Поперечники некоторых классов функций, определенных при помощи обобщенных модулей непрерывности ωγ в пространстве L₂
Вычислены точные значения ряда поперечников классов функций Hωγ и Wψβ,2(ωγ, Φ), заданных при помощи обобщенного модуля непрерывности ωγ и мажоранты Φ, удовлетворяющей определенному условию. Также на указанных классах найдены точные значения коэффициентов Фурье....
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169317 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Поперечники некоторых классов функций, определенных при помощи обобщенных модулей непрерывности ωγ в пространстве L₂ / С.Б. Вакарчук // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 1. — С. 135-148. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-169317 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1693172020-06-11T01:26:21Z Поперечники некоторых классов функций, определенных при помощи обобщенных модулей непрерывности ωγ в пространстве L₂ Вакарчук, С.Б. Вычислены точные значения ряда поперечников классов функций Hωγ и Wψβ,2(ωγ, Φ), заданных при помощи обобщенного модуля непрерывности ωγ и мажоранты Φ, удовлетворяющей определенному условию. Также на указанных классах найдены точные значения коэффициентов Фурье. Exact values of some widths have been computed for the classes Hωγ and Wψβ,2(ωγ, Φ), given by the generalized modulus of continuity ωγ and majorant Φ, satisfying certain condition. Exact values of the Fourier coefficients were found on the indicated classes. 2017 Article Поперечники некоторых классов функций, определенных при помощи обобщенных модулей непрерывности ωγ в пространстве L₂ / С.Б. Вакарчук // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 1. — С. 135-148. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 41A10, 41A46, 42A10, 42A16, 42A24 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169317 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Вычислены точные значения ряда поперечников классов функций Hωγ и Wψβ,2(ωγ, Φ), заданных при помощи обобщенного модуля непрерывности ωγ и мажоранты Φ, удовлетворяющей определенному условию. Также на указанных классах найдены точные значения коэффициентов Фурье. |
| format |
Article |
| author |
Вакарчук, С.Б. |
| spellingShingle |
Вакарчук, С.Б. Поперечники некоторых классов функций, определенных при помощи обобщенных модулей непрерывности ωγ в пространстве L₂ Український математичний вісник |
| author_facet |
Вакарчук, С.Б. |
| author_sort |
Вакарчук, С.Б. |
| title |
Поперечники некоторых классов функций, определенных при помощи обобщенных модулей непрерывности ωγ в пространстве L₂ |
| title_short |
Поперечники некоторых классов функций, определенных при помощи обобщенных модулей непрерывности ωγ в пространстве L₂ |
| title_full |
Поперечники некоторых классов функций, определенных при помощи обобщенных модулей непрерывности ωγ в пространстве L₂ |
| title_fullStr |
Поперечники некоторых классов функций, определенных при помощи обобщенных модулей непрерывности ωγ в пространстве L₂ |
| title_full_unstemmed |
Поперечники некоторых классов функций, определенных при помощи обобщенных модулей непрерывности ωγ в пространстве L₂ |
| title_sort |
поперечники некоторых классов функций, определенных при помощи обобщенных модулей непрерывности ωγ в пространстве l₂ |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169317 |
| citation_txt |
Поперечники некоторых классов функций, определенных при помощи обобщенных модулей непрерывности ωγ в пространстве L₂ / С.Б. Вакарчук // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 1. — С. 135-148. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT vakarčuksb poperečnikinekotoryhklassovfunkcijopredelennyhpripomoŝiobobŝennyhmodulejnepreryvnostiōgvprostranstvel2 |
| first_indexed |
2025-07-15T04:03:31Z |
| last_indexed |
2025-07-15T04:03:31Z |
| _version_ |
1837684187881013248 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 1, 135 – 148
Поперечники некоторых классов функций,
определенных при помощи
обобщенных модулей
непрерывности ωγ в пространстве L2
Сергей Б. Вакарчук
(Представлена С. Я. Махно)
Аннотация. Вычислены точные значения ряда поперечников клас-
сов функций Hωγ и Wψ
β,2(ωγ ,Φ), заданных при помощи обобщенного
модуля непрерывности ωγ и мажоранты Φ, удовлетворяющей опре-
деленному условию. Также на указанных классах найдены точные
значения коэффициентов Фурье.
2010 MSC. 41A10, 41A46, 42A10, 42A16, 42A24.
Ключевые слова и фразы. Наилучшее полиномиальное прибли-
жение, обобщенный модуль непрерывности, ряд Фурье, коэффици-
енты Фурье, n-поперечник.
1. Введение
Данная статья является логическим продолжением цикла публи-
каций автора [1–3] и посвящена вычислению в пространстве L2 ряда
n-поперечников классов (ψ, β)-дифференцируемых функций, опреде-
ленных при помощи обобщенных модулей непрерывности и их ма-
жорант. Eё также можно рассматривать, но на ином качественном
уровне, как распространение одного результата ученика А. В. Ефи-
мова Ю. И. Григоряна на общий случай (см. теорему 2 и следствие
1 из неё, приведенные в [4]) . Следует отметить, что в отличие от
большинства ранее известных результатов, связанных с вычислением
точных значений n-поперечников классов функций в L2 (см., напри-
мер, [5]– [16]), в рассматриваемой ситуации на мажоранту налагаются
менее обременительные условия. Также отметим, что вопросы обоб-
щения понятия модуля непрерывности были рассмотрены в середине
Статья поступила в редакцию 25.11.2016
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
136 Поперечники некоторых классов функций...
семидесятых годов прошлого столетия Х. Шапиро и Дж. Боманом.
Впоследствие указанная тематика нашла своё продолжение в работах
А. И. Козко, А. В. Рождественского, С. Н. Васильева, А. Г. Бабенко
и других [1].
Напомним необходимые в дальнейшем понятия и определения.
Под L2 понимаем пространство измеримых по Лебегу 2π-периоди-
ческих функций с конечной нормой
∥f∥ =
1
π
2π∫
0
|f(x)|2dx
1/2
.
Символом G обозначим класс непрерывных на всей вещественной
оси R четных неотрицательных и ограниченных функций γ, которые
почти всюду отличны от нуля и такие, что γ(0) = 0. Произвольной
функции f ∈ L2 поставим в соответствие её разложение в ряд Фурье
S(f)
f(x) ∼ S(f, x) :=
a0(f)
2
+
∞∑
j=1
(aj(f) cos(jx) + bj(f) sin(jx)), (1.1)
где aj(f), j ∈ Z+; bj(f), j ∈ N, есть коэффициенты Фурье, и запишем
для f обобщенный модуль непрерывности [1]
ωγ(f, t) := sup
∞∑
j=1
ρ2j (f)γ(jh)
1/2
: 0 < h 6 t
, t > 0. (1.2)
В формуле (1.2) функция γ принадлежит классу G, ρ2j (f) := a2j (f) +
b2j (f), j ∈ N. В частности, при γ := γ1,k, где k ∈ N, γ1,k(x) :=
2k(1− cosx)k, из (1.2) получаем обычный модуль непрерывности k-го
порядка ωk(f, t). Если же γ := γ1,α, где α > 0, γ1,α(x) := 2α(1−cosx)α,
то из (1.2) имеем модуль непрерывности ωα(f, t) дробного порядка
α [2]. Если же, например, γ := γ2,k, где k ∈ N, γ2,k(x) := (1−sinc (x))2k,
sinc (x) := {sin(x)/x, если x ̸= 0; 1, если x = 0}, то из формулы
(1.2) получаем модуль непрерывности k-порядка ω̃k(f, t), порожден-
ный функцией В. А. Стеклова
Sh(f, x) :=
1
2h
x+h∫
x−h
f(τ)dτ, h > 0,
которая используется вместо обычного оператора сдвига Thf(x) :=
f(x+ h), h ∈ R [1].
С. Б. Вакарчук 137
Для произвольной функции γ ∈ G полагаем
γ(t∗) := sup{γ(x) : x ∈ R+}, (1.3)
где R+ := {x ∈ R : 0 6 x < ∞}. Очевидно, что значение t∗ зависит
от функции γ. Если верхняя грань в формуле (1.3) достигается в
конечном или бесконечном множестве точек, то в качестве t∗ берем
точку, имеющую наименьшую абсциссу.
Будем говорить, что функция γ ∈ G удовлетворяет свойству A,
если на отрезке [0, t∗] она монотонно возрастает [1]. Данному свойству
удовлетворяют, например, функции γ := γ1,α, где t∗ = π, α ∈ (0,∞),
и γ := γ2,k, где t∗ – наименьший положительный корень уравнения
tg x = x (4, 49 < t∗ < 4, 51), k ∈ N (см., например, [1]).
2. Некоторые сведения о классах
(ψ, β)–дифференцируемых функций
Классификация периодических функций на основе преобразова-
ний их рядов Фурье с помощью мультипликаторов и сдвигов по ар-
гументу охватывает широкий спектр функций, включая гладкие, бе-
сконечно дифференцируемые (в том числе целые и аналитические)
функции, а также функции с расходящимися рядами Фурье. Такая
классификация была реализована А.И.Степанцом [17, 18], а её идея
возникла под влиянием работ Б. Надя, С. М. Никольского, В. К. Дзя-
дыка, Н. П. Корнечука, С. Б. Стечкина и других.
Пусть f есть суммируемая 2π-периодическая функция, которой
соответствует её разложение (1.1) в ряд Фурье, и пусть ψ являе-
тся сужением на множество N произвольной вещественной функции,
определенной на множестве [1,∞) и такой, что ψ(j) ̸= 0 для любо-
го j ∈ N. Под β ∈ (−∞,∞) понимаем произвольное фиксированное
число. Если ряд
∞∑
j=1
1
ψ(j)
(aj(f) cos(jx+ βπ/2) + bj(f) sin(jx+ βπ/2))
является рядом Фурье некоторой суммируемой 2π-периодической фун-
кции, то, следуя А. И. Степанцу [17], данную функцию будем на-
зывать (ψ, β)–производной функции f и обозначать символом fψβ .
Через Lψβ обозначим множество всех 2π-периодических суммируе-
мых функций, имеющих (ψ, β)-производные. При этом коэффициен-
138 Поперечники некоторых классов функций...
ты Фурье функций f и fψβ связаны следующими соотношениями:
aj(f) = ψ(j)
(
aj(f
ψ
β ) cos
(
βπ
2
)
− bj(f
ψ
β ) sin
(
βπ
2
))
,
bj(f) = ψ(j)
(
aj(f
ψ
β ) sin
(
βπ
2
)
+ bj(f
ψ
β ) cos
(
βπ
2
))
, j ∈ N.
(2.1)
Напомним, что в случае ψ(j) = j−r, где r > 0, а β ∈ R, получа-
ем (r, β)-производную в смысле Вейля – Надя, т.е. fψβ = f
(r)
β . Если
же, кроме того, β = r, где r ∈ N, то указанная производная будет
обыкновенной производной r-го порядка функции f .
Если функция f принадлежит множеству Lψβ и при этом её (ψ, β)-
производная fψβ является элементом некоторого подмножества N 2π-
периодических суммируемых функций, то говорят, что f принадле-
жит классу LψβN. В дальнейшем под N будем подразумевать L2 и
вместо символа LψβL2 будем использовать обозначение Lψβ,2.
Символом M обозначим класс непрерывных на множестве [1,∞)
функций, которые положительны, выпуклы вниз и стремятся к нулю
при x → ∞, т.е. M := {ψ ∈ C([1,∞)) : ψ(x) > 0 ∀x ∈ [1,∞), ψ(x1) −
2ψ((x1 + x2)/2) + ψ(x2) > 0 ∀x1, x2 ∈ [1,∞), lim
x→∞
ψ(x) = 0}.
Также будем полагать, что последовательности {ψ(j)}j∈N, уча-
ствующие в определении (ψ, β)-производных, являются сужениями
на N значений функций ψ из класса M (см., например, [18, глава III,
§12, п.12.1]). При этом, как отмечалось в [1], Lψβ,2 ⊂ L2.
3. Вычисление в L2 поперечников классов функций,
определенных при помощи характеристики
гладкости ωγ
Известно, что величина наилучшего полиномиального приближе-
ния функции f ∈ L2 подпространством NT
2n−1 тригонометрических
полиномов порядка, не превосходящего n−1, равна
En−1(f) = inf{∥f − Tn−1∥ : Tn−1 ∈ NT
2n−1}
= ∥f − Sn−1(f)∥ =
∞∑
j=n
ρ2j (f)
1/2
,
(3.1)
где Sn−1(f) — частная сумма порядка n−1 ряда Фурье функции f .
Для класса функций K ⊂ L2 полагаем En−1(K) = sup{En−1(f) : f ∈
K}.
С. Б. Вакарчук 139
Пусть Φ(t), t > 0 — непрерывная возрастающая функция, такая,
что Φ(0) = 0. Всюду далее её будем называть мажорантой. Символом
Wψ
β,2(ωγ ,Φ), где γ ∈ G, обозначим класс функций f ∈ Lψβ,2, для кото-
рых при любом 0 < t 6 t∗ имеет место неравенство ωγ(f
ψ
β , t) 6 Φ(t).
Пусть B является единичным шаром в L2, M — выпуклое цент-
рально-симметричное подмножество функций из L2, Λn ⊂ L2 — n-
мерное подпространство, Λn ⊂ L2 — подпространство коразмерности
n; V : L2 → Λn — непрерывный линейный оператор, V ⊥ : L2 → Λn —
непрерывный оператор линейного проектирования. Величины
bn(M;L2) = sup {sup {ε > 0 : εB ∩ Λn+1 ⊂ M} : Λn+1 ⊂ L2} ,
dn(M;L2) = inf {sup {inf {∥f − φ∥ : φ ∈ Λn} : f ∈ M} : Λn ⊂ L2} ,
δn(M;L2) = inf {inf {sup {∥f − V f∥ : f ∈ M} : V L2 ⊂ Λn} : Λn ⊂ L2} ,
dn(M;L2) = inf {sup {∥f∥ : f ∈ M∩ Λn} : Λn ⊂ L2} ,
Πn(M;L2)
= inf
{
inf
{
sup
{
∥f − V ⊥f∥ : f ∈ M
}
: V ⊥L2 ⊂ Λn
}
: Λn ⊂ L2
}
называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линей-
ным, гельфандовским и проекционным n-поперечниками множества
M в пространстве L2. Так как L2 есть гильбертово пространство, то
перечисленные экстремальные характеристики связаны следующими
соотношениями:
bn(M;L2) 6 dn(M;L2) = dn(M;L2) = δn(M;L2) = Πn(M;L2).
(3.2)
Теорема 1. Пусть функция γ ∈ G удовлетворяет свойству А; Φ —
произвольная мажоранта; pm(·), m ∈ N, — любой из рассмотренных
выше m-поперечников; функция ψ принадлежит классу M; β ∈ R;
n ∈ N. Тогда имеют место следующие соотношения:
ψ(n) inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n} 6 p2n(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ);L2)
6 p2n−1(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ);L2) 6 En−1(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ))
6 ψ(n) lim sup{Φ(t)/
√
γ(nt) : t→ 0+}.
(3.3)
Доказательство. Пусть f — произвольная функция из Lψβ,2. Исполь-
зуя формулы (2.1), получаем
ρj(f) = ψ(j)ρj(f
ψ
β ), j ∈ N. (3.4)
140 Поперечники некоторых классов функций...
Тогда на основании формул (3.1) и (3.4) запишем оценку сверху
En−1(f) =
{ ∞∑
j=n
ψ2(j)ρ2j (f
ψ
β )
}1/2
6 ψ(n)
{ ∞∑
j=n
ρ2j (f
ψ
β )
}1/2
= ψ(n)En−1(f
ψ
β ).
(3.5)
Очевидно, что для произвольного значения ε > 0 можно подо-
брать такое число kε = k(ε, fψβ ) ∈ N, для которого будет выполняться
неравенство
E2
n−1(f
ψ
β ) 6
kε∑
j=n
ρ2j (f
ψ
β ) + ε. (3.6)
Произвольным образом выберем число τε ∈ (0, t∗/kε], где величина
t∗ определяется для функции γ согласно формуле (1.3). Используя
далее определение (1.2) характеристики гладкости ωγ и учитывая,
что на отрезке [0, t∗] функция γ монотонно возрастает, запишем
kε∑
j=n
ρ2j (f
ψ
β ) 6
1
γ(nτε)
kε∑
j=n
ρ2j (f
ψ
β )γ(jτε) 6
ω2
γ(f
ψ
β , τε)
γ(nτε)
. (3.7)
Из соотношений (3.5)–(3.7) для f ∈ Lψβ,2 получаем
E2
n−1(f) 6 ψ2(n) sup{ω2
γ(f
ψ
β , t)/γ(nt) : 0 < t 6 t∗/kε}+ εψ2(n). (3.8)
Когда ε→ 0+, то в силу формул (3.1) и (3.6) имеем kε → ∞. Переходя
к пределу при ε → 0+ в правой части неравенства (3.8) и учитывая
только что сказанное, для произвольной функции f ∈Wψ
β,2(ωγ ,Φ) за-
пишем оценку сверху её наилучшего полиномиального приближения
En−1(f) 6 ψ(n) lim sup{ωγ(fψβ , t)/
√
γ(nt) : t→ 0+}
6 ψ(n) lim sup{Φ(t)/
√
γ(nt) : t→ 0+}.
Используя последнее неравенство и соотношение (3.2), получаем оцен-
ки сверху рассматриваемых экстремальных характеристик класса
Wψ
β,2(ωγ ,Φ)
p2n(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ);L2) 6 p2n−1(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ);L2) 6 d2n−1(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ);L2)
6 En−1(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ)) 6 ψ(n) lim sup{Φ(t)/
√
γ(nt) : t→ 0+}. (3.9)
С. Б. Вакарчук 141
Для получения оценок снизу экстремальных характеристик клас-
са Wψ
β,2(ωγ ,Φ) рассмотрим в L2 шар
B̃2n+1 := NT
2n+1 ∩ ρB = {Tn ∈ NT
2n+1 : ∥Tn∥ 6 ρ},
где
ρ := ψ(n) inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n}. (3.10)
Покажем, что определенный указанным образом шар B̃2n+1 прина-
длежит классуWψ
β,2(ωγ ,Φ). Для этого рассмотрим два случая, а имен-
но, когда 0 < τ 6 t∗/n и когда t∗/n 6 τ 6 t∗.
Если, например, 0 < τ 6 t∗/n, то используя формулы (1.2), (3.4)
и (3.10), для произвольного полинома Tn ∈ B̃2n+1 запишем
ωγ((Tn)
ψ
β , τ) = sup
n∑
j=1
ρ2j ((Tn)
ψ
β )γ(jh)
1/2
: 0 < h 6 τ
6
√
γ(nτ)
n∑
j=1
1
ψ2(j)
ρ2j (Tn)
1/2
6
√
γ(nτ)
ψ(n)
∥Tn∥ 6
√
γ(nτ)
ψ(n)
ρ
=
√
γ(nτ) inf
{
Φ(t)√
γ(nt)
: 0 < t 6 t∗/n
}
. (3.11)
Полагая в правой части соотношения (3.11) t := τ , имеем
ωγ((Tn)
ψ
β , τ) 6 Φ(τ).
Пусть теперь t∗/n 6 τ 6 t∗. Учитывая, что функция γ прина-
длежит классу G и удовлетворяет свойству А, для произвольного
полинома Tn ∈ B̃2n+1 запишем
ωγ((Tn)
ψ
β ), τ) = sup
n∑
j=1
ρ2j ((Tn)
ψ
β )γ(jh)
1/2
: 0 < h 6 τ
6
√
γ(t∗)
ψ(n)
∥Tn∥ 6
√
γ(t∗)
ψ(n)
ρ =
√
γ(t∗) inf
{
Φ(t)√
γ(nt)
: 0 < t 6 t∗/n
}
.
(3.12)
Полагая в правой части соотношения (3.12) t := t∗/n, получаем
ωγ((Tn)
ψ
β ), τ) 6 Φ(t∗/n) 6 Φ(τ).
142 Поперечники некоторых классов функций...
Следовательно, B̃2n+1 ⊂Wψ
β,2(ωγ ,Φ).
Используя определение бернштейновского поперечника и соотно-
шение (3.2), запишем оценки снизу
En−1(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ)) > p2n−1(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ);L2) > p2n(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ);L2)
> b2n(B̃2n+1;L2) > ρ = ψ(n) inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n}. (3.13)
Требуемые неравенства (3.3) вытекают из формул (3.9) и (3.13). Те-
орема 1 доказана.
Символом H
ωγ
2 (Φ), где Φ — мажоранта, а γ ∈ G, обозначим класс
функций f ∈ L2, для которых ωγ(f, t) 6 Φ(t) при любых 0 < t 6 t∗.
Следствие 1. Пусть функция γ принадлежит классу G и удовле-
творяет свойству А; Φ — мажоранта; pm(·), m ∈ N, — любой из
рассмотренных ранее m-поперечников; n ∈ N. Тогда справедливы сле-
дующие неравенства:
inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n} 6 p2n(H
ωγ
2 (Φ);L2)
6 p2n−1(H
ωγ
2 (Φ);L2) 6 En−1(H
ωγ
2 (Φ)) 6 lim sup{Φ(t)/
√
γ(nt) : t→ 0+}.
Доказательство данного следствия не приводится, поскольку оно
в общих чертах повторяет доказательство теоремы 1.
Следствие 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и мажо-
ранта Φ удовлетворяет соотношению
inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n} = lim sup{Φ(t)/
√
γ(nt) : t→ 0+}.
(3.14)
Тогда справедливы следующие равенства:
p2n(H
ωγ
2 (Φ);L2) = p2n−1(H
ωγ
2 (Φ);L2) = En−1(H
ωγ
2 (Φ))
= inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n}, (3.15)
p2n(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ);L2) = p2n−1(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ);L2) = En−1(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ))
= ψ(n) inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n}. (3.16)
С. Б. Вакарчук 143
4. Вычисление модулей коэффициентов Фурье
на классах функций Wψ
β,2(ωγ,Φ) и H
ωγ
2 (Φ)
Вопросы вычисления точных верхних граней модулей коэффи-
циентов Фурье на различных классах функций действительного пе-
ременного в разное время рассматривали, например, А. В. Ефимов,
А. Ф. Тиман, Н. П. Корнейчук, В. И. Бердышев, С. Милорадович,
С. А. Теляковский, А. И. Степанец и многие другие. С нашей то-
чки зрения подобная задача представляет определенный интерес и в
рассматриваемом здесь случае.
Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда для
коэффициентов Фурье an(·) и bn(·), где n ∈ N, на классах H
ωγ
2 (Φ) и
Wψ
β,2(ωγ ,Φ) выполняются неравенства
inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n} 6 sup{|an(f)| : f ∈ H
ωγ
2 (Φ)}
sup{|bn(f)| : f ∈ H
ωγ
2 (Φ)}
6 lim sup{Φ(t)/
√
γ(nt) : t→ 0+} (4.1)
и
ψ(n) inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n} 6
sup{|an(f)| : f ∈Wψ
β,2(ωγ ,Φ)}
sup{|bn(f)| : f ∈Wψ
β,2(ωγ ,Φ)}
6 ψ(n) lim sup{Φ(t)/
√
γ(nt) : t→ 0+} (4.2)
соответственно.
Доказательство. Не уменьшая общности, докажем неравенство
(4.1) для коэффициентов Фурье an(·), n ∈ N. Пусть f — произвольная
функция из класса Hωγ
2 (Φ). Поскольку
an(f) =
1
π
2π∫
0
f(x) cosnxdx =
1
π
2π∫
0
(f(x)− Sn−1(f, x)) cosnxdx,
где Sn−1(f) — частная сумма ряда Фурье функции f порядка n−1, то
используя неравенство Буняковского–Шварца и соотношение (3.1),
получаем
|an(f)| 6 ∥f − Sn−1(f)∥ = En−1(f). (4.3)
Используя следствие 1 и формулу (4.3), запишем оценку сверху
sup{|an(f)| : f ∈ H
ωγ
2 (Φ)} 6 En−1(H
ωγ
2 (Φ))
144 Поперечники некоторых классов функций...
6 lim sup{Φ(t)/
√
γ(nt) : t→ 0+}. (4.4)
Для получения оценки снизу рассматриваемой экстремальной ха-
рактеристики покажем, что функция f0(x) := ρ̃ cos(nx), где
ρ̃ := inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n}
принадлежит классуHωγ
2 (Φ). Для этого, как и в пункте 3, рассмотрим
два случая. Пусть сперва 0 < τ 6 t∗/n. Тогда в силу (1.2) имеем
ωγ(f0, τ) = ρ̃ sup{
√
γ(nh) : 0 < h 6 τ}
6
√
γ(nτ) inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n} .
Полагая в правой части данного соотношения t := τ , получаем
ωγ(f0, τ) 6 Φ(τ).
Если же t∗/n 6 τ 6 t∗, то
ωγ(f0, τ) 6
√
γ(t∗) inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n} 6 Φ(t∗/n) 6 Φ(τ).
Следовательно, f0 ∈ H
ωγ
2 (Φ). Тогда
sup{|an(f)| : f ∈ H
ωγ
2 (Φ)} > |an(f0)| = ρ̃
= inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n}.
(4.5)
Неравенство (4.1) следует из соотношений (4.4) и (4.5).
Покажем справедливость двойного неравенства (4.2), рассмотрев
для этого, не уменьшая общности, коэффициенты Фурье bn(·), n ∈ N.
По аналогии с доказательством первой части данной теоремы полу-
чаем оценку сверху
sup{|bn(f)| : f ∈Wψ
β,2(ωγ ,Φ)} 6 En−1(W
ψ
β,2(ωγ ,Φ))
6 ψ(n) lim sup{Φ(t)/
√
γ(nt) : t→ 0+}, (4.6)
используя для этой цели формулу (3.3).
Для нахождения оценки снизу экстремальной характеристики,
расположенной в левой части соотношения (4.6), рассмотрим фун-
кцию f1(x) := ρ sin(nx), где величина ρ определяется формулой (3.10).
Очевидно, что функция f1 принадлежит шару B̃2n+1, рассмотренно-
му в ходе доказательства теоремы 1, а значит f1 также принадлежит
и классу Wψ
β,2(ωγ ,Φ). Следовательно,
sup{|bn(f)| : f ∈Wψ
β,2(ωγ ,Φ)} > |bn(f1)| = ρ
= ψ(n) lim sup{Φ(t)/
√
γ(nt) : t→ 0+}. (4.7)
Требуемое двойное неравенство (4.2) для bn(·) следует из формул
(4.6) и (4.7). Теорема 2 доказана.
С. Б. Вакарчук 145
Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и имеет место
(3.14). Тогда справедливы следующие равенства:
sup{|an(f)| : f ∈ H
ωγ
2 (Φ)} = sup{|bn(f)| : f ∈ H
ωγ
2 (Φ)}
= inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n}, (4.8)
sup{|an(f)| : f ∈Wψ
β,2(ωγ ,Φ)} = sup{|bn(f)| : f ∈Wψ
β,2(ωγ ,Φ)}
= ψ(n) inf{Φ(t)/
√
γ(nt) : 0 < t 6 t∗/n}. (4.9)
5. Некоторые примеры конкретизации полученных
результатов
Проанализируем полученные нами результаты, предварительно
отметив, что их целесообразно рассматривать как своеобразное обоб-
щение и распространение результатов Ю. И. Григоряна [4] из частной
ситуации, когда γ := γ1,1(x) = 2(1 − cosx); pm(·) есть колмогоров-
ский m-поперечник dm(·); классом функций является множество Hω,
где ω — обычный модуль непрерывности первого порядка в L2, т.е.
ω := ω1 = ωγ1,1 , на случай классов (ψ, β)-дифференцируемых фун-
кций, определенных при помощи обобщенной характеристики глад-
кости ωγ , для которой функция γ принадлежит классу G и удовле-
творяет свойству А.
Пусть γ := γ1,α(x) = 2α(1 − cosx)α, α ∈ (0,∞), т.е. ωγ1,α есть
модуль непрерывности ωα дробного порядка α, а мажоранта Φ := Φ̃α,
где Φ̃α(t) := tα. Отметим, что γ1,α ∈ G, удовлетворяет свойству А и
t∗ = π. Несложно проверить, что в данном случае
inf
{
1
nαsinc α(nt/2)
: 0<t6 π
n
}
= lim sup
{
1
nαsinc α(nt/2)
: t→0+
}
=
1
nα
.
Тогда согласно формулам (3.15), (4.8) и (3.16), (4.9) получаем соо-
тветственно
p2n(H
ωα
2 (Φ̃α);L2) = p2n−1(H
ωα
2 (Φ̃α);L2) = En−1(H
ωα
2 (Φ̃α)) =
1
nα
,
sup{|an(f)| : f ∈ Hωα
2 (Φ̃α)} = sup{|bn(f)| : f ∈ Hωα
2 (Φ̃α)} =
1
nα
и
p2n(W
ψ
β,2(ωα, Φ̃α);L2) = p2n−1(W
ψ
β,2(ωα, Φ̃α);L2)
= En−1(W
ψ
β,2(ωα, Φ̃α)) =
ψ(n)
nα
,
146 Поперечники некоторых классов функций...
sup{|an(f)| : f ∈Wψ
β,2(ωα, Φ̃α)} = sup{|bn(f)| : f ∈Wψ
β,2(ωα, Φ̃α)}
=
ψ(n)
nα
.
Пусть, например, мажоранта Φ̂α на отрезке 0 6 t 6 π совпадает с
функцией sinα(t/2). В указанном случае равенство (3.14) также имеет
место, поскольку
inf
{
sinc α(t/2)
(2n)αsinc α(nt/2)
: 0 < t 6 π/n
}
= lim sup
{
sinc α(t/2)
(2n)αsinc α(nt/2)
: t→ 0+
}
=
1
(2n)α
.
Тогда на основании тех же соотношений (3.15), (4.8) и (3.16), (4.9)
имеем соответственно
p2n(H
ωα
2 (Φ̂α);L2) = p2n−1(H
ωα
2 (Φ̂α);L2) = En−1(H
ωα
2 (Φ̂α)) =
1
(2n)α
,
sup{|an(f)| : f ∈ Hωα
2 (Φ̂α)} = sup{|bn(f)| : f ∈ Hωα
2 (Φ̂α)} =
1
(2n)α
и
p2n(W
ψ
β,2(ωα, Φ̂α);L2) = p2n−1(W
ψ
β,2(ωα, Φ̂α);L2)
= En−1(W
ψ
β,2(ωα, Φ̂α)) =
ψ(n)
(2n)α
,
sup{|an(f)| : f ∈Wψ
β,2(ωα, Φ̂α)} = sup{|bn(f)| : f ∈Wψ
β,2(ωα, Φ̂α)}
=
ψ(n)
(2n)α
.
Далее полагаем, что γ := γ2,k(x) = (1 − sinc (x))2k, k ∈ N, т.е.
ωγ2,k является обобщенным модулем непрерывности k-го порядка ω̃k,
определенным при помощи функции В.А.Стеклова (см., например,
[1, 12–15]), а мажоранта Φ := Φk, где Φk(t) := t2k. Поскольку и в
данной ситуации равенство (3.14) также выполняется, т.е.
inf
{
t2k
(1− sinc (nt))k
: 0 < t 6 t∗/n
}
= lim sup
{
t2k
(1− sinc (nt))k
: t→ 0+
}
=
(
6
n2
)k
,
где константа t∗ ∈ (4, 49; 4, 51), то в силу указанных выше соотноше-
ний получаем соответственно
p2n(H
ω̃k
2 (Φk);L2) = p2n−1(H
ω̃k
2 (Φk);L2) = En−1(H
ω̃k
2 (Φk)) =
(
6
n2
)k
,
С. Б. Вакарчук 147
sup{|an(f)| : f ∈ H ω̃k
2 (Φk)} = sup{|bn(f)| : f ∈ H ω̃k
2 (Φk)} =
(
6
n2
)k
и
p2n(W
ψ
β,2(ω̃k,Φk);L2) = p2n−1(W
ψ
β,2(ω̃k,Φk);L2)
= En−1(W
ψ
β,2(ω̃k,Φk)) = ψ(n)
(
6
n2
)k
,
sup{|an(f)| : f ∈Wψ
β,2(ω̃k,Φk)} = sup{|bn(f)| : f ∈Wψ
β,2(ω̃k,Φk)}
= ψ(n)
(
6
n2
)k
.
В заключение отметим, что подход, предложенный в работах [1–3]
к исследованию некоторых экстремальных задач теории аппроксима-
ции функций в пространстве L2, оказался плодотворным и позволил
получить в рассматриваемом здесь случае ряд новых содержатель-
ных результатов (3.3), (3.15), (3.16), (4.1), (4.2), (4.8) и (4.9), конкре-
тизация которых в данном пункте смогла, по нашему мнению, проде-
монстрировать его определенные преимущества перед ранее исполь-
зуемыми рассуждениями.
Литература
[1] С. Б. Вакарчук, Неравенства типа Джексона с обобщенным моду-
лем непрерывности и точные значения n-поперечников классов (ψ, β)-
дифференцируемых функций в L2. I // Укр. мат. журн., 68 (2016), No. 6,
723–745.
[2] С. Б. Вакарчук, Неравенства типа Джексона с обобщенным моду-
лем непрерывности и точные значения n-поперечников классов (ψ, β)-
дифференцируемых функций в L2. II // Укр. мат. журн., 68 (2016), No. 8,
1021–1036.
[3] С. Б. Вакарчук, Неравенства типа Джексона с обобщенным моду-
лем непрерывности и точные значения n-поперечников классов (ψ, β)-
дифференцируемых функций в L2. III // Укр. мат. журн., 68 (2016), No. 10,
1299–1313.
[4] Ю. И. Григорян, Поперечники некоторых множеств в функциональных про-
странствах // Успехи мат. наук, 30 (1975), No. 3, 161–162.
[5] Л. В. Тайков, Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль
непрерывности из L2 // Мат. заметки, 22 (1976), No. 3, 433–438.
[6] Л. В. Тайков, Структурные и конструктивные характеристики функций
из L2 // Мат. заметки, 25 (1979), No. 2, 217–223.
[7] В. В. Шалаев, О поперечниках в L2 классов дифференцируемых функций,
определяемых модулями непрерывности высших порядков // Укр. мат.
журн., 43 (1991), No. 1, 125–129.
148 Поперечники некоторых классов функций...
[8] С. Б. Вакарчук, О наилучших полиномиальных приближениях в L2 не-
которых классов 2π-периодических функций и точных значениях их n-
поперечников // Мат. заметки, 70 (2001), No. 3, 334–345.
[9] С. Б. Вакарчук, А. Н. Шитов, Наилучшие полиномиальные приближения в
L2 и поперечники некоторых классов функций // Укр. мат. журн., 56 (2004),
No. 1, 1458–1466.
[10] С. Б. Вакарчук, Неравенства типа Джексона и поперечники классов фун-
кций в L2 // Мат. заметки, 80 (2006), No. 1, 11–19.
[11] М. Ш. Шабозов, Г. А. Юсупов, Наилучшие полиномиальные приближения
в L2 некоторых классов 2π-периодических функций и точные значения их
поперечников // Мат. заметки, 90 (2011), No. 5, 761–772.
[12] С. Б. Вакарчук, В. И. Забутная, Точное неравенство типа Джексона - Сте-
чкина в L2 и поперечники функциональных классов // Мат. заметки, 86
(2009), No. 3, 328–336.
[13] С. Б. Вакарчук, В. И. Забутная, Неравенства типа Джексона - Стечкина
для специальных модулей непрерывности и поперечники функциональных
классов в пространстве L2 // Мат. заметки, 92 (2012), No. 4, 497–514.
[14] С. Б. Вакарчук, В. И. Забутная, О наилучшем полиномиальном приближе-
нии в пространстве L2 и поперечники некоторых классов функций // Укр.
мат. журн., 64 (2012), No. 8, 1025–1032.
[15] С. Б. Вакарчук, Обобщенные характеристики гладкости в неравенствах
типа Джексона и поперечники классов функций в L2 // Мат. заметки, 98
(2015), No. 4, 511–529.
[16] С. Б. Вакарчук, В. И. Забутная, Неравенства между наилучшими полино-
миальными приближениями и некоторыми характеристиками гладкости в
пространстве L2 и поперечники классов функций // Мат. заметки, 99 (2016),
No 2, 215–238.
[17] А. И. Степанец, Классификация периодических функций и скорость сходи-
мости их рядов Фурье, Изв. АН СССР. Сер. мат., 50 (1986), No. 1, 101–136.
[18] А. И. Степанец Методы теории приближений. В 2-х ч. Ч. 1., К., Ин-т ма-
тематики НАН Украины, 2002, 426 с.
Сведения об авторах
Сергей Борисович
Вакарчук
Университет имени Альфреда Нобеля
Днепр, Украина
E-Mail: sbvakarchuk@gmail.com
|