ ni,
ψij(k), k ≥ ni,
(1)
T
(ni)
k,j =
{
(1− λ
(ni)
k )Ψij(k), 1 ≤ k ≤ ni,
Ψij(k), k ≥ ni.,
(2)
В принятых обозначениях справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть системы чисел τ (ni)k,j , T
(ni)
k,j , i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2 определены
соотношениями (1), (2) и удовлетворяют условиям
∞∑
k=0
τ
(ni)
k,j cos
(
kti −
j − 1
2
π
)
<∞, (3)
∞∑
k=0
T
(ni)
k,j cos
(
kti −
j − 1
2
π
)
<∞. (4)
Тогда для любой функции f ∈ Cmψ во всех точках x⃗ ∈ Tm имеет место
равенство
δn⃗(f ; x⃗; Λ) =
m∑
i=1
1
π
π∫
−π
fψi
(
x⃗− tie⃗i
) ∞∑
k=0
(
τ
(ni)
k,1 cos kti + τ
(ni)
k,2 sin kti
)
dti+
+
m∑
r=2
(−1)r+1
∑
µ(r)⊂m
1
πr
∫
T r
fΨµ
(
x⃗−
∑
j∈µ(r)
tj e⃗j
)
×
×
∏
j∈µ(r)
∞∑
νj=0
(
T
(nj)
νj ,1
cos νjtj + T
(nj)
νj ,2
sin νjtj
)
dtj . (5)
95
О.А. Новиков, О.Г. Ровенская
Доказательство.
Имеем
δn⃗(f ; x⃗; Λ) = f(x⃗)−
∑
k⃗∈Nm
∗
1
2q(k⃗)
λ
(n⃗)
k⃗
A
k⃗
(f ; x⃗) =
= f(x⃗)−
∑
k⃗∈Nm
∗
1
2q(k⃗)
m∏
i=1
λ
(ni)
ki
A
k⃗
(f ; x⃗).
Тогда
S[δn⃗] =
∑
k⃗∈Nm
∗
1
2q(k⃗)
(
1−
m∏
i=1
λ
(ni)
ki
)
A
k⃗
(f ; x⃗). (6)
Используя метод математической индукции можно показать, что имеет место
равенство
1−
m∏
i=1
λ
(ni)
ki
=
m∑
i=1
(−1)i+1
∑
µ(i)⊂m
∏
j∈µ(i)
(
1− λ
(nj)
kj
)
.
Учитывая это соотношение и (6), имеем
S[δn⃗] =
∑
k⃗∈Nm
∗
1
2q(k⃗)
m∑
i=1
(−1)i+1
∑
µ(i)⊂m
∏
j∈µ(i)
(
1− λ
(nj)
kj
)A
k⃗
(f ; x⃗) =
=
m∑
i=1
∑
k⃗∈Nm
i
1
2q(k⃗)
(
1− λ
(ni)
ki
)
A
k⃗
(f ; x⃗)+
+
m∑
i=2
(−1)i+1
∑
µ(i)⊂m
∑
k⃗∈Nm
µ
1
2q(k⃗)
∏
j∈µ(i)
(
1− λ
(nj)
kj
)
A
k⃗
(f ; x⃗)
df
=
=
m∑
i=1
Si(f ; x⃗) +
m∑
i=2
(−1)i+1
∑
µ(i)⊂m
Sµ(f ; x⃗). (7)
Далее воспользуемся схемой доказательства, предложенной в работе [1, c. 53–
54]. Рассмотрим функции
Iψi(x⃗) = 1
π
π∫
−π
fψi
(
x⃗− tie⃗i
) ∞∑
k=0
(
τ
(ni)
k,1 cos kti + τ
(ni)
k,2 sin kti
)
dti,
IΨµ(x⃗) =
1
πr
∫
T r
fΨµ
(
x⃗−
∑
i∈µ(r)
tie⃗i
)
×
96
Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье
×
∏
j∈µ(r)
∞∑
νj=0
(
T
(nj)
νj ,1
cos νjtj + T
(nj)
νj ,2
sin νjtj
)
dtj .
Найдем коэффициенты Фурье этих функций. На основании (3) в следующем
интеграле можно изменить порядок интегрирования
as⃗
k⃗
(Iψi) = 1
πm
∫
Tm
1
π
π∫
−π
fψi
(
x⃗− tie⃗i
) ∞∑
k=0
(
τ
(ni)
k,1 cos kti + τ
(ni)
k,2 sin kti
)
dti×
×
m∏
j=1
cos
(
kjxj −
sjπ
2
)
dxj =
π∫
−π
1
πm
∫
Tm
fψi(x⃗)
1
π
∞∑
k=0
(
τ
(ni)
k,1 cos kti+
+τ
(ni)
k,2 sin kti
) m∏
j=1,j ̸=i
cos
(
kjxj −
sjπ
2
)
cos
(
ki
(
xi + ti
)
− siπ
2
)
dxi dti =
=
π∫
−π
1
πm
∫
Tm
fψi(x⃗)
1
π
∞∑
k=0
(
τ
(ni)
k,1 cos kti + τ
(ni)
k,2 sin kti
)
×
×
m∏
j=1,j ̸=i
cos
(
kjxj −
sjπ
2
)
×
×
(
cos
(
kixi −
siπ
2
)
cos kiti − sin
(
kixi −
siπ
2
)
sin kiti
)
dxj dxi dti =
=
π∫
−π
1
πm
∫
Tm
fψi(x⃗)
m∏
j=1
cos
(
kjxj −
sjπ
2
)
dxj×
× 1
π
∞∑
k=0
(
τ
(ni)
k,1 cos kti + τ
(ni)
k,2 sin kti
)
cos kiti dti−
−
π∫
−π
1
πm
∫
Tm
fψi(x⃗)
m∏
j=1,j ̸=i
cos
(
kjxj −
sjπ
2
)
dxj sin
(
kixi −
siπ
2
)
×
× 1
π
∞∑
k=0
(
τ
(ni)
k,1 cos kti + τ
(ni)
k,2 sin kti
)
sin kiti dti.
На основании определения величины as⃗
k⃗
(f) имеем
as⃗
k⃗
(
fψi
)
=
1
πm
∫
Tm
fψi(x⃗)
m∏
j=1
cos
(
kjxj −
sjπ
2
)
dxj ,
97
О.А. Новиков, О.Г. Ровенская
a
s⃗+(−1)si e⃗i
k⃗
(
fψi
)
=
1
πm
∫
Tm
fψi(x⃗)
m∏
j=1,j ̸=i
cos
(
kjxj −
sjπ
2
)
dxj×
× cos
(
kixi −
(si + (−1)si)π
2
)
dxi =
1
πm
∫
Tm
fψi(x⃗)×
×
m∏
j=1,j ̸=i
cos
(
kjxj −
sjπ
2
)
dxj(−1)si sin
(
kixi −
siπ
2
)
dxi.
Тогда
as⃗
k⃗
(
Iψi
)
= as⃗
k⃗
(
fψi
) π∫
−π
1
π
∞∑
k=0
τ
(ni)
k,1 cos kti cos kiti dti+
+
π∫
−π
1
π
∞∑
k=0
τ
(ni)
k,2 sin kti cos kti dti
−
−(−1)sia
s⃗+(−1)si e⃗i
k⃗
(
fψi
) π∫
−π
1
π
∞∑
k=0
τ
(ni)
k,1 cos kti sin kiti dti+
+
π∫
−π
1
π
∞∑
k=0
τ
(ni)
k,2 sin kti sin kiti dti
. (8)
Воспользуемся формулами
π∫
−π
1
π
∞∑
k=0
τ
(ni)
k,j cos
(
kti +
j − 1
2
π
)
cos
(
kiti +
j − 1
2
π
)
dti = τ
(ni)
ki,j
, (9)
π∫
−π
1
π
∞∑
k=0
τ
(ni)
k,j cos
(
kti +
j − 1
2
π
)
sin
(
kiti +
j − 1
2
π
)
dti = 0, j = 1, 2. (10)
Объединяя соотношения (8)–(10), имеем
as⃗
k⃗
(
Iψi
)
= as⃗
k⃗
(
fψi
)
τ
(ni)
ki,1
+ (−1)sia
s⃗+(−1)si e⃗i
k⃗
(
fψi
)
τ
(ni)
ki,2
=
=
(
1− λ
(ni)
ki
)(
ψi1(ki)a
s⃗
k⃗
(
fψi
)
+ (−1)siψi2(ki)a
s⃗+(−1)si e⃗i
k⃗
(fψi)
)
=
=
(
1− λ
(ni)
ki
)
as⃗
k⃗
(f), s⃗ ∈ Em, k⃗ ∈ Nm
i , (11)
as⃗
k⃗
(
Iψi
)
= 0, s⃗ ∈ Em, ki = 0.
98
Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье
На основании равенства (11) делаем вывод о том, что
S
[
Iψi
]
=
∑
k⃗∈Ni
1
2q(k⃗)
(
1− λ
(ni)
ki
)
A
k⃗
(f ; x⃗) = Si(f ; x⃗). (12)
Аналогично найдем коэффициенты Фурье функции IΨµ(x⃗), µ(r) ⊂ m.
На основании (4) можем изменить порядок интегрирования в следующем ин-
теграле
as⃗
k⃗
(
IΨµ
)
=
1
πm
∫
Tm
1
πr
∫
T r
fΨµ
(
x⃗−
∑
i∈µ(r)
tie⃗i
)
×
×
∏
j∈µ(r)
∞∑
νj=0
(
T
(nj)
νj ,1
cos νjtj+T
(nj)
νj ,2
sin νjtj
)
dtj
m∏
p=1
cos
(
kpxp −
spπ
2
)
dxp=
=
∫
T r
1
πm
∫
Tm
fΨµ(x⃗)
∏
p∈m\µ(r)
cos
(
kpxp −
spπ
2
)
×
×
∏
i∈µ(r)
cos
(
ki(xi + ti)−
siπ
2
) m∏
p=1
dxp
1
πr
∏
j∈µ(r)
∞∑
νj=0
(
T
(nj)
νj ,1
cos νjtj+
+T
(nj)
νj ,2
sin νjtj
)
dtj =
∫
T r
1
πm
∫
Tm
fΨµ(x⃗)
∏
p∈m\µ(r)
cos
(
kpxp −
spπ
2
)
×
×
∏
i∈µ(r)
(
cos
(
kixi −
siπ
2
)
cos kiti − sin
(
kixi −
siπ
2
)
sin kiti
) m∏
p=1
dxp×
× 1
πr
∏
j∈µ(r)
∞∑
νj=0
(
T
(nj)
νj ,1
cos νjtj + T
(nj)
νj ,2
sin νjtj
)
dtj .
Поскольку ∏
j∈µ(r)
(aj − bj) =
∑
ς⊂µ(r)
∏
p∈µ(r)\ς
ap
∏
j∈ς
(−bj),
то
as⃗
k⃗
(
IΨµ
)
=
∫
T r
1
πm
∫
Tm
fΨµ(x⃗)
∏
p∈m\µ(r)
cos
(
kpxp −
spπ
2
)
×
×
∑
ς⊂µ(r)
∏
p∈µ(r)\ς
cos
(
kpxp −
spπ
2
)
cos kpxp×
×
∏
i∈ς
(
− sin
(
kixi −
siπ
2
)
sin kiti
)) m∏
p=1
dxp×
99
О.А. Новиков, О.Г. Ровенская
× 1
πr
∏
j∈µ(r)
∞∑
νj=0
(
T
(nj)
νj ,1
cos νjtj + T
(nj)
νj ,2
sin νjtj
)
dtj =
=
∑
ς⊂µ(r)
∫
T r
1
πm
∫
Tm
fΨµ(x⃗)
∏
p∈m\ς
cos
(
kpxp −
spπ
2
)
dxp×
×
∏
i∈ς
sin
(
kixi −
siπ
2
)
dxi×
× 1
πr
∏
j∈µ(r)\ς
∞∑
νj=0
(
T
(nj)
νj ,1
cos νjtj + T
(nj)
νj ,2
sin νjtj
)
dtj×
× cos kjtj
∏
γ∈ς
∞∑
νγ=0
(T
(nγ)
νγ ,1
cos νγtγ + T
(nγ)
νγ ,2
sin νγtγ) sin kγtγ dtγ(−1)|ς|
.
Используя определение, имеем для s⃗ ∈ Em, k⃗ ∈ Nm
∗ , ς ⊂ µ(r)
a
s⃗+
∑
p∈ς
(−1)sp e⃗p
k⃗
(
fΨµ
)
=
=
(−1)
∑
p∈ς
sp
πm
∫
Tm
fΨµ(x⃗)
∏
p∈m\ς
cos
(
kpxp −
spπ
2
)
dxp×
×
∏
i∈ς
sin
(
kixi −
siπ
2
)
dxi, k⃗ ∈ Nm
µ ,
a
s⃗+
∑
p∈ς
(−1)sp e⃗p
k⃗
(
fΨµ
)
= 0, k⃗ ∈ Nm
∗ \Nm
µ .
Объединяя равенства (9), (10) получим
as⃗
k⃗
(
IΨµ
)
=
∑
ς⊂µ(r)
(−1)
∑
p∈ς
sp
a
s⃗+
∑
p∈ς
(−1)sp e⃗p
k⃗
(
fΨµ
)
×
×
∏
j∈µ(r)\ς
T
(nj)
kj ,1
∏
γ∈ς
T
(nγ)
kγ ,2
, k⃗ ∈ Nm
µ ,
as⃗
k⃗
(
IΨµ
)
= 0, k⃗ ∈ Nm
∗ \Nm
µ .
Поскольку
as⃗
k⃗
(f)=
∑
ς⊂µ(r)
∏
i∈µ(r)\ς
Ψi1(ki)
∏
j∈ς
(−Ψj2(kj))(−1)
∑
ν∈ς
sν
a
s⃗+
∑
ν∈ς
(−1)sν e⃗ν
k⃗
(
fΨµ
)
,
100
Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье
то для k⃗ ∈ Nm
µ , s⃗ ∈ Em имеет место
as⃗
k⃗
(
IΨµ
)
=
∏
j∈µ(r)
(
1− λ
(nj)
kj
) ∑
ς⊂µ(r)
∏
j∈µ(r)\ς
Ψj,1(kj)
∏
γ∈ς
Ψγ,2(kγ)×
×(−1)
∑
p∈ς
sp
a
s⃗+
∑
p∈ς
(−1)sp e⃗p
k⃗
(
fΨµ
)
=
∏
j∈µ(r)
(
1− λ
(nj)
kj
)
as⃗
k⃗
(f).
Значит
A
k⃗
(
IΨµ , x⃗
)
=
∏
j∈µ(r)
(
1− λ
(nj)
kj
)
A
k⃗
(f ; x⃗), k⃗ ∈ Nm
µ .
Таким образом, с учетом (7) получаем
S
[
IΨµ
]
=
∑
k⃗∈Nm
µ
1
2q(k)
∏
j∈µ(r)
(
1− λ
(nj)
kj
)
A
k⃗
(f ; x⃗) = Sµ(f ; x⃗). (13)
На основании соотношений (7), (12), (13), получим
S
[
δn⃗
]
=
m∑
i=1
S
[
Iψi
]
+
m∑
i=2
(−1)i+1
∑
µ(r)⊂m
S
[
IΨµ
]
=
= S
[ m∑
i=1
Iψi(f, x⃗) +
m∑
i=2
(−1)i+1
∑
µ(r)⊂m
IΨµ(f, x⃗)
]
.
Отсюда для любой функции f ∈ Cmψ выполняется равенство
δn⃗(f ; x⃗; Λ) =
m∑
i=1
Iψi(f ; x⃗) +
m∑
i=2
(−1)i+1
∑
µ(r)⊂m
IΨµ(f ; x⃗),
которое с учетом определения функций Iψi(x⃗), i = 1, 2, . . . ,m, и IΨµ(x⃗), µ(r) ⊂ m
совпадает с равенством (5). Теорема доказана. �
Формула (5) может быть полезной для изучения асимптотического поведения
верхних граней уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье, на
классах дифференцируемых периодических функций многих переменных, позво-
ляющих по отдельности учитывать свойства частных и смешанных ψ-производных.
Цитированная литература
1. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. – К. : Наук. думка,
1987.
2. Степанец А.И. Методы теории приближений В 2 ч. – К. : Ин-т математики НАН Украины,
2002.
101
О.А. Новиков, О.Г. Ровенская
3. Рукасов В.И., Новиков О.А., Бодрая В.И. Приближение классов ψ-интегралов периодических
функций многих переменных прямоугольными линейными средними их рядов Фурье // Укр.
мат. журн. – 2005. – Т. 57, № 4. – C. 564–570.
4. Рукасов В.И., Новиков О.А., Ровенская О.Г. [ и др.] Приближение периодических функций
высокой гладкости многих переменных прямоугольными суммами Фурье // Труды Ин-та
прикладной математики и механики НАН Украины. – 2008. – Т. 16.– С. 163–170.
5. Задерей П.В. Интегральные представления уклонений линейных средних рядов Фурье на
классах дифференцируемых периодических функций двух переменных // Некоторые вопро-
сы теории аппроксимации функций : Сб. научн. тр. – К. : Ин-т математики, 1985. – C. 16–28.
6. Степанец А.И., Пачулиа Н.Л. Кратные суммы Фурье на множествах (ψ, β)-дифференцируе-
мых функций // Укр. мат. журн. – 1991. – T. 43, № 4. – C. 545–555.
7. Ласурия Р.А. Кратные суммы Фурье на множествах ψ-дифференцируемых функций // Укр.
мат. журн. – 2003. – T. 55, № 7. – C. 911–918.
References
1. Stepanets, A.I. (1953). Classification and approximation of periodic functions. Kyiv: Naukova
Dumka (in Russian).
2. Stepanets, A.I. (2002). Methods of theory of approximation. Kyiv: Ins-t Mat. NAN Ukrainu (in
Russian).
3. Rukasov, V.I., Novikov, O.A., Bodraya, V.I. (2005). Approximation of classes of ψ-integrals of
periodic functions of many variables by rectangular linear means of Fourier series. Ukr. Mat. J.,
57 (4), 564-570 (in Russian).
4. Rukasov, V.I., Novikov, O.A., Rovenska, O.G. et al (2008). Approximation of periodic functions of
high smoothness of many variables by rectangular Fourier sums. Trudy IPMM NAN Ukrainy, 16,
163-170 (in Russian).
5. Zaderey, P.V. (1985). Integral presentation of deviations of linear means of Fourier series on classes
of differentiable periodic functions of two variables. In Some questions of theory of approximation
of functions (pp. 16-28). Kyiv: Ins-t Mat., (in Russian).
6. Stepanets, A.I., Pachulia, N.L. (1991). Multiple Fourier sums on the sets of (ψ, β)-differentiable
functions. Ukr. Mat. J., 43 (4), 545-555 (in Russian).
7. Lasuria, R.A. (2003). Multiple Fourier sums on the sets of ψ-differentiable functions. Ukr. Mat. J.,
55 (7), 911-918 (in Russian).
O.O. Novikov, O.G. Rovenska
Integral presentation of deviations of rectangular linear means of Fourier series on classes
of periodic differentiable functions.
The paper deals with the problems of approximation in a uniform metric of periodic functions of
many variables by trigonometric polynomials, which are generated by linear methods of summation of
Fourier series. Questions of asymptotic behavior of the upper bounds of deviations of linear operators
generated by the use of linear methods of summation of Fourier series on the classes of periodic
differentiable functions are studied in many works. Methods of investigation of integral representations
of deviations of polynomials on the classes of periodic differentiable functions of real variable originated
and received its development through the works of S.M. Nikol’skii, S.B. Stechkin, N.P.Korneichuk,
V.K. Dzadik, A.I. Stepanets, etc. Along with the study of approximation by linear methods of classes
of functions of one variable, are studied similar problems of approximation by linear methods of classes
of functions of many variables. In addition to the approximative properties of rectangular Fourier
sums, are studied approximative properties of other approximation methods: the rectangular sums of
102
Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье
Valle Poussin, Zigmund, Rogozinsky, Favar. In this paper we consider the classes of ψ–differentiable
periodic functions of many variables, allowing separately to take into account the properties of partial
and mixed ψ–derivatives, and given by analogy with the classes of ψ–differentiable periodic functions
of one variable. Integral representations of rectangular linear means of Fourier series on classes of ψ–
differentiable periodic functions of many variables are obtained. The obtained formulas can be useful
for further investigation of the approximative properties of various linear rectangular methods on
the classes ψ-differentiable periodic functions of many variables in order to obtain a solution to the
corresponding Kolmogorov-Nikolsky problems.
Keywords: generalized derivative, classes of differentiable functions, linear rectangular methods.
О.О. Новiков, О.Г. Ровенська
Iнтегральнi представлення вiдхилень прямокутних лiнiйних середнiх рядiв Фур’є на
класах перiодичних диференцiйовних функцiй.
Робота стосується питань наближення у рiвномiрнiй метрицi перiодичних функцiй багатьох змiн-
них тригонометричними полiномами, що породжуються прямокутними лiнiйними методами пiд-
сумовування рядiв Фур’є. Вивчаються класи ψ–диференцiйовних перiодичних функцiй багатьох
змiнних, що дозволяють окремо враховувати властивостi звичайних та мiшаних частинних по-
хiдних, i якi визначаються подiбно до класiв ψ–диференцiйовних функцiй однiєї змiнної. Одер-
жано iнтегральнi представлення прямокутних лiнiйних середнiх рядiв Фур’є на класах ψ–дифе-
ренцiйовних перiодичних функцiй багатьох змiнних. Одержанi формули можуть бути корисними
для подальших дослiджень апроксимативних властивостей рiзних лiнiйних прямокутних мето-
дiв на класах ψ–диференцiйовних перiодичних функцiй багатьох змiнних з метою одержання
розв’язку вiдповiдних задач Колмогорова–Нiкольського.
Ключовi слова: узагальнена похiдна, класи диференцiйовних функцiй, лiнiйнi прямокутнi ме-
тоди.
Донбасский государственный педагогический университет,
Славянск
Донбасская государственная машиностроительная академия,
Краматорск
rovenskaya.olga.math@gmail.com
Получено 21.09.18
103
|