О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва
Изучена деформация нелинейного упругого ортотропного тела с трещиной нормального отрыва, у вершины которой образуется зона предразрушения. Рассмотрен случай плоского напряженного состояния. Краевая задача поставлена в компонентах вектора перемещения. Для этого привлечены тензорно-линейные определя...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2020
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/170501 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва / Е.А. Дмитриева, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 5. — С. 17-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-170501 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1705012020-07-19T01:27:31Z О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва Дмитриева, Е.А. Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. Механіка Изучена деформация нелинейного упругого ортотропного тела с трещиной нормального отрыва, у вершины которой образуется зона предразрушения. Рассмотрен случай плоского напряженного состояния. Краевая задача поставлена в компонентах вектора перемещения. Для этого привлечены тензорно-линейные определяющие уравнения, связывающие компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций, и конститутивные уравнения, связывающие компоненты векторов напряжения в противоположных точках на границах зоны предразрушения с компонентами вектора смещения относительно друг друга этих точек. Решение краевой задачи получено численно, для чего частные производные в основных уравнениях были представлены через конечные разности. При решении краевой задачи использован метод дополнительных напряжений, предложенный авторами ранее. В результате решения краевой задачи выявлено влияние продольной растягивающей нагрузки на нормальные компоненты тензора деформаций и нормальные компоненты тензора напряжений в точках на границах зоны предразрушения. В частности, установлено, что продольная растягивающая нагрузка существенно сказывается на нормальных компонентах тензора напряжений в точках, совпадавших в исходном положении с вершиной трещины. Вивчено деформацію нелінійного пружного ортотропного тіла з тріщиною нормального відриву, біля вершини якої утворюється зона передруйнування. Розглянуто випадок плоского напруженого стану. Крайову задачу поставлено в компонентах вектора переміщення. Для цього залучено тензорно-лінійні визначальні рівняння, які зв'язують компоненти тензора напружень із компонентами тензора деформацій, та конститутивні рівняння, які зв'язують компоненти векторів напруження у протилежних точках на межах зони передруйнування із компонентами вектора зміщення відносно одна одної цих точок. Розв'язок крайової задачі отримано чисельно, для чого частинні похідні в основних рівняннях було представлено через скінченні різниці. При розв'язанні крайової задачі використано метод додаткових напружень, запропонований авторами раніше. В результаті розв'язання крайової задачі виявлено вплив поздовжнього розтягувального навантаження на нормальні компоненти тензора деформацій і нормальні компоненти тензора напружень у точках на межах зони передруйнування. Зокрема, установлено, що поздовжнє розтягувальне навантаження суттєво впливає на нормальні компоненти тензора напружень у точках, які зливалися в початковому положенні з вершиною тріщини. We study the deformation of a nonlinear elastic orthotropic body with a crack of normal separation. It is assumed that there is a prefracture zone at the crack tip. The plane stress case is considered. The boundary problem is stated in terms of the displacement vector components. It is done using the tensor-linear governing equations which connect the stress tensor components and the strain tensor components and constitutive equations which state the dependence of components of the stress vector at the opposite points on the boundary of prefracture zone on the components of the displacement vector for these points relative to each other. The boundary problem solution is obtained numerically by replacing the partial derivatives with the corresponding finite differences. The supplementary stress method which was proposed in the earlier works by the authors of this paper is used to solve the problem. The results obtained show an influence of the longitudinal tensile loading on the normal components of the strain tensor and the normal components of the stress tensor at the points on the prefracture zone boundary. In particular, it is determined that the longitudinal tensile loading substantially affects the normal components of the stress tensor at the points that initially were at the crack tip. 2020 Article О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва / Е.А. Дмитриева, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 5. — С. 17-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.05.017 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/170501 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Дмитриева, Е.А. Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва Доповіді НАН України |
| description |
Изучена деформация нелинейного упругого ортотропного тела с трещиной нормального отрыва, у вершины
которой образуется зона предразрушения. Рассмотрен случай плоского напряженного состояния. Краевая
задача поставлена в компонентах вектора перемещения. Для этого привлечены тензорно-линейные определяющие уравнения, связывающие компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций, и конститутивные уравнения, связывающие компоненты векторов напряжения в противоположных
точках на границах зоны предразрушения с компонентами вектора смещения относительно друг друга
этих точек. Решение краевой задачи получено численно, для чего частные производные в основных уравнениях были представлены через конечные разности. При решении краевой задачи использован метод дополнительных напряжений, предложенный авторами ранее. В результате решения краевой задачи выявлено
влияние продольной растягивающей нагрузки на нормальные компоненты тензора деформаций и нормальные компоненты тензора напряжений в точках на границах зоны предразрушения. В частности, установлено, что продольная растягивающая нагрузка существенно сказывается на нормальных компонентах тензора напряжений в точках, совпадавших в исходном положении с вершиной трещины. |
| format |
Article |
| author |
Дмитриева, Е.А. Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| author_facet |
Дмитриева, Е.А. Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| author_sort |
Дмитриева, Е.А. |
| title |
О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва |
| title_short |
О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва |
| title_full |
О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва |
| title_fullStr |
О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва |
| title_full_unstemmed |
О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва |
| title_sort |
о влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2020 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/170501 |
| citation_txt |
О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва / Е.А. Дмитриева, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 5. — С. 17-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT dmitrievaea ovliâniiprodolʹnojrastâgivaûŝejnagruzkinadeformaciûnelinejnogouprugogoanizotropnogotelastreŝinojnormalʹnogootryva AT kaminskijaa ovliâniiprodolʹnojrastâgivaûŝejnagruzkinadeformaciûnelinejnogouprugogoanizotropnogotelastreŝinojnormalʹnogootryva AT kurčakovee ovliâniiprodolʹnojrastâgivaûŝejnagruzkinadeformaciûnelinejnogouprugogoanizotropnogotelastreŝinojnormalʹnogootryva |
| first_indexed |
2025-07-15T05:46:59Z |
| last_indexed |
2025-07-15T05:46:59Z |
| _version_ |
1837690697330720768 |
| fulltext |
17
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 5: 17—30
Ц и т у в а в а н н я: Дмитриева Е.А., Каминский А.А., Курчаков Е.Е. О влиянии продольной растягивающей
нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела с трещиной нормального отрыва.
Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 5. С. 17—30. https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.05.017
При постановке краевых задач механики разрушения надлежит учитывать зону предраз-
ру шения, образующуюся у вершины трещины. Однако это сопряжено с определенными
трудностями. Избежать их можно, упрощенно представляя зону предразрушения. В настоя-
щей работе, следуя статьям [1, 2], границы зоны предразрушения будем интерпретиро-
вать как поверхности раскрытого разреза, к которым приложены векторы напряжения.
Компоненты векторов напряжения в противоположных точках на границах зоны предраз-
рушения будем полагать зависящими от компонент вектора смещения относительно друг
друга этих точек, и воспользуемся конститутивными уравнениями, установленными в
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.05.017
УДК 539.3
Е.А. Дмитриева, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: fract@inmech.kiev.ua
О влиянии продольной растягивающей нагрузки
на деформацию нелинейного упругого
анизотропного тела с трещиной нормального отрыва
Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко
Изучена деформация нелинейного упругого ортотропного тела с трещиной нормального отрыва, у вершины
которой образуется зона предразрушения. Рассмотрен случай плоского напряженного состояния. Краевая
задача поставлена в компонентах вектора перемещения. Для этого привлечены тензорно-линейные оп-
ределяющие уравнения, связывающие компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформа-
ций, и конститутивные уравнения, связывающие компоненты векторов напряжения в противоположных
точках на границах зоны предразрушения с компонентами вектора смещения относительно друг друга
этих точек. Решение краевой задачи получено численно, для чего частные производные в основных уравне-
ниях были представлены через конечные разности. При решении краевой задачи использован метод допол-
нительных напряжений, предложенный авторами ранее. В результате решения краевой задачи выявлено
влияние продольной растягивающей нагрузки на нормальные компоненты тензора деформаций и нормаль-
ные компоненты тензора напряжений в точках на границах зоны предразрушения. В частности, установ-
лено, что продольная растягивающая нагрузка существенно сказывается на нормальных компонентах
тензора напряжений в точках, совпадавших в исходном положении с вершиной трещины.
Ключевые слова: нелинейное упругое ортотропное тело, трещина нормального отрыва, зона предразру-
шения.
МЕХАНІКА
18 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 5
Е.А. Дмитриева, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
статье [3]. Решая краевую задачу, будем требовать, чтобы в конце зоны предразрушения
соблюдался критерий прочности.
Рассмотрим нелинейное упругое ортотропное тело малой толщины с трещиной нор-
мального отрыва. Решив краевую задачу для нескольких вариантов граничных условий,
выявим влияние продольной растягивающей нагрузки на нормальные компоненты тензора
деформаций и нормальные компоненты тензора напряжений в точках на границах зоны
предразрушения.
Ограничимся малыми деформациями. Постановку краевой задачи осуществим в ком-
понентах вектора перемещения.
Определяющие уравнения. Обратимся к следующим тензорно-линейным определяю-
щим уравнениям, связывающим компоненты тензора напряжений S с компонентами тензо-
ра деформаций D [4]:
( )S G D G D gαβ αβγδ αβγδ αβ
γδ γδ
Ε⎛ ⎞= −ϕ Ω −⎜ ⎟⎝ ⎠Ζ
. (1)
Здесь
2ΕΩ = Ξ−
Ζ
. (2)
Инварианты Ε , а также Ζ и Ξ имеют вид
; ;g D F g g G D Dαβ αβ γδ αβγδ
αβ αβγδ αβ γδΕ = Ζ = Ξ = . (3)
Взаимно обратные тензоры четвертого ранга F и G, характеризующие анизотропию,
обладают высокой симметрией. То есть, в компонентах этих тензоров можно менять мес-
тами как индексы, относящиеся к любой одной паре индексов, так и сами пары индексов.
Заметим, что компоненты тензоров F и G, как компоненты взаимно обратных тензоров
четвертого ранга, должны удовлетворять формулам [5]
( , )F G ζγδεζ ε
αβγδ α β= δ δ ε ζ . (4)
В формулах (4) фигурируют символы Кронекера:
1 ( );
0 ( ).
η
γ
γ = η⎧
δ = ⎨ γ ≠ η⎩
(5)
Выполнив в уравнениях (1) замену индексов, будем иметь
( )S G D G D gγδ γδεζ γδεζ γδ
εζ εζ
Ε⎛ ⎞= −ϕ Ω −⎜ ⎟⎝ ⎠Ζ
. (6)
Свернув уравнения (6) с F gαβ
αβγδ , учтя формулы (4) и равенства (5), а также первый и
второй из инвариантов (3), получим
Η = Ε . (7)
19ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 5
О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела ...
Здесь
F g Sαβ γδ
αβγδΗ = . (8)
Следовательно, в каждой точке нелинейного упругого анизотропного тела, следующего
уравнениям (1), компоненты тензоров S и D должны удовлетворять формуле (7).
Постановка краевой задачи. Пусть система координат 1 2 3, ,x x x , к которой отнесено
тело, является прямоугольной декартовой. Стало быть,
1 ( );
0 ( ).
g g εζ
εζ
ε = ζ⎧
= = ⎨ ε ≠ ζ⎩
(9)
Выведем основные уравнения для компонент вектора перемещения u.
Представим компоненты тензора D через частные производные от компонент вектора u
по координатам, для чего обратимся к соотношениям Коши [6]:
( , )
u
D
x
ε
εζ ζ
∂
= ε ζ
∂
. (10)
Используя соотношения (10), запишем уравнения (1) в виде
( )
u u
S G G g
x x
γ γαβ αβγδ αβγδ αβ
δ δ
∂ ∂⎛ ⎞Ε= −ϕ Ω −⎜ ⎟∂ ∂ Ζ⎝ ⎠
. (11)
В силу соотношений (10) первый и третий из инвариантов (3) будут
;
uu u
g G
x x x
γα ααβ αβγδ
β β δ
∂∂ ∂
Ε = Ξ =
∂ ∂ ∂
. (12)
Предположим, что тело является ортотропным, а главные направления совпадают с на-
правлениями осей 1 2 3, ,x x x .
Остановимся на случае плоского напряженного состояния, в котором
1 2( ), ( 1, 2, 1, 2)S S x xαβ αβ= α = β = ; (13)
0 ( 1, 2, 3; 3, 1, 2; 3, 3)Sαβ = α = β = α = β = α = β = . (14)
Поскольку ( ) 1ϕ Ω ≠ , то, учитывая равенства (9) и первые четыре из равенств (14), на
основании уравнений (11) установим
0 ( 1, 2, 3; 3, 1, 2)
u u
x x
γ δ
δ γ
∂ ∂
+ = γ = δ = γ = δ =
∂ ∂
. (15)
А учитывая равенства (9) и пятое из равенств (14), на основании шестого из уравнений
(11) найдем
3311 3322 3333 3311 33223 1 2 3 1 2
3 3333 1 2 3 1 2
1
( )
u u u u u u
G G G G G
x G x x x x x
⎡∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Ε⎛ ⎞ ⎤= ϕ Ω + + − − −⎢ ⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠Ζ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎦⎣
. (16)
20 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 5
Е.А. Дмитриева, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
Примем следующие обозначения:
1111 1212 1122 2222, , ,AA BB AD DDG G G G≡ μ ≡ μ ≡ μ ≡ μ ,
1133 2233 3333, ,AF DF FFG G G≡ μ ≡ μ ≡ μ ;
1133 1133
1111 3311 1122 3322
3333 3333
,AA AD
G G
G G G G
G G
− ≡ μ − ≡ μ
,
2233 2233
2211 3311 2222 3322
3333 3333
,DA DD
G G
G G G G
G G
− ≡ μ − ≡ μ
.
Согласно уравнениям (11), а также равенствам (9) и выражению (16), для компонент
тензора S, не равных нулю, будем иметь
1 2 1 211
1 2 1 2
( ) 1 AF
AA AD AA AD
FF
u u u u
S
x x x x
⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ μ Ε⎡= μ + μ −ϕ Ω μ +μ − − ⎥⎢ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ μ Ζ⎝ ⎠⎣ ⎥⎦
;
1 2 1 212 21
2 1 2 1
( )BB BB
u u u u
S S
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = μ + −ϕ Ω μ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂
; (17)
1 2 1 222
1 2 1 2
( ) 1 DF
DA DD DA DD
FF
u u u u
S
x x x x
⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ μ Ε⎡= μ + μ −ϕ Ω μ +μ − − ⎥⎢ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ μ Ζ⎝ ⎠⎣ ⎥⎦
.
В соответствии с равенствами (9) первый из инвариантов (12) примет вид
1 2 3
1 2 3
u u u
x x x
∂ ∂ ∂
Ε = + +
∂ ∂ ∂
. (18)
Используя равенства (15), представим второй из инвариантов (12) в виде
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
2AA AD DD
u u u u u u
x x x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Ξ = μ + μ +μ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
1 1 1 2 2 2
2 2 2 1 1 1
2BB
u u u u u u
x x x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+μ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
1 2 3 3
1 2 3 3
2 2AF DF FF
u u u u
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞μ + μ + μ⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂
. (19)
Обратимся к уравнениям Навье [6]:
0
S
x
αβ
β
∂ =
∂
. (20)
Допустим, что тело однородно.
Учитывая формулы (13), а также равенства (14) и уравнения (17), на основании уравне-
ний (20) установим
2 2 2 2
1 2 1 2 1
1 1 1 2 2 2 2 1AA AD BB
u u u u
Q
x x x x x x x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
μ + μ + μ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
;
2 2 2 2
1 2 1 2 2
1 2 1 1 2 1 2 2BB DA DD
u u u u
Q
x x x x x x x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
μ + + μ + μ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
.
(21)
21ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 5
О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела ...
Здесь
1 2 1 21
1 1 2 2 2 1
( ) 1 ( )AF
AA AD BB
FF
u u u u
Q
x x x x x x
⎧ ⎫⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂ ∂ μ ∂ ∂∂ Ε ∂⎡ ⎛ ⎞⎪ ⎪= ϕ Ω μ +μ − − +μ ϕ Ω +⎥⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠∂ ∂ ∂ μ Ζ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎦⎩ ⎭
;
1 2 1 22
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 1 DF
BB DA DD
FF
u u u u
Q
x x x x x x
⎧ ⎫⎤⎛ ⎞⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ μ∂ ∂ Ε⎛ ⎞ ⎡⎪ ⎪= μ ϕ Ω + + ϕ Ω μ +μ − − ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ μ Ζ⎝ ⎠⎣ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎦⎩ ⎭
.
(22)
На границах тела, берегах трещины и границах зоны предразрушения зададим вектор
напряжения P с компонентами Pα.
Обратимся к граничным условиям [6]:
S n Pαβ α
β = , (23)
где nβ — компоненты единичного вектора внешней нормали n.
Учитывая равенства (14) и уравнения (17), на основании условий (23) получим
1 2 1 2 1 1
1 21 2 2 1AA AD BB
u u u u
n n P R
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ + μ + μ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂
;
1 2 1 2 2 2
1 22 1 1 2BB DA DD
u u u u
n n P R
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ + + μ + μ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂
.
(24)
Здесь
1 2 1 21
1 21 2 2 1
( ) 1 AF
AA AD BB
FF
u u u u
R n n
x x x x
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ μ ∂ ∂Ε ⎛ ⎞⎪ ⎪= ϕ Ω μ +μ − − + μ +⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠∂ ∂ μ Ζ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
;
1 2 1 22
1 22 1 1 2
( ) 1 DF
BB DA DD
FF
u u u u
R n n
x x x x
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ μ Ε⎛ ⎞⎪ ⎪= ϕ Ω μ + + μ +μ − −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂ μ Ζ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
.
(25)
Рассмотрим прямоугольное тело малой толщины с трещиной
по центру. С осями симметрии тела совместим оси 1 2,x x .
Нагрузки на тело будем предполагать симметричными отно-
сительно осей 1 2,x x . Поэтому можно ограничиться рассмотрени-
ем лишь четвертой части тела, например, располагающейся в пер-
вом квадранте (рис. 1).
Начало зоны предразрушения обозначим A, а конец зоны
предразрушения — B.
Укажем, что для верхней и боковой границ рассматриваемой
части тела 1 1n = , 2 0n = и 1 0n = , 2 1n = соответственно. А для
верхнего берега трещины и верхней границы зоны предразруше-
ния 1 1n− = , 2 0n = .
Вектор P в точках на границах рассматриваемой части тела
запишем так: Рис. 1
22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 5
Е.А. Дмитриева, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
если (1)1 2
(2)
,
( , )
,
x x
⎧⎪= ≡ ⎨
⎪⎩
P
P P
P
если
1 1 2 2
2 2 1 1
, [ , );
, [ , ).
e e
e e
x x x o x
x x x o x
= ∈
= ∈
Для модулей векторов ( )iP имеем
( ) ( ) ( ) ( 1, 2)i i iP g P P iβα
αβ= = . (26)
Будем считать, что лишь компонента 1
(1)P вектора (1)P и компонента 2
(2)P вектора (2)P
не равны нулю. В этом случае вектор (1)P и вектор (2)P будут представлять поперечную и
продольную (по отношению к трещине) нагрузки. А в соответствии с формулами (26) бу-
дем иметь
1 1
(1) 11 (1) (1)P g P P= ; 2 2
(2) 22 (2) (2)P g P P= . (27)
Подчеркнем, что в нашей задаче
1
(1) 0P � ; 2
(2) 0P � . (28)
Учитывая равенства (9) и неравенства (28), на основании формул (27) получим
1 2
(1) (2)(1) (2);P P P P= = . (29)
Положим, что вектор P в точках на верхнем берегу трещины является нулевым, то есть
1 2 0P P= = .
Введем вектор v, изображающий смещение точек на верхней границе зоны предразру-
шения относительно точек на нижней границе зоны предразрушения.
Компоненты вектора P в точках на верхней границе зоны предразрушения необходимо
связать с компонентами вектора v .
В записи через соответствующие квадратичные формы модуль вектора P и модуль
вектора v будут
P g P Pα β
αβ= ; v g v vαβ
α β= . (30)
Примем, что ov o
P P= ≡ .
Обратимся к таким конститутивным уравнениям [3]:
( ) 1[ ]o
g v
P P f v
v
αβ
βα = − , (31)
где ( )f v — функция, возрастающая в промежутке ( , )o η .
Очевидно, что в нашей задаче
1 0v � , (32)
а
2 3 0v v= = . (33)
23ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 5
О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела ...
Учитывая равенства (9), а также неравенство (32) и равенства (33), на основании вто-
рой из формул (30) получим
1v v= . (34)
Для компоненты 1v вектора v имеем
1 12v u= . (35)
Согласно уравнениям (31), равенствам (9), а также равенствам (33) и формуле (34), для
компонент вектора P установим
1 1]( )[oP P f v= − ; (36)
2 3 0P P= = . (37)
Для решения краевой задачи потребуется еще одна группа уравнений.
Из симметрии относительно осей 1 2,x x следуют такие уравнения:
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2, , 0;( ) ( ) ( , , 0) ( )u x x u x x u x x u x x− − + = − + + = ;
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2, , 0;( ) ( ) ( ) ( ), , 0u x x u x x u x x u x x− + − ++ = − = .
(38)
Кроме того, из симметрии относительно оси 2x вытекает уравнение для компоненты
1u вектора u в конце зоны предразрушения
1 0u = . (39)
Выведем уравнение для компоненты 2u вектора u в конце зоны предразрушения.
Выделим около конца зоны предразрушения некоторую точку 1 2( , )c cx x . Будем предпо-
лагать, что 1 2
2 ,( )u x x — действительная функция, имеющая все непрерывные частные про-
изводные (по второй порядок включительно) в окрестности точки 1 2( , )c cx x .
Составив кратный ряд Тейлора, расположенный по степеням 1 1 2 2,c cx x x x− − , и записав
координаты конца зоны предразрушения как 1 1 2 2,c cx x+ ε + ε , будем иметь
1 2 1 2
2 21 1 2 2 1 2 1 2
2 2 1 2
, ,( ) ( )
( ) , )(,
c c c c
c c c c
x x x x
u u
u x x u x x
x x
∂ ∂
− + ε + ε + + ε + ε +
∂ ∂
1 2 1 2 1 2
2 2 2
2 2 21 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
, , ,( ) ( ) ( )
1
2 0
2
c c c c c cx x x x x x
u u u
x x x x x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
+ ε ε + ε ε + ε ε =⎜ ⎟
⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
. (40)
Поступая аналогично, выведем уравнения для компонент 1u , 2u вектора u в угловой
точке рассматриваемой части тела — точке с координатами 1 2,( )e ex x .
Выделим около угловой точки некоторую точку 1 2,( )d dx x . Будем предполагать, что
1 2,( )u x xα ( 1, 2)α = — действительные функции, имеющие все непрерывные частные про-
изводные (по второй порядок включительно) в окрестности точки 1 2,( )d dx x .
Составив кратные ряды Тейлора, расположенные по степеням 1 21 2,d dx x x x− − , и за писав
координаты угловой точки как 1 21 2,d dx x+ζ +ζ , будем иметь
24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 5
Е.А. Дмитриева, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
α α
α α
∂ ∂
− +ζ +ζ + + ζ + ζ +
∂ ∂1 2
1 2
1 2 1 21 2 1 2
,1 ( )
, )
2
(
, ,( ) ( )
d d
d d
d d d d x x
x x
u u
u x x u x x
x x
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
, ,( ) ( ) ,( )
1
2 0
2
d d d d d dx x x x x x
u u u
x x x x x x
α α α
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ ζ ζ + ζ ζ + ζ ζ =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠
. (41)
Решение краевой задачи получим численно. Для этого частные производные в основ-
ных уравнениях представим через конечные разности.
Числовой пример. Использованы данные для сплава Д16, приведенные в статье [7].
Компоненты тензора F являются такими:
10 1
1111 0,193 10 Па ,F − −= ⋅
10 1
1122 0,045 10 Па ,F − −− = ⋅
10 1
1133 0,049 10 ПаF − −− = ⋅ ,
10 1
1212 0,107 10 Па ,F − −= ⋅
10 1
1313 0,121 10 Па ,F − −= ⋅
10 1
2222 0,142 10 ПаF − −= ⋅ ,
10 1
2233 0,045 10 Па ,F − −− = ⋅
10 1
2323 0,107 10 Па ,F − −= ⋅
10 1
3333 0,193 10 ПаF − −= ⋅ .
Компоненты тензора G вычислены по формулам (4) (с учетом равенств (5)):
1111 10 1122 10 1133 106,395 10 Па, 2,744 10 Па, 2,263 10 ПаG G G= ⋅ = ⋅ = ⋅ ,
1212 10 1313 10 2222 102,336 10 Па, 2,066 10 Па, 8,781 10 ПаG G G= ⋅ = ⋅ = ⋅ ,
2233 10 2323 10 3333 102,744 10 Па, 2,336 10 Па, 6,395 10 ПаG G G= ⋅ = ⋅ = ⋅ .
Функция ( )ϕ Ω принята в виде [4]
Ω ∈ ο υ⎧
⎪⎪ Ω− υ⎛ ⎞ϕ Ω = ⎨ Ω− υ− +⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ Ω ∈ υ ψ⎪ Ω⎩
0, [ , ];
( ) ln 1
, [ , ].
a
a
(42)
Константы υ и ψ , а также коэффициент a таковы:
1 1 1
2 2 23 3 30,325 10 Па , 9,350 10 Па ; 0,11112866 10 Паaυ = ⋅ ψ = ⋅ = ⋅ .
При решении краевой задачи будет необходим критерий прочности. Как установлено в
статье [4], критерий прочности для тела, следующего уравнениям (1), имеет вид
Ω = ψ . (43)
Функция ( )f v принята в виде [3]
1 2
1 2
( ) k k
k kf v b v b v= + , (44)
где 21,k k — целые числа 1 2(1 )k k< < .
Для коэффициентов
1 2
,k kb b имеем:
25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 5
О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела ...
1 21 2
2 1
2 1 1 2
;
( ) ( )k kk k
k m k m
b b
k k k k
+ η + η
= =
− η − η
.
(45)
Здесь ( )
v
d
m f v
dv =η
= − .
Принято, что 5 1 5
1 22, 3; 0,2 10 м ; 5,0 10 мk k m − −= = = − ⋅ η = ⋅ .
По формулам (45) вычислены коэффициенты
1 2
,k kb b :
1
10 20,08 10 мkb −= ⋅ ,
2kb =
15 30,008 10 м−= − ⋅ .
Размеры рассматриваемой части тела по осям 1 2,x x , обозначенные (1) (2),s s , приняты
такими:
2 2
(1) (2)6,0 10 м; 3,0 10 мs s− −= ⋅ = ⋅ .
Были заданы
1 2 2 20,02 10 м; 1,60 10 мc cx x− −= ⋅ = ⋅ ; 1 22 25,98 10 м; 2,98 10 мd dx x− −= ⋅ = ⋅ ;
1 2 1 2 20,02 10 м−−ε = ε = ζ = ζ = ⋅ .
Длина трещины Rl и длина зоны предразрушения Sl являлись следующими:
21,50 10 мRl −= ⋅ ; 20,12 10 мSl −= ⋅ .
Согласно первому из условий (23), для компоненты 11S тензора S в точках на верх-
ней границе зоны предразрушения 1 2( 1, 0)n n− = = будем иметь
11 1S P− = . (46)
Воспользовавшись уравнением (36), представим условие (46) в виде
11 [1 ]( )oS P f v−= . (47)
В точке B, согласно формулам (34), (35) и уравнению (39),
0v = . (48)
Для компоненты 11S тензора S в точке B на основании условия (47) (с учетом форму-
лы (44) и равенства (48)) имеем
11 .oS P= (49)
Отметим, что величина oP и модуль вектора (1)P подлежали определению при решении
краевой задачи (из требования, чтобы в точке B выполнялось условие (49) и соблюдался
критерий (43)). Изначально величину oP и модуль вектора (1)P задавали.
Решение краевой задачи получено для четырех вариантов граничных условий, разли-
чающихся модулем вектора (2)P . Этот модуль был равен нулю для первого варианта и со-
ставлял 71 10 Па⋅ для второго варианта, 72 10 Па⋅ для третьего варианта, а также 73 10 Па⋅
для четвертого варианта.
26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 5
Е.А. Дмитриева, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
Подразумевалось, что к телу прикладывались сначала продольная, а затем поперечная
растягивающие нагрузки. При таком порядке приложения к телу данных нагрузок зона
предразрушения, образовавшись у вершины трещины, будет увеличиваться в размерах
(как удлиняться, так и расширяться).
Учитывая формулы (29), используя уравнения (21) и (24), уравнение (36) и первое из
равенств (37), уравнения (38) — (41), отыскивали компоненты 1u , 2u . Делали это методом
последовательных приближений, изложенном в статье [1]. В первом приближении полага-
ли, что ( ) 0ϕ Ω = , а также ( ) 0f v = . В каждом последующем приближении, одном из 89-ти
приближений, значения функции ( )ϕ Ω , величин 1 2,Q Q и 1 2,R R , а также функции ( )f v
устанавливали на основе значений компонент 1u , 2u , полученных в предыдущем прибли-
жении. Для этого привлекали формулы (42) и (2), инварианты (18), (19), выражение (16),
формулы (22) и (25), а также формулы (44), (34) и (35).
Затем на основе значений компонент 1u , 2u , полученных в последнем приближении,
вычисляли компоненту 11S тензора S в точке B. Для этого привлекали первое из уравнений
(17), формулы (42) и (2), инварианты (18), (19), выражение (16). Если названная ком-
понента не удовлетворяла условию (49), то величину oP корректировали, и опять решали
краевую задачу.
Наконец, проверяли соблюдение критерия (43) в точке B. Если это не имело места, то
модуль вектора (1)P корректировали, и все выполняли снова.
Анализ полученных результатов. При решении краевой задачи определены величина
oP и модуль вектора (1)P (табл. 1). Как видно, продольная растягивающая нагрузка сказа-
лась как на величине oP , так и на модуле вектора (1)P . Причем, от варианта к варианту вели-
чина oP убывала, а модуль вектора (1)P возрастал. Однако эти изменения не были суще-
ственными.
На основе значений компоненты 1u вектора u в точках на верхней границе зоны пред-
разрушения вычислен модуль вектора v . Для этого привлекались формулы (34) и (35).
В табл. 2 приведены значения 510 , мv ⋅ . Как и следовало ожидать, от варианта к варианту
модуль вектора v каждой пары противоположных точек на границах зоны предразрушения
убывал. Наиболее существенным было изменение модуля вектора относительного смеще-
ния точек на границах зоны предразрушения, совпадавших в исходном положении с верши-
ной трещины. Для этих точек 2 21,50 10 мx −= ⋅ . Заметим, что от варианта к варианту измене-
ние модуля указанного вектора становилось все меньшим. В частности, оно составило
50,1381 10 м−− ⋅ для второго варианта по сравнению с первым вариантом, 50,1180 10 м−− ⋅
Таблица 1
Вариант 810 , ПаoP −⋅ 7
(1) 10 , ПаP −⋅
1 2,0087 5,9098
2 1,9962 5,9571
3 1,9851 5,9820
4 1,9745 5,9869
Таблица 2
Вариант
2 210 , мx ⋅
1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60
1 4,0622 3,5817 3,0127 2,3617 1,6220 0,8705
2 3,9241 3,4618 2,9183 2,2991 1,5899 0,8689
3 3,8061 3,3592 2,8372 2,2450 1,5620 0,8675
4 3,7043 3,2703 2,7665 2,1976 1,5373 0,8662
27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 5
О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела ...
для третьего варианта по сравнению со вторым вариантом, а также 50,1018 10 м−− ⋅ для
четвертого варианта по сравнению с третьим вариантом.
На основе значений компонент 1u , 2u , полученных в последнем приближении, вы-
числены компоненты тензора D, а также компоненты тензора S. Для этого привлекались
соотношения (10) и выражение (16), а также уравнения (17), формулы (42) и (2), инвари-
анты (18), (19), выражение (16).
В дальнейшем нас будут интересовать нормальные компоненты тензора D, а также
нор мальные компоненты тензора S в точках A и B. Значения этих компонент приведены в
табл. 3 и табл. 4.
Напомним, что главные направления приняты совпадающими с направлениями осей
1 2 3, ,x x x . Ввиду этого,
0 ( , )Fαβγδ = α = β γ ≠ δ . (50)
Учитывая первый из инвариантов (3) и инвариант (8), равенства (9), а также равенства
(50) и пятое из равенств (14), представим формулу (7) в виде
11 22
1111 2211 3311 1122 2222 3322 11 22 33( ) ( )F F F S F F F S D D D+ + + + + = + + . (51)
Не составит труда удостовериться в том, что компоненты 11D , 22D , 33D тензора D , а
также компоненты 11S , 22S тензора S в точках A и B удовлетворяют формуле (51).
Сосредоточимся на табл. 3. Как видно, от варианта к варианту компонента 11D заметно
уменьшалась, а компонента 22D значительно увеличивалась. Вследствие этого компонента
33D значительно уменьшалась. Более интересно поведение компоненты 11S . Эта компо-
нента значительно увеличивалась.
Сосредоточимся на табл. 4. Как видно, от варианта к варианту компонента 11D несколь-
ко уменьшалась, а компонента 22D несколько увеличивалась. При этом компонента 33D
Таблица 3
Вариант 2
11 10D ⋅ 2
22 10D ⋅ 2
33 10D ⋅ 11 810 , ПаS −⋅
22 810 , ПаS −⋅
1 0,2576 -0,3446 0,0668 0,4345 -1,2127
2 0,2473 -0,2997 0,0444 0,5022 -1,1098
3 0,2362 -0,2604 0,0271 0,5601 -1,0098
4 0,2252 -0,2261 0,0138 0,6098 -0,9125
Таблица 4
Вариант
2
11 10D ⋅
2
22 10D ⋅
2
33 10D ⋅
11 810 , ПаS −⋅
22 810 , ПаS −⋅
1 2,0311 1,8170 -3,5364 2,0087 2,1698
2 2,0038 1,8413 -3,5343 1,9962 2,1792
3 1,9771 1,8653 -3,5320 1,9851 2,1894
4 1,9504 1,8890 -3,5296 1,9745 2,1998
28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 5
Е.А. Дмитриева, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
почти не изменялась. Остается отметить, что
компоненты 11S , 22S изменялись мало. И
если компонента 11S уменьшалась, то компо-
нента 22S увеличивалась.
Как было установлено, продольная растя-
гивающая нагрузка сказывается на величине
oP и модуле вектора v . Поэтому она должна
была сказываться и на компоненте 11S тензо-
ра S в точках на верхней границе зоны пред-
разрушения.
На рис. 2 представлен график, построен-
ный по значениям компоненты 11S тензора S
в точках на верхней границе зоны предразру-
шения. Кривые 1—4, изображенные на этом
графике, относятся к вариантам 1—4, соответ-
ственно.
Представляется интересным то, как имен-
но изменялась от варианта к варианту компонента 11S тензора S в точках на верхней гра-
нице зоны предразрушения. Так, она увеличивалась в точках, для которых 2 21,58 10 мx −⋅� ,
но уменьшалась в точках, для которых 2 21,58 10 мx −> ⋅ . Это имеет простое объяснение.
Согласно условию (47), названная компонента равна произведению величины oP на раз-
ность 1 ( )f v− . Необходимо подчеркнуть, что от варианта к варианту величина oP убывала,
а разность 1 ( )f v− возрастала. Таким образом, компонента 11S тензора S в какой-либо точ-
ке на верхней границе зоны предразрушения увеличивалась тогда, когда в этой точке пре-
валировала разность 1 ( )f v− .
В заключение следует констатировать, что продольная растягивающая нагрузка сдер-
живает разрушение у вершины трещины нормального отрыва. Действительно, она способ-
ствует меньшему смещению относительно друг друга точек на границах зоны предразруше-
ния, примыкающей к вершине трещины. Благодаря этому оказываются более значительны-
ми нормальные компоненты тензора напряжений в упомянутых точках.
Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, выполнены
за счет средств бюджетной программы “Поддержка приоритетных направлений научных
исследований” (КПКВК 6541230).
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Каминский А.А., Курчаков Е.Е. Об эволюции зоны предразрушения у вершины трещины в нелинейном
анизотропном теле. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 10. С. 44—55. https://doi.org/10.15407/
dopovidi2018.10.044
2. Selivanov M.F., Chornoivan Y.O. A Semi-Analytical Solution Method for Problems of Cohesive Fracture and
Some of Its Applications. Int. J. of Fracture. 2018. 212, № 1. P. 113—121.
3. Богданова О.С., Каминский А.А., Курчаков Е.Е. О зоне предразрушения возле фронта произвольной
трещины в твердом теле. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 5. С. 25—33. https://doi.org/10.15407/
dopovidi2017.05.025
Рис. 2
29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 5
О влиянии продольной растягивающей нагрузки на деформацию нелинейного упругого анизотропного тела ...
4. Курчаков Е.Е. Термодинамическое обоснование определяющих уравнений для нелинейного анизотроп-
ного тела. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2015. № 9. С. 46—53.
5. Kaminsky A.A., Kurchakov E.E., Gavrilov G.V. Study of the Plastic Zone near a Crack in an Anisotropic Body.
Int. Appl. Mech. 2006. 42, № 7. P. 749—764.
6. Love A. Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1927. 674 p.
7. Kurchakov E.E. Stress-Strain Relation for Nonlinear Anisotropic Medium. Sov. Appl. Mech.1979. 15, № 9.
P. 803—807.
Поступило в редакцию 17.01.2020
REFERENCES
1. Каminsky, А.А. & Кurchakov, Е.Е. (2018). On Evolution of Fracture Process Zone near the Crack Tip in
Nonlinear Anisotropic Body. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 10, pp. 44-55 (in Russian). doi: https://doi.
org/10.15407/dopovidi2018.10.044
2. Selivanov, M.F. & Chornoivan, Y.O. (2018). A Semi-Analytical Solution Method for Problems of Cohesive
Fracture and Some of Its Applications. Int. J. of Fracture, 212, No. 1, pp. 113-121.
3. Bogdanova, O.S., Kaminsky, A.A. & Kurchakov, E.E. (2017). On the Fracture Process Zone near the Front of
an Arbitrary Crack in a Solid. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 5, pp. 25-33 (in Russian). doi: https://doi.
org/10.15407/dopovidi2017.05.025
4. Kurchakov, E.E. (2015). Thermodynamic Verification of Constitutive Equations for a Nonlinear Anisotropic
Body. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 9, pp. 46-53 (in Russian).
5. Kaminsky, A.A., Kurchakov, E.E. & Gavrilov, G.V. (2006). Study of the Plastic Zone near a Crack in an
Anisotropic Body. Int. Appl. Mech., 42, No. 7, pp. 749-764.
6. Love, A. (1927). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Cambridge: Cambridge Univ. Press.
7. Kurchakov, E.E. (1979). Stress-Strain Relation for Nonlinear Anisotropic Medium. Sov. Appl. Mech., 15, No.
9, pp. 803-807.
Received 17.01.2020
Є.О. Дмитрієва, А.О. Камінський, Є.Є. Курчаков
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: fract@inmech.kiev.ua
ПРО ВПЛИВ ПОЗДОВЖНЬОГО РОЗТЯГУВАЛЬНОГО
НАВАНТАЖЕННЯ НА ДЕФОРМАЦІЮ НЕЛІНІЙНОГО ПРУЖНОГО
АНІЗОТРОПНОГО ТІЛА З ТРІЩИНОЮ НОРМАЛЬНОГО ВІДРИВУ
Вивчено деформацію нелінійного пружного ортотропного тіла з тріщиною нормального відриву, біля вер-
шини якої утворюється зона передруйнування. Розглянуто випадок плоского напруженого стану. Крайову
задачу поставлено в компонентах вектора переміщення. Для цього залучено тензорно-лінійні визначальні
рівняння, які зв’язують компоненти тензора напружень із компонентами тензора деформацій, та консти-
тутивні рівняння, які зв’язують компоненти векторів напруження у протилежних точках на межах зони
передруйнування із компонентами вектора зміщення відносно одна одної цих точок. Розв’язок крайової
задачі отримано чисельно, для чого частинні похідні в основних рівняннях було представлено через скін-
ченні різниці. При розв’язанні крайової задачі використано метод додаткових напружень, запропонований
авторами раніше. В результаті розв’язання крайової задачі виявлено вплив поздовжнього розтягувального
навантаження на нормальні компоненти тензора деформацій і нормальні компоненти тензора напружень
у точках на межах зони передруйнування. Зокрема, установлено, що поздовжнє розтягувальне наванта-
ження суттєво впливає на нормальні компоненти тензора напружень у точках, які зливалися в початково-
му положенні з вершиною тріщини.
Ключові слова: нелінійне пружне ортотропне тіло, тріщина нормального відриву, зона передруйнування.
30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 5
Е.А. Дмитриева, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
E.A. Dmitrieva, A.A. Kaminsky, E.E. Kurchakov
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: fract@inmech.kiev.ua
ON THE INFLUENCE OF A LONGITUDINAL TENSILE
LOAD ON THE DEFORMATION OF A NONLINEAR ELASTIC
ANISOTROPIC BODY WITH A CRACK OF NORMAL SEPARATION
We study the deformation of a nonlinear elastic orthotropic body with a crack of normal separation. It is assumed
that there is a prefracture zone at the crack tip. The plane stress case is considered. The boundary problem is
stated in terms of the displacement vector components. It is done using the tensor-linear governing equations
which connect the stress tensor components and the strain tensor components and constitutive equations
which state the dependence of components of the stress vector at the opposite points on the boundary of prefrac-
ture zone on the components of the displacement vector for these points relative to each other. The boundary
problem solution is obtained numerically by replacing the partial derivatives with the corresponding finite dif-
ferences. The supplementary stress method which was proposed in the earlier works by the authors of this paper
is used to solve the problem. The results obtained show an influence of the longitudinal tensile loading on the
normal components of the strain tensor and the normal components of the stress tensor at the points on the
prefracture zone boundary. In particular, it is determined that the longitudinal tensile loading substantially af-
fects the normal components of the stress tensor at the points that initially were at the crack tip.
Keywords: nonlinear elastic orthotropic body, crack of normal separation, prefracture zone.
|