Метод енергетичних оцінок для дослідження поведінки слабких розв'язків рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними
У роботі розглядається рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними. Отримано оцінку усіх слабких розв’язків такої задачі за умови локалізації граничного режиму. Також наведено порівняльний аналіз результатів, отриманих методом енергетичних оцінок та бар’єрною технікою для рівняння п...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2019
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169444 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод енергетичних оцінок для дослідження поведінки слабких розв'язків рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними / Є.О. Євгеньєва, А.Є. Шишков // Український математичний вісник. — 2019. — Т. 16, № 2. — С. 277-288. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-169444 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1694442020-06-14T01:26:33Z Метод енергетичних оцінок для дослідження поведінки слабких розв'язків рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними Євгеньєва, Є.О. Шишков, А.Є. У роботі розглядається рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними. Отримано оцінку усіх слабких розв’язків такої задачі за умови локалізації граничного режиму. Також наведено порівняльний аналіз результатів, отриманих методом енергетичних оцінок та бар’єрною технікою для рівняння пористого середовища. The equatіon of slow diffusion with singular boundary data is considered. An estimate of all weak solutions of such a problem is obtained, provided that the boundary regime is localized. The comparative analysis of the results obtained by the method of energy estimates and the barrier technique for the equation of porous medium is presented. 2019 Article Метод енергетичних оцінок для дослідження поведінки слабких розв'язків рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними / Є.О. Євгеньєва, А.Є. Шишков // Український математичний вісник. — 2019. — Т. 16, № 2. — С. 277-288. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 35K59, 35B44, 35K58, 35K65 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169444 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У роботі розглядається рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними. Отримано оцінку усіх слабких розв’язків такої задачі за умови локалізації граничного режиму. Також наведено порівняльний аналіз результатів, отриманих методом енергетичних оцінок та бар’єрною технікою для рівняння пористого середовища. |
| format |
Article |
| author |
Євгеньєва, Є.О. Шишков, А.Є. |
| spellingShingle |
Євгеньєва, Є.О. Шишков, А.Є. Метод енергетичних оцінок для дослідження поведінки слабких розв'язків рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними Український математичний вісник |
| author_facet |
Євгеньєва, Є.О. Шишков, А.Є. |
| author_sort |
Євгеньєва, Є.О. |
| title |
Метод енергетичних оцінок для дослідження поведінки слабких розв'язків рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними |
| title_short |
Метод енергетичних оцінок для дослідження поведінки слабких розв'язків рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними |
| title_full |
Метод енергетичних оцінок для дослідження поведінки слабких розв'язків рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними |
| title_fullStr |
Метод енергетичних оцінок для дослідження поведінки слабких розв'язків рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними |
| title_full_unstemmed |
Метод енергетичних оцінок для дослідження поведінки слабких розв'язків рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними |
| title_sort |
метод енергетичних оцінок для дослідження поведінки слабких розв'язків рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2019 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169444 |
| citation_txt |
Метод енергетичних оцінок для дослідження поведінки слабких розв'язків рівняння повільної дифузії із сингулярними граничними даними / Є.О. Євгеньєва, А.Є. Шишков // Український математичний вісник. — 2019. — Т. 16, № 2. — С. 277-288. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT êvgenʹêvaêo metodenergetičnihocínokdlâdoslídžennâpovedínkislabkihrozvâzkívrívnânnâpovílʹnoídifuzííízsingulârnimigraničnimidanimi AT šiškovaê metodenergetičnihocínokdlâdoslídžennâpovedínkislabkihrozvâzkívrívnânnâpovílʹnoídifuzííízsingulârnimigraničnimidanimi |
| first_indexed |
2025-07-15T04:15:56Z |
| last_indexed |
2025-07-15T04:15:56Z |
| _version_ |
1837684969031335936 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 16 (2019), № 2, 277 – 288
Метод енергетичних оцiнок
для дослiдження поведiнки слабких
розв’язкiв рiвняння повiльної дифузiї
iз сингулярними граничними даними
Євгенiя О. Євгеньєва, Андрiй Є. Шишков
Стаття присвячена 100-рiччю
вiд дня народження Г. Д. Суворова
Анотацiя. У роботi розглядається рiвняння повiльної дифузiї iз
сингулярними граничними даними. Отримано оцiнку усiх слабких
розв’язкiв такої задачi за умови локалiзацiї граничного режиму. Та-
кож наведено порiвняльний аналiз результатiв, отриманих методом
енергетичних оцiнок та бар’єрною технiкою для рiвняння пористого
середовища.
2010 MSC. 35K59, 35B44, 35K58, 35K65.
Ключовi слова та фрази. Квазiлiнiйнi параболiчнi рiвняння, рiв-
няння пористого середовища, метод енергетичних оцiнок, слабкi роз-
в’язки, сингулярнi граничнi данi.
1. Постановка задачi та основний результат
В обмеженiй цилiндричнiй областi Q = (0, T ) × Ω, 1 6 T < ∞,
Ω ⊂ Rn, n > 1, ∂Ω ∈ C2, розглядається початково-крайова задача:
(|u|q−1u)t −∆p(u) = 0, p > q > 0. (1.1)
u(0, x) = u0(x) ∀x ∈ Ω, u0 ∈ Lq+1(Ω) (1.2)
u(t, x)
∣∣∣
∂Ω
= f(t, x) → ∞ при t→ T (1.3)
Тут ∆p(u) =
∑n
i=1
(
|∇xu|p−1uxi
)
xi
. Наголосимо, що поведiнка на межi
областi описується функцiєю f(t, x), що визначена на (t, x) ∈ (0, T )×
∂Ω та має сингулярне загострення при наближеннi до часу T . Опише-
мо функцiю f(t, x) бiльш детально. Будемо розглядати її як слiд на
Стаття надiйшла в редакцiю 19.04.2019
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
278 Метод енергетичних оцiнок для дослiдження...
(0, T ) × ∂Ω функцiї f(t, x), що задовольняє наступним умовам глад-
костi:
f(t, ·) ∈ Cloc([0, T );L
q+1(Ω)) ∩ Lp+1
loc ([0, T );W 1,p+1(Ω));
f t(t, ·) ∈ L1
loc([0, T );L
q+1(Ω)) ∩ L
p+1
p−q+1
loc ([0, T );L
p+1
p−q+1 (Ω)).
Характер загострення граничного режиму при t → T опишемо фун-
кцiєю:
F (t) := sup
0<τ<t
∫
Ω
|f(τ, x)|q+1dx+
∫ t
0
∫
Ω
|∇xf(τ, x)|p+1dxdτ
+
(∫ t
0
(∫
Ω
|f(τ, x)|q+1dx
) 1
q+1
dτ
)q+1
→ ∞ при t→ T.
(1.4)
У роботi розглядається клас слабких розв’язкiв задачi (1.1), (1.2),
(1.3). Тож введемо наступне визначення.
Означення 1.1. Функцiю u(t, x) ∈ Cloc([0, T );L
q+1
loc (Ω)) будемо нази-
вати слабким (енергетичним) розв’язком задачi (1.1), (1.2), (1.3),
якщо виконанi умови:
i) u(t, ·)− f(t, ·) ∈ Lp+1
loc ([0, T );
◦
W 1,p+1(Ω));
ii) (|u(t, ·)|q−1u(t, ·))t ∈ L
p+1
p
loc ([0, T ); (
◦
W 1,p+1(Ω))∗);
iii) виконується iнтегральна тотожнiсть:∫ τ
0
⟨(|u|q−1u)t, η⟩dx+
∫ τ
0
∫
Ω
n∑
i=1
(∇xu)
p−1uxiηxidxdt = 0 (1.5)
для довiльної функцiї η(t, ·) ∈ Lp+1((0, τ);
◦
W 1,p+1(Ω)) для до-
вiльного τ < T ;
iv) виконується початкова умова (1.2).
Параболiчнi рiвняння з сингулярними граничними даними типу
(1.3) є цiкавим об’єктом дослiджень. Вiдомо (див. [1–6, 8]), що в за-
лежностi вiд поведiнки функцiї f може виникати ефект локалiзацiї
розв’язку u. Тобто, за певних умов на функцiю f розвязок залишає-
ться обмеженим у деякiй внутрiшнiй пiдобластi Ω0 : Ω0 ⊂ Ω при на-
ближеннi до часу загострення T . Умови локалiзацiї для задачi (1.1),
(1.2), (1.3) були вивченi у роботi [5]. Показано, що якщо характер
Є. О. Євгеньєва, А. Є. Шишков 279
загострення граничного режиму F визначається наступним спiввiд-
ншенням:
F (t) = ω(t) · (T − t)
− q+1
p−q , (1.6)
то за умови ω(t) ≡ ω0 = const > 0 локалiзацiя має мiсце, тобто iснує
така область Ω0 : Ω0 ⊂ Ω, що u(t, x) є обмеженою при t→ T для всiх
x ∈ Ω0. При цьому, якщо ω(t) → 0 при t → T , то розв’язок u буде
обмеженим при t→ T у будь-якiй пiдобластi Ω0 : Ω0 ⊂ Ω.
Метою дослiдження є оцiнка методу енергетичних оцiнок шляхом
порiвняння результатiв, отриманих за допомогою цього методу, з то-
чними результатами для рiвняння пористого середовища (див. [6,7]).
Метод енергетичних оцiнок був запропонований та розроблений у
роботах [1–5,8] А. Є. Шишковим, В. А. Галактiоновим та А. Г. Щелко-
вим. На вiдмiну вiд барьєрних технiк, якими зазвичай дослiджують
сингулярнi граничнi режими, цей метод використовує принципово iн-
ший пiдхiд, що полягає у ефективнiй оцiнцi перетокiв енергiї у не-
скiнченiй послiдовностi часових шарiв, якi накопичуються бiля часу
загострення. Вiн є комбiнацiєю декiлькох методiв та пiдходiв. А саме,
використовує метод апрiорних оцiнок типу Сен-Венана та нелiнiйний
варiант цього методу, а також метод локальних енергетичних оцiнок.
У роботах [9, 11, 12] метод енергетичних оцiнок був розвинутий
для дослiдження поведiнки слабких розв’язкiв квазiлiнiйних пара-
болiчних рiвнянь з сингулярними граничними даними та отримання
оцiнок для профiлю розв’язкiв. Зокрема, у роботi [12] було отримано
наступний результат.
Теорема 1.1. Нехай u(t, x) – довiльний слабкий розв’язок задачi
(1.1), (1.2), (1.3), де F – це локалiзований LS-режим, що визнача-
ється наступним чином:
F (t) = Fβ := ω0(T − t)
−
(
q+1
p−q
−β
)
∀ t < T, ω0 > 0, 0 < β <
q + 1
p− q
− 1
p
.
(1.7)
Тодi iснує константа G > 0 i значення ŝ > 0, що залежить лише
вiд вiдомих параметрiв задачi, такi, що для розв’язку u справедлива
наступна рiвномiрна за t 6 T енергетична оцiнка:
E(t, s) + h(t, s) :=
∫ t
T
2
∫
Ω(s)
|∇xu(τ, x)|p+1dxdτ
+ sup
06τ<t
∫
Ω(s)
|u(τ, x)|q+1dx 6 Gω
q+1
β(p−q)
0 s−ν ∀ t 6 T, ∀ s ∈ (0, ŝ), (1.8)
280 Метод енергетичних оцiнок для дослiдження...
де ν = (n(p−q)+(q+1)(p+1))(q+1−β(p−q))
β(p−q)2 , функцiї E(t, s), h(t, s) є енерге-
тичними функцiями, що визначають поведiнку розв’язку u, а сiмей-
ство областей Ω(s) визначається наступним спiввiдношенням:
Ω(s) := {x ∈ Ω : d(x) > s}, s ∈ (0, sΩ), (1.9)
де sΩ визначає “радiус” цiєї областi.
2. Оцiнка отриманого результату
Для того, аби оцiнити метод енергетичних оцiнок, порiвняємо отри-
маний результат з вiдомими точними оцiнками розв’язкiв напiвлiнiй-
них рiвнянь. Розглянемо початково-крайову задачу для рiвняння по-
ристого середовища:
ut − (um)xx = 0 в (0, T )× (0,+∞), T <∞, m > 1
u(0, x) = 0,
u(t, 0) = T0(T − t)−θ, θ > 0, T0 = const > 0.
(2.1)
За допомогою бар’єрної технiки (див. [6]) було показано, що за умови
θ < 1
m−1 виконується наступна оцiнка:
u(t, x) → CT
1
1−θ(m−1)
0 x
− 2θ
1−θ(m−1) , при t→ T, (2.2)
де C > 0 – деяка константа, що залежить лише вiд вiдомих параме-
трiв задачi.
Легко бачити, що рiвняння (2.1) зводиться до рiвняння вигляду
(1.1) замiною v = um. Пiсля замiни матимемо наступну задачу:
(vq)t − vxx = 0, 0 < q =
1
m
< 1,
v(0, x) = 0,
v(t, 0) = T
1
q
0 (T − t)
− θ
q .
(2.3)
Очевидно, що отримане рiвняння є частковим випадком рiвняння
(1.1) за умов p = 1, n = 1. Оцiнка (2.2) для функцiї v перепишеться
наступним чином:
v(t, x) → CT
1
q−θ(1−q)
0 x
− 2θq
q−θ(1−q) при t→ T, θ <
q
1− q
. (2.4)
Тепер визначимо θ таким чином, щоб задовольнити умови теореми
1.1. Неважко показати, що характер загострення граничного режиму
задачi (2.3) (див. означення (1.4)) описується наступною функцiєю:
F (t) 6 c ω0(T − t)
− θ(q+1)
q , ω0 = T
q+1
q
0 , c = const > 0 (2.5)
Є. О. Євгеньєва, А. Є. Шишков 281
Визначимо θ наступним спiввiдношенням:
θ(q + 1)
q
=
1 + q
1− q
− β, (2.6)
де β – параметр з (1.7). Оскiльки за такого визначення параметр θ
задовольняє умовi θ < q
1−q , то можемо записати оцiнку розв’язку
(2.4):
v(t, x) → Cω
1
β(1−q)
0 x
− 2(1+q−β(1−q))
β(1−q)2 при t→ T. (2.7)
З iншого боку, як наслiдок з теореми 1.1, справедливе наступне
твердження.
Наслiдок 2.1. В умовах теореми 1.1 для класу слабких розв’язкiв
u задачi (1.1), (1.2), (1.3), що розглядається в одномiрнiй областi
Ω ∈ R та за додаткових умов p = 1, 0 < q < 1, справедлива наступна
оцiнка:
|u(t, x)| 6 C1ω
1
β(p−q)
0 d(x)
− 1−q+2(1+q−β(1−q))
β(1−q)2 ∀x ∈ Ω \ Ω(2ŝ), (2.8)
де C1 <∞ залежить лише вiд вiдомих параметрiв задачi, ŝ з (1.8).
Оцiнки (2.7) та (2.8) дозволяють порiвняти два рiзнi пiдходи до
дослiдження поведiнки розв’язкiв розглянутих задач.
3. Доведення теореми 1.1
Доведення теореми 1.1 проводиться методом енергетичних оцiнок.
Повне доведення наведено у роботi [12]. Для того, щоб вiдобразити
суть методу, наведемо основнi етапи доведення.
Доведення. Неважко довести (див. лему 6.2.1 у [5]), що для енергiї
виконується наступна оцiнка:
E(u)(t) := sup
06τ<t
∫
Ω
|u(τ, x)|q+1dx+
∫ t
0
∫
Ω
|∇xu(τ, x)|p+1dxdτ 6 CF (t)
∀t < T, C = const > 0. (3.1)
Iз структури енергетичних функцiй E(t, s), h(t, s) випливає, що
вони є незростаючими функцiями аргументу s при довiльному t 6 T .
Крiм того, в силу умов локалiзацiї, маємо
E(t, s) + h(τ, s) <∞ ∀ s > 0, ∀ t 6 T. (3.2)
282 Метод енергетичних оцiнок для дослiдження...
Зафiксуємо тепер числа
ξ ∈ (0, 1); α1 ∈ (p−1, α), α :=
q + 1
p− q
− β. (3.3)
В силу (3.2) маємо двi альтернативи: або
E(T, s) + h(T, s) 6 2ω0T
−α1ξ−α ∀ s > 0, (3.4)
або iснує таке значення s̄ ∈ (0, sΩ), где sΩ з (1.9), що
E(T, s) + h(T, s) > 2ω0T
−α1ξ−α ∀ s ∈ (0, s̄). (3.5)
Почнемо аналiз з випадку (3.5). Для довiльної точки s̃ ∈ (0, s̄) ви-
значимо скiнчену зростаючу послiдовнiсть {tj} = {tj(s̃)}, j = 1, 2, ...,
t0 = 0 за допомогою неперервної функцiї Γs̃(·) : [0, t′] → [t1, T ], що
визначається наступною рiвнiстю:(
Γs̃(t)−t
)−α
=
ξα
ω0Tα−α1
(
E(Γs̃(t), s̃)−E(t, s̃)+ sup
t<τ<Γs̃(t)
h(τ, s̃)
)
. (3.6)
Значення t1 = t1(s̃) = Γs̃(0) визначається наступною рiвнiстю:
t−α1 =
ξα
ω0Tα−α1
(E(t1, s̃) + h(t1, s̃)) , (3.7)
а t′ визначається зi спiввiдношення:
(T − t′)−α =
ξα
ω0Tα−α1
(
E(T, s̃)− E(t′, s̃) + sup
t′<τ<T
h(τ, s̃)
)
. (3.8)
В силу означення (3.7), припущення (3.5) та в силу строгої монотон-
ностi функцiї Rs̃(t) := (E(t, s̃) + sup0<τ<t h(τ, s̃)) t
α маємо, що t1(s̃) <
T ∀s̃ ∈ (0, s̄]. Вiдмiтимо також, що в силу (3.2) з означення (3.8) ви-
пливає, що t′ = t′(s̃) < T ∀s̃ ∈ (0, s̄].
Тож, можемо зробити висновок, що функцiя Γs̃(·) визначає строго
монотонну зростаючу послiдовнiсть {tj} наступним спiввiдношенням:
tj := Γs̃(tj−1), j = 1, 2, ..., j0,
j0 = j0(s̃) <∞ : tj0 = Γs̃(tj0−1) > t′, tj0−1 6 t′. (3.9)
За послiдовнiстю {tj} з (3.9) визначимо послiдовнiсть iнтервалiв ∆j =
∆j(s̃) = tj − tj−1, j = 1, 2, ..., j0, для яких в силу означення (3.6) має
мiсце спiввiдношення:
∆−α
j =
ξα
ω0Tα−α1
(
E(tj , s̃)− E(tj−1, s̃) + sup
tj−1<τ<tj
h(τ, s̃)
)
. (3.10)
Є. О. Євгеньєва, А. Є. Шишков 283
Неважко показати, що послiдовнiсть {∆j} є квалiфiковано спадною,
тобто виконуються спiввiдношення:
∆j+1 6 ξ∆j ∀j 6 j0, (3.11)
де ∆j0+1 := T−tj0 . За сформованою послiдовнiстю {tj} визначаються
пошаровi енергетичнi функцiї Ej(s) i hj(s) за допомогою наступних
спiввiдношень:
Ej(s) :=
∫ tj
tj−1
∫
Ω(s)
|∇xu(t, x)|p+1dxdt,
hj(s) := sup
tj−16t<tj
∫
Ω(s)
|u(t, x)|p+1dx ∀ j 6 j0, ∀ s ∈ (0, sΩ).
(3.12)
В силу леми 6.2.3 з [5] енергетичнi функцiї Ej(s) и hj(s) задоволь-
няють наступну систему диференцiальних нерiвностей:
Ej(s)+hj(s) 6 C1hj−1(s)+C2∆
ν1
j
(
−E′
j(s)
)1+µ1+C3∆
ν2
j
(
−E′
j(s)
)1+µ2 ,
(3.13)
hj(s) 6 (1 + γ)hj−1(s) + C4γ
−(ν1+µ1)∆ν1
j
(
−E′
j(s)
)1+µ1
+ C5γ
− 1
q∆ν2
j
(
−E′
j(s)
)1+µ2 , j = 1, 2, ..., j0,
(3.14)
для довiльного γ : 0 < γ < 1. Додатнi константи C1 < ∞, C2 < ∞,
C3 <∞ залежать тiльки вiд вiдомих параметрiв задачi i не залежать
вiд γ,
ν1 =
(1− θ)(q + 1)
q(p+ 1) + θ(p− q)
, µ1 =
(1− θ)(p− q)
q(p+ 1) + θ(p− q)
,
θ =
n(p− q) + q + 1
n(p− q) + (q + 1)(p+ 1)
< 1, ν2 =
(q + 1)
q(p+ 1)
, µ2 =
(p− q)
q(p+ 1)
.
Аналiзуючи цю систему, встановимо оцiнки для енергетичних фун-
кцiй E(t, s), h(t, s). Для цього спочатку введемо ваговi енергетичнi
функцiї:
Aj(s) := ∆α1
j Ej(s), Hj(s) := ∆α1
j hj(s), j = 1, 2, ..., j0. (3.15)
Покладаючи ξ < (1 + γ)−α
−1
1 та iтеруючи систему (3.13), (3.14) для
284 Метод енергетичних оцiнок для дослiдження...
функцiй Aj(s), hj(s), отримаємо:
Aj(s) +Hj(s) 6 C1(1 + γ)j−1
(
∆j
∆0
)α1
H0(s)
+ ∆ν1−α1µ1
j C6γ
−(ν1+µ1)
[
j∑
i=1
(1 + γ)j−i
(
∆j
∆i
)(1+µ1)α1−ν1 (
−A′
j(s)
)1+µ1]
+∆ν2−α1µ2
j C7γ
− 1
q
[
j∑
i=1
(1 + γ)j−i
(
∆j
∆i
)(1+µ2)α1−ν2 (
−A′
j(s)
)1+µ2]
∀ j 6 j0, ∀ s ∈ (s̃, s̄),
(3.16)
де C6 = max
{
C2γ
(ν1+µ1), C1C4λ
−1
}
, C7 = max
{
C3γ
1
q , C1C5λ
−1
}
. Вве-
демо тепер новi енергетичнi функцiї:
U
(1)
j (s) :=
j∑
i=1
(1 + γ)
j−i
1+µ1
(
∆j
∆i
)α1− ν1
1+µ1
(Ai(s) +Hi(s)),
U
(2)
j (s) :=
j∑
i=1
(1 + γ)
j−i
1+µ2
(
∆j
∆i
)α1− ν2
1+µ2
(Ai(s) +Hi(s)).
(3.17)
Очевиднi спiввiдношення:
U
(1)
j (s)−Aj(s)−Hj(s) = θ1,j U
(1)
j−1(s), U
(1)
0 (s) = 0,
U
(2)
j (s)−Aj(s)−Hj(s) = θ2,j U
(2)
j−1(s), U
(2)
0 (s) = 0, j = 1, 2, ..., j0,
(3.18)
де
θ1,j := (1 + γ)
1
1+µ1
(
∆j
∆j−1
)α1− ν1
1+µ1 6 θ1 := (1 + γ)
1
1+µ1 ξ
α1− ν1
1+µ1 < 1,
θ1,j := (1 + γ)
1
1+µ2
(
∆j
∆j−1
)α1− ν2
1+µ2 6 θ2 := (1 + γ)
1
1+µ2 ξ
α1− ν2
1+µ2 < 1,
(3.19)
За допомогою умов (3.19) накладаються бiльш жорсткi кiнцевi вимо-
ги на вибiр константи ξ. Очевидно, що Hj(s), j = 1, 2, ..., j0 є абсо-
лютно неперервними монотонно незростаючими функцiями. Тому з
нерiвностей (3.16), в силу спiввiдношень (3.18) випливає справедли-
Є. О. Євгеньєва, А. Є. Шишков 285
вiсть для майже всiх s ∈ (s̃, s̄) спiввiдношень:
U
(1)
j (s) 6 C1λ
j−1H0(s) + θ1U
(1)
j−1(s) + C6
∆ν1−α1µ1
j
γν1+µ1
(
− d
ds
U
(1)
j (s)
)1+µ1
+ C7γ
− 1
q∆ν2−α1µ2
j
(
− d
ds
U
(2)
j (s)
)1+µ2
, j = 1, 2, ..., j0,
(3.20)
U
(2)
j (s) 6 C1λ
j−1H0(s) + θ2U
(2)
j−1(s) + C6
∆ν1−α1µ1
j
γν1+µ1
(
− d
ds
U
(1)
j (s)
)1+µ1
+ C7γ
− 1
q∆ν2−α1µ2
j
(
− d
ds
U
(2)
j (s)
)1+µ2
, j = 1, 2, ..., j0.
(3.21)
В силу (3.15) i означення (3.10) iнтервалiв {∆j} = {∆j(s̃)} ∀j 6 j0
можемо отримати наступнi оцiнки для початкових значень U (1)
j (s̃) та
U
(2)
j (s̃):
U
(1)
j (s̃) 6 G1ω0(1− θ1ξ
α−α1)−1∆
−(α−α1)
j ∀ j 6 j0. (3.22)
U
(2)
j (s̃) 6 G1ω0(1− θ2ξ
α−α1)−1∆
−(α−α1)
j ∀ j 6 j0. (3.23)
де G1 = ξ−αTα−α1 .
Додаючи нерiвностi (3.20) i (3.21) та враховуючи монотонне незро-
стання функцiй U
(1)
j (s) i U (2)
j (s), отримаємо наступну систему задач
вiдносно функцiй Uj(s) := U
(1)
j (s) + U
(2)
j (s):
Ũj(s) 6 θŨj−1(s) + max
{
k
(1)
j (−Ũ ′
j(s))
1+µ1 , k
(2)
j (−Ũ ′
j(s))
1+µ2
}
,
Ũj(s̃) 6 Kj := G2ω0∆
−(α−α1)
j , j = 1, 2, ..., j0(s̃),
(3.24)
де Ũj(s) := Uj(s) − b̄, b̄ = 2C1(1 − θ)−1H0(0), k
(1)
j = C6∆
µ1(α+β−α1)
j ,
k
(2)
j = C7∆
µ2(α+β−α1)
j , C6 = 2C6γ
−(ν1+µ1), C7 = 2C7γ
− 1
q . До системи
(3.24) можна застосувати лему 9.2.6 з [5]. В силу цiєї леми отримаємо
наступну рiвномiрну оцiнку:
Ũj(s) 6 ωγ10 max {G3ψ(s− s̃), G4} ∀ s ∈ (s̃, s̄),
γ1 :=
α+ β − α1
β
, j = 1, 2, ..., j0, (3.25)
де ψ(s) := s
− (1+µ1)(α−α1)
µ1β ,
G3=
(
β
α+β−α1
) 1+µ1
µ1
(
α−α1
α+β−α1
) (1+µ1)(α−α1)
µ1β µ̄1µ̄
(α+β−α1)
β
2
(
C6
1−θ
)α−α1
µ1β G
α+β−α1
β
2 ,
G4 = µ̄1µ̄2(1− θ)
α−α1
β C
− (1+µ2)(α−α1)
(µ2−µ1)β
6 C
(1+µ1)(α−α1)
(µ2−µ1)β
7 G
α+β−α1
β
2 ,
286 Метод енергетичних оцiнок для дослiдження...
µ̄1 =
(
µ1
1+µ1
) 1+µ1
µ1 , µ̄2 =
(
µ2
1+µ2
) (1+µ1)(1+µ2)
µ1µ2 . Вiдповiдно для Uj(s) маємо
оцiнку:
Uj(s) 6 ωγ10 max {G3ψ(s− s̃), G4}+ b̄ ∀ s ∈ (s̃, s̄), (3.26)
Далi визначимо значення s1 > s̃ наступним чином:
ψ(s1 − s̃) = G−1
3 max
{
G4, b̄ ω
−γ1
0
}
. (3.27)
Тодi з (3.26) випливає справедливiсть нерiвностi:
Uj(s) 6 2G3 ω
γ1
0 ψ(s− s̃) ∀ s : s̃ < s < s2 := min{s1, s̄}, ∀ j 6 j0(s̃).
(3.28)
Згадуючи означення (3.17) i (3.15), виводимо за допомогою (3.28) на-
ступну оцiнку:
Ej(s) + hj(s) 6 2−1∆−α1
j Uj(s) 6 G3ω
γ1
0 ψ(s− s̃)∆−α1
j
∀ s ∈ (s̃, s2), j 6 j0. (3.29)
Тепер оцiнимо енергетичнi функцiї E(t, s) i h(t, s). Для цього зафi-
ксуємо довiльне значення i 6 j0 та просумуємо нерiвностi (3.29) за j
вiд 1 до i. В силу (3.10) i (3.11) отримуємо
E(ti, s) + sup
0<τ<ti
h(τ, s) 6 G3ω
γ1
0 ψ(s− s̃)
i∑
j=1
∆−α1
j
6 G3ω
γ1
0 ψ(s− s̃)∆−α1
i
i∑
j=1
(ξα1)j−1
6 G5ω
γ2
0 ψ(s− s̃) (Ei(s̃) + hi(s̃))
α1
α ∀ s ∈ (s̃, s2),
де γ2 =
(α+ β)(α− α1)
αβ
, G5 = ξα1(1− ξα1)−1T− (α−α1)α1
α G3. (3.30)
Наступний крок доведення – отримання оцiнки типу (3.30) для до-
вiльної точки t < T . Вiдмiтимо, що функцiя Γs̃(·), визначена в (3.6),
неперервно, монотонно та взаємнооднозначно вiдображає будь-який
вiдрiзок [tj−1, tj ] на [tj , tj+1] ∀ j 6 j0−1. Тому, застосовуючи стандар-
тнi мiркування, можемо стверджувати, що для всiх t < T виконується
наступна оцiнка:
E(t, s) + sup
0<τ<t
h(τ, s) 6 G5ω
(α+β)(α−α1)
αβ
0 (s− s̃)
− (1+µ1)(α−α1)
µ1β
× (E(t, s̃) + h(t, s̃))
α1
α ∀ t 6 T, ∀ s, s̃ : 0 < s̃ < s < s3, (3.31)
Є. О. Євгеньєва, А. Є. Шишков 287
Таким чином встановлено функцiональну нерiвнiсть вiдносно пара-
метричного сiмейства функцiй Ut(s) := E(t, s) + h(t, s). В силу леми
Стампакья [10] з (3.31) випливає наступна оцiнка:
E(t, s) + sup
0<τ<t
h(τ, s) 6 2
(1+µ1)α
3
µ1α1β(α−α1)G
α
α−α1
5 ω
α+β
β
0 s
− (1+µ1)α
µ1β
∀ t 6 T, ∀ s ∈ (0, s3). (3.32)
Неважко перевiрити, що оцiнка (3.32) спiвпадає з шуканою оцiнкою
(1.8) при G = 2
(1+µ1)α
3
µ1α1β(α−α1)G
α
α−α1
5 , ŝ = s3. Таким чином, теорема 1.1
доведена.
4. Доведення твердження 2.1
У роботi [12] у якостi наслiдку (див. Наслiдок 1) отримано оцiнку
профiлю слабкого розв’язку задачi (1.1), (1.2), (1.3) за додаткової
умови 0 < p − 1 < q < 1. Показано, що за умов теореми виконуєься
наступна оцiнка:
|u(t, x)| 6 C1ω
1
β(p−q)
0 d(x)−µ ∀x ∈ Ω \ Ω(2ŝ), ∀t 6 T, (4.1)
де C1 <∞ залежить лише вiд вiдомих параметрiв задачi, ŝ з (1.8), а
µ = n(p−q)+(p+1)(q+1)−β(p−q)(p+1)
β(p−q)2 .
Оскiльки для нас важливо розглянути задачу (2.3) в одномiрнiй
областi Ω, то пiдставляючи у спiввiдношення (4.1) параметри n = 1,
p = 1, легко отримаємо оцiнку (2.8).
Лiтература
[1] V. A. Galaktionov, A. E. Shishkov, Saint-Venant’s principle in blow-up for higher
order quasilinear parabolic equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A, 133
(2003), No. 5, 1075–1119.
[2] V. A. Galaktionov, A. E. Shishkov, Structure of boundary blow-up for higher-order
quasilinear parabolic equations // Proc. R. Soc. Lond., Ser. A, Math. Phys. Eng.
Sci., 460 (2004), No. 2051, 3299–3325.
[3] V. A. Galaktionov, A. E. Shishkov, Self-similar boundary blow-up for higher-
order quasilinear parabolic equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh., 135A (2005),
1195–1227.
[4] V. A. Galaktionov, A. E. Shishkov, Higher-order quasilinear parabolic equations
with singular initisl data // Communications in Contemp. Math., 8 (2006), No. 3,
331–354.
288 Метод енергетичних оцiнок для дослiдження...
[5] A. A. Kovalevsky, I. I. Skrypnik, A. E. Shishkov, Singular Solutions in Nonlinear
Elliptic and Parabolic Equations, De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and
Applications 24, De Gruyter, Basel, 2016.
[6] A. A. Samarskii, V. A. Galaktionov, S. P. Kurdyumov, A. P. Mikhailov, Regi-
mes with peaking in problems for quasilinear parabolic equations, Nauka, Moscow,
1987.
[7] M. A. Shan, Removable isolated singularities for solutions of anisotropic porous
medium equation // Annali di Matematica Pura ed Applicata, 196 (2017), No. 5,
1913–1926.
[8] A. E. Shishkov, A. G. Shchelkov, Blow-up boundary regimes for general quasilinear
parabolic equations in multidimensional domains // Sbornik: Mathematics, 190
(1999), No. 3, 447–479.
[9] A. E. Shishkov, Ye. A. Yevgenieva, Localized peaking regimes for quasilinear
parabolic equations // Mathematische Nachrichten, 292 (2019), No. 6, 1349–1374.
[10] G. Stampacchia, Équations elliptiques du second ordre à coefficients disconti-
nus // Séminaire de Mathématiques Supérieures, No. 16 (Été, 1965), Montreal,
Les Press. Univ. Montreal, 1966.
[11] Ye. A. Yevgenieva, Limiting profile of solutions of quasilinear parabolic equations
with flat peaking // Ukr. Math. Bull., 14 (2017), No. 4, 481–495; transl.Journal
of Mathematical Sciences, 234 (2018), No. 1, 106–116.
[12] А. Е. Шишков, Е. А. Евгеньева, Локализованные режимы с обострением
для квазилинейных дважды вырождающихся параболических уравнений //
Математические заметки, 2019 (to appear).
Вiдомостi про авторiв
Євгенiя
Олександрiвна
Євгеньєва
Iнститут прикладної математики
i механiки НАН України,
Слов’янськ, Україна
E-Mail: yevgeniia.yevgenieva@gmail.com
Андрiй Євгенович
Шишков
Iнститут прикладної математики
i механiки НАН України,
Слов’янськ, Україна
E-Mail: aeshkv@yahoo.com
|